Наилучшее приближение аналитических функций и решения некоторых экстремальных задач в пространстве Бергмана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кадамшоев Ноибшо Улфатшоевич

• Кадамшоев Ноибшо Улфатшоевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Кадамшоев Ноибшо Улфатшоевич

Оглавление

Введение

Глава I. Точные неравенства между наилучшими среднеквад-ратическими приближениями аналитических в круге функций и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Бергмана 9 § 1.1. Предварительные факты, вспомогательные утверждения и история вопроса о неравенстве Джексона-Стечкина

§ 1.2. Неравенство типа Джексона-Стечкина в В2, содержащее характеристики гладкости Ато(/(г),£)

§ 1.3. Неравенство типа Джексона-Стечкина для совместного поли-

(г)

номиального приближения функций f е В2'

§1.4. Точные неравенства типа Джексона-Стечкина посредством

усредненного значения характеристики гладкости Ато(/(г),£) . . 31 §1.5. О наилучшем совместном полиномиальном приближении функций и их производных в пространстве Бергмана посредством модулей непрерывности

Глава II. Решение некоторых экстремальных задач для классов функций

§ 2.1. Точные значения п-поперечников некоторых классов функций

2.1.1. Поперечники класса W (г)В2

2.1.2. Точные значения п-поперечников классов функций W(г)(Ато,Ф)(г е Ъ+,ш е М)

2.1.3. Точные значения п-поперечников классов функций Wp(r) (Л1, Ф) (г Е Ъ+, 0 < р < ж) в пространстве В2

2.1.4. Точные значения п-поперечников класса W¡¡r)(Л т; ф,Н) . 53 §2.2. Решение экстремальной задачи (1.3.1) для некоторых классов

функций

§ 2.3. Решение экстремальной задачи (1.3.1) для классов функций

&(г)(Ф) и &(г)(ш,к)

Список литературы

70

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Наилучшее приближение аналитических функций и решения некоторых экстремальных задач в пространстве Бергмана»

Введение

Актуальность темы исследования. Теория аппроксимации функций является одной из наиболее интенсивно развивающихся областей математического анализа и имеет важные приложения в прикладных вопросах математики. Особое место в этой теории занимают экстремальные задачи наилучшего приближения аналитических в круге функций комплексными полиномами в различных банаховых пространствах аналитических функций.

Следует отметить, что экстремальные задачи наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций изучались, например, в известных работах К.И.Бабенко [4], В.М.Тихомирова [30, 31], Л.Т.БсЬеюк [52], В.И.Белого [6], М.З.Двейрина [13-15], Б.Э^вЬег и О.ЛЖссЬеШ [48], и нашли дальнейшие развитие в работах Л.В.Тайкова [28, 29], А.Пинкуса [50], Ю.А.Фаркова [32], Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [3], С.Б.Вакарчука [8], М.Ш.Шабозова с учениками [37, 43, 45, 46] и многих других.

В этой работе, продолжая исследования указанных авторов, решены различные экстремальные задачи в пространстве Бергмана В2. В экстремальных задачах теории приближения функций как в действительной, так и в комплексной областях одной из важных является задача отыскании точной константы в неравенствах типа Джексона-Стечкина. Напомним, что под неравенством типа Джексона-Стечкина в любом нормированном пространстве понимают неравенства, в которых величина наилучшего приближения функции конечномерным подпространством оценивается сверху через некоторую характеристику гладкости самой функции или ее некоторую производную. Следует отметить, что по решению сформулированной задачи наиболее су-

щественные результаты получены для классов периодических функций. Обстоятельный обзор полученных в периодическом случае результатов приведен, например, в работах В.И.Иванова [17], С.Б.Вакарчука и В.И.Забутной [11], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [47] и монографии Н.П.Корнейчука [20] и других. Что касается изучения аналогичной задачи в комплексной области, то укажем на недавно опубликованные работы В.А.Абилова с соавторами [1] и М.Ш.Шабозова и М.С.Саидусайнова[39, 41]. Здесь продолжено исследование указанных авторов через характеристику гладкости функции, введенной К.В.Руновским [22]. Исследованы неравенства типа Джексона-Стечкина для совместного приближения функций и ее последовательных производных комплексными полиномами и их соответствующими производными для класса (г)

функций В2 ', а также точные неравенства типа Джексона-Стечкина для совместного приближения посредством усредненного значения характеристики гладкости Лт(/(г',£). В обоих случаях указан явный вид точной константы в неравенстве типа Джексона-Стечкина для наилучшего совместного приближения. Аналогичные результаты получены для наилучших совместных приближений функций через усредненное значение модулей непрерывности первого порядка г-х производных функций. Указанные результаты изложены в первой главе диссертационной работы. Исходя из полученных в первой главе результатов, во второй главе работы найдены точные значения различных п-поперечников и найдены верхних грани наилучшего совместного приближения некоторых классов функций.

Объект исследования и связь работы с научными программами (проектами) темами. Данное диссертационное исследование выполнено в рамках реализации перспективного плана научно-исследовательской

работы кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений Таджикского национального университета на 2017-2022 гг. по теме «Приближения аналитических функций комплексными полиномами».

Цель и задачи исследования. Основная цель диссертационной работы заключается в следующем:

• найти точные значения константы в неравенстве типа Джексона-Стечкина для наилучшего совместного полиномиального приближения функций в пространстве Бергмана В2;

• найти точные значения п-поперечников некоторых классов функций в пространстве В2;

• найти точные верхние грани наилучшего совместного приближения некоторых классов функций в В2.

Основные методы исследования. В диссертационной работе используются современные методы теории аппроксимации и методы решения экстремальных задач вариационного содержания теории аналитических функций, а именно, метод Н.П.Корнейчука оценки сверху наилучших приближений классов функций подпространством полиномов фиксированной размерности и разработанная В.М.Тихомировым оценка снизу поперечников множеств в различных нормированных пространствах.

Научная новизна исследований. В диссертации получены следующие основные результаты:

• найдено точное значение константы в неравенстве типа Джексона-Стечкина для наилучшего совместного полиномиального приближения функций в пространстве Бергмана В2;

• найдено точное значение п-поперечников некоторых классов функций в пространстве В2;

• найдены точные верхние грани наилучшего совместного полиномиального приближения некоторых классов функций в В2.

Положения, выносимые на защиту:

• основные теоремы о неравенствах типа Джексона-Стечкина для наилучшего полиномиального приближения комплексной функции в пространстве Бергмана В2;

• теоремы о неравенствах типа Джексона-Стечкина для наилучшего совместного полиномиального приближения комплексных функций и их последовательных производных в пространстве В2;

• теоремы о точных значениях п-поперечников некоторых классов функций в пространстве В2;

• теоремы о верхних гранях наилучшего совместного полиномиального приближения классов функций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Приведенные в ней методы и результаты могут применяться при решении других экстремальных задач теории аппроксимации. Главы диссертации в отдельности могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Математика» и «Прикладная математика».

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные результаты, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опуб-

ликованных работах. Все приведенные в диссертационной работе результаты получены лично автором.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались

• на семинарах кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений Таджикского национального университета под руководством академика НАН Таджикистана, профессора М.Ш.Шабозова (Душанбе, 2018-2023 гг.);

• на международной научной конференции "Сингулярные интегральные уравнения и дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами" (Душанбе, 30-31 января 2020 г.);

• на международной научной конференции "Теория приближения и ее применение" (Днепро, Украина, 16-19 сентября 2020 г.);

• на республиканской научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и их роль в формировании технического мировоззрения общества" (Худжанд, 29-30 октября 2021 г.);

• на международной научной конференции "Современные проблемы математического анализа и теории функций" (Душанбе, 24-25 июня 2022 г.).

Публикации по теме диссертации. Результаты исследований автора по теме диссертационной работы опубликованы в 8 научных работах, из них 4 статьи опубликованы в изданиях, входящих в действующий перечень ВАК Российской Федерации, 4 - в трудах международных конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, библиографического списка, содержащего 60 наименований, занимает

77 страниц машинописного текста и набрана на ЕТЕХ. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первая цифра совпадает с номером главы, вторая указывает на номер параграфа, а третья-на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формул в данном параграфе.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Кадамшоев Ноибшо Улфатшоевич

Заключение

Основные научные результаты диссертационной работы

Основные научные результаты работы заключаются в следующем:

• вычислены точные значения константы в неравенства типа Джексона-Стечкина для наилучшего совместного полиномиального приближения функций в пространстве Бергмана В2;

• вычислены точные значения п-поперечников некоторых классов функций в пространстве В2;

• найдены точные верхние грани наилучшего совместного приближения некоторых классов функций в В2.

Рекомендации по практическому использованию результатов

Полученные в диссертационной работе результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Приведенные в ней методы и результаты могут применяться при решении других экстремальных задач теории аппроксимации для аналитических функций многих переменных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кадамшоев Ноибшо Улфатшоевич, 2023 год

Список литературы А) Список использованных источников

[1] Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье функций комплексной переменной в пространстве L2(D,p(z)) // ЖВММФ. - 2010. - T. 50, №6. - C. 999-1004.

[2] Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации // М. Гостехиздат. -1947. - 323 C.

[3] Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле А.Н.Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Матем. заметки. - 1986. - T. 40, №3. - C. 341-351

[4] Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР. - 1958. - T. 22, №5. - С. 631-640.

[5] Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp // Тр. МИАН СССР. - 1967.

- T.88. - C.3-16.

[6] Белый В.И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге // Укр. матем. журнал. -1967. - T. 19, №2. - С. 104-108.

[7] Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного // М.: Наука. - 1969. 240 С.

[8] Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций // Матем. заметки. - 1995.

- T.57, №1. - C. 30-39.

[9] Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. Неравенство типа Колмогорова для аналитических функций одной и двух комплексных переменных и их при-

ложение к теории аппроксимации // Укр. матем. журнал. - 2011. - Т. 63, №12. - С. 1579-1601.

[10] Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства типа Джексона-Стечкина для специальных модулей непрерывности и поперечники функциональных классов в пространстве Ь2 // Матем. заметки. - 2012. - Т. 92, №4.

- С.497-514.

[11] Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Ь2 и поперечники классов функций // Матем. заметки.

- 2016. - Т. 99, № 2. - С. 215-238.

[12] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений // М.: Наука. - 1971.

[13] Двейрин М.З. О приближении функций, аналитических в единичном круге // Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наукова думка. - 1975. вып. 6. - С. 41-54.

[14] Двейрин М.З. Поперечники и ^-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге // Теория функций, функц. анализ и прил. -1975. - Т. 23. - С. 32-46.

[15] Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев: Наукова думка. - 1983. - С. 62-73.

[16] Иванов В.И. Прямые и обратные теоремы теории приближений в метрике для 0 < р < 1 // Матем. заметки. - 1975. - Т. 18, №5. - С. 641-658.

[17] Иванов В.И. Прямые и обратные теоремы теории приближений периодических функций в работах С.Б.Стечкина и их развитие // Тр. ИММ

УрО РАН. - 2010. - T. 16, №4. - C. 5-15.

[18] Корнейчук Н.П. Точная константа в неравенстве Д.Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // ДАН СССР. - 1962. - T. 145, №3. - C. 514-516.

[19] Корнейчук Н.П. О точной константе в неравенстве Джексона для непрерывных периодических функций // Матем. заметки. - 1982. - T. 32, №5.

- C.669-674.

[20] Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения // М.: Наука.

- 1987. - 424 С.

[21] Лигун А.А. О точных константах приближения дифференцируемых периодических функций // Матем. заметки. - 1973. - T. 14, №1. - C. 21-30.

[22] Руновский К.В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространстве Lp, 0 < p < 1 // Матем. сборник. -1994. - T. 185, №8. - C. 81-102.

[23] Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного // М.-Л.: Наука. - 1964. - 440 С.

[24] Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Cер. матем. - 1951. - T. 15, №3. - C. 219-242.

[25] Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Lp, 0 <p< 1 // Матем. сборник. -1975. - T.98, №3. - C. 395-415.

[26] Стороженко Э.А., Освальд П. Теоремы Джексона в Lp(rk) 0 < p < 1 // Сиб. матем. журнал. - 1978. - T. 19, №4. - C. 888-901.

[27] Тайков А.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2 // Матем. заметки. - 1976. - T. 20, №3. - С. 433-438.

[28] Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. - 1967. - T. 1, №2. - C. 155162.

[29] Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. - 1977. - T. 22, №2. - C. 285-295.

[30] Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // УМН. - 1960. - T. 15, №3. -C.81-120.

[31] Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений // МГУ. -1976. - 325 C.

[32] Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из cn // Успех. матем. наук. - 1990. - T.45, №5. - С. 197-198.

[33] Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 // Матем. заметки. - 1967. - T. 2, №5. - C. 513-522.

[34] Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0, 2п) с точной константой // Тр. МИАН. - 1992. - T. 198. - C. 232-241.

[35] Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // ДАН России. - 2002. - T. 383, №2. -С. 171-174.

[36] Шабозов М.Ш. Неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и некоторыми характеристиками гладкости функций в L2

// Матем. заметки. - 2021. - T. 110, №3. - С. 450-458.

[37] Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. О наилучших линейных методах приближения некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Сиб. матем. журн. - 2019. - T. 60, №6. - C. 1414-1423.

[38] Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Hp, 1 < p < 2 // ДАН России. - 2003. - T.394, №4. - C. 399-401.

[39] Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Верхние грани приближения некоторых классов функций комплексной переменной рядами Фурье в пространстве L2 и значения n-поперечников // Матем. заметки. - 2018. -T. 103, №4. - C. 617-631.

[40] Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Среднеквадратичное приближение функций комплексной переменной рядами Фурье в весовом пространстве Бергмана // Владикавк. матем. журнал. - 2018. - T. 20, № 1. - C. 86-97.

[41] Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Среднеквадратическое приближение функций комплексного переменного суммами Фурье по ортогональным системам // Тр. ИММ УрО РАН. - 2019. - T. 25, №2. - C. 258-272.

[42] Шабозов М.Ш., Тухлиев Д.К. О совместном приближении функций и их последовательных производных в пространстве Бергмана // ДАН РТ. -2018. - T.61, №5. - С. 419-426.

[43] Шабозов М.Ш., Хуромонов Х.М. О наилучшем приближении в среднем функций комплексного переменного рядами Фурье в пространстве Бергмана // Изв. вузов. Матем. - 2020. вып. 2. - С. 74-92.

[44] Шабозов М.Ш., Шабозова А.А. Некоторые точные неравенства типа Джексона-Стечкина для периодических дифференцируемых в смысле

Вейля функций в L2 // Тр. ИММ УрО РАН - 2019. - T. 25, №4. - C. 255264.

[45] Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении и точных значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана Bp, 1< p < то // ДАН России. - 2006. - T.410, №4. - С.461-464.

[46] Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН России. -2002. - T.382, №6. - C. 447-449.

[47] Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников // Матем. заметки. - 2011. - T. 90, №5. - C. 764-775.

[48] Fisher S.D., Micchelli C.A. The n-widths of sets of analytic functions // Duke Math. J. - 1980. - T.47. - P. 789-801.

[49] Jackson D. Über die Genauigkeit der Annaheruny stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Frades und trigonometrischen Summen gegebenen Ordnung // Dissertation. Göttingen. - 1911.

[50] Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory // Berlin: Springer-Verlag. Heidelberg. New York. Tokyo. - 1985. - 252 P.

[51] Quade E.S. Trigonometric approximation in the mean // Duke Math. J. -1937. - V.3. - PP. 529-543.

[52] Scheick J. T. Polynomial approximation of functions analytic in a disk // Proc. Amer. Math. Soc. - 1966. - V. 17. - P. 1238-1243.

Б) РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. В журналах, зарегистрированных в реестре ВАК Российской Федерации:

[53] Шабозов М.Ш., Кадамшоев Н.У. Точные неравенства между наилучшими среднеквадратическими приближениями аналитических в круге функций и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Бергмана // Матем. заметки. - 2021. вып. 2. - С. 266-281.

[54] Кадамшоев Н.У. Точные неравенства между наилучшими приближениями и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Бергмана В2 // ДАН РТ. - 2021. - Т. 64, №7-8. - С. 385-392.

[55] Кадамшоев Н.У. О наилучшем совместном полиномиальном приближении функций и их производных в пространстве Бергмана // ДАН РТ. -2022. - Т. 64, № 11-12. - С. 637-645.

[56] Айдармамадов А.Г., Кадамшоев Н.У. О приближении аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН РТ. - 2021. - Т. 64, №5-6. - С. 262-268.

2. В других изданиях:

[57] Шабозов М.Ш., Кадамшоев Н.У. Неравенства между наилучшими совместными полиномиальными приближениями и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Бергмана В2 // Мжнародна науко-ва конференщя " Теоргя наближень г гг застосування", присвячена 100-р1ччю з дня народження М.П.Корнейчука (Дшпро, Украша, 16-19 верес-ня 2020 г.). - С. 66-67.

[58] Кадамшоев Н.У. Точные неравенства между наилучшими среднеквадра-тическими приближениями аналитических в круге функций и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Бергмана // Материалы республиканской научно-практической конференции "Современные проблемы прикладной математики и их роль в формировании технического мировоззрения общества" (Худжанд, 29-30 октября 2021). - С.38-40.

[59] Айдармамадов А.Г., Кадамшоев Н.У. Неравенства между наилучшими совместными приближениями аналитических в круге функций и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Бергмана // Материалы международной научной конференции " Современные проблемы математического анализа и теории функций", посвященной 70-летию академика НАН Таджикистаана М.Ш.Шабозова (Душанбе, 24-25 июня 2022 г.). - С. 16-20.

[60] Айдармамадов А.Г., Кадамшоев Н.У. О наилучшем приближении аналитических функций в весовом пространстве Бергмана В2,7 // Материалы международной научной конференции "Сингулярные интегральные уравнения и дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами", посвященной 70-летию профессора Г.Джангибекова, (Душанбе, 30-31 января 2020 г.). - С. 50-53.