Моделирование гравитационной конвекции в дисперсных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Невский, Юрий Александрович

• Невский, Юрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Невский, Юрий Александрович

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Скорость оседания частиц в неограниченной суспензии

1.2 Обзор исследований гравитационного оседания суспензий в замкнутых объемах

2 Основные уравнения и особенности замыкания двухконти-нуальных моделей дисперсных смесей

2.1 Интегральная и дифференциальная формы законов сохранения для сред типа вязкая жидкость-частицы.

2.2 Описание межфазного взаимодействия.

2.3 Учет конечности объема дисперсной фазы в двухконтинуальной модели.

3 Исследование роли нестационарных и наследственных сил в задачах гравитационного оседания частиц

3.1 Постановка задачи и методы вычисления силы Бассэ-Бусси-неска.

3.2 Результаты исследования роли нестационарных и наследственных сил в задачах оседания частиц

4 Моделирование гравитационной конвекции суспензии в замкнутых двумерных объемах. Количественное описание эффекта Бойкотта.

4.1 Общая модель и параметры подобия.

4.2 Важные предельные случаи модели гравитационной конвекции суспензий.

4.3 Стационарная конвекция малоконцентрированной эффективно невязкой суспензии. Первые интегралы уравнений импульса и примеры точных решений.

4.4 Гравитационная конвекция малоконцентрированной суспензии в больших объемах при малых числах Рейнольдса.

4.5 'Гравитационная конвекция суспензии с конечной объемной долей примеси в больших объемах при малых числах Рейнольдса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование гравитационной конвекции в дисперсных системах»

Процессы гравитационной конвекции в дисперсных системах широко распространены в природе и технике. Примерами могут служить разделение фаз в недрах планет на стадии их формирования, двухфазная конвекция в вулканических очагах магмы, течения двухфазных рабочих сред в химико-технологических аппаратах (флотация, барботаж и пр.), осаждение примесей при промышленной очистке воды, разделение компонент биологических жидкостей в медицинских приложениях и многие другие. В лабораторной практике широко используется метод фракционирования гранулированных материалов, основанный на гравитационной седиментации частиц [41].

Особый интерес представляет возможность управления процессом гравитационного разделения фаз и выделения осадка в случаях, когда не применимы другие способы сепарации. При добыче полезных ископаемых управление процессом гравитационной конвекции может улучшить ряд технологических решений, таких, например, как повышение проницаемости нефтяных пластов при закачивании суспензии проппанта в трещины гидроразрыва [88] или увеличение золотодобычи при использовании драг с оборотным водоснабжением. Управление процессом очистки сточных вод и ускорение этапа предварительной очистки важны для повышения эффективности очистных сооружений. Далеко не полный список приложений, использующих процесс гравитационной конвекции двухфазных сред, может быть продолжен за счет рассмотрения во многом аналогичных процессов, происходящих в разнообразных инерционных сепараторах, где роль силы тяжести играет центробежная сила [115].

В связи с развитием компьютерных технологий и численных методов в последние годы наметился значительный интерес к количественному описанию гравитационной конвекции суспензий и объяснению ряда неожиданных эффектов, выявленных экспериментально, но не допускающих интерпретации на основе простых гидравлических или аналитических моделей. Один из таких эффектов - увеличение эффективной скорости гравитационного осаждения дисперсной примеси в закрытых сосудах при отклонении стенок сосуда от направления силы тяжести. Этот эффект был обнаружен еще в начале XX века известным английским ученым-медиком Артуром Бойкоттом (А.Е. Boycott) при оседании эритроцитов крови [53] и с тех пор в литературе носит название эффекта Бойкотта. Как правило, ускорение процесса осаждения примеси связывают с возникновением крупномасштабных вихревых течений в процессе гравитационного осаждения суспензии. Развитие вихревых зон часто сопровождается появлением ряда мезомас-штабных явлений, в частности, образованием расслоений дисперсной фазы, ориентированных перпендикулярно силе тяжести. Причины развития вихревых зон и образования расслоений в поле концентрации дисперсной фазы, а также влияние этих факторов на эффективную скорость осаждения примеси в замкнутых объемах остаются во многом не исследованными.

Создание теоретических основ для описания данных эффектов и их численное моделирование - важный шаг в планировании и постановке экспериментов и интерпретации экспериментальных данных.

Современный подход к описанию движения дисперсных систем основан на использовании приближения взаимопроникающих и взаимодействующих континуумов, где каждый континуум относится к определенной фазе вещества [32], [27], [63], [71], [85]. Построение замкнутых двухконтинуаль-ных моделей возможно лишь при наложении ряда ограничений на структуру среды, ее фазовый состав, форму включений, диапазон скоростей рассматриваемых течений и т.д. В литературе существует совсем немного работ, в которых для исследования гравитационной конвекции дисперсных систем применяются обоснованные континуальные модели.

Для разработки адекватной модели гравитационной конвекции дисперсных сред необходима оценка важности целого ряда разнообразных факторов. При гравитационной конвекции движение смеси вызывается осаждением дисперсной фазы под действием заданной внешней силы, обусловленной разностью плотностей вещества дисперсной и несущей фаз. Сам же процесс осаждения примеси зависит от структуры развивающегося течения несущей фазы. Отсюда, в общем случае, следует необходимость учитывать как самосогласованность процесса, так и его нестационарность. Важность учета нестационарности гравитационной конвекции зависит от выбора временного и пространственного масштабов конкретного исследуемого процесса. Квазистационарный режим конвекции может иметь место, например, в сепараторах непрерывного действия (при постоянном подводе и отводе дисперсного материала), а также в локальных вихревых зонах внутри большого объема, занятого осаждающейся суспензией.

Для газовзвесей плотности вещества фаз отличаются на три порядка, и поэтому в межфазном взаимодействии существенны только силы сопротивления частиц, соответствующие квазистационарным условиям обтекания частиц. В то же время, для суспензий характерно небольшое различие плотностей материалов фаз, что приводит к необходимости оценки роли нестационарных процессов на масштабе обтекания отдельных частиц, а следовательно, и вклада нестационарных составляющих силы межфазного взаимодействия (сил Архимеда, присоединенных масс, Бассэ-Буссинеска). Следует отметить, что практически во всех исследованиях гравитационной конвекции дисперсных систем, опубликованных к настоящему времени, в межфазном взаимодействии без достаточного обоснования учитывается лишь сила Стокса (с поправками на конечность объемной доли частиц).

В процессе гравитационной конвекции суспензии объемная концентрация дисперсной фазы может изменяться в широких пределах. Поэтому, в общем случае, необходимы построение и анализ замкнутой модели дисперсной смеси с конечным объемным содержанием включений, что на сегодняшний момент является очень трудной задачей. При континуальном описании суспензии учет конечности объемной доли включений, имеющих плотность, отличную от плотности несущей фазы, делает среду эффективно сжимаемой даже в случае несжимаемых несущей фазы и вещества частиц. Это свойство обусловлено изменением массы единицы объема среды за счет относительного перемещения фаз.

Следует отметить, что этот факт игнорируется практически во всех опубликованных к настоящему времени теоретических исследованиях гравитационной конвекции суспензии, где дисперсная смесь обычно считается несжимаемой ньютоновской жидкостью. При учете конечности объемной доли дисперсной фазы в математическом описании становится существенной зависимость вязкости и скорости оседания от концентрации примеси, что приводит к появлению новых качественных эффектов. В частности, возникает тенденция к накоплению частиц в зонах локальных максимумов концентрации, что вызывает более активное нарастание неодпородностей концентрации примеси.

Для проведения численного моделирования гравитационной конвекции в рамках двухконтинуальных моделей требуется разработка специальных / численных алгоритмов, учитывающих сжимаемость континуума, описывающего несущую фазу, а также возможность появления сильных разрывов в поле концентрации дисперсной фазы.

Перечисленные выше проблемы послужили мотивацией для проведения исследований, изложенных в настоящей диссертационной работе.

Конкретными целями работы являются:

• Построение общей двухконтинуальной гидродинамической модели гравитационной конвекции суспензий с малой, но конечной объемной концентрацией дисперсной фазы; определение параметров подобия, управляющих процессом конвекции, и масштабных факторов.

• Исследование роли нестационарных составляющих силы межфазного взаимодействия (в том числе наследственной силы Бассэ) в задачах гравитационного оседания частиц. Определение условий возможности пренебрежения (необходимости учета) этими силами.

• Построение предельных (асимптотических по значениям безразмерных параметров) моделей гравитационной конвекции суспензии, соответствующих типичным реальным ситуациям.

• Разработка численных алгоритмов и проведение параметрических численных расчетов гравитационной конвекции суспензии в замкнутых двумерных объемах. Исследование возникновения вихревых течений, а также эффектов ускоренного осаждения частиц в сосуде с наклонными стенками (эффект Бойкотта) и горизонтального расслоения дисперсной примеси. Сопоставление результатов, полученных на основе моделей с конечной и пренебрежимо малой объемной концентрацией частиц.

Для ряда часто встречающихся на практике режимов конвекции допустимы существенные упрощения.

Один из важных предельных режимов - гравитационная конвекция дисперсных систем с малоинерционными частицами, имеющими малую объемную концентрацию и оседающими в эффективно невязкой жидкости (вязкость учитывается лишь при обтекании частиц). Пренебрежение вязкими членами относительно конвективных членов (увеличение числа Рейнольд-са) в уравнениях движения смеси чаще всего вызвано увеличением масштабов задачи. Это характерно, например, для описания гравитационной конвекции в отстойниках технологической воды. В локальных областях таких течений, например, в окрестности локальных вихревых структур, течение может считаться квазистационарным.

Другой важный предельный случай - гравитационная конвекция, вызванная оседанием малоинерционных частиц в сильновязкой жидкости.

Высокая вязкость среды означает малость чисел Рейнольдса и позволяет пренебрегать конвективными членами в уравнениях несущей фазы. Кроме того, оценки, как правило, позволяют не учитывать и нестационарные составляющие в силе межфазного взаимодействия. Данные типы гравитационной конвекции характерны, например, для гравитационного разделения компонент биологических жидкостей [62].

На основе проведенных исследований в работе получены следующие новые результаты, выносимые на защиту:

• Построена общая двухконтинуальная гидродинамическая модель гравитационной конвекции суспензии с конечной объемной долей дисперсной фазы. Определены параметры подобия, управляющие конвекцией, и найдены масштабные факторы. Построены упрощенные модели, соответствующие характерным предельным значениям определяющих параметров и представляющие интерес для практических приложений.

• В рамках обоснования корректности модели на ряде модельных задач проведено исследование влияния нестационарных и "наследственных" сил в межфазном взаимодействии на движение одиночных тяжелых (легких) сферических частиц в нестационарном потоке. Развиты алгоритмы вычисления наследственной силы Бассэ. Определен диапазон параметров, в котором описание оседающей (всплывающей) примеси в суспензии невозможно без учета нестационарных и "наследственных" сил.

• Для предельной модели стационарной гравитационной конвекции, вызванной оседанием малоинерционных частиц в эффективно невязкой жидкости, найдены условия существования первого интеграла уравнений баланса импульса. Приведены примеры аналитических решений, построенных с использованием указанного первого интеграла.

• В рамках модели сильновязкой жидкости с малоинерционными частицами проведено численное исследование ряда задач гравитационной конвекции в замкнутых двумерных сосудах. Исследованы условия развития вихревых структур и неустойчивостей на границе "суспензия-чистая жидкость". Численно воспроизведены экспериментально полученные эффекты ускорения осаждения и горизонтального расслоения дисперсной примеси в сосуде с наклонными стенками. Проведено сравнение численных расчетов для случаев учета и пренебрежения объемной долей дисперсной фазы.

Достоверность результатов диссертации обусловлена использованием современных математических моделей движения дисперсных сред. В численных алгоритмах применялись методы, хорошо апробированные при решении аналогичных задач математической физики. Точность расчетов подтверждается сравнением результатов с известными численными и аналитическими решениями, а также качественным соответствием полученных результатов некоторым известным экспериментальным данным.

Научная значимость работы состоит в исследовании роли нестационарных-и наследственных сил при описании межфазного взаимодействия в задачах гравитационного оседания частиц в нестационарном потоке, а также в разработке математических моделей и численных алгоритмов, позволяющих корректно описывать эффекты развития вихревых структур, расслоения дисперсной фазы и эффект Бойкотта в задачах гравитационной конвекции суспензий.

Практическая значимость работы заключается в создании математических моделей и комплекса компьютерных программ, позволяющих моделировать процесс гравитационной конвекции суспензии с целью управления эффективной скоростью разделения фаз, а также в выработке ряда качественных рекомендаций по организации процесса осаждения дисперсной фазы.

Результаты, полученные в диссертации докладывались на 14 международных и российских научных конференциях: Конференции-конкурсе молодых ученых НИИ механики МГУ (2004, 2006-2008); Конференции "Ломоносовские чтения" (2005, 2008, 2009); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н. Новгород, 2006); XV школе-семинаре "Современные проблемы гидроаэродинамики" (Сочи, 2007); Всероссийской конференции "Механика и химическая физика сплошных сред" (Бирск, 2007); Всероссийской конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Москва, 2007), посвященной 100-летию акад. Л.И. Седова; XV Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию акад. В.А. Садовничего (Москва, 2009); Международной конференция "Потоки и структуры в жидкостях: физика геосфер" (Москва, 2009), XVI Международной конференции "Вычислительная механика и современные вычислительные программные системы" (Алушта, 2009).

Результаты работы обсуждались на трех специализированных научных семинарах: семинаре кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 20032008), семинаре по механике многофазных сред под руководством д.ф.м.н. А.Н. Осипцова (НИИ механики МГУ, Москва, 2003-2009), семинаре под руководством акад. А.Г. Куликовского, проф. А.А. Бармина, проф. В.П. Кар-ликова (2010).

Основные результаты работы изложены в 16 научных публикациях [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 93]. Статьи [21],[22] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК на момент публикации.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Невский, Юрий Александрович

3.2 Результаты исследования роли нестационарных и наследственных сил в задачах оседания частиц

Дисперсная примесь в движущейся несущей фазе при отсутствии массовых сил. Исследовалось одномерное движение уединенной сферической частицы в монотонно замедляющемся (v(t) = 1—2£3/^аа.), монотонно ускоряющемся (v(t) — — 1 + и осциллирующем {у = cos(t)) потоке вязкой жидкости. Массовыми силами пренебрегалось (а4 = 0), а решение полной системы уравнений (3.2.1) при а\-3 = 1 сравнивалось с решением системы (3.2.2) при отсутствии массовых сил и с решением системы (3.2.1) при а\-2 =1, аз = 0, что соответствует пренебрежению предысторией движения частицы (силой Бассе-Буссинеска) при учете остальных составляющих силы межфазного взаимодействия.

При рассмотрении случая осциллирующей скорости несущей фазы, для отношений плотностей г] = 0.25 и г) = 0.55 решения, полученные интегрированием системы дифференциальных уравнений (3.1.3) и методом прямого интегрирования интегродифференциальной системы уравнений, предложенным в предыдущем параграфе, совпадают с графической точностью. Сравнение решений системы (3.2.1), полученных при учете всех составляющих силы (ai-з = 1), с решением системы при ai2 = 1, аз = 0 показывает лишь незначительные различия - всего около 5% (см. Рис. 3.1). Увеличение отношения плотностей rj с 0.25 до 0.55 не приводит к увеличению различия между решением для ai3 — 1 и ai2 = 1, аз = 0. При дальнейшем увеличении параметра rj = 0.75 значение скорости твердой фазы практически совпадает со скоростью несущей фазы в обоих (аз = 0 и 03 = 1) случаях (см. Рис 3.4).

Для исследования влияния предыстории движения уединенной частицы на ее скорость в случае отсутствия массовых сил и монотонного характера скорости несущей фазы, безразмерная скорость жидкости задавалась следующими соотношениями: v(t) — 1 — - в случае убывания и v(t) = —1 + 213/tzmax в случае возрастания. Здесь tmax - время рассматриваемого движения частицы. Таким образом, скорость несущей фазы изменяется в диапазоне от -1 до 1. Для отношения плотностей г] = 0.55 скорости пробной частицы при аз = 1, аз = 0 различаются незначительно, а решение системы (3.2.2) совпадает с решением (3.2.1) при аз = 1 с графической точностью (см. Рис. 3.2). При дальнейшем увеличении отношения плотностей вещества фаз, 77 = 0.75, значения скоростей твердой фазы в случаях учета и пренебрежения силой Бассе-Буссинеска в межфазной силе практически совпадает, а рассогласование между фазами становится еще меньше (см. Рис. 3.4).

Движение твердых частиц в покоящейся жидкой несущей фазе в поле силы тяжести. Исследование времени скоростной релаксации. Для исследования влияния силы Бассе-Буссинеска на скорость осаждения частиц производилось сравнение решений систем уравнений, не учитывающих предысторию движения ((3.2.1) с аз = 0 и 01,2,4 = 1), уравнений, полученных методом Михаелидеса [91] (система (3.2.2)), и интегродифферен-циальной системы уравнений ((3.2.1) с ai4 = 1). Для удобства описания исследования процесс осаждения можно условно разделить на две стадии: во время первой стадии происходит выход процесса осаждения без учета предыстории движения на стационарный режим. Для скорости, посчитанной без учета силы Бассе-Буссинеска, вторая стадия является стационар-' ной.

Решения уравнений (3.2.1) при ai4 = 1 и уравнений (3.2.2) сравнивались при следующих значениях отношения плотностей фаз: г) = 0.001, 0.25, 0.4, 0.55. Помимо сравнения произведен расчет для г] = 0.75,0.9. Массовая сила после обезразмеривания равна единице.

Для 77 = 0.001 скорости осаждения совпадают с графической точностью. При увеличении отношения плотностей фаз, учет силы Бассе-Буссинеска существенно (в 20-50 раз для рассмотренных параметров отношения плотностей) увеличивает время выхода процесса осаждения на стационарный режим. Во время первой стадии, скорости осаждения, посчитанные для случая учитывающего предысторию движения, увеличиваются не так быстро, как в случае, когда сила Бассе-Буссинеска не учитывается. После окончания первой стадии абсолютная величина скорости замедляет свой рост и достаточно медленно стремится к скорости стационарного осаждения. Скорость осаждения, найденная по методу [90] (система (3.2.2)), совпадает со скоростью осаждения, полученной при численном решении интегродиффе-ренциальных уравнений (см. Рис. 3.3), что позволяет использовать метод, предложенный в [90] для всех параметров 7} < 4/7.

При увеличении параметра т\ качественного изменения поведения скорости релаксации частиц в случае учета силы Бассе-Буссинеска не происходит. Максимальное различие в скоростях, полученных при решении системы без учета предыстории движения частицы (аз = 0) и с ее учетом (аз = 1), составляет ~ 20% (см. Рис. 3.3 и 3.4).

Дисперсная примесь в осциллирующей несущей фазе в поле силы тяжести. Нестационарность силы межфазного взаимодействия в предыдущих двух пунктах исследования влияния предыстории на скорость движения уединенной сферы вызвана факторами различной природы (изменением скорости несущей фазы и влиянием внешних сил). Полученные результаты сильно различаются в количественном отношении. Столь большое различие в результатах вызывает естественный вопрос, будет ли усиливаться влияние нестационарных и наследственных сил при движении уединенной сферы в условиях, когда оба фактора, вызывающих скоростную релаксацию, активны.

Чтобы на него ответить, рассматривается задача о движении уединенной сферической частицы в осциллирующем поле скорости несущей фазы v = cos(.u)\t) под действием силы гравитации. Структура исследования влияния нестационарных и наследственных сил аналогична описанной выше: решение системы (3.2.1) при ai4 = 1 сравнивалось с решением той же системы при <21,2,4 = 1,аз = 0 (силой Бассе-Буссинеска пренебрегается), при ^1,3,4 = 1,02 = 0 (силой присоединенных масс пренебрегается) и с решением, полученным для 01,4 = 1,02,3 =: 0 (пренебрегается обеими силами).

В качестве отслеживаемого параметра был выбран максимум модуля разности скорости, полученной при решении системы (3.2.1) с 0,2,3 = и скоростями, полученными при 03 = 0, 02 = 0 и 02 = 0 и аз = 0 на всем временном промежутке движения уединенной частицы. Модуль разности скоростей нормировался на максимальную скорость потока несущей фазы при 0 < г] < 1 и на параметр 77 при 77 > 1. Такой выбор нормировочного параметра в случае легких частиц (77 > 1) обусловлен порядком максимальной скорости движения частицы, получающейся при решении одной из рассматриваемых систем. В системах, учитывающих силу присоединенных масс, характерная скорость не превышает удвоенной стоксовой скорости. В то время как в системе уравнений, не учитывающей силу присоединенных масс, даже в покоящейся жидкости после выхода на стационарный режим безразмерная скорость движения примеси будет иметь порядок отношения плотностей 77.

Сравнение решения "полной" системы уравнений с решениями систем уравнений без учета силы Бассе-Буссинеска и силы присоединенных масс (см. Рис 3.5 и Рис 3.6, кривые 2, 5, 8); без учета наследственной силы Бассе-Буссинеска (см. Рис 3.5 и Рис. 3.6, кривые 1, 4, 7); без учета силы присоединенных масс (см. Рис 3.5 и Рис. 3.6, кривые 3, 6, 9) проводилось для разных частот осцилляции скорости жидкости ш\.

На основании параметрических численных исследований был установлен диапазон параметров rj,D 1, в котором влияние нестационарных и наследственных сил несущественно (Рис. 3.5). Если отношение плотностей фаз близко к нулю или единице, влиянием как наследственных, так и нестационарных сил можно пренебречь.

Из расчетов для тяжелых частиц следует, что при уменьшении u>i влияние наследственных сил уменьшается. С ростом частоты влияние силы Бассе возрастает до некоторого момента, после чего остается примерно постоянным, при этом (в рассмотренном диапазоне сох < 10) относительное влияние силы присоединенных масс значительно возрастает.

Аналогичные расчеты выполнены и для легких (всплывающих) частиц. Качественный характер зависимости решений от u>i остается прежним. При значениях отношения плотностей фаз, близких к единице или бесконечности, влиянием наследственных сил можно пренебречь (Рис. 3.6). Влиянием нестационарных сил можно пренебрегать только в случае ту « 1.

Следует отметить, что вклад наследственных сил быстро увеличивается с ростом отношения плотностей фаз от нуля. Например, для и>i = 1, вклад силы Бассе составляет ^ 5% при rj — 0.005. При rj = 0.24 вклад силы Бассе максимален 43%), затем он уменьшается и при rj = 0.92 становится меньше 5%. При дальнейшем увеличении rj вклад силы Бассе проходит через ноль (при г) = 1), затем снова возрастает и проходит через максимум при rj = 4.4.

Таким образом, при описании обмена импульсом между фазами в задачах, учитывающих массовые силы, в широком диапазоне значений отношения плотностей вещества фаз пренебрегать нестационарными и наследственными силами нельзя.

Оценка точности результатов. Для проверки точности численных расчетов интегродифференциальной системы уравнений (3.1.2) ее решение сравнивалось с решением системы уравнений (3.1.3). Сравнение производилось для случаев монотонно убывающей, возрастающей и осциллирующей скоростей несущей фазы при а<± — 0. Также сравнивались скорости падения частиц в покоящейся среде, v = 0, под действием силы тяжести. Сравнение без учета массовых сил производилось для двух значений отношения плотностей: г\ = 0.25 и г\ = 0.55, что соответствует области применимости системы (3.1.3): 0 < 77 < 4/7.

Для случаев малых значений 77, когда силой Бассе-Буссинеска можно заведомо пренебречь (аз = 0), для системы уравнений (3.1.2) с ai,2,4 = 1 было найдено аналитическое решение, позволяющее найти явную зависимость скорости от времени: vs — v = Ce~xt + cicos(uit) + C2 sin (ujit) + 77 — 1

V- 1)M2 (1 - 77bA2 Cl" A2 + a;2 ' C2~ A2 +

Здесь константа С = vs(0) — v(0) + 1 — 77 — c\ определяется из начальных условий.

Для проверки численного метода и оценки точности результатов было -проведено сравнение аналитического и численного решений для случаев малых значений 77 и получено их совпадение. Для 77 = 0(1) произведено сравнение численного решения, полученного из решения системы (3.1.3), с решением интегродифференциальной системы уравнений. Получено совпадение результатов в трех значащих цифрах после запятой (см. Рис. 3.7).

Рис. 3.1. Сравнение скоростей движения пробной частицы, рассчитанных с учетом и без учета силы Бассе-Буссинеска. Слева: г/ = 0.25, справа: г/ = 0.55. Скорость несущей фазы v = cos(t) - кривая 1. Кривая 2 обозначает скорость частицы без учета силы Бассе-Буссинеска. Кривые 3 и 4 - скорости, посчитанные с использованием и без использования замены интегродифференциального уравнения дифференциальным.

Рис. 3.2. Сравнение скоростей движения пробной частицы, рассчитанных с учетом и без учета силы Бассе-Буссинеска при г/ = 0.55. Скорости несущей фазы v = — 1 + (2t3/t^nax) и vi = 1 — (2t^/t^ax) " обозначены цифрой 1 с соответствующими индексами. Кривая 2 обозначает скорость частицы без учета силы Бассе-Буссинеска. Кривые 3 и 4 - скорости, посчитанные с использованием и без использования замены интегродифференциального уравнения дифференциальным.

Рис. 3.3. Сравнение скоростей движения пробной частицы, рассчитанных с учетом и без учета силы Бассе-Буссинеска. Слева: г\ = 0.001, 0.25, справа: г/ = 0.4, 0.55. Кривая 2 обозначает скорость частицы без учета силы Бассе-Буссинеска. Кривые 3 и 4 - скорости, посчитанные с использованием и без использования замены и нтегрод ифференцнального уравнения дифференциальным.

-006

-о

О IS

125 25 37 5 t t

Рис. 3.4. Сравнение скоростей движения пробной частицы, рассчитанных с учетом силы Бассе-Буссинеска (пунктир с точкой)и без ее учета (сплошная линия). Слева: изображено три графика скорости частицы от времени при Т] = 0.75 в случаях, когда скорость несущей фазы V = 1 — (2t3/t^MLE),— 1 + (2t3/t£MW!),C£w{i) (соответственно, кривые 1, 2, 3). Справа: показана зависимость скорости осаждения частицы от времени при 7? — 0.75, 0.9.

Л - 0 75

Рис. 3.5. Характеристика влияния нестационарных и (или) наследственных сил в зависимости от отношения плотностей фаз т\ при ш\ = 1 (сплошная линия), u>i =0.1 (штрихованая линия) и wi = 10 (штрих-пунктир). Кривые 1, 4, 7 показывают влияние силы Бассе-Буссинеска, 2, 5, 8 - суммарное влияние нестационарных и наследственных сил, а 3, 6,

9 - влияние силы присоединенных масс.

1 .5 го

0.5

8 У —------- 2

1 / f V ■ .-------

J s' I у . \ i - " [г ^ 5 — — —

Г/ I/' ^«J 4 . 1

40

80

160

200

Г/ 120

Рис. 3.6. Характеристика влияния нестационарных и (или) наследственных сил в зависимости от отношения плотностей фаз ту при ш\ = 1 (сплошная линия), =0.1 (штрихованая линия) и wi = 10 (штрих-пунктир). Кривые 1, 4, 7 показывают влияние силы s Бассе-Буссинеска, 2, 5, 8 - суммарное влияние нестационарных и наследственных сил, а 3, 6,

9 - влияние силы присоединенных масс. интегродифференциального уравнения и с помощью замены интегродифференциального уравнения дифференциальным, при u>i = 1 и т/ = 0.425 (кривая 1) и т) = 0.225 (кривая 2).

Глава 4

Моделирование гравитационной конвекции суспензии в замкнутых двумерных объемах. Количественное описание эффекта Бойкотта.

Глава посвящена численному и аналитическому исследованию задач гравитационной конвекции суспензии в замкнутых объемах и выяснению параметров подобия, управляющих конвекцией. Рассмотрены важные частные случаи конвекции в сосудах, линейный размер которых много больше длины скоростной релаксации фаз. Отдельно исследован случай стационарной конвекции малоконцентрированной суспензии при больших числах Рейнольдса, найдены условия существования первого интеграла уравнений импульса несущей фазы и даны примеры его использования для построения аналитических решений.

Для нестационарной конвекции при малых числах Рейнольдса численно моделируются эффекты увеличения эффективной скорости оседания примеси в сосудах с наклонными стенками (эффект Бойкотта) и расслоения концентрации дисперсной фазы в процессе осаждения, выясняются причины возникновения крупномасштабных вихревых структур. Находятся "оптимальные" углы наклона сосуда, определяется форма осадка, появляющегося в результате осаждения. Анализируются эффекты учета конечности объемной доли дисперсной фазы на процесс гравитационной конвекции.

Результаты главы опубликованы в работах [16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 93].

4.1 Общая модель и параметры подобия

Рассматривается замкнутый объем, заполненный вязкой несжимаемой жидкостью, содержащей недеформируемые сферические частицы одинакового радиуса. Под действием силы гравитации дисперсная фаза приходит в движение, которое, в свою очередь, приводит в движение несущую фазу, -начинается гравитационная конвекция. В качестве основы математического описания гравитационной конвекции суспензии используем полную модель (2.3.3), сформулированную в разделе 2.3 и учитывающую конечность объема частиц и нестационарные силы в межфазном обмене импульсом. Выясним общий набор параметров подобия, управляющих гравитационной конвекцией суспензий.

В качестве характерных масштабов при обезразмериваиии используем скорость стационарного оседания (всплытия) одиночной частицы в вязкой среде U = тд\1—т]\/б7Гсг/1о (здесь т - масса частицы, а - ее радиус, д - ускорение свободного падения, г] = р/ps - отношение плотностей вещества фаз, Hq - вязкость несущей фазы) и вертикальный линейный размер сосуда L. Масштаб времени Tt может быть различным, он определяется промежутком времени, на котором исследуется процесс конвекции. В большинстве случаев в численных расчетах этот масштаб будет принят равным отношению вертикального размера сосуда L к скорости U.

Масштаб перепада давления также может быть различным, в общем случае он выбирается из условия сохранения члена с градиентом давления в уравнении баланса импульса для смеси. Важными параметрами является характерная длина скоростной релаксации фаз I = mU(67ra(io)~1, объемная концентрация плотной упаковки частиц Cm, а для случаев пренебрежения объемной долей частиц - характерная начальная числовая концентрация частиц n4Q.

Легко заметить, что при выбранном масштабе скорости случай равно-плотпой смеси или отсутствия силы гравитации становится вырожденным U = 0, по в этом случае отсутствует причина движения и конвекция не возникает.

В безразмерном виде, при произвольном масштабе времени, общие уравнения гравитационной конвекции дисперсной смеси (2.3.3) в декартовых координатах принимают вид: дс div((l — c)v + cvs) = 0, Sh— + div(cvs) = О (4.1.1)

J ь .dv cdvs — 1 9 / N ,

1 -1c) It+ Ц-& = + Hi X X> ^o(c)Tyki~

I J

3c A dsvs p . :L —Is

1 — 77 77 dt 1 — 7f

Tij dvj диД 2^ dxj dxi) 3 lJ

U = M(o)(v - vs) + ^(c) (f - <£) + W3(0) (| + + t

X0Mc) j li^o-4(c) = 1 0 dv dv . 4 = Sh + (v.V)v dvs Q,dvs .

Ь L(6napo)2 p /9 <nP pUL L p = T = -тт;—S 4 = —, X = \ 5 Re =-, Sh =

I m2g\l — 77I' ' Ps' A V 27Г po ' UTt

Здесь j - единичный базисный вектор оси OF, направленный против силы гравитации, Ц- - обозначение для базисных векторов kx = i, ку = j, kz = к. Функции (£>о-4) как и в разделе 2.3 обозначают поправки на конечность объемной доли частиц к вязкости среды и составляющим межфазной силы, (fo-4 1 при с —у 0. Здесь, как это часто делается в задачах конвекции, вместо давления введена разность полного и гидростатического давлений, т.е. буквой р обозначена величина (р* — pgy*)/pU2. Такая замена позволяет избавиться от константы в правой части уравнения импульса смеси.

Отсутствие числа Фруда Fr в системе уравнений (4.1.1) объясняется выбором масштаба скорости U, который приводит к тождеству 1/Fr2 = gL.U-2 = 0-\l-ri\-1 .

Построенная модель содержит четыре независимых параметра: параметр инерционности частиц (3, отношение плотностей фаз г/, число Рейнольдса Re и число Струхаля Sh.

Постановка задачи должна также зависеть от других геометрических параметров области конвекции и от начального распределения объемной концентрации частиц c(t = 0, х, у).

При попытках лабораторного моделирования натурных процессов гравитационной конвекции суспензий в лабораторных установках необходимо соблюдать подобие указанных выше параметров, что позволяет определить масштабные факторы (т.е. коэффициенты пропорционального уменьшения размера частиц, времени наблюдения и вязкости жидкости) при уменьшении линейного размера установки от натурного до лабораторного.

В качестве граничных условий для несущей фазы задаются условия прилипания на границе объема: v|n = 0. Граничных условий для поля скорости частиц и их концентрации не требуется. В большинстве расчетов частицы, достигающие стенки, считаются исчезнувшими из потока, что может соответствовать случаю формирования слоя осадка, толщина которого несущественна, или непрерывному удалению осаждающихся частиц из объема. Пример динамики слоя осадка будет рассмотрен ниже в разделе 4.4.

Для типичных условий, реализующихся в приложениях, объемная концентрация частиц достаточно мала, числа Рейнольдса конвекции могут варьироваться в широких пределах, а размер сосуда намного превосходит длину скоростной релаксации фаз. В таблицах ниже приведены примеры возможных значений параметров, реализующихся в различных приложениях.

Заключение

Построена общая двухконтннуальная гидродинамическая модель гравитационной конвекции дисперсной смеси, учитывающая нестационарные и наследственные силы при описании межфазного обмена импульсом, конечность объема, занимаемого дисперсной фазой, и "сжимаемость" суспензии за счет перераспределения примеси. Определен полный набор параметров подобия, управляющих процессом конвекции.

В рамках обоснования корректности модели для ряда одномерных задач проведено исследование влияния нестационарных и "наследственных" сил в межфазном взаимодействии на движение одиночных тяжелых (легких) сферических частиц в заданном нестационарном потоке. Рассмотрены различные механизмы возникновения релаксационных процессов между скоростями фаз (наличие внешней массовой силы, нестационарность поля скорости несущей фазы, совокупность обоих факторов). Развиты алгоритмы вычисления наследственной силы Бассэ, основанные как на прямом численном решении интегродифференциального уравнения движения частицы, так и на замене этого уравнения системой дифференциальных уравнений более высокого порядка. Определен диапазон параметров, в котором описание оседающей (всплывающей) примеси в суспензии невозможно без учета нестационарных и "наследственных" сил. Показано, что при отсутствии внешних массовых сил пренебрежение нестационарными и наследственными силами в межфазном взаимодействии является обоснованным для частиц, превосходящих по плотности несущую фазу. При наличии массовых сил, даже в случае покоящейся несущей фазы, учет силы Бассэ увеличивает на порядок время скоростной релаксации и выхода на стационарный режим оседания. В общем случае определен диапазон отношения плотностей фаз, в котором на длинах скоростной релаксации вклад силы Бассэ является существенным.

Для построенной общей двухконтинуальной модели гравитационной конвекции дисперсных систем рассмотрен ряд асимптотических (по значениям безразмерных параметров) случаев, соответствующих типичным реальным ситуациям, в которых описание конвекции существенно упрощается.

В случае стационарной гравитационной конвекции суспензии с малоинерционными частицами в эффективно невязкой суспензии получены критерии существования первого интеграла уравнений баланса импульса. Показано, что найденный интеграл не аналогичен интегралу Бернулли, он может выполняться во всей области течения для неоднородной концентрации частиц и вихревых полей скорости обеих фаз. Приведены примеры точных решений, удовлетворяющих данному интегралу.

Проведены параметрические численные расчеты медленной гравитационной конвекции суспензии в больших (по сравнению с длиной скоростной релаксации фаз) замкнутых двумерных областях. Исследовано возникновение крупномасштабных вихревых течений, а также эффектов горизонтального расслоения дисперсной примеси и ускоренного осаждения частиц в сосуде с наклонными стенками (эффект Бойкотта). Показано, что в результате воздействия вихрей на примесь скорость частиц в циркуляционных зонах может увеличиваться в несколько раз. Получено качественное соответствие между результатами расчета и известными экспериментальными данными. Эффект Бойкотта сильно зависит от величины аналога числа Грасгофа (коэффициента плавучести) и возрастает с увеличением этого параметра. Показано, что эффект горизонтального расслоения дисперсной примеси в процессе гравитационной конвекции в наклонном сосуде вызван образованием вихревых структур на боковой границе области, занятой дисперсной фазой. Проведено численное моделирование процесса потери устойчивости и формирования "пальцев" на нижней границе оседающего конечного объема частиц.

На основании численных расчетов показано, что для заметного ускорения процесса осаждения дисперсной фазы в сосудах с вертикальными стенками необходимо создавать неоднородную в горизонтальном направлении концентрацию засыпки дисперсной фазы либо оставлять' конечные зазоры между областью дисперсной фазы и боковыми стенками сосуда.

Исследована конфигурация осадка дисперсной примеси на нижней стенке сосуда. Получено, что поток массы дисперсной фазы вблизи границы объема слабо зависит от координаты вдоль границы и от угла наклона сосуда.

Проведено сравнение процессов гравитационной конвекции в суспензии с пренебрежимо малой и конечной объемной долей примеси. Показано, что учет объема частиц может приводить к новым эффектам, связанным с изменением концентрации дисперсной фазы вдоль лагранжевой траектории частиц и зависимостью вязкости и скорости проскальзывания от локальной концентрации дисперсной фазы. Помимо расслоения дисперсной фазы, возникающего за счет приграничных вихревых структур, существует механизм расслоения, обусловленный формированием локальных неоднородно-стей концентрации примеси. Зависимость скорости проскальзывания фаз от локальной концентрации частиц приводит к изменению оптимальных для скорейшего осаждения примеси углов наклона сосуда. При нулевой объемной доле примеси оптимальные углы наклона квадратного двумерного сосуда варьируются в диапазоне 7г/6 -f- 7г/4, а при конечной объемной доле - в диапазоне 7г/24 -г- 57г/24.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Невский, Юрий Александрович, 2010 год

1. Бахвалов Н.С., Численные методы. Т.1 - Изд. 2. М.: Наука, 1975. 632 с.

2. Водопьянов И.С., Петров А.Г., Шундерюк М.М. О нестационарном осаждении сферической твердой частицы в вязкой жидкости // Изв. РАН, МЖГ. 2010. N 2.

3. Воеводин А.Ф., Протопопова Т.В. Метод расчета вязких течений в замкнутых областях // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001, Т.4, el(7) С. 29-37.

4. Волощук В.М. Введение в гидродинамику грубодисперсных аэрозолей. JL: Гидрометеоиздат, 1971. 208 с.

5. Долгунин В.Н., Иванов О.О., Уколов А.А. Кинетика сегрегации частиц различной шероховатости и упругости при быстром гравитационном течении зернистой среды // ТОХТ, 2009. Т. 43. N 2. С. 199-207

6. Зеленко В.Л., Мясников В.П. Теория циркуляционных движений в пузырьковом слое // Изв. АН СССР, МЖГ. 1985. N 5. С. 108-115.

7. Зеленко B.JL, Мясников В.П. Стационарные течения в пузырьковой колонне с вертикальными перегородками // Изв. РАН, МЖГ. 1992. N 3. С. 59-68.

8. Корнев А.А., Чижонков Е.В., Упражнения по численным методам. Часть 1. Изд. МГУ, Москва, 2003. 176 с.

9. Корнев А.А., Чижонков Е.В., Упражнения по численным методам. Часть 2. Изд. МГУ, Москва, 2003. 199 с.

10. Махвиладзе Г.М., Мелихов О.И. Движение облака частиц под действием силы тяжести и его осаждение на плоскую горизонтальную поверхность // Изв. АН СССР, МЖГ. 1982 N 6. С. 64-73.

11. Махвиладзе Г.М., Мелихов О.И., Соболева Е.Б. Естественная конвекция в запыленном газе // Изв. РАН, МЖГ. 1994. N 2. С. 46-52.

12. Невский Ю.А., Центрифугирование частиц во вращающемся сферическом объеме вязкой самогравитирующей жидкости// Сб. докл. конф.-конкурса молодых ученых, 12-14 октября, Институт механики, МГУ. 2004. С. 174-180.

13. Невский Ю.А., Осипцов А.Н., Инерционное разделение фаз во вращающемся объеме самогравитирующей среды// Сб. тез. конф. "Ломоносовские чтения", 18-25 апреля, МГУ, Москва. 2005. С.156

14. Невский Ю.А. О роли нестационарных и наследственных сил в задачах гравитационного оседания и флотации суспензий// Сб. докл. конф.-копкурса молодых ученых, 12-14 октября, Институт механики, МГУ. 2006. С. 193-201.

15. Невский Ю.А. О формировании плотностных иеоднородностей дисперсной фазы во вращающихся объемах вязкой жидкости// Тез. IX Всеросс. съезда по теор. прикл. мех., Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г. С. 187.

16. Невский Ю.А. Гравитационная конвекция суспензий и аэрозолей в наклонном сосуде// Труды института Механики УНЦ РАН, Изд-во "Гилем", Уфа. 2007. No. 5. С. 282-288.

17. Невский Ю.А. Моделирование гравитационной конвекции суспензий// Тез. докл. XV школы-семинара "Современные проблемы аэрогидродинамики", 5-15 сентября, Буревестник МГУ, Сочи. 2007. С. 82.

18. Невский Ю.А. Гравитационная конвекция суспензий в замкнутом наклонном сосуде// Сб. докл. конф.-копк. молодых ученых, 12-14 октября, Институт механики МГУ. 2007. С. 204-208.

19. Невский Ю.А. Моделирование гравитационной конвекции суспензий в замкнутом двумерном сосуде// Тез. докл. Всероссийской конференции "Современные проблемы механики сплошной среды", Москва, МИАН, 12-14 ноября 2007. С. 130-132.

20. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. Моделирование осаждения суспензии в наклонном резервуаре// Сб. тез. конф. "Ломоносовские чтения", 18-25 апреля, МГУ, Москва. 2008. С. 136-137.

21. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. О роли нестационарных и наследсвен-ных сил в задачах гравитационной конвекции суспензий // Вести. Моск. ун-та, Сер. 1, Мат., Мех. 2008. N 4 С. 37-40

22. Невский Ю.А., Осипцов А.Н., Моделирование гравитационной конвекции суспензий // Письма в ЖТФ. Т. 35. Вып. 7. 2009. С. 98-106.

23. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. Гравитационная конвекция суспензий с умеренной объемной долей включений// Сб. тез. конф. "Ломоносовские чтения", 18-25 апреля 2009, МГУ, Москва. 2009. С. 123-123.

24. Невский Ю.А., Модели самосогласующейся гравитационной миграции частиц в ньютоновских средах// Сб. докл. междун. конф. "Современные проблемы математики, механики и их приложений", Москва. 2009. С. 290-291.

25. Невский Ю.А. Гравитационная конвекция суспензий с малоинерционными частицами// Сб. докл. XVI междун. конф. ВМСПСС, Алушта 2009. С. 549-552.

26. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. Моделирование гравитационной конвекции суспензий в случае малоинерционных частиц//Сб. инновац. проектов мех-мат. ф-та и Инст. механики МГУ, Москва. 2009. С. 5557.

27. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

28. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 1. М.: Наука, 1987. 464 с.

29. Осипцов А.Н. К учету конечности объема и гидродинамического взаимодействия частиц в газовзвесях // Доклады АН СССР. 1984. Т. 275. N 5. С. 1073-1076.

30. Осипцов А.Н. Развитие лагранжева подхода для моделирования течений дисперсных сред. В сб.: Проблемы современной механики. К 85-летию со дня рождения академика Г.Г. Черного. М.: Изд. МГУ, 2008. С. 390-407.

31. Протодьяконов И.О., Люблинская И.Е., Рыжков А.Е. Гидродинамика и массообмен в дисперсных системах жидкость твердое тело. Л.:Химия, 1987. 336 с.

32. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20. Вып. 2. С. 184-195.

33. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 616 с.

34. Сапожников С. Ю. Повышение эффективности флокуляции взвешенных глинистых частиц, накапливаемых в технологической воде при оборотном водоснабжении драг, автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук, 2006, Чита, 22 с.

35. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1,2. М.: Наука, 1973. 584 с.

36. Стернин Л.Е., Маслов Б.Н., Шрайбер А.А., Подвысоцкий A.M. Двухфазные моно- и полидиспесные течения газа с частицами. М: Машиностроение, 1980. 173 с.

37. К. Хуанг. Статистическая механика. М.: Мир, 1966. 520 с.

38. Черный Г.Г. Плоские установившиеся автомодельные вихревые течения идеальной жидкости (кеплеровы движения) // ДАН, Механика, 1997. Т. 352. N 3. С. 335-338.

39. Acrivos A., Herbolzheimer Е. Enhanced sedimentation in settling tanks with inclined walls //J. Fluid Mech. 1979. V. 92. P. 435-457.

40. Adams E.W., Rodi W. Modelling flow and mixing in sedimentation tanks// J. Hydraulic Engng. 1990. V. 116. P. 895-913.

41. Allen T. Particle size measurement. London: Chapman and Hall, 1990.

42. Asmolov E.S. Evolution of fluctuations in a suspension sedimenting in a container bounded by horizontal walls // Phys. Fluids. 2004. V.16. N 8. P. 3086-3093.

43. Auzerais F. M., Jackson R., Russel W. B. The resolution of shocks and the effects of compressible sediments in transient settling //J. Fluid Mech. 1988. V. 195. P. 437-462.

44. Auzerais F. M., Jackson R., Russel W. В., Murphy W. F. The transient settling of stable and flocculated dispersions //J. Fluid Mech. 1990. V. 221. P. 613-639.

45. Basset А.В., On the motion of a sphere in a viscous liquid // Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A. 1888. V. 179 P. 43-63.

46. Barnea A., Mizrahi J. A generalized approach to the fluid dynamics in settling tanks with inclined walls. // J. Fluid Mech. 1977. V. 92. P. 435457.

47. Batchelor G. K. Sedimentation in a dilute dispersion of spheres // J. Fluid Mech. 1972. V. 52 P. 245-268.

48. Batchelor G. K. Sedimentation in a dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 1. General theory. // J. Fluid Mech. 1982. V. 119. P. 379-408.

49. Blanchette F., Peacock Т., Bush J.W.M. The Boycott effect in magma chambers// Geophys. Res. Letters. 2004, V. 31. P. L05611-L05624.

50. Blanchette F.A. Sedimentation in a Stratified Ambient. Massachusetts Inst, of Technology, 2003. Ph.D. Diss. 156 p.

51. Belmonte A., Jacobson J., Jayaraman A. Monotone solutions of a nonautonomous differential equation for a sedimenting sphere// Electr. J. Diff. Equat. 2001. N62. P. 1-17.

52. Boussinesq J., Applications l'etudes des potentiels //Blandchard, Paris 1885.

53. Boycott A. E. Sedimentation of blood corpuscles // Nature. 1920. V. 104 P. 532.

54. Brady J.F., Phillips R.J., Lester J.C., Bossis G. Dynamic simulation of hydrodinamically interacting suspensions // J. Fluid Mech. 1988. V. 195. P. 257-280.

55. Brinkman H.C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles // Appl. Sci. Res. Sect. A. 1947. V. 1. N 1. P. 27-34.

56. Bruneau D., Feuillebois F., Anthore R., Hinch E.J. Three-dimensional intrinsic convection in dilute and dense dispersions of settling spheres // Phys. Fluids. 1998. V. 10. N. 55. P. 869549-869554.

57. Buscall R., Goodwin J. W., Ottewill R. H., Tadros, T. F. The settling of particles through Newtonian and non-Newtonian media //J. Colloid Interface Sci. 1982, V. 85 P. 78-86.

58. Cerisier P., Porteriea В., Kaiss A., Cordonnier J. Transport and sedimentation of solid particles in Benard hexagonal cells // Eur. Phys. J. 2005. E 18. P.85-93.

59. Corrsin S., Lumlley J.L. On the equation of motion of a particle in a turbulent fluid // Appl. Sci. Res. 1957. Sect. A. 6 P. 114-116.

60. Davis R. H., Acrivos A. Sedimentation of noncolloidal particles at low Reynolds numbers // Ann. Rev. Fluid Mech. 1985. V. 17. P. 91-118.

61. Davis K.E., Russel W.B. An asymptotic description of transient settling and ultrafiltration of colloidal dispersions // Phys. Fluids A. 1989. V. 1. P. 82-100.

62. Dobashi Т., Idonuma A., Toyama Y., Sakanishi A. Effect of concentration on enhanced sedimentation rate of erythrocytes in an inclined vessel // Biorheology. 1994. V. 31. P. 383-393.

63. Drew D.A. Mathematical modeling of two-phase flow // Ann. rev. fluid, mech. 1983. V. 15. P. 261-291.

64. Druzhinin O.A., Ostrovsky L.A. The influence of Basset force on particle dynamics in two-dimensional flows // Physica D. 1994. V. 76. P. 34-43.

65. Einstein A. Eine neue Bestimmung der Molekuldimensionen // Ann. Phys. 1906. V. 19. P. 289-306.

66. Fazio R., Jannelli A., Second order positive schemes by means of flux limiters for the advection equation // IAENG Inter. J. Appl. Math. 2009., V.39., P. 25-35.

67. Feng J., Joseph D. The unsteady motion of solid bodies in creeping flows // J. Fluid Mech. 1995. V. 303, P. 83-102.

68. Fitch B. Kynch theory and compression zones // AICHE Journal. 1983. V. 29. P. 940-947.

69. Garside J., Al-Dibouni M. R. Velocity-voidage relationship for fluidization and sedimintation in solid-liquid systems. // Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev. 1977. V. 16. P. 206-214.

70. Geigenmuller U., Mazur P. Sedimentation of homogeneous suspension in finite vessels // J. Stat. Phys. 1988. V. 53. P. 137-173.

71. Gidaspow D. Multiphase flow and fluidization. San Diego: Acad. Press, 1994.

72. Graham W., Lama R. Sedimentation in inclined vessels // Can. J. Chem. Engng. 1963. V. 41. P. 31-32.

73. Graham A. L. On the viscosity of suspensions of solid spheres // Applied Scientific Research. 1981. V. 37. P. 275-286.

74. Happel J., Brenner H. Low Reynolds Number Hydrodynamics. Prentice-Hall, 1965. 553 p.

75. Herbolzheimer E., Stability of the flow during sedimentation in inclined channels // Phys. Fluids. 1983. V. 26. P. 2043-2054.

76. Stiles P.J., Kagan M. Convective sedimentation of colloidal particles in a bowl// J. Colloid Interphase Sci. 1999. V. 216. N1. P. 193-195.

77. Hill W.D., Rothfus R.R., Li Кип. Boundary-enhanced sedimentation due to settling convection//Int. J. Multiphase Flow. 1977. V. 3. N. 6. P. 561583.

78. Hinch E.J. An averaged-equation approach to particle interactions in fluid suspension //J. Fluid Mech. 1977. V. 83. Pt. 4. P. 695-720.

79. Kim S. Sedimentation of two arbitrarily oriented spheroids in a viscous fluid // Intl J. Multiphase Flow. V. 11. P. 699-712.

80. Kinosita K. Sedimentation in tilted vessels //J. Colloid Interphase Sci. 1949. V. 4. P.524-536.

81. Koyaguchi Т., Hallworth M.A., Huppert H.E., Sparks R.S.J. Sedimentation of particles from a convecting fluid// Nature. 1990. V.343. P. 447-450.

82. Kynch G. J. A theory of sedimentation // Trans. Faraday Soc. 1952. V. 48. P. 166-176.

83. Lyubimov D.V., Bratsun D.A., Lyubimova T.A., Roux B. Influence of gravitational precipitation of solid particles on thermal buoyancy convection// Adv. Space Res. 1998. V. 22. N8. P. 1267-1270.

84. Maimoni A. Lamella settlers: Material balances and clarification rates // Environmental Progress. 2008. V. 7. N 2. P. 93-98.

85. Marble F.E. Dynamics of dusty gases // Annu. Rev. Fluid Mech. 1970. V. 2. P. 397-446.

86. S.Marsili-Libelli, Dynamic modeling of sedimental in the activated sludge process // Cwil. Eng. Syst. 1993. V. 10. P. 207-224.

87. Maxey M.R., Riley J.J. Equation of motion of a small rigid sphere in a nonuniform flow // Phys. of Fluids. 1983. V. 26, P. 883-891.

88. McCaffery S.J., Elliott L., Ingham D.B. Enhanced sedimentation in inclined fracture channels // Topics in engineering. 1998. V. 32, 291 p.

89. Metzger В., Guazzelli E., Butle J. E. Large-Scale Streamers in the Sedimentation of a Dilute Fiber Suspension // Phys. Rev. Letters. 2005. PRL 95, P. 164506 1-4.

90. Michaelides E.E. A novel way of computing the basset term in unsteady multiphase flow computations // Phys Fluids. A 4. P. 1925-1928.

91. Michaelides E.E. Hydrodynamic force and heat/mass transfer from particles, bubbles, and drops the freeman scholar lecture //J. Fluids Engineering. 2003. V. 125. P. 209-238.

92. Nakamura H., Kuroda K. La cause de l'acceleration de la vitesse de sedimentation des suspensions dans les recipients inclines // Keijo J. Med. 1937. V. 8. P. 256-296.

93. Nevskii Yu. A., Osiptsov A.N. Modeling of Gravitational Convection in Suspension with Low-Inertia particles// Abstr. Intern. Conf. "Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres", Moscow 2009. V. 1. P. 172175.

94. Nguyen N.-Q., Ladd A. J. C. Sedimentation of hard-sphere suspensions at low Reynolds number //J. Fluid Mech. 2005. V. 525. P. 73-104.

95. Nigam M.S. Numerical simulation of buoyant mixture flows // Int. J. of Multiphase Flow. 2003. V. 29. P. 983-1015.

96. Ockendon J.R., Ewans G.A. The drag on a sphere in low Reynolds number flow//J. Aerosol Sci. 1972. V.3. 377-386.

97. Oliver D. R., Jenson V. G. The inclined settling of dispersed suspensions of spherical particles in square-section tubes // Can. J. Chem. Engng. 1964. V. 42. P. 191-195.

98. Oseen C.W., Uber den goltigkeitsbereich der stokesschen widerstandsformel // Ark. Mat., Astron Phys. 1913. P. 9-19.

99. Osiptsov A.N. Lagrangian modeling of dust admixture in gas flows // Astrophysics and Space Science. 2000. V. 274. P. 377-386.

100. Ponder E. On sedimentation and rouleaux formation // Q. J. Exp. Physiol. 1925. V. 15. P. 235-252.

101. Proudman L., Pearson J.R.A. Expansions at small Reynolds numbers for the flow past a sphere and circular cylinder // J. Fluid Mech. 1957. V. 2. P. 237-262.

102. Richardson J. F., Zaki W. N. Sedimentation and fluidization: Part I. // Trans. Inst. Chem. Eng. 1954. V. 32. P. 35-53.

103. Rubinov S.J., Keller J.B. Transverse force on a spinning sphere moving in a viscous fluid // J. Fluid. Mech. 1961. V. 11. P. 447-458.

104. Saffman P.G. The lift on a small sphere in a slow shear flow // J. Fluid Mech. 1965. V. 22. P. 385-400. Corrigendum: J. Fluid Mech. 1968. V. 31, P. 624.

105. Saffman P.G. On the settling speeds of free and fixed suspensions// Stud. Appl. Math. 1973. V. 52. P. 115-127.

106. Schaflinger U., Acrivos A., Zhang K. Viscous resuspension of a sediment within a laminar and stratified flow //Int. J. Multiphase flow. 1990. V. 16. P. 567-578.

107. Schaflinger U., Kiippl W.A., Filipczak G.O. Sedimentation in cylindrical centrifuges with compartments // Ingenieur-Arehiv. 1986. V. 56. P. 321331.

108. Sha Z.S. et al. CFD simulation of solid suspension in a stirred tank// J. Chem. Engng. Japan. 2001. V.34. N5. P. 621-626.

109. Saintillan D., Shaqfen E.S.G., Darve E. The growth of concentration fluctuations in dilute dispersions of orient able and deformable particles under sedimentation // J. Fluid Mech. 2006. V. 553. P. 347-388.

110. Sobral Y.D., Oliveira T.F., Cunha F.R. On the unsteady forces during the motion of a sedimenting particles // Powder Technology. 2007. V. 178 P. 129-141.

111. Tam C.K.W. The drag on a cloud of spherical particles in low Reynolds number flow// J. Fluid Mech. 1969. V. 38. P. 537-546.

112. Tchen C.M. Mean values and correlation problems connected with the motion of a small particals suspended in a turbulent fluid // Doctoral dissertation. The Netherlands. Technical University of Delft. 1949.

113. Thomas D. G., Transport characteristics of suspension: VIII. A note on the viscosity of Newtonian suspensions of uniform spherical particles // J. Colloid Sci. 1965, V. 20, P.267-277.

114. Ungarish M., Hydrodynamics of Suspensions: Fundamentals of Centrifugal and Gravity Separation. Berlin: Springer, 1993. 317 p.

115. Unwin A. T. Literature review on particle settling in Newtonian and non- Newtonian fluids // SCR Scientific Report 029/FLM/C 1992, Schlumberger Cambridge Research Ltd., Cambridge.

116. Villat H., Lecons sur les Fluides Viscueux. Paris: Gauthier-Villars, 1943. 540 p.

117. Vohra D. К., Ghosh В. Studies of sedimentation in inclined tubes // Indian Chem. Engr. 1971. V. 13. P. 32-40.

118. Wallner J., Schaflinger W. U. Viscous resuspension of a sediment caused by oscillating stratified flows // Acta Mechanica. 1998. V. 127. P. 147-153.

119. Wen C.-S. Batchelor G. K. Sedimentation in a dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 2. Numerical results. // J. Fluid Mech. 1982. V. 124. P. 495-528.

120. Zahavi E., Rubin E., Settling of solid suspensions under and between inclined surfaces // Ind. Eng. Chem. Process Design Develop. 1975. V. 14. P. 34-41.