Моделирование деформации твердых тел на мезоуровне с учетом независимых поворотов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Бакеев, Рустам Альфредович

• Бакеев, Рустам Альфредович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бакеев, Рустам Альфредович

ВВЕДЕНИЕ

1. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ В МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА МОДЕЛИ СРЕДЫ С

НЕЗАВИСИМЫМИ ПОВОРОТАМИ.

Введение.

2.1. Полная система уравнений механики сплошных сред с учетом моментных напряжений, независимых поворотов и изгибов-кручений. Упругость

2.2. Определяющие уравнения для упругопластического течения

2.3. Граничные и начальные условия для модели с независимыми поворотами.

2.4. Система уравнений для плоского двумерного упруго-пластического деформирования среды

3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ

СРЕДЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПОВОРОТАМИ.

Введение.

3.1. Аппроксимационная схема системы уравнений с независимыми поворотами.

3.2. Распараллеливание счетного алгоритма.

3.3. Обеспечение устойчивости решения.

3.4. Сходимость решения.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПОВОРОТАМИ.

Введение.,.

4.1. Тестирование компьютерной программы. Сравнение с аналитическим решением.

4.2. Расчет кривых течения для среды с независимыми поворотами

4.3. Расчеты для однородного образца. Особенности локализации пластической деформации.

4.4. Расчеты для образца с включением.

4.5. Расчеты для мезообъема поликристалла

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование деформации твердых тел на мезоуровне с учетом независимых поворотов»

Актуальность работы. Одной из главных тенденций развития современной механики является учет различными способами* структуры материала при моделировании механического поведения конструкций и создании новых материалов. В рамках иерархического подхода физической мезомеханики к моделированию материалов со структурой экспериментально было показано, что на мезоуровне реализуется деформационная схема «сдвиг+поворот», обусловленная недостатком активных систем скольжения. Предложенная в работе модель является* одним из вариантов описания этого эффекта.

Важную роль в понимании связи между структурной', организацией^ твердых тел и изменением их механических свойств сыграла концепция структурных уровней деформации и разрушения твердых тел, развитая во второй половине XX столетия- в научной школе академика В.Е.Панина, а также возникшее на ее основе новое научное направление - физическая мезомеханика материалов [1, 2, 3, 5, 4]. Основываясь на идеях об элементарных носителях пластической деформации и структурных уровнях деформации, в рассмотрение вводится континуум, состоящий из конечных объемов, которым приписаны и повороты, и смещения. Размеры этих элементов определяют пространственный масштаб выделенного структурного уровня. Структурные элементы рассматриваются как элементарные носители пластической деформации. Поворачиваясь и смещаясь как целое, элементы структуры сами претерпевают деформации, в том числе и аккомодационные, необходимые для сохранения средой сплошности. Деформация структурных элементов каждого масштабного уровня обеспечивается элементарными носителями более мелких масштабов, причем "трансляция на одном уровне обязательно сопровождается поворотом на более высоком и наоборот" [1]. Очевидно, что для каждого материала может быть установлена соответствующая иерархия структурных уровней и характерные размеры структурных элементов, например: дислокации, дисклинации, ячейки, блоки, зерна.

Таким образом, деформируемый материал под нагрузкой« должен-быть рассмотрен как сложная иерархически организованная система элементов разных масштабов. Эта система эволюционирует в ходе нагружения и адаптируется к приложенным воздействиям, а элементы ее внутреннего строения - микроструктура- - способны к самоорганизации. Традиционно анализ упругопластического деформирования нагружаемых материалов проводится с позиций континуальной механики. Такой, подход позволяет моделировать деформацию и разрушение материалов? в рамках макроскопического описания, используя- в расчетах усредненные физико-механические параметры (предел текучести, предел прочности и т.д.). Эти-параметры имеют сугубо макроскопический смысл. С другой стороны, накоплен очень большой экспериментальный материал по изучению эволюции внутренней микроструктуры, нагруженных материалов, особенно металлов.

Мезоуровень как промежуточное связующее звено имеет свои специфические особенности. С одной- стороны, здесь допустимо описание поведения- материала как сплошной среды, а с другой, остаются существенными проявления дискретности микросдвигов. Эта дискретность проявляется* прежде всего в ограниченности формоизменения на мезоуровне (например, работает одна базовая система скольжения в» монокристалле). Как следствие, существенными могут оказаться некомпенсированные внутренние моменты, которые необходимо каким-либо образом ввести в рассмотрение. В результате, на мезоуровне реализуется специфическая схема деформирования "сдвиг+поворот" [6, 7, 8, 9].

Таким образом развитие континуальных моделей, учитывающих эволюцию микроструктуры для описания особенностей развития упругопластической деформации на мезоуровне, и численная реализация этих моделей является» актуальной задачей в условиях современного интереса', к описанию поведения структуры материалов под нагрузкой.

Цель диссертационной работы: разработка модели и численное изучение характерных черт неупругого деформирования материалов на мезоуровне с учетом дополнительной степени свободы - независимых поворотов.

Метод исследования - численный эксперимент: моделирование деформационного отклика нагружаемого образца на основе модели с независимыми поворотами.

Объект исследования - деформируемый1 мезообъем нагружаемого материала.

Достижение поставленной цели потребовало решения1 следующих задач:

1. Развитие модели среды Коссера, позволяющей неявно учесть эволюцию микронеоднородностей на мезоуровне, на случай пластической деформации.

2. Создание конечно-разностных аналогов уравнений модели среды с внутренним вращением и разработка компьютерной программы для решения двумерных задач упруго-пластического течения.

3. Численное исследование влияния независимых поворотов и моментных

I напряжений на особенности напряженно-деформированного* состояния I на мезоуровне. з

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

5 1. Разработан подход к описанию упругопластической деформации на мезоуровне с неявным учетом эволюции структуры нижележащих масштабов через дополнительную степень свободы.

2. Впервые в численных расчетах конечно-разностным методом реализована математическая модель упругопластической среды с внутренним вращением в динамической постановке, для этого предложены изменения и дополнения, развивающие известную разностную схему типа "крест" [15, 16] для классической упругопластической среды.

3. Получены результаты, показывающие вклад моментных напряжений в упрочнение материала и влияние независимых поворотов на развитие полос локализованной пластической деформации.

Научная и практическая значимость проведённого исследования определяется развитыми в работе подходами, созданными программными средствами, методами постановки и проведения расчётов и полученными результатами. Предложенный подход к изучению влияния* структуры материала на развитие пластического течения на мезоуровне, а также разработанные компьютерные программы и методы постановки численных экспериментов были успешно применены и могут быть полезны в дальнейших исследованиях в области физики и механики деформируемого твёрдого тела, для- углубленного понимания процессов, происходящих в реальных структурно-неоднородных материалах в, условиях механического нагружения. Результаты данной диссертационной работы в настоящее время используются при выполнении проекта 111.20.1.1. "Физическая мезомеханика и неравновесная термодинамика как методологическая* основа наноматериаловедения"программы фундаментальных исследований СО РАН' на 2010-2012 гг. Они также могут быть использованы другими научными и образовательными организациями Российской академии наук, Министерства образования и науки РФ, другими научно-техническими организациями и учреждениями. Полученные в ходе выполнения диссертационной работы результаты используются в курсе "Физическая механика структурно-неоднородных сред читаемом П.В. Макаровым на физико-техническом факультете Томского госуниверситета, а разработанные программы и методы постановки и численного решения задач изучения деформации на мезоуровне используются там. же при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ студентами, обучающимися по направлению 150300 - "Прикладная механика''! Они также могут использоваться? в курсах по механике и физике деформируемого твёрдого тела при: подготовке; студентов по соответствующим специальностям других факультетов и вузов.

На защиту выносятся

1. Метод описания процесса пластической деформации на мезоуровне в рамках моделей с независимыми? поворотами; включая? критерий пластического течения для? модели: с: независимыми^ поворотами; Учет работы моментных напряжений; на изгибах-кручениях, как способа; вклада локальности.

2. Модификация разностной схемы типа "крест" для среды с внутренним! вращением. Разработка конечно-разностных: аналогов новых геометрических соотношений, уравнения/ закона сохранения? момента количества движения«, и определяющих соотношений^ учитывающих новую степень; свободы - независимые повороты: Решение проблемы устойчивости; и сходимости численного решениям системы уравнений механики деформируемого твердого тела с дополнительной? степенью свободы:

3. Результаты численных расчетов с применением» моделис независимыми поворотами, выявившие^ вклад изгибов-кручений? и моментных напряжений в напряженно-деформированное состояние в мезообъеме, и их вклад в упрочнение на макроскопическою «т-е-диаграмме.

4; Влияние внутренних поворотов и моментных напряжений; на диссипацию энергии внутри образца. Анализ характера локализации пластической; деформации; вблизи концентраторов напряжений в среде с независимыми поворотами.

Обоснованность и достоверность результатов расчетов и выводов, сформулированных в диссертации, обеспечивается математической корректностью постановки задачи, использованием проверенных численных методов, проведением тестовых расчетов, сопоставлением с опубликованными результатами других авторов, а также совпадением расчетных данных с экспериментальными.

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: на пятом Российско-Китайском симпозиуме по перспективным материалам и технологиям "Advanced Materials and Processes"(Bara«uibCK, 1999 г.), на серии международных конференций "Компьютерное конструирование перспективных материалов, и технологий - С ADAMT" (Томск, 2001, 2003, 2004 и 2009 г.), на серии международных симпозиумов, по вычислительной механике материалов "International Workshop* on Computational Mechanics of Materials - IWCMM" (Фрайберг, 2001г., Фрайбург, 2006 г.), на IV Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики"(Томск, 2004 г.), на Международной школе-семинаре "Многоуровневые подходы в физической мезомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения"(Томск, 2008 г.), на XIX Международной научной школе им. академика С.А. Христиановича "Деформирование и разрушение материалов* с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках"(Алушта, АР Крым, Украина, 2009г.), на семинарах ИФПМ СО РАН, объединенных семинарах институтов СО РАН по соответствующим Интеграционным проектам СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16-ти работах, включая 2 публикации в журналах из перечня ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 108 страниц, включая 32 рисунка и 1 таблицу. Список литературы содержит 92 наименования.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Бакеев, Рустам Альфредович

Основные результаты, полученные в настоящей, работе, и выводы можно! сформулировать«следующим- образом:

Ь Развита модель, учитывающая, наряду с трансляционной степенью свободы и силовыми напряжениями, независимые повороты, и- моментные напряжения. Данная модель, описывает развитие-упругопластической деформации» на мезоуровне и позволяет неявно« учитывать» вклад структурных элементов с нижележащих масштабных уровней в напряженно-деформированное состояние. Т. Выполнена» модификация разностной» схемы. Явная разностная! схема второго^ порядка точности- Уилкинса распространена-, на уравнение, выражающее закон сохранения-моментов количества движения. 31 Изучена- устойчивость решения- разностных уравнений. Показано; что* устойчивость решения обеспечивается* учетом существования в; среде новых упругих- волн, связанных с вращательной степенью свободы.Сходимость полученного решения для модели: с независимыми* поворотами обеспечивается правильным выбором"параметров; в первую1 очередь,,выбором характерного размера. 4. В модель явно введен характерных размер г, который* задает масштабный, уровень носителей дополнительной степени свободы. Детализация- расчет-ной- сетки зависит от характерного размера: шаг расчетной сетки не может быть меньше характерного размера- среды (Ах « пг).

5. На основе анализа полученных кривых течения сделан вывод о величине вклада моментных напряжений в деформационный отклик материала. Интегральное действие моментных* напряжений- оказалось аналогично деформационному упрочнению. Распределение энергии в среде между силовыми и моментными напряжениями приводит к.росту вклада моментных напряжений и, соответственно, снижению вклада (и величины) силовых напряжений с ростом степени деформации. Стадийность кривых течения можно связать с развитием в среде независимых поворотов и* ростом моментных напряжений.

6. Показано, что наличие-дополнительных степеней свободы'приводит к перераспределению энергию внутри образца. Диссипация энергии при пластическом деформировании в-рамках изучаемой мод ели, происходит как за счет пластических сдвигов, так и за счет независимых, поворотов. При определенных параметрах и граничных условиях среде предпочтительнее совершить поворот, чем сдвиг.

7. На основе двумерных расчетов упругопластической деформации для однородных образцов и мезообъемов поликристаллических материалов сделан вывод' о характере влияния' независимых поворотов, на развитие локализованных полос пластической деформации. Величина пластической деформации,в полосах снижается, то есть учет поворотов приводит к тому же эффекту, что и-деформационное упрочнение.

Заключение

Предложенная- модель, ее численная, реализация и анализ полученных* результатов в совокупности^ представляют из, себя комплекс, позволяющий решать задачи моделирования упруго-пластической деформации наг макроскопическом и мезоскопическом масштабных уровнях структурно-неоднородных сред.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бакеев, Рустам Альфредович, 2010 год

1. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Елсукова Т.Ф., Иванчин А.Г., Структурные уровни деформации твердых тел. //Известия вузов. Физика. 1982. №6. С.5-27.

2. Панин В.Е., Лихачев Ю.В., Гриняев Ю.В. Структурные* уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. 225 с.

3. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. / Панин В. Е., Гриняев Ю. В., Данилов В. И. и др. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. 255 с.

4. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физическая мезомеханика. 1998. - №1. - С. 5-22.

5. Физическая мезомеханика и*компьютерное конструирование материалов: В 2 т. / В.Е.Панин, В.Е.Егорушкин, П.В.Макаров и др. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995. Т. 1. - 298 с.

6. Макаров П. В. Микродинамическая1 теория пластической среды, с внутренней структурой // Труды международной конф. "Новые методы в физике и механике деформируемого твердого тела": Издательство Томского университета, 1990. С.56-68.

7. Макаров. П. В. Микродинамическая теория пластичности и разрушения структурно-неоднородных сред // Известия вузов. Физика-. 1992. №. 4: -С. 42-58.

8. Wilkins M.L., Guinan M.W. Plane Stress Calculations with a Two Dimensional Elastic-Plastic Computer Program«// Preprint / University of California, Lawrence Livermore Laboratory. 1976. - №77251 - P. 1-15

9. Voigt W. Theoretische Studien über die Elastizitätsverhältnisse der Kristalle //

10. Abh. Königlichen Gesellschaft Wiss. Göttingen. 1887. - 34.

11. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des corps déformables. Paris: A. Hermann et fils, 1909: - 226 p.

12. Миндлин P.Д. Микроструктура в линейной упругости // Механика. 1964. - Т. 86. - №4. - С. 129-160.

13. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой: Нелокальная теория упругости. MI: Наука, 1975. - 416 с.

14. Морозов Н.Ф: Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. - 255 с.

15. Ерофеев В.И. Волновые процессы-в твердых телах с микроструктурой. -М.: Изд. Моск. ун-та, 1999. 328 с.

16. Günther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratchen Kontinuum // Abh. Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft. 1958. - 10.- - S. 195213.

17. Ericksen J.L., Truesdeir C.A. Exact theory of stress and strain in rods andshells // Arch. Rat. Mech. Anal". 1958. - №1. - P. 259-323.

18. Truesdell1 C.A., Toupin R:A. The classical1 field theories // Handbuch der Physik, Ed. by S. Flügge, Band 3,Teil 1, Berlin: Springer-Verlag, 1960: P. 226-793.

19. Toupin R.A. Elastic materials with couple stresses // Arch. Rat«. Mech. Anal. -1962. -№1'1. P. 385-414.

20. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической! упругости. Учет "внутреннего"вращения. // ФТТ. 1963. - Т. 5, вып.9.- С. 2591-2598.

21. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости. Равновесие изотропного тела // ФТТ. 1964. - Т. 6, вып.9. -С. 2689-2699.

22. Eringen А.С., Suhubi E.S. Nonlinear theory of simple microelastic solids. Part I, II // Int. J. Eng. Sci: 1964. - V. 2 - P. 189-203, 389-404.

23. Эринген A.K. Теория микрополярной упругости // Разрушение. М.: Мир.- 1975. Т. 2. - С. 646-751.

24. Гриняев Ю.В. Калибровочно-инвариантное описание деформации структурно-неоднородных сред // Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. Ред. В.Е.Панин.- Новосибирск: Наука. Сиб. Издат. фирма РАН, 1995. Т. 1. - С. 102-112.

25. Green А.Е., Rivlin R.S. Multipolar continuum mechanics // Arch.'Ration. Mech. Anal. 1964. - V. 17. - P. 113-147.

26. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

27. Миндлин Р.Д., Тирстен Г.Ф. Эффекты моментных напряжений в«линейной теории упругости // Механика. 1964. - Т.86, №4. - С. 80-114.

28. Bazant Z., Jirasek М. Nonlocal integral formulations of plasticity and damage: Survey of progress // J. Eng. Mech. 2002. - V. 128. - №11. - P. 1119-1149.

29. Fleck N.A., Hutchinson J.W. Strain gradient plasticity // Adv. Appl. Mech. -1997. Vol. 33. - P. 295-361.

30. Аэро Э:Л. Существенно нелинейная микромеханика среды с изменяемой периодической структурой // Успехи мех. 2002. - №3. - С. 13-176.

31. A generalization of J2-flow for polar continua / Rene; de Borst // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. North-Holland: 1993. -№103. - 347-362:

32. Аэро ЭЛ., Булыгин A.H., Кувшинский E.B. Асимметрическая гидромеханика // Прикл. мат. и мех. 1965. - Т. 29. - №2. - С. 297308.

33. Аэро Э.Л:, Булыгин А.Н., Кинематика нематических жидких кристаллов // Прикл; мех: 19721 - Т. 81 - №3: - С. 97-105:

34. Lakes R. Experimental methods for study of Cosserati elastic solids andl other generalized elastic continua II Continuum models for materials with mi-, crostructure, Ed. H. Muhlhaus. -J. Wiley, N Y. Ch. 1, 1995. P. 1-22.

35. ForestS., Sievert R. Elastoviscoplastic constitutive frameworks for generalized continua // ActaMech; 2003: .-VU60:.-,PJ71И1:1. .

36. Миндлин P.Д. Влияние моментных напряжений на концентрацию напряжений // Механика: 1964: - Т:86; №4: - С. М 5-128.

37. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. - 887 с, . ,

38. Кулеш- ША;,; Матвеенко> ВШ:, Шардаков И:Н! Построение и анализ точного аналитического решения задачи Кирша в рамках континуума и псевдоконтинуума Коссера // Прикл. мех., и техн. физ. 2001. - Т. 42. -№4. - С. 145-154: .

39. Neuber Н. On the general» solutioniofilinear^elastic problems Лш isotropic; and; anisotropic Cosserat continua // Proc. 11th Int. Congr. Appl. Mech. Springer; 1965. - P. 153-158.

40. JLEng: МёсШ- 1997.-^ L23l №2 V-P?. 123-1)33; v

41. GauthierR.Dij:JahsmantW.E. A quest for micropolar elastic constants;. Barfc 1(

42. Trans. ASME^ Ji AppL Mech 1975^ - V.'- 97. - №21 - P. 369-374V 591 Gauthier R?:D!, JahsmaniW.E. Akquest foF micropola® elastkxonstants. Bart 2':1. Arch: Мес&-:Ш^ ; '

43. Павлов И.С. Гранулированная среда" с вращением частиц. Двумерная модель // Пробл. прочн. и пластич. 2003. - Вып. 65. - С. 53-64.

44. Ebinger Т., Steeb H., Diebles S. Modeling macroscopic extended continua with the aid of numerical homogenization schemes // Gomput. Mater. Sci. -2005. V. 32. - 337-347.

45. De Borst R. Simulation of strain localization: a reappraisal of the Cosserat continuum // Eng. Comput. 1991. - Vol. 8. - №4. - P. 317-332.

46. Liu X., Scarpas A., Kasbergen C. A micropolar formulation of the Desai hierarchical model for elastoplastic porous media // Int. J. Solids and Struct. -2007. Vol:.44. - P: 2695-2714.

47. Simo J.C., Taylor Rib. A return mapping algorithm for plane stress elastoplas-ticity // Int: J. Numer. Metb Engrg.- 1986. Vol. 22: - 649-670.

48. Кукуджанов В.Н. О структуре полос локализации деформации в нелокальной теории пластичности при динамическом нагружении // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1998.- №6. - С. 104-114.

49. Forest, S. Cosserat Media // Encyclopedia of Materials: Science and,Technology. Elsevier Sciences, 2001. - P. 1715-1718.

50. Моментная теория деформирования железобетона с трещинами / Киев;инж;тСтроит. ин-т; : Бояндин В!С., Козак; А;Л1 Киев; 19891 - 50?с;: ил. -Библиогр.: 36 назв. - ден. в УКРНИИНТИ 16.01.89; №315-Ук89.

51. Nonlinear microstructural continuous model of a laminated composite: IÏ(^uasi-static:pKenomenolbgicallmodëll/ BlinkowskiiA; '//■ Arch; meclfcstosow;- 1986^ Vol! 381 t №5-6; - 553-563 ; - ISSN 0373r2092:

52. Taylor G.I., Elam C.F. The plastic extension and fracture of aluminium crystals

53. Proc; RlSoc. London. 1925. - A 108. - P. 28-51; 82l Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.83! Годунов С.К^ Элементы механики сплошных:, среду МЩаука^ '19781 -303с.

54. А, А. Букатов, В; Н. Дацюк, А. И. Жегуло. Программирование многопроцессорных вычислительных систем. Ростов-на-Дону. Издательство ООО «ЦВВР», 2003, 208 с.

55. Антонов А.С. Введение в параллельные: вычисления. Методическое пособие Mí:MFY, 2002:.- 69с

56. Г.И. Шпаковский» H.B¿ Сериков. Программирование для многопроцессорных систем в стандарте МР1. Минск. БГУ, 2002,' 323 с. . ' • ;• ■."■'.'.- •

57. Argonne National Laboratory (http://www.mcs.anl;gov/mpi)

58. Панин В:Е. Методология физической мезомеханики как основа построения моделей в компьютерном конструированш! материалов // Изв. вузов. Физика. 1995. - №11. - С. 6-25.

59. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: М.:Наука, 1989. -' 608 с. ' ' ;; . ' ' ' . '

60. Теплякова JT.A., Беспалова И.В, Лычагин Д.В. Пространственная организация деформации в 11.2.-монокристаллах алюминия прт сжатии // Физическая мезомеханика 1998. Т. 12. - №2. - С. 67-76.