Численное моделирование деформирования и разрушения анизотропных сред: на примере озерного льда тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Мельникова, Наталья Александровна

• Мельникова, Наталья Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мельникова, Наталья Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

1 НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА.

1.1 Модели, используемые при описании деформирования конденсированных сред на разных масштабных уровнях.

1.2 Полуаналитические и численные методы вычисления упругих волновых полей в анизотропных средах.

1.3 Некоторые подходы к описанию разрушения твердых тел.

2 ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ.

СРЕД: ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И РАЗНОСТНАЯ СХЕМА.

2.1 Некоторые сведения из кристаллографии.

2.2 Определяющие соотношения гипоупругой модели. Уравнение Кристоффеля.

2.3 Конечно-разностная схема Уилкинса и ее линеаризация.

2.4 Численное описание разрушения.

2.5. Общее замечание о критериях разрушения.

2.6 Выводы.

3 ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ УПРУГИХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ И РАЗРУШЕНИЯ В АНИЗОТРОПНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

3.1 Расчет волнового поля от действия сосредоточенного источника в изотропной и анизотропной средах (задача Лэмба).

3.2 Задача о падении плоской волны на анизотропную среду и среду с анизотропным включением.

3.3 Расчет распространения трещины I типа.

3.4 Выводы.

4 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД (НА ПРИМЕРЕ ОЗЕРНОГО ЛЬДА).

4.1 Лед как анизотропная среда.

4.2 Об обработке растровых изображений.

4.3 Упругое деформирование пресного льда.

4.4 О возможном механизме разрушения озерного льда.

4.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование деформирования и разрушения анизотропных сред: на примере озерного льда»

Объектом исследования являются анизотропные среды, состоящие из гексагональных кристаллов произвольной ориентации, и особенности численного моделирования динамических процессов деформирования в этих средах вплоть до разрушения.

Актуальность темы

При численном решении динамических задач механическое поведение анизотропных сред часто моделируется макроскопически однородной средой с эффективными свойствами. При этом считается, что среда изотропна, а ее прочностные свойства в точке характеризуются некоторой величиной. Однако ряд проблем прочности (например, таких, как прочность структурно-неоднородных материалов) решается только в масштабах нескольких зерен, блоков, кристаллов. На таком масштабном уровне анизотропия упругих свойств отдельного структурного элемента существенно влияет на процессы деформирования, и в краевой задаче для неоднородной среды необходимо учитывать ориентацию каждого элемента.

Задачи деформирования и разрушения анизотропных сред являются, бесспорно, существенно трехмерными. Численная реализация таких задач сопряжена с созданием довольно сложных, трудоемких алгоритмов, требующих больших машинных ресурсов. Поэтому в диссертационной работе сделаны следующие упрощения: структура рассматриваемого анизотропного материала и характер прикладываемых нагрузок выбираются так, что материал оказывается в условиях плоской деформации. Такие предположения позволяют решать задачи деформирования и разрушения анизотропных сред в двумерной постановке. Для сред с гексагональной симметрией это возможно в силу их трансвер-сальной изотропии по упругим свойствам.

Гексагональной симметрией обладают ряд металлов и их сплавы, однородные изотропные тела с плоскопараллельной системой трещин, многие природные материалы, в том числе широко распространенный пресный лед.

Понимание поведения льда важно при рассмотрении таких проблем, как использование ледяного покрова акваторий, строительство изо льда, защита водозаборных и гидротехнических сооружений от воздействия льда, добыча полезных ископаемых в районах вечной мерзлоты. Работ, посвященных деформированию и разрушению (с образованием отдельных трещин) анизотропных сред на мезоуровне в настоящее время имеется лишь небольшое количество, как экспериментальных, так и теоретических.

В диссертационной работе получен численный алгоритм для решения задачи об упругом деформировании и упруго-хрупком разрушении мезообъема анизотропной среды с образованием и распространением отдельных трещин в двумерной постановке в условиях плоской деформации. Как частный случай рассмотрен поликристаллический пресный лед.

До сих пор численное исследование разрушения пресного льда на мезоуровне (масштаб зерен, кристаллов) с образованием отдельных трещин не проводилось. Таким образом, теоретическое изучение деформирования и разрушения анизотропных кристаллических сред с гексагональной симметрией представляется актуальным.

Целью диссертационной работы является изучение особенностей процессов деформирования мезообъема анизотропной среды, состоящего из нескольких разноориентированных гексагональных кристаллов, вплоть до разрушения.

Для достижения сформулированной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработать методика численного расчета поведения анизотропных сред при деформировании вплоть до разрушения с описанием образования и роста трещин на основе метода раздвоения точек сетки.

2. Создать алгоритм явного описания неоднородной структуры с учетом разной ориентации кристаллов на мезоуровне. Для этого разработать специальный алгоритм обработки растровых изображений.

3. Модифицировать и адаптировать численный метод для расчета деформирования и разрушения анизотропных сред с возможностью явного учета плоскостей скольжения.

Научная новизна и практическая ценность работы

1. Создана методика численного расчета поведения анизотропных сред при деформировании вплоть до разрушения с образованием и ростом трещин на основе конечно-разностного моделирования с использованием метода раздвоения точек сетки.

2. Сделан учет различной ориентации кристаллов на мезоуровне с возможностью последующего моделирования разрушения с образованием и ростом трещин в алгоритме явного описания неоднородной структуры.

3. Проведены численные исследования деформирования поликристаллов льда вплоть до разрушения.

4. Предложенный и развитый в диссертационной работе подход позволяет учитывать такие реальные свойства твердых тел, как неоднородность, анизотропия, сложная геометрия внутренних и внешних границ. Это имеет определенное значение при решении ряда практически важных задач о деформировании и разрушении реальных тел. Алгоритм для расчета деформирования и разрушения анизотропных сред на основе модифицированного и адаптированного численного метода с применением метода раздвоения точек сетки используется в настоящее время в ИНГГ СОР АН и на кафедре геофизики ТПУ.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Проведенная модификация классического метода Уилкинса делает возможным численно решать задачи о деформировании анизотропных сред, образовании в них трещин и росте этих трещин.

2. Разработанный подход к описанию неоднородных сложнопостроенных сред позволяет адекватно рассчитывать деформационный отклик поликристаллической среды на мезоуровне, т.е. для нескольких кристаллов, с учетом различной ориентации последних.

3. Численно исследовано деформирование монокристалла льда для различных углов ориентации кристаллографической оси; показана возможность явного учета плоскостей скольжения.

4. Численно исследовано поведение трещины при достижении ее вершиной границ зерен. Получено ветвление трещины при определенном угле между направлением трещины и главными кристаллографическими осями зерен.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечиваются выбором адекватной математической модели для описания анизотропной среды, корректностью математической постановки решаемых задач, использованием апробированного численного метода, решением модельных и тестовых задач, для которых проведено сравнение с аналитическими, экспериментальными или численными результатами других авторов.

Апробация результатов исследования и публикации

Основное содержание работы опубликовано в 13 работах, из них 2 статьи опубликованы в журнале из списка ВАК.

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Международной конференции «Сопряженные задачи механики и экологии» (Томск, 1996), V Всероссийской научно-технической конференции молодежи «Механика летательных аппаратов и современные материалы» (Томск, 1998), Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 1998), Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в синергетических системах» (Улан-Удэ - Томск, 1999), Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (Томск, 2006 и 2009), школе-семинаре «Геомеханика и геофизика» (Новосибирск, 2008), Всероссийской конференции «Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии» (Томск, 2009).

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка цитированной литературы, состоящего из 205 наименований. Общий объем работы - 165 страниц машинописного текста.

Во введении обосновывается актуальность и новизна исследования, раскрывается его теоретическая и практическая значимость, формулируются цели и задачи, излагаются основные положения, выносимые на защиту.

Первый раздел содержит обзорный материал по полуаналитическим и численным методам вычисления упругих волновых полей в анизотропных средах, по моделям сред, используемых при описании деформирования и разрушения твердых тел. Рассмотрены некоторые подходы к описанию разрушения конденсированных сред.

Во втором разделе приведены необходимые, на взгляд автора, сведения из кристаллографии, записаны основные уравнения гипоупругой среды, поставлена задача об упругом деформировании анизотропной среды. Здесь же изложена конечно-разностная схема Уилкинса и ее модификация для анизотропных сред. Приведена методика численного описания упруго-хрупкого разрушения, основанная на идее раздвоения точек расчетной сетки, и обоснован выбор критерия разрушения.

Третий раздел посвящен созданию и отладке пакета программ для расчета волновых полей в произвольно неоднородных средах с различной ориентацией кристаллических зерен и моделирования процесса распространения хрупкой трещины отрыва в таких средах. Для проверки правильности работы алгоритма решен ряд тестовых задач: задача о действии сосредоточенного источника на полупространство (задача Лэмба) для изотропной и анизотропной сред; задача о падении плоской волны на монокристалл цинка, ось которого повернута относительно оси задачи на произвольный угол, и на изотропную среду с анизотропным включением; задача о растяжении образца с трещиной. Показаны особенности, которые привносит в напряженно-деформированное состояние трещина с острой вершиной. Получены волновые поля, излучаемые при распространении трещины. Результаты сравниваются с известными теоретическими данными и результатами физических и численных экспериментов.

Четвертый раздел посвящен численному исследованию упругого деформирования и хрупкого разрушения пресного льда. В начале раздела приведены обзорные данные по физико-механическим свойствам льда. Далее проведен анализ волнового поля в задаче Лэмба и построены кривые фазовых скоростей и медленностей для монокристалла льда. Решены задачи о деформировании монокристаллов льда при различных ориентациях главной кристаллографической оси относительно направления прилагаемой нагрузки и задача о ветвлении трещины при ее взаимодействии с границей зерен.

При решении задач о деформировании монокристаллов льда рассмотрены два случая: с явным учетом и без явного учета плоскостей скольжения. В каждом случае кристаллографическая ось С составляла различные углы с направлением прилагаемой нагрузки. Для каждого случая сделан вывод о том, что при различных ориентациях оси С напряженно-деформированные состояния монокристаллов качественно и количественно различны.

В результате решения задачи о взаимодействии трещины с границей произвольно ориентированного зерна показано, что в случае, когда кристаллографическая ось зерна не коллинеарна линии трещины, дальнейшее распространение трещины происходит не вглубь зерна, а по его границам.

Результаты, полученные в четвертом разделе, не противоречат теоретическому представлению изучаемых процессов, качественно хорошо соответствуют данным физического моделирования.

В заключении приводятся основные результаты и выводы диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Мельникова, Наталья Александровна

4.5 Выводы

На основе численного моделирования с использованием методологии раздвоения точек сетки рассмотрен случай разрушения анизотропной среды при деформировании. В качестве объекта исследования взят анизотропный озерный лед. Наличие в литературе сведений о результатах лабораторного моделирования предопределило совокупность решаемых задач. Это задачи о деформировании монокристаллов льда при различных ориентациях главной кристаллографической оси относительно направления прилагаемой нагрузки и задача о ветвлении трещины при падении на границу зерен.

При решении задач о деформировании монокристаллов льда рассмотрены два случая: без учета и с учетом плоскостей скольжения. В каждом случае кристаллографическая ось С имела две ориентации: коллинеарно и перпендикулярно направлению прилагаемой нагрузки. Сделан вывод о том, что при различных ориентациях оси С напряженно-деформированные состояния монокристаллов качественно и количественно различны.

Решена задача о падении трещины на границу произвольно ориентированного зерна. Показано, что в случае, когда кристаллографическая ось зерна не коллинеарна линии трещины, дальнейшее распространение трещины происходит не вглубь зерна, а по его границам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы над диссертацией проведено теоретическое исследование деформирования вплоть до разрушения анизотропных сред на основе конечно-разностного моделирования с использованием метода раздвоения точек сетки. Рассмотрены среды с гексагональной симметрией (цинк и лед). Результаты исследований имеют существенное значение как для развития новых фундаментальных подходов к описанию деформирования и разрушения анизотропных сред, так и для механики деформируемого твердого тела в целом.

При построении физико-математической модели важными были следующими моменты. Во-первых, принято, что среда, которая ведет себя на уровне отдельных частиц как упруго-хрупкая, на макроуровне хорошо описывается соотношениями упруго-пластичности. Во-вторых, для существенно трехмерных задач деформирования и разрушения анизотропных сред, численная реализация которых сопряжена с созданием довольно сложных, трудоемких алгоритмов, сделан ряд упрощений, позволяющих решать такие задачи в двумерной постановке в условиях плоской деформации. Для сред с гексагональной симметрией это возможно в силу их трансверсальной изотропии по упругим свойствам.

В третьих, гипоупругость вводится на этапе написания определяющих соотношений, а хрупкость - на этапе численных расчетов. Таким образом, построена физико-математическая модель упруго-хрупкой анизотропной среды (на примере среды с гексагональным строением) и развита методика, позволяющая изучать процессы деформирования и разрушения с образованием свободных поверхностей произвольно неоднородных сред в условиях плоской деформации.

Решены несколько модельных задач в двумерной постановке для условий плоской деформации.

Для задачи Лэмба в изотропном полупространстве сопоставление проводится с имеющимися данными физического моделирования. Для расчета волнового поля в анизотропной среде (цинке) результаты сравниваются с теоретическими. Приводятся зоны области рефракции (области неоднозначности волновых поверхностей), лучевые поверхности. Сравнение проводится с аналитическими волновыми поверхностями для кристалла цинка. Сравнение теоретических лучевых поверхностей и результатов численного моделирования говорит о применимости модели гипоупругой среды и численного алгоритма к решению прямых волновых задач для сред с гексагональной симметрией.

Изучено влияние начальной трещины (надреза) на напряженно-деформированное состояние при отрыве. Получена концентрация напряжений при деформировании среды с имеющимся надрезом, проведено сравнение с результатами, полученными методом фотоупругости. Показано, что вершина трещины отрыва является энергетическим стоком, что имеет теоретическое подтверждение. Таким образом, разработанный алгоритм может быть использован для расчетов распространения упругих волн в поликристаллических средах на мезоуровне и для решения задач для тел с трещинами.

На основе численного моделирования с использованием методологии раздвоения точек сетки рассмотрен случай разрушения анизотропной среды при деформировании. В качестве объекта исследования взят анизотропный озерный лед. Наличие в литературе сведений о результатах лабораторного моделирования предопределило совокупность решаемых задач. Это задачи о деформировании монокристаллов льда при различных ориентациях главной кристаллографической оси относительно направления прилагаемой нагрузки и задача о ветвлении трещины при ее взаимодействии с границей зерен.

При решении задач о деформировании монокристаллов льда рассмотрены два случая: без учета и с учетом плоскостей скольжения. В каждом случае кристаллографическая ось С имела две ориентации: коллинеарно и перпендикулярно направлению прилагаемой нагрузки. Сделан вывод о том, что при различных ориентациях оси С напряженно-деформированные состояния монокристаллов качественно и количественно различны.

Решена задача о взаимодействии трещины с границей произвольно ориентированного зерна. Показано, что в случае, когда кристаллографическая ось зерна не коллинеарна линии трещины, дальнейшее распространение трещины происходит не вглубь зерна, а по его границам. Результаты, полученные в четвертом разделе, качественно хорошо соответствуют данным физического моделирования.

Таким образом, получены следующие основные результаты:

1. Проведена модификация классического метода Уилкинса, она позволяет численно решать задачи о деформировании анизотропных сред, образовании в них трещин и росте этих трещин.

2. Разработан подход к описанию неоднородных сложнопостроенных сред, который позволяет адекватно рассчитывать деформационный отклик поликристаллической среды на мезоуровне, т.е. для нескольких кристаллов, с учетом различной ориентации последних.

3. Численно исследовано деформирование монокристалла льда для различных углов ориентации кристаллографической оси; показана возможность явного учета плоскостей скольжения.

4. Проведен расчет взаимодействия трещины с границей зерен. Получено ветвление трещины при определенном угле между направлением трещины и главными кристаллографическими осями кристаллов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мельникова, Наталья Александровна, 2010 год

1. Адамов А.А., Голотина Л.А., Кожевникова Л.Л. и др. Проблема конти-нуализации для зернистых композитов на основе анализа их мезоуровня // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 3. - С. 109-113.

2. Айзенберг-Степаненко М.В., Шер Е.Н. Моделирование волновых явлений в структурированных средах // Физ. мезомех. 2007. - Т. 10. - № 1. - С. 47-57.

3. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология: Теория и методы: В 2-х т. / Пер. с англ. М.: Мир, 1983. - 520 с.

4. Алеексеев А.С., Бабич В.М., Гельчинский Б.Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л., 1961. - № 5. - С. 3-24.

5. Алексеев А.С., Гельчинский Б.Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. -Л., 1959. -№3.- С. 16-47.

6. Алексеев А.С., Михайленко Б.Г. О задаче Лэмба для неоднородного полупространства // ДАН СССР. 1974. - Т. 214. - С. 84-86.

7. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. - 352 с.

8. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2001. - 562 с.

9. Ахмадеев Н.Х. Динамическое разрушение твердых тел в волнах напряжений. -Уфа: БФАН СССР, 1988. 168 с.

10. Аэро Э.Л. Асимметрическая гидромеханика // ПММ. 1965. - Т.29. -№2. - С. 297-308.

11. Аэро Э.Л. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. - Т.2. - № 7. - С. 1399-1409.

12. Бабич В.М. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов в случае упругой неоднородной анизотропной среды // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Наука, 1961.-Вып. 5.-С. 36-46.

13. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б., Хаптанов В.Б. Измерение деформации пресноводного ледяного покрова горизонтальной электрической антенной // ЖТФ. 2007. - Т. 77. - Вып. 1. - С. 124-126.

14. Белов Н.Н., Демидов В.Н., Ефремова Л.В. и др. Компьютерное моделирование динамики высокоскоростного удара и сопутствующих физических явлений // Изв. вузов. Физика. 1992. - №8. - С. 5-48.

15. Белов Н.Н., Коняев А.А., Стуканов А.Л. и др. Исследование поведения конструкционных материалов при взрывном и ударном нагружениях // Изв. РАН. МТТ. 1997. - №1. - С. 64-70.

16. Белослудов В.Р., Инербаев Т.М., Шпаков В.П. и др. Модули упругости и границы стабильности льдов и клатратных гидратов кубической структуры I // Рос. хим. ж. 2001. - т. XLV. - № 3. - С. 45-50.

17. Богородский В.В. Лед. Физические свойства. Современные методы гляциологии- Л.: Гидрометеоиздат, 1980. 384 с.

18. Богородский В.В., Гаврило В.П., Недошивин О.А. Разрушение льда. Методы, технические средства. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. - 267 с.

19. Будаев B.C. Корни характеристического уравнения и классификация упругих анизотропных сред // Известия АН СССР. МТТ. 1978. - № 3. - С. 33-40.

20. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

21. Введение в микромеханику / Под ред. М. Онами. М.: Металлургия, 1987.-280 с.

22. By Э. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред // Механика композиционных материалов. М.: Мир, 1985. - С. 401-491.

23. Вычислительные методы в механике разрушения: Пер. с англ. / Под ред. С. Атлури. М.: Мир, 1990. - 392 с.

24. Гадолин А.В. Вывод всех кристаллографических систем и их подразделений из одного общего начала. Л.: Изд-во Академии Наук СССР, 1954.- 156 с.

25. Гриднева В.А., Корнеев А.И., Трушков В.Г. Численный расчет напряженного состояния и разрушения плиты конечной толщины при ударе бойками различной формы // Известия АН СССР. МТТ. 1977. - № 1. — С. 146-157.

26. Гриднева В.А., Немирович-Данченко М.М. Метод раздвоения точек сетки для численного расчета разрушения твердых тел. Томск, 1983. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.06.83, № 3258.

27. Гулидов А.И., Шабалин И.И. Численное моделирование криволинейной трещины откола при соударении пластин // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы IX Всес. конф. -Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1986. С. 117-121.

28. Демидов В.Н. О расщеплении волн сдвига в изотропных гипоупругих материалах // Физ. мезомех. 2000. - Т. 3. - № 4. - С. 15-36.

29. Демидов В.Н., Корнеев А.И. Схема распада разрыва в подвижных сетках для расчета течений сжимаемой упруго-пластической среды. В кн.: Механика деформируемого твердого тела. Томск: Изд-во Томского университета, 1985. С. 19-29.

30. Диман Е.Н. Три мезоуровня в геологии // Физ. мезомех. 2004. - Т. 7. -№ Спец 1.-С. 120-123.

31. Дружинин А.Б. Краевые волны в анизотропной среде // Геология и геофизика. 1990.-№ 3. - С. 118-129.

32. Дучков А.Д., Истомин В.Е., Казанцев С.А. Температурный режим льда оз. Байкал и связанные с ним внутренние напряжения и смещения в ледяной плите // Физ. мезомех. 2007. - Т. 10. - № 1. - С. 87-92.

33. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов. Пер. с франц. -М.: Наука, 1982. 424 с.

34. Евтушенко Е.П., Макаров П.В., Смолин И.Ю. Расчет напряженно-деформированного состояния поверхностных слоев материалов на мезо-уровне // Физ. мезомех. 2006. - Т. 9. - № СпецВ. - С. 29-32.

35. Енохович А.С. Краткий справочник по физике. — М.: Высшая школа, 1976.-288 с.

36. Епифанов В.П. Разрыв и динамическая твердость льда // ДАН. 2004. -Т. 394.-№6.-С. 763-766.

37. Епифанов В.П., Юрьев Р.В. Вязкость разрушения пресного льда // ДАН. -2006.-Т. 406.-№2.-С. 187-191.

38. Еремеев В.А. О локальной группе материальной симметрии в механике микрополярных сред // Математическое моделирование систем и процессов. 2006. - № 14. - С. 62-73.

39. Жермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория. -М.: Высшая школа, 1983.-399 с.

40. Зарембо JI.K., Красильников В.А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах // Успехи физических наук. 1970. - Т. 102. Вып. 4. - С. 550-584.

41. Зацепина Г.Н. Физические свойства и структура воды. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 172 с.

42. Зольников К.П., Уваров Т.Ю., Псахье С.Г. Об анизотропии процессов пластической деформации и разрушения при динамическом нагружении // Письма в ЖТФ. 2001. - Т. 27. - Вып. 7. - С. 1-7.

43. Зольников К.П., Чернов В.М., Коноваленко Ив.С. и др. О влиянии меж-зеренных границ и свободной поверхности на энергетические параметры точечных дефектов и их комплексов // Физ. мезомех. 2005. -Т. 8. — № СпецВ.-С. 21-24.

44. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды: Учебник. 3-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1990.-310 с.

45. Исследования распространения сейсмических волн в анизотропных средах. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992. 192 с.

46. Истомин В.Е., Дучков А.Д. Начальные стадии термически активированного разрушения ледового покрова оз. Байкал // Физ. мезомех. 2008. — Т. 11.-№4.-С. 61-66.

47. Йошида С. Физическая мезомеханика как полевая теория // Физ. мезомех. 2005. - Т. 8,-№5. -С. 17-22.

48. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. — М.: Наука, 1974. 312 с.

49. Келлер И.Э. Фрагментация геометрически-нелинейной моментной кристаллической среды // Изв. РАН. МТТ. 2003. - № 2. - С. 105-115.

50. Келлер И.Э. Фрагментация металлов при больших деформациях: один механизм образования пространственно-модулированных вихревых структур // ПМТФ. 2002. - Т. 43. - № 2. - С. 176-186.

51. Киселев А.Б. Численное моделирование в трехмерной постановке наклонного пробивания тонких преград // Численное решение задач волновой динамики. Математические исследования. Вып. 108 Кишинев: Штиинца, 1989.-С. 19-26.

52. Киселев А.Б., Кабак Н.Е. Метод построения расчетных сеток с выделением внутренних контактных границ // Моделирование в механике — 1990. Т.4(21). - № 5. - С. 96-110.

53. Киселев А.Б., Юмашев М.В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель повреждаемой термоупругой среды // ПМТФ. 1990.-№5.-С. 58-65.

54. Кобаяси Т., Делли Д. Зависимость между скоростью трещины и коэффициентом интенсивности напряжений в полимерах с двойным лучепреломлением // Механика разрушения. Быстрое разрушение, остановка трещин.-М.: Мир, 1981.-С. 101-119.

55. Кобаяши А. Исследование разрушения поляризационно-оптическим методом. // Разрушение: в 7 т. / Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1975. Т. 3.-352 с.

56. Кобенко С.В., Кривошеина М.Н., Радченко А.В. Моделирование разрушения ортотропной пластины при ударе с использованием различных критериев прочности // Механика композиционных материалов и конструкций. 2004. - Т. 10. - № 3. - С. 347-354.

57. Кобенко С.В., Кривошеина М.Н., Радченко А.В. Моделирование динамического разрушения ортотропных пластин при произвольной ориентации осей симметрии материала // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2005. Т. 11. — № 3. — С. 409-418.

58. Костров Б.В. Распространение трещин с переменной скоростью // ПММ. 1974. - Т. 38. - Вып. 3. - С. 551-567.

59. Кочарян Г.Г., Павлов Д.В. Нарушение и залечивание зон локализации деформаций в массиве горных пород // Физ. мезомех. 2007 - Т. 10. - № 1.-С. 5-18.

60. Крауч С., Старфильд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. - 328 с.

61. Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости // ФТТ. 1969. - Т. 5. - № 9. - С. 2591-2598.

62. Куропатенко В.Ф. Мезомеханика однокомпонентных и многокомпонентных материалов // Физ. мезомех. 2001. - Т. 4. - № 3. - С. 49-55.

63. Кфури А., Райе Дж. Скорость высвобождения энергии деформации трещины при увеличении ее размера на конечную величину в упругопла-стической среде // Механика разрушения. Разрушение материалов. М.: Мир, 1979.-С. 19-39.

64. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне // Физ. мезомех. 2003. - Т. 6.-№4.-С. 111-124.

65. Макаров П.В., Карпенко Н.И., Смолин И.Ю. и др. Изучение деформации и разрушения геоматериалов и геосред как иерархически организованных систем // Физ. мезомех. 2005. - Т. 8. - № СпецВ. - С. 17-20.

66. Малинин В.Г., Малинина Н.А. Структурно-аналитическая мезомеханика деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. 2005. - Т. 8. - № 5. -С. 31-45.

67. Малунин В.Р. Моделирование композиционного материала в конструкциях // Математическое моделирование. 2002. - Т. 14. - № 9. - С. 1518.

68. Маэно Н. Наука о льде. М.: Мир, 1988. - 229 с.

69. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974. — 318 с.

70. Мельникова Н.А., Немирович-Данченко М.М. Методика расчета упругих волновых полей для мезообъема, содержащего несколько разноори-ентированных кристаллов с различными свойствами // Физ. мезомех. — 2006.-Т. 9. — № 1. С. 103-110.

71. Метод фотоупругости: В 3 т. / Под общ. ред. Н.А. Стрельчука и Г.Л.Хесина. -М: Стройиздат, 1975. Т. 2. - 367 с.

72. Механика и физика льда / Под. ред. Р.В. Гольдштейна. М.: Наука, 1983.- 174 с.

73. Миндлин Р.Д. Эффекты моментных напряжений в линейной теории упругости // Механика. 1964. - Т.86. - № 4. - С. 80-114.

74. Михайленко Б.Г. Метод решения динамических задач сейсмики для двумерно-неоднородных моделей сред // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 246.-№ 1.-С. 47-51.

75. Михайленко Б.Г. Расчет теоретических сейсмограмм для многомерно-неоднородных моделей сред // Условно-корректные задачи математической физики в интерпретации геофизических наблюдений. — Новосибирск, 1978.-С. 75-88.

76. Михайленко Б.Г. Сейсмические поля в сложнопостроенных средах. -Новосибирск: Наука, 1988. -310 с.

77. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. «Квантовая» природа и двойственный характер динамики разрушения твердых тел // ДАН. — 2002. Т. 382. - № 2. - С. 206-209.

78. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР, 1954. - 648 с.

79. Мясников А.В., Осипов К.С., Ярушина В.М. и др. Реологический мониторинг рапространения волн в многофазных многокомпонентных средах: обзор // Физ. мезомех. 2007. - Т. 10. - № 1. - С. 73-86.

80. Назаров JI.A. Исследование поля напряжений в упругом полупространстве при касательной сосредоточенной динамической нагрузке на его поверхности // ФТПРПИ. 1982. - № 3. - С. 41-46.

81. Немирович-Данченко М.М. Математическое моделирование распространения упругих волн, возбуждаемых в анизотропных и неоднородных средах и в жидкостях: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Томск, 1993. -199 с.

82. Немирович-Данченко М.М. Модель гипоупругой хрупкой среды и ее применение в сейсмике: Дисс. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2004. 297 с.

83. Немирович-Данченко М.М., Колесников Ю.И. О различных сценариях распространения трещин в геоматериалах // Физ. мезомех. 2003. - Т.6. -№ 1.-С. 33-40.

84. Немирович-Данченко М.М., Мельникова Н.А. Численная оценка особенностей разрушения мезообъема анизотропной среды // Физ. мезомех. -2009.-Т. 12.-№ 1.-С. 127-130.

85. Немирович-Данченко М.М., Мусабиров П.И., Рябова Н.А. Акустическая эмиссия движущейся трещины // Сопряженные задачи механики и экология: Тез. докл. Междунар. конф. 29 сентября 4 октября 1996. -Томск, 1996. С. 146-147.

86. Немирович-Данченко М.М., Стефанов Ю.П. Применение конечно-разностного метода в переменных Лагранжа для расчета волновых полей в сложнопостроенных средах // Геология и геофизика. 1995. - Т. 36. — № 11.-С. 96-105.

87. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, 1979. - 272 с.

88. Осипов И.О. Обобщение метода функционально-инвариантных решений для динамических задач плоской теории упругости анизотропных сред // ПММ. 2000. -Т. 64. - Вып. 6. - С. 1004-1019.

89. Осипов И.О. Отражение и преломление плоских волн на границе раздела изотропных и анизотропных сред // МТТ. 2004. — № 6. - С. 69-101.

90. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. - Т. 28. - Вып. 3. - С. 401-408.

91. Панин В.Е. Синергетические принципы физической мезомеханики // Физ. мезомех. 2000. - Т. 3. - № 6. - С. 5-36.

92. Юб.Панин В.Е. Физическая мезомеханика — новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. 2003. -Т. 6.-№4.-С. 9-36.

93. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. - 230 с.

94. Партон В.З. Механика разрушения: От теории к практике. М.: Наука, 1990. - 240 с.

95. Песчанский И.С. Ледоведение и ледотехника. — Л.: Гидрометеоиздат, 1967.-461 с.

96. ПО.Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. -Л.: Наука, 1980.-280 с.111 .Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями // Учен. зап. ЛГУ. 1952. №162. С. 136-189.

97. ПЗ.Попов В.Л., Кренер Э. О роли масштабных уровней в теории упругопла-стичности//Физ. мезомех. 1998.-Т. 1.-№1.-С. 109-118.

98. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М: ИЛ, 1963. - 312 с.

99. Псахье С.Г., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю. и др. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеханики материалов//Физ. мезомех. 1998.-Т. l.-№ 1.-С. 95-108.

100. Пб.Радченко А.В., Кобенко С.В. Зависимость разрушения анизотропного материала от ориентации упругих и прочностных свойств при ударе // Доклады РАН. 2000. - Т. 389. - № 1. - С. 49-54.

101. Райс Дж. Математические методы в механике разрушения // Разрушение: в 7 т. / Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1975. Т. 2. С. 204-335.

102. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972.-418 с.

103. Романова В.А. Исследование деформационных процессов на поверхности и в объеме материалов с внутренними границами раздела методами численного моделирования // Физ. мезомех. 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 6378.

104. Свекло В.А. К решению динамических задач плоской теории упругости для анизотропного тела // ПММ. 1961. - Т. 25. - Вып. 5. - С. 885-896.

105. Свекло В.А. Упругие колебания анизотропного тела // Учен. Зап. ЛГУ. Сер. мат. наук. 1949. Вып. 17. С. 28-71.

106. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T.l. -М.: Наука, 1983. 528 с.

107. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1984. - 568 с.

108. Синюков В.В. Вода известная и неизвестная — М.: Знание, 1987. — 176 с.

109. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. -М.: Наука, 1975.-680 с.

110. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. -374 с.

111. Слепян Л.И. О взаимодействии пластины с жидкостью при ударе // Инж. ж-л, МТТ. 1966. - № 6. - С. 11-23.

112. Смирнов В.И., Соболев C.JI. Новый метод решения плоской задачи упругих колебаний // Труды сейсмологического ин-та АН СССР. 1932. № 20. С. 1-37.

113. Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Псахье С.Г. Совместное использование дискретного и континуального методов для моделирования процессов деформации и разрушения в области контактного взаимодействия // Физ. мезомех. 2004. - Т. 7. -№ Спец. 1. - С. 70-73.

114. Смолин И.Ю. Использование микрополярных моделей для описания пластического деформирования на мезоуровне // Математическое моделирование систем и процессов. — 2006. № 14. - С. 189-205.

115. Смолин И.Ю. О применении модели Коссера для описания пластического деформирования на мезоуровне // Физ. мезомех. 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 49-62.

116. Стефанов Ю.П. Некоторые особенности численного моделирования поведения упруго-хрупкопластичных материалов // Физ. мезомех. 2005. -Т.8. - № 3. - С. 129-142.

117. Стефанов Ю.П. Численное моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных твердых тел под действием механических нагрузок: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Томск, 1999. 177 с.

118. Трусов П.В., Келлер И.Э. Теория определяющих соотношений: Курс лекций Ч. 1. Общая теория. Пермь: Перм. гос. тех. ун-т. 2006. - 173 с.

119. Уикс У.Ф., Ассур А. Разрушение озерного и морского льда // Разрушение: в 7 т. / Под ред. Г. Либовица.-М.:Мир, 1975. Т. 1.4. 1. С. 513-623.

120. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. -М.: Мир, 1967. С. 212-263.

121. Упругие волны в гиротропных и анизотропных средах: Сб. науч. тр. -Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1993. 216 с.

122. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. -Л.: Наука. Ленингр. отд., 1967. -402 с.

123. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М., Наука, 1965. -388 с.

124. Физика и механика льда. Пер. с англ. Механика / под ред. П. Трюде -М.: Мир, 1983. Вып. 30. - 348 с.

125. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. / Под ред. В.Е.Панина. Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. -298 с.

126. Финошкина А.С. Использование новых объективных производных в простейших моделях гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением// Изв. Тульского госун-та. 2000. Т. 6. -Вып. 2. -С.160-164.

127. Хачай О.А., Хачай О.Ю. Изучение, оценка и классификация устойчивости геологической среды с использованием данных активного геофизического мониторинга на основе парадигмы физической мезомеханики // Физ. мезомех. 2007. - Т. 10. - № 2. - С. 87-92.

128. Хеллан К. Введение в механику разрушения. Пер. с англ. М.: Мир, 1988.-364 с.

129. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. - 600 с.

130. Цванкин И.Д., Чесноков Е.М. Волновые поля точечных источников в произвольно-анизотропных средах // Известия АН СССР. Физика Земли. -1989.-№7.-С. 12-27.

131. Черепанов О.И. Численное моделирование деформации материалов с учетом неустойчивой ветви sigma-epsilon-диаграммы // Физ. мезомех. -1999.-Т. 2.-№ 1-2.-С. 5-16.

132. Черноус Д.А., Шилько С.В. Исследование упругой анизотропии откры-топористых материалов // Физ. мезомех. 2006. - Т. 9. - № 4. - С. 79-84.

133. Шавлов А. В. Лед при структурных превращениях. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1996. - 188 с.

134. Шаскольская М.П. Кристаллография. — М.: Высшая школа, 1984. 363 с.

135. Шибков А.А., Желтов М.А., Королев А.А. и др. Влияние поверхностной кинетики на дендритный рост льда в переохлажденной воде // Кристаллография. 2004. - Т. 49. - № 6. - С. 1154-1162.

136. Шоки Д., Симен Л., Керрен Д. Расчет распространения и остановки трещины на основе моделирования микроразрушения в ее вершине // Механика разрушения. Быстрое разрушение, остановка трещин. М.: Мир. 1981.-С. 120-133.

137. Шульман Л.М. Ядра комет. -М.: Наука, 1987. 230 с.

138. Шумский П.А. Динамика и тепловой режим ледников. М.: Наука, 1983. -86 с.

139. Atkinson С., Eshelby J.D. The flow of energy into the tip of a moving crack // Int. J. Fracture Mechanics. 1968. - V. 4. - №. 1. - P. 3-18.

140. Barnes W. H. -Proc. R. Soc., 1929, A 125, 670.

141. Bernal J. D., Fowler R. H. A theory of water and ionic solution with particular reference to hydrogen and hydroxylions. J. Chem. Phys., 1933, vol. 1, № 3, p. 515-548.

142. Bragg W. H. The crystal of ice. Proc. Phys. Soc., 1922, № 34, P. 98-103.

143. Carcione J.M., Seriani G., Priolo E. Wave simulation in 3-D anisotropic-viscoelastic media // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 1251-1254.

144. Cosserat E. et F. Theorie des corps deformables / E. Cosserat et F. Cosserat. -Paris, 1909. vi+226 pp. (Appendix, pp. 953-1173 of Chwolson's Traite de Physicue. 2nd ed., Paris).

145. Dablain M. The application of high-order differencing to the scalar wave equation // Geophysics. 1986. -V. 51. - P. 54-66.

146. Elwi A.E. and Murray D.W. A 3D Hypoelastic Concrete Constitutive Relationship // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. 1979. -105(4)-P. 623-642.

147. Eringen A.C. Linear theory of micropolar viscoelasticity // Int. J. Eng. Sci. -1967. Vol. 5. - № 2. - P. 191-204.

148. Eringen A.C. Theory of micropolar fluids // J. Math. Mech. 1966. - Vol. 16.l.-P. 1-18.

149. Eshelby J.D. Elastic Inclusions and Inhomogeneities / In: Progress in Solid Mechanics. V. 2. Eds. I. N. Sneddon and R. Hill. Amsterdam: North-Holland.- 1961.-P. 89-140.

150. Eshelby J.D. The Determination of the Elastic Field of an Elliptical Inclusion, and Related Problems // Proc. Roy. Soc. 1957. - V. A241. - P. 376-396.

151. Eshelby J.D. The Elastic Field Outside an Ellipsoidal Inclusion // Proc. Roy. Soc. 1959. - V. A252. - P. 561-569.

152. Eskola L. Geophysical interpretation using integral equations. London: Chapman and Hall, 1992. - 191 p.

153. Griffith A.A. The Phenomena of Rupture and Flow in Solids // Phil. Trans. Roy. Soc., London. 1920. -V. A221. -P. 162-198.

154. Griffith A. A. The Theory of Rupture // Proc. of First Int. Congress of Applied Mechanics. Delft. 1924. P. 53-63.

155. Harris D. A hyperbolic well-posed model for the flow of granular materials/ D. Harris, E. Grekova // J. Eng. Mathematics. 2005. - Vol. 50. - P. 1-29.

156. Heiner I. Wave propagation in three-dimensional spherical sections by the Chebyshev spectral method // Geophys. J. Int. 1999. - V. 136. - P. 559-566.

157. Inoue Т., Miyatake T. 3-D simulation of near-field strong ground motion based on dynamic modeling // Bulletin of the seismological society of America. 1995. - V. 88. - № 6. - P. 1445-1456.178Jaumann G. Die Grundlagen der Bewegungslehre, Leipzig, 1905.

158. Jaumann G. Sitzungsberichte Akad. Wiss. Wien (Ila), 120 (1911), 385.

159. Koiter W.T. Couple-stresses in the theory of elasticity. Pt I-П / W.T. Ко iter // Proc. Koninkl.Neterland. Akad. Wetensh. 1964. - Vol. B67. № 1. - P. 1744.

160. Kwon M., Spacone E. Three-dimensional finite element analyses of reinforced concrete columns // Computer and Structures. — 2002. — № 80. P. 199-212.182.bin Т.Н. Physical theory of plasticity // Advances in Applied Mechanics. -1971.-V. 11.-P. 255-311.

161. Magistrate H., Day S. 3-D simulations of multi-segment thrust fault rupture // Geophysical research letters. 1999. - V. 26. - № 14. - P. 2093-2096.

162. Mansuy P. Contribution a l'etude du comportement viscoplqstique d'un multicristal de glase: heterogeneite de la deformation et localisation, experiences et modeles. These de doctorat de l'Universite Joseph Fourier -Grenoble I. 2001.

163. Martynov V.N., Michailenko B.G. Numerical modelling of elastic waves in anisotropic inhomogeneous media for the halfspace and the sphere // Geo-phys. J. Roy. Astr. Soc. 1984. -V. 76. - P. 53-63.

164. Mikhailenko B.G. Numerical experiments in seismic investigations // Journal of Geophysics 1985. - № 58. - P. 101-124.

165. Mikhailenko B.G. Synthetic seismograms for complex threedimensional geometries using an analytical-numerical algorithm // Geophys. J. R. Astr. Soc. 1984. - V. 79. - № 3. - P. 963-986.

166. Mikhailenko B.G., Korneev V.I. Calculation of synthetic seismograms for complex subsurface geometries by a combination of finite integral Fourier transforms and finite-difference techniques // J. Geophysics. 1984. - № 54. -P. 195-206.

167. Musgrave M.J.P. On the propagation of elastic waves in aelotropic media // Proc. Roy. Soc. 1954. - V. 226. - № 1166. - P. 339-366.

168. Nielsen P. Numerical modelling of seismic waves: on the elimination of grid artifact / Norsk Hydro Research Center, N-5020, Bergen, Norway, 1994. 47 P

169. Nielsen P., If F. Per Berg and Ove Skongaard Using the pseudospectral method on curved grids for 2D elastic forward modelling // Geophysical Prospecting. 1995. - V. 43. - P. 369-395.

170. Numerical methods used in atmospherical models // GARP Publication Series. 1979. - № 17.-V. 11.

171. Pereyra V., Richardson E. 3-D finite-element and ray tracing simulation of elastic wave propagation in complex geology // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 1227-1231.

172. Petho A. Constitutive modeling of shape memory alloys based on a finite strain description // Periodica Polytechnica Ser. Mech. Eng. 2000. - V. 44. -№ l.-P. 115-126.

173. Renardy M., Roges R. Shock conditions for hypoelastic materials // Theor. Сотр. Fluid Dyn. 1993. - № 5 - P. 162-170.

174. Richtmyer R.D., Morton K.W. Difference methods for initial-value problems // Wiley-Intersci.: New York, 1967. 405 p.

175. Romensky E.I. Hypoelastic form of equations of nonlinear elasticity theory. // Journ. Appl. Mech. Techn. Phys. 1974. - Vol. 15. - № 2 - P. 133-138.

176. Schulson E.M., Fortt A.L., Iliescu D., Renshaw C.E. On the role of frictional sliding in the compressive fracture of ice and granite: Terminal vs. post-terminal failure // Acta Materialia. 2006. - № 54. - P. 3923-3932.

177. Seriani G., Priolo E., Carcione J., Padovani E. High-order spectral element method for elastic wave modeling // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. -P. 1285-1288.

178. Steverding В., Werheiser A. A model for dynamic fracture // J. Mech. Engng Sci., 1971.-V. 13. -№ 3. P. 99-103.

179. Toupin R.A. Theories of elasticity with couple-stress // Arch. Ration. Mech. Anal.- 1964. Vol. 17. - № 2. - P. 85-112.

180. Trefethen L.N. Group velocity in finite difference schemes // Society of industrial and applied mathematics review. 1982. - V. 24. - P. 113-136.

181. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress finite-difference method // Geophysics. 1986. - V. 57. - P. 889-901.

182. Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1975. - V. 24. - P. 109-114.

183. Zapperi S., Vespignani A. H. Eugene Stanley Plasticity and avalanche behaviour in microfracturing phenomena // Nature. 1997. - V. 388. - P. 658660.