Математическое моделирование двухфазной конвекции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Елкин, Константин Евгеньевич

• Елкин, Константин Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Елкин, Константин Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР НАУЧНЫХ РАБОТ

2. ОБОСНОВАНИЕ И ВЫВОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

2.1. Некоторые оценки рассматриваемых физических процессов

2.1.1. Осаждение частиц угля в воде

2.1.2. Подъем пузырьков воздуха в воде

2.1.3. Падение капель дождя в воздухе

2.2. Математические модели двухфазной конвекции для среды, состоящей из жидкости и взвешенных в ней малых частиц

2.3. Уравнения глубокой конвекции атмосферы, записанные в форме «вихрь-функция тока»

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСАЖДЕНИЯ ОБЛАКА ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В ВОДЕ

3.1. Параметры расчетной области

3.2. Расчет движения частиц

3.3. Вязкая постановка задачи движения жидкости

3.4. Невязкая постановка задачи движения жидкости

3.5. Достоверность модели

3.6. Результаты расчетов

4. ПОДЪЕМ СТРУЙКИ ПУЗЫРЕЙ В ЖИДКОСТИ

4.1. Основные допущения

4.2. Модель пузырька

4.3. Моделирование движения среды пузырьков

4.4. Моделирование движения жидкости

4.5. Результаты расчетов

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВОЗДУХА, ВЫЗВАННОГО ПРОЛИВНЫМ ДОЖДЕМ

5.1. Физическая постановка задачи

5.2. Математическая постановка задачи

5.3. Результаты расчетов

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЗВЕСИ В ОТСТОЙНИКЕ

6.1. Краткое описание моделируемого отстойника

6.2. Обоснование применимости предлагаемой модели

6.3. Математическая модель течения

6.4. Алгоритм и результаты расчетов 115 ВЫВОДЫ 119 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование двухфазной конвекции»

В зависимости от сил, вызывающих перемещение среды, различаются свободная, вынужденная и капиллярная конвекции. Свободная конвекция возникает под действием архимедовых сил в поле силы тяжести, если имеют место неоднородности плотности в отдельных местах среды, которые возникают в результате наличия в жидкости или газе разницы температур или концентраций примеси. В настоящей работе не рассматривается конвекция по тепловым причинам, но рассматривается перемещение двухфазной среды вследствие неравномерного распределения концентрации примеси. Далее мы будем называть это двухфазной конвекцией.

Актуальность темы диссертации. Как физическое явление, двухфазная конвекция известна уже достаточно давно. Например, известно, что группа осаждающихся частиц в жидкости увлекает её за собой [1]; струйка всплывающих в воде пузырей также влечет за собой воду[2] - на этом принципе, в частности, успешно работают фильтры для аквариумов; падающий в атмосфере обильный ливень создаёт нисходящие потоки воздуха[2]. Достаточно обширный класс экологических задач сталкивается с необходимостью учета двухфазной конвекции. Таковы, например, задачи расчета очистных отстойников, различных барботажных и флотационных аппаратов, задачи об осаждении примеси в водоемах или атмосфере.

Однако, несмотря на столь широкую известность явления, математическое моделирование его развито относительно слабо. Существуют в основном экспериментальные работы и эмпирические оценочные формулы на их основе [3],[4]. Задачи двухфазной конвекции, как правило, имеют дело с малыми осаждающимися частицами, такими, что время их релаксации на порядки меньше характерного времени процесса. Численное решение уравнений движения для таких частиц необходимо проводить на очень мелких расчетных сетках, что требует применения мощных компьютеров с большим объемом памяти. Поэтому, с точки зрения экономической целесообразности проще было использовать упомянутые эмпирические формулы. Естественно, они не позволяют полностью описать и рассчитать процесс двухфазной конвекции, поскольку создавались для описания конкретных явлений и имеют довольно узкую область применимости. Разработка практически применимой математической модели, учитывающей основные физические процессы, и определяет актуальность темы диссертационного исследования.

Цель работы состоит в разработке математической модели конвекции двухфазных сред, вызванной разницей концентрации примеси. Эта цель реализована посредством математического описания процесса, разработкой на его основе численных алгоритмов и расчетом конкретных физических задач. При этом не ставилась задача полного моделирования рассмотренных процессов. Поэтому многие факторы, - такие, например, как теплообмен, коагуляция и диспергирование частиц, другие виды межфазного и внутрифазного взаимодействия, - не учитывались. Физические задачи смоделированы лишь настолько, насколько необходимо для иллюстрации способа применения предлагаемых математической модели и алгоритмов.

Научная новизна работы:

1. Разработана и обоснована математическая модель двухфазной конвекции в гравитационном поле, вызванной разностью концентрации дисперсной фазы.

2. На основе расчетов осаждения облака частиц угля в воде показано, что двухфазная конвекция существенно влияет на скорость и время осаждения частиц даже при небольших градиентах объемных концентраций последних.

3. На примерах расчета двухфазной конвекции воздуха при проливном дожде и движения жидкости при барботаже показаны широкие возможности применения предлагаемой математической модели для решения различных задач.

4. С использованием полученной модели произведен расчет отстойника промышленных вод жалюзийного типа.

Достоверность представленных результатов обеспечивается применением широко известных и успешно применяемых численных схем, параметрическими исследованиями полученной модели и сравнением результатов расчета с экспериментальными данными других авторов.

Практическая ценность работы. Математическое моделирование двухфазной конвекции может широко применяться в решении целого спектра экологических задач. В настоящей работе показаны способы расчета некоторых из них: осаждение мелкодисперсной примеси в воде, барботажный процесс в жидкости, конвективное движение воздуха во время дождя. Аналогично могут решаться и другие задачи о переносе примеси в жидкости или газе. Алгоритм расчета проточного очистного отстойника, полученный с использованием моделирования двухфазной конвекции, может быть использован непосредственно при проектировании очистных сооружений. Материалы диссертационного исследования используются на физико-техническом факультете ТГУ при подготовке студентами курсовых и дипломных работ.

На защиту выносятся следующие положения диссертационной работы:

1. Математическая модель двухфазной конвекции и ее математическое обоснование с учетом сделанных допущений;

2. Алгоритмы и результаты расчета задач, связанных с двухфазной конвекцией;

3. Методика расчета проточного отстойника жалюзийного типа, применяемого для очистки промышленных сточных вод.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международной конференции «Сопряженные задачи механики и экологии» (Томск, ТГУ, 1998), Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, НИИПММ, 1998), XVI Международной школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1998), Всероссийской научной конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, НИИПММ, 1999), Всероссийской научной конференции «Байкальские чтения по математическому моделированию процессов в синергетических системах» (г.Улан-Уде, 1999), VI Всероссийской научно-технической конференции «Механика летательных аппаратов и современные материалы» (Томск, ТГУ, 1999г.), Школе-семинаре «Современные проблемы физики и технологии» (Томск, СФТИ, 2000г.).

Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в семи печатных работах [5-11].

Содержание работы. Первая глава диссертации посвящена обзору литературы по теме. В ней рассмотрены как экспериментальные, так и теоретические работы по двухфазным средам и их конвекции, методам расчета осаждения частиц и их влиянию на движение несущей среды. При этом учитывались работы как отечественных, так и зарубежных авторов, начиная с классических и до самых свежих.

Во второй главе развита математическая модель двухфазной конвекции. Здесь же приведены необходимые допущения и установлены границы применимости предлагаемой модели. В частности, модель справедлива для частиц, время релаксации которых мало по сравнению с характерным временем процесса. Кроме того, масштаб запаздывания частиц по импульсу относительно среды должен быть пренебрежимо мал по отношению к масштабу импульса смеси, а для вязких течений это отношение должно быть мало по сравнению с обратным числом Рейнольдса. В отличие от известных уравнений глубокой конвекции сформулированная модель не предполагает малости возмущений скорости и учитывает силы плавучести Архимеда. Разработан эффективный метод решения полученных уравнений в форме «вихрь-функция тока», позволяющий не рассчитывать поле давления среды.

Третья глава посвящена математическому моделированию осаждения облака угольных частиц в воде. Анализ научной литературы и проведенные на основе полученной модели численные расчеты показали, что двухфазная конвекция может вносить существенный вклад в скорость осаждения облака твердых частиц в жидкости. Опровергнуто общепринятое мнение о том, что при объемных концентрациях облака частиц, меньших 1 %, скорость осаждения облака не отличается от скорости осаждения индивидуальной частицы. Показано, что при гораздо меньших концентрациях эти скорости могут быть не просто неравными, а отличаться на порядки. Расчет осаждения облака твердых частиц в воде показал качественную картину, хорошо согласующуюся с описанными в экспериментальных работах. Это дает основания утверждать об адекватности применяемой модели.

В четвертой главе проводится расчет конвективного движения воды при подъеме в ней струйки пузырьков воздуха. Проведенные исследования позволяют сделать вывод о том, что предлагаемая математическая модель двухфазной конвекции с успехом может применяться для описания конвективного течения жидкости, вызванного всплытием пузырьков. В результате расчетов получено, что струйка пузырьков воздуха, поднимающихся в воде, создает значительное конвективное движение последней.

Моделирование и расчет конвективного движения воздуха при ливневом дожде проводится в пятой главе. В отличие от общепринятых уравнений глубокой конвекции, модель двухфазной конвекции не пользуется предположением о малости возмущений 9 скорости воздуха. Как показывают наблюдения, эти возмущения в конвективном облаке весьма существенны. Расчеты были проведены в приближении воздуха идеальным газом. Считалось, что дождь состоит из одинаковых капель и падает с неизменным расходом. Рассматривалось только механическое воздействие капельной влаги на воздушные массы. Несмотря на упрощения, результаты расчетов указывают на согласование с данными наблюдений.

В шестой главе приведен пример расчета промышленного проточного отстойника жалюзийного типа. Результаты сравнивались с данными эксперимента на модельной установке, приведенными в работе [12]. Полученная диаграмма распределения частиц, осевших в контрольном месте, совпадает с экспериментальной по максимуму распределения и диапазону диаметров осевших частиц. Таким образом, предлагаемая модель может быть рекомендована для решения задач проектирования таких установок.

В заключительной части диссертационной работы подведен краткий итог проведенным в диссертации исследованиям и намечены пути дальнейшей работы.

1. ОБЗОР НАУЧНЫХ РАБОТ

Среди гетерогенных сред по типу составляющих часто различают многофазные и многокомпонентные среды. В частности, Горбис З.Р. в [13] замечает, что двухфазная среда - это суть одно и то же вещество, находящееся в разных фазовых состояниях (например, вода и пар), а двухкомпонентная среда - это смесь различных веществ. Однако, большинство последующих публикаций о механике неоднородных газов и жидкостей не акцентируют внимания на разности этих понятий и оперируют термином «многофазные среды». Поэтому, в настоящей работе традиция данной терминологии будет продолжена, и неоднородные газы и жидкости мы будем называть многофазными средами.

Многофазная среда представляет собой совокупность нескольких сред, каждая из которых относится к своей составляющей смеси, и вместе они занимают один и тот же объем. В физико-математическом представлении многофазная среда может быть многоскоростным или односкоростным континуумом. Односкоростным континуумом называют такую многофазную среду, в которой все составляющие смеси движутся как одно целое, а движение компонентов друг относительно друга отсутствует либо пренебрежимо мало. Очевидно, что при моделировании движения таких сред целесообразно «забыть» об их неоднородности и, пользуясь осредненными параметрами, считать их сплошными.

Отдельный интерес представляют многоскоростные среды. В них существенную роль играют относительное движение фаз, их взаимные превращения и теплообмен между ними. Представления многоскоростной сплошной среды для описания различного рода неоднородных систем начали использовать уже достаточно давно. Отметим работы Н.Е. Жуковского по механике жидкости в пористых средах, В.М. Маккаваева и М.А. Великанова по движению наносов, С.Г. Телетова [14] по движению парожидкостных потоков.

В пятидесятые годы ряд вопросов гидродинамики неоднородных сред разрабатывали H.A. Слезкин [15] (движение пульпы), Г.И. Баренблат [16,17] (движение взвешенных частиц в турбулизованном потоке), Ф.И. Франкль [18], С.Г. Телетов [14] (получение гидродинамических уравнений двухфазной среды методом осреднения), И.Г. Шапошников [19] (математическое моделирование бинарной конвекции), G.F. Carrier [20] (гидродинамика газовзвеси) и другие ученые.

В 1956 году Х.А. Рахматулин [21] предложил систему уравнений механики смеси сжимаемых фаз, впервые сформулировав их как движение взаимопроникающих континуумов. Эта система включала уравнения массы и импульса каждой фазы, давления которых (условие совместного деформирования) полагались одинаковыми. Весьма существенно, что Х.А. Рахматулин использовал схему силового взаимодействия между фазами, соответствующую именно многофазной среде, а не многокомпонентной. То есть считается, что каждая фаза занимает один и тот же объем, в то время как каждая компонента должна занимать свой элементарный объем. В этой связи следует указать, что впервые такая схема была предложена Н.Е. Жуковским в 1889г., а Х.А. Рахматулин в своей работе её развил, на что, кстати, он сам же и указывает. Система Х.А. Рахматулина замыкалась баротропными уравнениями состояния.

Уравнения баланса массы, импульса и энергии составляющих многоскоростного континуума в общем виде, близком к современному, получил С. Truesdell [22] в 1957 г. Аналогичные уравнения также в общей постановке позднее рассматривали A.C. Eringen и V.D. Ingram [23]. В этих работах, помимо упомянутых уравнений, были записаны уравнения сохранения моментов количества движения составляющих. Кроме этого, A.C. Eringen и V.D. Ingram из интегральных балансовых соотношений массы, импульса, момента импульса и энергии, помимо дифференциальных уравнений, получили в общем виде и соответствующие уравнения сохранения для каждой составляющей на поверхности разрыва.

В целом ряде исследований, последовавших за работой С. Truesdell'a, нет четкого разделения смесей на гомогенные и гетерогенные и их различного описания. Все эти работы посвящены получению балансовых уравнений многоскоростного континуума, а также рассмотрению основных термодинамических аспектов. При этом в качестве термодинамических параметров используются средние плотности составляющих, что характерно лишь для гомогенных, а не гетерогенных смесей.

Большой вклад в механику многоскоростных континуумов внесли А.Н.Крайко и JT.E. Стерний [24]. Они обобщили уравнения Х.А. Рахматулина, использовав уравнения энергии смеси п частиц на случай нереагирующей смеси газа с несжимаемыми частицами, когда в общем случае нельзя пользоваться условием баротропии. Аналогичные, но более частного вида уравнения гидромеханики газовзвесей использовали ранее G.F. Carrier [20], G. Rubinger [25], а позднее P. Panton [26] методом осреднения получил их на случай одномерного стационарного движения.

В 1967 году Р.И. Нигматулин [27] предложил систему гидромеханических уравнений двухфазной дисперсной смеси, в которой могут происходить фазовые переходы. В следующей работе [28] эти представления обобщаются на случай полидисперсной смеси, а в работе [29] им представлены общие методы построения модели реагирующей смеси вязких сжимаемых фаз. В статье [30] предложена двухскоростная двухтемпературная с двумя давлениями модель двухфазной дисперсной смеси сжимаемых фаз с учетом поверхностных (капиллярных) эффектов, эффектов радиальных пульсаций включений (пузырей), мелкомасштабных течений вокруг них.

Что касается моделирования конвективных движений, то первой в начале исследований в этой области была книга Г.А. Остроумова [31]. Её результаты нашли отражение в книге Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [32], где впервые в учебной литературе с математической и физической позиций строго поставлена задача о свободной конвекции. С тех пор и по настоящее время подавляющее большинство работ выполняется на основе модели Обербека-Буссииеска [32, 33], имеющей существенные ограничения. Кроме того, в справочной и учебной литературе под свободной конвекцией обычно понимается преимущественно тепловая гравитационная конвекция, хотя исследования и приложения этого вида движения намного шире.

В современной научной литературе свободной конвекцией называются течения без заданной внешней скорости, происходящие под действием массовых или поверхностных сил. Их классификация может происходить как по типу действующих сил, так и по характеру рабочих сред, а также по сопряжению с другими процессами. Фундаментальным отличием свободной конвекции от вынужденной является то, что эти течения развиваются в результате потери устойчивости равновесия или вследствие отсутствия равновесия. В процессе установления равновесия развиваются нестационарные течения, которые, хотя и имеют характер, существенно отличающийся от стационарной конвекции, но также должны включаться в общую классификацию свободной конвекции. Об этом, в частности напоминает Полежаев В.И. в работе [34].

Явление свободной конвекции в процессе установления равновесия в двухфазных средах заметили уже достаточно давно. Так, в 1949 году A.M. Мороз и Я.И. Френкель проводили опыты с осаждением облачка суспензии в чистой дисперсионной среде. В качестве суспензии использовалась взвесь алюминиевой пудры в вазелиновом масле. Облачко такой суспензии осаждалось в чистом вазелиновом масле. Обнаружилось, что при падении облачко ведет себя как капля посторонней жидкости, падает коллективно и со скоростью, во много раз превышающей скорость падения отдельных зерен пудры. Авторы утверждают, что стабильность формы обусловливается вихревым движением, которым оказывается охваченной подобная капля [35]. В 60-х годах как в отечественной, так и в зарубежной печати появляется целая серия статей об экспериментах с осаждением облака частиц. В 1963 году Slack G.W. описал наблюдения за формой облака частиц, опускающихся в вязкой среде. Опускающееся облако приобретает чашеобразную форму, которую автор объясняет тем, что частицы, расположенные в верхней части облака, опускаются быстрее и «догоняют» тех, что находились в нижней части [36]. Позднее Jayaweera в соавторстве с Mason'ом и тем же Slack'ом изучали осаждение малых групп одинаковых шариков, свободно падающих в вязкой жидкости при числах Рейнольдса шариков от 10"4 до 101. Получено, что скорость падения группы во всех случаях больше, чем каждого отдельного шарика. И она тем больше, чем ближе шарики находятся друг к другу [37]. В 1966 году Хоргуани В.Г. опубликовал результаты своих наблюдений за падением системы частиц одинаковых размеров [38]. В его экспериментах исследовалось падение системы металлических шариков в глицерине. Для проведения опытов использовался прозрачный сосуд размерами 30x30x180 см, помещенный в термобарокамеру. Вязкость глицерина менялась в таких пределах, что числа Рейнольдса падающих шариков менялись от 10"5 до 10. Устройство сброса частиц было устроено таким образом, что система частиц имела диаметр около 12 см, хотя были опыты и с большими диаметрами системы. Всего им было проведено более 400 опытов, которые показали, что скорость движения системы частиц одинаковых размеров под действием силы тяжести больше, чем скорость осаждения одной изолированной частицы того же размера. При этом система частиц перемещается как одно целое, захватывая среду. Кроме того, в работе делается вывод, что при прочих равных условиях скорость движения среды уменьшается с ростом числа Рейнольдса и растет с увеличением общего числа частиц и уменьшением расстояния между ними. Им было также замечено, что отношение скорости движения системы частиц к скорости индивидуальной частицы будет уменьшаться, когда система заполняет весь диаметр сосуда. Очевидно, причиной здесь будет являться не стесненное падение, как утверждает автор, а уменьшение градиента концентрации частиц по сечению сосуда, что приводит к замедлению движения жидкости. Общая качественная картина оседания системы одинаковых частиц описывается автором в следующем виде. с

При числах Рейнольдса от 10" до 10" после сброса система частиц принимает форму шаровидного облака, в котором в процессе падения направление движения отдельных частиц по краям системы противоположно движению системы в целом. При этом с увеличением начального расстояния между частицами частота циркуляции частиц в системе быстро уменьшается. При больших концентрациях за системой появляется хвост из отдельных частиц.

Несколько по-иному ведет себя система частиц с числами Рейнольдса от 0.1 до 10. Если начальное расстояние между частицами меньше 7-8 диаметров частиц, то система при осаждении «рассыпается», то есть частицы при падении «разбегаются» друг от друга [38]. Далее падающая система частиц вытягивается в облако воронкообразной формы, в котором всегда появляются частицы-лидеры. Появляется тенденция к спариванию частиц, что и обусловливает наличие лидеров.

В работе была проведена также визуализация движения среды. В середине экспериментального сосуда взвешивались частицы полистирола, и на них сбрасывалась система рабочих частиц. При этом часть взвешенных частиц смещалась вниз по направлению падения системы на расстоянии 30-50 см. Автор объясняет это увлечением среды. Позднее он же опубликовал наблюдения по визуализации движения жидкости при циркуляции в падающей системе частиц [39]. Для этого перед осаждением системы в глицерин бросались окрашенные краской шарики, которые оставляли за собой тонкие прямые следы. Деформации этих линий в процессе осаждения системы частиц наглядно показывают как окружающая среда частично обтекает и частично просачивается сквозь систему.

В эти же годы проводились эксперименты с осаждением частиц в воздухе. Одними из первых такие опыты проводила группа исследователей во главе с Петровой Г.М. [40]. Суть работы заключается в том, что с самолета сбрасывается искусственное аэрозольное облако частиц, затем на земле замеряется концентрация осевших частиц и строится картина полученного следа. В большинстве случаев на земле образовывался след с двумя максимумами концентрации. Предполагается, что это происходит в результате резкого разделения облака на две части примерно на высоте сброса. Вследствие этого часть облака оседает как целое, а отделившиеся от облака частицы рассеиваются под действием турбулентной диффузии независимо друг от друга. Полученные в работе формулы позволяют определить коэффициенты турбулентного рассеяния частиц по положению экстремальных точек на следе. Однако предложенная схема не объясняет механизма образования облака, а только описывает статистическую картину рассеяния при «пылящем» источнике. При этом постулируется некоторая предельная концентрация, определяющая характер распределения составляющих облако частиц. При концентрациях, меньших этой величины, частицы распространяются независимо, как пассивная примесь; при больших концентрациях - как единое облако.

В работе [41] Мирошкина А.Н. и Петрова Г.М. пошли дальше. В ней приведены данные о скорости оседания видимой части аналогично образованного облака, вычисленные по траектории его движения и по положению ближнего максимума поверхностной концентрации. В описанных опытах величина концентрации облака даже в начальной стадии его развития была не очень велика. По достаточно грубым оценкам она л составляла не более 10 частиц на 1 см . И даже при таких концентрациях авторами делается вывод о том, что скорость оседания такого облака в несколько раз превосходит скорость гравитационного оседания составляющих его частиц. В этой же работе авторы также установили, что существенную роль в поведении облака играет стратификация атмосферы. По-видимому, первоначально созданный импульс в виде облака мелкодисперсных частиц поддерживается в результате взаимодействия со средой. Средняя скорость оседания облака в неустойчивой атмосфере составляет 0.6 м/с. В устойчивой стратификации наличие слоя инверсии и изотермии приводит к уменьшению средней скорости оседания облака до 0.2-0.3 м/с.

Исследование того же явления в лабораторных условиях проводили Калов Х.М. и

Хоргуани В.Г. В их совместной работе [42] дано краткое описание лабораторной экспериментальной установки для исследования движения отдельных частиц, а также систем полидисперсных частиц в неподвижном воздухе. Приводятся методика и техника экспериментов по определению скорости отдельных частиц и их систем, а также некоторые результаты опытов. Авторами экспериментально показано, что скорость падения системы частиц превосходит скорость падения отдельной частицы с диаметром, равным максимальному диаметру частиц из данного спектра распределения размеров. Величина отношения этих скоростей прямо пропорциональна величине концентрации частиц в системе и числу Рейнольдса. В работе приводятся также данные показывающие зависимость счетной концентрации частиц, скорости их падения, объема системы частиц и безразмерного расстояния между ними от времени падения системы.

В более поздней работе Калов Х.М. критикует эти исследования на том основании, что в случае соизмеримости горизонтального сечения падающей системы частиц с диаметром поперечного сечения камеры экспериментальной установки влияние стенок на характер и скорость падения становится значительным [43]. В этой же работе он представляет исследования по осаждению системы частиц в воздухе в полевых условиях. В отличие от работы [41], здесь приведены также закономерности изменения диаметра горизонтального сечения и высоты облака частиц со временем падения системы и значения скорости оседания облака. В работе [44] Калов Х.М. в соавторстве с Хоргуани В.Г. пошли дальше и на основании сделанных опытов предложили эмпирическую зависимость скорости оседания облака полидисперсных частиц от массы сбрасываемого порошка. Кроме того, определено пороговое значение счетной концентрации частиц, ниже которого, по данным их экспериментов, частицы не увлекают за собой воздух. Эта о величина равна 100 см" , что на порядок отличается от значения, определенного в работе [41]. Видимо, причиной такого расхождения является то, что авторы не учитывали состояния атмосферы, на необходимость чего указывается в упомянутой статье.

Опыты по изучению процесса осаждения аэрозольного облака в атмосфере продолжались и в дальнейшем. Так, в 1984 году группа ученых во главе с Беляевым В.П. опубликовала результаты своих исследований, в которых наблюдался такой процесс с частицами, сброшенными с самолета на высоте 3000-5000 м [45]. Ими проводились оценки скорости и характера осаждения облака. Разделение частиц на фракции ими объясняется не только «вымыванием» частиц из облака во время движения, но и различной дисперсностью частиц. Ими также подтвержден тезис работы [41] о зависимости скорости оседания от стратификации атмосферы. Кроме того, получены предварительные данные о структуре полей пульсаций температуры вертикальных движений внутри аэрозольных облаков, свидетельствующие о наличии в их зонах нисходящих движений.

Двухфазная конвекция наблюдается также и при подъеме пузырей газа в жидкости. Облако пузырей, поднимающееся со дна водоема, также увлекает за собой жидкость, создавая конвективное движение. Это явление, в частности, запечатлено на фотографиях в обзоре Скорера Р. [2]. Павлов В.П. в своей кандидатской диссертации [46] обратил внимание на аналогичный процесс в химической технологии. Он показал, что в барботажных аппаратах с высоким слоем жидкости наблюдается циркуляция газожидкостной смеси, причиной которой предположительно является неравномерность газосодержания по радиусу аппарата.

О конвективных движениях воздуха, вызванных падающим дождем, в 1951 году писал в книге о грозах Колобков Н.В.[47]. Он утверждал, что в результате таких движений распадаются конвективные грозовые облака.

Таким образом, факт существования конвективных течений в процессе установления равновесия в двухфазных средах уже давно доказан наблюдениями за естественными процессами и экспериментами.

Одной из первых математических моделей таких течений является модель полупродуваемого шара. Она описана в работах Фукса Н.А. [3], Бусройда Р. [4] и других. Согласно этой модели, систему падающих частиц предлагается рассматривать как шар, испытывающий при падении лобовое сопротивление среды. Сила аэродинамического сопротивления для такого шара сравнивается с суммарной силой, действующей на каждую из падающих частиц. В случае существенного превышения последней над первой имеем непродуваемое облако, и среда полностью обтекает его. Для свободно движущегося облака это означает, что частицы облака полностью увлекают за собой среду и неподвижны по отношению к ней. Если же сила сопротивления, действующая на облако как единый шар, много больше суммарной силы, то облако продувается средой. Можно вывести также отношение скорости полного обтекания к скорости полного продувания. По нему можно предсказывать какой режим будет характерен для данного облака. В работе [3] отмечается, что такой коэффициент впервые был получен М. Смолуховским в 1912 году для случая, когда и облако, и частицы движутся по закону Стокса. Данная модель является эмпирической и лишь оценочной. Чтобы предсказать характер обтекания облака, нужно, во-первых, чтобы оно было сферическим, а во-вторых, знать скорость его опускания, чтобы вычислить коэффициент аэродинамического сопротивления. Кроме того, большую погрешность вносит постулат о том, что сферическая форма облака постоянна. В противном случае необходимо знать его скорость в каждый момент времени, что уже лишает смысла всякое моделирование.

Другое эмпирическое соотношение для оценки скорости опускания аэрозольного облака ввели авторы работы [48]. По данным наблюдений они построили зависимость между массой сбрасываемого порошка и скоростью оседания системы частиц. Скорость, вычисляемая по формуле из [3], оказалась меньше наблюдаемой. Авторы объясняют это тем, что с поверхности системы при ее падении срываются частицы, поэтому уменьшаются трение и сопротивление среды.

Чисто теоретически первое приближенное решение было получено для системы из двух шарообразных частиц, падающих под действием силы тяжести. Такая постаовка была решена Смолуховским [49], Бургерсом [50], Стимсоном и Джефри [51] и другими авторами. Много позднее Волковым П.К. была решена задача о подъеме линейной цепочки пузырей в вертикальном канале с вязкой жидкостью [52]. В лагранжевой системе координат он рассмотрел стационарное движение цепочки пузырей под действием силы Архимеда. При этом получены критерии захвата пузырями окружающей среды при подъеме.

Возвращаясь к облаку частиц, отметим, что еще в описаниях Фукса было указано на то, что движение сферического облака частиц аналогично движению сферической капли жидкости в другой жидкости. Внутри падающего облака, как и в жидком шаре, развиваются торообразные вихревые течения. Это подтверждается и в наблюдениях указанных выше авторов. Основываясь на факте такого вихревого кольца, Калажоков Х.Х. выдвинул полуэмпирическую теорию движения системы частиц грубодисперсных аэрозолей в вязкой среде [53]. При некоторых упрощающих предположениях им построена полная система уравнений динамики вихревого кольца и сформулированы динамически согласованные начальные условия. В рамках указанной модели рассмотрены стационарная и квазистационарная задачи движения системы одинаковых частиц в вязкой среде. Результаты решения стационарной задачи удовлетворительно согласуются с экспериментом.

Первой чисто теоретической моделью конвективного движения двухфазной среды в процессе установления равновесия была модель, предложенная Шапошниковым И.Г. в 1953 году. В работе [54] им были выведены и обсуждены основные уравнения слабых гравитационно-температурных и гравитационно-концентрационных явлений в бинарной смеси. Состояния среды, в которой происходит конвекция, считались не слишком отличающимися от равновесных состояний. Используются также пренебрежения теории слабой гравитационно-температурной конвекции. Пренебрегается диссипацией энтропии и считается, что все величины зависят лишь от температуры и концентрации, причем зависят настолько слабо, что можно ограничиться разложениями первого порядка. В качестве параметров, характеризующих смесь в данной точке, кроме скорости смеси, выбраны отклонение температуры и отклонение концентрации от средних по пространству и времени. Итоговая система уравнений содержит уравнение переноса импульса с учетом градиента давления, вязкости смеси и источниковым членом, учитывающим изменение веса смеси в данной точке в связи с отклонениями концентрации и температуры; уравнение переноса отклонения температуры, учитывающее диффузию и темодиффузию; уравнение переноса отклонения концентрации, также учитывающее обе диффузионные составляющие; уравнение неразрывности смеси. Среди недостатков модели отметим её предназначенность лишь для гомогенной смеси газов с малыми градиентами концентрации примеси. В гетерогенной смеси в уравнении переноса отклонений концентрации в конвективных членах необходимо брать не скорость смеси, а скорость данного компонента, которая отличается от скорости несущей среды на величину равновесной скорости осаждения.

Последний указанный недостаток предлагает исправить С.Л. Лебедев. В своей работе [55] он рассматривает влияние перемещения облачных капель относительно воздуха на водность облака. С учетом этого влияния выводится уравнение, описывающее изменение влагосодержания в облаке. Одной из основных функций, входящих в это уравнение, является средневзвешенная скорость падения капель, причем учитывается её зависимость от водности. В итоге в уравнение сохранения водности облака предлагается добавлять член, учитывающий скорость гравитационного падения капель.

Первая модель облачной конвекции с осадками была предложена японским ученым Т. Такес1а. В работах [56, 57] он сравнивал развитие облачной конвекции в потоке со сдвигом и без него. В частности, его численные эксперименты показали, что распределение капельной влаги влияет на динамику кучевого облака. В работе [58] он предположил, что в облаке имеются капли семи размеров с радиусами 1, 5, 20, 100, 200, 1000 и 3000 мкм. Капли с радиусами до 20 мкм считались облачными, а с радиусами свыше 100 мкм - дождевыми. Предполагалось, что образование капель и изменение их размеров происходит под действием конденсации, испарения, коагуляции, а также дробления крупных капель. Замерзание, сублимация и таяние не рассматривались. Начальное возмущение задавалось в виде локального перегрева насыщенного влагой объема воздуха шириной 4 км и высотой 2 км с однородным распределением в нем капель

•з радиусом 1 и 5 мкм с концентрацией 100 см" для каждого вида капель. Им было также изучено влияние на дальнейшее развитие начального возмущения различных видов вертикального сдвига ветра.

К настоящему времени накопилась уже масса различных моделей развития конвективных кучево-дождевых облаков. Уже в 1981 году были рассчитаны трехмерные поля более десяти метеопараметров на сетке с 105 узлами с учетом нелинейной турбулентности, процессов зарождения капель на ядрах и их дальнейшего конденсационного роста, коагуляции облачных и дождевых капель, дробления последних, выпадения осадков, электрических явлений [59]. Сложность моделирования таких облаков приводит к тому, что стремление к составлению полного обзора моделей заведомо нереалистично. Остановимся на основных посылках, касающихся воздействия осадков на конвективные движения воздуха в облаках. Они были собраны и изложены в обзоре Пастушкова P.C., включенном в книгу [59].

1. Конвективные облака состоят из смеси сухого воздуха, водяного пара и капельной влаги. Последняя может быть разделена на «облачную», состоящую из полностью увлекаемых потоками воздуха мелких облачных капель, и «не облачную», образуемую более крупными дождевыми каплями, средняя взвешенная скорость гравитационного оседания которых сравнима по абсолютной величине со средними вертикальными скоростями воздуха. Горизонтальные движения воздуха полностью увлекают как облачные, так и дождевые капли.

2. Величина удельной водности (масса капель в единице массы воздуха) значительно меньше единицы и её механическое влияние целесообразно учитывать лишь при определении увлечения воздуха капельной влагой. Скорость падения дождевых и облачных капель является квазиустановившейся, так что сила трения их о воздух равна их весу.

3. Линейные масштабы составляют 10° - 101 км, характерные значения скоростей, возмущения давления, плотности (температуры), удельной водности и коэффициентов турбулентности равны соответственно 10° - 102 м/с, 10"1 - 10° мб, 10° - 101 г/м3 (10"1 - 10° °С), 10"1 - 101 г/кг, 102 - 103 м2/с. Таким образом, силой Кориолиса можно пренебречь, а гидростатическое и геострофическое приближения не выполняются.

4. Значения метеорологических элементов в зоне конвекции могут быть представлены в виде суммы их начальных значений и зависящих от пространственных координат и времени возмущений, - то есть так, как это делал Шапошников И.Г. в [54].

5. Атмосфера сжимаема, но возмущения плотности определяются лишь возмущениями температуры и влажности и не зависят от возмущения давления.

6. В уравнениях движения и неразрывности возмущениями плотности можно пренебречь всюду, кроме как при определении веса атмосферной частицы.

7. Характерные скорости конвективных движений намного меньше звуковой. Поэтому в уравнении энергии изменения давления играют гораздо меньшую роль, чем изменения температуры и влажности, и ими можно пренебречь.

При моделировании развития конвективного кучево-дождевого облака используются различные математические постановки задачи. В общем случае система уравнений и граничные условия состоят из нескольких связанных между собой частей (блоков). Один из блоков, описывающих гидродинамику облака, включает: уравнения движения, выражающие закон сохранения количества движения влажного воздуха; уравнение неразрывности для смеси воздуха и влаги; уравнение сохранения энергии; уравнение состояния влажного воздуха; уравнения сохранения для каждой из рассматриваемых в модели фаз воды. Для моделирования обратного влияния падающих капель дождя на воздух (увлечения ими воздуха) в третьем уравнении движения существует два всегда отрицательных слагаемых, описывающих действие веса взвешенных облачных частиц и сил трения частиц осадков о воздух. При этом используется одно из упрощений Буссинеска. В уравнениях движения возмущениями плотности пренебрегается всюду, кроме как при определении веса частицы. Предположение же Буссинеска о том, что возмущения плотности при развитии конвекции вызываются в основном возмущениями температуры (а не массовой доли влаги и давления), в настоящее время уже не используется.

Помимо рассмотренного включается блок, описывающий микрофизические процессы и иногда включают блок для описания электрических процессов. Модельная система уравнений дополняется вспомогательными выражениями для скоростей гравитационного оседания частиц осадков, обводнения ядер конденсации, коэффициентов захвата коагулирующих частиц и рядом других. Список блоков моделей увеличивается при учете влияния радиации и взаимодействия конвекции с подстилающей поверхностью.

На практике в целях упрощения реализации поставленных задач используется возможность пренебрежения теми или иными процессами. Наиболее часто пренебрегают влиянием электрических и радиационных эффектов. Кроме того, используется прием, в соответствии с которым упрощенно (параметрически) учитываются либо гидродинамические эффекты, либо эффекты, связанные с фазовыми переходами.

Что касается конвекции вязкой жидкости, вызванной опусканием в ней системы частиц, то С.Л. Лебедев и О.Н. Сабиева в своей работе [60] справедливо критикуют полуэмирическую теорию Калажокова Х.Х., опирающуюся на экспериментально установленный факт образования вихревого кольца при опускании облака частиц. Дело в том, что приоцесс возникновения этого тора им не рассматривается. Предполагается, что облако и тор - одна и та же область, а плотность облака в этой области постоянна по координате. Эти и некоторые другие предположения, на которых строится теория, плохо соответствуют действительности. Поэтому теория Калажокова содержит уравнения, решения которых не могут отражать многих деталей рассматриваемого процесса. Взамен авторы работы [60] предлагают модель, состоящую из уравнений движения жидкости, уравнения переноса объемной плотности примеси и уравнения неразрывности жидкости. В уравнении движения жидкости по вертикали присутствует член, являющийся Архимедовой силой, действующей на облако частиц, а в уравнении переноса примеси учитывается относительная скорость фаз, как предлагается одним из авторов в упомянутой выше работе [55]. Интересен способ исключения давления в уравнениях движения, который подробно описан в [61]. Суть его состоит в том, что силы давления и веса жидкости представляются "ответными" на "активные" силы, выраженные остальными членами уравнения движения. Считая далее силы давления не зависящими от горизонтальных координат, на каждом вертикальном слое их можно представить в виде потока вектора "активных" сил через горизонтальное сечение расчетной области, отнесенного к площади этого сечения. В "активные" силы входят все оставшиеся члены уравнения движения, кроме содержащего частную производную от скорости жидкости по времени. Временем установления относительного движения частиц в среде в данной модели пренебрегается. На основе предложенной модели авторами был произвден расчет первых 6 секунд опускания системы железных шариков в глицерине. Численный эксперимент показал, что вихревого торообразного кольца при опускании облака не образуется.

Одной из последних публикаций на эту тему является работа Куксенко Б.В. с соавторами [62]. В ней рассматривается процесс осаждения облака частиц песка в воде в осесимметричной постановке. Считается, что частицы имеют сферическую форму.

Концентрация их рассматривается вплоть до соприкосновения частиц. Вязкостью жидкости в модели пренебрегается, за исключением взаимодействия частиц с жидкостью. Не учитываются также поверхностные эффекты. Общая система уравнений включает уравнение переноса объемной концентрации частиц, учитывающее ее источники и стоки; уравнения движения смеси, учитывающее диффузионные напряжения смеси; уравнение неразрывности смеси с учетом диффузионного потока оседающих частиц и уравнение диффузионного переноса потока частиц. На границах области задаются нулевые нормальные скорости и нулевой поток частиц. В начальный момент задается положение облака частиц, вся система находится в покое. Авторы провели также численный эксперимент, результаты которого представили в виде картин распределения частиц в разные моменты времени и качественного описания процесса.

Недостатками работы можно назвать следующие обстоятельства. Во-первых, при допущении о том, что диаметры частиц во много раз больше молекулярно-кинетических размеров, авторы тем не менее утверждают диффузионный механизм взаимодействия частиц и жидкости. Во-вторых, не вполне понятно, откуда взят и как получен применяемый авторами метод учета взаимодействия частиц между собой при соответствующих концентрациях последних. В-третьих, абсолютно никаких сведений авторы не дали о численной схеме расчета. Говорится лишь о полученных результатах. И наконец, вопрос о достоверности модели остался никак не освещенным.

Как было указано выше, явление двухфазной конвекции наблюдается также и в жидкости с пузырьками. Одну из первых моделей этого явления предложили Меныциков В.А. и Аэров М.Э. [63]. Они рассматривали циркуляцию газожидкостной смеси в барботажном слое. Такая циркуляция обусловлена градиентом плотности газожидкостного слоя. Его возникновение авторы объясняют тем, что пузыри одинакового размера у стенки барботажной колонны поднимаются медленнее, чем в центре. Постелено более мелкие пузыри оттесняются к стенкам, а а более крупные - в центр колонны.

Поскольку циркуляция вызвана профилем газосодержания, профиль скорости циркуляции авторы предлагают определять через измеренный профиль газосодержания. По предложенным формулам были проведены оценочные вычисления. Очевидно, недостатком модели является ее жесткая зависимость от эмпирического соотношения (профиля газосодержания).

Иной подход предлагают Шульц Э.З. и Дильман В.В.в своей работе [64]. Их подход основан на энергетическом балансе в слое. Энергия, которую газ сообщает жидкости в единицу времени, вычисляется как разность между работой политропического расширения и работой, затрачиваемой на преодоление наружного давления. Энергия, теряемая газом при прохождении сквозь слой жидкости, реализуется в дальнейшем в виде осредненного движения жидкости в масштабе всей колонны и в виде локального движения жидкости в пространстве между соседними пузырями, которой можно пренебречь. Численные расчеты по полученной формуле для скорости хорошо согласуются с известными экспериментальными данными, полученными при атмосферном давлении.

Рассмотрим далее математические модели осаждения аэрозолей в атмосфере и конвективных движений воздуха в связи с этим. Как правило, необходимость таких моделей возникает при расчетах переноса примесей в атмосфере. Такими задачами много занимался Марчук Г.И. [65,66]. Одной из его последних работ с соавторами является работа [66]. В ней построена математическая модель распространения загрязняющих примесей в атмосфере с учетом кинетики конденсации парообразных составляющих этих примесей на естественном атмосферном аэрозоле. Модель предназначена для расчета дальнего переноса примесей и сопровождающих его конденсационных процессов. В качестве входных параметров модель позволяет использовать данные о полях метеоэлементов из существующих банков данных. Модель применена для расчета полей концентрации двуокиси серы и паров серной кислоты, а также спектров частиц образующегося кислотосодержащего аэрозоля в трехмерной сеточной области, охватывающей большую часть территории Европы. Проведенные расчеты позволили выделить локальные области повышенного присутствия кислотосодержащего атмосферного аэрозоля. Однако вовлечение воздуха оседающими частицами в его моделях никак не учитываются, несмотря на необходимость этого, доказанную различными упомянутыми выше авторами.

Другой пример задачи о переносе примеси в атмосфере рассмотрен в книге Белолипецкого В.М. и Шохина Ю.И. [67]. Авторы вслед за Марчуком Г.И. процесс переноса и диффузии примеси предлагают описывать уравнением переноса с диффузионными членами, где различаются коэффициенты горизонтальной и вертикальной турбулентных диффузий. При описании распространения тяжелых аэрозолей ими предлагается в конвективных членах уравнения переноса корректировать вертикальную составляющую скорости среды на величину Стоксовой скорости осаждения частиц. Но скорость среды ими никак не корректируется в связи с влиянием осаждения частиц.

Подводя итог рассмотренным работам, можно сделать следующие выводы. К настоящему времени математический аппарат механики двухфазных сред разработан достаточно глубоко. Однако с точки зрения конвекции, вызванной неоднородностью концентрации дисперсной фазы, существование и значительность которой подтверждены рядом экспериментальных работ, математические модели еще можно совершенствовать. Наиболее развито моделирование таких конвекционных процессов в метеорологии, а именно при моделировании развития кучево-дождевых облаков. Но эти задачи не претендуют на универсальность постановок, поскольку ограничены физикой конкретного метеорологического процесса. Все задачи о конвекции, вызванной падающей влагой атмосферных осадков, связаны с малыми относительными массовыми концентрациями последних в дисперсионной среде, и поэтому упрощения, принимаемые при

29 моделировании, не вносят существенной погрешности в расчеты. В случае же больших концентраций погрешность становится значительной. Моделированию конвекции при таком содержании дисперсной фазы посвящена настоящая работа.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Елкин, Константин Евгеньевич

ВЫВОДЫ

Основными результатами проведенных исследований являются следующие.

1. Математически обоснована и сформулирована математическая модель двухфазной конвекции, вызванной неоднородностью концентрации частиц примеси. Выведены основные условия, налагаемые на параметры течения и типы составляющих, при которых полученная модель будет справедлива. В частности, модель справедлива для частиц, время релаксации которых мало по сравнению с характерным временем процесса. Кроме того, масштаб запаздывания частиц по импульсу относительно среды должен быть пренебрежимо мал по отношению к масштабу импульса смеси, а для вязких течений это отношение должно быть мало по сравнению с обратным числом Рейнольдса. Полученные при этих условиях уравнения двухфазной конвекции не содержат малых параметров при производных, не предполагают малости возмущений среды и могут решаться стандартными численными методами. В отличие от известных уравнений глубокой конвекции, модель конвекции в случае малых возмущений плотности среды не предполагает малости возмущений скорости и учитывает силы плавучести Архимеда.

2. Разработан эффективный метод решения полученных уравнений в форме «вихрь-функция тока», позволяющий не рассчитывать поле давления среды.

3. Систематический анализ научной литературы и проведенные на основе полученной модели численные расчеты показали, что двухфазная конвекция может вносить существенный вклад в скорость осаждения облака твердых частиц в жидкости. Опровергнуто общепринятое мнение о том, что при объемных концентрациях облака частиц, меньших 1 %, скорость осаждения облака не отличается от скорости осаждения индивидуальной частицы. Показано, что при гораздо меньших концентрациях эти скорости могут быть не просто неравными, а отличаться на порядки. Обнаруженный эффект может существенно изменить имеющиеся представления и подходы к решению различных технических и экологических задач, связанных с выпадением частиц.

4. Расчет осаждения облака твердых частиц в воде показал качественную картину, хорошо согласующуюся с описанными в экспериментальных работах. Это дает основания утверждать об адекватности применяемой модели.

5. Предложенная математическая модель может применяться не только при расчете взвесей твердых частиц в жидкости. Расчеты показали эффективность модели в приложении к расчетам двухфазной конвекции в воде с пузырьками воздуха и в воздухе с падающими каплями воды.

6. Модель двухфазной конвекции адаптирована к описанию глубокой конвекции атмосферы. В отличие уравнений глубокой конвекции в полученной модели не использовалось предположение о малости возмущений скорости воздуха. Несмотря на то, что воздух при дожде считался в приближении идеального газа, результаты расчетов указывают на согласование с данными наблюдений.

7. В качестве практического применения модели проведен расчет проточного отстойника жалюзийного типа. Полученная диаграмма распределения частиц, осевших в контрольном месте, совпадает с экспериментальной по максимуму распределения и диапазону диаметров осевших частиц. Таким образом, предлагаемая модель может быть рекомендована для решения задач проектирования таких установок.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Елкин, Константин Евгеньевич, 2000 год

1. Хоругани В.Г. О характере движения и скорости системы частиц. Всесоюзная межвузовская конференция по вопросам испарения, горения и газовой динамики дисперсных систем. Тезисы докладов. Одесса, 1965

2. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды. М.: Мир, 1980

3. Фукс H.A. Механика аэрозолей. М.: Изд-во АН СССР, 1955

4. Бусройд Р. Течение газа со взвешенными частицами. М.: Мир, 1975

5. Васенин И.М., Дьяченко Н.Н., Дьяченко JI.H., Пермяков О.Е. Моделирование работы отстойника жалюзийного типа. Избранные доклады Международной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике», т.2, Механика, ч.2, Томск, 1997.

6. Горбис З.Р. Теплообмен и гидромеханика дисперсных сквозных потоков. М.: Энергия, 1970

7. Телетов С.Г. Вопросы гидродинамики двухфазных смесей. // Вестник Моск. ун-та. Математика, механика, астрономия, физика, химия, 1958, №2, с. 15-27

8. Слёзкин Н.А. Дифференциальные уравнения движения пульпы. // Доклады АН СССР,1952, 86, №2

9. Баренблатт Г.И. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке, занимающем полупространство или плоский открытый канал конечной глубины. // ПММ, 1955, 19, №1, с. 61-88

10. Баренблатт Г.И. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке. // ПММ, 1953,17, №3, с.203-274

11. Франкль Ф.И. Уравнения энергии для движения жидкостей со взвешенными частицами // Доклады АН СССР, 1955, 102, №5

12. Шапошников И.Г. К теории конвективных явлений в бинарной конвекции // ПММ,1953, 17, №5, с.604-606

13. Carrier G.F. Shock waves in a dusty gas // J. Fluid Mech., 1958, 4, #4, 376-382

14. Рахматулин X.A. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // ПММ, 1956, т.20, вып.2, с. 184-195

15. Truesdell С. On the foundation of mechanics and energetic. Continuum mechanica. Vol.11. Rat. Mech. Materials. New York London - Paris, Gordon and Breach Sci. Publ., 1965

16. Эринген А. Ингрэм Д. Теория сплошных сред при химических реакциях // Механика. Сб. переводов, 1966, №1, с.113-128

17. Крайко А.Н., Стернин J1.E. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами // ПММ, 1965, т.29, №3, 418-429

18. Rubinger G. Some properties of shock relaxation in gas flow carrying small particles // Phys. Fluids, 1964, 7, N5,658-663.

19. Пэнтон P. Свойства потока неравновесной смеси газа и частиц согласно теории сплошной среды. // Механика. Сб. переводов, 1969, №1, с. 64-93

20. Нигматулин Р.И. Уравнения гидромеханики и волны уплотнения в двухскоростной и двухтемпературной сплошной среде при наличии фазовых превращений. // Известия АН СССР. МЖГ, 1967, №5, 33-47

21. Нигматулин Р.И. Некоторые вопросы гидромеханики двухфазных полидисперсных систем // Известия АН СССР. МЖГ, 1968, №3, 63-67

22. Нигматулин Р.И. Методы механики сплошной среды для описания многофазных смесей. // ПММ, 1970, 34, №6, 1097-1112

23. Нигматулин Р.И. Мелкомасштабные течения и поверхностные эффекты в гидромеханике многофазных сред. // ПММ, 1971, 35, №3,451-463.

24. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. JL, 1952

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.6. Гидродинамика. М., 1986

26. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М., 1981

27. Полежаев В.И. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи: итоги и перспективы. // ИФЖ, 1996, т.69, №6, с.909-920

28. Мороз A.M., Френкель Я.И. К гидродинамике капель суспензий, падающих в чистой дисперсионной среде.// Коллоидный журнал, 11, №3, 1949, с. 178-183.

29. Slack G.W., Nature, 200,1306 (1963).

30. Jayaweera О.Г., Mason В.J., Slack G.W. The behavior of clusters of spheres falling in a viscous fluid, p.l. Experiment // J. Fluid Mech., 20, #1, 1964.

31. Хоргуани В.Г. О характере и скорости падения системы частиц одинаковых размеров. // Изв. АН СССР. Физика Атмосферы и Океана, 2, №4, 1966.

32. Хоргуани В.Г. О характере обтекания падающей сстемы частиц одинаковых размеров при числах Рейнольдса меньше 10"1. Труды ВГИ, 1969, вып. 13, с. 97-100.

33. Петрова Г.М., Марьин Н.П., Берлянд О.С. Осаждение облака взаимодействующих частиц и образование при этом «пылящего» источника в результате действия атмосферной диффузии. // ДАН СССР, т. 166, №6,1966.

34. Мирошкина А.Н., Петрова Г.М. К вопросу оседания искусственного аэрозольного облака в атмосфере. Труды ИПГ, 1967, вып. 4, с. 41-47.

35. Калов Х.М., Хоргуани В.Г. Некоторые исследования по динамике полидисперсных частиц в атмосфере. Труды ВГИ, 1970, вып.17, с. 123-137.

36. Калов Х.М. Оседание искусственного облака полидисперсных частиц в атмосфере. -Труды ВГИ, 1974, вып.28, с. 169-175.

37. Калов Х.М., Хоргуани В.Г. Некоторые исследования по динамике полидисперсных частиц в атмосфере. Труды ВГИ, вып. 17, 1970.

38. Результаты опытов по изучению процесса оседания аэрозольного облака в свободной атмосфере. / Беляев В.П., Диневич В.А., Зонтов Л.Б., Петров В.В. Труды ЦАО, 1984, вып. 156, с. 115-123.

39. Павлов В.П. Экспериментальное исследование механизма контакта фаз в барботажных аппаратах с ситчатыми тарелками. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук, М., 1964.

40. Колобков Н.В. Грозы и шквалы. М., 1951.

41. Хоргуани В.Г., Калов Х.М. О падении высококонцентрированной системы грубодисперсных аэрозольных частиц в атмосфере. // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1975, т.11, №3, с. 278-284.

42. Smoluchowski М. On the Practical Applicability of Stokes Law of Resistance.// Proc. Fifth Intern. Cong. Math., Cambridge, 11, 1913. P. 195.

43. Burger I.M. On the Influence of the Concentration of a Suspension upon the Sedimentary Velocity. // Proc. Netherl. Acad., 44, #10, 1941.

44. Stimson M., Jeffery G.B. The Motion of Two Spheres in a Viscous Fluid. // Proc. Roy. Soc., London, Ser. A, 111, 1926.

45. Волков П.К. Движение цепочки пузырьков в вертикальном канале с вязкой жидкостью. // ЖПМТФ, 1991, №3, с. 87-91.

46. Калажоков Х.Х. К полуэмпирической теории движения частиц грубодисперсных аэрозолей в вязкой среде. Труды ВГИ, 1969, вып. 13, с. 101-113.

47. Шапошников И.Г. К теории конвективных явлений в бинарной конвекции. // ПММ, 1953, т. 17, №5, с. 604-606.

48. Лебедев С.Л. К вопросу о влиянии гравитационного падения облачных капель на водность облака. // Известия АН СССР, сер. Геофиз., №11,1963.

49. Takeda Т. The downdraft in convective shower-cloud under the vertical wind shear and its significance for the maintenance of convective system. // J. Met. Soc. Japan, 1965, v.43, #6.

50. Takeda Т. Effect of the prevailing wind with vertical shear on the convective flow accompanied with heavy rainfall. // J. Met. Soc. Japan, 1966, v.44, #2.

51. Takeda T. Numerical simulation of large convective clouds. // McGill Univ. Montreal, Stormy Weather Group, Sci. Rep., MW-64, 1969.

52. Шметер C.M. Термодинамика и физика конвективных облаков. JL: Гидрометеоиздат, 1987.

53. Лебедев С.Л., Сабиева О.Н. К расчету опускания системы частиц в вязкой среде. -Метеорология и гидрология, 1972, №4, с. 38-44.

54. Лебедев С.Л. Трехмерная нестационарная модель атмосферной конвективной ячейки с облаком. Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1966, т.2, №1, с. 14-27.

55. Куксенко Б.В., Никитин В.Ф., Трофимова А.В. Движение несжимаемой двухфазной среды в приближении Стокса под действием силы тяжести. // Вестник Моск. ун-та, сер.1, Математика. Механика, 1999, №3, с. 52-55.

56. Меныциков В.А., Аэров М.Э. Профиль газосодержания и циркуляция в барботажном слое. // ТОХТ, 1970, т.4, №6, с. 875-881.

57. Шульц Э.З., Дильман В.В. Оценка скорости циркуляционного движения и турбулентной вязкости жидкости в барботажном слое. // ТОХТ, 1974, т.8, №5, с.790-792.

58. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

59. Марчук Г.И., Алоян А.Е., Пискунов В.Н., Егоров В.Д. Распространение примесей в атмосфере с учетом конденсации. // Изв. Рос. АН. Сер. «Физика атмосферы и океана». 1996.-Т.32,№5.-С. 745-752.

60. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И. Математическое моделирование в задачах охраны окружающей среды. Новосибирск: ИНФОЛИО-пресс, 1997. - 240 С.

61. Дьяченко Н.Н., Пермяков О.Е. Анализ работы очистных сооружений и экспериментальных данных. Отчет по НИР. Номер гос. регистрации 02.9.60002192. -1995.

62. Физические величины. Справочник./ А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, A.M. Братковский и др.; Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232с.

63. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. 2-е изд. - М.: Физматгиз, 1959.

64. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики. — 2-е изд. М., 1966.

65. Ламб Г. Гидродинамика. М., 1947.

66. Левин Л.М. Исследования по физике грубодисперсных аэрозолей. М.: Изд-во АН СССР, 1961.

67. Литвинов И.В. Структура атмосферных осадков. Л.: Гидрометеоиздат, 1974. - 154 с.

68. Литвинов И.В. Формирование и преобразование атмосферных осадков на подстилающей поверхности. Л.: Гидрометеоиздат, 1987.

69. Труды I Всесоюзного симпозиума по математическому моделированию атмосферной конвекции и искусственных воздйствий на конвективные облака. Москва, 20-24 мая 1984 г. М.: Гидрометеоиздат, 1988. - 116 с.

70. Труды II Всесоюзного симпозиума по математическому моделированию атмосферной конвекции и искусственных воздйствий на конвективные облака. Москва, 26-29 мая 1986 г. М.: Гидрометеоиздат, 1989. - 110 с.

71. Дрофа О.В. Двумерная численная модель конвекции с параметризацией микрофизических процессов // Метеорология и гидрология. 1998. - №9. - С. 41-50.

72. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т.VI. Гидродинамика. 4-е изд., стер. - М.: Наука, 1988. - 736 с.

73. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.:Наука, 1987. - 840 с.

74. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. -М.:Мир, 1980. 616 с.

75. Дубровина Л.С. Облака и осадки по данным самолетного зондирования. -Л.:Гидрометеоиздат, 1982.

76. Шметер С.М. Физика конвективных облаков. Л.: Гидрометеоиздат, 1972.

77. Атмосфера: Справочник. Л.:Гидрометеоиздат, 1991. - 508 с.

78. Роджерс Р.Р. Краткий курс физики облаков. — Л.: Гидрометеоиздат, 1979.

79. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. М.: Химическая литература, 1960.

80. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977.

81. Coy С. Гидродинамика многофазных систем. М.: Мир, 1971.