Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Джурахонов, Олимджон Акмалович

• Джурахонов, Олимджон Акмалович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Джурахонов, Олимджон Акмалович

Введение.

Глава I. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди.

§1.1. Постановка задачи приближения аналитических функций.

Вспомогательные факты и классы функций.

1.1.1. Определение модули непрерывности высших порядков аналитических функций f(z) G Нр, 1<р<оо.

1.1.2. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в единичном круге функций в пространстве Нр, 1 < р < оо

§1.2. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в единичном круге функций в пространстве Нр, 1 < р < 2.

§1.3. Об одной экстремальной задаче для наилучшего полиномиального приближения аналитических функций f(z) е Щ.

§1.4. О наилучших полиномиальных весовых приближениях аналитических функций из Щ.

Глава II. Поперечники классов функций в метрике пространства #2.

§2.1. Наилучшее приближение некоторых классов аналитических функций в Щ.

§2.2. Точные значения поперечников классов W, Wa: И-'ЦФ) в пространстве Н2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди»

Теория приближения функций является одной из наиболее активно развивающихся областей математического анализа, имеющая важные приложения в прикладных областях математики. В последние годы в теории приближения интенсивно изучаются задачи наилучшего приближения аналитических в круге функций комплексными полиномами в различных банаховых пространствах.

Задачи наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций получили широкое развитие в работах А.Н.Колмогорова [19], А.Хаара [38], С.Б.Стечкина [25], К.И.Бабенко [6], В.М.Тихомирова [31 - 33], Л.В.Тайкова [27-30], М.З.Двейрина [13-16], Ж.Шейка [35], А.Пинкуса [34], С.Д.Фишера [36], С.Д.Фишера и К.А.Миччелли [37], Н.Айнуллоева [1 - 4], С.Б.Вакарчука [9 — 12] и многих других математиков. Указанными работами полностью сформулирована теория наилучшего приближения аналитических в круге функций полиномами как раздел теории функций в комплексной*^ области.

Методами функционального анализа во многих вопросах найден общий подход к проблемам теории приближения аналитических функций ~ полиномами, благодаря чему удалось объединить многочисленные исследования этой теории в различных банаховых функциональных пространствах. Отметим, что наиболее полно вопросы наилучшего приближения изучались в пространствах Харди Нр, р > 1. Так, задачи наилучшего полиномиального приближения аналитических в единичном круге функций с ограниченным по норме пространством Нр, р > 1 производной изучались в работах К.И.Бабенко [6], В.М.Тихомирова [32 — 33], Л.В.Тайкова [27 - 30], Ж.Шейка [35], В.И.Белого [7 - 8], М.З.Двейрина [13 - 16], С.Б.Вакарчука [9 - 12], М.Ш.Шабозова [41 - 42], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [46], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [43,44] и др.

Вопросы, связанные с точным вычислением поперечников по Колмогорову классов аналитических в круге функций, в определении которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости в пространстве Харди, рассматривались в работах Л.В.Тайкова

27 — 30], Л.В.Тайкова и Н.Айнуллоева [5]. Аналогичные задачи для классов функций, задаваемых модулями непрерывности тп-го порядка в пространстве Харди, изучались в работах М.Ш.Шабозова [41 — 42], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова [45].

Диссертационная работа посвящена вычислению точных значений различных n-поперечников классов аналитических в круге функций, у которых г- я производная удовлетворяет на границе некоторым ограничениям, связанным со скоростью убывания модуля непрерывности т-го порядка. Основной целью диссертации является:

1. Найти новые точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2.

2. Вычислить точные значения бернштейновских, колмогоровских, гельфандовских, линейных и проекционных n-поперечников классов аналитических в единичном круге функций, задаваемых усредненными с положительным весом модулями- непрерывности высших порядков производных граничных функций в Щ.

Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при вычислении n-поперечников классов функций, в других банаховых пространствах аналитических функций, например в пространстве Бергмана с весом.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры математического анализа и теории- функций в ТГНУ (Душанбе, 19982008 гг.) на семинарах по теории приближения функций (Хорог, 1999-2005 гг.), на семинарах отдела теории функций Института математики АН Республики Таджикистан (Душанбе 2007-2009 гг.), на международной научной конференции по "Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами" посвященной 50-летию кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ (Душанбе, 25-28 октября 2003 г.), на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН Республики Таджикистан

Л.Г.Михайлова (Душанбе, 2008 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17,18,19,48,49].

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 50 наименований и занимает 72 страницы машинописного текста, набранного на LaTeX.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Джурахонов, Олимджон Акмалович, 2010 год

1. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2 // ДАН ТаджССР, 1984, т.27, №8, с.415-418.

2. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в Ь2 // ДАН ТаджССР, 1985, т.28, №6, с.309-313.

3. Айнуллоев Н. Поперечники классов аналитических функций. // Геометрические вопросы теории функций и множеств. Сборник научных трудов; Калининский госуниверситет, 1986, с. 91-101.

4. Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2 // Применение функционального анализа в теории приближений. Сборник научных трудов. Калининский госуниверситет, 1986, с.3-10.

5. Айнуллоев Н., Тайков JI.B. Наилучшие приближения в смысле А.Н.Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций. // Матем. заметки, 1986, т.40, №3, с.341-351.

6. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР, сер.матем., 1958, т.22, №5, с.631-640.

7. Белый В.И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге // Укр. матем. журнал, 1967, т.19, №2, с.104-108.

8. Белый В.И., Двейрин М.З. О наилучших лигейных методах приближения на классах функций, определяемых союзными ядрами //В кн: Метрические вопросы теории функций и отображений, вып. 2. Киев: Наукова думка, 1971, с.37-54.

9. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Укр. матем. журнал, 1989, т.41, №26, с.799-802.

10. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Укр. матем. журнал, 1990, т.42, №7, с.873-881.

11. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций //Матем. заметки, 1995, т.57, Ш, с.30-39.

12. Вакарчук С.Б. О наилучшем полиномиальном приближении аналитических в единичном круге функций // Укр.мат. журнал, 1990, т.42, №6, с.838-843.

13. Двейрин М.З. Задачи наилучшего приближения классов функций, аналитических в единичном круге // Теория приближения функций. М. Наука, 1977, с. 129-132.

14. Двейрин М.З. Поперечники и £ энтропия классов функций, аналитических в единичном круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 1975, вып.23, с.32-46.

15. Двейрин М.З. О приближении функций, аналитических в единичном круге // Метрические вопросы теории функций и отображений, вып.6, Киев: Наукова думка, 1975, с.41-54.

16. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций / / Теория отображений и приближение функций. Киев. "Науково думка", 1983, с.62-73.

17. Джурахонов О.А. О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2007, т.50, №9-10, с.727-732.

18. Джурахонов О.А. Поперечники классов аналитических функций в пространстве Харди Щ // Вестник ХоГУ, 2001, серия 1, №4, с.27-30.

19. Джурахонов О.А. Об одной экстремальной задаче для наилучшего полиномиального приближения некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №10, с.759-764.

20. Колмогоров А.Н. Uber die beste Annaherug von Funktionen einer gegebe-nen Funktionen klasse // Annalen of Math., 1936, №37, S.107-111.

21. Кусис П. Теория пространств Нр. М.:Мир, 1984, 256с.

22. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Ь2 // Мат. заметки, 1978, т.24, т, с.785-792.

23. Лигун А.А. О точных константах в неравенствах типа Джексона // ДАН СССР, 1985, т.281,№1, с.34-37.

24. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.: Гостехиздат, 1950, 350с.

25. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Тейлора для некоторых классов аналитических функций.-Изв.АН СССР, сер. мат.,1953,т.17,№6, с.461-472.

26. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. -М.-Л.:Наука, 1964.

27. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки, 1967, т.1, №2, с.155-162.

28. Тайков Л.В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis Mathematica, 1976, т.2, с.77-85.

29. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства Ь2 // Матем. заметки, 1977, т.22, №4, с.535-542.

30. Тайков Л.В. Стрктурные и конструктивные характеристики функций из Ь2 // Матем. заметки, 1979, т.25, №2, с.217-223.

31. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи матем. наук, 1960, т. 1, №, с.81-120.

32. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений.-М.:Издательство МГУ, 1976, 304 с.

33. Тихомиров В.М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Совр.пробл.математики. Фундам. направления / ВИНТИ. -1987, т.11, с.103-260.

34. Pinkus A. n-width in Approximation Theory Berlin: Springer - Verlag, 1985, 292 p.

35. Scheick J.T. Polinoraial approximation of functions analytic in a disk // Proc. Amer. Math. Soc., 1966, 17, №6, 1238-1243.

36. Фишер С.Д (Fisher S.D) Quantitative approximation theory, Amer. Math. Monthly, 1978, m 85, p.318-332

37. Фишер С.Д. и Миччелли К.А. (Fisher S.D., Micchelli С.А) The.n-widths of sets analytic function, Duke Math. J.,1980,t.47, p.789-801

38. Xaap A. (Haar A.) Die Minkowskische Geometrie und die Annaherung sn stetige Funktionen. Math.Ann., 1914, 78.

39. Черных Н.И. О неравенствах Джексона в L2 / / Труды МИАН СССР, 1967, т.88, с.71-74.

40. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2 / / Матема. заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.

41. Шабозов М.Ш. О поперечниках в пространстве Харди Н2 классов аналитических функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // ДАН Республики Таджикистан, 1998, т.41, №9, с.48-53.

42. Шабозов М.Ш. Значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди //Вестник ХоГУ, 1999, №1, серия 1, с.35-44.

43. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 1999, т.42, №4, с.19-24.

44. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Нр, 1 < р < 2. // ДАН России, 2003, т.394, №4, с.399-401.

45. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Матем. заметки, 2000, т.68, №5, с.796-800.

46. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А., Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций, // ДАН России, 2002, т.382, №6, 747-749.

47. Шабозов М.Ш., Умеди Гулходжа. Точные неравенства, между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2 // Докл.РАН, 2005, т.403, №5, с.610-613.

48. Шабозов М.Ш., Джурахонов О.А. О наилучшем полиномиальном приближения в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2006, т.49, №9, с.787-797.

49. Шабозов М.Ш., Джурахонов О.А. О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 1999, т.42, №3, с.29-35.

50. G.G.Hardy , G.Littlewood and G.Polya, Inequality.Cambridge University Press.2nd ed. 1952, 346.

51. Юсупов Г.А. Наилучшее приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди диссертация на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук // Душанбе, 2004, с.86.