Моделирование многофазных течений в микроканалах с помощью метода функционала плотности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Кудинов, Илья Владимирович

• Кудинов, Илья Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кудинов, Илья Владимирович

Благодарности.

Введение.

1. Обзор методов моделирования многофазных течений.

1.1 Гидродинамический подход.

1.2 Дискретно-кинетический подход.

1.3 Термодинамический подход.

2. Теория метода функционала плотности.

2.1 Общая концепция.

2.2 Статический случай.

2.3 Динамический случай.

2.4 Проверка термодинамической согласованности.

2.5 Аппроксимация у дельной свободной энергии однородной смеси и настройка параметров модели.

3. Численная реализация.

3.1 Описание численной схемы.

3.2 Проверка корректности метода в однофазном случае.

3.3 Проверка корректности метода в многофазном случае.

3.4 О постановке граничных условий на входе и выходе из канала.

4. Исследование вязких эффектов при макроскопическом описании фильтрационных течений.

4.1 Предмет исследования.

4.2 Постановка численного эксперимента.

4.3 Обсуждение результатов и выводы.

5. Двухфазное течение в микроканале с гидродинамической фокусировкой.

5.1 Лабораторные наблюдения.

5.2 Основная серия численных экспериментов.

5.3 Сравнение лабораторной и численной карт режимов.

5.4 Сравнение геометрических характеристик.

5.5 Трехмерные расчеты и влияние свойств смачиваемости.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование многофазных течений в микроканалах с помощью метода функционала плотности»

Настоящая работа посвящена изучению многофазных течений на микромасштабе. Под многофазностью в данной работе будет пониматься наличие в системе нескольких несмешивающихся флюидов (жидкость-жидкость или жидкость-газ), другие случаи многофазных сред, в частности среды с дисперсной твердой фазой, рассматриваться не будут. Под микромасштабом подразумевается такой масштаб, на котором для корректного описания процесса необходимо непосредственно учитывать положение и структуру межфазной границы, и связанные с ней силы поверхностного натяжения. Другими словами, на микромасштабе характерный размер межфазных границ (например, радиус кривизны или длина поверхностной волны) сопоставим с характерным размером задачи. Это имеет место, например, когда рассматриваемая область течения содержит относительно небольшое число включений одной фазы (капель или пузырьков) в объеме другой фазы.

При указанных условиях становится неприменим многоконтинуальный подход, основанный на осредненных характеристиках, который часто используется для описания гетерогенных сред на макромасштабе [21, 22]. Кроме того, необходимость аккуратного воспроизведения поверхностных сил (как на границе жидкость-жидкость, так и на контакте флюида со стенками) при микромасштабном моделировании требует применения специальных методов, существенно выходящих за рамки классической гидродинамики. Единой общепризнанной теории, которая могла бы стать основой для такого моделирования, на сегодняшний день не существует.

Поэтому разработка моделей многофазных микротечений представляет собой интересную задачу с фундаментально-научной точки зрения.

С другой стороны, многофазные микротечения играют важную роль во многих природных, биологических и технических системах. Их понимание и точное количественное описание является крайне важным для различных практических приложений. Так, например, основные технологические процессы при добыче, транспортировке и переработке углеводородного сырья связаны с совместным течением нефти, воды и газа в естественной пористой среде, в элементах трубопроводной системы и в многочисленных других инженерных объектах. Особо необходимо отметить активно развивающееся в последние годы направление по разработке миниатюрных устройств, оперирующих очень малыми объемами жидкостей, от микро- до нано- и пиколитров (microfluidic devices). Наиболее перспективными областями применения подобных устройств должны стать прецизионный химический анализ (в первую очередь, биомедицинские чипы для автоматического проведения тестов с различными биологическими жидкостями) и прецизионный химический синтез (например, в фармацевтическом производстве). Основными преимуществами описанных устройств являются малый расход флюидов и очень точный контроль над их движением и взаимодействием. Это обеспечивается за счет того, что течение в канале субмиллиметрового размера является существенно более устойчивым по сравнению с течением в макроскопических каналах (так как отсутствуют вихревые движения, гравитационные и конвективные эффекты пренебрежимо малы). Однако поведение жидкостей в микросистемах нельзя считать вполне изученным. Зачастую оно может противоречить нашим интуитивным представлениям, основанным на том, что происходит на макромасштабе. Например, из-за выраженной ламинарности микротечений единственным механизмом перемешивания флюидов служит диффузия, что делает процесс перемешивания крайне медленным (и, в частности, снижает скорость химических реакций, если таковые имеют место). Приведенные выше примеры показывают, что микромасштабное моделирование многофазных течений является весьма востребованным с прикладной точки зрения.

Цель настоящей работы состоит в исследовании возможностей метода функционала плотности по моделированию многофазных течений на примере двухфазного течения в микроканале. Метод функционала плотности

8-13] (имеется в виду метод функционала плотности в гидродинамике, его следует отличать от подходов с похожими названиями в других областях физики) позволяет описывать многофазные многокомпонентные жидкие смеси с учетом сил поверхностного натяжения в рамках механики сплошной среды. В отличие от классической гидродинамики, рассматривающей границу между несмешивающимися жидкостями, как непроницаемую поверхность нулевой толщины, на которой материальные характеристики претерпевают разрыв, метод функционала плотности основан на представлении жидких фаз с помощью непрерывных полей с размытыми межфазными фронтами конечной ширины. Такой подход позволяет единым непротиворечивым образом описать всю многофазную систему без выделения поверхностей раздела фаз и введения для них каких-либо специальных законов движения. В методе функционала плотности не возникает принципиальных сложностей, которые неизбежно появляются в классической гидродинамике при попытке учесть силы поверхностного натяжения, в случае изменения топологии межфазной границы в процессе течения (дробление и слияние капель), а также в случае фазовых переходов.

Ранее корректность метода функционала плотности была проверена на ряде задач, допускающих сравнение с аналитическими решениями: распад многокомпонентной смеси на фазы и образование капиллярного скачка давления в соответствии с формулой Лапласа, установление углов смачивания в соответствии с уравнением Юнга, выполнение дисперсионного соотношения для капиллярных волн, выстраивание межфазных поверхностей сложной геометрии вблизи стенок с различной смачиваемостью и др. [8-13, 47, 48]. Целью настоящей работы является сравнение результатов численного моделирования на основе метода функционала плотности непосредственно с лабораторными данными. В качестве основы для такого сравнения была выбрана экспериментальная работа [43], в которой исследовалось двухфазное течение разновязких жидкостей в микроканале квадратного сечения с гидродинамической фокусировкой (то есть с такой системой закачки флюидов [60], при которой более вязкая жидкость подается прямо в основной капилляр, а менее вязкая — через дополнительные боковые каналы, подходящие под прямым углом). Реализующееся при этом течение определяется сочетанием вязких, инерционных и поверхностных сил, поэтому моделирование такого течения требует их аккуратного воспроизведения и является подходящей тестовой задачей для проверки метода. Кроме того, выбор указанной экспериментальной схемы объясняется тем, что она максимально проста, характеризуется только одним линейным размером и является, по сути, плоской, то есть допускает численное моделирование в двумерной постановке.

В экспериментах [43] изучалось течение различных пар несмешивающихся жидкостей сквозь описанную систему микроканалов. При этом варьировались коэффициент поверхностного натяжения, соотношение вязкостей и скорости закачки фаз. На основании наблюдавшихся картин течения авторы выделили пять качественно различных режимов, как дисперсных, так и непрерывных. Далее было предложено классифицировать данные режимы на плоскости (Сах,Са2) капиллярных чисел для каждой из фаз (капиллярное число Са = = , где ц - вязкость флюида, V у у/г характерная скорость течения, у - поверхностное натяжение, О - объемный расход, к - ширина канала). Получить таким образом единую универсальную карту для всех рассмотренных случаев не удалось (для разных пар жидкостей карты несколько отличались). Однако подобное картирование имело смысл, так как позволило выделить общие закономерности переходов одних режимов в другие.

В настоящей работе была проведена серия численных экспериментов, воспроизводящих условия лабораторных опытов. При этом параметры, определяющие материальные свойства флюидов, фиксировались, а скорости закачки фаз менялись таким образом, чтобы диапазон значений (Сах,Саг) совпадал с экспериментальным. Первым важным результатом было то, что все лабораторно-выделенные режимы течения наблюдались и в численных расчетах. Затем по данным моделирования была построена карта режимов и сопоставлена с экспериментальной. Кроме того, некоторые количественные характеристики течений сравнивались с эмпирическими корреляциями, предложенными в работе [43].

Работа имеет следующую структуру. В главе 1 делается обзор различных современных методов моделирования многофазных течений и указывается место метода функционала плотности среди них. Все рассмотренные методы разделены на три класса, которые условно названы «гидродинамическим подходом» (модели, минимально выходящие за рамки классической гидродинамики; основное внимание в этом случае уделяется отслеживанию положения межфазной границы, нахождению ее кривизны и сглаживанию сингулярного члена при расчете поверхностных сил), «дискретно-кинетическим подходом» (модели, основанные на решении упрощенного кинетического уравнения Больцмана в дискретном времени и пространстве) и «термодинамическим подходом» (модели, привлекающие термодинамические представления для описания межфазных границ, которые представляются в виде размытых фронтов). Данная классификация опирается на те базовые физические концепции, которые лежат в основе соответствующих методов (и которые существенно отличаются для каждого класса). Технические аспекты и детали конкретных численных реализаций также рассматриваются, но более кратко (в основном, чтобы дать представление о том, какие задачи и на каких вычислительных мощностях могут быть решены с помощью обсуждаемого метода в настоящее время).

В главе 2 подробно излагается теория метода функционала плотности. Сначала рассматривается статический случай - равновесие многокомпонентной смеси, распадающейся на несколько фаз. Формулируются общие предположения о свойствах функции свободной энергии (в неизотермическом случае - энтропии) в зависимости от распределений молярных плотностей компонент, которые выбираются в качестве параметров состояния системы. Затем на основании вариационного принципа выводится выражение для тензора статических напряжений в неоднородной по пространству (многофазной) среде. Далее выписывается полная система динамических уравнений, опирающаяся на полученное выражение, дополненное тензором вязких напряжений Навье-Стокса. Система замыкается с помощью диффузионного уравнения, обобщающего известный закон Фика. После этого проверяется термодинамическая согласованность системы, то есть выполнение неравенства энтропии (в изотермическом случае - требования диссипативности). В конце главы 2 обсуждается возможная аппроксимация удельной свободной энергии однородной смеси, задание которой необходимо при решении конкретных задач, но которая обычно бывает не известна (в виду того, что не известно точное уравнение состояния смеси). ,

В главе 3 описывается численная схема, применявшаяся для решения полученной системы уравнений. Приводятся результаты тестовых расчетов, демонстрирующие сходимость по сетке численного решения к аналитическому для ряда однофазных однокомпонентных задач, для которых уравнения метода функционала плотности сводятся к классическим уравнениям Навье-Стокса. Затем приводятся примеры расчета модельных двухфазных задач, показывающие адекватное воспроизведение базовых свойств межфазных фронтов, а именно: стремление минимизировать площадь контакта; образование скачка давления, связанного с кривизной поверхности раздела; установление углов смачивания в зависимости от поверхностного натяжения на стенке; распространение капиллярных волн в соответствии с дисперсионным соотношением.

В главе 4 рассматривается задача о течении однофазной вязкой жидкости сквозь модельную пористую среду - решетку из сферических частиц - помещенную между непроницаемыми стенками. Данная задача по своей тематике не относится к области многофазных течений, однако ее решение, во-первых, позволяет еще раз убедиться в корректности кода, с помощью которого выполняются дальнейшие численные эксперименты, а во-вторых, сделать ряд небезынтересных выводов о роли вязких эффектов при макроскопическом описании процесса фильтрации. Эти выводы, по мнению автора, представляют собой самостоятельный научный результат и потому включены в состав диссертации.

Глава 5 посвящена непосредственно исследованию двухфазного течения в микроканале. Сначала более подробно рассказывается об упомянутых выше лабораторных экспериментах, которые были взяты за основу для численного моделирования. Описывается схема экспериментальной установки, а также свойства жидкостей, использовавшихся в опытах, и принципы классификации режимов течения. Приводится карта режимов на плоскости капиллярных чисел и некоторые корреляции, полученные для таких параметров, как характерный размер капель, диаметр жидкой нити и ее критическая длина (расстояние до точки отрыва капли). Затем излагаются детали постановки численных экспериментов (в том числе приводятся значения параметров модели, используемые в расчетах), а также обсуждаются особенности задания граничных условий на входе и выходе из капилляра (схема закачки и отбора флюидов). Далее следуют собственно результаты численного моделирования. Для каждого режима представлены иллюстрации, показывающие формирование и установившуюся картину течения. Затем проводится обсуждение численных результатов и их сопоставление с экспериментальными данными. В первую очередь, делается сравнение лабораторной и численной карт режимов, а также указанных выше количественных характеристик. Излагаются возможные причины наблюдавшихся расхождений. В конце раздела приводятся данные нескольких контрольных численных экспериментов, выполненных в трехмерной постановке (в отличие от основной серии расчетов, которые были двумерными). Эти эксперименты показывают существенное отличие трехмерного случая от двумерного тогда, когда смачиваемость на верхней и нижней стенках не является нейтральной.

Общие выводы по работе завершают диссертацию. В конце приводится список цитированной литературы, состоящий из 82 источников.

Нумерация рисунков и формул начинается с номера главы и ведется независимо внутри каждой из глав.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Кудинов, Илья Владимирович

Выводы

На основании выполненных численных экспериментов по моделированию двухфазного течения в микроканале с гидродинамической фокусировкой можно сделать следующие обобщающие выводы:

1. Все режимы течения, выделенные по результатам лабораторных наблюдений, были воспроизведены при моделировании. Важно подчеркнуть, что это было сделано без введения каких-либо дополнительных параметров и/или подстройки модели под каждый режим конкретно — в численных экспериментах, так же как и в лабораторных, менялись только объемные расходы закачиваемых жидкостей.

2. Построенная по данным численных экспериментов карта режимов на плоскости капиллярных чисел по своей структуре близка к лабораторной, что доказывает правильное воспроизведение базовых закономерностей при смене одного режима другим. Анализ расхождений между положениями границ на численной карте и на лабораторной показывает, что они связаны скорее с особенностями постановки конкретных численных экспериментов и некоторой неполнотой информации о лабораторной установке, а не с недостатками самого метода моделирования.

3. Новым, с физической точки зрения, результатом является демонстрация влияния свойств смачиваемости стенок канала как на количественные, так и на качественные характеристики формирующегося течения. В том случае, когда внешние (горизонтальные) стенки канала обладали преимущественной смачиваемостью для одной из жидкостей, картина течения существенно менялась по сравнению со случаем нейтральной смачиваемости. При этом наблюдались течения, которые не могут быть отнесены ни к одному из ранее выделенных режимов. Процесс установления таких течений мог включать сложную динамику межфазных фронтов и образование таких структур, как «капля в капле».

4. Сопоставление измеренных на основе численного моделирования характеристик течения (таких как диаметр жидкой нити, ее критическая длина, диаметр и продольный размер капель) с лабораторными корреляциями для этих величин показывает их качественное согласие. Для нитеобразного режима течения можно говорить также о неплохом количественном согласии, для остальных же режимов набранная статистика была не достаточна для количественного сравнения.

5. В части теоретического обоснования метода функционала плотности данная работа несколько отличается от монографии [8], в которой основное внимание уделяется формулировке уравнений в самом общем виде и обсуждению их наиболее общих свойств. Напротив, в данной работе подробно рассматривается только изотермический двухфазный двухкомпонентный случай, но при этом приводятся все выкладки, опущенные в монографии, и более детально обсуждается вопрос о термодинамической согласованности (см. раздел 2.4), что представляется важным и полезным с методической точки зрения.

6. Кроме того, существенным результатом настоящей работы является анализ принципиальных различий при постановке граничных условий в однофазном и многофазном случаях (см. раздел 3.4). Наиболее фундаментальное из этих различий заключается в том, что условие постоянства давления на стоке нельзя использовать локально (то есть на выделенной границе расчетной области), допустимо только требовать постоянства среднего давления в некотором объеме. Также были предложены и изучены два подхода к заданию граничных условий на входе в канал (то есть моделированию закачки флюидов).

7. Самостоятельный научный интерес представляют результаты по исследованию макроскопических проявлений вязких эффектов при фильтрационном течении (см. раздел 4). Численные эксперименты на модельных пористых средах показали преобладание вязкой диссипации на границе жидкость-твердое тело над вязкой диссипацией в объеме жидкости даже для очень высокой пористости. Тем самым была обоснована применимость закона Дарси, в котором вместо полного тензора напряжений используется скалярное поле давления.

В целом, весь набор полученных численных данных подтверждает адекватность развиваемого метода на основе функционала плотности при моделировании процесса течения несмешивающихся жидкостей на микромасштабе.

Численные эксперименты, результаты которых представлены в работе, были выполнены с использованием мощностей вычислительной кластерной системы МФТИ-60.

В заключение подчеркнем, что сделанные выше выводы относятся именно к случаю течения через пористую среду, их нельзя распространять на случай течения суспензий. Ситуация, когда твердые частицы переносятся потоком, принципиально отличается от рассмотренной ситуации с частицами, жестко фиксированными в пространстве (даже при равенстве объемных долей твердой фазы).

Представленные в данном разделе результаты были опубликованы в статье [14].

5. Двухфазное течение в микроканале с гидродинамической фокусировкой

Глава посвящена численному моделированию двухфазных микротечений с помощью метода функционала плотности. В первой части раздела излагаются основные характеристики лабораторных опытов [43], которые принимались за образец при проведении численных экспериментов и с результатами которых сопоставлялись полученные данные. Затем описываются детали постановки задач для численного счета и найденные решения. Далее проводится сравнение и обсуждение результатов.

5.1 Лабораторные наблюдения

В экспериментах [43] исследовалось двухфазное течение в микроканале с гидродинамической фокусировкой, то есть с подводом жидкостей таким образом, как показано на рис. 5.1 (впервые подобная схема использовалась в [60]). Система микроканалов была получена с помощью микролитографической разметки и глубокого ионного травления (deep reactive ion etching process) кремниевой пластины толщиной h = 100 мкм (которая перед этим была отполирована с обеих сторон). Затем пластина помещалась между двумя боросиликатными стеклами и скреплялась с ними посредством анодной обработки. Как утверждается авторами работы, данная трехслойная структура не разделялась, не деформировалась и не допускала утечек вплоть до высоких давлений, и кроме того, была химически нейтральна по отношению к использованным жидкостям. Описанная технология производства микрогидродинамических систем была ранее многократно опробирована авторами [44, 45, 46]. Течение создавалось с помощью поршневых микронасосов постоянного расхода. Высокоскоростная видеокамера с дополнительным оптическим увеличением применялась для наблюдения за процессом (при этом экспериментальная установка подсвечивалась снизу). Так как каналы имели квадратное поперечное сечение и пересекались под прямым углом, вся гидродинамическая система имела единственный характерный размер И.

Рис. 5.1. Формирование двухфазного течения в микроканале с помощью гидродинамической фокусировки. Жидкость, подводимая по боковым каналам, фокусирует жидкость, текущую по основному каналу, к его центру - объемные расходы фаз).

Авторы изучали течение различных пар жидкостей, таких как силиконовое масло (полидиметилсилоксан, РБМБ), глицерин и его водные растворы, спирты. В таблице 5.1 приведены основные характеристики этих жидкостей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кудинов, Илья Владимирович, 2010 год

1. Алексеев Б.В., Гришин A.M. Физическая газодинамика реагирующих сред. М.: Высш. школа, 1985. - 464 с.

2. Андерсен Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. Т. 1. — М.: Мир, 1990. — 392 с.

3. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. - 208 с.

4. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2005. 544 с.

5. Беляев А.Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации. М.: Наука, 2004. - 200 с.

6. Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики. М.: Высш. школа, 1981. - 536 с.

7. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. -456 с.

8. Демьянов А.Ю., Динариев О.Ю., Евсеев Н.В. Основы метода функционала плотности в гидродинамике. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2009. -312 с.

9. Демьянов А.Ю., Динариев О.Ю. Моделирование течений многокомпонентных многофазных смесей методом функционала плотности II Изв. РАН. МЖГ, № 6, с. 100-112, 2004.

10. Динариев О.Ю. О гидродинамическом описании многокомпонентной многофазной смеси в узких порах и тонких слоях // ПММ, Т. 59, вып. 5, с. 776-783, 1995.

11. Динариев О.Ю. Течение в капилляре с поверхностно-активными стенками. Метод функционала плотности // Изв. РАН МЖГ, №. 2, с. 141-148, 1997.

12. Динариев О.Ю., Евсеев Н.В. Описание течений двухфазных смесей с фазовыми переходами в капиллярах методом функционала плотности // Инж.-физ. журнал, Т. 78, № 3, с. 61-67, 2005.

13. Динариев О.Ю., Евсеев Н.В. Применение теории функционала плотности для расчета течений трехфазных смесей с фазовыми переходами // Инж.-физ. журнал, Т. 80, № 6, с. 173-180, 2007.

14. Евсеев Н.В., Кудинов И.В. К вопросу о вязких эффектах при макроскопическом описании течения через пористую среду // Изв. РАН. МЖГ, № 3, с. 120-128, 2009.

15. Кондауров В.И. Механика и термодинамика насыщенной,пористой среды. М.: МФТИ, 2007. - 310с.

16. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированной среды. М.: МФТИ, 2002. - 256 с.

17. Кудинов И.В., Евсеев Н.В. Моделирование двухфазного течения в микроканале с помощью метода функционала плотности // Мат. Моделирование, Т. 22, № 8, с. 83-96, 2010.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. Ч. 1. М.: Наука, 1976. - 584 с.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6: Гидродинамика. — М.: Наука, 1986. 736 с.

20. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Ч. I. М.: Наука, 1965.-639 с.

21. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. I. — М.: Наука, 1987. -464 с.

22. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. II. М.: Наука, 1987. - 360 с.

23. Скрипов В.П., Скрипов А.В. Спинодальный распад // УФН, Т. 128, вып. 2, с. 193-231, 1979.

24. Хуанг К. Статистическая механика. М.: Мир, 1966. - 520 с.

25. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. -М.: Изд-во иностр. лит., 1960. — 510 с.

26. Ширко И.В., Парфус В.О. Вязкие свойства течений несжимаемой жидкости в анизотропной и неоднородной гранулированной среде // Теорет. основы хим. технологии, Т. 38, № 6, с. 592—603, 2004.

27. Anderson D.M., McFadden G.B., Wheeler А.А. Diffuse-interface methods in fluid mechanics // Annu. Rev.FluidMech., V. 30, p. 139-165, 1998.

28. Antanovskii L.K. A phase-field model of capillarity // Phys. Fluids, V. 7, No. 4, p. 747-753, 1995.

29. Ashgriz N., Poo J.Y. FLAIR: Flux line-segment model for advection and interface reconstruction // J. Comput. Phys., V. 92, p. 449-468, 1991.

30. Aulisa E., Manservisi S., Scardovelli R. A surface marker algorithm coupled to an area-preserving marker redistribution method for threedimensional interface tracking // J. Comput. Phys., V. 197, p. 555-584, 2004.

31. Badalassi V.E., Ceniceros H.D., Baneijee S. Computation of multiphase systems with phase field models // J. Comput. Phys., V. 190, p. 371-397, 2003.

32. Bhatnagar P.L., Gross E.P., Krook M. Model for collision processes in gases // Phys. Rev., V. 94, p. 511, 1954.

33. Boyer F., Lapuerta C., Minjeaud S., Piar B., Quintard M. Cahn-Hilliard/Navier-Stokes model for the simulation of three-phase flows // Transp. Porous Med., V. 82, N. 3, p. 463^183, 2010.

34. Bourlioux A. A coupled level-set volume-of-fluid algorithm for tracking material interfaces // In Proc. 6th Int. Symp. Comput. Fluid Dyn., Lake Tahoe, CA, 1995.

35. Broadwell J.E. Study of rarefied shear flow by the discrete velocity method II J. FluidMech., V. 19, p. 401^-14, 1964.

36. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy II J. Chem. Phys., V. 28, N. 2, p. 258-267, 1958.

37. Cahn J.W. Free energy of a nonuniform system. II. Thermodynamic basis // J. Chem. Phys., V. 30, N. 5, p. 1121-1124, 1959.

38. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a nonuniform system. III. Nucleation in a two-conponent incompressible fluid // J. Chem. Phys., V. 31, N. 3, p. 688-699, 1959.

39. Ceniceros H.D., Nos R.L., Roma A.M. Three-dimensional, fully adaptive simulations of phase-field fluid models // J. Comput. Phys., V. 229, Issue 17, p. 6135-6155, 2010.

40. Chen Sh., Doolen G.D. Lattice Boltzmann method for fluid flows // Annu. Rev. FluidMech., V. 30, p. 329-364, 1998.

41. Chin J., Boek E.S., Coveney P.V. Lattice Boltzmann simulation of the flow of binary immiscible fluids with different viscosities using Shan-Chen microscopic interaction model // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, V. 360, p. 547-558,2002.

42. Coussy O. Poromechanics. Chichester: Wiley, 2004, 315 p.

43. Cubaud T., Mason T.G. Capillary threads and viscous droplets in square microchannels II Phys. Fluids., V. 20, Issue 5, 053302, 2008.

44. Cubaud T., Mason T. G. Folding of viscous threads in diverging microchannels ¡/Phys. Rev. Lett., V. 96, 114501, 2006.

45. Cubaud T., Mason T. G. Swirling of viscous fluid threads in microchannels II Phys. Rev. Lett, V. 98, 264501, 2007.

46. Cubaud T., Ho C.-M. Transport of bubbles in square microchannels // Phys. Fluids., V. 16, 4575, 2004.

47. Dinariev O.Yu. Thermal effects in the description of a multicomponent mixture using the density functional method // J. Appl. Maths Mechs, V. 62, No. 3, p. 397^405, 1998.

48. Dinariev O.Yu., Evseev N.V. Description of viscous-fluid flows with a moving solid phase in the density-functional theory // J. Eng. Phys. Thermophys., V. 80, No. 5, p. 918-926, 2007.

49. Eringen A.C., Suhubi E.S. Elastodynamics. V. I: Finite Motions. New York and London: Academic Press, 1974, 341 p.

50. Frisch U., Hasslacher B., Pomeau Y. Lattice-gas automata for the Navier-Stokes equations // Phys. Rev. Lett., V. 56, p. 1505-1508, 1986.

51. Gibou F., Chen L., Nguyen D., Baneqee S. A level set based sharp interface method for the multiphase incompressible Navier-Stokes equations with phase change // J. Comput. Phys., V. 222, Issue 2, p. 536-555, 2007.

52. Glimm J., Bryan O.M., Melnikoff R., Sharp D.H. Front tracking applied to Rayleigh-Taylor instability // SIAM J. Sei. Stat. Comput., V. 7, p. 230-251, 1986.

53. Hardy J., de Pazzis O., Pomeau Y. Molecular dynamics of a classical lattice gas: transport properties and time correlation functions // Phys. Rev. A., V. 13, p. 1949-1961, 1976.

54. Hirt C.W., Nichols B.D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries II J. Comput. Phys., V. 39, p. 201-225, 1981.

55. Hu X.Y., Adams N.A. A multi-phase SPH method for macroscopic and mesoscopic flows II J. Comput. Phys., V. 213, p. 844—861, 2006.

56. Huang H., Lu X.-Yu. Relative permeability and coupling effects in steady-state gas-liquid flow in porous media: A lattice Boltzmann study // Phys. Fluids, V. 21, 092104, 2009.

57. Jacqmin D. Calculation of two-phase Navier-Stokes flows using phase-field modeling///. Comput. Phys., V. 155, p. 96-127, 1999.

58. Knight J.B., Vishwanath A., Brody J.P., Austin R.H. Hydrodynamic focusing on a silicon chip: mixing nanoliters in microseconds // Phys. Rev. Lett., V. 80, N. 17, p. 3863-3866, 1998.

59. Lafaurie B., Nardone C., Scardovelli R., Zaleski S., Zanetti G. Modelling merging and fragmentation in multiphase flows with SURFER // J. Comput. Phys., V. 113, p. 134-147, 1994.

60. Lamorgese A.G., Mauri R. Diffuse-interface modeling of liquid-vapor phase separation in a van der Waals fluid // Phys. Fluids, V. 21, 044107, 2009.

61. Lowengrub J., Truskinovsky L. Quasi-incompressible Cahn-Hilliard fluids and topological transitions // Proc. R. Soc. Lond. A, V. 454, p. 2617-2654, 1998.

62. Marchandise E., Geuzaine Ph., Chevaugeon N., Remacle J.-F. A stabilized finite element method using a discontinuous level set approach for the computation of bubble dynamics // J. Comput. Phys., V. 225, p. 949-974, 2007.

63. Monaghan J. Simulating free surface flows with SPH // J. Comput. Phys., V. 110, p. 399-406, 1994.

64. Noh W., Woodward P. Simple Line Interface Construction. In Proc. 5th Int. Conf. Fluid Dyn. V. 59, Lect. Notes Phys. Ed. A. van de Vooren, P. Zandbergen, p. 330-340, Berlin: Springer-Verlag, 1976.

65. Nourgaliev R.R., Dinh T.N., Theofanous T.G., Joseph D. The lattice Boltzmann equation method: theoretical interpretation, numerics and implications II Int. J. Multiphase Flow, V. 29, p. 117-169, 2003.

66. Okuzono T. Smoothed-particle method for phase separation in polymer mixtures //Phys. Rev. E, V. 56, p. 4416-4427, 1997.

67. Onuki A. Dynamic van der Waals theory // Phys. Rev. E., V. 75, 036304, 2007.

68. Osher S., Sethian J.A. Fronts propagating with curvature-dependent speed: algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations // J. Comput. Phys., V. 79, p. 12-49, 1988.

69. Osher S., Fedkiw R.P. Level set methods: an overview and some recent results II J. Comput. Phys., V. 169, p. 463-502, 2001.

70. Papatzacos P. A model for multiphase and multicomponent flow in porous media, build on the diffuse-interface assumption // Transp. Porous Med., V. 82, N. 3,p. 443^62, 2010.

71. Premnath K.N., Abraham J. Simulations of binary drop collisions with a multiple-relaxation-time lattice-Boltzmann model // Phys. Fluids, V. 17, 122105, 2005.

72. Ryskin G., Leal L.G. Numerical solution of free boundary problems in fluid mechanics. Part 2: Buoyancy-driven motion of a gas bubble through a quiescent liquid // J. Fluid Mech., V. 148, p. 1-36, 1984.

73. Scardovelli R., Zaleski S. Direct numerical simulation of free-surface and interfacial flow II Annu. Rev. Fluid Mech., V. 31, p. 567-603, 1999.

74. Sethian J.A., Smereka P. Level set methods for fluid interfaces // Annu. Rev. Fluid Mech., V. 35, p. 341-372, 2003.

75. Shan X., Doolen G. Multicomponent lattice Boltzmann model with interparticle interaction H J. Stat. Phys., V. 81, p. 379-393, 1995.

76. Sussman M., Smereka P. Axisymmetric free boundary problems // J. Fluid Mech., V. 341, p. 269-294, 1997.

77. Sussman M., Smith K.M., Hussaini M.Y., Ohta M., Zhi-Wei R. A sharp interface method for incompressible two-phase flows // J. Comput. Phys., V. 221, p. 469-505, 2007.

78. Tryggvason G., Bunner B., Esmaeeli A., Juric D., Al-Rawahi N., Tauber W., Han J., Nas S., Jan Y.-J. A front-tracking method for computations of multiphase flow II J. Comput. Phys., V. 169, p. 708-759, 2001.

79. Van der Waals J.D. The thermodynamic theory of capillarity under the hypothesis of a continuous variation of density // English translation: J. Statist. Phys., V. 20, p. 197-244, 1979.

80. Zheng H.W., Shu C., Chew Y.T. A lattice Boltzmann model for multiphase flows with large density ratio // J. Comput. Phys., V. 218, p. 353-371, 2006.