Численное моделирование замкнутого течения проводящей жидкости в электромагнитном поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Павлов, Сергей Иванович

• Павлов, Сергей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Павлов, Сергей Иванович

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ РАСЧЁТА МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИХ МГД-УСТРОЙСТВ С ЗАМКНУТЫМ

ТЕЧЕНИЕМ ЖИДКОГО МЕТАЛЛА.

1.1. Индукционные МГД-устройства с круговой симметрией вихревых токов

1.2. Определение осесимметричной формы мениска жидкого металла

1.3. МГД-устройства с осесимметричным коццукционным подводом мощности.

1.4. Индукционные МГД-устройства с разрезным металлическим тиглем, обладающим поворотной симметрией.

1.5. Задачи диссертационной работы.

2. МОДЕЛИ ИЩУКЦИ0НН0-К0НД7КЦИ0НН0Г0 МГД-УСТРОЙСТВА.

2.1. Характеристика подобластей модели и основные допущения.

2.2. Двухмерные модели.

2.3. Выводы по главе.

3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОДИКА РАСЧЁТА МГД- И ТЕПЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ИНДУКЦИОННОГО МГД-УСТРОЙСТВА.

3.1. Математическая модель. Основные уравнения

3.1.1. Электромагнитное поле,.

3.1.2. Гидродинамическое поле

- 3

3.1.3. Тепловое поле.

3.2. Методика численного расчета.

3.2.1. Конечно-разностные сетки.

3.2.2. Схемы для расчета вихря скорости.

3.2.3. Схемы для расчета электромагнитного и теплового полей.

3.2.4. Вычисление вихря на твердой стенке.

3.2.5. Методика расчета течения в естественных переменных.

3.3. Результаты численных экспериментов.

3.3.1. Сопоставление предложенных методик расчета движения расплава.

3.3.2. Сопоставление результатов расчетов поля скорости с экспериментальными данными и численными результатами других авторов.

3.4. Выводы по главе.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО, ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО И ТЕПЛОВОГО ПОЛЕЙ В ОСЕСИММЕТ

РИЧНОМ ИНДУКЦИОННОМ МГД-УСТРОЙСТВЕ.

4.1. Влияние геометрии проводящей области на МГД-течение расплава.

4.2. Влияние формы мениска расплава на МГДтечение.

4.2.1. Выбор расчетных моделей.

4.2.2. Результаты расчетов.

4.3. Особенности теплового поля в условиях электромагнитной конвекции.

4.4. Выводы по главе.

5. МАТЕМАТЙЧЕСЖАЯ МОДЕЛЬ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА М1Д-ТЕЧЕНШ РАСПЛАВА В (НЕСИММЕТРИЧНОМ МГД-УСТРОЙСТВЕ С КОНДУКЦИОННЫМ И КОМБИНИРОВАННЫМ ПОДВОДОМ МОЩНОСТИ.

5.1. Математическая модель

5.1.1. Расчет электромагнитного поля

5.1.2. Вычисление электромагнитной силы.

5.1.3. Расчет движения расплава

5.2. Результаты расчетов МЩ-течения расплава.

5.3. Вывода по главе.

6. ДВУХМЕРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ МВД- И ТЕПЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОВОРОТНО-СИГШТРИЧНОГО ИНДУКЦИОННОГО мгд-УСТРОЙСТВА

6.1. Математическая модель.

6.1.Г. Электромагнитное поле

6.1.2. Гидродинамическое поле.

6.1.3. Тепловое поле

6.2. Методика численного расчета

6.2.1. Полярная конечно-разностная сетка.

6.2.2. Характеристика конечно-разностных схем и комплекса программ

6.3. Аналитический расчет МВД-течения расплава в зоне контакта расплава и тигля.

6.3.1. Упрощенная модель.

6.3.2. Аналитические выражения для электромагнитных величин.

6.3.3. Аналитические выражения .для гидродинамических величин

6.3.4. Характеристика методики расчета и сопоставление результатов

5.4. Результаты расчетов.

6.4.1. М1Д-течение расплава

6.4.2. Джоулевы источники тепла

6.4.3. Тепловое поле

6.5. Выводы по главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование замкнутого течения проводящей жидкости в электромагнитном поле»

Увеличение производства и улучшение качества выплавляемого металла является важной народно-хозяйственной задачей, необходимость решения которой подчеркивалась на ХХУ и ХХУ1 съездах КПСС. С этой целью совершенствуется металлургическая технология, разрабатываются и внедряются новые высокопроизводительные установки, обладающие высоким уровнем механизации и автоматизации.

Характерным для последних 20-25 лет является широкое применение в металлургической промышленности разработанных на базе новейших достижений прикладной магнитной гидродинамики (МГД) устройств, реализующих способ бесконтактного электромагнитного (ЭМ-) воздействия на расплавленный металл, представляющий собой высокотемпературную агрессивную среду. Исследования проводятся как в СССР (см. материалы Рижских совещаний по МГД и др.) , так и за рубежом [ 98 3.

На различных этапах технологического цикла обработки металла, включающего плавление, перемешивание, легирование, рафинирование, кристаллизацию и другие процессы, с успехом используются зарекомендовавшие себя индукционные плавильные электропечи (ИЭП) [ 3, 6 ]; устройства управления движением расплава (УУД), миксеры С 70 ]; устройства электрошлакового переплава [80], ЭМ-кристаллизаторы и другие устройства, подвод электрической мощности к расплаву в которых осуществляется индукционным или кондукционным способом.

В настоящее время нардду с усовершенствованием имеющихся плавильных М1Д-устройств с целью улучшения качества и чистоты металла и сокращения проложительности технологического цикла его обработки (иногда и отказа от отдельных этапов цикла) ведется разработка перспективных конструкций по следующим направлениям [ 66,70,71 ] :

1) Создание индукционно—кондукционных МГД-устройств с комбинированным подводом энергии к расплаву (индукционно-электрошлаковых, электроннолучевых, .дуговых, плазменных и др. плавильных электропечей - ИЭШП, ИЭЛП, ВДП, ИПП).

2) Создание индукционных электропечей с электропроводящим водоохлаждаемым разрезным тиглем - индукционных печей с холодным тиглем (ИПХТ).

Качество выплавляемого металла зависит от характера массообменных процессов, в формировании которых определяющую роль играет циркуляция расплава, созданная объемным распределением ЭМ-силы при подводе мощности к расплаву индукционным' или кондукционным способом. Гидродинамические (ГД-) характеристики ЖД-устройств существенно влияют на продолжительность, интенсивность и эффективность различных этапов технологического цикла (например, гомогенизацию расплава, выравнивание температуры, сепарацию и удаление продуктов химических реакций, в том числе дегазацию, и других), а также в значительной мере определяют срок службы оборудования (например, интенсивная циркуляция расплава вблизи стенок тигля приводит к вымыванию его материала). Таким образом, для проектирования новых и совершенствования уже существующих ЖД-устройств определение скорости движения расплава является ключевой задачей, на основе решения которой могут быть найдены тепловые и концентрационные поля.

- II

Поскольку возможности экспериментального определения поля скорости ограничены, требуют значительных материальных и временных затрат и осуществляются преимущественно для лабораторных установок, перспективным является применение вычислительного эксперимента С 60 3, который дает возможность с помощью математических моделей, методик численных расчетов и разработанных на их основе комплексов программ проводить многовариантные расчеты распределений ЭМ-, 1Д-, тепловых и концентрационных полей с учетом взаимосвязи процессов при изменении в широких пределах геометрии и параметров ЖД-устройств.

Ограничиваясь исследованиями МВД- и тепловых процессов в металлургических МГД-устройствах с замкнутым течением жидкого металла, следует отметить, что в математическом моделировании устройств достигнуты определенные успехи. В частности, проведены численные исследования гидродинамики расплава в цилиндрических М1Д-устройствах с индукционным (работы Рай-херта [ 103 3, Терепоура и Эвенеа [ 112 ] , Шекели и Ченга [ 107 3, Яковича [ 81 J и других) и концукционным (работы Дилавари, Шекели и Игара [ 90 3, Миллере, Шарамкина и Щербинина [ 43 3 и других) подводом мощности к расплаву.

Настоящая работа посвящена:

I) Разработке .двухмерных математических моделей осесим-метричных М1Д-устройств с замкнутым течением расплава при ивдукционном, кондукционном и комбинированном подводе мощности, а также моделей поворотно-симметричных индукционных МГД-устройств с электропроводящим разрезным водоохлаждаемым тиглем.

2) Разработке численных методик и созданию комплексов программ для расчета распределений ЭМ-, 1Д- и тепловых полей в названных М1Д-устройствах.

3) Использованию разработанных методик и программ для получения качественных и количественных данных о ЭМ-, 1Д-и тепловых полях в зависимости от геометрии и параметров, характеризующих ЖД-устройства.

В результате комплекса проведенных исследований на защиту выносятся следующие основные положения:

1) Пренебрежение мениском расплава может приводить к качественно неверным результатам для структуры течения, а также распределений электромагнитных и тепловых полей в осе-симметричном индукционном ЖД-устройстве. Таким образом, широко распространенные теоретические модели с цилиндрической садкой применимы для исследований металлургических установок со слабо выраженным мениском.

2) В индукционном МЕД-устройстве с разрезным электропроводящим тиглем в жидком металле наряду с азимутально направленными вихрями тороидальной формы в пределах угловых размеров секции тигля возникают двухконтурные течения с вихрями аксиального направления, вызванные нарушением круговой симметрии вихревых токов. Интенсивность этих вихрей сопоставима с интенсивностью тороидальных вихрей.

3) В осесимметричном М1Д-устройстве с комбинированным подводом энергии М1Д-вращение возникает только при переменном кондукционно подведенном токе. Из-за выраженного скин-эффекта толщина зоны вращения оценивается удвоенной толщиной скин-слоя.

- 13

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и приложения. В главе I дается обзор математических моделей и методов расчета осесимметричных ЖД-устройств с замкнутым течением жидкого металла при индукционном и кондук-ционном подводе энергии, а также индукционных ЖД-устройств с поворотно-симметричным разрезным электропроводящим тиглем. Формулируются цели и задачи диссертационной работы. В главе 2 рассматривается схема ивдукционно-кондукционного металлургического МГД-устройства, дается характеристика подобластей, различающихся по своим ЭМ-, 1Д- и тепловым свойствам. Предлагаются .двухмерные модели, воспроизводящие меридиональное и горизонтальное сечения М1Д-устройотва. В главе 3 рассматривается математическая модель осесимметричного индукционного ЖД-устройства, предлагаются конечно-разностные методики расчета ЭМ-, 1Д- и теплового полей. Сопоставляются результаты расчетов поля скорости с экспериментальными данными и численными результатами других авторов. Глава 4 посвящена анализу результатов расчетов ЖД-течения в осесимметричном ЖД-устройстве с произвольной формой тигля, а также с учетом мениска расплава, приводятся данные о качественном характере теплового поля в условиях развитой ЭЖ. В главе 5 предлагается математическая модель осесимметричного ЖД-устройства с комбинированным - индукционным и ковдукционным - подводом энергии. Рассматриваются режимы течения при наложении ЭВТ и ЭЖ, а также ЖД-вращение расплава. В главе 6 предлагается математическая модель индукционного ЖД-устройства с разрезным электропроводящим тиглем , воспроизводящая горизонтальное сечение . Предлагается конечно-разностная методика рас

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Павлов, Сергей Иванович

6.5. Выводы по главе

1) Предложена двухмерная математическая модель металлургического индукционного поворотно-симметричного МГД-устройства с металлическим разрезным водоохлаждаемым тиглем. Модель воспроизводит реально любое горизонтальное сечение МГД-устройства. На границе контакта расплава и тигля учитываются переходные электрическое и тепловое сопротивления.

2) Конечно-разностная методика расчёта ЭМ-, 1Д- и тепловых характеристик МГД-устройства основана на применении модифицированных на случай неоднородной полярной сетки схем,пред

- 188 ложенных в разделе 3.2 для осесимметричной модели. При расчётах аксиальной составляющей индукции магнитного поля и температуры для учёта сложных граничных условий, содержащих переходные электрическое и тепловое сопротивления, использован метод разделения на подобласти с последующим сшиванием конечно-разностных решений.

3) Получено аналитическое решение методом разделения переменных для МГД-течения расплава в зоне контакта расплава и тигля с использованием упрощённой модели в декартовой системе координат. Результаты расчётов на ЭВМ по аналитическим выражениям сравниваются с результатами конечно-разностного решения, наблюдается хорошее качественное и количественное согласование результатов.

4) Методика расчёта реализована на ЭВМ в виде комплекса программ, внедрена для многовариантных расчётов во ВНИИ электротермического оборудования и используются в практике проектирования.

5) Обнаружено МГД-течение расплава, возникающее из-за нарушения круговой симметрии вихревых токов при обтекании изолирующего промежутка между секциями тигля. В движение, тлеющее характер двух аксиально направленных вихрей в пределах азимутальных размеров секции тигля, вовлечён слой расплава, непосредственно прилегающий к поверхности тигля. Исследованы зависимости характеристик МГД-течения расплава от величины переходного электрического сопротивления, ширины изолирующего промежутка между секциями тигля, безразмерной частоты расплава.

6) Исследовано тепловыделение в тигле и расплаве, а также качественный характер теплового поля с учётом выраженно

- 189 го эффекта концентрации вихревых токов при обтекании изолирующего промежутка, определены возможные зоны перегрева расплава и тигля.

7) Результаты исследований, изложенные в главе, отражены в следующих работах: Г 9, 45, 46, 50, 51 3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные вывода по результатам проведенных исследований были сделаны в конце каждой главы. В заключении подведем итоги проделанной работы.

1) Предложена уточненная математическая модель осесим-метричного металлургического М1Д-устройства с подобластями произвольной формы, представляющими собой различные элементы конструкции устройства. Учитывается, что подвод энергии к расплаву осуществляется индукционным, кондукционным или комбинированным способом.

2) Предложена .двухмерная математическая модель поворотно-симметричного индукционного МГД-устройства с разрезным водоохлаждаемым электропроводящим тиглем, воспроизводящая горизонтальное сечение. В модели учитываются электрические и тепловые свойства контактной зоны расплава и холодного тигля, а также зоны частичного и полного отжатия расплава от тигля.

3) Разработана методика численного расчета комплекса электромагнитных, гидродинамических и тепловых величин для металлургических устройств, основанная на применении консервативных конечно-разностных схем для уравнения переноса с переменными коэффициентами, построенных на неоднородной сетке интегроинтерполяционным методом. В схемах компенсируется схемная вязкость (температуропроводность, магнитная вязкость), возникающая при аппроксимации конвективных членов направленными разностями.

4) При численном решении уравнений электромагнитного

- 191 и теплового полей предложено использовать метод разделения на подобласти, что дает возможность на границах подобластей сшивать конечно-разностные решения с помощью сложных условий, учитывающих переходные электрическое и тепловое сопротивления. Кроме того, отказ от схем сквозного счета в расчетах вихревых токов, перетекающих через границу сред с различной электропроводностью, и применение метода разделения на подобласти позволяет сократить количество неизвестных.

5) Все методики расчета, реализованные на ЭВМ ЕС-1033 и БЭСМ-6 в виде взаимосвязанных комплексов программ на языке ФОРТРАН, внедрены для многовариантных расчетов во ВНИИ электротермического оборудования.

6) Проведено тестирование комплексов программ; сравнение численных результатов с имеющимися в литературе и полученными в работе аналитическими решениями, с численными результатами, полученными по другим независимым методикам, а также с экспериментальными.данными. Получено хорошее согласование результатов. Проведен сравнительный анализ разработанных методик и полученных численных результатов с методиками и численными результатами других авторов. Выявлены преимущества разработанной методики.

7) Получены качественные и количественные данные, выражающие зависимость электромагнитных, гидродинамических и тепловых полей: а) в осесимметричном индукционном МВД-устройстве - от расположения индукцирующей системы, геометрии тигля и формы мениска расплава; б) в зоне контакта расплава и тигля поворотно-симметричного индукционного МЦД-устройства от переходного электрического и теплового сопротивления, ширины изолирующего промежутка между секциями тигля и др.

8) Исследован характер результирующего течения расплава в осесимметричном ЖД-устройстве с комбинированным подводом мощности при наложении электромагнитной конвекции и электровихревого течения, а при переменном кондукционно подведенном токе и .дифференциального ЖД-вращения.

Настоящую диссертационную работу следует считать фиксацией этапа исследований металлургических М1Д-устройств с замкнутым течением жидкого металла. Потребности практики диктуют необходимость усовершенствования и развития предложенных математических моделей и методик расчетов. Основные направления дальнейших исследований представляются следующими:

1) Развитие численных методик, позволяющих наряду с расчетом М1Д-течения расплава определять также заранее неизвестную конфигурацию свободной поверхности расплава, которая формируется под действием объемных электромагнитных сил и .движения расплава. Это позволит проводить численные исследования ЖД-процессов в устройствах с электромагнитным отжатием расплава от стенок тигля.

2) Разработка трехмерных математических моделей и методик для численного расчета металлургических ЖД-устройств с разрезным электропроводящим водоохлаждаемым тиглем при индукционном, кондукционном и комбинированном подводе мощно-ности к расплаву.

3) Совершенствование моделей .для описания турбулентного движения расплава и переноса тепла. Определение турбулент

- 193 ных коэффициентов переноса на основе решения обратных задач с привлечением экспериментальных данных .для гидродинамических и тепловых полей в расплаве.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Павлов, Сергей Иванович, 1984 год

1. Абрицка М.Ю., Микельсон А.Э., Мошняга В.Н., Чернов Ю.В., Щербаков А.И. Влияние магнитных полей на движение жидкого металла при вакуумно-дуговом переплаве«- Магнитная гидродинамика, 1979, JE 3, с. I05-II0.

2. Белоцерковский О.М., 11ущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики жидкости.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1975, т. 15, JE I, с. 197-207.

3. Брокмайер К. Индукционные плавильные печи.- М.: Энергия, 1972.- 272-с.

4. Булыгин Л.Л., Якович А.Т. Об одном способе расчета переменного по объему жидкости эффективного числа Рейнольд-са.- В кн.: Электродинамика и механика сплошных сред. Рига: Л1У им.П.Стучки, 1980, с. 20-39.

5. Буцениекс И.Э., Петерсон Д.Е., Шарамкин В.И., Щербинин Э.В. М1Д-течения в замкнутых жидких объемах при неоднородном растекании тока.- Магнитная гидродинамкка, 1976, JE I, с. 92-97.

6. Вайнберг А.И. Индукционные плавильные печи.- М.: Энергия, 1967.- 254 с.

7. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ.- М.: Даука, 1967.- 416 с.

8. Гецелев З.Н., Крейндель Д.А., Каптилкин A.A., Мартынов Г.И. Экспериментальное исследование циркуляции жидкого металла в электромагнитном поле.- Магнитная гидродинамика, 1975, № 2, с. 144-146.

9. Гецелев З.Н., Мартынов Г.И. О циркуляции металла в жидкой фазе слитка, формируемого электромагнитным полем.-Магнитная гидродинамика, 1978, Ji 2, с. I27-I3I.

10. Гецелев З.Н., Мартынов Г.й. Расчет поля скоростей, возникающего в жидкой фазе слитка под действием электромагнитных сил.- Магнитная гидро,динамика, 1975, Jf 2, с. I06-III.

11. Гецелев З.Н., Мартынов Г.И. Расчет электромагнитных полей в системах "индуктор-экран-слиток".- Магнитная гидродинамика, 1977, Jf I, с. 89-96.

12. Госмен А.Д., Пан В.М., Ранчел A.A., Споддинг Д.Б., Вольфштейн М. Численные методы исследования течения вязкой жидкости.- М.: Мир, 1972.- 324 с.

13. Дородницын A.A., Меллер H.A. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье-Стокса.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1968, т. 8, № 2, с. 393"-402.

14. Ефимовеких H.A. Расчет электромагнитного поля плавильного устройства с "холодным" тиглем.- В кн.: Применение токов высокой частоты в электротермии: Тезисы 9-ой Всесоюзной научно-Еехнической конференции. Ленинград, 1981, с.120.121.

15. Жидкомета лличес кие контакты/Информэлектро.- Обзорная информация ТС-7. Аппараты низкого напряжения.- М., 1980.65 с.

16. Коровин В.М. О форме свободной поверхности и осесим-метричном М1Д-течении жидкого металла в непроводящем сосуде при наличии тонкого скин-слоя.- Магнитная гидродинамика, 1981, & 3, с. 67-73.

17. Костюк Э.Н. Вычисление модифицированных цилиндрических функций.- В кн.: Кибернетика и вычислительная техника. Киев: Наукова думка, 1972, вып. 17, с. 58-79.

18. Краст П.В., Петерсон Д.Е. Расчет характеристик регулирующего кондукционного М1Д-желоба с учетом "реакции якоря".- Магнитная гидродинамика, 1977, Л I, с. 102-106.

19. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш.В. Численное исследование движения жидкости в электропечи (плоская задача).- В кн.: Численные метода механики сплошной среды. Новосибирск, 1975, т. 6, Ji I, с. 65-74.

20. Кутателадзе С.С. Анализ подобия в теплофизике.-Новосибирск: Наука, 1982,- 280 с.

21. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.- М.: Наука, 1978.- 738 с.

22. Дюмкис Е.Д., Мартузане Э.Н. Влияние электромагнитных сил на гидродинамику расплава в процессе высокочастотной бестигельной зонной плавки.- Магнитная гидродинамика,1983, Я I, с. II6-I24.

23. Махмудов K.M., Немков B.C., Слухоцкий А.Е. Метода расчета ицдукторов.- Известия Ленинградского ордена Ленина электротехнического института им.В.И.Ульянова-Ленина, 1973, вып.114, с. 3-27.

24. Микельсон А.Э., Панасюк Л.С., Слюсарев Н.М., Явич В.Е. Исследование перемешивания в модели гарниссажного тигля в переменном магнитном поле.- Магнитная гидродинамика, 1973, И 3, с. 71-75.

25. Микельсон Ю.Я., Павлов С.И., Якович А.Т. Методика расчета М1Д-течения в произвольной осесимметричной области.-В кн.: Девятое рижское совещание по магнитной гидродинамике. Саласпилс: Институт физики АН ЛатвССР, 1978, т. 3, с.78-74.

26. Микельсон Ю.Я., Павлов С.И., Якович А. Т. Методика численного расчета осесимметричного М1Д-течения в произвольной области.- В кн.: Электродинамика и механика сплошных сред. Рига: Л1У им.П.Стучки, 1980, с, 3-19.

27. Микельсон Ю.Я., Павлов С.И., Якович А.Т. Численное моделирование МГД-течения в области произвольной осе-симметричной конфигурации.- Магнитная гидродинамика, 1980, * 3, с. 73-80.

28. Микельсон Ю.Я., Якович А. Т. Движение жидкого металла в индукционных печах. Части I и 2.- В кн.: Вопросы электродинамики и механики сплошных сред. Рига: ЛГУ им. П.Стучки, 1976, т. 2, с. 3-26; 1977, т. 3, с. 40-66.

29. Микельсон Ю.Я., Якович А.Т., Павлов С.И. Численное исследование осредненного М1Д-течения в цилиндрической области с использованием рабочих гипотез для турбулентных напряжений.- Магнитная гидродинамика, 1978, Л I, с. 51-58.

30. Микельсон Ю.Я., Якович А.Т., Павлов С.И. Численное моделирование ЖД-процессов в индукционных электропечах.- В кн.: Применение токов высокой частоты в электротермии: Тезисы 9-ой Всесоюзной научно-технической конференции. Ленинград, 1981, с. 121.

31. Микельсон Ю.Я., Якович А;Т., Тир Л.Л. Методика расчета распределения скоростей в цилиндрической индукционной электропечи.- Магнитная гидродинамика, 1977, Л I, с. 97-101.

32. Миллере Р.П., Шарамкин В.И., Щербинин Э.В. О влиянии продольного магнитного поля на электровихревое течение в цилиндрической емкости.- Магнитная гидродинамика, 1980,1. К. I, с. 81-85.

33. Мошняга В.Н., Шарамкин В.И. Экспериментальное исследование электровихревого течения в цилиндрической емкости.- Магнитная гидродинамика, 1980, Я I, с. 77-80.

34. Никифорова Н.В., Павлов С.И., Тир Л.Л. Методика расчета М1Д-течения расплава в индукционной печи с холодным тиглем.- В кн.: Одиннадцатое рижское совещание по магнитной гидродинамике. Саласпилс: Институт физики АН ЛатвССР, 1984, т. 2, с. 223-226.

35. Никифорова Н.В., Павлов С.И., Тир Л.Л. Расчеты электромагнитных, энергетических и гидродинамических характеристик индукционной печи с холодным тиглем (.двухмерная модель).- Магнитная гидродинамика, 1984, № 2, с. 101-110.

36. Орлов Л.П., Голованов А.Л. Метод расщепления в применении к численному решению задач МГД-вращения электропроводной жидкости в цилиндрическом сосуде.- Магнитная гидродинамика, 1979, Л 4, с. 35-38.

37. Павлов С.И. 0 выборе метода численного расчета движения расплава в индукционной тигельной печи.- В кн.: Электродинамика и механика сплошных сред. Промышленные процессы и устройства. Рига: Л1У им.П.Стучки, 1983, с. 3-21.

38. Павлов С.И. Расчет аксиально симметричного электромагнитного поля.- В кн.: Тезисы докладов 1-ой студенческой конференции по гуманитарным и естественным наукам Прибалтийских республик и Белорусской ССР. Тарту: Т1У, 1976, с.59-60.

39. Павлов С.И., Тир Л.Л., Якович А.Т. Математические модели и методика расчета электромагнитного поля и движения расплава в индукционной печи с холодным тиглем.- В кн.:- 201

40. Электродинамика и механика сплошных сред. Математическое моделирование. Рига: ЖУ им.П.Стучки, 1982, с. 3-19.

41. Павлов С.И., Тир Л.Л., Якович А.Т. Численное моделирование движения металла в индукционной печи с холодным тиглем.- В кн.: Десятое рижское совещание по магнитной гидродинамике. Саласпилс: Институт физики АН ЛатвССР, 1981, т. 3, с. 21-22.

42. Павлов С.И., Якович А.Т. Влияние мениска на циркуляцию расплава в индукционной электропечи.- Магнитная гидродинамика , 1981, Л 3, с. 104-109.

43. Павлов С.И., Якович А.Т. К определению высоты и формы мениска в индукционной электропечи в гидростатическом приближении.- В кн.: Электродинамика и механика сплошных сред. Применение численных методов. Рига: Л1У им.П.Стучки, 1981, с. 56-69.

44. Павлов С.И., Якович А.Т. Методика расчета формы свободной поверхности при осесимметричном М1Д-течении вязкой несжимаемой жидкости.- В кн.: Электродинамика и механика сплошных сред. Применение численных методов. Рига: Л1У им. П.Стучки, 1981, с. 70-77.

45. Полежаев В.И., Грязнов В.Л. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных вихрь, функция тока.- Доклады АН СССР, 1974, т. 219, Л 2, с.301-304.- 202

46. Полежаев В.И., Черкасов С.Г. Нестационарная тепловая конвекция в цилиндрическом сосуде при боковом подводе тепла.- Известия АН СССР, механика жидкости и газа, 1983,4, с. 148-157.

47. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.- М.: Мир, 1980.- 616 с.

48. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.- Вестник АН СССР, 1979, Л 5, с. 39-53.

49. Самарский A.A., Николаев Е.С. Метода решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978.- 592 с.

50. Сандлер В.Ю. Численное исследование полей температуры и скорости в шлаковой ванне.- Магнитная гидродинамика, 1982, Л 2, с. IX3-II9.

51. Тир Л.Л. Методы расчета движения в индукционных тигельных печах.- В кн.: Исследование в области промышленного электронагрева: Труды ВНИИЭТО. М.: Энергия, 1979, вып.9, с. 83-90.

52. Тир Л.Л. Моделирование теплового поля в садке нагревательной электропечи.- В кн.: Исследования в области промышленного электронагрева: Труда ВНИИЭТО. М.: Энергия, 1970, вып. 4, с. 170-184.- 203

53. Тир Л.Л. Обжатие расплава электромагнитным полем в плавильных электропечах.- Магнитная гидродинамика, 1971,1. I, с. 138-144.

54. Тир Л.Л., 1!убченко А.П., Фомин Н.И. Тенденции развития индукционных печей с холодным тиглем.- В кн.: Исследования в области промышленного электронагрева: Труда ВНИИЭТО. М.: Энергия, 1979, вып. 10, с. 31-38.

55. Тир Л.Л., Свидо A.B. Оценка движения расплавленного металла в индукционной тигельной печи при конструировании.- Электротехническая промышленность, серия электротермия, 1980, X 6, с. 5-7.

56. Тир Л.Л., Столов М.Я. Электромагнитные устройства для управления циркуляцией расплава в электропечах.- М.: Металлургия, 1975.- 224 с.

57. Тир Л.Л., Фомин Н.И. Современные методы индукционной плавки.- М.: Энергия, 1975.- 112 с.

58. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1972.- 735 с.

59. Фомин Н.И. Определение параметров системы индуктор-тигель-садка в индукционных печах с холодным тиглем.- В кн.: Исследования в области промышленного электронагрева: Труды ВНИИЭТО. М.: Энергия, 1975, вып.7, с. 65-71.

60. Фомин Н.И., Тир Л.Л. Особенности процесса теплопередачи в условиях плавки металла в индукционной печи с холодным тиглем (ИПХТ).- В кн.: Седьмое рижское совещание по магнитной гидродинамике. Рига: Зинатне, 1972, т.З, с. 22-24.

61. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса.- М.: Мир, 1976.- 630 с.

62. Шерклиф Лд. Курс магнитной гидродинамики,- М.: Мир, 1967.- 320 с.

63. Шестакова М.И., Свидо A.B., Тир Л.Л. Управление движением расплава в зоне зеркала ванны индукционной тигельной печи.- В кн.: Десятое рижское совещание по магнитной гидродинамике. Саласпилс: Институт физики АН ЛатвССР, 1981, т. 3, с. 25-26.

64. Щелухин Е.М., Бурский В.П., Бакуменко С.П., Якушев О.С., Афанасьев Н.Д. Ламинарное вращение проводящей жидкости в цилиндрическом сосуде под действием кондукционных сил.-Магнитная гидродинамика, 1978, Л 2, с. 73-76.

65. Электрошлаковые печи/Под ред. Патона Б.Е., Медовара Б.И.- Киев: Наукова думка, 1976.- 460 с.

66. Якович А.Т. Исследование осредненного течения жидкого металла в аксиально-симметричном магнитном поле.- Дис. канд. физ.-мат.наук.- Рига, 1978.- 205 с.

67. Якович А.Т., Павлов С.И. Некоторые конечно-разностные метода расчета осесимметричного стационарного течения.-В кн.: Вопросы электродинамики и механики сплошных сред. Рига: Л1У им.П.Стучки, 1978, т. 4, с . 44-62.

68. Amsden A.A., Harlow F.H. A simplified MAC technique for incompressible fluid flow calculations.- Journal of Computational Physics, 1970, vol. 6, p. 322-325.

69. Berkert ÏÏ. Ein numerisches "Verfahren zur Berechnung Zweidimensionaler Wirbelstromproblem.- Zeitschrift elektrische Information und Energietechnik, I98O, Bd. 94-, N0. 4-,1. S. 1-21.

70. Chaudhary M., Szekely J. The modeling of pool profiles, temperature profiles and velocity fields in ESR systems.- Metallurgical Transactions B, 1980, vol. IIB, No. 3, p. -4-39-453.

71. Cremer P., Alemany A. Aspects experimentaux du brassage electromagnetique en creuset.- Journal de mechanique applique, 1981, vol. 5, No. 1, p. 37-50.

72. Cremer P., Driole J., Marchand C., Foggia A., Fautrelie Y. Recherches en cours dans le domaine des fours a induction.- In: L-electrothermie, facreur de mutation et de développement industriel. Versailles, 1980, 23 p.

73. Dilavary A.H., Szekely J., Eagar T.?/. Electromag-netically and thermally driven flow phenomena in electroslag welding.- Metallurgical Transactions B, 1978» vol. 9 B, No.3, p, 371-381.

74. Easton C.R. Homogeneous boundary conditions for pressure in MAC method.- Journal of Computational Physics, 1972, vol.9, No. 2, p.375-379.

75. Israeli M. A fast implicit method for time dependent viscous flows.- Studies on Applied Mathematics, 1970, vol.4-9, p. 327-349.

76. Khaletzky D. Etude theorique du brassage electromagnetique dans les fours a induction. Application al'analyse d'un procédé de separation d'inclusions.- Grenoble: L'institut National Polytechnique, 1976, 102 p.- 207

77. Lavers J.D. An analysis of the coreless induction furnace: Load and effect.- Electrowärme International, 1971» vol. 29, No. 7, p. 390-396.

78. Moore D.J., Hunt J.C.R. Electromagnetic Stirringin the Coreless induction Furnace.- In: Proceedings of the rd

79. Beer-Sheva Symposium on MHD Flows and Turbulence, 1980 (to be published).

80. Moreau R. Applications metallurgiques de la magneto-hydrodynamique.- In: Theoretical and Applied Mechanics: Proceedings of 15^ International Congress (Toronto 1980). Amsterdam, 1980, p. 107-118.

81. Mühlbauer A. Kräfte und Strömungen in der Schmelze eines Induktions-Tiegelofens.- Acta Technica CSAV, 1969, No. 6, S. 686-712.

82. Mühlbauer A. Uber die elektrodynamischen Kräfte in der Schmelze von Induktionsofen.- Elektrowärme International, 1967, Bd. 25, No.12, S. 461-473•

83. Müller W., Wolff W. Numerische Berechnung dreidimensionaler Magnetfelder für groBe Turbogeneratoren bei feldabhängiger StromdichteVerteilung.- Elektrotechnische Zeitschrift Anlage, 1973, Bd. 94, No. 4, S. 276-282.

84. Nissen P. Ein Beitrag zur numerischen Bestimmung der freien Oberflächenform von rotationssymmetrischen induktiv erwärmten Metallschmelzen.- Hannover: Technische Universität, 1976.- 113.S.

85. Sadoway D.R., Szekely J. A new experimental technique for the study of turbulent electromagnetically driven flows.- Metallurgical Transactions B, 1980, vol.11 B, No.2, p. 334-336.

86. Szekely J., Asai S. The general mathematical statement of turbulent recirculatory flows.- Transactions of Iron and Steel Institut of Japan, 1975, vol.15, N0.5, p. 270-275.

87. Szekely J., Chang C.W. Turbulent electromagnetically driven flow in metals processing: Part 1. FormulationT Iron-making and Steelmaking, 1977, N0.3, p. 190-195; Pari? 2. Practical applications.- Iromaking and Steelmaking, 1977, N0.3, p.196-204.

88. Szekely J., Chang C.W., Johnson W.E. Experimental Measurement and Prediction of Melt Surface Velocities in a 30.000 lb Inductively Stirred Melt.- Metallurgical Transactions, 1977, vol. 8B, No. 9, p. 514-517.

89. Szekely J., Chang C.W., Ryan R.E. The measurement and prediction of melt velocities in turbulent, electromagnetically driven recirculating low melting system.- Metallurgical Transactions B, 1977, vol.8B, p. 333-338.

90. Szekely J., Dilawary A.H., Metz R. The mathematical and physical modeling of turbulent recirculating flows.-Metallurgical Transactions, 1979, vol.IOB, No.l, p.33-41.

91. Takemitsu N. On a finite-difference approximation for the steady-state Navier-Stokes equations.- Journal of

92. Computational Physics, 1980, vol.36, p.236-248.

93. Ushio M., Szekely J., Chang C.W. Mathematical modeling of flows field and heat transfer in high-current arc discharge.- Ironmaking and Steelmaking, 1981, N0.6, p.279-286.