Электрогидродинамика однородных суспензий сферических частиц с поверхностным зарядом двойного слоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Орешина, Инна Валерьевна

• Орешина, Инна Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Орешина, Инна Валерьевна

Содержание

Список принятых в диссертации обозначений, сокращений

и терминов

Введение -

1 Электрогидродинамические модели движения сферической частицы с поверхностным зарядом двойного слоя

1.1 Основные предположения и уравнения

1.2 Осаждение капли с ДЭС

1.3 Электрокапиллярное движение капли

1.4 Осаждение твердой частицы с ДЭС

1.5 Электрофорез твердой частицы

1.6 Электрофорез твердой частицы в стадии локального пробоя ДЭС

Основные результаты и выводы по главе

2 Электрогидродинамическая модель суспензии: движение пробной частицы с ДЭС в эффективной среде

с точечными особенностями

2.1 Основные предположения о суспензии

2.2 Осредненные уравнения и граничные условия, общие

для всех моделей

2.3 Модель осаждения суспензии капель

2.4 Модель электрокапиллярного движения суспензии капель

2.5 Модель осаждения суспензии твердых частиц

2.6 Модель электрофореза суспензии твердых частиц

3 Эффективные характеристики однородных суспензий сферических частиц с поверхностным зарядом двойного слоя: возврат к суспензии частиц конечного размера

3.1 Скорость движения суспензии

3.1.1 Скорости осаждения суспензии капель и твердых частиц с ДЭС

3.1.2 Скорости электрокапиллярного движения и электрофореза

3.2 Седиментационный потенциал суспензии капель с ДЭС

3.3 Электрическая проводимость суспензии капель с ДЭС 95 Основные результаты и выводы по главе

А Вывод формулы для конвективного электрического тока на поверхности твердой частицы

В Точные значения коэффициентов для модели суспензии

В.1 Коэффициенты для задачи осаждения капли с ДЭС в

системе точечных частиц

В.2 Коэффициенты для задачи электрокапиллярного движения капли в системе точечных частиц

В.З Коэффициенты для задачи осаждения частицы с ДЭС

в системе точечных частиц

В.4 Коэффициенты для задачи электрофореза частицы в

системе точечных частиц

Литература

Список принятых в диссертации обозначений, сокращений и терминов

а - радиус капли (частицы)

с1 - толщина двойного электрического слоя

д - плотность поверхностного заряда двойного слоя

ср - электрический потенциал

и - скорость жидкости

р - давление в жидкости

рг0 - касательная составляющая тензора вязких напряжений

р - плотность жидкости

ио - модуль скорости осаждения капли

ио - безразмерная скорость осаждения капли (с обратным знаком)

р - коэффициент динамической вязкости

а - коэффициент электропроводности

в - угол сферической системы координат

\7о - поверхностный градиент

сНу0 - поверхностная дивергенция

3 - плотность электрического тока

ие - скорость электрокапиллярного движения одиночной капли

Ео - напряженность внешнего электрического поля

7 - поверхностное натяжение

г>о - коэффициент в выражении для скорости жидкости на поверхности одиночной капли

- коэффициент в выражении для скорости жидкости на расстоянии (1 от твердой частицы

ие/ - скорость электрофореза одиночной частицы к - единичный вектор, направленный вдоль полярной оси

сферической системы координат с - объемная концентрации частиц в суспензии 15\ - скорость эффективного однородного потока, содержащего

точечные частицы щ - безразмерная скорость эффективного однородного потока,

содержащего точечные частицы д(г) - бинарная коррелятивная функция VI - коэффициент в выражении для скорости жидкости

на поверхности выделенной капли в системе точечных частиц в задаче об осаждении капли с ДЭС ре - плотность объемного заряда 5 - диэлектрическая проницаемость среды £{} - диэлектрическая проницаемость вакуума р - дипольный момент частицы Р - вектор поляризации

с пол. ~ поверхностная плотность поляризационного заряда

Ссвоб. - поверхностная плотность свободного заряда

ие - модуль скорости электрокапиллярного движения капли

в системе точечных частиц ие/ - модуль скорости электрофореза частицы в суспензии

точечных частиц Уе - коэффициент в выражении для скорости жидкости

на поверхности выделенной капли в суспензии точечных частиц в задаче об электрокапиллярном движении

скорость движения дисперсной фазы суспензии в системе отсчета, где среднеобъемная скорость равна нулю

скорость движения несущей фазы суспензии в системе отсчета, где среднеобъемная скорость равна нулю

среднеобъемная плотность тока среднеобъемный градиент потенциала эффективная электропроводность суспензии

<7 == с'/и

Д = ¿¿'/¿г

двойной электрический слой

электрогидродинамика (электрогидродинамический)

* * *

Штрихом " '" обозначены величины, относящиеся к жидкости внутри капли (в безразмерных переменных область г < 1);

звездочкой " *" — осредненные величины, относящиеся к области г > 2.

Угловыми скобками (• • ■} обозначены величины, осредненные по ансамблю возможных конфигураций.

Фигурными скобками {• • •} обозначается скачок величины при переходе через какую-нибудь поверхность.

Горизонтальная черта сверху величины означает осреднение по шару единичного радиуса.

Векторные величины выделены полужирным шрифтом.

и»

иг

ъ

(У г

дэс эгд

В диссертации принята двойная нумерация формул: первое число соответствует номеру главы, а второе — номеру формулы в данной главе.

Электрокинетические явления — общее название электрогидродинамических эффектов, обусловленных наличием на поверхности частиц двойного электрического слоя. Математически ДЭС представляет собой дипольное распределение заряда на поверхности раздела фаз.

Электрофорез — движение твердых частиц с двойным электрическим слоем на поверхности в растворе под действием внешнего электрического поля.

Потенциал падения (седиментационный потенциал) — эффект, обратный электрофорезу: при движении частиц, вызванном неэлектрическими силами (например, при оседании в поле тяжести), в растворе возникает электрическое поле.

Электроосмос — движение раствора во внешнем электрическом поле вблизи неподвижной стенки.

Электрокапиллярное движение — движение капель с ДЭС во внешнем электрическом поле.

Идеальная поляризация ДЭС — состояние, при котором заряды двойного слоя не могут переходить с одной его обкладки на другую.

Суспензия — система частиц (жидких или твердых), помещенных в жидкость.

Эмульсия — суспензия капель (система капель, помещенных в жидкость).

Эффективные характеристики — средние параметры системы; двухфазную систему, в которой масштаб изменения сред-необъемных величин значительно превышает среднее расстояние между соседними частицами дисперсной фазы, можно рассматривать как однородную среду, характеризуемую своими (эффективными) значениями электропроводности, напряженности электрического поля, скорости движения и т.д.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электрогидродинамика однородных суспензий сферических частиц с поверхностным зарядом двойного слоя»

Введение

Настоящая диссертационная работа посвящена актуальной проблеме — теории электрокинетических явлений, имеющей существенное значение и для электрогидродинамики как раздела теоретической физики или механики сплошных сред, и для электрохимии, одного из классических разделов химии, имеющего достаточно длинную историю развития и многочисленные приложения. Областью исследований, выполненных в данной диссертации, явилось установление количественной связи эффективных (осредненных) электрогидродинамических характеристик суспензий хаотически, но статистически однородно распределенных сферических частиц (жидких или твердых) с тонким двойным электрическим слоем (ДЭС) на поверхности, погруженных в вязкую электропроводную жидкость, с параметрами суспензии. Такая связь в данной работе получена на основе аналитического решения системы электрогидродинамических уравнений с соответствующими граничными условиями с помощью аппарата обобщенных функций и осреднения по ансамблю возможных конфигураций. В результате рассмотрения процессов осаждения суспензий твердых и жидких частиц, электрофореза и электрокапиллярного движения суспензий получены аналитические выражения для среднрк скоростей осаждения суспензий и эмульсий, скорости электрокапиллярного движения эмуль-

сии, скорости электрофореза суспензии, седиментационного потенциала и эффективной электропроводности эмульсии как функции объемной концентрации включений, вязкости и электропроводности дисперсионной фазы, а также параметров ДЭС, вязкости и электропроводности жидкости внутри капли.

Под электрогидродинамическими (ЭГД) процессами понимают такие процессы, при которых электрическая энергия значительно больше энергии магнитного поля [ 1 ]. Если рассматривать только квазиэлектростатические явления, то эффектами магнитной индукции можно пренебречь.

В качестве примера, поясняющего различие между магнито- и электрогидродинамическими явлениями, рассмотрим систему, имеющую единственную характерную длину I и однородные проводимость сг, диэлектрическую проницаемость £ и магнитную проницаемость fi. Тогда можно выделить три временных константы: время релаксации электрического заряда те = ег/сг, время магнитной диффузии тт = fiai2 и время распространения электромагнитных волн тет = л/¡1 £ Р = д/ге • тт. Из последнего равенства видно, что если те и гт различны по порядку, то одна из этих величин должна быть больше времени распространения волн. В случае тт >> те представляют интерес магнитогидродинамические явления; ток смещенр1я и величина связанных зарядов пренебрежимо малы, но магнитная индукция играет существенную роль. Наоборот, если те тт, то взаимодействия являются электрогидродинамическими; магнитная индукция пренебрежимо мала, а эффекты сохранения зарядов существенны.

Э Г Д-взаимо действия обычно относят к одной из четырех основных категорий [ 1 ]:

1) взаимодействия, полностью обусловленные явлением поляризации; эффекты свободных зарядов и, следовательно, проводимости не учитываются [2 ];

2) взаимодействия свободных зарядов, распределенных в некотором характерном объеме [ 3 - 5 ];

3) взаимодействия свободных зарядов, которые располагаются, в основном, на поверхности раздела и могут быть описаны при помощи простого слоя [ б ];

4) взаимодействие свободных зарядов, образующих на поверхности раздела двойной слой. То есть распределение зарядов у поверхности является дипольным распределением с электрическим полем между слоями непрерывно распределенных положительных и отрицательных зарядов [ 7, 8 ].

В настоящей работе будут рассматриваться только ЭГД-явления последнего типа, имеющие место в различных дисперсных системах, или смесях.

Заметим, что смеси жидкости с твердыми частицами обычно называют суспензиями, а смеси жидкости с каплями другой жидкости — эмульсиями. Однако в научной литературе по механике часто всякая дисперсная смесь называется суспензией [ 9 ].

Под частицами (как твердыми, так и жидкими, то есть каплями) понимаются частицы таких размеров, что их можно считать образующими отдельную фазу, например, капельки ртути в электролите. Нижний предел размеров частиц определим так, что (1) вещество внутри и вне частиц можно считать сплошной средой, (2) броуновское движение не оказывает влияния на движение

частиц, (3) толщина двойного слоя мала по сравнению с размерами частиц (подробнее о строении ДЭС будет сказано ниже). Таким образом, в диссертации не рассматриваются микрочастицы, размеры которых сопоставимы с размерами ионов. Электрогидродинамика таких частиц рассматривается, например, в монографии [ 10 ]. Верхний предел размеров частиц должен быть таким, чтобы число Рейнольдса оставалось малым: Де <С 1. Здесь Не = раи/р, где р — плотность, р — коэффициент динамической вязкости, V — скорость, а — характерный линейный размер. В эмульсиях, кроме того, размер капель не должен превышать величины, при которой они утрачивают сферическую форму. Для иллюстрации укажем, что всем перечисленным условиям удовлетворяют, например, капли ртути радиуса 3-10-4 — 6-10~2см в растворах различных электролитов [ 7].

При движении частиц с двойным электрическим слоем на поверхности возникают различные электрогидродинамические эффекты, получившие общее название электрокинетических явлений [ 7,8 ]. Изучение такого рода явлений началось еще в прошлом веке с исследований Ф.Ф.Рейсса, опубликовавшего в 1809 году первую работу о движении жидкости относительно дисперсных систем. Все электрокинетические явления имеют общий механизм, связанный с относительным перемещением различных фаз. Если на раствор, содержащий твердые частицы с ДЭС, наложить внешнее электрическое поле, то частицы придут в движение, получившее название электрофореза. Движение капель под действием электрического поля называется электрокапиллярным движением. Наблюдается и обратный этому эффект — при движении частиц, вызванном неэлектрическими силами (например, при оседании в

поле тяжести), в растворе возникает электрическое поле (потенциал падения или седиментационный потенциал). Те же самые явления могут наблюдаться и в том случае, когда роль движущейся фазы играет сам раствор. Движение раствора в поле называется электроосмосом.

Электрокинетическим явлениям посвящена обширная литература [ 7,8,11 -13 ]. Особенно детально с теоретической и экспериментальной стороны изучался процесс электрофореза, имеющий большое практическое значение. Как метод получения покрытий из различных дисперсных систем, электрофорез получает все большее распространение в силу таких преимуществ как возможность управления микроструктурой и свойствами материалов, а также равномерность распределения осадка на поверхностях различной конфигурации [ 8,14,15 ]. Методы электрофореза применяются для диагностических целей при оценке патологических процессов в организме [ 16,17 ]. В клинической практике получил широкое распространение способ введения в организм лекарственных веществ с помощью электрического поля (лечебный электрофорез), а также обратное ему явление — выведение из живого организма ядов (электроэлиминация) [ 8 ]. Широкое применение находят электроосмос и электрофорез в хлебопекарной, крахмалопаточной, плодоовощной и других отраслях пищевой промышленности для концентрирования жиробелковых композиций, разделения и извлечения продукта из коллоидного раствора, обезвоживания пищевых масс. В последнее время показано, что электрокинетические явления могут служить одной из причин движения бактерий [ 18 ], что теоретически было предсказано еще в [ 8 ]. Поэтому развитие теоретических представлений в этой области может оказаться полезным для широкого

круга приложений.

Несмотря на то, что интерес к указанной выше проблеме имеет давнюю историю, в затрагиваемых в диссертации вопросах есть свои проблемы, часть из которых не получила однозначного решения до сих пор. Одной из таких сложных проблем является вопрос о строении ДЭС [ 8,11,19-21 ] и др. Реальный ДЭС имеет следующую структуру. На поверхности частицы по разным причинам самопроизвольно возникает поверхностный заряд (либо из-за наличия ионогенных групп, либо в силу специфической адсорбции ионов и т.п.). Эти ионы называют потенциалобразующими (1 на рис. 0.1). Из жидкой среды к твердой поверхности притягиваются ионы, знак которых противоположен знаку потенциалобразующего слоя; их называют противоионами (2 на рис. 0.1).

Простейшей моделью ДЭС является предложенная Гельмголь-цем в 1879 году модель плоского конденсатора (рис. 0.1а), согласно которой противоионы жестко притянуты к потенциалобразующим ионам на поверхности, так что двойной слой является конденсатором с очень малым расстоянием между его обкладками (порядка диаметра молекулы воды). падение потенциала между слоями происходит линейно. Непосредственно у поверхности ионы образуют плотный слой толщиной 2-3 ангстрема. Дальнейшее развитие теория ДЭС получила в работах Гуи (1910) и Чепмена (1913) на основе сопоставления электростатического взаимодействия проти-воионов с энергией их теплового движения. Согласно модели Гуи-Чепмена противоионы рассматриваются как точечные заряды, не имеющие собственных размеров, расположенные в диффузном слое (рис. 0.16), а потенциал экспоненциально снижается по мере удаления от поверхности. Современные теоретические представления

+ + + + + + + + + + + + + +

\

а

4

а

+

+

+ + + +

б

+ + + + +

+

в

ф

ф

Рис. 0.1: Модели строения ДЭС: а — Гельмгольца; б— Гуи-Чепмена; в — Штерна; 1 — потенциалобразующий слой ионов; 2, 3 — противоионы в адсорбционном (2) и диффузном (3) слоях; 8 — толщина адсорбционного слоя

о ДЭС базируются на основной модели Штерна, но содержат ряд усовершенствований, которые были внесены в последующие годы А.Н.Фрумкиным, О.А.Есиным, Д.Грэмом, Р.Парсонсом и др. Согласно теории Штерна (рис. 0.1 в), противоионы находятся в двух положениях: одна их часть образует адсорбционный слой (иногда его называют плотным слоем или слоем Гельмгольца); другая часть противоионов находится в диффузном слое. В отличие от адсорбционного слоя противоионы диффузного слоя не закреп-

лены, в результате диффузии и взаимного отталкивания они способны перемещаться в пределах диффузного слоя, а при наличии гидродинамических течений или внешнего электрического поля — покидать пределы ДЭС. При этом Штерн также учел собственные размеры ионов. Точки А и Б на рис. 0.1 б характеризуют потенциалы адсорбционного и диффузного слоев.

Существующие в настоящее время теории приводят к весьма сложным и громоздким выражениям для распределения заряда и потенциала в двойном слое, что препятствует эффективному применению полученных результатов в гетерогенной электрогидродинамике. В диссертации выбрана одна из простейших моделей в теории электрокинетических явлений — модель тонкого ДЭС [ 7,8,13 ], которая позволяет не рассматривать процессы внутри ДЭС, а заменить их граничными условиями. Последние однозначным образом следуют из трех фундаментальных законов сохранения: массы, количества движения и электрического заряда. Таким образом удается подвергнуть анализу интересующие нас физические явления, избежав весьма громоздких выкладок.

Рассмотрим выбранную модель двойного слоя подробнее. Она включает в себя следуюпще основные предположения [ 7 ]:

1. ДЭС тонкий, то есть его толщина много меньше радиуса частицы [й <С а)

Поэтому ДЭС моделируется своеобразным "конденсатором", обкладки которого находятся на молекулярном расстоянии друг от друга. Заряд одной из них равен по модулю и противоположен по знаку заряду другой. Таким образом частица в целом электронейтральна. Форма такого конденсатора совпа-

дает с формой поверхности частицы и при движении жидкости практически не деформируется.

2. Вне ДЭС среда считается электронейтралъной (ре = 0). То есть для тонкого ДЭС за его пределами можно считать объемную плотность заряда равной нулю и, следовательно, распределение электрического заряда — удовлетворяющим уравнению Лапласа (А(р = 0).

Вообще, объемный заряд вне ДЭС может порождаться, например, сильными электрическими полями. Тогда частица с двойным слоем перестает быть электронейтральной, и для нее характерно дальнодействие поля, то есть убывание поля при удалении от частицы более медленное, чем полей электронейтральных мультиполей [ 22 ]. Заметим, что при тонких ДЭС в умеренных электрических полях нелинейные по полю эффекты проявляются слабо и их можно не учитывать [ 21,23-25 ].

3. ДЭС идеально поляризован. Это предположение означает запрет на переход зарядов с одной обкладки двойного слоя на другую его обкладку (невозможность "разрядки конденсатора"). Поэтому закон сохранения заряда должен выполняться отдельно в области внутри частицы с прилегающей обкладкой ДЭС, и отдельно — в области вне ее, включающей внешнюю обкладку ДЭС. Так как исследуемые в диссертации процессы стационарны, то этот закон будет иметь вид:

сНУУ - 0, ¿IV} = 0,

— плотность электрического тока. Штрихом " '" будем

обозначать величины внутри капли. Отсюда следуют граничные условия на поверхности капли [ 7 ]:

г = а: зп + <1Ьг0 }'9 = 0, -]п + <Кув }в = 0.

Индекс п означает нормальную составляющую к поверхности капли, индекс в — касательную составляющую. В сферической системе координат, связанной с центром частицы, в силу осевой симметрии задачи касательная составляющая имеет только проекцию на ось е<?, проекция на ось е^ равна нулю. Поэтому поверхностная дивергенция равна

. 1 д(зтвзв) = ——-^-

Г ЭШ в Ои

Так как вне ДЭС жидкость предполагается электронейтральной, то ]п может быть только током проводимости (конвективный ток отсутствует: ]п = реап = 0 ). Поэтому последние уравнения принимают вид

д^р1 дер

г = а: - ст'-^г + ¿п^ ^ = ^^ + ^в Зв = 0.

4. Поверхностный электрический ток считается конвективным. Ионы ДЭС обусловливают существование дополнительного, по сравнению с незаряженными частицами, поверхностного тока. В настоящее время в электрогидродинамической и электрохимической литературе можно выделить два основных подхода к его учету. Первый заключается в предположении

о существовании повышенной, по сравнению с объемной, поверхностной проводимости двойного слоя СГдэс и связанного с ней тока проводимости ]в = адэсЕд, причем величина адэс зависит от конкретной модели двойного слоя [ 8,11 ]. Второй способ основывается на предположении, что заряд ДЭС переносится поверхностными гидродинамическими потоками [ 7 ]. Тогда, обозначая поверхностную плотность заряда внешней обкладки ДЭС через запишем поверхностный ток в виде

г = а: }в = qщ^

Если жидкости внутри и вне капли вязкие, то для внутренней обкладки будем иметь и^ — и^. А так как q = —</, то поверхностный ток здесь будет равен

г = а: Ув = -ди*.

Итак, в диссертации поверхностный ток считается конвективным.

Заметим, однако, что в [ 7 ] используется одно и то же выражение для тока ¿в как на поверхности капли, так и на поверхности твердой частицы. Но так как поля скорости вблизи поверхности в этих случаях разные, то выражение для поверхностного тока у твердой поверхности нужно уточнить. Такая процедура была проделана в [ 26 ] и приводится в Приложении А в связи с труднодоступностью указанного источника.

С помощью предложенной модели ДЭС в [ 7 ] были решены задачи об электрокапиллярном движении одиночной капли, электрофорезе и осаждении одиночной твердой частицы и жидкой капли. Получены распределения электрического потенциала в окрестности частиц и скорости их движения. Эксперименты, проведенные на химическом факультете МГУ и в институте электрохимии АН СССР еще в 50-х годах, доказали правомочность данной модели двойного слоя для задач электрогидродинамики.

В настоящей диссертации исследуются статистически однородные крупнодисперсные суспензии сферических капель и твердых частиц с тонким ДЭС на их поверхностях в случае умеренных объемных концентраций включений, то есть до с < 0.2.

Теоретически наиболее разработанным классом двухфазных систем являются малоконцентрированные смеси, соответствующие значениям объемной концентрации частиц с -с 1. Это объясняется тем, что в данном случае частицы можно считать независимо расположенными и невзаимодействующими друг с другом, так что для определения различных средних величин можно пользоваться известными результатами решения задач для изолированных частиц. По существу, именно таким способом вычислен седимента-ционный потенциал системы частиц в [ 8 ] и системы капель в [ 7 ], электропроводность суспензии твердых частиц в [ 12,27 ].

Обобщение результатов, полученных для разбавленных систем, на случай смесей с умеренной и высокой объемной концентрацией частиц сталкивается с рядом трудностей. В настоящее время в гидродинамике существует несколько подходов к описанию сово-

купностей частиц. Первый из них — ячеечная модель суспензии [ 28 ], в которой принимается, что облако частиц может быть представлено как совокупность одинаковых ячеек, в каждой из которых находится одна частица. При этом существует некоторый произвол в выборе формы и граничных условий на поверхности ячейки, который, как показано в многочисленных работах по суспензиям незаряженных частиц, приводит к различным результатам для осред-ненных характеристик суспензии [ 28-30 ]. Этот метод был распространен на частицы с поверхностным зарядом ДЭС [ 31 ] и использовался для рассчета электропроводности концентрированных дисперсных систем в приближении тонкого ДЭС [ 32 ], а также для вычисления скорости электрофореза суспензии [ 33 ].

Аналогом этого является подход, когда сферическая частица считается погруженной в ячейку, концентрическую с этой частицей и окруженную средой с искомыми эффективными характеристиками [ 30, 34, 35 ]. Недостатком этого метода является произвол в выборе размера ячейки, что, как показано в [ 30 ] существенно влияет на результат расчета.

Разработанный в последние годы математический аппарат [ 36, 37 ] позволяет построить асимптотическое решение полной задачи и через локальные величины найти осредненные уравнения и осредненные характеристики процесса в целом при упорядоченном и периодическом по пространству распределении включений. Однако как этот, так и предыдущие методы не описывают ансамбля хаотически распределенных частиц.

А.М.Головиным и В.Е.Чижовым был предложен иной несколько подход к рассмотрению совокупности частиц, лишенный ряда недостатков предыдущих способов и применимый к суспензиям с уме-

ренной концентрацией включений: до с < 0.2 [ 38-40 ]. Основная идея метода состоит в следующем. Сделаны определенные предположения о структуре поля скорости и электрического поля в окрестности отдельной частицы суспензии и выяснены точечные особенности (типа дельта-функции и производных от нее), которые необходимо поместить в центр частицы, чтобы в некоторой ее окрестности создать такие же поля скорости, давления и электрического потенциала, какие соответствуют частице конечного радиуса. Уравнения, содержащие точечные особенности, затем осреднены по ансамблю положений центров частиц с помощью аппарата коррелятивных функций, что позволяет учесть статистические свойства ансамбля хаотически распределенных частиц. Причем осреднение проведено с помощью такой коррелятивной функции, которая учитывает наличие частицы конечного радр1уса с центром в начале координат [ 40 ]. В результате получается следующая модель суспензии. Все пространство разделено на три области: частица находится в центре сферической ячейки, занятой несущей жидкостью суспензии, вне ячейки — некая эффективная среда, содержащая точечные особенности. Подчеркнем, что радиус ячейки однозначным образом определяется видом коррелятивной функции. Он оказывается равным диаметру частицы, что соответствует невозможности их сближения на расстояние, меньшее двух радиусов. Таким образом получены осредненные поля, описывающие течение жидкости и распределение электрического потенциала в окрестности пробной частицы конечного размера, окруженной точечными частицами. Затем выполняется процедура перехода от построенной математической модели к реальной суспензии частиц конечного размера и вычисляются эффективные характеристики суспензий.

Предложенный метод был успешно применен в работе [ 38 ] к задаче о тепловом взаимодействии системы сфер: вычислены осредненный градиент температуры в системе частиц конечного радиуса, определена зависимость эффективной теплопроводности от объемной концентрации частиц, которая совпала с известной формулой Максвелла. Отметим, что задачи определения тепло- и электропроводности смеси без ДЭС в математическом отношении эквивалентны; поэтому результаты, полученные при рассмотрении теплопроводности, справедливы и для электропроводности. В [ 39 ] указанным методом решалась задача об осаждении однородной суспензии сферических капель без ДЭС при малых числах Рейнольдса, определена скорость оседания капель в зависимости от их объемной концентрации.

Таким образом, целью диссертации является распространение метода А.М.Головина и В.Е.Чижова на системы частиц с поверхностным зарядом двойного слоя и установление количественной связи эффективных ЭГД-характеристик суспензий с параметрами частиц и среды. В связи с этим требуется решить следующие задачи:

1. На основе модели тонкого ДЭС получить аналитические выражения

• для эффективной скорости осаждения суспензии капель и суспензии твердых частиц с ДЭС, движущихся под действием силы тяжести в вязкой электропроводной жидкости;

• для эффективной скорости электрокапиллярного движения суспензии капель и электрофореза твердых частиц, движу-

щихся в вязкой электропроводной жидкости;

• для седиментационного потенциала суспензии осаждающихся капель с ДЭС;

• для эффективной электропроводности суспензии капель с ДЭС (аналог формулы Максвелла для электропроводности суспензии незаряженных частиц).

2. построить модель электрофореза твердой частицы в стадии локального пробоя двойного слоя.

В диссертации используется метод, основанный на анализе ЭГД-процессов в окрестности отдельной частицы с помощью аппарата обобщенных функций и осреднении по ансамблю возможных конфигураций.

Структура диссертации. Предлагаемая работа состоит из трех глав. В первой главе рассмотрены математические модели движения одиночных капель и частиц с ДЭС на поверхности в электрическом и гравитационном полях. Классические задачи электрофореза и осаждения твердых частиц [ 7 ] решены с уточненным выражением для поверхностного тока. Вывод уточненной формулы, основанный на анализе распределения плотности заряда ДЭС и скорости жидкости у поверхности твердой частицы, приведен в приложении А. Построена модель локального пробоя ДЭС. Глава, в основном, носит вводный характер. Ее целью является выяснение уравнений и граничных условий, описывающих изучаемые процессы на уровне одиночной частицы с ДЭС, что позволит в последующих разделах диссертации обобщить их на случай суспензии.

Содержанием второй главы явилось получение с помощью аппарата обобщенных функций и осреднения по ансамблю возмож-

ных конфигураций системы электрогидродинамических уравнений, а также соответствующих граничных условий и общего вида решения, адекватно отражающего статистический характер рассматриваемых монодисперсных суспензий. Формулируются ограничения на базовые свойства суспензии, допущения относительно учитываемых в математических моделях эффектов, а также анализируются особенности постановки граничных условий в случае частиц с ДЭС. Построение указанных математических моделей проводится методом, разработанным в [ 38-40 ] для описания системы хаотически распределенных незаряженных частиц и распространенным в данной работе на суспензию частиц с ДЭС на поверхности. Эта процедура позволяет получить осредненные поля, описывающие течение жидкости и распределение электрического потенциала в окрестности пробной частицы конечного размера, окруженной точечными частицами. Такие поля получены для каждой из четырех задач, изложенных в предыдущей главе.

Третья глава представляет собой заключительный этап в исследовании суспензий частиц с ДЭС, который состоит в переходе от математической модели суспензии (частица конечного размера движется в эффективной среде, где все остальные частицы суспензии заменены на точечные мультиполи) к реальной системе частиц конечного радиуса. На основе результатов предыдущей главы получены аналитические выражения для различных эффективных характеристики суспензий, таких как скорость движения, седимен-тационный потенциал, электрическая проводимость в зависимости от объемной концентрации частиц с.

Отметим, что в диссертации используется международная система единиц (СИ).

В работе соответствующие друг другу размерные и безразмерные величины обозначаются одной и той же буквой; при этом в тексте всегда оговаривается, в размерных или безразмерных переменных записана величина.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Владимиру Леонидовичу Натяганову, без участия которого эта диссертация никогда не была бы написана; беседы и споры с ним не только служили стимулом продолжать работу, но сделали ее приятной. Я рада возможности поблагодарить всех сотрудников кафедры газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ во главе с академиком Е.И.Шемякиным за созданную в коллективе доброжелательную, творческую атмосферу и за полезные обсуждения результатов. Автор выражает глубокую признательность начальнику отдела Физики Солнца ГАИШ МГУ Б.В.Сомову за предоставленную возможность завершить эту работу.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Орешина, Инна Валерьевна

Основные результаты и выводы, полученные в данной главе, могут быть сформулированы в виде следующих положений:

1. Опираясь на результаты предыдущих разделов работы и используя методологию, предложенную в работах [ 38,39 ], совершен переход от эффективной модели среды, содержащей хаотически распределенные точечные частицы, к исходной модели суспензии, содержащей включения в виде хаотически распределенных частиц конечного размера с ДЭС на поверхности, помещенных в вязкую электропроводную жидкость с параметрами {/1, а}.

2. По результатам проведенных исследований получены аналитические, удобные для дальнейшего анализа выражения для эффективных электрических и гидродинамических характеристик суспензии: а) для скорости осаждения суспензии капель с ДЭС на поверхности, содержащих вязкую электропроводную жидкость с параметрами {//, сг'} ф {¡л, а}.

- т где

В предельном переходе, когда # —0, это выражение для ир совпадает с известным [ 39 ] для скорости осаждения суспензии незаряженных капель.

В предельных случаях уь —> оо или д —> со, это выражение совпадает с результатом для скорости осаждения твердых сфер без ДЭС [ 7 ].

Ь) для скорости осаждения суспензии твердых сферических частиц с ДЭС на поверхности в вязкой электропроводной жидкости ир=-Щ{1-Ъс).

В силу выбранной модели ДЭС это выражение полностью совпадает со скоростью осаждения хаотически распределенных незаряженных твердых сфер [ 39 ], который хорошо согласуется с экспериментальными данными. с) для скорости движения хаотически распределенных капель с ДЭС на поверхности в вязкой электропроводной жидкости под действием внешнего электрического поля Ео (для скорости электрокапиллярного движения): иР = и.

1+с(Нл-3; к, где ие = -у о

Еода

3(л' + 2/Л + - + Щ а & г а I 2ц + 3// + — + 2д

О" сг ие — полученное в первой главе выражение для скорости жидкости на поверхности отдельной капли в системе координат, жестко связанной с частицей.

В предельном случае очень малых концентраций капель (с —» 0) скорость суспензии IIр стремится по величине к скорости электрокапиллярного движения одиночной капли.

1) для скорости движения хаотически распределенных твердых сферических частиц с ДЭС на поверхности в вязкой электропроводной жидкости под действием внешнего электрического поля Ео (для скорости электрофореза): иг 2с?\

-1 + Зс сгц а

2 +

Т/л а/

Здесь е/

V + о-

2(т а уточненная в первой главе скорость электрофореза одиночной частицы в системе координат, жестко связанной с центром этой частицы. е) для электрического поля, возникающего в суспензии капель при осаждении капель с поверхностным зарядом двойного слоя:

Если здесь пренебречь членами с а', то получим результат [ 7 ] с точностью до множителя 4/3. Это различие может быть объяснено тем, что, во-первых, в данной работе рассматривается система хаотически распределенных частиц, а в [ 7 ] — их упорядоченная структура; во-вторых, здесь область, занятая суспензией, является трехмерной (слой), тогда как в [ 7 ] она одномерная (столб жидкости), что сказывается на напряженности электрического поля, обусловленного поляризацией [ 54,61 ]. для эффективной электрической проводимости суспензии капель с ДЭС на поверхности, движущихся в вязкой электропроводной жидкости под действием приложенного электрического поля Ео (для коэффициента пропорциональности между средней по объему плотностью тока и средним по объему градиентом электрического потенциала): Е сг„ = а а' [1 — с (1 — 6А)] р а' [1 - с (1 - 4Л)] + сг 2сЛ'

В некотором предельном переходе полученное выражение совпадает с известной формулой Максвелла [ 66 ] для суспензии непроводящих частиц.

Кроме того, полученное выражение позволяет получить пределы для соотношения параметров, характеризующих несущую и дисперсную фазу суспензии, при которых реализуются такие известные в электрохимии явления [ 8 ], как изопроводимость (ар совпадает с проводимостью несущей фазы и не зависит от с) и "сверхпроводимость" (ар больше проводимости несущей фазы а).

3. Полученные соотношения устанавливают количественную связь между эффективными характеристиками суспензии в целом, а также макро- и микро- электрогидродинамическими параметрами ее несущей и дисперсной фаз с точностью по крайней мере не ниже чем до линейных по концентрации с слагаемых и дают вполне физичное описание поведения суспензий во внешнем электрическом или гравитационном поле, а в ряде случаев подтверждаются экспериментом.

4. В качестве области применимости полученных результатов могут быть следующие направления:

• при организации экспериментальных исследований поведения суспензий различного состава, для осознанного выбора конкретных условий проведений эксперимента в соответствии с поставленными целями;

• при проведении численных экспериментов с моделями суспензий в качестве тестовых вариантов;

• в вузах при организации учебного процесса для студентов соответствующих специальностей в качестве фактического материала для лекционных или лабораторных занятий;

• на производстве для выбора параметров соответствующих технологических процессов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Орешина, Инна Валерьевна, 1999 год

Литература:

1. Мелчер Дж.Р. Электрогидродинамика // Магнитная гидродинамика. — 1974. — 2. — с. 3-30

2. Calvert R.T., Melcher J.R. Stability and dinamics of rotating di-electroforetic equilibria // J.Fluid Mech. — 1969. — vol.38. — p.721

3. Гогосов В.В., Полянский В.А. Электрогидродинамика: задачи и приложения, основные уравнения, разрывные решения // Итоги науки и техники, МЖГ, т.10, М.: Изд.-во ВИНИТИ, 1976

4. Остроумов Г.А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. Физические основы электрогидродинамики. — М.: Наука, 1979

5. Coy С. Динамика заряженных суспензий. // В сб. Реология суспензий. — М.: Мир, 1975

6. Мелчер Дж., Тейлор Дж. Электрогидродинамика: обзор роли межфазных касательных напряжений // Механика: Сб. переводов, 1971, 5, с. 66-99

7. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. —М.:Физмат-гиз, 1959

8. Дерягин Б.В., Духин С.С. Электрофорез.— М.: Наука, 1976

9. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред, ч.1. — М.: Наука, 1987

10. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая теория электрофореза: применение к методам фракционирования биополимеров. — Киев: Наукова думка, 1983

11. Духин С. С., Шилов В.Н. Диэлектрические явления и двойной слой в дисперсных системах и полиэлектролитах. — Киев: Наукова думка, 1972

12. Духин С. С. Электропроводность и электрокинетические свойства дисперсных систем. — Киев: Наукова думка, 1975

13. Дамаскин Б.Б., Петрий O.A. Электрохимия. — М.: Высшая школа, 1987

14. Улъберг З.Р. Исследование электроосаждения полимеров и металлов // диссертация на соискание ученой степени доктора хим. наук, Киев, 1975

15. Елисеева В.И., Черный В.Н., Зуйков A.B., Петржик Г.Г. Исследование процесса формирования и свойств покрытий при электрофоретическом осаждении полимера из латекса на медный анод // Коллоидный журнал. -— 1981. — т.43. —1 — с.14

16. Харамоненко С. С., Ракитянская A.A. Электрофорез клеток крови в норме и патологии. — Минск, Беларусь, 1974, с. 143

17. Голованов М.В. Электрофорез клеток в электролите высокой концентрации // Коллоидный журнал. — 1991. — т.53. — 3. — с.449-452

18. Мурцовкин В.А. Роль электрокинетических явлений в движении бактерий // Коллоидный журнал. —1995. — т.57. — 3.

— с.372-379

19. Шилов В.Н., Симонова Т.С. Поляризация двойного электрического слоя дисперсных частиц и диполофорез в постоянном поле // Коллоидный журнал. — 1981. — т.43. — 1. — с.114-122

20. Разилов И. А., Пенадзе Г., Духин С. С. Квазиравновесная поляризация слоя Штерна и низкочастотная диэлектрическая дисперсия // Коллоидный журнал. — 1994. — т.56. — 5. -с.687-695

21. Шилов В.Н., Шрамко O.A., Симонова Т.С. Последовательные приближения в нелинейной теории поляризации частицы с двойным слоем произвольной толщины // Коллоидный журнал. — 1992. — т.54. — 54. — с.208- 215

22. Симонова Т.С., Шилов В.Н., Шрамко O.A. Сверхдальнодей-ствующие поля нелинейно поляризованной заряженной частицы // Коллоидный журнал. — 1995. — т.57. — 4 — с.566-570

23. Шилов В.Н., Шрамко O.A., Симонова Т.С. Роль постоянного квадрупольного момента дисперсной частицы в электроориентации // Коллоидный журнал. — 1993. — т.55. — 3. — с.197-208

24. Контуш С.М., Духин С. С., Видов О.И. Апериодический электрофорез // Коллоидный журнал. — 1994. — т.56. — 5. — с.654-661

25. Разило б И. А., Духин С.С. Нелинейность электрофореза, обусловленная подвижностью адсорбированных ионов. Сильное внешнее поле // Коллоидный журнал. — 1994. — т.56. — 5.

— с.697-703

26. Натяганов B.JI. Отчет "Обзор роли межфазных касательных напряжений в электрогидродинамике" // Москва, МГУ, механико-математический факультет, 1976

27. Жарких Н.И., Ликлема И., Духин С.С. Электрофорез и электропроводность суспензий при квазиравновесной поляризации двойного слоя в целом. // Коллоидный журнал. — 1994. — т.56. — 6. — с.761-766

28. Хаппель Дж, Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. — М.: Мир, 1976.

29. Слободов Е.Б., Чепура И.В. К вопросу о ячеечной модели двухфазных сред // Теоретические основы химической технологии.

— 1982. — т.16. — 3. — с.331-338

30. Hashin Z. Assesment of the self-consistent sheme approximation: conductivity of particulate medium // J.Compos.Mater. — 1968.

— 2. — p.31-34

31. Шилов B.H., Жарких H.И., Борковская Ю.Б. Теория неравновесных электроповерхностных явлений в концентрированных дисперсных системах. 1. Применение метода термодинамики необратимых процессов к ячеечной модели концентрированных дисперсий // Коллоидный журнал. — 1981. — т.43. — 3. — с.540-546

32. Борковская Ю.Б., Жарких Н.И., Дудкина JI.M. Электропроводность концентрированных дисперсных систем в приближении тонкого ДЭС // Коллоидный журнал. — 1982. — т.44. — 4. — с.645-651

33. Жарких Н.И., Шилов В.Н. Теория коллективного электрофореза сферических частиц в приближении Генри // Коллоидный журнал. — 1981. — т.43. — 6. — с.1061-1067

34. Буевич Ю.А. Об эффективной теплопроводности зернистых материалов // Журнал прикл. механ. и техн. физики. —

1973. — 4. — с.57-66

35. Буевич Ю.А., Корнеев Ю.А. О переносе тепла и массы в дисперсной среде // Журнал прикл. механ. и техн. физики. —

1974. — 4. — с.78-87

36. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. — М.: Наука, 1984, 352с.

37. Hasimoto Н. On the periodic fundamental solutions of the Stokes equations and their application to viscous flow past a cubic array of spers // Journal of Fluid Mechanics.— 1959. — vol.5. — p.317-328

38. Головин A.M., Чижов B.E. Об эффективной теплопроводности суспензии // Вест. Моск. Ун-та. — Сер.Математика, механика. — 1978. — 1. — с.89-94.

39. Головин A.M., Чижов В.Е. К расчету скорости осаждения однородной суспензии // ПММ. — 1978. — т.42. — 1. — с.105-113

40. Головин A.M., Чижов В.Е. К расчету бинарной коррелятивной функции в двухфазной системе // ПММ. — 1977. — т.41. — 6. — с.1138-1144

41. Седое Л.И. Механика сплошной среды. — М.:Наука, 1976

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.:Гостехиздат, 1959

43. Натяганов В.Л., Натлганова Л.Н. Нарушение электрогидродинамической аналогии в задачах обтекания тел электрическим током // Тезисы докладов V международной конференции женщин-математиков " Математика.Экономика ". г.Ростов-на-Дону, май 1997. — с.97

44. Натлганова Л.Н., Орешина И.В. Электрогидродинамическая аналогия в задачах электрофореза. — Материалы XX конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, май 1998 (в печати)

45. Смайт В. Электростатика и электродинамика. — М.: Иностр. лит.-ра, 1954

46. Чижов В.Е. Течение и теплообмен в системе сферических частиц при малых числах Рейнольдса. — Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ, 1978

47. Гидродинамическое взаимодействр1е частиц в суспензиях, сер. Механика. Новое в зарубежной науке. 22. М., 1980

48. Buyevich Yu.A., Shchelchkova I.N. Flow of dense suspensions // Proc.Aerospace Sei. — 1978. — vol.18. — pp.121-150

49. Зинченко А.З. Влияние гидродинамических взаимодействий частиц на реологические свойства малоконцентрированных эмульсий // ПММ. — 1984. — т.48. — 2. — с.282-292

50. Brady J.F., Durlofsky L.J. The sedimentation rate of disordered suspension // J.Phys.Fluids. 1988. vol.31. 4. p.717-727

51. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Паука, 1979

52. Орешина И.В. О расчете скорости и электрического потенциала осаждения суспензии частиц с двойным слоем // Аналитические, численные и экспериментальные методы в механике. — МГУ. — 1995. — с.56-60

53. Натяганов В.Л. О постановке задач реологии монодисперсных суспензий в электрическом поле // Динамические задачи механики деформируемых сред. — Изд.-во МГУ, 1990, с.190-191

54. Тамм И.Е. Основы теории электричества, М.: Наука, 1989

55. Головин A.M., Натяганов В.Л. Магнитогидродинамическое обтекание капли при малых числах Рейнольдса и Гартмана // Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа. — 1978. — 6. — с.19-25

56. Чижов В.Е. Об эффективной вязкости суспензии сферических капель // Вестник Моск. ун.-та., сер. Механика. — 1976. — 4. — с.67-74

57. ChwandA.T., Wu Т. Y. Hydromechanics of low-Reynolds-number flow. Part 2. Singularity method for Stokes flows. — J.Fluid Mech. — 1975. — 67 — 4. — p. 787-815

58. Фишер И.З. Статистическая теория жидкостей. — М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1961

59. Morell W.E., Hildebrand J.H. The distribytion of molekules in model liquid // J.Chem.Phys. — 1936 — vol.4 — 3

60. Фейнман P., Лейтон P., Сэндс M. Фейнмановские лекции по физике, т.5. — М.: Мир, 1966

61. Браун В. Диэлектрики. М.: Изд. иностр. лит., 1961

62. Kuwabara S. The Forces Experienced by Randomly Distributed Parallel Sircular Cylinders or Sphersin a Viscous Flow at Small Reynolds Number // Journal of the Physical Society of Japan. — vol.14. — 4— 1959. — p.527-532

63. Слободов Е.Б., Чепура И.В. К вопросу о ячеечной модели двухфазных сред // Теоретические основы химической технологии.

— 1982. — т. 16. — 3 — с.331-335

64. Levine S., Neale G. The prediction of electrokinetic phenomena within multiparticle systems //J. Colloid Interface Sci. — 1974.

— v.47. — 2. — p.520-529

65. Натлганов В.Л., Орешина И.В. Электрофорез и осаждение суспензии частиц с двойным электрическим слоем // Тезисы докладов V Международной конференции женщин-математиков "Математика. Экономика", г.Ростов-на-Дону., май 1997.

— с.98

- 12566. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме. — М.: Наука, 1989

67. Maud, A.D., Whitemore R.L. A generalized theory of sedimentation // Brit.J.Appl.Phys. — 1958. — vol.9. — 12