Наилучшее приближение аналитических функций в пространстве Бергмана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Лангаршоев, Мухтор Рамазонович

• Лангаршоев, Мухтор Рамазонович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лангаршоев, Мухтор Рамазонович

Введение

Глава I. Наилучшее приближение аналитических функций

§1.1. Общие сведения и вспомогательные факты.

1. Пространство Бергмана Вр.

2. Наилучшее приближение функций в пространстве Вр, 1 < р < оо

3. Неравенство Хаусдорфа-Юнга.

4. Описание модулей непрерывности в пространстве Бергмана

Вр, 1 < р < оо.

5. Основная лемма.

§1.2. О неравенстве А.А.Лигуна между наилучшими приближениями и модулям непрерывности высших порядков для классов функций, принадлежащих пространству Вр, 1 < р <

§1.3. О наилучшем приближении полипомами аналитических функций /(г) Е Вр, 1 < р < 2, структурные свойства которых определяются модулями непрерывности т—го порядка.

§1.4. Наилучшие полиномиальные приближения аналитических функций в пространстве Бергмана

§1.5. Наилучшее приближение аналитических функций /(г) £ Вр, 1 < р < оо, задаваемых модулем непрерывности первого порядка

§1.6.0 наилучшем приближении аналитических функций в весовом пространстве Бергмана.

Глава II. Точные значения поперечников классов аналитических функций в пространстве Бергмана Вч

§2.1. Определение значения поперечников классов аналитических функций в пространстве Бергмана В2.

§2.2. Определение классов функций в пространстве Бергмана. Приближение классов функций.

§2.3. Поперечники классов функций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Наилучшее приближение аналитических функций в пространстве Бергмана»

Диссертационная работа посвящена нахождению точных значений различных поперечников компактных классов аналитических в единичном круге функций в пространстве Бергмана. Общеизвестно, что в экстремальных задачах теории приближения функций большую роль играют точные неравенства, позволяющие установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций. Поэтому в последнее время интенсивно изучались неравенства, содержащие оценки величины наилучшего приближения функции посредством модуля непрерывности высших порядков в различных пространствах аналитических функций. Отметим, что наиболее подробно вопросы приближения аналитических функций и вычисления поперечников классов функций изучены в пространствах Харди. В этом направлении укажем на основополагающие работы К.И.Бабенко [3], В.М.Тихомирова [30], Л.В.Тайкова [29], Ж.Т.Шейка [44], В.И.Белого [4], М.З.Двейрина [13], Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [2], С.Б.Вакарчука [7], М.Ш.Шабозова [34], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [38,39], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [42], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова [40,41].

В данной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения классов аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, линейного и проекционного поперечников некоторых классов функций, определяемые модулями непрерывности высших порядков. Первые работы, в которых затронуты вопросы нахождения точных значений поперечников в пространстве Бергмана, являются недавно опубликованные работы С.Б.Вакарчука [8-11].

Основной целью данной работы является:

1. Указать новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами и усредненными модулями непрерывности высших порядков производных в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо.

2. Нахождение точных значений наилучших приближений конкретных классов аналитических в круге функций в пространстве Бергмана.

3. Вычисление точных значений бернштейновских, колмогоровских, линейных и проекционных поперечников некоторых компактных классов аналитических в круге функций.

Полученные в работе результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть реализованы в задачах определения е-емкости и е— энтропии компактных классов аналитических в круге функций.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог, 2000-2005 гг.), на семинарах по вопросом теории функций в Таджикском государственном национальном университете (Душанбе, 2001-2005 гг.), на международной конференции "Развитие горных регионов в XXI веке"(Хорог, Таджикистан, 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции, посвященной 10-летию Хорогского госуниверситета (Хорог, 26-28 октября 2002 г.), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-октября 2007 г.),на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ "посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008г).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21-24,36,37].

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 44 наименований и занимает 88 страниц машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лангаршоев, Мухтор Рамазонович, 2008 год

1. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2// Докл. АН Тадж. ССР.-1984, т.27, №8, с.415-418.

2. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшие приближения в смысле А.Н.Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Мат. заметки, 1986, т.40, №3, с.341-351.

3. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций-Известия АН СССР Сер.матем.,1958, т. 22,№5, с.631-640.

4. Белый В.И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге- Укр. матем. журнал,1967, т.19, №, с.104-108.

5. Bergman S. The cernel function and conformal mapping// Math. survays, 5 N. Y. : Amer. Math. soc., 1950, 163 pp.

6. Bochner S. Uber ortogonal systeme analitischen functionen // Mathem. zeitschr. , 1922 ,14, p. 180-207.

7. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Укр. матем. журнал, 1989, т.41, №26, с.799-802.

8. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций//Укр. матем. журнал, 1990, т.42, №7, с.873-881.

9. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций //Мат. заметки, 1995, т.57, №1, с.30-39.

10. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки, 1999, т. 65, №, с. 186-193.

11. Вакарчук С.Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения. // Мат. заметки, 2002, т. 72. №5, с. 665-669.

12. Вакарчук С.Б.,Щитов А.Н. Наилучшие полиномиальные приближения в ¿2 и поперечники некоторых классов функций//Укр. матем.журн.,2004, т.56, №11, с.1458-1467.

13. Двейрин М.З. Поперечники и е—энтропия классов функций, аналитических в единичном круге. В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения, вып.23. Изд-во Харьк. ун-та, 1975, с.32-46.

14. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев. Науково думка, 1983, с.62-73.

15. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М: Наука, 1977, с.151.

16. Duren P.L., Shields A.L. Properties of Hp 0 < р < 1 and its containing Banach spase// Frans. Amer. Math., 1969, 141, July, p.255-262.

17. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals of Hp spaces with 0 < p < 1 //I. reine und angew für Math., 1969, 238, p. 32-60.

18. Carleman F. Uber die Approximation Functionen durch lineare Aggregate von vorgegebenen Potenzen // Ark. von Math., Astr. Fysik, 1922-1923 ,17.

19. Корнейчук H.П. Точные константы в теории приближения. М. "Наука", 1987, 424с.

20. Корнейчук Н. П. О наилучшем равномерном приближении дифференцируемых функций. // Докл. АН СССР,1961, т. 141, с. 304-307.

21. Лангаршоев М.Р. Значение поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана В2 // Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, №2, с.63-69.

22. Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана//Докл. АН. Респ. Тадж.,т. 48, №3-4, 2005, с.12-17.

23. Лангаршоев М.Р. О наилучшем приближении функций полиномами в пространстве Бергмана//Докл. АН. Респ. Тадж.,т. 49, №9, 2006, с.798-802.

24. Лангаршоев М.Р.,Саидусайнов М.С. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана.//ДАН. Респ.Тадж.,том 50,№8,2008,стр.653-659.

25. Лигун A.A. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Ь2 //Мат. заметки, 1978, т.24, №6, с.785-792.

26. Pinkus A. n -width in approximation theory Berlin : Springer - Verlag., 1985.

27. Тайков JI.В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis Mathematica, 1976, т.2, с.77-85.

28. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций //Мат. заметки, 1967, т.1, №2, с.155-162.

29. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки, 1977, т. 22, Ш, с. 285-295

30. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений //Усп. матем.наук, 1960, т.15, вып.З.

31. Тихомиров В.М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Совр.пробл.математики. Фундам. направления / ВИНТИ. -1987, т. 11, с.103-260.

32. Hardy G.H., Littlewood I.E. Some properties of fractional integrals II // Math. Z. , 1931, 34, №3, p. 403-439.

33. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 //Мат.заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.

34. Шабозов М.Ш. О поперечниках в пространстве Харди Н2 классов аналитических функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // ДАН Респ. Таджикистан, 1998, т.41, №9, с.48-53.

35. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // ДАН России, 2002, т. 383, №2, с 171-174.

36. Shabozov M.Sh., Abdul Hasan Siddiqi, Langarshoev M.R. Diameters of some classes of analytical functions in Bergman's space// Вестник ХоГУ, 2001, серия 1, №4, с.67-75.

37. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. Приближение некоторых классов аналитических функций в пространстве Вр // Вестник ХоГУ, 1999, серия 1, №1, с.45-50.

38. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // ДАН Респ. Таджикистан, 1999, т.42, №4, с. 19-24.

39. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Щ, 1 < р < 2 // ДАН России, 2004, т. 394, №4 с. 19-24.

40. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических в единичном круге функций // ДАН Респ. Таджикистан, 1997, т.40, №9-10, с.54-61.

41. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди // Мат. заметки, 2000, т.68, №5, с.796-800.

42. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН Росии, 2002, т.382, №6, с.747-749.

43. Шабозов О.Ш., Абдулофизов Ш. Наилучшее приближение аналитических функций в пространстве Бергмана // Вестник ХоГУ, 1999, серия 1, т, с.51-54.

44. Scheick J.Т. Polinomial approximation of functions analytic in a disk, Proc. Amer. Math, soc., 1966, 17, №6, 1238-1243.

45. Юссеф X. О наилучших приближениях функций и значениях поперечников классов функций в .¿^//Применение функционального анализа в теории приближении: Сб. научн. тр.-Калинин, 1998, с.100-114.