Модели и алгоритмы поддержки принятия решений при проведении экспертизы инвестиционных проектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.10, кандидат наук Данько Евгений Викторович

• Данько Евгений Викторович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Данько Евгений Викторович

Введение

Глава 1. Анализ методов математического моделирования, применяемых к многоэтапным процессам принятия решений

1.1. Особенности многоэтапного процесса принятия решений при экспертизе инвестиционных проектов

1.2. Анализ проблемы математического моделирования инвестиционного процесса в условиях рисков и неопределенности

1.3. Понятие полезности информации и теория ожидаемой полезности

1.4. Анализ моделей оценки рисков инвестиционных проектов

1.5. Анализ методов поддержки принятия решений при реализации инвестиционных проектов

1.6. Выводы по первой главе

Глава 2. Математические модели принятия решений при проведении многоэтапной экспертизы инвестиционных проектов

2.1. Построение функции субъективной полезности решений о принятии (отклонении) инвестиционных проектов

2.2. Исследование свойств функции субъективной полезности

2.3. Математическая модель задачи принятия решения о реализации (отклонении) инвестиционного проекта

2.4. Модель задачи принятия решения о реализации (отклонении) инвестиционного проекта с возможностью проведения одноэтапной экспертизы

2.5. Модель оптимизации п-этапной экспертизы инвестиционных проектов

2.6. Выводы по второй главе

Глава 3. Исследование свойств модели ^этапной экспертизы и ее апробация

3.1. Исследование чувствительности модели к изменению значений параметров

инвестиционного проекта и экспертизы

3.2. Исследование погрешности вычисления полезностей решений при помощи модели оптимизации многоэтапной экспертизы

3.3. Выводы по третьей главе

Глава 4. Разработка и использование программного комплекса поддержки принятия решений при экспертизе инвестиционных проектов

4.1. Архитектура программного комплекса «Набор инструментов поддержки принятия решений при экспертизе инвестиционных проектов»

4.2. Анализ рынка программного обеспечения, применяемого при экспертизе инвестиционных проектов

4.3. Апробация и внедрение разработанного программного комплекса

4.4. Выводы по четвертой главе

Заключение

Список литературы и электронных ресурсов

Приложение 1. Свидетельство о регистрации

Приложение 2. Акты, подтверждающие внедрение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и алгоритмы поддержки принятия решений при проведении экспертизы инвестиционных проектов»

Введение

Актуальность темы исследования. Разработка методов поддержки принятия решений при вложении инвестиций является одним из ключей к успешной инвестиционной деятельности предприятия. При этом сферы инвестиционной и финансовой деятельности, наряду с основной текущей деятельностью определяют общую эффективность работы любой фирмы. В связи с этим, организация процесса инвестиционной политики необходима для длительного успешного функционирования предприятия. Осуществление данной задачи возможно только при условии принятия обоснованных решений в области инвестиционной политики. Принятие таких решений является базисом, обеспечивающим своевременную модернизацию и расширение производства, освоение новых видов деятельности, диверсификацию производства.

В настоящее время неопределенность при принятии решения рассматривается как существенное ограничение на пути эффективного использования средств производства и производственных ресурсов. Разработка методов поддержки принятия решений и математических моделей в области экономики способствует снижению значимости фактора неопределенности.

Многие современные исследования, посвященные моделированию инвестиционного процесса, носят фрагментарный характер, изучаются отдельные элементы инвестиционного цикла, отсутствует целостная картина сложной рассматриваемой ситуации. В связи с этим, необходимо обобщение ряда существующих исследований, использование их результатов для разработки более общих методов принятия решений. Все это указывает на необходимость новых исследований в данной области и подтверждает высокую актуальность рассматриваемой проблемы.

Степень изученности проблемы. В проведенных исследованиях автор полагался на труды отечественных и зарубежных ученых, внесших значительный вклад в развитие математических методов в области экономики. Теоретические и методологические аспекты процесса управления проектами, принятия оптимальных инвестиционных решений исследуются в работах ученых А. С.

Шапкина [129], Д. А. Новикова [22, 82], А. А. Мицеля [б5, 93, 94, 95, 131], Ю. П. Ехлакова [б1, б2, бЗ, б4], Е. Е. Егоровой [58], С.А. Кошечкина [72], А.И. Орлова [1G2], Ю. И. Растовой [114, 115], А.Ю. Поповой [111], Р.А. Фатхутдинова [12б], Russell L. Ackoff [8, 9], Daniel Kahneman [144, 145], Amos Tversky [153, 154, 155], John von Neuman [15G], Oskar Morgenstern [15G], Peter L. Bernstein [1б] и многих других. В диссертационной работе были использованы научные труды А.С. Крупкиной [7б], О.И. Ларичева [77], С.А. Кошечкина [72], Е. Е. Егоровой [58], Daniel Kahneman [144, 145], Amos Tversky [153, 154, 155], John von Neuman [15G], посвященные методам принятия решений в условиях рисков и неопределенностей и исследованию особенностей управления инвестиционными рисками.

Цель диссертационного исследования - разработка математической модели процесса принятия решения по реализации инвестиционных проектов при проведении многоэтапной экспертизы, используемой для оценки полезности проведения экспертизы с заданными параметрами и выбора оптимального количества ее этапов.

Обозначенная цель определила следующие основные задачи, которые требовали решения при подготовке данного диссертационного исследования:

1. Анализ методов поддержки принятия решений при реализации инвестиционных проектов, в том числе в случае проведения экспертизы.

2. Разработка нового подхода для оценки полезностей решений о принятии и отклонении инвестиционного проекта, учитывающего индивидуальные особенности инвестора.

3. Разработка и обоснование математической модели поддержки принятия решений при экспертизе инвестиционных проектов.

4. Расширение математической модели на случай многоэтапной экспертизы инвестиционных проектов, исследование свойств разработанной модели.

5. Разработка программных средств для оценки полезностей имеющихся решений при экспертизе проектов и выбора оптимального решения с учетом известных параметров инвестиционного проекта и экспертизы.

Объектом диссертационного исследования выступает экспертиза инвестиционных проектов.

Предметом исследования являются методы принятия решения при многоэтапной экспертизе проектов и алгоритмы оптимизации данного процесса в условиях интервальных оценок NPV проекта.

Научная новизна диссертационного исследования:

1. Впервые определена функция субъективной полезности для оценки решений по принятию (отклонению) инвестиционных проектов при асимметрии отношения к риску и упущенной выгоде, построенная при согласовании классического подхода к оценке полезности решений и используемых на практике критериев эффективности инвестиционных проектов.

2. Предложена математическая модель многоэтапного процесса принятия решения по реализации инвестиционных проектов при проведении экспертизы, отличающаяся от существующих использованием аппарата динамического программирования и функции субъективной полезности для оценки полезностей решений, позволяющая оценить целесообразность проведения экспертизы проекта и выбрать оптимальное число проводимых этапов экспертизы.

3. Разработан набор таблиц в MS Excel и программы в среде MATLAB, применяемые к многоэтапной (одноэтапной) экспертизе, реализующие предложенные модели экспертизы проектов и позволяющие оценить априорные полезности и вероятности всех имеющихся в рассматриваемом случае решений, а также рассчитать общую полезность проведения экспертизы и полезности каждого из ее этапов в отдельности.

Теоретическая и практическая значимость. Созданные модели и алгоритмы могут быть применены для выбора оптимального решения относительно реализации (отклонения) конкретного инвестиционного проекта, а также для определения необходимости проведения экспертизы проекта или выбора оптимального количества ее этапов. Результаты диссертации использованы в учебном процессе ФГБОУ ВО «Алтайский государственный университет» для разработки лабораторных работ и расчетных заданий на

6

кафедрах информатики и теоретической кибернетики и прикладной математики (Приложение 2). Разработанный алгоритм определения полезности проведения экспертизы и созданная на его основе программа могут быть использованы для выбора оптимального решения при вложении инвестиций в новые проекты. В частности, практическая реализация модели многоэтапной инвестиционной экспертизы (набор таблиц MS Excel) применена к анализу проекта строительства Солонешинской МГЭС. При этом получены результаты, полностью совпадающие с итогами реализации данного проекта. Разработанное в рамках диссертационной работы программное обеспечение используются управлением Алтайского края по промышленности и энергетике в процессе разработки и обсуждения программы строительства МГЭС в конкретных региональных условиях, а также другими организациями (Приложение 2).

Методология и методы исследования. Для достижения целей исследования и решения необходимых задач, автором были использованы методы системного анализа, методы горизонтального и вертикального анализа статистических данных, интеллектуального анализа данных, экспертных оценок, динамического программирования, теории принятия решений, методы обработки и анализа полученных результатов. Данные методы были применены в различных комбинациях в зависимости от этапа исследования и решения конкретной задачи исследования.

Положения, выносимые на защиту.

1. Использование функции субъективной полезности решений о принятии (отклонении) инвестиционного проекта с учетом факторов риска, сожаления об упущенной выгоде и оценок ожидаемого чистого приведенного дохода проекта позволяет выбрать оптимальное решение по реализации конкретного инвестиционного проекта. Соответствует пункту 5 паспорта специальности 05.13.10 - Разработка специального математического и программного обеспечения систем управления и механизмов принятия решений в социальных и экономических системах.

2. Метод определения полезности одноэтапной экспертизы при известном виде функции плотности вероятности для оценочного отрезка чистого приведенного дохода проекта позволяет определить целесообразность проведения данной экспертизы. Соответствует пункту 10 паспорта специальности 05.13.10 -Разработка методов и алгоритмов интеллектуальной поддержки принятия управленческих решений в экономических и социальных системах.

3. Модель оптимизации многоэтапной экспертизы проекта при известных стоимостях каждого этапа, значениях параметров уточнения оценок для чистого приведенного дохода позволяет оценить целесообразность реализации данного проекта или выбрать оптимальное количество проводимых этапов. Соответствует пункту 4 паспорта специальности 05.13.10 - Разработка методов и алгоритмов решения задач управления и принятия решений в социальных и экономических системах.

Достоверность и обоснованность полученных результатов исследования диссертационной работы базируется на корректной постановке задачи и многообразии используемых методов, а также доказывается результатами вычислительных экспериментов с использованием конкретных данных и модельных примеров.

В качестве нормативной и информационной базы были использованы федеральные законы, научные публикации и материалы периодической печати.

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты работы были представлены на международной научно-практической конференции «Дни науки-2012» (Прага, 2012) [18]; региональной конференции по математике МАК (Барнаул, 2012, 2013, 2014) [40, 43, 44]; в сборнике научных статей международной молодежной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 2013, 2017) [41]; межрегиональном семинаре «Совершенствование управления производством. Инновации и инвестиции» (Барнаул 2013) [45]; в трудах всероссийской молодежной школы-семинара «Анализ, геометрия и топология» (Барнаул, 2013) [42]; в журнале «Известия Алтайского Государственного Университета» (Барнаул, 2012, 2013, 2014, 2017) [39, 48, 49, 50,

8

122]; в журнале «Вестник НГУ: Серия информационные технологии» (Новосибирск, 2015) [52]; в сборнике «Труды семинара по геометрии и математическому моделированию» (Барнаул, 2016) [51]; в журнале «Доклады ТУСУР» (Томск, 2016) [53].

В рамках диссертационной работы разработано программное средство «Комплекс оценки информационной полезности проведения двухэтапной инвестиционной экспертизы» (Свидетельство о государственной регистрации в реестре программ для ЭВМ № 2013660451 от 18 сентября 2013 г.).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 18 печатных работ, в том числе 1 коллективная монография, 14 статей в периодических изданиях (7 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ), 3 тезиса докладов конференций.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (156 наименований) и приложения. Основное содержание работы изложено на 162 страницах машинописного текста и содержит 39 рисунков и 21 таблиц.

В главе 1 проведен анализ проблемы математического моделирования инвестиционного процесса, особенностей проведения экспертизы проектов и дан обзор методов поддержки принятия решений в условиях рисков и неопределенностей.

В разделе 1.1 рассмотрены особенности многоэтапного процесса принятия решения при экспертизе инвестиционных проектов. В разделе 1.2 введена систематизация понятий риска и неопределенности, рассмотрен процесс оценки эффективности проекта и процесс управления инвестиционными рисками. В пункте 1.3 кратко рассмотрены основные этапы развития теории ожидаемой полезности, определены понятия ценности и полезности информации. В пункте

1.4 приведен анализ математических моделей оценки рисков инвестиционных проектов, которые наиболее часто используются на современном этапе. В пункте

1.5 рассмотрены несколько методов поддержки принятия решений при реализации инвестиционных проектов, имеющихся в существующей литературе.

Пункт 1.6 содержит выводы по первой главе диссертационного исследования.

В главе 2 сформулирована и обоснована функция субъективной полезности решений о принятии и отклонении инвестиционных проектов, в зависимости от размеров доходов и рисков (разделы 2.1 и 2.2).

В части 2.3 разработана математическая модель оценки полезностей решений о принятии и отклонении инвестиционного проекта с известной

функцией плотности вероятности ЫРУ на отрезке [ЫРУ{, ЫРV2].

В разделе 2.4 составлена модель одноэтапной экспертизы и возможный метод для вычисления полезности проведения экспертизы и выбора оптимальных решений, который реализован в среде Matlab. Для случая равномерной функции плотности вероятности ЫРУ рассмотрен процесс оптимизации параметров многоэтапной экспертизы для определения оптимального количества этапов инвестиционной экспертизы с известными параметрами (раздел 2.5).

Раздел 2.6 посвящен выводам по второй главе исследования.

В главе 3 исследована чувствительность математической модели к изменению значений входных параметров, обоснованы полученные результаты. Также была исследована погрешность вычисления полезностей решений, рассчитанных моделью оптимизации путем их сопоставления с расчетами, полученными имитационной моделью.

В главе 4 рассмотрены особенности функционирования и использования разработанных программ, приведены алгоритмы и блок-схемы, лежащие в их основе. Также были рассмотрены особенности применения разработанной модели к реальному инвестиционному проекту на примере проекта строительства Солонешенской МГЭС, даны рекомендации по его реализации.

Глава 1. Анализ методов математического моделирования, применяемых к многоэтапным процессам принятия решений

1.1. Особенности многоэтапного процесса принятия решений при экспертизе инвестиционных проектов

В условиях современной экономики окончательное решение о вложении

денежных средств в конкретный проект является одним из самых сложных этапов инвестиционного цикла. На рисунке 1.1. приведена общая схема инвестиционного цикла.

Прединвестиционная Инвестиционная Производственная Ликвидационная

фаза фаза фаза —► фаза

Рис. 1.1. Стадии инвестиционного цикла

Прединвестиционная стадия цикла является самой первой и наиболее значимой для общего результата инвестирования. Данный этап включает весь спектр работ от анализа начальной информации до окончательного принятия решения о вложении денежных средств. Результатом рассматриваемого этапа является формирование инвестиционной стратегии, которая используется в дальнейшем вплоть до ликвидационной стадии проекта, что также свидетельствует об исключительной важности данного этапа.

Основной причиной сосредоточения внимания именно на первом этапе инвестиционного цикла в контексте данной работы является тот факт, что в рассмотренный отрезок времени проводится первоначальная оценка эффективности вложения средств в некоторый инвестиционный проект. Такая оценка может быть проведена как самим автором бизнес-плана, так и экспертизой инвестиционного проекта.

Экспертиза проекта может быть проведена с целью проверки содержания и выводов основных разделов бизнес-плана, более точной оценки эффективности вложения средств в данный проект, расчета экологического и социального эффекта реализации проекта и др. Кроме этого, экспертиза проекта проводится в обязательном порядке в случае, если инвестор планирует обратиться за субсидиями или грантами. На практике нередко приходится проводить несколько экспертиз для одного и того же инвестиционного проекта. Это бывает связано с

поиском дополнительных источников финансирования, корректировки показателей эффективности проекта при изменении некоторых его параметров и во многих других случаях.

В контексте данной работы, для единообразия изложения, проведение нескольких экспертиз для одного проекта будет рассмотрено как единый процесс многоэтапной экспертизы. Такой подход позволяет с единых позиций подойти к анализу набора однотипных инвестиционных проектов, а именно: становится возможным более корректное сравнение проектов, находящихся на разных этапах экспертизы. Кроме этого, инвестиционные проекты на стадии законченной версии бизнес-плана могут трактоваться как проекты на стадии предварительной экспертизы, что позволяет определить понятие экспертизы проекта на всем протяжении прединвестиционной стадии.

Проведение экспертизы, применительно к построению математической модели, означает сокращение размеров имеющейся до ее проведения неопределенности. Кроме этого, по результатам экспертизы инвестор получает скорректированную количественную оценку рисков проекта, что также увеличивает вероятность принятия правильного решения по реализации рассматриваемого проекта.

Обратимся к рисунку 1.2., который иллюстрирует случай проведения нескольких экспертиз для некоторого проекта.

Рис. 1.2. Процесс многоэтапной экспертизы некоторого проекта Данный рисунок приведен с целью наглядной демонстрации процесса экспертизы инвестиционного проекта. Для примера здесь рассмотрена двухэтапная экспертиза проекта, так как, в соответствии с терминами, определенными ранее, стадия предварительной экспертизы соответствует любому проекту с законченным вариантом бизнес-плана. Узлы A, B, C - состояния, в которых находится инвестор после проведения соответствующего этапа

экспертизы. Этапы экспертизы проекта могут проводиться с разными целями: для уточнения затрат на основные фонды предприятия, расчета чувствительности показателей эффективности инвестиций к изменению входных параметров, оценки экологических и социальных последствий реализации проекта, оценки влияния проекта на экономику государства. Все перечисленные случаи могут быть объединены под общим названием «уточняющей» экспертизы, так как проведение любой экспертизы проекта имеет цель сокращения неопределенности при принятии окончательного решения по реализации проекта.

Инициатором проведения экспертизы может быть как сам инвестор, так и государство. При этом расходы, связанные с проведением соответствующего этапа экспертизы, ложатся на сторону, по инициативе которой проводится экспертиза. Проведение экспертизы проекта - это всегда затратный процесс. В зависимости от особенностей конкретного проекта, совокупная стоимость проведения экспертизы может оказаться столь высокой, что дальнейшая реализация проекта окажется невыгодной. Таким образом, проведение большого количества этапов экспертизы проекта может существенно снизить показатели эффективности даже самого перспективного инвестиционного проекта.

На рисунке 1.2, находясь в узлах А и В, инвестор может принять одно из трех решений:

1) принять проект к реализации без проведения следующего этапа экспертизы;

2) отклонить рассматриваемый проект без проведения следующего этапа экспертизы;

3) провести следующий этап экспертизы проекта с целью получения дополнительной информации, уменьшающей имеющуюся неопределенность при принятии решения.

Если инвестор находится в узле С, то он может принять любое из решений 1 или 2, а решение 3 в этом случае отсутствует - по рассматриваемому проекту запланировано проведение не более двух экспертиз.

Таким образом, при рассмотрении многоэтапной экспертизы, мы предполагаем, что параметр п (количество этапов экспертизы) зафиксирован для конкретного проекта и не изменяется в процессе его оценки и реализации. То есть для каждого инвестиционного проекта заранее определено предельное число проводимых экспертиз. При этом если инвестор считает, что на некотором этапе экспертизы (например, в узле A или B рисунка 1.2) он имеет достаточно информации для принятия решения, то он может принять решение по данному проекту, не проводя все возможные п этапов экспертизы. То есть в рамках проведенного исследования, предполагается, что имеет место соотношение: г < п, где 1 - фактическое число проведенных этапов экспертизы для некоторого проекта, п - предельное число этапов экспертизы для этого проекта. Здесь также становится очевидным, что в качестве ЛПР мы рассматриваем инвестора, который имеет возможность остановить процесс экспертизы для некоторого проекта в определенной точке (узлы A, B, C на рисунке 1.2).

В соответствии с рассмотренными особенностями многоэтапного процесса, возникает вопрос управления данным дискретным процессом. В качестве одного из способов решения этой задачи можно выделить разработку моделей поддержки принятия решения при многоэтапной экспертизе проектов. Поставленная задача имеет высокую степень актуальности, в связи с тем фактом, что при составлении бизнес-плана, могут возникать ошибки расчетов показателей эффективности проектов, ошибки в количественной и качественной оценке рисков проектов, ошибки в оценках размеров первоначальных инвестиций и другие ошибки. Все это говорит о том, что предварительная экспертиза проекта далеко не всегда может предоставить достаточную и актуальную информацию для принятия решения, поэтому возникает необходимость в проведении дополнительных экспертиз для одного и того же проекта. Однако, как было отмечено ранее, проведение большого количества этапов экспертизы проекта существенно увеличивает размер первоначальных вложений в проект, снижая его эффективность. Таким образом, грамотное управление многоэтапным процессом

принятия решения при реализации проекта приобретает исключительную важность для успешного вложения инвестиций.

1.2. Анализ проблемы математического моделирования инвестиционного процесса в условиях рисков и неопределенности

В экономической литературе [11, 13, 24, 65, 124, 129, 132] инвестиции

рассматриваются как акт отказа от сиюминутного потребления благ ради более полного удовлетворения потребностей через некоторое время посредством инвестирования средств в объекты предпринимательской деятельности.

При принятии решения о вложении инвестиций важную роль играет оценка ожидаемых результатов инвестиционного проекта. На этапе оценки происходит предоставление информации инвестору для принятия решения инвестировать или не инвестировать в данный проект.

Оценка эффективности проекта является заключительной фазой принятия решения о его реализации (отклонении). На этом этапе инвестор оценивает, насколько предполагаемые инвестиции будут соответствовать поставленным целям. Оценка проекта сопровождает его разработку с самого начала и до конца инвестиционного цикла. С финансовой точки зрения вложение экономических ресурсов производится с целью создания и получения чистой прибыли, которая должна превышать общую начальную величину инвестиций. Особую роль при этом играет финансово-экономическая оценка [93], при определении которой рассчитывают следующие основные показатели [78, 91]:

• чистая текущая стоимость (NP V);

• индекс прибыльности (PI);

• внутренняя норма рентабельности (IRR);

• дисконтированный срок окупаемости (DPP).

Чистый дисконтированный доход (NPV) проекта определяется как разность чистого денежного потока от проекта, приведенного к настоящей стоимости, и стоимости всех денежных затрат при реализации проекта [132]. Определение экономической оценки инвестиционного проекта с помощью

15

показателя ЫРУ позволяет четко оценить результат вложения инвестиций, поэтому в рамках представленной работы, в качестве показателя эффективности инвестиционного проекта будет использован метод определения чистой текущей стоимости.

Чистый дисконтированный доход можно определить по формуле:

где С^ - чистый поток доходов от проекта за период I; Г - норма дисконтирования; п - число шагов за период реализации проекта; 8п -остаточная стоимость по окончании периода реализации проекта; 10 - сумма первоначальных инвестиций.

Очевидным является критерий, что если ИРУ > 0, то проект следует принимать к реализации и отклонять в противном случае [88].

Важно обратить внимание на некоторые аспекты методики расчета показателя ЫРУ. Значительное влияние на величину чистой текущей стоимости (как видно из выражения 1.1) оказывает премия за риск, содержащаяся в коэффициенте дисконтирования. При выполнении практических расчетов, многие организации для учета высокого уровня неопределенности некоторых инвестиционных проектов, увеличивают ставку дисконтирования. Однако при таком подходе, значительная часть инновационных проектов оказывается нереализованной, так как такие проекты неизменно несут высокий уровень неопределенности [79].

При использовании показателя ЫРУ для оценки проектов, следует уделять особое внимание выбору длины временного отрезка, за который вычисляется данный показатель [7, 13]. В соответствии с выражением 1.1, временной период, за который вычисляется ЫРУ, оказывает существенное влияние на его значение. На рисунке 1.3 приведен график, иллюстрирующий зависимость показателя ЫРУ от выбираемого временного отрезка.

(1.1)

МРУ

МРГ2 МРу

Предпроизводстве нный период

Период производства

Рис. 1.3. Зависимость значения МРУ от выбираемого временного отрезка

Как видно из рисунка 1.3, если взять за основу вычисления период ^, то

чистый приведенный доход проекта составит МРу, а если использовать значение

, то выходной оценкой будет МРУ2.

Таким образом, при выборе проекта для реализации из некоторого количества, необходимо учитывать, что проект, имеющий больший показатель МРУ, не обязательно перспективнее проекта с меньшим показателем: возможно, что оценка проектов проведена за разные периоды времени. В связи с этим, данный факт должен учитываться при выборе инвестиционных и инновационных проектов, в которые следует вкладывать финансовые средства [124].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Данько Евгений Викторович, 2018 год

Ь - а

Получаем: 18

к = —; х" = -444,444; х+ = 5444,444; J [а, Ь] = 3024,69;

и[ах; Ь] = 8888,88; их х = 5864,19.

Другой числовой пример иллюстрирует возможность получения отрицательной величины и^х при а = а =-1000. Остальные исходные данные остаются без изменений. Тогда:

к = у; х" = -33,333; х+ = 6533,333; и[а, Ь] = 6351,85; Щах; Ьх ] = 2222,222. Откуда: и?х = 2222,222 - 6351,85 = -4129,628.

Пункт 1.2. По исходной информации проект предполагается отклонить,

и[а, Ь] = иК0.

Тогда:

0 0 Ь

их2 = и [а; Ь ] - и [а, Ь] = -к • хр ( х + хр ( х )^х + хр ( х =

а а 0

= -((к -1)х- +ух+.

Из формулы (2.35) видно, что значение и^2 может быть только

неотрицательным, так как х" < 0; х+ > 0; ( > 0; у > 0; к > 1.

Входные данные для числового примера изменим так:

а = ах = -14000; Ь = 4000; Ь = 0; р(х) = х е [а; Ь]; ( = 4,444; у = 0,817.

Ь - а

Получаем: 18

к =18; х" = -5444,444; х+ = 444,444; и[а, Ь] = 23834,42;

и[а; Ь ] = 31111,11; и[2 = 7276,39.

В данном случае для любых исходных данных значение иЕ2 не может быть отрицательным.

Пример 2. Вычислим апостериорную оценку полезности информации: проект доходный. Формализация: а1 = 0; Ь1 = Ь. Аналогично примеру 1, здесь возможно 2 случая:

Пункт 2.1. По исходной информации проект рекомендуется к реализации,

то есть и [а, Ь] = иА0. Оценим и[а1; Ь1]:

Ь

С 1

и [а; Ь ]= а • I хр (х )0х, а = -ь-.

0 | р (х )аХ

Изменение полезности и^ оценим так:

Ь 0 Ь

= и | а; Ь | - и | а, ь | = а • | хр (х \ах - (1 + р )| хр (х \ах - | хр (х ах

(2.35)

= и[а; Ь ] - и[а, Ь] = а • | хр (х )ах - (1+р) | хр (х )ах -1 хр (х )ах

0

= (а -1)х +-(1+р)х_.

Как видно из формулы (2.37), значение всегда неотрицательно, так как х"< 0; х+> 0; р> 0; а > 1.

Для числового примера возьмем исходные данные из пункта 1.1. Тогда: 18

а = —; х+ = 5444,444; х" = -444,444; и[а, Ь] = 3024,69;

и[а; Ь ] = 7000; иЕ1Х = 3975,31.

Пункт 2.2. Пусть и [а, Ь] = иК0. Тогда,

Ь 0 Ь

и^ = и[ах; Ь ] - и[а, Ь] = а • | хр ( х )ах + р| хр ( х )ах + хр ( х )ах =

(2.36)

0 а 0

= (а + х++рх .

Для числового примера возьмем входные данные из пункта 1.2:

0

а = а = -14000; Ь = 4000; \ = 0; р(х) = х е [а; Ь]; ( = 4,444; у = 0,817.

Ь - а

Тогда: 18

а =18; х" = -5444,444; х+ = 444,444; и [а, Ь] = 23834,42;

и[а; Ь ] = 2000; и£ = -21834,42.

Как видно из данного примера, величина и^ отрицательна, однако при других исходных данных, она может быть положительной, как в примере 1.1.

Анализ изменения полезности в примерах 1 и 2 показывает, что и^2 и не отрицательны. В этих случаях априорные и апостериорные решения о реализации проектов совпадают, а дополнительная информация повышает уровень ожидаемой полезности. Согласно (2.35) дополнительная информация устраняет сожаление об упущенной выгоде и уменьшает страх потерь. Согласно (2.36) - эффект состоит в устранении фактора потерь и страха этих потерь, повышается степень уверенности в получении дохода.

Анализ выражений для иЕ и учитывает несовпадение априорного и апостериорного решений по реализации проектов и несовпадение направлений изменения полезностей решений. В связи с этим, величины иЕ и и^2 могут быть отрицательными, а их экономический смысл состоит в снижении уровней ожидания априорной полезности. Ожидаемая полезность реализации инвестиционного проекта до экспертизы может быть больше апостериорной оценки полезности проекта по результатам экспертизы. Эта двойственность апостериорных оценок ожидаемой полезности отсутствует для априорных оценок полезностей экспертизы.

Пример 3. Рассмотрим условия реализации проекта (решение АО) и

возможность получения дополнительной информации по цене СЕ в условиях примеров 1 и 2. Решение АО принимается до экспертизы, если иА0 > ик0, где иА0, ит определяются по формулам (2.22) и (2.23):

0 Ъ 0 ъ

(1 + Р) |хр (X)йх +1хр (X> хр (х)йх - хр (X)йх ^

(2.37)

0 а 0

^(1 + 2р) х "+(1 + у) х+ > 0.

Определим ожидаемую полезность проекта с учетом дополнительной информации (СЕ — 0). Возможно два события: проект оказывается доходным или убыточным. Если проект доходный, такое событие имеет вероятность К. Если проект убыточный, то используется вероятность О.

Таким образом, значение V[а1; Ъ1] - априорной оценки ожидаемой полезности

проекта после экспертизы, определим по формуле:

Ц[а1; Ъ ] — -к Р х~-К + й • х+• Б — х~ + х+, (2.38)

0 ъ

где К — |р (х)0х; Б — |Р (х)йх; К, Б > 0; К, Б < 1.

а 0

Тогда,

Vе — и [а{; Ъ,] - и [а, Ъ] — -р • х + х + - (1 + р) • х - х+ —

. . (239) —-(1 + 2 р) х

Рассмотрим числовой пример с исходными данными из пункта 1.1. х+ — 5444,444; х" — -444,444; и[а, Ъ] — 3024,69;

Щ_ах; Ъ ] — 7419,75; Vе — 4395,06.

Из формулы (2.39) видно, что Vе > 0, так как х" < 0; Р > 0. Тогда справедлива система неравенств:

(1 + 2Р) х"+(1 + у) х+ > 0, -(1 + 2Р)х~ > 0.

Таким образом, изменение ожидаемой полезности инвестиционного проекта с учетом дополнительной информации не отрицательно в условиях рассмотренного примера при СЕ — 0.

Пример 4. Рассмотрим эффект использования дополнительной информации, в условиях примера 3, когда начальное решение - отклонить проект (решение Я0).

Тогда из выражения, аналогичного (2.37) имеем: (1 + 2р) х "+(1 + у) х +< 0.

Ожидаемая полезность проекта определяется с учетом исходов экспертизы по формуле (2.38). Изменение оценок полезности рассчитывается по формуле, аналогичной (2.39):

иЕ = иа; Ь] - и[а,Ь] = -р • х" + х+ + р • х" + у • х+ = х+(1 + у). (2.40) Входные данные для числового примера возьмем из пункта 1.2.

а = а = -14000; Ь = 4000; \ = 0; р(х) = х е [а; Ь]; р = 4,444; у = 0,817

Ь - а

Тогда,

х~ = -5444,444; х+ = 444,444; и[а,Ь] = 23834,42; и[а; Ь ] = 24641,96; иЕ = 807,56.

Из формулы (2.40) видно, что иЕ > 0, так как х+ > 0; у > 0. Тогда справедлива система неравенств: х+ (1 + у) > 0,

(1 + 2р) х +(1 + у) х +< 0

Таким образом, аналогично выводам примера 3 в рассматриваемом случае полезность использования дополнительной информации не снижает уровень

ожидаемой полезности при СЕ = 0.

Пример 5. Пусть в условиях примеров 3 и 4 успешность проведения

экспертизы оценивается вероятностью 0 < ^ < 1. При этом, как предположение, с

вероятностью (1 - Ц) начальный отрезок неопределенности [а; Ь ] сохраняется.

Требуется оценить информационную полезность экспертизы при условии, что затраты СЕ на ее проведение не зависят от исходов экспертизы или от принимаемых на их основе решений.

Формализацию результатов экспертизы проведем следующим образом: 1) исход 1: вероятность ц; а1 = а; Ь1 = 0 или а1 = 0; Ь1 = Ь.

2) исход 2: вероятность 1 - q; a1 = a; b1 = b.

В рассматриваемых предположениях вероятность q не зависит от свойств проекта и от функции p(x) начальной неопределенности и является внешним

фактором. Считается, что q известно аналитикам до проведения экспертизы.

Пусть по начальной информации принимается решение A0 как в примере 3. Ожидаемая полезность решения определяется формулой (2.22) в следующей записи:

UM =(l + ß) х~ + x+.

Ожидаемая априорная оценка полезности проекта после экспертизы U[a1; b1] и прирост полезности определяются так:

U[a; b ] = q (-ßx + x+) + (1 - q )((1+ß) х~+x+);

Uj = U[a{; bj - UA0 =-qx-(2ß +1). (2.41)

В формуле (2.41) для любого q > 0, эффект экспертизы U5E.1 не является отрицательным, так как x" < 0; ß > 0.

Аналогично можно оценить эффект рассматриваемой экспертизы по исходным данным примера 4. По исходной информации проект отклоняется, следовательно, его ожидаемая полезность определяется формулой (2.23):

UR0 =-ßx~-/- Х+.

Априорные полезности проекта с учетом предполагаемой экспертизы U[a1; b1] и ее изменение запишутся так:

Uli = q (-ßx" + х+) + (1 - q )(-ßx"-y- Х+);

UE5A = U[a{; b] - Ur0 = qx+ (1 + y). (2.42)

В формуле (2.42), для любого q > 0 следует не отрицательность эффекта экспертизы, так как x+ > 0; y > 0.

Особенность рассмотренного примера экспертизы проекта в том, что оценки неопределенности исходов пересекаются. Подробнее это свойство экспертизы рассмотрим ниже.

Полученные в примерах 1-5 формулы позволяют оценивать количественно значения полезностей использования дополнительной информации рассмотренного типа при произвольной функции плотности вероятности р(х) доходности инвестиционного проекта.

Пример 6. Пусть для проекта с неизвестным значением МРУ е[а; Ъ], которое считаем случайной величиной с известной плотностью вероятности р( х),

х е[а; Ъ], ожидается получение точного значения МРУ на стадии экспертизы. Требуется получить априорную оценку полезности дополнительной информации.

Рассмотрим сначала процесс определения полезности экспертизы с ненулевым значением 2Л. Пусть функция плотности вероятности р(х) определяется выражением:

' х^

' х^

V а у

V Ъ у

Ъ

р(х) — к 1 — 1 -- , (2.43)

где а < х < Ъ; щ > -1; щ > -1.

Коэффициент к определяется из условия нормировки:

к ./|1 -х

I а

Л™1 Г у.\'"2 1 - х V Ъ у

йх — 1.

При такой постановке задачи, графики зависимости р( х) от х называются кривыми Пирсона первого типа [73]. Для корректного применения кривых Пирсона к рассматриваемой ситуации, ограничим значения коэффициентов тх и '2, чтобы функция плотности вероятности р(х) была конечной: щ>0;т2 >0.

Рассмотренный ранее случай непрерывного равномерного распределения МРУ является частным случаем для функции плотности вероятности 2.43 (при

щ1 — т2 — 0) [46].

Ъ

а

Вид функции р(х) может определяться инвестором на основании статистических данных по реализации инвестиционных проектов подобного типа, а в случае отсутствия подобной информации - функция р(х) может описывать

плотность вероятности непрерывного равномерного распределения.

На рисунке 2.8 изображена функция плотности вероятности ЯРУ некоторого инвестиционного проекта.

а 0 Ь ЯРУ

Рис. 2.8. Функция плотности вероятности ЫРУ для некоторого проекта

Экспертиза проекта определяет отрезок неопределенности [а1; Ь1] для

величины ЫРУ, \ЬХ - а| < 2 А, причем 2А < |Ь - а|. Последнее неравенство

означает, что отрезок неопределенности после экспертизы всегда меньше или равен отрезку неопределенности до экспертизы.

На рисунке 2.9 показаны крайние правое и левое возможные положения

отрезка [а1; Ь1].

Рис. 2.9. Крайние возможные положения отрезка [а^

Так как предполагается, что оценки экспертизы не противоречат действительной (истинной) оценке ЯРУ, то в случае крайнего правого положения отрезка [а1; Ь1], считаем, что экспертиза определила одну точку (а1) Ь

для оценки истинного значения ЫР¥, а в случае крайнего левого положения отрезка [а1; Ь1] - определена одна точка (Ь1) а.

Между рассмотренными крайним правым и крайним левым положениями отрезка [а1; Ь1], существует множество промежуточных положений. На рисунке 2.10 приведены некоторые случаи возможного положения отрезка [а1; Ь1], когда отрезок неопределенности после проведения экспертизы оказывается меньше 2Л.

Рис. 2.10. Нестандартные положения отрезка [а^ Ь] в начале и конце исходного отрезка

Следует обратить внимание, что на рисунке 2.10, длина отрезка [а1; Ь1], в обоих показанных случаях, равна 2Л. Эффект того, что длина отрезка неопределенности после проведения экспертизы, оказывается меньше 2Л схож с тем эффектом, который описан рисунком 2.9: оценки экспертизы не противоречат истинной оценке МРУ.

При этом исходный отрезок [а; Ь] также не противоречит истинной оценке,

поэтому в случае левого положения отрезка [а1; Ь1] (на рисунке 2.10), отрезок неопределенности после экспертизы - [а; Ь], а в случае правого положения отрезка [а1; Ь1], отрезок неопределенности после экспертизы - [а^ Ь].

Обратимся к рисунку 2.11, который иллюстрирует один из возможных методов оценки априорной полезности проекта после проведения экспертизы.

а

а

и

0

Ьи

ип

Ь

X

Рис. 2.11. Принцип численного метода оценки априорной полезности проекта после экспертизы Значения аи и необходимы, чтобы разделить области, относящиеся к решениям Р1 и N1 от области остающейся неопределенности после экспертизы (решения А1 и Я1). При этом отрезок [а^; Ьи ] располагается внутри отрезка [а; Ь ] таким образом, что выполняется равенство:

0 о

| р (X )Ух I* р (X )Ух

аЩ_= а_

и Ь

| р ( X )Ух J р ( X Ух

(2.44)

Иными словами, решения А1 и принимаются для области значений ЫРУ, когда после экспертизы не изменяется соотношение вероятностей получения положительного и отрицательного значений ЫРУ, что символизирует случай, когда экспертиза не уточняет, окажется ли рассматриваемый проект более или менее рискованным, чем предполагалось до проведения экспертизы. Таким образом, при нахождении границ ЫРУ проекта в данной области, имеет место сохранение имевшегося до экспертизы типа неопределенности [141].

Обозначим шаг разбиения отрезка [а; Ь] как к. Значение к выберем таким

образом, чтобы в результате деления

Ь - а

N получалось целое число (чем

больше значение N, тем точнее будет оценка численным методом).

При целом значении N, погрешность вычислений численным методом будет меньше, так как оценки параметров а и Ь не будут отличаться от значений этих параметров. При таком подходе, разбиение отрезка [а; Ь] можно рассмотреть с двух сторон:

0

а) ха = а + (у -1)-к, у = 1,2,...,N;

б) х] = Ь -(у -1)- к, у = 1,2,.., N.

В данном случае, сетку значений а) и б) можно интерпретировать как положение среднего значения NPV для отрезка неопределенности, получаемого после проведения экспертизы, некоторые из положений отрезков приведены на рисунках 2.9 и 2.10.

В случае а), значения аЦп и ЬЦп, вычисленные согласно выражению (2.44) заменяются их численными оценками следующим образом:

- при ха < аЦп; х"+1 > аЦп, обозначим ха = а.Цп

- при ха < ЬЦп; ха+1 > ЬЦп, обозначим ха = ЬЦп. В случае б):

- при хЬу > аЦп; < аЦп, обозначим хЬ = аЦп

- при хЬ > ЬЦп; х)+1 < ЬЦп, обозначим х) = ЬЦп.

Таким образом, в случае а) происходит уменьшение значений аЦп и

полученных по формулам, а в случае б) - их увеличение.

При такой методике численного вычисления полезности, исходный отрезок [а; Ь ] делится на три области, соответствующие принимаемым после экспертизы решениям (таблица 2.6). Таблица 2.6.

Соотношение решений после экспертизы и частей исходного отрезка [а; Ь ]

Область неопределенности для NPV после экспертизы Принимаемое решение (рисунок 2.7)

[а; ] Решение N1

[а.; ЬЦп ] Решения А1 или решение Ю

[ьцп; ь ] Решение Р1

При использовании дискретной модели а) и б) априорную полезность для решения N1 с учетом вероятности решения вычислим так:

иба (N1) = ибЬ (N1) = -Р ■ | ХР (Х)УХ . (2.45)

ип

Значения и отличается от значения и тем, что значение аи

зависит от выбора сетки а) или б).

Априорную полезность для решения Р1 при использовании моделей а) и б) вычислим так:

Ь

и6а (Р1) = и6Ь (Р1) = | ХР (х)Ух . (2.46)

Значения и и и отличаются аналогично значениям и и и

, только в этом случае различно значение параметра Ьи.

Априорную полезность для решения А1 , используя модели а) и б) вычислим по следующей формуле [42]:

л 1 ип

о Ь

и6а (А1)= ибЬ (А1)=(1 + Р)\ ХР (ХУХ + | ХР (ХУХ . (2.47)

аип 0

Здесь значения и и и , несмотря на то, что находятся по одной

формуле, будут также различны, так как при использовании сеток а) и б) принимаются различные значения параметров аи и Ъ1(п.

Априорную полезность для решения Я1, согласно моделям а) и б) найдем по следующей формуле:

о Ып

иб а (Я1) = иб Ь (Ш) =-Р\ ХР ( Х УХ - Г | ХР (Х )Ух . (2.48)

а!1" 0

Значения величин и и и также различны, как и в случае с

выражением (2.47) по той же причине.

Теперь, зная полезности всех имеющихся после экспертизы решений, можно вычислить априорную полезность проекта после проведения экспертизы согласно моделям а), б) по следующим формулам:

а) иба = и6а(Р1)+ и6а(N1) + ШаХ(^6«(А1); ^6«(*1) ) (2.49)

Ш

а

б) ивь — ибЬ(Р1) + ибь(№1) + тах(ибб(Л1); ибЬ(Д1))-

Тогда информационная полезность экспертизы оценивается так:

а) и? — иба - и[а, Ь]; (2.50)

б) и? - ибь - и [а, Ь].

Для оценки значений иб и иЕ1 численным методом, используем следующие выражения:

иб = Чба+ЦбЬ. ; ^Е1 = и 1 + ^ 1 . (2.51)

В предельном случае (А^ 0) для выражений иб получим следующую формулу (а<0; Ь>0):

0 Ь

и ХР (х + | хр (х )аХ —-Рх" + х+. (2.52)

а 0

Тогда информационная полезность экспертизы оценивается так (априорное решение АО):

и?1 — иб - и [а, Ь] — -рх~ + х+ - (1 + Р)х~ - х+ — -(1 + 2Р)х". (2.53)

Если априорным решением является Я0, то: иЕ1 — иб - и[а,Ь] — -рх~ + х+ + рх" + ух+ — (1 + у)х+. (2.54)

Полученные оценки полезности экспертизы неотрицательны для любых допустимых значений параметров рассматриваемого класса инвестиционных проектов.

Рассмотренная в данном примере модель оценки полезности экспертизы может быть применена при разработке численных методов исследования при А> 0. Формулы (2.53) и (2.54) могут быть использованы в качестве тестовых оценок при разработке алгоритмов и отладке программных средств их тестирования.

Для проверки введенных формул был рассмотрен модельный пример. При

вычислении и^ и Vе1 предложенным численным методом, получены графики зависимости этих параметров от А > 0, представленные на рисунке 2.12.

тЕ\

(а)

(б)

Рис. 2.12. Зависимость изменения VЕ (а) и иЕ1 (б) при изменении А

тЕ1

Полученные графики соответствуют результатам прямых расчетов значений

и Е и и Е1 с незначительными расхождениями относительно значений и Е и и

ТЕ1

Е

Е1

Однако при этом, значения параметров Vе и Vе1 , всегда находятся внутри отрезков, ограниченных сетками а) и б).

Неточности вычислений при использовании численного метода

л * - ту

наблюдаются при значениях А , близких к нулю и к-^-1. Минимальный

Е1

шаг изменения значений для величины А составляет 50 единиц (в случае модельного примера), или 0,28% от длины исходного отрезка [а; Ь ].

Пример 7. Рассмотрим ситуацию, когда проведение экспертизы несет собственный закон плотности вероятности величины ИРУ, отличный от функции р( х) на исходном отрезке.

Предположим, что X - истинное значение чистого приведенного дохода проекта, р(х) - функция плотности вероятности для оценок X на отрезке [а; Ь]. Проведение экспертизы моделируется величиной У, имеющей функцию плотности вероятности д(у) на отрезке [х-А; X + А]. Отрезок [аип;Ь^]

определяет проекты с остающейся после проведения экспертизы неопределенностью, тогда в данном случае можно оценить вероятность того, что экспертиза полностью не устранит неопределенность при принятии решения. При

такой постановке задачи, отрезок [а^; Ь1ип ] можно интерпретировать как границы величины ИРУ для проектов, отправляемых на следующий этап экспертизы. На рисунке 2.13 дано схематичное расположение отрезков.

а аихп -А аип а\п +А Ьихп -А Ь?" Ьихп +А Ь

Рис. 2.13. Расположение отрезков неопределенности до и после экспертизы

Вероятность отправления проектов на экспертизу таким будет определяться в соответствии со следующим выражением:

Р — Р(У е [аип; Ь^]) — Р(X е [а^ + А; Ь^ - А]) +

+Р (X е [аип - А; аип + А], У > аихп) + Р (X е [Ь^ - А; Ь^ + А], У < Ь^ ) — 1 + 12 + 13. В данном случае:

ьип-а

1 — | р (х ) ёх.

аи +а

Величины 12 и 13 вычисляются с помощью непрерывного варианта формулы полной вероятности:

ип Д ип

а —А у а

ЬЦп+А

ип

12 = | I Ч (У) бУ Р (х) бх; 13 = I I Ч (У) бУ

и—ду х—А

р (х) бх.

Тогда, вероятность Рх можно определить выражением:

¿(п+А^ х+А

ах —А у а

п —А

р = I I Ч (У) бу Р (х) бх + I Р (х) бх + I I Ч (У) бу

аЦп+А

—ду х—А

р ( х ) бх

х.

Если функция ч( у) характеризует плотность вероятности для непрерывного

равномерного распределения величины У, то вероятность Рх находится согласно выражению:

^ а^п+а ь —д ^ ь +д

Р =— I (х + А — с) р (х) бх + I р (х) бх +--I (б — х + А) р (х) бх.

2А ахп—а ахп+а 2А —а

6цп —а

Ьцп+а

2.5. Модель оптимизации п-этапной экспертизы инвестиционных проектов

В данном разделе будет рассмотрен подход оптимизации процесса многоэтапной экспертизы проектов, при максимизации суммарной полезности процесса. Пусть экономическая оценка некоторого инвестиционного проекта проведена при помощи показателя МРУ, значения которого известны инвестору

с точностью до отрезка [ ЫРУХ; ЫРУ2 ] . Трудности принятия решения возникают в случае, когда отрезок [ ЫРУХ; ЫРУ2 ] включает нулевое значение, иными словами при ЫРУХ < 0 и ЫРУ2 < 0.

В работе [18] для рассматриваемого случая предложены функции ожидаемой полезности принятия ЦА0 и отклонения Цк0 проекта и правило выбора оптимального решения: проект принимается к исполнению, если ЦА0 > ЦК0. Функции полезности ЦА0 и Цк0 согласованы с пороговыми правилами учета факторов неопределенности инвесторами и зависят от / > 0 - страха потерь и у > 0 - сожаления об упущенной выгоде.

Инвестором может быть принято решение по уточнению оценок [ ИРУ; ИРУ2 ] путем проведения экспертизы проекта, которая может включать п-этапов (п > 1) [45]. Здесь предполагается, что решение о проведении п-этапной экспертизы принимается априорно. При этом точность А , стоимость С каждого этапа 1 экспертизы удовлетворяют условиям: А.+ <Аг., (г —1,2,...,п-1);С > 0(г — 1,2,...,п). Под параметром А. в данном случае понимается половина длины отрезка неопределенности [ ИРУЕ'; ИРУЕ ], [ИРУ'Ег; ИРУЕ] ^ [ИРУ; ИРУ2] который остается после проведения этапа 1 экспертизы. Таким образом, длина отрезка [ИРУЕг; ИРУЕг ] сокращается по мере проведения дополнительных этапов экспертизы, то есть происходит уточнение оценок для параметра ИРУ , сокращение имеющейся неопределенности.

Считается также, что инвестор знает [ ИРУЕ; ИРУЕ ] - результат оценки доходности рассматриваемого проекта на этапе 1, и может принять решение относительно реализации (отклонения) проекта или отправления его на дальнейшую экспертизу.

Далее будет проведена формализация и алгоритмизация задачи оптимизации решений при п-этапной экспертизе инвестиционного проекта. Очевидным моментом является то, что при нулевой стоимости всех этапов

экспертизы (С — 0) и точности А > 0 априорно процесс последовательной экспертизы не прерывается. Случай, когда отрезок [ИРУХЕ'; ИРУЕг ] целиком

оказывается правее (левее) нуля далее будет называться высокоэффективным (убыточным) проектом.

Пусть имеется инвестиционный проект, который может быть принят к реализации или отклонен на разных этапах экспертизы. При такой постановке

задачи - [ИРУ , ИРУ ] является отрезком, характеризующим общий уровень неопределенности, где ИРУ - является минимальным значением ИРУ , а ИРУ2 -максимальным значением показателя. На рисунке 2.14 представлено дерево решений в данной ситуации.

хп-1 Еп

Рис. 2.14. Модель проведения п-этапной экспертизы.

На приведенном рисунке, Д, Я, хг - полезности принятия, отклонения и отправки на последующий этап экспертизы инвестиционного проекта, г = 0 -начальный этап (до первого этапа экспертизы); г = 1,2,...,п- индекс этапа

экспертизы; вероятность появления проекта на ветке хп равна нулю (I (хи ) = 0),

так как этап п +1 отсутствует.

Оптимизация процесса п-этапной экспертизы включает оценки вероятностей I (Д ), I (Я ), I (х.) появления проекта на соответствующих ветках дерева, уровней ожидаемой полезности ^, ^, ^ и общей полезности

исходного проекта до и после экспертизы [48]. Указанные величины определяются параметрами и моделью экспертизы, при которой инвестор может получать интервальные оценки доходности проекта, решать вопрос о его принятии, отклонении или продолжении экспертизы. В рассматриваемом случае для организации и оптимизации рассматриваемого процесса необходимы априорные оценки введенных величин. На рисунке 2.15 приведен вид функции плотности вероятности величины ИРУ инвестиционного проекта на этапе 1 экспертизы в предположении, что ИРУ - равномерно распределенная величина на отрезке [ИРу , ИРу ] (рис. 2.15а). Величина К0 определяется из соотношения:

к0 =-1-.

0 ИРУ2 - ИРУ,

При моделировании процесса многоэтапной экспертизы учитываем, что оценки ИРУ проектов экспертизой непротиворечивы, то есть справедливо:

ИРУТ е [ИРуЕг; ИРУ^].

Полезности решений А и Я состоят из двух частей: А, = р + А и я = N + я/,

где Р полезность решения принятия проекта с параметрами МРУ е [2Аг; Ьг—х], N - полезность решения отклонения проекта, соответствующего случаю

МРУ е[а—х; — 2А ].

Функция плотности вероятности МРУ для этих вариантов приведена на рисунке 2.15б. Для этого случая плотность вероятности величины МРУ проекта передаваемого на экспертизу, представлена на рис. 2.15в.

а)

б)

| р(МРУ) к

МРу — 2Д

в)

I р (МРУ) к

0 2Ах МРУ2 МРУ р ( МРУ )

Р ( хх)

МРУ — 2А

г)

Р( я;)

МРУ

д)

Р( ях)

р ( МРУ )

\ Р(А)

—2д а ь/

е)

0 2 Ах МРУ2 МРУ р ( МРУ )

\Р( А/)

0а/ Ьх 2Ах МРУ

р ( МРУ )

—2АХ

0

2А

МРУ

—2д а 6

0 ах Ь 2 А

МРУ

Рис. 2.15. Функции плотности вероятностей величины МРУ на ветке хх (рис. 2.15а) и ветке х (рис. 2.15б)

Вероятности решений А/ и я/ , оценки доходности которых включают нулевое значение на рис. 2.15б и 2.15в являются нулевыми. Эти части существенны в случае, когда а > _2АХ и/или Ьх < 2А (рис. 2.15г, е). Рисунок 2.15д

иллюстрируется условие, при котором вероятность появления проекта на ветке является нулевой. Для этого необходимо и достаточно выполнение равенства: a1 = b1 - 2A1. Рис. 2.15 поясняет экономический смысл введенных переменных a{, bi, как нижнего и верхнего значений уровня «отсечки» границ величины NPV инвестиционного проекта. Если для некоторого проекта, нижняя оценка NPV меньше a, то такой проект отклоняются без дополнительной экспертизы и, аналогично, если верхняя оценка NPV проекта больше bi, то такой проект, соответственно, принимается к реализации. Заметим, что риски для этих групп проектов устраняются не полностью, однако значение функции субъективной полезности для их принятия или отклонения до проведения экспертизы оказывается выше, чем в случае проведение для них дополнительного этапа экспертизы.

Для оценки целесообразности проведения многоэтапной экспертизы

используется подход, обозначенный выражением 2.34. При этом если UE > 0, то дополнительная экспертиза экономически оправдана. В рассматриваемом подходе

для расчета UE, берется исходный проект на ветке x0 с функцией плотности

вероятности P(NPV), при этом уровни отсечки a0, b0 равны соответственно:

a=npv; ь0 =npv2.

Вероятность появления проекта на ветке x0 равна единице:

bo

I ( x0) = J p (x) dx = 1.

ao

Определим верхние и нижние границы изменения переменных a, b,

i = 1,2,..., n:

a = max(ai- - ); ^ = a + 2Ai; fy = min(b- 1 ); # = ^ - .

Из этого выражения следует, что множество значений (ai, bi) не пусто, если выполнено условие:

Ь - а ,

А* <, ' = 1,2,...,п. (2.55)

Если для некоторого i (2.55) не выполняется, то параметры п-этапной экспертизы следует изменить, учитывая, что этап i не является информативным. Рассмотрим случай, когда для некоторого i справедливо: тщ I_а ' Ь )

А >-^ '-1' '_ . Условие (2.55) выполняется. Экономический смысл этой

ситуации раскрывает рисунок 2.15, который показывает, что границы отсечек определяются не отрезком +2А., а уровнями предшествующего этапа. Можно показать, что в этом случае математическое выражение функций плотности вероятности, показанных на рисунке 2.15, для последующих этапов сохраняются, но рабочие границы для вычисления вероятностей и полезностей набора проектов

задаются отрезками [а1;"].

Таким образом, общая постановка задачи оптимизации п-этапной экспертизы может быть записана в виде:

найти а*, Ь*, ' = 1,2,...,п из условий:

п

и = + ит + иА/ + ик1, - С') ^ шах (2.56)

а*е[а*; а' ]

Ь* Ф'Г; Ь ]

а* Е[а.; а)], "* е [Ь/;"],

а' = шах(а— _ 2А*);а = а* + 2А*;" = т1п("_; 1); Ц = " _ 2А*;

где С1 - стоимость этапа 1 экспертизы.

При этом предположим, что А., С, АРу, АРу, р(ЫРУ) заданы и условие

(2.55) выполнено. Решение задачи (2.56) позволяет оценивать полезность каждого этапа экспертизы. Одним из способов проверки правильности решения для задачи оптимизации является выполнение условия (2.57):

I(*о) = ±(I(Р ) +1(А ) +1(А') +1(#)) (2.57)

Для решения задачи оптимизации 2.56 требуется определить формулы для нахождения полезностей иРг.; им; и ,; и ,. Графики функции плотности

вероятности значений ИРУ в случае принятия проекта к реализации представлены на рисунке 2.16.

Исходными данными для расчетов вероятности появления проекта на некоторой ветки дерева и его полезности являются уровни отсечек ам и Ьг—1 границ ИРУ проекта на этапе г — 1 экспертизы. На начальной стадии а0 = ИРУХ, Ь0 = ИРУ2. Вероятность появления проекта на ветке х—1 (проект поступает на экспертизу Е\), определяются формулой:

1 (х—1 )=К Ь1—а—1) >

где К0 - заданный уровень равномерной функции плотности вероятностей ИРУ для исходного проекта с границами ИРУ1 и ИРУ2 (рис. 2.16а).

а)

A

p ( NPV )

h

б)

p ( NPV )

D

B A

aM -2Аг 0 2Аг b^ NPV

в) p (NPV)

A B M h C D

-2Аг aM 0 2Аг b-_x NPV г) p (NPV)

A B

h D C

a-1 -2Ai 0 2Ai b-x NPV a__x -2Ai 0 b-_x 2Ai NPV

Рис. 2.16. Графики функций плотности вероятности при выделении границ величины NPV на этапе i

На рисунке 2.16в представлены плотности вероятности NPV проектов в случае, когда 2Ai < min(_ai-x; bi-x). Границы NPV проектов под p^(x)

соответствуют решению об отклонении проекта, границы NPV области p0CB (x) - решению о принятии проекта.