Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди Hp,1≤p≤ x тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Миркалонова, Мохирамо Мирафгановна

• Миркалонова, Мохирамо Мирафгановна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Миркалонова, Мохирамо Мирафгановна

Введение

Глава I. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций в пространстве Харди 1 < р < оо

§1.1. Определения и обозначения

1.1.1. Вспомогательные факты.

1.1.2. Описание модулей непрерывности высших порядков.

1.1.3. Наилучшее приближение функции /(г) Е Н^ П Я^а.

§1.2. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций /(г) Е Нр ^ П Нр}, 1 < р < оо, структурные свойства которых характеризуются модулями непрерывности и гладкости

§1.3. Верхние грани наилучших полиномиальных приближений на некоторых классах аналитических функций, задаваемых усреднёнными с весами модулями непрерывности высших порядков или их мажорантами.

§1.4. О некоторых обобщениях результатов Л.В.Тайкова и Н.Айнуллоева о полиномиальном приближении аналитических функций, принадлежащих классу Нр^а.

Глава II. Точные значения п-поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди

Нр, 1 < р < оо

§2.1. Определения и обозначения п-поперечников, классы функций г) (г)

§2.2. Значения п-поперечников для классов функций И^а,

Ф), \¥1{;\ф).

§2.3. О точных значениях п-поперечников для классов функций

-г(г) тгМ -Лт) /фч тгМ/ф\ 67 •Ггад,а, -г)

§2.4. Точные значения п-поперечников для классов функций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди Hp,1≤p≤ x»

В настоящее время вопросам наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций и вычисления точных значений различных поперечников классов аналитических функций посвящено достаточно много работ, где уже получен целый ряд окончательных результатов. Первые точные результаты по наилучшим полиномиальным приближениям аналитических в круге функций принадлежат К.И.Бабенко [3] и Л.В.Тайкову [33-35]. Именно работа К.И.Бабенко [3] явилась отправным пунктом для получения точных значений колмогоровских поперечников в работах В.М.Тихомирова [36] и Л.В.Тайкова [33]. В последующих работах Л.В.Тайкова [34,35] и Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [2] в норме пространства Харди были получены точные значения поперечников в смысле Колмогорова некоторых классов аналитических в единичном круге функций, граничные значения которых допускают представление сверткой, либо усреднённый модуль гладкости их граничных значений мажорируется заданной функцией. В дальнейшем эта тематика нашла своё отражение в работах М.З.Двейрина [14-16], М.З.Двейрина и И.В.Чебаненко [17], Ю.А.Фаркова [39], S.D.Fisher [40], S.D.Fisher and C.A.Michelli [41], A.Pinkus [29], С.Б.Вакарчука [6-11], М.Ш.Шабозова [43-46], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова [47], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [48] и многих других математиков.

Целью настоящей диссертационной работы является дальнейшее развитие этой тематики, связанной с вычислением точных значений различных поперечников классов функций, аналитических в единичном круге функций, задаваемых модулями непрерывности высших порядков граничных значений производных.

Приводим краткое содержание диссертационной работы.

В первом параграфе первой главы приводятся основные определения и вспомогательные факты, используемые в дальнейшем. Напомним, что функция оо = ^скгк, г = реи, 0 < р < 1, 0 < £ < 2тг к=0

- аналитическая в единичном круге \г\ < 1, принадлежит банахову пространству Яр, 1 < р < сю, если := ||/||Яр = Нт ЛГР(/, р) < оо, р—>-1—о

2тг

1/р

Мр(/, р)

2тг оо.

3 := 11/Ця«, = тах| |/(г)| : < 1}, р

При этом норма функции /(г) Е Нр реализуется на её угловых граничных значениях /(£) := /(егЬ). Всюду далее через 0 < Я < 1 обозначим пространство Харди аналитических в круге \г\ < Н, функций /(г), для которых я,

Символом р,н оо.

Рп-1| Рп-!^) Е Тп-г} обозначим величину наилучшего приближения функции /(г) Е Нр, р > 1 подпространством полиномов "Рп-1 степени не выше п — 1. Производную г-го порядка функции /(г) по аргументу £ комплексного переменного г = регЬ обозначим /а\г), а обычную производную г-го порядка обозначим /^(г). При этом очевидно, что г) =/'(*)■«, №(г) = \/^Ч*

1) г = 2,3,. .

Соответствующие граничные значения производных обозначим через /а\ь) и Через #рГ) (г Е Ж+, Яр0) = Нр) обозначим множество аналитических в единичном круге функций /(г) Е Нр, у которых f^(z) Е Нр,

1 < р < оо. Аналогичным образом, обозначим я£2 = {/(*) € нр, ||/М||р < оо} , 1 < р < оо.

Если функция f(z) Е Нр имеет непрерывные граничные значения f(t) Е Ьр[0, 27г], то их гладкость охарактеризуем скоростью убывания к нулю модуля непрерывности то-го порядка её граничных значений um{f\t)p = sup т , ч в-*: к=О 4 7 (• + (ш — к)т) \т\ < t

1) при £ —> 0, либо зададим скорость убывания к нулю мажоранты некоторой усреднённой величины, содержащей В частности, из (1) для произг) (г) вольной /(г) Е Щ П щ ^ имеем:

00

Ж1, t)2 = 2m sup ^ k2r |c,|2 (1 - cos kr)m : \r\<t\, (2) fc=i oo

Xfirht)2 = 2msup{ £ *lr\ck\2 (I - cos{k - r)r)m : |r|<0, (3) k=r+1 где = /с(/с — 1). (к — r + 1), к > r.

При решении экстремальных задач во всех основных результатах в качестве экстремальной функции выступает функция ш =znE Я<г> П 1 < Р < оо, модуль непрерывности m-го порядка которой в Яр-норме, при всехр Е [1, оо), имеет вид 2mn2r(l - cosn£)"\ О < t < ir/n,

2 ( Ar) m\JO,ai =

2 2mn2r, i > ir/n. ornj

2 ( Ar)

2ma2r(l - cos(n - r)i)m, 0 < t < тг/(п - r),

2ma2 n,r> t > ir/(n — r).

В параграфе 1.2 рассматривается задача нахождения точных значений наилучших полиномиальных приближений функций f(z) £ Н^ П Нр]а, 1 < р < оо, структурные свойства которых характеризуются модулями непрерывности и гладкости. Здесь доказаны следующие утверждения

Теорема 1.2.1 Для любой функции /(г) € Нр^ П Нр}, 1 < р < оо, соответственно для и 6 (0,7г/2п] и и Е (0,7г/2(п — г)], п > г, п Е М, г Е при любом Я (О < Я < 1) справедливы точные неравенства

2и

Еп-ЛЛнрЯ < ^т/(4) о

2и

Еп-1(ЛнрЯ < {П7Г)КП [п>г (5) О и знак равенства в соотношениях (4) и (5) реализуется для /о(г) = гп <Е Н^ПН^а, 1<р<ОС.

Теорема 1.2.2. Для произвольной функции ¡{г) Е Нр}, 1 < р < оо, любого и Е (0,7г/(2п)] и любого Я (0 < Я < 1) справедливо точное неравенство п-1(/)яр,я < V о о

6)

5 частности, при и = п/(2п) из (6) имеем

Еп-1(/)нрЯ < тг/(2 п) тг/(2п)

J (1-8тпж)Жс + п2 J бшпх(1Х о о

Неравенства (6) и (7) обращаются в равенство для функции /0(2) = гп 6 1<Р<оо.

Теорема 1.2.3. Для любой функции f(z) € ЯрУ], 1 < р < оо и любого заданного и £ (0,7г/(2п)] при любом Я (0 < И < 1) справедливо неравенство

Еп-1{ЛнрЯ <

7гЯП 1

2 ипг 7г — 2 1 1 о о

Jбо>2 вт^-хс/гЕ >, п ' и

Ш21ш2 (; 2х'>' (8) и, в частности, п-1(/)яр,я < тг/(2п) тг - 2)п О

7Г/(2П)

J (1 - апш) п п2 J (/(г"2);2х) этпхсйЛ. (9)

Оба неравенства (8) и (9) обращаются, в равенство для функции /о (г) = е Я$, 1 < р < оо.

В третьем параграфе первой главы изложены результаты о точном значении верхних граней наилучших приближений комплексными алгебраическими полиномами некоторых классов аналитических в круге функций, задаваемых модулями непрерывности т-го порядка граничных значений г-ых (г € производных функций в пространстве Харди Н2. Одним из основных результатов третьего параграфа является следующая

Теорема 1.3.2. Пусть /(г) £ Нр\ 1 < р < 2. Тогда для любых чисел т, п,г б М, 1 < д < 2, 0 < 1/ < q(n-r) 1п[п/(п — г)], 0 < /г < тг/(п—г), г < п справедливо неравенство где ащг = гг(п — 1). (п — г + 1), п > г. Неравенство (10) обращается в равенство для функции /о (г) = гп £ Нр\ 1 < р < 2.

Аналогичное утверждение (теорема 1.3.1) доказано для случая, когда структурные характеристики функции /(г) Е Н^а характеризуются усреднёнными значениями модулей непрерывности га-го порядка 2.

Приведём определения и обозначения общего характера, нужные нам в дальнейшем для вычисления точных значений верхних граней наилучших приближений на классах функций.

Пусть по-прежнему Нр, 1 < р < оо - банахово пространство Харди, Ш - некоторое выпуклое центрально-симметричное множество из Нр, Ьп

- произвольное п-мерное линейное подпространство из Нр; £>{НР, Ьп)

- множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих пространство Нр ■ в подпространство Ьп\ С^(Нр,Ьп) - подмножество проекторов из £(Нр,Ьп). Требуется найти следующие аппроксимационные величины:

Еп(Ш)Нр Е(Ш, Ьп)Нр = зпр {Еп(ЛНр : / € Ш} (11)

- приближение фиксированного множества Ш С Нр подпространством Ьп в пространстве Нр\

8п(Ш)Нр^ 8(Ш,Ьп)Нр = inf{sup{||/-A/||Hp: fem}: Л С £Д(ЯР, Ln)} (12)

- наилучшее приближение множества Ж С Нр линейными операторами в пространстве Нр; inf{sup{||/-A/||Hp: fem): А с C^(Hp,Ln)} (13)

- наилучшее приближение множества Ж С Нр проекторами в пространстве Нр. Для величин (11) - (13), согласно определению, выполняются неравенства

Еп(Ж)Нр < Еп(Ш)Нр < Ш)Нр. (14)

Наряду с отысканием точных значений величин (11)-(13), естественный интерес представляет также отыскание тех подпространств Ln с Нр, на которых реализуются соответствующие нижние грани. Такие подпространства называются экстремальными подпространствами.

Пусть Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая при и > О функция такая, что Ф(0) = 0. При любых m,n,r G N, соответственно, при 0 < h < 7г/(п — г), г < п, 1 < q < 2, 0 < и < q(n — г) ln[п/(п — г)], г < п и 0 < h < 7г/п, 1/r < q < 2, 0 < и < rq — 1, определим следующие два класса функций, определяемых мажорантой Ф :

Т-И(ф) -=Т{г){т,п,д,и\Ф) = { /М е Н? : / uUfir\t)2sm^tdt < Ф*(Л)

Г)(Ф) :=Jlr)(rn,n,q,w, Ф) { № 6 я£> :

М,4)2зт"^<Ф «(Л)

Приступая к вычислению величин (11) - (13) в соответствии с утверждениями теорем 1.3.1 и 1.3.2, будем рассматривать следующие случаи: а) Ш = ^(г)(Ф), X = Я2, = Тп-1\ б) Ш = ^(Ф), X = Я2, Ьпг =

Теорема 1.3.3. Длл верхних граней наилучших полиномиальных приближений классов функций при любых т, п, г Е М, ветственно для случаев соота) 0 < /г < 7г/(п — г), г < п, 1<д<2, 0 < ^ < д(п — г) 1п[п/(п — г)]; б"; 0 < /г < тг/п, 1/г < < 2, 0 < V < гц - 1, имеют место равенства

Д„-1(7<Г)(Ф))2 = ^-1(^(Г)(Ф))2 = С1(^(Г)(Ф))2 = 2 а. \ 0

-1/9 тц эт п — г \ ' . „ -к , , Т .,. бш I ( ) ■ 2 п

771^ —Г \ п Атд ■ и71 , эт — эт —¿ас

-1/9 0

Ф(Л).

2 7 """ /г' Из теоремы 1.3.3 вытекает

Следствие 1.3.1. При выполнении всех условий теоремы 1.3.3 имеют место равенства 2-(-i) (n - г) V. ii±i) Ф , n > r, n^i B-i (mq+2U + \ Ф Q , где B(a, b) - бета-функция Эйлера.

В заключительном четвёртом параграфе первой главы приводится обобщение результатов Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова о полиномиальном приблиг) (г) жении аналитических функций, принадлежащих классу щ^Пщ , 1 < р < 2, причём структурные свойства функции f(z) G Hp]"J (^f(z) G Hp^ , 1 < p < 2 полностью характеризуются стремлением к нулю модуля непрерывности т-го порядка wm(/ir); i)p (/(r); производной /ir)(i) (/(г)й), задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой усреднённой величины

Um(far);t)p (u^m(/(r);i)p) В ПреДПОЛОЖвНИИ, ЧТО fa\t) ± COUSt ^ constj г) (г)

Теорема 1.4.2. Для любых функций f(z) G Яр,а П Щ , 1 < р < 2, при всех то, п, г G N w произвольного ¡i G М+, уи > 1 справедливо неравенство

2тп7"1-Еп-1(/)р . sup —----<

7Г/2 ЦП f£HPia С

7^; 2[1 + (м2 - 1) sin/mi] dt о тг/2м J sinmi [1 + (/А2 - 1)sinAii] di > . (15)

Если же п > г, то также верно неравенство

2таП)Г{п-гУ1Еп-1Ц)р<

7г/2Д(П—г) f&H{pr) ' г ' r);2i)2 [1 + (/i2 - 1) sin f-i(ri - r)t] dt

-l

J smmt [1 + (¿¿2 - l)sin/i£] dt I . (16)

При p = 2 верхнюю грань в соотношениях (15) и (16) реализует функция f0(z) = zn е tfg П

Из теоремы 1.4.2 при /j, = 1 вытекает

Следствие 1.4.1. В условиях теоремы 1-4-2 при fi = 1 справедливы равенства

2mnr-lEn^{f)p 2manr{n - r)-lEn^{f)p sup —-— = sup —-—--- = r) fcfr(r) ^/(n-r) у. Ч N /еяр

I Jа um(f^-2t) dt I umlfW-2t) dt

2 J \ У 2 0

2m- 1)!! fm + 1' 2m Г

17)

2 у где Г (а) - гамма-функция Эйлера.

Отметим, что из равенства (17) при т = 1.р — 2 вытекают некоторые результаты работ Н.Айнуллоев и Л.В.Тайкова [2].

Вторая глава диссертации посвящена вычислению точных значений поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций. Отметим, что к настоящему времени в задаче об отыскании точных значений поперечников классов функций одного действительного переменного получен ряд окончательных результатов. Однако, несмотря на изобилие работ по вычислению поперечников для аналитических функций одного комплексного переменного, многие аналогичные проблемы до сих пор остаются нерешёнными. Тем не менее, в некоторых банаховых пространствах аналитических в единичном круге функций уже достигнут значительный прогресс, о котором мы уже упоминали в начале введения.

Основной целью второй главы диссертации является вычисление точных значений поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций, у которых усреднённые модули непрерывности различных порядков угловых граничных значений г-ых производных мажорируются заданной функцией Ф(£), удовлетворяющей определённым ограничениям.

Напомним определения поперечников, значения которых для конкретных классов функций Ш вычислены во второй главе.

Колмогоровским поперечником класса функций в пространстве Харди Нр, 1 < р < оо называют величину с1п{Ш,Нр)=Ы{Е{Ж,Ьп)р : Ьп С Яр}, (18) где нижняя грань берётся по всему подпространству заданной размерности п из пространства Нр. Если исходить из наилучшего линейного приближения £(Ш,Ьп), то величину п(Ш,Нр)=м{е(Ш,Ьп)р: Ьпсяр} (19) называют линейным поперечником класса ЭДТ в пространстве Яр.

Аналогично, взяв за основу величину (13), вводят в рассмотрение проекционный поперечник

7гП(Ш1, Нр) = ^{¿^(ШТ, Ьп) : Ьп С ЯР}. (20)

Существуют ещё две величины, известные в теории приближений под названиями „п-поперечник по Гельфанду" и „п-поперечник по Бернштейну".

Если 5 = {/ Е Яр, \\fWp < 1} - единичный шар в пространстве Яр, то ¿П(ШТ, Яр) = т£ {Ы {ЭЛ ПЬп сев : е > о} : Ьп С Яр} (21) называют поперечником по Гельфанду, а величину

Ь„(9Я; Нр) = вир^р^Я П Ьп+1 СШ: е > о} : Ьп+1 С Нр } (22) называют поперечником по Бернштейну.

Хорошо известно, что между поперечниками (18) - (22) выполняются неравенства:

Ъп{Ш1; Нр) < ЯР < Хп(Ш-, Нр) < тгп(9Л; Нр). (23)

Кроме введённых в четвёртом параграфе первой главы классов функций ^"^(Ф) и ^^(Ф), для которых вычислили верхние грани наилучших полиномиальных приближений в теореме 1.3.3, для той же мажорантной функции Ф(£), в предположении, что Ф(0) = 0, при 0 < £ < 7г/2 введём следующие классы функций:

7Г/п о

7Г/(п-г) л

7г п 1 < р < оо,

П > Г, 1 < р < ОС1. а также следующие классы функций, зависящие от параметра /1 : <1 / е : I ыти£\2г)2 1 + - 1)зт£ < Ф(п) ¡>,

7г£

2и\ £ Н^ : I

7ГI

Шт(/{Г\2Ь)2 [1 + (м2 - 1) —] М < Ф(и) \, где т£М, г ¡1 Е К+, ц. > 1 - произвольное фиксированное число. х

Перечислим основные результаты второй главы об отыскания величин (18) - (22) для вышеперечисленных классов функций. Основным результатом второго параграфа второй главы является

Теорема 2.2.2. Пусть функция Ф(£) для любых А € [0,1] и Ь Е (0, ж] удовлетворяет неравенству

9 7г Ф(Лх) Л , ,

2эт -Л < < —;-т~,-(24)

4 - Ф(ж) - тг/2 - (тг/2 - 1)Л ^ ;

Тогда для любых г, п € М, 1<р<оо справедливы равенства

Яп , /тг п где 7п(-) - любой из поперечников Ьп{•), с/п(•). Множество мажорант Ф(^), удовлетворяющих условию (24), не пусто.

Отметим, что результаты теоремы 2.2.2 являются обобщением результата Л.В.Тайкова, полученного для классов дифференцируемых периодических функций на случай аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству Нр, 1 < р < со. Условию (24) удовлетворяет, например, Ф(£) = ¿7Г//2.

В третьем параграфе, пользуясь результатами теоремы 1.3.3 для классов аналитических функций Тт\ ,а.1 найдены точные значения всех вышеперечисленных поперечников, а именно, доказана следующая

Теорема 2.3.1. Пусть т,п,г Е М, 1 /г < д < 2, 0 < и < гд — 1, О < И < ж/п. Тогда имеют место равенства

Н2) = 2~тП-Г

К тц \

I (вт^вш^Я] . (25) \о

Если же тп, п, г £ М, 1 < < 2, 0 < и < д(п — г) 1п[п/(п — г)], О < /г < 7г/(п — г), п > г, то имеют, место равенства

I Н гпд \

Н2) = 2-а"1, I (ат "" зт" ^ , (26) где в равенствах (25) и (26) 7п(-) - любой ш вышеперечисленных поперечников Ьп(-): йп(■),

Четвёртый параграф второй главы посвящён получению точных значений поперечников в пространстве #2 классов аналитических в круге функций ]¥т}а{Ф, м) и зависящих, кроме мажоранты Ф, ещё и от параметра ¡1 > 1 и определяемых модулями непрерывности т-го порядка. Точные результаты, полученные в теореме 1.4.2, дают для всех поперечников оценку сверху. При получении оценки снизу либо используется теорема В.М.Тихомирова, либо пользуются определением бернштейновского поперечника в каждой конкретной ситуации. Положим эта;)» = | втгс, если 0 < х < 7г/2; 1, если х > 7г/2 }.

Приводим основной результат заключительного параграфа второй главы.

Теорема 2.4.1. Если для любых т,п,г € N с заданным ц > \ и при любых V Е (0,7г/2], соответственно, для и = 7г/(2/лп) и и = 7г/2//(п — г), п > г мажоранта Ф(х) удовлетворяет условию

Ф (и) / эт v п / . \ т

7г£ \

2 иц о

О ч

1 + (^2-1)81П — и < и то ,

9 ч 7ГС 1 + ^1)8т о

И, (27) то для любого натурального п имеют место равенства

7п(<)а(Ф,М),Я2) = 2~тгГг Ф • ^ (28)

7 п т

7Г

2^(п — г)

П> г, (29) где тг/2цк

-1

Зц,к — вт Ы)т [1 + (/12 - 1) эт /1к{\ <И а 7п(-) - любой из поперечников Ьп(-), с1п(-), б?п(-), Ап(-), 7гп(-).

Бее поперечники в соотношениях (28) и (29) реализуются частными суммами Тейлора п-1 к=О

Множество мажорантных функций Ф(я), удовлетворяющих условию (0.0.27), не пусто. Это вытекает из утверждения

Теорема 2.4.2. Множество функций Ф, удовлетворяющих условию (0.0.27), не пусто. Для того, чтобы неравенство (21) имело место для функции Ф*(£) = Ьа с любым т £ N и ц > 1, необходимо и достаточно, чтобы числа а = а(/и) определялись по формуле 1 тгГ пап —

V 2/х, т—1 соя иг 2/1

1 + (ц2 - 1) БШ

-кг

ЛЬ . тгЛ то

1 + (р2 - 1) в!

7г* эт г

Для границы значений числа а = а(ц) справедливо неравенство

2га - 1)!!

2тГ ((га + 1)/2) < га + 1, где Г (и)-гамма-функция Эйлера.