Моделирование электромагнитных процессов в МГД устройствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, кандидат технических наук Эркенов, Наурузби Хусейнович

• Эркенов, Наурузби Хусейнович
• кандидат технических наук
• 1992

Оглавление диссертации кандидат технических наук Эркенов, Наурузби Хусейнович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ЭЛЕКТРОПРОВОДНЫХ СРЕДАХ.

§1.1. Метод конечных разностей (МКР).

§1.2. Метод интегральных уравнений.

§1.3. Гибридные методы.

Выводы.

ГЛАВА 2. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ-КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ (ЭМП) В ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ СИСТЕМЕ ИНДУКТОР-МАССИВНОЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЕ ТЕЛО.

§2.1. Математическая модель расчета в переменных Н и Е.

§2.2.Дискретизация краевой задачи в переменных Н и Е.

§2.3. Алгоритм решения дискретной кривой задачи.

§2.4. Математическая модель расчета нестационарного ЭМП относительно векторного потенциала А.

§2.5. Дискретизация начально-краевой задачи.

§ 2.6. Алгоритм решения дискретной начально-краевой задачи.

§ 2.7. Теоретическая оценка точности и сходимости метода.

§2.8. Сравнительный анализ характеристик вычислительных алгоритмов комбинированного метода и МИУ.

Выводы.

ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИНДУКЦИОННЫХ ТИГЕЛЬНЫХ МГД УСТРОЙСТВАХ.

§3.1. Постановка задачи расчета вихревых токов в жидком металле МГД устройств на основе МИУ.

§3.2. Редукция системы ИУ. Алгоритм решения СЛАУ.

§3.3. Особенности вычисления индукции магнитного поля.

§3.4. Электромагнитные силы и электромагнитное давление в жидком металле тигельных МГД грануляторов

§3.5. Мощность джоулева тепловыделения в жидком металле тигельных МГД грануляторов.

Выводы.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ В ИНДУКЦИОННЫХ КАНАЛЬНЫХ МГД УСТРОЙСТВАХ.

§4.1. Постановка задачи расчета вихревых токов в жидком металле канальных МГД устройств.

§4.2. Редукция системы ИУ. Алгоритм решения СЛАУ.

§4.3. Результаты расчета вихревых токов и скорости движения жидкого металла в канале индукционной печи.

§4.4. Электромагнитные силы и электромагнитное давление в жидком металле канального МГД гранулятора.

Выводы.

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МГД УСТРОЙСТВАХ С ВНЕШНИМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ И КОНДУКЦИОНЫМ ПОДВОДОМ ТОКА В КАНАЛ.

§5.1. Постановка задачи расчета ЭМП в жидком металле устройства.

§5.2. Редукция системы ИУ.

§5.3. Алгоритм решения СЛАУ.

§5.4. Электромагнитные силы и электромагнитное давление в жидком металле в канальном МГД грануляторе с внешним магнитным полем.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование электромагнитных процессов в МГД устройствах»

В настоящее время в металлургии, литейном производстве, энергетике и химической промышленности, атомных электростанциях и устройствах термоядерного синтеза важная роль отводится методам и устройствам магнитной гидродинамики (МГД) - науки, изучающей физические закономерности поведения жидкой электропроводной среды, например, жидкого металла в поле электромагнитных сил (ЭМС). Это связано с тем, что использование бесконтактного, хорошо управляемого силового воздействия электромагнитного поля (ЭМП) на жидкий металл (ЖМ) позволяет поднять на качественно новый уровень управление технологическими процессами, а также с возможностью решения многих технологических задач, не имеющих удовлетворительного решения другими методами.

За последние два десятилетия созданы и успешно применяются в различных отраслях народного хозяйства целый ряд МГД устройств, например, дозаторы, насосы, дроссели, золотники и т.д. Большой вклад в разработку этих устройств внесли ученые Института физики АН Латвии, Института проблем литья АН Украины, Донецкого госуниверситета, Таллиннского политехнического института и других организаций. Результаты теоретических и экспериментальных исследований обобщены в работах И.М.Кирко [44], Л.А.Верте [21], В. П. Полищука [81,83], А.И.Вольдека [22], В.М.Гельфгата, С.А.Лиелаусиса, Э.В.Щербинина [35], И.Л.Повха, Б.В.Чекина [79], Л.Л.Тира, М.Я.Столова [96]и других.

Новое направление в применении МГД технологии в металлургической промышленности развивалось и научным коллективом Института электродинамики АН Украины под руководством А.Ф.Колесниченко и Ю.М.Гориславца [50]. Выполненные здесь теоретические и экспериментальные исследования позволили создать эффективные и оригинальные МГД устройства плавки, очистки и гранулирования жидких металлов.

Как известно первостепенное значение в металлургии для повышения качества выплавляемых сплавов имеет очистка жидкого металла от твердых и газообразных включений. Оказалось, что задача может быть успешно решена в процессе плавки металла в индукционной канальной печи путем целенаправленного воздействия на него электромагнитного поля.

Индукционная канальная печь (ИКП) обычно представляет собой цилиндрический канал, охваченный магнитопроводом с индуктором. Этот канал стыкуется с ванной печи, где находится металл, подлежащий плавлению. В процессе плавки металла, имеющиеся в расплаве неэлектропроводные частицы под действием электромагнитных сил (ЭМС) движутся к стенкам каналов и осаждаются на них. Такое рафинирующее действие поля с одной стороны желательно, однако, к сожалению, оно вызывает "зарастание" стенок каналов окислами, снижая тем самим тепломассообмен между каналом и ванной. В результате приходится, как правило, после каждой плавки механическим путем чистить каналы. Эта операция чрезвычайно трудоемкая, связана с вынужденными простоями оборудования, существенно снижает эффективность работы плавильного агрегата в целом и дорого обходится производству.

Решение данной проблемы просматривается из физики процесса. Если частицы окислов адгезируют на своей поверхности газ (водород), то их столкновение сопровождается слияниями, поскольку капиллярные силы при этом существенно превышают все другие силы, действующие на частицы. Попадая в центр вихрей, возникающих в каналах, такие частицы коагулируют с образованием сферических шаров-конгломератов. Если придать целенаправленное движение ЖМ, несущему дисперсные включения, то создается режим, при котором легкие фракции проявят тенденцию концентрироваться в центре вихрей. Для достижения этой ситуации необходимо привести во вращательное движение относительно оси канала расплав металла. В силу этого, под действием центробежных сил, легкие по весу частицы (ими являются окислы с адсорбированным водородом) будут всплывать в поле действия этих сил, то есть будут двигаться к центру канала по спиральным орбитам. Частота столкновения включений при этом увеличится, что повысит интенсивность коагуляции. Непрерывный процесс образования конгломератов в итоге очистит расплав от загрязнений, одновременно снижая при этом степень зарастания стенок каналов.

Описанный процесс коагуляции управляется вращающимся магнитным полем, создаваемым индуктором и вспомогательными катушками, питаемыми током той же частоты, что и обмотка индуктора. Расположение катушек и их число могут быть различными. Обычно они представляют собой многовитковые седлообразные катушки, каждая из которых имеет два линейных участка, расположенных параллельно оси канала. Линейные участки соединены между собой лобовыми частями в виде полуколец, огибающих канал. Для получения вращающегося поля магнитное поле каждой катушки сдвигается по пространству и по фазе на 90 градусов относительно поля рассеяния индуктора.

Исследования, выполненные на физических моделях и экспериментальных установках под руководством Ю.М.Гориславца в ИЭД АН Украины, показали, что окружные скорости вращательного движения ЖМ при этом могут достигать 5-10 м/с. Наличие в канале столь значительных скоростей не позволяет пренебречь ими при моделировании электромагнитного поля, поскольку индуцируемые этим движением токи вносят существенный вклад в результирующее электромагнитное поле печи. Оценки показывают, что магнитное число Рей-нольдса Яет=//о;№.6(//о=47110~7 Гн/м, у - удельная электропроводность ЖМ, и - его скорость, В - индукция магнитного поля), характеризующее вклад индуцированного поля, может достигать в этих случаях единицы и более. В связи с этим возникает необходимость решения задачи расчета электромагнитного поля в таких устройствах с учетом скорости движения жидкого металла.

Описанная выше конструкция индукционной канальной печи может быть использована также в качестве устройства для очистки (рафинирования) жидкого металла в процессе непрерывного литья слитков из алюминиевых сплавов. Такое устройство устанавливается между раздаточной печью (миксером) и литейной машиной. В его канал подают инертный либо активный газ, который за счет вращения металла диспергируется. Частицы газа адсорбируют на своей поверхности твердые и газообразные включения и выносят их на поверхность, очищая таким образом жидкий металл непосредственно перед литьем.

Другое направление работ, развиваемое в ИЭД АН Украины, связано с разработкой и созданием МГД устройств для получения металлических частиц (гранул) монодисперсного состава. Эти устройства в электромагнитном отношении близки к рассмотренным выше.

Монодиспергирование жидких электропроводных металлов и сплавов - важнейшая задача металлургии, решение которой открывает пути создания новых металлических материалов с высокими механическими свойствами. Ее реализация оказалась возможной благодаря применению МГД метода гранулирования [50], основанного на явлении управляемого резонансного распада струй ЖМ под воздействием периодических электромагнитных сил. Характерная особенность метода - однородность гранулометрического состава получаемых частиц.

В зависимости от способа возбуждения ЭМС в расплаве и конструктивных особенностей МГД грануляторы можно разделить на три группы: индукционные тигельные, индукционные канальные и канальные с внешним магнитным полем.

Индукционные тигельные грануляторы (ИТГ) по ориентации струй ЖМ в пространстве могут быть двух видов: ИТГ с вертикальным истечением струй и ИТГ с горизонтальным истечением. Они состоят из соленоидального (водоохлаждаемого) индуктора, расположенного коаксиально тиглю с ЖМ. В днище тигля, определенным образом располагают фильеры с отверстиями, либо фильерный насадок с отверстиями на боковой поверхности. Тигель гранулятора может выполняться с внутренним проходным отверстием [4], в котором для усиления электромагнитной связи между индуктором и ЖМ располагается ферромагнитный сердечник. С целью очистки расплава от неметаллических включений в МГД грануляторах может быть помещен фильтр из пенокерамики.

Индукционный канальный гранулятор (ИКГ) представляет собой канал прямоугольного или круглого поперечного сечения, охваченный магнитопроводом с индуктором. Одна из поверхностей канала оснащается насадками с отверстиями для истечения ЖМ. Если участок канала с насадками поместить в поперечное магнитное поле, то получим третий тип гранулятора.

В первых двух случаях распад струй жидкого металла осуществляется за счет действия периодических усилий, возникающих при взаимодействии вихревых токов в ЖМ с результирующим магнитным полем электромагнитных систем. Необходимые же для распада струй ЭМС в МГД грануляторе с внешним магнитным полем возникают при взаимодействии тока в канале с постоянным магнитным полем электромагнита. Ток в таком грануляторе может возбуждаться индуктором, либо подводится от постороннего источника кондукционным путем.

В описанных устройствах электромагнитные силы в жидком металле, а также электромагнитные давления (ЭМД), созданные ими, имеют как постоянную, так и переменную во времени составляющие. Постоянная составляющая давления вместе с гидростатическим напором столба жидкого металла определяют среднерасходную скорость истечения расплава, т.е. среднюю скорость струи [50]: и=^2дИм+2Р/рт где £— коэффициент скорости, зависящий от формы и размеров фильеры, а также от МГД обстановки над ней (определяется экспериментально), ц — ускорение силы тяжести, Им - высота гидростатического столба металла, рт — плотность жидкого металла, Р — магнитное давление (постоянная составляющая). Переменная составляющая электромагнитного давления Р , как правило, не влияет на скорость струи, а является тем возмущением, которое приводит к распаду ее на частицы равных размеров.

Определение как постоянной Р, так и переменной Р составляющих ЭМД в таких устройствах может бить осуществлено на основе решения задачи расчета электромагнитного поля для каждого типа МГД грануляторов.

Таким образом, создание новых МГД устройств для плавки, очистки и гранулирования жидких металлов требуют исследования ЭМП, ЭМС и ЭМД в ЖМ этих устройств в зависимости от геометрии и конфигурации областей, занятых ЖМ, расположения внешних источников ЭМП и ферромагнитных сердечников по отношению к объему с ЖМ, его электрофизических параметров.

Экспериментальное установление этих закономерностей сопряжено с большими материальными и временными затратами, а в некоторых случаях и невозможно. Поэтому важное значение в деле создания новых МГД устройств приобретает численное моделирование электромагнитных процессов в них. Необходимость же выполнения многовариантного анализа перечисленных величин обуславливает разработку эффективных и экономичных вычислительных алгоритмов, позволяющих заменить дорогостоящие физические эксперименты численными.

Значительный вклад в развитие методов расчета ЭМП в различных электротехнических и энергетических устройствах внесли О.В.Тозони, Е.И. Петрушенко, В.С.Немков, Э.В.Колесников, С.С.Романович, А.Н.Кравченко и другие.

Одним из наиболее эффективных методов расчета ЭМП в открытых расчетных областях является метод интегральных уравнений [76-78, 101-103]. Вместе с тем, оказалось возможным предложить более экономичный и относительно простой в программной реализации комбинированный метод расчета поля в указанных областях. Он базируется на первоклассных методах расщепления многомерных уравнений, предложенных

А.А.Самарским и Г.И.Марчуком. В результате удается объединить лучшие качества метода конечных разностей и граничных элементов в едином алгоритме, снизить объем вычислений, уменьшить необходимую, память ЭВМ и время счета.

Диссертационная работа посвящена разработке методов и алгоритмов расчета ЭМП в МГД устройствах и исследованию электромагнитных процессов в них. Научные и практические результаты, положенные в ее основу, получены в процессе выполнения научно-исследовательских работ Института электродинамики АН Украины: "АРГОС" (по постановлению Президиума АН Украины от 25.11.83 г.) , "РАНГ" (по постановлению ГКНТ СССР, №111 от 21.03.85 г.) и многих хозяйственных договоров.

Целью работы является:

1. Разработка эффективных и экономичных методов, алгоритмов и программ численного расчета электромагнитного поля в МГД устройствах для плавки, очистки и гранулирования жидких металлов.

2. Исследование электромагнитных процессов в МГД устройствах жидкого металла.

Исходя из указанной цели в работе решены следующие задачи;

1. Разработаны математические модели расчета установившегося синусоидального и нестационарного ЭМП в осесимметричной системе индуктор-массивное электропроводное тело на основе комбинации методов граничных элементов и конечных разностей.

2. Разработаны алгоритмы и программы расчёта ЭМП на базе комбинированного метода граничных элементов - конечных разностей и метода вторичных источников.

3. Исследованы влияния геометрических размеров, форм расчетных областей, взаимного положения индуктора, жидкого металла и ферромагнитного сердечника на параметры ЭМП, величину и распределение ЭМС и ЭМД в МГД устройствах: индукционных канальных печах, устройствах МГД очистки и МГД грануляторах.

Научная новизна работы заключается в следующем;

1. Разработана новая математическая модель расчета ЭМП в осесимметричной системе индуктор-массивное электропроводное тело на основе комбинации методов граничных элементов и конечных разностей.

2. Выполнена теоретическая оценка погрешности комбинированного метода граничных элементов конечных разностей.

3. Разработан алгоритм и программа расчета нестационарного ЭМП в осесимметричной системе индуктор-электропроводное тело на основе комбинированного метода.

4. Разработан алгоритм и программа расчета ЭМП в системе индуктор-ферромагнетик-жидкий металл с учетом движения жидкого металла на основе метода интегральных уравнений.

Автор защищает:

1.Комбинированный метод граничных элементов - конечных разностей для расчета ЭМП в осесимметричной системе индуктор-немагнитное электропроводное тело.

2. Результаты теоретической оценки погрешности и сходимости метода.

3. Результаты численного моделирования ЭМП, ЭМС и электромагнитного давления в новых МГД устройствах: индукционных канальных печах и устройствах МГД очистки с вращательным движением металла в каналах, а также МГД грануляторах различных типов. Практическая ценность работы:

Выполненные на основе разработанных в работе методов, численные расчеты и исследования позволили сформулировать рекомендации для создания оптимальных конструкций исследуемых МГД устройств, определить их основные параметры и характеристики.

Основные положения диссертационный работы отражены в 15 публикациях, в том числе 14 статьях [25-33,80,117,120,15,87] и 1 изобретении [4].

По материалам диссертации подготовлено 6 докладов, которые обсуждались на:

1. Двенадцатом Рижском совещания по магнитной гидродинамике, г. Саласпилс, 1987, 4.2.

2. Всесоюзной конференции "Физика и техника монодисперсных систем", 18-21 октября 1988 г., Москва.

3. На третьей Республиканской научно-тЕхнической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании", г. Одесса, 1989г.

4. На Республиканском семинаре "Повышение эффективности электротехнологических МГД устройств, Киев, 1989 г.

5. На Международном симпозиуме Symposium on Liquid Metal magnetohydrodynamics, Riga, 1988.

6. На международной конференции Preceding of the Sixth International Iron and Stell Congress, 1990. (Япония)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка основной использованной литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая электротехника», Эркенов, Наурузби Хусейнович

Основные результаты работы

1. 1 .Предложен новый комбинированный метод численного расчета синусоидальных установившихся и переходных электромагнитных процессов в массивных электропроводных телах с осевой симметрией. В результате сочетания лучших качеств методов расщепления многомерных дифференциальных уравнений на цепочку одномерных и граничных элементов в едином алгоритме получен эффективный и экономичный вычислительный алгоритм для моделирования ЭМП в открытых областях.

2. Получены теоретические оценки точности и сходимости метода. Установлено, что его точность определяется погрешностью дискретизации дифференциальных и интегральных операторов, а также погрешностью итерационного процесса "область -граница" сходящегося со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой равен ehr (/г, т - параметры конечно-разностной сетки).

3. Предложены интегро - разностные формулы для вычисления компонент вектора магнитной индукции В , что позволило уменьшить объем вычислений, сохранить единообразие вычислительной логики при численном интегрировании для определения как коэффициентов СЛАУ, так и соответствующих элементов матриц в векторно-матричных выражениях определяющих В Вz.

4. На основе вычислительных экспериментов получены зависимости уровней электромагнитных сил, электромагнитного давления в жидком металле тигельных МГД устройств, а также мощности тепловыделения от взаимного положения тигля и индуктора, толщины жидкого металла, наличия ферромагнитной среды и положения фильтрующего элемента в тигле.

5. Применительно к индукционным канальным устройствам разработаны алгоритм и программа расчета электромагнитного поля, с учетом индуцированного за счет движения расплава электрического тока. Многовариантными численными экспериментами получены зависимости распределения электрического тока, электромагнитных сил и скорости вращательного движения в поперечном сечении цилиндрического канала от величины токов в катушках. Показано, что за счет размещения на поверхности канала последних, можно управлять характером распределения вихревых токов и электромагнитных сил в расплаве.

6. Получены зависимости распределения электромагнитного давления в жидком металле индукционного канального МГД гранулятора от размера диаметра канала. Установлено, что максимальные значения давления (как постоянной, так и амплитуды переменной составляющих) достигаются на противоположной со стороны индуктора поверхности канала, где и следует разместить насадки, сквозь которые истекают струи жидкого металла,

7. Разработаны алгоритм и программа расчета ЭМП, сил и электромагнитного давления в МГД грануляторе с кондукционным подводом постоянного и переменного (синусоидального) токов в канал. На основе проведенных численных экспериментов определено влияние формы поперечного сечения канала, интенсивности внешнего магнитного поля на уровни давления в жидком металле. Установлено, что при одних и тех же подводимых к каналу величинах токов, уровни электромагнитных давлений в канале прямоугольного сечения выше, чем в круглом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработка современных надежно работающих МГД устройств различного назначения требует в общем случае комплексного подхода к исследованию физических процессов в жидкой электропроводной среде и органически связана с постановкой и решением задач расчета электромагнитного поля, тепломассопереноса и гидродинамики. От степени адекватности соответствующих им математических моделей зависит достигаемый уровень познания закономерностей поведения среды (ЖМ), которое определяется, в основном уровнем воздействия на неё сил электромагнитного происхождения. Отсюда следует, что одним из основных факторов при разработке новых МГД устройств является исследование электромагнитных процессов в них на основе современных методов расчета электромагнитного поля (ЭМП). Необходимость проведения многовариантных вычислительных экспериментов в свою очередь требует разработки экономичных и эффективных вычислительных алгоритмов. Имеется в виду выбор и создание таких алгоритмов, которые являются оптимальными с точки зрения объема вычислений, памяти ЭВМ, процессорного времени, точности получаемых численных результатов. В этом плане, как показала практика, комбинированные методы расчета, сочетающие в себе лучшие качества наиболее распространенных в последнее время численных методов, является наиболее перспективными.

В настоящей работе для расчета ЭМП в осесимметричной системе индуктор -массивное электропроводное тело, впервые предложен и программно реализован один из вариантов комбинированного метода - метод граничных элементов и конечных разностей, позволяющий исследовать установившиеся синусоидальные и переходные электромагнитные процессы. Сравнительный анализ характеристик вычислительных алгоритмов, соответствующих методу интегральных уравнений и комбинированному методу, позволяет констатировать следующие преимущества последнего: простота программной реализации (следовательно и отладки) за счет высокой вычислительной технологичности разностных методов, относительно малый объем требуемой памяти ЭВМ и времени счета, возможность применения его к расчету ЭМП поля в нелинейных и слоистых средах без потерь при этом перечисленных выше качеств.

Дальнейшее развитие этого метода с распространением его на задачи со сложными, нерегулярными расчетными областями возможно на основе привлечения регионально-аддитивных разностных схем [16,17] позволяющих свести исходную задачу к решению задач в простых подобластях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Эркенов, Наурузби Хусейнович, 1992 год

1. Антонюк O.A., Бондалетов В.Н., Гусаров A.A. Исследование индукционно -динамических систем с магнитопроводом на ЭВМ // Техническая электродинамика. -1982. № 4. - С.76-81.

2. Алехин В.М. Сравнение и оценка различных методов электрического расчета то ко проводов//Изв. вузов. Электромеханика. -1960.-№ 11.-С. 3-30.

3. Арсении В. Я. Методы математической физики и специальные функции. -М.:Наука,1974.-431с.

4. A.c. № 1405975. Устройство для получения гранул из металлических расплавов. Бундя А.П., Гориславец Ю.М., Колесниченко А.Ф., Эркенов Н.Х. и др. Опубл. 30.06.88. Бюл. №24.

5. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.:Наука,1986. - 744 с.

6. Бакушинский A.B., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ. - 1989. - 199 с.

7. Боженко А.И., Петрушенко Е.И. К расчету вихревых токов в ферромагнитных цилиндрах суммарно-разностным методом. В кн.; Анализ и машинное проектирование электронных цепей. Киев. Наукова думка, - 1980,- С. 202-216.

8. Боженко А.И., Петрушенко Е.И., Ройзман П.С., Рысков В. С. Моделирование на ЦВМ вихревых токов в осесимметричных немагнитных проводниках с учетом симметричности интегрального уравнения, "Электронное моделирование", 1982, № 4, С. 33-41.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, М. Наука, 1987, С.598.

10. Бахвалов Н.С. Численные методы, М.: Наука, 1973, С.631,

11. Бондалетов В. Н, Гусаров А. А. , Балтаханов А.М. Сравнение двух численных методов расчета двумерных импульсных магнитных полей с движущимися проводниками. Электричество, 1982, № 7, С. 41-46.

12. Бребия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М. -Мир, 1982, 248 с.

13. Блинов В.И., Гориславец Ю. М., Темеров A.A., Эркенов Н. X. Полидисперсные МГД течения в каналах индукционных печей для плавки алюминиевых сплавов. // Тез. докл. ХП Рижского совещания по МГД. Саласпис.-1987. 4.2.-С.203-206.

14. Вабищевич П.Н. Численное решение эллиптических краевых задач на составных сетках. Математическое моделирование. 1991, т.З, № 8, С.112-123.

15. Вабищевич П. Н. Разностные схемы декомпозиции расчетной области при решении нестационарных задач. ЖВМ и МФ;1989, т. 29, № 12, С. 1822-1829.

16. Вабищевич П.Н. Адаптивные сетки составного типа в задачах математической физики, ЖВМ и МФ, 1989, т.29,№ б, С.902-914.

17. Важнов С.А., Варламов Ю.В. К вопросу о задании граничных условий при реализации метода сеток в бесконечной среде. Сб. "Сложные электромагнитные поля и электрические цепи" 1982, № 10, С.25-32.

18. Варламов Ю.В. Медведев А.Л., Чечурин B.JL Некоторые вопросы численного расчёта вихревых токов в массивных проводящих телах и электрические цепи. Уфа, 1982, № 10, С.68-74.

19. Верте Л. А. Электромагнитный транспорт жидкого металла, М.: Металлургия, 1965, 236 с.

20. Вольдек А.И. Индукционные магнитогидродинамические машины с жидкометаллическим рабочим телом, Л.: Энергия, 1970 , 271 с.

21. Василевский В.М, Мажукин В.И. Численное решение нестационарных задач теплопроводности на адаптивной сетке с явным выделением области слабого разрыва, Ин-т прикладной математики АН СССР/Препринт, 1989, №14, 12 с.

22. Вайнинко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986, 182 с,

23. Гориславец Ю.М., Эркенов Н. X. Расчет магнитного давления в канале МГД -гранулятора с внешним магнитным полем. Техническая электродинамика. - 1990, № 5, С. 25-30.

24. Гориславец Ю.М., Эркенов Н X. Расчет магнитного давления в жидком металле индукционных МГД грануляторов тигельного типа. Киев, 1988 (Препринт Ин-та электродинамики АН УССР. № 567). - 30 с.

25. Гориславец Ю.М., Эркенов Н.Х. Магнитное давление в жидком металле тигельных МГД грануляторов с ферромагнитным сердечником. Сб. науч. тр. К.: Наукова думка, 1988, С.43-49.

26. Гориславец Ю. М. , Колесниченко А. Ф. , Ющенко Б. А. , Эркенов Н.Х. и др. Магнитогидродинамические системы плавки и непрерывной отливки металлов. -Киев, 1990, (Препринт Ин-та электродинамики АН УССР, № 672. 17с).

27. Горбатюк М.Ф. Интегральные уравнения для векторов напряженностиэлектромагнитного поля.// Тез. докл. третьей Республиканской научно-технической конф. г. Одесса, Ч.ПД989, С.39-40.

28. Горбатюк М.Ф., Гориславец Ю.М., Эркенов Н.Х. Комбинированный интегро-разностный метод расчета электромагнитного поля // Тез. докл. третьей Республиканской научно-технической конференции. Одесса, Ч.П., 1989, С.41-43.

29. Гориславец Ю.М., Эркенов Н.Х. Электромагнитное поле индукционной печи с вращательным движением жидкого металла в каналах. Техническая электродинамика. - 1990, № 2, С. 15-20.

30. Гориславец Ю.М., Эркенов Н.Х. Магнитное давление в жидком металле индукционных МГД грануляторов канального типа. - Техническая электродинамика,1988, № б, С. 21-27.

31. Гориславец Н.М., Эркенов Н.Х. Расчет магнитного давления в индукционных МГД грануляторах тигельного типа. Техническая электродинамика, 1988, № 3, С. 9-15.

32. Гельфгат Ю.М., Горбунов Л.А., Витковский И.В. Магнито-гидродинамическое дросселирование и управление жидкометаллическими потоками. Рига, Зинатне,1989, 294 с.

33. Гельфгат Ю. М., Лиелаусис O.A., Щербинин Э.В. Жидкий металл под действием электромагнитных сил. Рига: "Зинатне", 1976,- С.246.

34. Дойников Н.К. Численный анализ плоскопараллельных квазистационарных электромагнитных полей. ЖГФ, 1973, Т. , в.5, С.897-904.

35. Демьянович Ю. К. Метод сеток для некоторых задач математической физики. ДАН СССР, Математика, 1964, Т. 159, № 2, С.250-253.

36. Дегтярев Л.М., Дроздов В.В. Адаптирующиеся к решению сетки в эллиптических задачах на плоскости// Дифф. уравнения 1984, т.20, № 7, С. 1194-1203.

37. Дарвин H.A., Мажукин В.И. Об одном подходе к построению адаптивных разностныхсеток // Докл. АН СССР, 1988, Т. 298, № 1, С. 64-68.

38. Демидович В.Б., Руднев В.И., Стохниол А. Особенности расчета индукционного нагрева тел прямоугольной формы. // Известия ЛЭТИ имени В.И. Ульянова (Ленина). Л., 1984, вып.341. С.68-74.

39. Демидович В.Б. Экономичный способ численного расчета электромагнитного поля в индукционных системах с сильно неоднородной загрузкой // Изв. ЛЭТИ имени В.И Ульянова (Ленина). Л., 1981, вып. 299, С.21-26.

40. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

41. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. М. Наука, 1968, 448 с.

42. Кирко И.М. Жидкий металл в электромагнитном поле. М.-Л. Энергия, 1964, 164 с.

43. Кравченко А.Н. Краевые характеристики в задачах электродинамики. Киев: Наукова думка, 1989. -221 с.

44. Кравченко А.Н., Нижник Л.П. Электродинамические расчеты в электротехнике. Киев: Техника, 1977. 183 с.

45. Колесников Э.В., Савин Д.Д. Переходные процессы токопроводов. Изв. вузов. Электромеханика, 1968, № 8, С. 827-848.

46. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы М.: Наука, 1976, Т.1, 304 с.

47. Колесниченко А.Ф., Гориславец Ю.М. Электротехнология жидких металлов. Киев: О-во "Знание" Украины, 1989. - 20 с.

48. Курбатов П.А., Аринчин С. А. Численный расчет электромагнитных плей. М. Энергоатомиздат, 1984, 167 с.

49. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа, М.-Л. Гос. Изд-во физ. - мат. литературы, 1962, 708 с.

50. Лаевский Ю.М. Методы разбиения области при решении двумерных параболических уравнений // Вариационно-разностные методы в задачах численного анализа. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1987, 112-128 С.

51. Лисковец 0. А., Вариационные методы решения неустойчивых задач. Мн.: Наука и техника, 1981, 343 с.

52. Меерович Э.А., Чальян K.M. Расчет электромагнитных параметров экранированных тоководов в установившемся режиме (непрерывные экраны), Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт , 1972, № 4, С. 112- 119.

53. Меерович Э.А. Чальян K.M. Экспериментально-аналитический метод расчета электромагнитного поля трехфазных экранированных токопроводов при установившемся режиме. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1970, № 2, С. 138147.

54. Михайлов В.М. Двумерное импульсное электромагнитное поле массивных проводников. Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, 1977, №3, С.99-109.

55. Марчук Г.И. Методы расщепления М.: Наука, 1988, 236 с.

56. Марчук Г.И. Шайдуров В. В, Повышение точности решений разностных схем. -Наука, 1979, 319 с.

57. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики, М.: Наука, 1989, 608 с.

58. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.; Наука, 1979, 256 с.

59. Никитенко А.Г. Автоматизированное проектирование электрических аппаратов Высшая школа. 1983. 192 с,

60. Немков B.C., Полеводов В. С. Математическое моделирование на ЭВМ устройств высокочастотного нагрева, Л.: Машиностроение , 1980 с,

61. Немков B.C. Расчет электромагнитных полей систем индукционного нагрева. В кн.: Электронное моделирование. Киев: Наукова думка, 1977, С, 86-99.

62. Немков В. С., Сухоцкий А.Е. Смольников Л.П, Численный метод расчета активного сопротивления токопроводов на высокой частоте. -Изв. ЛЭТИ, 1976, вып. 183,С.3-7.

63. Немков В. С., Демидович В.Е. Теория и расчёт устройств индукционного нагрева. Л. -Энергоатомиздат, 1988, 280 с.

64. Немков В. С., Демидович В.Б. Экономичные алгоритмы численного расчета устройств индукционного нагрева, Изв. вузов. Электромеханика, 1984, №11, С.13-18.

65. Накасахи К. Дейуэрт Д.С. Новый метод построения трехмерных адаптирующихся сеток // Аэрокосмическая техника. 1987., №7, С. 90-98.

66. Петрушенко Е.И., Эркенов Н. X. О численном анализе нестационарных процессов в одномерных электронно-дырочных переходах. Док. АН УССР, Сер. А, 1978, № 4, С.356-359.

67. Петрушенко Е.И. К расчету вихревых токов в проводниках сложной формы. Известияакадемии наук СССР. Энергетика и транспорт, 1960, № б, С.59-70.

68. Петрушенко Е.И., Эркенов Н.Х. Алгоритм расчета одномерной транзисторной структуры методом матрично-скалярных прогонок. Сб. научных трудов. Анализ и машинное проектирование электронных цепей, 1980, С.176-201.

69. Петрушенко Е.И. Расчет распределения плотности тока в закрытых токопроводах. -Изв. вузов. Электромеханика, 1964, № б, С.647-656.

70. Петрушенко Е.И. Постановка задачи по расчету вихревых токов в телах произвольной формы. Изв. вузов. Электромеханика, 1966, № 11, С. 1181-1184.

71. Петрушенко Е.И. Расчет осесимметричных устройств переменного тока. Автореферат дисс. канд. техн. наук. Киев, 1965.-34 с.

72. Повх И.Л., Чекин Б. В. Магнитогидродинамическая сепарация,- Киев Наукова думка, 1978, 147 с.

73. Подольцев Л.Л., Эркенов Н.Х. Комбинированный метод граничных элементов -конечных разностей для расчета вихревых токов в осесимметричных телах. Известия вузов. Электромеханика, 1991, №4, С, 12-18.

74. Полеводов Б.С., Демидович В.Б., Скворцов Ю.А. Моделирование тепловых и электромагнитных процессов в индукционных плазма тронах. - Изв. вузов. Электромеханика, 1984, № 9, С. 13-21.

75. Полищук В.П, Цин М.Р, Горн Р.К. и др. Магнитогидродинамические насосы для жидких металлов. Киев. Наукова думка, 1989, 255 с.

76. Папковский В. И. Комбинированные методы и их приложение к задачамэлектромеханики. Изв. вузов. Электромеханика, 1986, №9,С.5-10.

77. Романович С.С., Федчун Л.В., Юхимов И.Г. Электрический и тепловой расчет индукционного нагрева осесимметричных металлических тел. В кн.: Кибернетика и вычислительная техника. -К.: Наукова думка, 1973, вып.22, С 155-162.

78. Романович С.С., Федчун Л.В. Расчет на ЦВМ вихревых токов в осесимметричных проводниках. В кн.: Кибернетика и вычислительная техника. - К.: Наукова думка, 1972, вып. 17, С.31-37.

79. Разработать элементы теории и методы электромагнитного воздействия на технологические процессы в системах с жидкими проводниками. Отчет НИР. Ин-т электродинамики АН УССР ,1986, № гос.рег. 01.84.0047289.

80. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: 1982, С.271.

81. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.:Наука ,1977. -656 с.

82. Самарский А. А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975. - 352 с.

83. Самарский А. А. Об одном экономичном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области. ЖВМ и МФ., 1962, т.2, №5, С.787-811.

84. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. -Вестник АН СССР, 1979, № 5, С.35-49.

85. Сухоцкий А.Е., Немков, Павлов К. А., Бамуэр А. В. Установки индукционного нагрева. Л.: Энергоиздат, Ленингр. отделение,: 1981, 328 с.

86. Степанов А.Е., Блавдзевич Ю.Г., Борукаев З.Х. Метод расчетно-эспериментального анализа электромагнитного поля и потерь в немагнитных проводящих элементах концевых частей турбогенератора. Киев, 1979 АН УССР препринт Ин-та электродинамики №213.-41 с.

87. Тир Л.Л., Столов М.Я. Электромагнитные устройства для управления циркуляцией расплава в электропечах. М.: Металлургия, 1975, 224 с.

88. Тихонов А.Н.,Самарский A.A. Уравнения математической физики -М.: Наука, 1977, С.735.

89. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач М.: Наука. 1979, 288 С.

90. Тимофеев В.Н., Темеров А.А,, Гориславец Ю.М, Расчет электродинамических усилий в жидком металле индукционных систем // Техническая электродинамика. 1986, № 5, С.3-9.

91. Тозони О. В. Электромагнитное поле Б неоднородной среде и метод вторичных источников, В кн.; Кибернетика и вычислительная техника. - К.; Наукова думка, 1973, вып 22, С, 166-211.

92. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике.-М.: Энергия, 1975,295 С.

93. Тозони О.В. Расчёт электромагнитных полей на вычислительных машинах .- Киев: Техника, 1967.-252 С.

94. Филиппов А.Ф. Об устойчиврсти разностных уравнений-ДАН СССР, 1955, Т.100, № 6, С. 1045-1048.

95. Фрязинов И.В. О решении третьей краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности в произвольной области локальноодномерным методом, ЭВМ и МФ , 1966, Т.6 , № С.487-502.

96. Фрязинов И.В. Экономичные симметрированные схемы решения краевых задач для многомерного уравнения параболического типа.-ЖВМ и МФ, 1968, Т.8, № 2, С.436-442.

97. Фрязинов И.В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи.-ЖВМ и МФ, Т.4, № 6, С.1106 -1111.

98. Фрязинов И.В. Экономичные схемы повышенного порядка точности для решения многомерного уранения параболического типа,- Журнал вычисл. Математ. Физики, 1969, Т.9 ,№ 6, С. 1316-1326.

99. Фрязинов И.В. Априорные оценки для одного семейства экономичных схем,-Ж.вычисл. матем. и матем. физики, 1969, Т.9, № 3, С.595-604.

100. Чемерис В Т., Подольцев А.Д. Исследование магнитоимпульсного взаимодействия проводящих контуров на ЭЦВМ с учё1том движения вторичного контура.-Техн. электродинамика, 1979, № 1, С.22-26.

101. Чемерис В Т., Подольцев А.Д. Исследование магнитпимпульсного взаимодействия движущихся проводящих тел при наличии ферромагнитной среды {/л = const) .Техническая электродинамика 1980, № 1, С. 16-21.

102. Чемерис В.Т., Подольцев А.Д. Электромеханическое преобразование энергии при торможении проводящего поршня в однородном магнитном поле. Пробл. техн. электродинамики, 1978, № 67, С. 108-114.

103. Юринов В.М., Важнов С. А. Численный расчет электродинамических усилий всистеме соленоид-ферромагнитный экран. В кн.: Сложные электромагнитные поля и электрические цепи. Уфа, 1982, № 10, С. 116-120.

104. Юрченко В.И. Расчет двумерных квазистационарных полей на ЭВМ, ЖГФ, 1974, Т.10, 4 , в.8, 1974, С.1641-1649.

105. Яненко Н.Н. О сходимости метода расщепления для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Ж. велич. матем.и математ. Физики 1962, Т. 2, № 5, С.933-937.

106. Яненко К.Н. Вопросы модульного анализа и параллельных вычислений в задачах матфизики // Комплексы программ математич. физики. Новосибирск: ИТПНСО АН СССР, 1980, С. 3-12.

107. Deeley E.M., Okon E. E., A numerical method of solving Fredholm integral equations applied to current distribution and inductance in parallel conductors- Int. J. Meth. Engng. 1977, v. 11, N 3, pp. 447-467

108. Douglas J., Jones B.F. On predictor-corrector methods for nonlinear parabolic differential equations. J. Soc. Industr. Appl. Math. 1963, 11, № 1, pp. 195-204.

109. Ehrkenov N. Kh., Gorislavets Yu. M., Kolesnichenco A. F., Lysak N. V. Theoretical derivation of electromagnetic field for MHD granulates. Proc. of the Sixth international Congress, 1990, Nagoya, pp. 422-429.

110. Enokizono M., Nagata S. Combination of Finite and Boundary Element Including External Power Sources for Magnetic Field Analysis. A Boundary Elem. 8 Proc., 8th International Congress, Tokyo, 1986, Sept., Berlin e.a., v. 1, pp. 391-400

111. FyffP.F., Biringer A.P., Earl P.Burke. Calculation Methods for Current Distribution in Single Turn Coils of Arbitrary cross-section. IEEE Transactions on power apparatus and systems, 1970, vol. PAS-89, № 2, pp. 228-232

112. Matusono K, Dwyer H. Adaptive methods ellinetic grid generation IIJ. Comp. Physics. 1988, v. 77, pp. 40-52.

113. Onuki T., Yoki T. Hybrid Finite Element and Boundary Element Method for three-dimensional Electromagnetic Field Analysis// Boundary Elements 8 Proc., 8th Intern. Cong. Tokyo, Sept., 1986, Berlin e.a., 1986, v.l., pp. 297-306

114. Peaceman D.W., Rachford H.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. J. Soc. lductr.AppI. Math. 1955, 3, № 1, pp. 28-42.

115. Salon S.J., Sehneidor J.M. Hybrid Finite Element-Boundary Integral Formulation of Poisson*s Equation. IEEE Transactions on magnetic, 1989, November, v.MAG-17, № 6, pp. 2574-2576

116. Schuize D., Reis W. Numeriche Berechnung der Strorndi-chteverteilungin der Schmeltzrinne von Induction-Rinnen- Ofen. Electric, 1971, Nr. 10, ss. 377-398

117. Schaffer G., Banderet P. Stromverdrangung in Hochs-tromSchienen. Brown Bower Mittelungen. 1965, August, ss. 623-625.

118. Silvester P., Wong S.K., BurkeP.E. Modal Theory of skin effect in single and multiple turn coils. IEEE Trans. Power Appar. and Systems, 1972, v.91, № 1, pp. 29-34.