Модель гипоупругой хрупкой среды и ее применение в сейсмике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, доктор физико-математических наук Немирович-Данченко, Михаил Михайлович

• Немирович-Данченко, Михаил Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Немирович-Данченко, Михаил Михайлович

ВВЕДЕНИЕ.:.з

ГЛАВА 1. Методы решения прямых динамических задач сейсмики и модели сред (обзор).

1.1. Полуаналитические и численные методы решения прямых динамических задач сейсмики.

1.2. Некоторые модели сред, используемые в сейсмике.

ГЛАВА 2. Модель гипоупругой среды.

2.1 Введение.

2.2 Определение гипоупругой среды. Полная система уравнений механики деформируемого гипоупругого тела.

2.3 Тензор Кристоффеля для среды с начальными напряжениями.

2. 4. Расщепление поперечных волн и оценки для Земли и планет.

2. 5 Выводы.

ГЛАВА 3. О построении разностной схемы. Решение модельных задач.

3.1 Основные уравнения и построение численной схемы.

3.2 Модельные задачи.

3.3 Конечно-разностная схема.

3.4 Выводы.

ГЛАВА 4. Описание разрушения при численном моделировании динамических задач сейсмики.

4.1. Введение. О некоторых подходах к численному описанию разрушения

4.2. Способ описания хрупкости для гипоупругой среды.

4.3 Влияние трещины на деформирование среды.

4.4. Выводы.

ГЛАВА 5. Применение модели гипоупругой хрупкой среды при решении некоторых задач о деформировании геосреды и излучении сейсмических волн при ее разрушении.

5 J. Прочность реальных сред и критерий разрушения.

5.2. Излучение упругих волн при разрушении отрывом и сдвигом.

5.3. Излучение сейсмических волн при равномерном и неравномерном распространении трещин в геоматериалах.

5.4 Численное моделирование сейсмоакустической эмиссии от формирующейся поверхности скольжения активного гравитационного оползня.

5.5 Оценка напряженного состояния в теле оползня.

5.6 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель гипоупругой хрупкой среды и ее применение в сейсмике»

Объектом исследования диссертационной работы являются процессы деформирования и разрушения геоматериалов, а также поля упругих волн, излучаемые при этом.

Актуальность исследований. В последнее время значительно повысился интерес геофизиков и геомехаников к изучению как собственно процесса деформирования горных пород, так и явлений, его сопровождающих. Деформирование геологической среды зачастую сопровождается ее разрушением и излучением сейсмических волн. Единого подхода, позволяющего в наиболее общей постановке рассчитать поле напряжений в геоматериале при деформировании, разрушение этого материала, излучение и распространение в нем упругих волн нет. Диссертационная работа автора призвана восполнить этот пробел.

Деформирование с последующим разрушением и излучением волн характерно как для больших геологических масштабов и высоких значений высвобождаемой энергии (очаги землетрясений), так и для малоэнергетических по уровню акустической эмиссии, но не менее катастрофических по последствиям оползневых процессов. И в том и в другом случае речь идет о деформировании геоматериала и о попытке его аккомодации, т.е. приспособления, к процессу деформирования. Исследования последних лет в качестве заключительного механизма аккомодации выделяют разрушение на микро и мезоуровнях, при сохранении общей прочности среды, при отсутствии в ней макроразрушений. (Здесь приставки микро и мезо, так же как и макро понимаются только в относительном значении).

Разрушение на любом из этих уровней сопровождается излучением сейсмических волн, а сами разрушения имеют характер трещин отрыва и сдвига. Разрушение подчас распространяется со столь низкими скоростями, что для объяснения этого требуются специальные теоретические исследования и эксперименты. С другой стороны, сейсмические методы еще не очень активно применяются, например, при изучении метастабильных механических систем, таких, как оползни, неустойчивые склоны и.т.п. Инструментальные наблюдения за такими процессами ведутся, но их анализ должен опираться на адекватные теоретические представления об изучаемом явлении. Одним из основных свойств упомянутых процессов являются большие (конечные) деформации.

На основе вышесказанного представляется актуальным создание и развитие метода численного моделирования процессов конечного деформирования и разрушения твердых тел и излучения ими упругих волн, что и выполнено в настоящей работе. Автором предложена оригинальная модель гипоупругой хрупкой среды и на этой основе создан численный метод, весомо дополняющий существующие методы и подходы в решении динамических задач сейсмологии, геомеханики и механики деформируемого твердого тела.

Цель исследований. Поведение геологической среды при деформировании для различных временных масштабов и различных скоростей деформаций описывается различными определяющими соотношениями. Так, построение сейсмических волновых полей вдали от источника обычно выполняют в рамках динамической теории упругости, вблизи же источника учитывается неупругое поведение среды. Деформирование твердых оболочек Земли в масштабах геологических времен моделируют течением вязкой жидкости. Есть природные и техногенные процессы деформирования горных пород, которые сопровождаются локальным разрушением и излучением (эмиссией) сейсмических волн, но в целом среда остается упругой. Эти процессы могут быть изучены с позиций упруго-хрупкого поведения. Построение одной из моделей такого поведения и рассмотрение процессов деформирования геологической среды, ее разрушения и излучения сейсмических волн является целью диссертационной работы.

Для достижения поставленной цели были решены соответствующие задачи. Некоторые из них были необходимы и изложены в тексте диссертации, но являлись при этом вспомогательными. Другие имели основной методологический смысл или носили исследовательский характер и перечислены ниже:

1. Разработана оригинальная физико-математическая модель гипоупругой хрупкой среды, в основе которой лежат: а) закон поведения гипоупругих сред, введенный К. Трусделлом в 1955 г., б) предложенная соискателем специальная методика раздвоения точек расчетной сетки при численном моделировании. В среде, поведение которой может быть охарактеризовано как гипоупругое хрупкое, при данном напряженном состоянии компоненты скоростей изменения напряжений есть однородные линейные функции скоростей деформаций, а сама скорость изменения напряжений определяется с использованием производной относительно собственного вращения. При этом деформации могут быть конечны, вплоть до разрушения всей среды.

2. Создан метод, в основе которого лежит предложенная соискателем модель гипоупругой хрупкой среды, позволяющий решать пространственную задачу о деформировании среды, разрушениях в ней, излучении при этом упругих волн и их распространении.

3. С использованием модели гипоупругой среды выявлена аналитическая связь между касательными напряжениями и скоростью поперечных упругих волн для среды с начальными напряжениями: касательные напряжения аддитивно входят в выражение для квадрата скорости поперечных волн, при этом поперечные волны расщепляются на две, более быструю и более медленную.

4. Основываясь на решении задачи о сложном нагружении среды с трещиной сделан вывод о том, что распространение трещин отрыва может быть неравномерным, с изменениями скорости в течение всего процесса в несколько раз.

5. Для геоматериалов с использованием модели гипоупругой хрупкой среды проведены расчеты разрушения отрывом и сдвигом; для этих случаев построены функции направленности источника сейсмической эмиссии. Показано, что, в отличие от известных решений, основная энергия от разрушения распространяется вдоль свободных от напряжений берегов трещины, то есть в направлении, противоположном разрыву.

6. По результатам численного эксперимента, проведенного соискателем, построены поляризационные кривые колебаний частиц среды на поверхности активного гравитационного оползня. Сделан вывод, что колебания частиц поляризованы по направлению падения склона и определяются напряженным состоянием в теле оползня.

7. По результатам численного анализа напряженно-деформированного состояния в теле оползня с использованием предложенной модели среды выявлена зона максимальных касательных напряжений, которая при переходе оползня в неустойчивое состояние смещается вниз к подножию склона.

Диссертационная работа посвящена описанию нового подхода к решению задач сейсмики. В этом подходе методы расчета сейсмических волновых полей сочетаются с методами механики разрушения. Основу подхода составляет модель гипоупругой хрупкой среды, среды, которая деформируется конечным образом, в которой по тем или иным причинам развиваются зоны концентрации напряжений, происходит разрушение, излучение сейсмических волн и дальнейшее их распространение.

В диссертационной работе впервые предложен подход к решению динамических задач, в котором методы механики разрушения сочетаются с методами расчета упругих волновых полей.

Предложенный метод численного решения прямых пространственных задач эластодинамики позволяет решать пространственные задачи о деформировании среды, развитии в ней больших деформаций и разрушений, выделении сейсмической энергии и распространении сейсмических волн, что существенным образом расширяет круг решаемых в геофизике, геодинамике и механике деформируемого твердого тела задач и является новым инструментом исследования;

Предложенный новый подход к описанию разрушения при численном моделировании может использоваться и используется рядом научных учреждений при решении теоретических и прикладных задач механики деформируемого твердого тела, геофизики и геодинамики.

Выявленная в численном эксперименте направленность поляризации колебания частиц на поверхности гравитационного оползня использована при анализе микросейсмических наблюдений на оползнеопасных склонах.

Предложенный подход к моделированию напряженно-деформированного состояния активного оползня как динамического процесса может быть использован при применении сейсмических методов для оценки напряженного состояния оползнеопасных склонов.

Предложенный и развитый в диссертации подход, основанный на модели гипоупругой хрупкой среды, может быть использован при анализе геодинамических явлений различных масштабов (землетрясения, оползни, горные удары), для теоретической оценки функций направленности возникающих при разрушении горных пород сейсмических источников, при анализе распространения трещин в твердых телах и конструкциях.

Таким образом, практическая ценность предложенного подхода, модели гипоупругой хрупкой среды и развитого на ее основе метода состоит в возможности проведения в рамках одной вычислительной программы теоретических расчетов и оценок напряженно-деформированного состояния для различных геологических объектов, находящихся в состоянии предразрушения - активных оползней, неустойчивых склонов, разломов, разрушения в этих объектах, излучения сейсмических волн и дальнейшего их распространения.

Основным защищаемым результатом автор считает создание на основе оригинальной модели гипоупругой хрупкой среды метода, позволяющего решать комплексную задачу о деформировании среды, разрушениях в ней, излучении при этом упругих волн и распространении этих волн. Кроме этого, ниже перечислены иные основные результаты и положения, также выносимые на защиту:

1. С использованием модели гипоупругой среды получена аналитическая связь между касательными напряжениями и скоростью поперечных упругих волн для среды с начальными напряжениями: поперечные волны расщепляются на две, более быструю и более медленную.

2. Основываясь на решении задачи о сложном нагружении среды с трещиной, сделан вывод о том, что распространение трещин отрыва может быть неравномерным с изменениями скорости в течение всего процесса в несколько раз.

3. Основываясь на численном расчете, проанализированы функции направленности излучения сейсмических волн при разрушении среды отрывом и сдвигом и показано их отличие от общепринятых представлений.

4. По результатам численного эксперимента сделан вывод, что колебания частиц на поверхности гравитационного оползня поляризованы по направлению падения склона и определяются напряженным состоянием в теле оползня.

5. По результатам численного анализа напряженно-деформированного состояния в теле оползня (с использованием предложенной модели среды) выявлена зона максимальных касательных напряжений, которая при переходе его в неустойчивое состояние смещается вниз к подножию склона.

Обоснованность и достоверность

Высокая степень достоверности полученных результатов определяется решением модельных и тестовых задач, сравнением с результатами физического моделирования, с данными натурных наблюдений и с результатами, полученными иными методами и другими исследователями: а) характер поведения частиц на поверхности гравитационного оползня, обнаруженный в ходе численных расчетов и отраженный в поляризационных кривых, подтверждает натурные наблюдения на оползне в долине реки Суусамыр в Киргизии; б) поле деформаций и положение областей максимальных напряжений внутри склона из модельного геоматериала, полученные в результате расчетов, подтверждаются результатами физического моделирования и натурными наблюдениями, выполненными в Институте физики и механики горнах пород НАН Кыргызстана; в) результаты решения задачи об излучении волн при вертикальном воздействии на поверхности однородного изотропного полупространства соответствуют не только известными аналитическими и численными решениями этой задачи, но и подтверждаются данными физического моделирования, проведенного в Институте геофизики СО РАН; г) поле максимальных касательных напряжений, численно рассчитанное соискателем для задачи о растяжении тела с надрезом, качественно соответствует экспериментальным данным, полученным методом фотоупругости; д) выявленный в результате проведенного соискателем численного эксперимента факт, что вершина трещины отрыва является энергетическим стоком, подтверждается теоретическими выводами работы; е) построенные в ходе численного расчета фронты продольной и поперечных волн, а также области неоднозначности волновых поверхностей для кристалла цинка подтверждаются теоретическим построением лучевых поверхностей для анизотропных сред.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: EGS XXII General Assembly, Vienna, Austria, 21-25 April 1997; V International Conference Computer Aided Design of Advanced Materials and Technologies Augest 4-6, 1997, Baikal Lake, Russia; международной конференции "Вибрационные технологии исследований и мониторинга литосферы" (Новосибирск, 1998 г.); международной конференции "Physical mesomechanics and computer aided design of advanced materials and technologies - Mesomechanics' 98" (Израиль, Тель - Авив, 1998), на VI Всероссийской научно-технической конференции "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, 1999), на международной конференции "Сейсмология в Сибири на рубеже тысячелетий" (Новосибирск, 2000 г.), . международной конференции "Геодинамика и напряженное состояние недр Земли", (2-4 октября 2001г. - Новосибирск ), на пяти школах-семинарах "Геофизика и геомеханика" (Новосибирск, 1999-2003), на International workshop "Mesomechanics: foundations and applications", March 26-28, 2001, Tomsk, на сейсмическом семинаре Института геофизики СО РАН. Кроме того, полностью результаты диссертационной работы докладывались на специальных семинарах в Институте гидродинамики им. Лаврентьева и в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Работа выполнена в рамках научных направлений: "3.1.14. Развитие физико-геологических основ, теории и технических средств геофизических исследований строения и геодинамики литосферы, поисков полезных ископаемых и прогноза землетрясений" по плану работ ОИГТМ СО РАН на 1997-2000 гг.

5.1.7 Теоретико-экспериментальное изучение неидеальных свойств геосред в связи с их микро- и мезоструктурой и сложным напряженным состоянием" № 01200101573 по плану работ ОИГГМ СО РАН на 2001-2003 годы.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 43 работы, в том числе две монография (в соавторстве).

Обоснование структуры работы.

Основную часть работы предваряет обзорная глава, посвященная моделям поведения , применяемым при описании поведения геоматериалов, а также методов решения прямых задач сейсмики. Вторая глава целиком посвящена свойству гипоупругости и тем особенностям поведения, которые заложены в модели гипоупругой среды. Далее строится численный метод , позволяющий решать динамические задачи сейсмики и механики деформируемого твердого тела. Построение такого метода требует его тестирования, а введение в численный метод модели гипоупругости влечет за собой обязательное решение модельных задач. Этому посвящена третья глава. После всесторонней проверки работоспособности модели и алгоритма в целом вводится описание хрупкости среды как реализованная при построении расчетной сетки возможность разрушения в расчетной точке. На решении известных задач механики разрушения проверена работа алгоритма хрупкого разрушения. И, наконец, решено несколько исследовательских задач - о характере направленности источника сейсмических волн при единичном разрушении отрывом и сдвигом, о равномерном и неравномерном движении трещины, о напряженно-деформированном состоянии в теле гравитационного оползня и о сейсмической эмиссии с его подошвы.

Структура и объем работы.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы, состоящего из 207 наименований. Общий объем работы - 217 страниц машинописного текста.

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель работы, перечислены новые результаты, раскрыта их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

В первой главе рассмотрены методы и подходы, применяемые в решении прямых динамических задач упругости и сейсмики, проанализированы некоторые используемые модели сред.

Во второй главе вводится понятие гипоупругой среды и изучены некоторые ее свойства.

Необходимость введения модели гипоупругой среды обусловлена желанием более адекватно описать поведение геологической среды - то есть поведение сложно построенной существенно неоднородной среды. С другой стороны, постоянный интерес к воспроизведению (моделированию) динамических процессов, протекающих в таких средах, приводит исследователей к численным методам. Инкрементальный характер гипоупругого описания среды как нельзя более подходит именно для численного моделирования. А резко, на несколько порядков, возросшие за последнее десятилетие вычислительные мощности компьютеров позволяют от численного решения одномерных и двумерных задач перейти к моделированию пространственных процессов.

В сейсмологии настоятельная потребность в решении трехмерных задач вызвана, в первую очередь, необходимостью адекватно описывать динамические процессы в условиях критического состояния геосреды. Это процессы, протекающие в приразломных зонах, вблизи подошвы гравитационных оползней и т. п. Кроме изменения размерности решаемых задач изменяется и качественная сторона проблем. Так, стали появляться работы, в которых учитывается неоднородное начальное напряженное состояние среды, в которых Земля описывается как неупругое тело с использованием определяющих соотношений в инкрементальной форме .

Необходимость учета реального блочного строения сильно неоднородной геосреды, подвергающейся конечной деформации понимается сегодня большинством геофизиков. При этом отмечается, что если на длительных геологических временах геологическая среда ведет себя как вязкое тело, то на временах, существенных для сейсмологии и сейсмики в целом она может быть описана как упруго-пластическая и упруго-хрупкая. Известно, что среда, которая ведет себя на уровне отдельных частиц как упруго-хрупкая, на макроуровне хорошо описывается соотношениями упруго-пластичности.

Поэтому для довольно точного решения многих задач геомеханики достаточно предположить, что деформации и напряжения конечны, а сама среда хрупкая. Автором диссертационной работы конечность деформаций и напряжений предлагается описывать моделью гипоупругой среды, а хрупкость реализовать на этапе построения численной схемы с помощью оригинальной методики.

Основные законы механики, записанные в виде уравнений в частных производных, устанавливают связь мгновенных значений величин в окрестности бесконечно малой частицы среды. Определяющие соотношения (законы поведения) иногда также формулируют в терминах производных, т.е. мгновенных значений - например, при описании вязкой жидкости. Закон Гука, широко используемый в эластодинамике, связывает напряжения с деформациями раз и навсегда (это, по сути, среда с особой "памятью исходной конфигурации"). В последние же десятилетия используется закон Гука в виде мгновенной связи между напряжениями и деформациями, т.е. в виде связи между скоростями напряжений и скоростями деформаций (см. раздел 1.2.). Вся система уравнений тогда становится, так сказать, однотипной, посредством дифференциальных уравнений в частных производных описывающей мгновенное поведение частиц среды, а сама среда называется гипоупругой.

Вводя понятие скорости напряжений, то есть производной от компонент тензора напряжений, нужно учитывать тот факт, что изменение напряжений должно быть вызвано некоторым изменением деформации (напряжения в упругом теле- это упругая реакция на деформирование). Легко видеть, что при деформировании среды не все изменения напряжений будут упругими реакциями. Так, если среда, в которой задано тензорное поле, вращается как абсолютно твердое тело, то полные производные по времени от компонент тензора будут меняться в неподвижной системе отсчета, в то время как в самой среде компонента не меняются. Поэтому вычисленный с помощью полных производных тензор скоростей напряжений не является объективным тензором.

Поэтому в определяющих соотношениях гипоупругой среды используется коротационная производная Яуманна, или производная относительно собственного вращения.

Приведем следующее определение гипоупругой среды: среда является гипоупругой, если в каждой точке и в любой момент времени тензор скоростей изменений напряжений есть линейная функция тензора скоростей деформаций, причём эта функция может, в свою очередь, зависеть от тензора напряжений как от параметра. В диссертационной работе всюду рассмотрен простейший случай гипоупругости - когда тензор упругих модулей от напряжений не зависит.

Скорость изменения тензора напряжения может задаваться различным образом. Так, если задано поле скоростей V(r,t) и поле напряжений aik(r,t), то можно записать следующие выражения для обычной полной производной изменения компонент aik относительно пространственной системы координат. daik b(7ik | Ъ(71к ^ dt dt dxj '' где в правой части первый член - локальная часть (локальная производная), а второй член - конвеюнвная часть.

Определённая таким образом скорость изменения напряжений будет зависеть от собственного вращения элемента среды и не является поэтому объективной (материальной) величиной. Для построения закона поведения необходимо использовать производную тензора, которая будет обращаться в нуль при вращении тела как твёрдого относительно реальной системы отсчёта. Для этого Яуманном было введено понятие производной относительно собственного вращения и инкрементальный закон поведения гипоупругой среды может быть записан так: v u=cijkl£u, где v dar. ~dt

- производная Яуманна,

Qlm - тензор скоростей вращений (спин-тензор), do:: Эо:: Эо. vk - полная производная по времени, г & = ~г~ - - <7JA< dt dt Эх k iJ - * ( ^ Vf | j) - тензор скоростей деформаций.

2 Эхj Эд:,.

Полная система динамических уравнений для модели гипоупругой среды выглядит следующим образом:

Уравнения движения (первый закон Коши): да и

-= р(X,YtZ)ui, i= 1,2,3; dXj

Определяющие соотношения для гипоупругой среды: v • а У = cijkl£U , тензор скоростей деформаций

1 ,Эv. 3v.

2 охj Эх;

Здесь и - смещения, v - скорость смещений.

Эта система замкнута и при дополнении ее соответствующими граничными и начальными условиями может быть сформулирована соответствующая краевая задача.

В работе была проведена линеаризация системы и построен тензор Кристоффеля.

При упрощающих допущениях, что в исходной конфигурации в каждой точке среды направления главных осей одинаковы (т.н. однородное напряженное состояние) и при совмещении этих осей с координатными компоненты тензора Кристоффеля в изотропной среде имеют вид

Г„ = (А, + ц)т,2 + \i-+ eijkx/шк2, (А, + ц + eijkxk )m,mj, при i Ф j. Здесь X, - упругие модули в изотропной среде (константы Лямэ), - псевдотензор Леви-Чивиты, m - компоненты единичного вектора волновой нормали, тк - главные касательные напряжения.

Далее показано, что максимальное расщепление поперечных волн по скоростям вдоль конкретной оси будет иметь место вдоль 2 главной оси ,

Av2p = т, +т3 = -т2.

А максимальная анизотропия получается при сравнении скоростей поперечных волн вдоль 1 и 3 осей: v2x р-v2zp = 2т2.

Анализируется возможная неизотропность напряженного состояния Земли. На основе полученных формул для поперечных волн проводится оценка вероятного расщепления поперечных волн в Земле за счет наличия в ней скалывающих напряжений.

Третья глава посвящена изложению основных принципов построения конечно-разностной схемы для численного моделирования пространственных динамических задач на основе модели гипоупругой среды.

Кроме того, в ней содержится решение и обсуждение тестовых и модельных задач.

Прежде всего для проверки правильности работы алгоритма и программы была решена задача Лэмба. В целом волновая картина, полученная при расчете, хорошо соответствует теоретическим результатам решения задачи Лэмба об излучении упругих волн при вертикальном воздействии на поверхности однородного изотропного полупространства.

Чтобы убедиться, что расчетные результаты соответствуют и опытным данным, проведено сопоставление расчетных данных с результатами физического моделирования, выполненного Б.А.Бобровым и И.С.Чичининым (ИГФ СО РАН). Ими в лабораторных условиях изучались особенности волнового поля в ближней зоне импульсного ультразвукового источника. Автором диссертационной работы проведено сравнение результатов физического моделирования и расчетных сейсмограмм. Они находятся в весьма неплохом соответствии друг с другом.

Далее была рассмотрена модельная задача о распространении упругих волн в трансверсально-изотропном полупространстве.

В результате расчета для кристалла цинка получены следующие волны: квазипродольная, квазипоперечная, коническая и волна Рэлея. Приводятся зоны области рефракции (области неоднозначности волновых поверхностей), лучевые поверхности. Сравнение проводится с аналитическими волновыми поверхностями для кристалла цинка.

Делается вывод о том, что сравнение теоретических лучевых поверхностей и результатов численного моделирования говорит о применимости модели гипоупругой среды и численного алгоритма для решения прямых волновых задач сейсмики для различных моделей сред.

Во всех перечисленных задачах влияние дополнительных членов в производной Яуманна невелико и это не дает оснований надеяться на правильную работу алгоритма в этой части. Поэтому для тестирования описания отличительных особенностей модели гипоупругой среды в заключение третьей главы приводится результат численной оценки расщепления поперечных волн вследствие неизотропного начального напряженного состояния среды.

Рассмотрена в этой связи модель Земли Б2 Буллена. Для глубины около 250 км основные для нас параметры этой модели следующие:

Плотность 3510 кг/м3, скорость распространения продольных волн Vp =8400 м/с, скорость распространения поперечных волн (среда считается изотропной) Vs = 4670 м/с, давление (гидростатическое) р=0.09 *10п н/м2. Допустим что среда выдерживает следующие значения главных напряжений СГ^-0.16 *10м н/м2 , <7 2 = <Т3=-0.0589 *10п н/м2 . Главная первая) ось совпадает с вертикальной осью, с направлением максимального сжатия, сжимающие напряжения отрицательны.

С такими начальными данными был проведен следующий расчет. Имеется модельная среда, по константам соответствующая модели Б2. К верхней правой грани этой модельной среды приложена нагрузка (импульс Рикера) так, что вдоль оси 2 бежит продольная волна, порождая в плоскости 2-3 все типы волн, а вдоль оси 3 бежит плоская SV волна.

На основе анализа векторных полей скоростей смещений, построенных для двух моделей сред - с начальными напряжениями и без, оценено расщепление поперечных волн. Оно хорошо согласуется с аналитическими результатами.

Решение всей совокупности модельных задач показывает, что модель гипоупругой среды и численная схема с высокой степенью адекватности описывают волновые сейсмические поля с точки зрения их распространения. Остальные же главы посвящены вопросам излучения этих волн, генерации их при деформировании и разрушении геоматериалов.

В четвертой главе излагается методология описания разрушения первоначально сплошной среды при численном моделировании.

Автором проанализированы различные подходы к описанию разрушения и предложена методология, позволяющая при численной реализации краевых динамических задач гипоупругости заложить алгоритмы для описания множественного трещинообразования вплоть до дезинтеграции среды. При этом удается численно моделировать концентрацию напряжений при деформировании и излучение упругих волн при любом акте разрушения.

В этой главе рассмотрены только задачи, связанные с нерастущими трещинами отрыва и сдвига. Это, собственно, не трещины, а надрезы, изначально имеющиеся в теле. Нагружение происходит либо нормально к линии трещины (трещина отрыва), либо тангенциально (трещина сдвига). Движение трещин (разрушение) в этом разделе не рассматривается. Однако в среде происходят волновые процессы, вызванные нагружением и цель главы - описать как саму авторскую методологию моделирования трещинообразования, так и рассмотреть проявление трещин при деформировании и распространении волн.

Суть авторской методологии в следующем.

При решении динамических задач используется уже приведенная система уравнений. При их выводе обычно рассматривается элементарный объем (куб или параллелепипед) и записываются условия равновесия этого объема. Далее, в классической теории упругости предполагается, что соседствующие друг с другом элементарные объемы не свободны в своих движениях и видоизменениях, то есть, что деформации совместны.

Нам же для моделирования разрушения среды необходимо допустить относительное движение частиц, относительное их скольжение, отделение одной частицы от другой вплоть до полной дезинтеграции исходной сплошной среды. Это достигается при замене динамических уравнений конечно-разностными соотношениями. А именно, предполагается, что вершины элементарного объема (расчетной ячейки) имеют свои координаты, уникальные для каждой ячейки. Для наглядности будем далее рассматривать двумерный случай (случай плоской деформации). В двумерном случае будем считать ячейки прямоугольниками. Четыре таких ячейки могут соприкасаться вершинами в одной точке. И, первоначально, когда среда сплошная, эти четыре вершины сливаются в одну.

Иначе говоря, когда мы разбиваем расчетную область на ячейки, мы проводим линии, параллельные координатным осям, и каждый узел образуется как минимум двумя такими линиями. Стало быть, каждый узел мы проходим дважды - параллельно одной координате, затем параллельно ф другой. Линии имеют бесконечно маленькую ширину, но если мы представим, что мы сделали пропил очень тонкой пилой - вся расчетная сетка рассыплется на элементарные ячейки.

Итак, мысленно мы считаем расчетную область состоящей из отдельных ячеек, временно склеенных. Но, если в силу каких-либо условий между соседними ячейками происходит разрыв или сдвиг, то скорости смещений по уравнениям движения рассчитываются для каждой ячейки отдельно.

Предположим теперь, что при аппроксимации уравнений движения координаты и скорости (ускорения) определяются в узлах расчетной сетки. Предположим далее для простоты, что в расчетах используются обычные прямоугольные в начальный момент времени ячейки. Тогда в каждом внутреннем расчетном узле сходятся четыре угла соседних ячеек. Будем такой узел мысленно считать состоящим из 4 точек в плоском случае и из 8 точек - в пространственом. Пока тело сплошное, между этими точками имеются 4 (8) связи и четыре точки сливаются в одну (т.е. для сплошных участков тела эти наборы совпадают). Если разрывающее напряжение в любой связи достигло предела или выполнился иной критерий разрушения, связь рвется. В этом случае для четырех точек разрушенного узла записываются граничные условия с учетом вновь образованных свободных поверхностей. Для точек, соседних к берегам трещины, будут иначе рассчитываться как компоненты скорости, так и компоненты тензора скоростей деформаций. При таком описании каждый расчетный узел состоит из отдельных лагранжевых точек, имеющих при разрушении различные траектории, причем сохраняется взаимнооднозначное соответствие между точками к любых конфигурациях.

Построенную таким образом вычислительную модель мы называем моделью гипоупругой хрупкой среды.

Далее в 4 главе изучено влияния начальных трещин (надрезов) на напряженно-деформированное состояние при отрыве и сдвиге. Получена концентрация напряжений при деформировании среды с имеющимся надрезом, проведено сравнение с результатами, полученными методом фотоупругости. Показано, что вершина трещины отрыва является энергетическим стоком, что имеет теоретическое подтверждение. Показана адекватность применения изложенной методики при решении задач для тел с трещинами.

Последняя, пятая глава посвящена применению модели гипоупругой хрупкой среды и разработанному на ее основе численному методу для решения конкретных задач о деформировании геоматериалов, разрушении их и излучении сейсмических волн. Указывается, что при численном моделировании деформирования горных пород нужно адекватно описывать особенности процесса разрушения. Для этого критерий разрушения должен, прежде всего, учитывать временной характер процесса аккомодации, должен включать в себя параметры, отвечающие за предварительную стадию - накопление микроповреждений, и параметры, относящиеся к потере прочности на макроуровне.

Автор при этом учитывает, что в последнее время, бесспорно, признается необходимость пространственно-временного подхода к процессу разрушения.

Нами используется критерий предложенный В.А.Гридневой с коллегами. Суть его в следующем. Пусть (7 (О - значение той компоненты тензора напряжений, которая определяет разрушение в интересующем нас направлении. Тогда критерий Гридневой запишется в виде:

Здесь С70 - напряжение, при превышении которого в среде происходят микроразрушения; о (0 - текущее значение одной из компонент тензора напряжений.; От - теоретическая прочность материала; подбираемые параметры. Сам интеграл вычисляется только для тех значений <т (г), которые превышают сг0. Для улучшения точности и придания естественного физического смысла целесообразно подсчитывать интеграл в нескольких расчетных ячейках, окружающих данную ячейку.

Изучен характер зависимости скорости роста трещины от параметров, входящих в формулу для критерия; скорость роста трещины меняется в весьма широком диапазоне: от 100 м/с до 1172 м/с.

При выполнении критерия связи, которыми сцеплены соседние ячейки, рвутся. Компонента напряжения, проверяемая в критерии, определяет, какие из четырех связей будут разорваны. Разрыв связей доставляет приращение свободной поверхности (см раздел 4.2).

Далее в пятой главе изучены сейсмические волновые поля, излучаемые при разрушении различного характера - от элементарных скачков до относительно длительного процесса разрушения. Все эти задачи решаются на основе модели гипоупругой хрупкой среды и использованием описанного выше критерия.

Прежде всего, исследованы акты единичных скачков трещин отрыва и сдвига. Построены функции направленности этих источников.

Рассмотрен рост трещины отрыва при постоянной нагрузке. На основе анализа годографов излучаемых волн показано, что рост происходит почти равномерно.

Решена задача о неравномерном распространении трещины отрыва. Показано, при каких условиях этот сценарий может быть реализован на практике. Проводится анализ полевой сейсмограммы, объяснить которую становится возможным по результатам численного моделирования.

Проведено численное моделирование активизации гравитационного оползня. Оползень был представлен в виде прямоугольной призмы. Нижняя грань моделирует формирующуюся поверхность скольжения. Для имитации ослабленной зоны предполагается, что в начальный момент времени половина ячеек на нижней грани может свободно без трения скользить в направлении оси Y - оси направления скатывающей силы, остальные ячейки жестко закреплены. Координаты закрепленных ячеек задаются случайным образом. Такое граничное условие в совокупности с условием на верхней грани приводит к концентрации напряжений у нижней грани.

При расчетах принимается, что по достижении в жестко закрепленной ячейке некоторого порогового (критического) значения напряжения (компоненты а тензора напряжений), она получает возможность свободно двигаться в направлении У, то есть возникает трещина сдвига. Используется пространственно-временной критерий разрушения

Численное моделирование показало, что нагружение верхней грани приводит к концентрации напряжений на нижней грани. По достижении в некоторой расчетной ячейке критического напряжения происходит образование трещины сдвига. В свою очередь, образование трещин сдвига влечет за собой высвобождение упругой энергии, возникают своего рода источники сейсмических волн, случайным образом распределенные по подошве модели.

Для характерной точки на поверхности призмы были построены поляризационные кривые. Характер поляризационных кривых можно сравнить с полевыми наблюдениями. Так, Ю.И.Колесниковым с коллегами проводились наблюдения акустической эмиссии на оползне в долине реки Суусамыр (Северный Тянь-Шань, Киргизия). Ими показано, что в точках наблюдения, находящихся на поверхности средней части оползня (что исключает краевые эффекты), в основном, характерной является малая вертикальная составляющая колебаний и их субгоризонтальная поляризация с ориентацией по основному склону. Это очень хорошо подтверждается полученными в результате расчета данными.

Кроме того, было выполнено моделирование концентрации напряжений в теле оползня для достаточно реалистичной модели. Показано (и это подтверждено физическим моделированием и натурными наблюдениями), что для неустойчивого оползня область растягивающих напряжений смещается к подножию оползневого тела а около верхней бровки появляется проседание пород.

Итак, расчеты подобного рода могут лежать в основе экспериментальных методик, направленных на обнаружение геологических тел, находящихся в состоянии активного деформирования и разрушения с излучением сейсмических волн. А такое поведение геологических тел часто предшествует перерастанию медленного разрушения в катастрофически быстрое.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Немирович-Данченко, Михаил Михайлович

5.6 Выводы.

В пятой главе модель гипоупругой хрупкой среды применяется для решения конкретных прямых динамических задач о деформировании горных пород, разрушении их и излучении сейсмических волн.

Изучен характер акустической эмиссии от элементарных актов разрушения при отрыве и сдвиге. Получено множественное трещинообразование при сдвиговом разрушении.

Исследованы различные сценарии распространения трещин. Показана принципиальная возможность неравномерного (скачкообразного) распространения трещины при сложном нагружении. На основе этих результатов анализируются данные скважинных наблюдений.

Решена задача об активизации гравитационного оползня. Динамический процесс на подошве оползня имитируется трещинами сдвига, распределенными случайным образом. Построены векторные волновые поля скоростей смещений. Для характерной точки наблюдения получены поляризационные кривые. Качественное поведение этих кривых хорошо подтверждается данными, полученными на реальном оползне. С другой стороны, результаты расчета позволяют более корректно интерпретировать данные наблюдений.

Также в главе приводится техника построения неклассических расчетных областей для конечно-разностного моделирования в прямых задачах. Рассмотрен один прием обработки растровых изображений, могущий оказаться полезным при построении моделей реальных сред, в частности, в задачах геофизики и геомеханики. Работа численной схемы с непрямоугольными ячейками демонстрируется на задаче о напряженном состоянии в теле гравитационного оползня. Результаты расчета качественно достаточно хорошо соответствуют опубликованным опытным данным и данным натурных наблюдений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена описанию нового подхода к решению задач сейсмики. В этом подходе методы расчета сейсмических волновых полей сочетаются с методами механики разрушения. Основу подхода составляет модель гипоупругой хрупкой среды, среды, которая деформируется конечным образом, в которой по тем или иным причинам развиваются зоны концентрации напряжений, происходит разрушение, излучение сейсмических волн и дальнейшее их распространение.

В работе на основе предложенного нового подхода решен ряд прямых задач сейсмики.

Теоретическое исследование модели гипоупругой среды привело к получению аналитической связи между касательными напряжениями и скоростью поперечных упругих волн. Такая связь может позволить косвенно определить характер напряженного состояния отдельных участков тектоносферы по свойствам проходящих сейсмических волн. Проведена оценка расщепления поперечных волн для конкретной глубины в одной из моделей Земли.

На основе модели гипоупругой хрупкой среды предложен метод численного решения трехмерных динамических задач о деформировании сред, развитии в них разрушений и выделении сейсмической энергии. Метод позволяет решать конкретные задачи сейсмологии для моделей сред произвольно-неоднородного строения с учетом конечного деформирования среды. Работоспособность метода и степень адекватности описания с его помощью реальных процессов проверена целым рядом модельных задач, некоторые их которых имеют самостоятельный интерес. А именно, численно решены трехмерные задачи о вертикальном воздействии на поверхности однородного изотропного полупространства задача Лэмба), аналогичная задача для трансверсально-изотропной среды, задача о распространении поперечной волны в среде с большими начальными напряжениями.

Численно решены задачи об излучении сейсмических волн трещинами отрыва и сдвига, о равномерном и неравномерном развитии трещин. Проанализировано влияние существующей трещины на деформирование среды. Анализ полученных результатов позволяет давать обоснованную трактовку некоторых полевых наблюдений.

В трехмерной постановке проведено компьютерное моделирование сеисмическои эмиссии от активного гравитационного оползня. Полученные результаты позволили объяснить наблюдаемую в натурном эксперименте преимущественно горизонтальную поляризацию колебаний частиц на поверхности оползня. Показано, что численное моделирование оползневого процесса может быть проведено как для оценки характера акустической эмиссии, вызванной микроразрушениями на подошве оползня, так и для анализа напряженно-деформированного состояния всего склона. Такой анализ может служить теоретической предпосылкой более широкого применения сейсмических методов при исследовании оползней, ♦ выяснении критичности их состояния. При этом степень достоверности оценки напряженного состояния в теле оползня напрямую зависит от того, насколько близка к реальности расчетная область. Для реалистичной модели оползнеопасного склона, для которой в литературе есть данные физического моделирования, проведен расчет напряженного состояния в теле оползня вплоть до потери им устойчивости.

Практическая ценность предложенного подхода, основанного на ^ новой модели гипоупругой хрупкой среды и развитого на его основе метода, состоит в возможности проведения теоретических расчетов и оценок состояния для различных геологических объектов, находящихся в состоянии предразрушения - активных оползней, неустойчивых склонов, приразломных областей. При этом результатом расчета являются не просто поля смещений, напряжений и деформаций, но и распространяющиеся от зон разрушения сейсмические волны.

Модель гипоупругой хрупкой среды и развитый на ее основе метод проверены сопоставлением с натурными экспериментами и с данными физического моделирования. При анализе задачи Лэмба сопоставление проведено с данными физического моделирования, выполненного в Институте геофизики СО РАН. Расчет напряженного состояния вокруг вершины трещины отрыва сопоставлен с практическими результатами, полученными методом фотоупругости и опубликованным в литературе. Оценка характера акустической эмиссии от гравитационного оползня и поля напряжений в таком оползне сопоставлена с полевыми наблюдениями, выполненными Ю.И. Колесниковым (ИГФ СО РАН), а также лабораторными данными, предоставленными О.В. Никольской (ИФиМГП HAH КР). Там, где это было возможно, проводилось сравнение с теоретическими результатами других авторов.

Показано, что модель гипоупругой хрупкой среды и основанный на ней численный метод с высокой степенью достоверности описывают процессы, в действительности протекающие в реальных средах и может быть широко использована при решении фундаментальных и практических задач сейсмики и механики деформируемого твердого тела.

Предложенный подход может быть использован для решения широкого круга задач геофизики и геомеханики. Так, нерешенной пока остается проблема адекватного описания распространения сейсмических волн в трещиноватых средах при наличии концентрации напряжений, инициации роста трещин в проходящих сейсмических волнах. Дальнейшее использование разработанного метода позволит исследовать процессы подготовки землетрясения и собственно акта излучения энергии в наиболее полной на сегодняшний день постановке. Предстоит подробное изучение на реалистичных моделях процессов перехода склонов в неустойчивое состояние для оползней различного генезиса. Этими задачами соискатель и намеревается заняться в дальнейшем.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Немирович-Данченко, Михаил Михайлович, 2004 год

1. Апеексеев А .С., Бабич В.М., Гельчинский Б.Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. - JL, 1961.- №5. -С. 3-24.

2. Алексеев А.С., Гельчинский Б.Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л., 1959. - № 3. - С. 16-47.

3. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, - 1972. - 202 с.

4. Cerveny V., Molotkov I.A., Psencik I. Ray method in seismology. -Prague: Varlovar. Univ., 1977. 367 p

5. Бабич B.M. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов в случае упругой неоднородной анизотропной среды // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Наука, 1961. - Вып. 5. - С. 36-46.

6. Дружинин А.Б., Айзенберг A.M. Асимптотические решения уравнений движения анизотропной среды // Геология и геофизика. -1990.-№ 6.-С. 129-138.

7. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. JL: Наука, 1980. - 280 с

8. Цванкин И.Д., Чесноков Е.М. Волновые поля точечных источников в произвольно-анизотропных средах // Известия АН СССР. Физика Земли. 1989. - № 7. - С. 12-27

9. Тгогеу A. W. A simple theory for seismic diffractions // Geophysics. 1970. - V. 35. - P. 762-784.

10. Haddon R.A., Buchen P. W. Use of Kirchhoffs formula for body wave calculations in the Earth // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1981. - V. 67. - P. 587-598.

11. Scott P., Helmberger D. Applications of the Kirchhoff Helmholtz integral to problems in seismology // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. - 1983. -V. 72. - P. 237-254.

12. Zhu T. A ray-Kirchhoff method for body-wave calculations in inhomogeneous media: theory // Geophys. J.- 1988. V. 92. - P. 181-193.

13. Wu R.-S. Gaussian beams, complex rays, and the analytic extension of the Green's function in smoothly inhomogeneous media // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1985. - V. 83. - P. 93-110

14. Ben-Menahem A., Beydoun W.B. Range of validity of seismic ray and beam methods in general inhomogeneous media. 1. General theory // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1985. - V. 82. - P. 207-234.

15. П.Дружинин А.Б. Краевые волны в анизотропной среде // Геология и геофизика. 1990. - № 3. - С. 118-129.

16. Klem-Musatov K.D., Aizenberg A.M. Seismic modelling by methods of the theory of edge waves // J. Geophys. 1985. - V. 57.- P. 90-105.

17. Klem-Musatov K.D., Aizenberg A.M. The edge wave superposition method (2-D scalar problem) // Geophys. J. Int.- 1989. V. 99.- P. 251267.

18. Hilterman F.J. Three-dimensional seismic modeling // Geophysics. -1970. V. 35. - P. 1020-1037.

19. Keller J.B. Geometrical theory of diffraction // J. Opt. Soc. Am. 1962. -N52. N2.-P. 175-188.

20. Молотков JI.A. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Л.: Наука, 1984. - 201 с.

21. Молотков Л.А. Эффективная модель упругой анизотропной среды с трещинами, заполненными жидкостью // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Наука, 1990. - Т. 29. - С. 14-29.

22. Молотков Л. А., Бакулин А. В. Эффективная модель слоистой упруго-жидкой среды как частный случай модели Био // Математические вопросы теории распространения сейсмических волн. Записки научных семинаров ПОМИ. 1995. - Т. 230. - С. 172195.

23. Numerical methods used in atmospherical models // GARP Publication Series. 1979. - N 17. - V. 11.

24. Orszag S.A. Comparison of pseudospectral and spectral approximation // Stud. Appl. Math. 1972. - N 51. - P. 253-259.

25. Fomberg B. On a Fourier method for the integration of hyperbolic equations // Soc. Industr. Appl. Math., J.Number. Anal. 1975. - N 12. -P. 509-528.

26. Huang B-S., Teng T-L., Yeh Y.T. Numerical modeling of fault-zone waves: acoustic case // Bulletin of the seismological society of America. -1995. V. 85. № 6. - P. 1711-1717.

27. Михайленко Б.Г. Расчет теоретических сейсмограмм для многомерно-неоднородных моделей сред // Условно-корректные задачи математической физики в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск, 1978. - С. 75-88.

28. Михайленко Б.Г. Метод решения динамических задач сейсмики для двумерно-неоднородных моделей сред // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 246. № i.-c. 47-51.

29. Martynov V.N., Michailenko B.G. Numerical modelling of elastic waves in anisotropic inhomogeneous media for the halfspace and the sphere // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1984. - V. 76. - P. 53-63.

30. Martynov V.N., Michailenko B.G. Numerical modelling of propagation of elastic waves in anisotropic inhomogeneous media for the half-space and the sphere // Geophys. J. R. Astr. Soc. 1984. - N 76. -P. 53-63.

31. Mikhailenko B.G. Synthetic seismograms for complex threedimensional geometries using an analytical-numerical algorithm // Geophys. J. R. Astr. Soc. 1984. - N 79,3. - P. 963-986.

32. Mikhailenko B.G., Korneev V.I. Calculation of synthetic seismograms for complex subsurface geometries by a combination of finite integral Fourier transforms and finite-difference techniques // J. Geophysics. -1984. N 54. - P. 195-206

33. Mikhailenko B.G. Numerical experiments in seismic investigations // Journal of Geophysics 1985. -N 58. - P. 101-124.

34. Михайленко Б.Г. Сейсмические поля в сложнопостроенных средах. -Новосибирск: Наука, 1988. 310 с.

35. Seriani G., Priolo Е., Carcione J., Padovani E. High-order spectral element method for elastic wave modeling // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. -1992. P. 1285-1288.

36. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. - 542 с.

37. Вычислительные методы в механике разрушения: Пер. с англ. / Под ред. С.Атлури. М.: Мир, 1990. - 392 с.

38. Дядьков П.Г., Назаров Л.А., Назарова Л.А. Моделирование напряженного состояния земной коры в окрестности сейсмогенного разлома в центральной части Байкальского рифа// Геология и геофизика. 1996. - № 9. -С. 71 -78.

39. Carcione J.M., Seriani G., Priolo E. Wave simulation in 3-D anisotropic-viscoelastic media // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 1251-1254.

40. Hughes, Т., The finite element method, Prentice-Hall, New Yersey, 1987. 567 p.

41. Pereyra V., Richardson E. 3-D finite-element and ray tracing simulation of elastic wave propagation in complex geology // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 1227-1231.

42. Tal-Ezer H., Carcione J.M., Kosloff D. An accurate and efficient scheme for wave propagation simulation in linear viscoelastic media // Geophysics. 1990. - V. 33. P. 1366-1379.

43. Бребия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987

44. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. - 352 с.

45. Eskola L. Geophysical interpretation using integral equations. London: Chapman and Hall, 1992. - 191 p.

46. Гречка В.Ю. Метод граничных интегралов расчета полей смещений в трехмерных вязкоупругих кусочно-однородных средах. I. Фундаментальные решения // Изв. вузов. Физика. 1994. - № 7. - С. 76-81.

47. Гречка В.Ю. Метод граничных интегралов расчета полей смещений в трехмерных вязкоупругих кусочно-однородных средах. И. Матричное представление решения // Изв. вузов. Физика. 1994. - № 9. - С. 39-44.

48. Крауч С., Старфильд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. - 328 с.

49. Ahmad S., Manolis GD Dynamic analys of 3-D structures by a transformed boundary element method // Computational Mechanics. -1987.-V. 2.-P. 185-196.

50. Ahmad S., Rupani A.K. Horizontal impedance of square foundation in layered soil // Soil dynamics and earthquake engineering. 1999. - V. 18. - P. 59-69.

51. Bakamjian B. Boundary integrals: an efficient method for modeling seismic wave // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 1232-1235.

52. Sanchez-Sesma F.J., Campillo M. Difraction of P, SV and Rayleigh waves by topografic features: a boudary integral formulation // Bull Seis.- Soc. Am. 1991. - V. 81. - P. 2234-2253.

53. Vai R., Castillo-Covarrubias J.M. Elastic wave propagation in an irregularly layered medium // Soil dynamics and earthquake engineering. 1999.-V. 18.-P. 11-18.

54. Richtmyer R.D., Morton K.W. Difference methods for initial-value problems // Wiley-Intersci.: New York. 1967. - 405 p.

55. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевыхщзадач. М.: Мир, 1972

56. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. - С. 212- 263.

57. Немирович-Данченко М.М., Стефанов Ю.П. Применение конечно-разностного метода в переменных Лагранжа для расчета волновых полей в сложнопостроенных средах // Геология и геофизика. 1995. Т. 36. -№11. -С. 96-105.

58. Dai N., Kanasewich E.R., Vafidis A. Simulatoin of seismic wave in porous media // 62th Annual international meeting and exposition, societyщ, of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 1293-1296.

59. Vafidis A., Abramovici F. and Kanasewich E.R. Elastic wave propagation using fully vectorized high-order finite-differene algorithms // Geophysics. 1992. - V. 57. -P. 218-232.

60. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress finite-difference method // Geophysics. 1986. - V. 57. - P. 889901.

61. Dablain M. The application of high-order differencing to the scalar wave equation//Geophysics. 1986. - V. 51. - P. 54-66.

62. Inoue Т., Miyatake T. 3-D simulation of near-field strong ground motion based on dynamic modeling // Bulletin of the seismological society of America. 1995. - V. 88. № 6. - P. 1445-1456.

63. Magistrale H., Day S. 3-D simulations of multi-segment thrust fault rupture // Geophysical research letters. 1999. - V. 26. No 14. - P. 20932096.

64. Schmalholz S.M., Podladchikov Y. Buckling versus folding: importance of viscoelasticity // Geophysical research letters. 1999. - V. 26. No 17. -P. 2641-2644.

65. Krebes E.S., Quiroga-Goode G. A standard finite-difference scheme for the time-domain computation of anelastic wavefields // Geophysics. -1994. V. 59. N. 2. - P. 290-296.

66. Zahradnik J., O'Leary P., Sochacki J. Finite-difference schemes for elastic waves based on the integration approach // Geophysics. 1994. -V. 59. N. 6. - P. 928-937

67. Faria E.L., Stoffa P.L. Finite-difference modeling in transversely isotropic media // Geophysics. 1994. - V. 59. - No. 2. - P. 282-289.

68. Harris R. Dynamic 3-D simulations of earthquakes on en echelon faults // Geophysical research letters. 1999. - V. 26. No 14. - P. 2089-2092.

69. Holberg O. Computational aspects of the choice of operator and sampling interval for numerical differentiation in large-scale simulation of wave phenomena // Geophysical prospecting. 1987. - V. 35. - P. 629-655.

70. Trefethen L.N. Group velocity in finite difference schemes // Society of industrial and applied mathematics review. 1982. - V. 24. - P. 113-136.

71. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. J1.: Судостроение, 1972.-374 с

72. Virieux J., Madariaga R. Dynamic faulting studied by a finite difference method // Bull Seism. Soc. Am. 1982. - V. 72. - P. 345-369.

73. Nielsen P., If F., Per Berg and Ove Skongaard Using the pseudospectral method on curved grids for 2D elastic forward modelling // Geophysical Prospecting. 1995. - V. 43. - P. 369-395.

74. Berg P., If F., Nielsen P., and Skongaard O. Diffraction by a wedge in an acoustic medium with combined velocity and density contrasts //щ

75. Submitted to geophysical prospecting. 1993.

76. Nielsen P. Numerical modelling of seismic waves: on the elimination of grid artifact / Norsk Hydro Research Center, N-5020, Bergen, Norway, 1994. 47 p.

77. Lamb H. On the propagation of tremors over the surfase of an elastic solids // Phil, trans, roy. soc. of London. S. A. 1904. - V. 203. - P. 1-42.

78. Ляв А. Математическая теория упругости / Пер. с англ. М. - Л.: ОНТИ, 1935. - 674 с.

79. Смирнов В.И., Соболев С.Л. О применении нового метода к изучению упругих колебаний // Труды сейсмологического ин-та. -1932.-№20.

80. Cagniard L. Reflexion et refraction des ondes seismigues progressives, Paris, Ganthier, Villars. 1939

81. Петрашень Г.И., Марчук Г.И., Огурцов К.И. О задаче Лэмба в случае полупространства // Учен. зап. ЛГУ. 1950. - Вып. 21. - № 135. С. 71-118.

82. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, 1979. - 272 с

83. Алексеев А.С., Михайленко Б.Г. О задаче Лэмба для неоднородного полупространства // ДАН СССР. 1974. - Т. 214. - С. 84-86.

84. Назаров Л.А. Исследование поля напряжений в упругом полупространстве при касательной сосредоточенной динамической нагрузке на его поверхности // ФТПРПИ. 1982. - № 3. - С. 41-46.

85. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. - 236 с.

86. Слепян Л.И. О взаимодействии пластины с жидкостью при ударе // Инж. ж-л, МТТ. 1966. - № 6.

87. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972.-374 с.

88. Стефанов Ю.П. Численное моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных твердых тел под действием механических нагрузок: Диссертация . канд. физ.-мат. наук. Томск, 1999.- 177 с.

89. Чичинин И.С. Вибрационное излучение сейсмических волн. М.: Недра, 1984. - 224 с.

90. Гадолин А.В. Выводы всех кристаллографических систем и их подразделений из одного общего начала. JL: Изд-во АН СССР, 1954. - 157 с.

91. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М., Наука, 1965. - 388 с.

92. Будаев B.C. Корни характеристического уравнения и классификация упругих анизотропных сред // Известия АН СССР. МТТ. 1978. - № 3. - С. 33-40.

93. Зарембо J1.K., Красильников В.А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах // Успехи физических наук. 1970. - Т. 102. Вып. 4. - С. 550-584.

94. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. -М.: Наука, 1975. 680 с.

95. Физическая акустика. Методы и приборы ультразвуковых исследований / Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1966. - Т. 1. - Ч. А. -592 с.

96. Crampin S.A. A review of wave motion in anisotropic and cracked elastic media // Wave motion. 1981. - V 3. - P. 343-391.

97. Сибиряков Б.П., Максимов Jl.A., Татарников M.A. Анизотропия и дисперсия упругих волн в слоистых периодических структурах. Новосибирск: Наука, 1980. 72 с.

98. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов. Пер. с франц./Под ред. В.В. Леманова. М.: Наука. 1982, - 424 с.

99. Biot, М. A. Non-linear theory of elasticity and the linearized case for a body under initial stress// Philosophical Magazine, Series 7 27,468489. 1939

100. J. Duffy, R. Mindlin Stress-strain relations and Vibrations of a granular medium//J. Appl. Mech, 24, 1957, pp. 585-593

101. Biot, M. A Mechanics of incremental deformations. New York, John Wiley & Sons, Inc. 1965.

102. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Известия Академии наук СССР. Серия географическая и геофизическая. Т. VIII. № 4. С. 133-149.

103. Biot М.А. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid, I.: Low-frequency range // J. Acoust. Soc. Am. -1956a. V. 28.-P. 168-178.

104. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid, II.: Higher frequency range // J. Acoust. Soc. Am. 1956b. V. 28.-P. 179-191.

105. Уайт Дж. Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн. М.: Недра, 1986. - 261 с.

106. Rosenbaum J.H. Synthetic microseismograms-Logging in porous formations // Geophysics. 1974. - V. 39. - P. 14-32.

107. Gassman F. Elastic waves through a packing of spheres //Geophysics. 1951b. - V. 16. - P. 673-685.

108. Geertrma J., Smit D.C. Some aspects of elastic wave propagation in fluid-saturated porous solids // Geophysics. 1961. - V. 26. -P. 169-181.

109. Walsh J.B. The effect of cracks on the compressibility of rock // J. Geophysics Res. 1965. - V. 70. - P. 381-389.

110. Mavko G., Chan C„ Mukerji T. Fluid substitution: Estimation changes in Vp without knowing Vs // Geophysics. 1995. - V. 60. - No. 6. -P. 1750-1755.

111. Mavko G., Mukerji T. Seismic pore space compressibility and Gassmann4s relation // Geophysics. 1995. - V. 60. - No. 6. - P. 17431749.

112. Zimmerman R.W. Compressibility of sandstones // Elsevier science publ. 1991.

113. Dvorkin J., Nolen-Hoeksema R., Nur A. The squirt-flow mechanism: macroscopic description // Geophysics. 1994. - V. 59. - No 3. - P. 428-438.

114. Dvorkin J., Nur A. Dynamic poroelasticity : a unified model with the squirt and the Biot mechanisms // Geophysics. 1993. - V. 58. - P. 524-533.

115. Mavko G., Nur A. Melt squirt in asthenosphere // JGR. 1975. - V. 80.-P. 1444-1448.

116. Mavko G., Nur A. Wave attenuation in partially saturated rocks // Geophysics. 1979. - V. 44. - P. 161-178.

117. Dvorkin J. and Nur A. . Dynamic poroelasticity : a unified theory with the squirt and the Biot mechanisms // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 620-622.

118. Николаевский B.H. Геомеханика и флюидодинамика. M.: Недра, 1996.-447 с.

119. Nicolaevskiy V.N. Mechanics of porous andfractured media // Singapore: World scientific. 1990. - 420 p.

120. Hornby В., Schwartz L.M., Hudson J.A. Anisotropic effective-medium modeling of the elastic properties of shales // Geophysics. 1994. - V. 59. - No. 10. - P. 1570-1583.

121. Mukerji Т., Mavko G. Pore fluid effects on seismic velocity in anisotropic rocks // Geophysics. 1994. - V. 59. - No. 2. - P. 233-244.

122. Mavko G., Mukerji Т., Godfrey N. Predicting stress-induced velocity anisotropy in rocks // Geophysics. 1995. - V. 60. - No. 4. - P. 1081-1087.

123. Vernic L. Hydrocarbon-generation-induced microcracking of source rocks // Geophysics. 1994. - V. 59. - No. 4. - P. 555-563.

124. Егоров Г.В. Нелинейное взаимодействие продольных сейсмических волн в пористых флюидонасыщенных средах // Геология и геофизика. 1995. - Т. 36. - № 5. - С. 110-117.

125. Jaumann G. Die Grundlagen der Bewegungslehre, Leipzig, 1905.

126. Jaumann G. Sitzungsberichte Akad. Wiss. Wien (Ila), 120 (1911), 385.

127. Truesdell C. J. Ration. Mech. and Analysis, 4 (1955), 83.

128. В. Прагер Введение в механику сплошных сред. М: ИЛ, 312с.

129. Жермен П Курс механики сплошных сред. Общая теория. М.: Высшая школа, 1983. - 399 с

130. Демидов В.Н., Корнеев А.И. Схема распада разрыва в подвижных сетках для расчета течений сжи&шмой упруго-пластической среды. В кн.: Механика деформируемого твердого тела. Томск: Изд-во Томского университета, 1985. с. 19 - 29.

131. Роменский Е.И. . Hypoelastic form of equations of nonlinear elasticity theory. Journ. Appl. Mech. Techn. Phys., Vol. 15, No 2, 1974, pp. 133-138.

132. Бушманова О.П. Применение метода конечных элементов для решения плоской задачи несжимаемой гипоупругости. Аналитические и численные исследования в механике горных пород. Новосибирск, 1987

133. А.С. Финошкина. Использование новых объективных производных в простейших моделях гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением// Известия Тульского госуниверситета, 2000. Том 6. Выпуск 2. Механика, с 160

134. Renardy М., Roges R. , Shock conditions for hypoelastic materials//, Theor. Сотр. Fluid Dyn. 5 (1993), pp. 162-170

135. Elwi, A.E. and Murray, D.W.,. A 3D Hypoelastic Concrete Constitutive Relationship//Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 1979, 105(4), pp. 623-642.

136. Kwon M., Spacone E. Three-dimensional finite element analyses of reinforced concrete columns//Computer and Structures, 2002, 80, 199-212

137. Petho A. Constitutive modeling of shape memory alloys based on a finite strain description//Periodica Polytechnica Ser. Mech. Eng. , 2000, 44,1,115-126

138. Svendsen В., Hutter K., Laloui L. Constitutive models for granular materials including quasi-static factional behaviour: Toward a thermodynamic theory of plasticity//Continuum Mech. Thermodyn. 4, 263-275

139. Kolymbas D. A rate-dependent constitutive equation for soils //Mech. Res. Comm., 1977.4:367-372

140. Kolymbas D. An outline of hypoplasticity// Archive of Applied Mechanics, 1991,61:143-151

141. Wu W., Sikora Z. Localized bifurcation in hypoplasticity// International Journal of Engineering Science, 1991,29(2): 195—201

142. Kolymbas D., Rombach G. Shear band formation in generalized hypoelasticity// Ingenieur-Archiv, 1989 , 59, 177-186

143. Tejchman J., Bauer E. Numerical simulation of shear band formation with a polar hypoplastic constitutive model// Computers and Geotechnics, 1996. Vol. 19, No. 3, 221-244

144. Bauer E. Analysis of shear band bifurcation with a hypoplastic model for a pressure and density sensitive granular material// Mechanics of Materials, 1999,31,597-609

145. Wu W. Nonlinear analysis of shear band formation in sand// International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2000, 24,245-263

146. Bauer E., Wu W. A hypoplastic constitutive model for cohesive powders//Powder Technology, 1995, 85:1—9

147. Gudehus G. A comprehensive constitutive equation for granular materials// Soils and Foundations, 1996, 36(1): 1—12

148. Wu W., Bauer E. A simple hypoplastic constitutive model for sand.// International Journal of Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 1994, 18:833-862

149. Wu W., Bauer E., Kolymbas D. Hypoplastic constitutive model with critical state for granuar materials// Mechanics of Materials, 1996, 23:45-69

150. Колимбас Д., Лавриков C.B., Ревуженко А.Ф. Однородное деформирование сыпучей среды. Теория и эксперимент// ПМТФ, 6, 1994, с. 114-121.

151. Osinov V. A. Theoretical investigation of large-amplitude waves in granular soils//Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 1998. 17:1328

152. Wu W., Kolymbas D. Numerical testing of the stability criterion for hypoplastic constitutive equations// Mechanics of Materials, 1990, 9:245-253

153. Березин Ю.А., Сподарева JI.A. Продольные волны в сыпучих средах// ПМТФ, 2, 2001, с. 148-152

154. Harris R.A., Day S.M. Dynamic 3D simulations of earthquakes on en echelon faults// Geophysical Research Letters, 1999. Vol. 26, N 14, pp. 2089-2092

155. Piersanti A., Spada G, Sabadini R. Global postseismic rebound of a viscoelastic Earth.//Journal of Geophysical Research, 1997. Vol. 102, N Bl, pp. 477-492

156. Гольдин C.B Деструкция литосферы и физическая мезомеханика //Физическая мезомеханика, 2002, том 5, № 5, с 5-23

157. Zapperi S., Vespignani А., Н. Eugene Stanley Plasticity and avalanche behaviour in microfracturing phenomena // Nature. 1997. - V. 388. - P. 658-660.

158. Гриднева В.А., Немирович-Данченко M.M. Метод раздвоения точек сетки для численного расчета разрушения твердых тел. -Томск, 1983. 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.06.83, № 3258.

159. Моги К. Предсказание землетрясений. : Пер. с англ. М.: Мир, 1988.-382 с

160. Буллен К.Е. Плотность Земли. -М.: Мир, 1978. 442 с.

161. Jeffreys Н., On the hydrostatic theory of the figure of the earth, Geophys. J., V 8, 196-202,1963

162. Гзовский M.B. Современные возможности оценки тектонических напряжений в земной коре. В сб.: "Тектонофизика и механические свойства горных пород". Изд-во "Наука", 1971 г., с. 537.

163. Фогт П.Р., Шнейдер Э.Д., Джонсон Г.Л. Кора и верхняя мантия под океанами. В кн.: Земная кора и верхняя мантия, М. Мир, 1972, с 481-550.

164. Ранкорн С.К. Конвекция в мантии. - В кн.: Земная кора и верхняя мантия, М. Мир, 1972, с 602-610.

165. Crampin S. Shear-wave splitting in a critical crust: the next step//Revue de llnstitut Francais du petrole. Vol. 53. № 5, 1998. - pp 749 -763

166. Tocher D., Anisotropy in rocks under simple compression/ZTrans. Am. Geophys. Union, 1957, Vol. 38, pp.89-94

167. Немирович-Данченко M.M. Численное моделирование трехмерных динамических задач сейсмологии // Физ. мезомеханика, 2002 г., Т.5 №5, с 99-106

168. Крючкова В.В., Немирович-Данченко М.М. Численное моделирование распространения акустических волн в анизотропных средах. // Физическая мезомеханика 1999. - Т.2. - № 1-2 - С. 43-48.

169. Гик Л.Д. Сейсмическое моделирование сложнопостроенных структур. Новосибирск: Наука. - 1983. - 118 с.

170. Nemirovich-Danchenko М.М. Stress concentration, fracture and generation of elastic waves. In : EGS XXII General Assembly, Vienna, Austria, 21-25 April 1997.

171. Bonnan S., Hereil P-L., Collombet F. Experimental characterization of quasi static and shock wave behavior of porous aluminum // Journal of applied physics. 1998. - V. 83. - No.l 1. -P. 5741-5749.

172. McGarr A., Spottiswoode S.M., Gray N.C., Ortleep W.D. Observation relevant to seismic driving stress, stress drop and efficiency// J. Geophys. Res., 84,2251-2261, 1979.

173. Rice J.R., The Mechanics of Earthquake Rupture. In: Physics of the Earth's Interior, Amsterdam, North-Holland, 1980.

174. Kame N. & Yamashita T. Dynamic nucleation process of shallow earthquake faulting in a fault zone// Geophys. J. Int. (1997) 128 (1), pp. 204-216

175. Olsen К. В. and Archuleta R.J. Three-Dimensional Simulation of Earthquakes on the Los Angeles Fault System // Bull, of the Seismological Society of America, Vol. 86 No. 3.

176. Шоки Д., Симен JI., Керрен Д. Расчет распространения и остановки трещины на основе моделирования микроразрушения в ее вершине// Механика разрушения. Быстрое разрушение, остановка трещин. М.: Мир. 1981. -С. 120-133

177. Киселев А.Б., Юмашев М.В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель повреждаемой термоупругой среды.// ПМТФ. 1990. - №5

178. Кфури А., Райе Дж. Скорость высвобождения энергии деформации трещины при увеличении ее размера на конечную величину в упругопластической среде// Механика разрушения. Разрушение материалов. М.: Мир, 1979. - С. 19-39

179. Кобаяси Т., Делли Д. Зависимость между скоростью трещины и коэффициентом интенсивности напряжений в полимерах с двойным лучепреломлением// Механика разрушения. Быстрое разрушение, остановка трещин. М.: Мир. 1981. - С. 101-119.

180. Кобаяши А. Исследование разрушения поляризационно-оптическим методом. В кн.: Разрушение. М.: Мир, 1976. Т. 3. -352 с.

181. Atkinson С., Echelby J. D. The flow of energy into the tip of a moving cracks // Int. J. Fracture Mech., 1968, Vol. 4(1), pp. 3-8.

182. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов. Под ред. В.Е.Панина. Новосибирск, Наука, 1995 г.

183. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. «Квантовая» природа и двойственный характер динамики разрушения твердых тел // ДАН, 2002, том 382,№2, с. 206 209

184. Гриднева В. А., Корнеев А. И., Трушков В. Г. Численный расчёт напряжённого состояния и разрушения плиты конечной толщины при ударе бойками различной формы // Известия АН СССР. МТТ. № 1. с. 146-157

185. Steverding В., Werheiser A. A model for dynamic fracture // J. Mech. Engng Sci., !971, vol. 13. № 3.

186. Ржевский В. В. Новик Г. Я. Основы физики горных пород. М., «Недра», 1978. 390 с.

187. Lin Т.Н. Physical theory of plasticity, Advances in Applied Mechanics, vol. 11, 1971, p. 255-311.

188. В.Н.Костюченко, Г.Г.Кочарян, Д.В.Павлов Деформационные характеристики межблоковых промежутков различного масштаба //Физическая мезомеханика, 2002, том 5, № 5, с 23-43

189. Ружич В.В, Трусков В.А., Черных Е.Н., Смекалин О.П. Современные движения в зонах разломов Прибайкалья и механизмы их инициирования //Геология и геофизика. 1999. - Т. 40. - № 3. — С. 360-372

190. Vai R., Castillo-Covarrubias J.M. Elastic wave propagation in an irregularly layered medium // Soil dynamics and earthquake engineering. 1999.-V. 18.-P. 11-18.

191. Немирович-Данченко M.M., Колесников Ю.И. О различных сценариях распространения трещин в геоматериалах//Физ. мезомеханика, 2003 г., Т.6, № 1, с 33-40

192. Колесников Ю.И., Бабушкин С.М., Дучков А.Д. и др. Изучение геофизическими методами структурных и геодинамических особенностей оползневого сколона в долине р. Суусамыр// Геология и геофизика. 2001. - Т. 42. - № 10. - С. 1574-1584.

193. Montgomery S.L. Raster logs may be basic for a geological workstation. // Oil&Gas Journal. 1997, № 14. - P. 84-88

194. Balch A.H. Color sonagrams a new dimension in seismic data interpretation // Geophysics, 36, No. 6, 1074-1098, 1971.

195. Verm R., Hilterman F. Lithology color-coded seismic sections: the calibration of AVO crossplotting to rock properties // The Leading Edge. 1995. - Vol. 14, № 8. - P. 847-853

196. И.Т.Айтматов, К.Ч.Кожогулов, О.В.Никольская Геомеханика оползнеопасных склонов. Бишкек: Изд-во "Илим", 1999. 208 с.