Некоторые экстремальные свойства аналитических в круге функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Пиров, Хайдаржон Хокимжонович

• Пиров, Хайдаржон Хокимжонович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пиров, Хайдаржон Хокимжонович

В в е д е н и е.

Глава I. Наилучшее приближение аналитических в единичном круге функций полиномами в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2.

§1.1. Вспомогательные факты. Классы функций.

Постановка задач.

§1.2. Приближение классов функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков.

§1.3. Приближение классов функций, определяемых модулями непрерывности от производной по аргументу.

§1.4. Неравенства Джексона для функций принадлежащих пространству 1 < р < 2.

Глава II. Поперечники классов аналитических функций в пространстве Нг

§2.1. Определение поперечников множеств в банаховых пространствах.

§2.2. Значение поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Н2.

§2.3. Вычисление поперечников класса ХУ^.

§2.4. Поперечники классов УУ[п а(Ф) и 1УД в.

Литератур а.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые экстремальные свойства аналитических в круге функций»

Настоящая диссертационная работа посвящена нахождению точных значений величины наилучших приближений аналитических в единичном круге функций произвольными комплексными полиномами в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2 и вычислению колмогоровских поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций. Термин поперечник множеств в линейном нормированном пространстве и первый точный результат в задаче о поперечниках принадлежат А.Н.Колмогорову [11]. Он впервые вычислил точное значение поперечников классов дифференцируемых периодических функций в пространстве -£/г[0,27т]. В 1960 г. В.М.Тихомиров [24] вычислил колмогоровские поперечники классов периодических и аналитических функций, а в 1967 г. Л.В.Тайков [19], основываясь на результат К.И.Бабенко [6], впервые вычислил поперечник Колмогорова класса функций Нр в Нр, 1 < р < оо. До этого усилия математиков были направлены на вычислении поперечников классов периодических функций.

Систематическое изучение поперечников различных классов аналитических функций началось в 1976 г. в серии работ Л.В.Тайкова [20-23] и чуть позже в работах Н.Айнуллоева [1-4]. Продолжением этих работ явились работы С.Б.Вакарчука [7-9]. Указанные результаты были обобщены и развиты в работах М.Ш.Шабозова [29-30], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова

28, 33], М.Ш.Шабозова и Г.Юсупова [35]. Отметим, что в цитированных работах результаты получены только для классов аналитических функций принадлежащих пространству Харди Нр, 1 < р < 2.

Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Данная диссертационная работа состоит из настоящего введения, двух глав состоящих из восьми параграфов, а также списка цитированной литературы включающей 40 названий.

Система нумерации параграфов в диссертации сквозная, каждый из них имеет двойную нумерацию в которой первый номер совпадает с номером главы, а второй указывает номер параграфа. Внутри параграфа используется тройная нумерация, первый номер указывает на номер главы, второй на номер параграфа, а третий порядковый номер леммы, теоремы или формулы в данном параграфе.

Первая глава диссертации состоит из четырех параграфов и посвящена нахождению точных значений наилучших приближений аналитических в единичном круге функций комплексными полиномами в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2. В первом параграфе приведены необходимые определения и обозначения, используемые в дальнейшем, а в остальных трех параграфах излагаются результаты автора. Приведем содержание этой главы.

Говорят, что аналитическая в круге \г\ < 1 функция оо

1(г) = Т,скгк,г = реи,0<р1< 1, с—О принадлежит пространству Харди [18], если 1 2ж \ 1 /р , 2тг

1/Р 1 < р < ОО где = \ш1^/(реи) - граничное значение /(г). Через и обозначим, соответственно граничные значения производных = и дг//дГ = дг/(реи)/дГ.

Всюду в дальнейшем, полагаем

Пг)еНр: ^ н„ оо г = 0,1,2,.; 1 <р<оо).

Если /(г) 6 //р, 1 < р < оо имеет граничные значения то их гладкость характеризуем модулем непрерывности га-го порядка

К)Нр = Эир^ р

ТТЬ где = £ (—1 + " разность га-го порядка функции Р{Ь). О

В частности, имеют место равенства оо & • |с*|2 • (1 - сов ки)т : и 6 [0,*] си, т \ I 00 , \ТП 2тзир< X а^с^П-соз (к-г)и) : и €[(),*]

4 [*;=г+1 4 ' где положено акг = к{к - 1 ){к - 2).(Л - г)(к - г + 1), Л > г

Пусть

Рп-1 = Величину

71 — 1

Рп-\(г) : Рп-\{г) = X а*2 > |ап-1| Ф О к=О

Еп(/)р := £(/,?„. 1)р = Щ/ - Рп1 : Р„1(г) € Тп.Л назовем наилучшее приближение функции f(z) множеством Vn-\ в пространстве Харди Нр, 1 < р < оо. В частности,

1 2? 71— 1 ОО

El(S)щ = — / \F(t)\ dt - £ |с*|2 = £ |ct|2

При сделанных выше обозначениях в §1.2.1 доказана Теорема 1.2.1. Пусть для аналитической внутри единичного круга функции f(z) 6 Щ (г = 0,1,2,.; 1 < р < 2) ее производные 6 #2 имеют непрерывные граничные значения F^r\t) ^ const. Тогда, справедливо соотношение

Еп{1)нр sup- р ея; / я- \ ш/2

Ju™(F{r\t/{n-rf) sintdt

0.2.1)

2m n-(n-l).(n-r + l) г < п.

Верхнюю грань в (0.2.1) доставляет функция /о(г) = гп 6 Нр. Отметим, что при т—1 теорема 1.2.1 доказана С.Б.Вакарчуком [7]. В общем случае теорема 1.2.1 есть обобщение одного результата В.В.Шалаева [36] о наилучшем приближение дифференцируемых периодических функций на случай аналитических функций комплексного переменного, принадлежащих пространству Харди Нр, 1 < р < 2. В этом же параграфе доказана следующая Теорема 1.2.2. Пусть выполнены все условия теоремы 1.2.1. Тогда для любых натуральных т,п и г (г < п) справедливо равенство

Еп(/)нр sup р енг ( * \ 1!2 0

0.2.2)

Кщ 1 - ^ <Г О

V2 'n(n-l).(n-r + l)' ~Р~ ' где

Кт =

Cm

2т т/2] 2 £

1 4s2 - 1

Cm—2s 2т

-1/2 a [yj означает целую часть числа у. Верхняя грань в (0.1.2) реализуется функцией f0(z) = zn е Hrp, 1 < р < 2.

Отметим, что периодический аналог теоремы 1.2.2 ранее доказан Х.Юссефом [37].

Теорема 1.2.3. Пусть f{z) (Е Щ (г = 0,1,2,.; 1 < р < 2) имеет непрерывные граничные значения F^(t) ф const. Тогда для любых натуральных т,п, и г (п > г) справедливо равенство

Бир /ея;

ЕпЦ)нр

1/2 п(п — 1).(п — Г + 1) '

Верхняя грань реализуется функцией /о(г) = гп Е Щ. В третьем параграфе приводятся аналог теорем 1.2.1 - 1.2.3, когда модули непрерывности т - го порядка задаются посредством граничных

Параграф 1.4 первой главы посвящен нахождению точных констант в неравенстве Джексона для аналитических функций из Н£ (г = 0,1,2,.; 1 < Р < 2). Напомним, что в теории приближения функций неравенствами Джексона называют соотношения, в которых погрешность приближения индивидуальной функции / оценивается через модуль непрерывности самой приближаемой функции или некоторой ее производной. Для наилучшего приближения аналитических в единичном круге функций подпространством X неравенства Джексона имеют вид: значений производных г - го порядка

Епи)х := Е(/,Гп-1)х = Щ/ -Рп-А : Рп-1 е Гп-\) <

-1 х

Мга->4/(г);-) =-(-ТТ^Т-> (0-4-1)

V п/х п(п—1).(п-г + 1) V п)х где шт((р, 5)х - модуль непрерывности т - го порядка функции <р(г) в пространстве X, константа Мг не зависит ни от (р, ни от п, но зависит от т. Здесь мы выяснили, что в некоторых приведенных выше теоремах, из которых выводим неравенства вида (0.4.1), константа МТ может быть абсолютной и явно указывается.

Напомним общую постановку задачи нахождения константы применительно к ограниченной области комплексной плоскости.

Пусть X, У - нормированные пространства аналитических функций /(г) в ограниченной области комплексной плоскости, Хт - множество функций /(г) Е X, у которых существуют производные /^(г) и /^(г), принадлежащие X, причем соответствующие граничные значения и

F^r\t) непрерывны и нигде на границе не обращаются в константу. Если ХГ £ У и — п-мерное подпространство в У, то неравенствами Джексона называются соотношения вида

Еп(/)у := Д(/,Жп)г < М;а->т(^г\7)х, / е (0.4.2)

Еп(Лу < М;п-Ги;т^,7)х, / е (0.4.3)

11

При фиксированных пространствах X, У, подпространстве 9ТП и числах г и 7 отыскание наименьших констант в неравенствах (0.4.2) и (0.4.3) равносильно задаче вычисления точных граней величин \т л/' суу \ ОСпг • Е(/,<Яп)у , ,,

Х1{ХГ,У,%1)= вир--г-^—г^-, (0.4.4) р(т)фсопаг Ш\ ' /Г , Уг V т ч пг -Е(/, У1п)у Х7(Х = эир --. ь{т)фсопв1 \ IX

0.4.5)

Теперь мы в состоянии из более общего результата теорем 1.2.1 и 1.3.1 в качестве следствия вывести неравенство Джексона для наилучшего приближения аналитических в единичном круге функций /(-г) Е Н1 < р < 2, а затем привести точные значения констант в равенствах (0.4.4) и (0.4.5).

Теорема 1.4.1. При выполнении условий теорем 1.2.1 и 1.3.1 (г<п) справедливы неравенства

Еп(/)Нр < 2"т/2 • а~} • тг/(п - г))^, 1 < р < 2, (0.4.6)

Еп(Лнр < 2"т/2 • п~г • тг/п) , 1 < р < 2. (0.4.7)

ЕСЛИ фуНКЦИИ Шт {Ра\1)н2 являются выпуклыми вверх функциями, соответственно, на [0,7г/(п — г)] и [0,7г/п], то оценки (0.4.6) и (0.4.7) могут быть уточнены, а именно значения модулей непрерывности в правых частях (0.4.6) и (0.4.7) вместо точек у = 7г/{п — г) и 7 = тт/п вычисляются соответственно в точках 7 = 7г/2[п — г) и 7 = 7г/2п. Для этих значений неравенства (0.4.6) и (0.4.7) обращаются в равенства для функции /о(-г) = гп Е Нр, 1 < р < 2, и мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 1.4.2. Еслишт{Р^\1)н2 являются выпуклыми вверх модулями непрерывности, соответственно, на отрезках [0,7г/(п—г)], г < п и [0,7г/п], то при всех натуральных т = 1,2,.; для константы Джексона (0-4-4) и (0-4-5) справедливы равенства

Неравенства Джексона вида (0.4.6) и (0.4.7) можно было вывести из остальных теорем первого параграфа, однако получаемые при этом константы не являются точными.

Во второй главе диссертации, состоящей из четырех параграфов рассматривается задача отыскания точных значений колмогоровского поперечника для некоторых классов аналитических функций из пространства Харди #2

С этой целью сначала исследуется зависимость наилучших приближений Еп{/)нр, 1 < р < 2 от структурных свойств функции f(z), с помощью которых определяем классы функции, а затем вычисляются значения колмогоровских поперечников, введенных классов функций. Отметим, что точные значения колмогоровских поперечников для некоторых классов аналитических функций вычислены в работах В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова, А.Пинкуса, К.Миччели, Н.Айнуллоева, С.Б.Вакарчука, М.Ш.Шабозова. Мы продолжим исследование указанных авторов в этом направлении.

Пусть X - произвольное банахово пространство, 9Я - некоторое выпуклое центрально - симметричное подмножество из X; LTl Е X п - мерное линейное подпространство.

Символом

En(f)x := E(f, Ln)x = inf{||/ - J : G Z/„J обозначим наилучшее приближение элемента f Е X подпространством Ln С X, а величину dn(m,X) = infjsup{E(f,Ln)x : f e ш) : Ln С x)

0.5.1) называют поперечником no Колмогорову центрально-симметричного множества в банаховом пространстве X. Нижняя грань вычисляется но всем подпространствам Ln размерности п пространства X.

Точные результаты, полученные в теоремах первой главы, дают для поперечника (0.5.1) соответствующих классов функций оценки сверху. Оценить снизу поперечник (0.5.1) удается при помощи теоремы о поперечнике шара.

Результат, приведенный в теореме 1.2.1, позволяет вычислить точное значение поперечника (0.5.1) для следующего класса аналитических функций из пространства Щ. Пусть Ф(и) - положительная возрастающая функция такая, что НшФ(и) = Ф(0) = 0. Для любых натуральных т и г > 0 определим в пространстве Щ класс функций {/М € Щ : dt < Ф2(и), 0 < и < 2тг

Положим

1 — cos ки, ки < 7Г,

1 — cos ки)* — <

2, ки > 7г.

Основным результатом §2.2 является следующая

Теорема 2.2.1 Пусть функция Ф(и) удовлетворяет условию

Ф2• У"(1 - соз£)* БШ - <Й < 2/л • Ф2(и) (0.5.2) при любом ц > 0 и любом и 6 [0, 27г]. Тогда справедливо равенство

Я2) =

2т/2 п(п - 1).(п-г +1) ^п-г г <п. п — г/

В связи с утверждением теоремы 2.2.1 возникает вопрос. Для каких конкретных функций Ф(и) выполняется условие (0.5.2). Это условие впервые появилось в работе Н.Айнуллоева [1] при вычислении колмогоровских поперечников классов г - раз непрерывно дифференцируемых периодических функций. В этой работе подробно анализируется случай Ф2(и) = иа и доказывается, что неравенство (0.5.2) выполняется при а = 7г2/8 и любом ¡л > 0. Это означает, что множество функций (Ф(и)} для которых условия (0.5.2) выполняется непусто.

Замечание 2.2.1. Из утверждения теоремы 2.2.1 при т = 1 вытекает результат С.Б.Вакарчука [7]:

Я2) =

•Ф у/2 п(п — 1).(п — г + 1) Vп — г п — г/ г < п.

В §2.3, исходя из утверждения теоремы 1.2.3, определим класс аналитических функций

УГ =

ТП

Справедлива следующая

Теорема 2.3.1. При любых натуральных т,п, г > 0 (п > г) имеет место равенство у/п — Г

2т+1 п(п- 1).(п-г + 1) г < п.

Частые случаи теоремы 2.3.1 ранее доказаны М.Ш.Шабозовым в работе [30].

В последнем параграфе 2.4 второй главы приводятся аналоги теорем 2.2.1 и 2.3.4 для классов функций и из пространства #2, модули непрерывности т-го порядка которых определяются граничными значениями производных г - го порядка по аргументу В соответствии с обозначениями §2.3 для натуральных т, г > 0 и и Е [0,2п\ вводим в рассмотрение следующие классы функций:

М е Щ : £.Sin^ídí < Ф2(и) r г ш,а e : /^(fí'); t) ■ (sin + i sin ^t)dt < 1

В этих обозначениях справедлива следующая

Теорема 2.4.1. Пусть функция Ф(и) удовлетворяет условию

Ф2(—) • /(1 - cosí)* sin-di < 2иФ2(и) W í М при fi > 0 и любом и Е [0,27г]. Тогда справедливо равенство

Теорема 2.4.2. Для любых натуральных т,п, иг справедливо равенство

Полученные результаты опубликованы в работах [16, 31, 32, 34].

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю члену корреспонденту АН РТ, доктору физико-математических наук Шабозову М.Ш. за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией. ч

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пиров, Хайдаржон Хокимжонович, 2004 год

1. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в ь2. //ДАН Тадж. ССР, т.27, N8, 1984, с.415-418.

2. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций вДАН Тадж. С CP, т.28, N6, 1985, с.309-313.

3. Айнуллоев Н. Поперечники классов аналитических функций. //Геометрические вопросы теории функций и множеств. Сборник научныхтрудов. Калининский госуниверситет, 1986, с.91-101.

4. Айнуллоев Н., Тайков JI.B. Наилучшие приближения в смыслеА.Н.Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций.Математические заметки, т.40, N3, 1986, с.341 351.

5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.Наука, 1965, 408 С.

6. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитическихфункций. // Изв. АН СССР, сер.матем., 1958, т.22, N5, с.631 640.

7. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2. // Укр.мат.журнал, 1989, т.41, N26, с.799 802.

8. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций. // Укр.мат.журнал, 1990, т.42, N7, с.873 881.

9. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций. // Математические заметки, 1995, т.57, N1, с.30 39.70

10. Григорян Ю.И. Поперечники некоторых множеств в функциональныхпространствах. // Математические заметки , 1973, т.22, N5, с.637 644.

11. Колмогоров А.Н. Uber die beste Armaherug von Funktionen einer gegebenen Fuktion klassen. // Annalen of Math., 1936, N37, s.107 111.

12. Корнейчук Н.П. Точная константа в теореме Джексона о наилучшемравномерном приближении непрерывных периодических функций. //ДАН СССР, 1962, т. 145, N3, с.514 515.

13. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.Наука,1976, 320 С.

14. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.Наука, 1987, 424 С.

15. Лигун A.A. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Z^- // Математическиезаметки, 1978, т.24, N6, с.785 792.

16. Пиров Х.Х. О наилучшем приближении аналитических функцийполиномами // ДАН Республики Таджикистан, 2000, т.43, N4. с.8-11.

17. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М., 1950, 382 С.

18. Смирнов В.И., Лебедев H.A. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М. - Л.: Наука, 1964.

19. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классованалитических функций. // Математические заметки, 1967, т.1, N2, с.155 162.

20. Тайков Л.В. Некоторые точные неравенства в теории приближенияфункций. // Апа1из18 Ма^ета^ка, 1976, т.2, с.77 85.

21. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций.Математические заметки, 1977, т.22, N2, с.285 294.

22. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций вметрике пространства 1>2. // Математические заметки, 1977, т.22, N4, с.535 542.

23. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функцийиз 1/2- // Математические заметки, 1979, т.25, N2, с.217 223.

24. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений. // Успехи матем.наук, 1960, т. 1, N3, с.81 120.

25. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.:Изд.МГУ, 1976, 304 С.

26. Черных Н.И. О неравенствах Джексона в ¿2• // Труды МИАН СССР,1967, т.88, с.71 74.

27. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в ¿2. // Математические заметки, 1967, т.2, N5, с.513 522.

28. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических в единичном круге функций. // ДАН Респ.Таджикистан, 1997, т.40, N9-10, с.54 61.

29. Шабозов М.Ш. О поперечниках в пространстве Харди Н2 классов аналитических функций, определяемых модулями непрерывностивысших порядков. // ДАН Респ.Таджикистан, 1998, т.41, N9, с.48 53.

30. Шабозов М.Ш. Значение поперечников некоторых классов функций впространстве Харди. // Вестник ХоГУ, 1999, N1,серия 1, с.35 44.

31. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. О Наилучших приближениях аналитическихфункций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди. // ДАН Респ.Таджикистан, 1999, т.42, N4, с.19 24.

32. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. О наилучших приближениях аналитическихфункций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди Н2. // Вестник ХоГУ, серия 1, 2000, N2, с.76 85.

33. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классованалитических функций в пространстве Харди Н2. // Математическиезаметки, 2000, т.68, N5, с.796 800.

34. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. Точные константы в неравенствах тинаДжексона для приближения аналитических функций из 1 < р < 2.Вестник ХоГУ, серия 1, 2002, N5, с.78 80.

35. Шабозов М.Ш., Юсупов Г. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций. // Докл.РАН, 2002,т.382, N6, с.747 749.

36. Шалаев В.В. О поперечниках в Ь2 классов дифференцируемыхфункций, определяемых модулями непрерывности высших порядков .Укр.мат.журнал, 1991, т.43, N1, с.125 129.73

37. Юссеф X. О наилучших приближениях функций и значениях поперечников классов функций в L2. // Применение функционального анализав теории приближений. Калинин, 1988, с.100 - 114.

38. Pinkus A. n-widths in approximation theory. Berlin: Springer - Verlag, 1985.

39. Шабозов М.Ш., Пиров X.X. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди. // Докл. академии наук респ. Тадж., 1999, t.XLII, N4, с.19 24.

40. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Hp, 1 < р < 2. // ДАН. России, 2004, т.394, №3, с.З17-319.