Многоточечная задача Валле Пуссена для операторов свертки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Нуятов Андрей Александрович

• Нуятов Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Нуятов Андрей Александрович

Введение

1. Общая характеристика диссертации

2. Краткое содержание диссертации

3. Обозначения, нумерация

Глава 1. Предварительные сведения

1. Основные обозначения и определения

2. Пары Фишера

3. Резюме главы

Глава 2. Разрешимость многоточечной задачи

Балле Пуссена в терминах секвенциально достаточных множеств

1. Предварительные результаты и постановка задачи

2. Инъективность и замкнутость образа оператора Ыф [<£•] в Рс

3. Резюме главы

Глава 3. Секвенциальная достаточность множества нулей функции ^ в КвтМф

1. Условия секвенциальной достаточности множества нулей функции ^ в КвтМф для вещественных узлов

2. Условия секвенциальной достаточности множества нулей функции ^ в КвтМф для комплексных узлов

3. Иллюстративные примеры

4. Резюме главы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многоточечная задача Валле Пуссена для операторов свертки»

Введение

1. Общая характеристика диссертации

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу, функциональному анализу и теории дифференциальных уравнений. Изначально, многоточечная задача Балле Пуссена, рассмотренная в диссертации, ставилась для однородного линейного дифференциального уравнения порядка п (см.[1])

у(п) + Р1(х)у(п-1) + ... + Рп-1 (х)у' + Рп(х)у = 0, (0.1)

коэффициенты которогор1 (х), ...,рп-1(х),рп(х) являются непрерывными функциями от х на отрезке [а,Ь] с некоторым дополнительным условием.

Теорема сушествования и единственности говорит, что для данной точки х0 из [а,Ь] и данных значений у0, у0,..., уп_1 существует одно и только одно решение у(х) уравнения (0.1), удовлетворяющее начальным условиям

у (х0) = у0,у'(х°) = у0.....у (п-1)(х0) = у0-1,

но в задачах математической физики и прикладной математики зачастую требуется найти решение уравнения (0.1) в случае, когда не все начальные условия заданы в

одной н той же точке х0. К примеру, требуется найти решение у(х) уравнения (0.1), проходящее черезп заданных точек, другими словами, необходимо построить решение (0.1), удовлетворяющее условиям

у(ак) = Лк (к = 1, 2, ...,п). (0.2)

Балле Пуссеном доказано, что в случае, когда рк(х) Е С[а,ь], к = 1, 2, ...,п и выполнено неравенство

Ък 1,

к=1

где 1к > 1рк (х)|, к = 1, 2,...,п, х Е [а,Ь], то существует единственное решение задачи (0.1),(0.2) для конечного числа узлов.

В русскоязычной литературе этот результат можно найти в книге Сансоне Дж. [2].

В 2001 году в работе [3] доказана разрешимость многоточечной задачи Балле Пуссена в ядре оператора свертки для бесконечного числа узлов, когда узлы принадлежат множеству {0, ±1, ±2,...}. В этой же работе доказывается, что разрешимость многоточечной задачи Балле Пуссена для бесконечного числа узлов эквивалентна тому, что имеет место представление Фишера

Н (С) = КвтМу + (ф), (0.3)

где ф - целая функция экспоненциального роста, ф - целая функция, КегМф - ядро оператора свертки в пространстве целых функций, (ф) - идеал в пространстве целых

ф

ет место равенство (0.3), то (ф, ф) называют парой Фишера для пространства целых функций.

В данной работе найдены условия при которых, существуют пары Фишера, которые используются для доказательства разрешимости многоточечной задачи Балле Пуссена в ядре оператова свертки, но применение пар Фишера не ограничивается только этой задачей. Изучение пар Фишера началось с работы Эрнста Фишера, в которой для P(z) Е Hk (Hk - множества однородных многочленов степени k > 0 в пространстве Cn), всякий полином Q(z) Е Hm, 0 < m < то представляется в виде

Q(z ) = h(z)+ g(z),

где g,h Е Hm причем g кратно Pah удовлетворяет дифференциальному уравнению P*(D)h = 0, D = (D\,..., Dn), Dj = dd^, P* - полином в Hm, получае-P(z)

сопряженные (т.е. Р*(г) = Р(г)). Таким образом, (Р,Р*) - пара Фишера для множества всех однородных много-

членов, где Р - произвольный однородный многочлен. Дальнейшее развитие можно найти в работах Баргма-на, Эренпрайса, Шапиро, Ньюмана, Хермандера, Мерила, Струппы, Ягера, В.В. Напалкова, С.Г. Мерзлякова, С.В.Попенова и др.[4] - [17] В частности, в [10] доказано, что если Р - произвольный много член в Сп, тогда любую функцию / Е H(Сп) (Н(Сп) - пространство целых функций многих комплексных переменных) можно представить единственным образом в виде / = д + К, где д,К Е Н(Сп), причем д/Р Е Н(Сп) и Р*(В)К = 0, следовательно, (Р, Р*) будет также парой Фишера для пространства целых функций многих комплексных переменн-

Р

Следует также отметить, что с помощью пар Фишера можно устанавливать разрешимость не только многоточечной задачи Валле Пуссена, но и задачи Дирихле. В работе [10] доказывается разрешимость задачи Дирихле на единичной сфере, в 2003 году в работе [18] приводится алгоритм, который позволяет с помощью пар Фишера решать задачу Дирихле на квадратичных поверхностях.

Прослеживается связь представления Фишера с задачей Коши для уравнений с частными производными гиперболического типа, начало исследования в этом направ-

лении можно найти в книге Эренпрайса. Как показано в работе В.В.Напалкова представление Фишера равносильно разрешимости многоточечной задачи Балле Пуссена оператора свертки, действующего из РБ- или БРБ - пространства (пространство Шварца и сопряженное к нему) в себя, с данными на дивизоре функции из РБ- или БРБ -пространства. Эти результаты можно рассматривать как обобщение (глобальной) голоморфной задачи Коши для операторов в частных производных. Одна из наиболее общих в этой области теорем - классическая теорема Коши-Ковалевской дает лишь локальную информацию.

С помощью пар Фишера можно решать задачу Балле Пуссена не только в ядре классического оператора свертки, но и ядре оператора свертки Данкла, этот результат можно найти в работе 2013 года [19], информацию об операторе Данкла можно найти в работе [20]. Здесь же мы лишь отметим, ссылаясь на работу [19], что оператор Данкла используются в решении квантовой задачи Калоджера-Мозера-Сазерленда, об этой задаче можно прочитать в работе [21].

Эти, а также многочисленные другие результаты, указывают на актуальность задачи представления пространства целых функций парами Фишера, и исследования свя-

зи этого понятия с многоточечной задачей Балле Пуссена. Цели работы. 1. Найти условия на функции ф и ф в терминах секвенциально достаточных множеств, при которых пространство Н (С) представимо в виде суммы ядра оператора свертки с характеристической функцией ф Е РС и идеала, порожденного функцией ф Е Н(С), что эквивалентно разрешимости многоточечной задачи Балле Пуссена в ядре оператора свертки. 2. Выяснить, при каких условиях Мф - нулевое множество характеристической функции оператора свертки, является секвенциально достаточным в ядре оператора

Мф[/1(2) = 2-1 егЧ(С)ф(СШ,

с

где 7(С) - функция, ассоциированная по Борелю с /(г), С - замкнутый контур, охватывающий все особые точки

7 (С )•

Научная новизна и основные результаты. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Доказано представление Фишера Н(С) = КетМф + (ф) для функций ф Е Рс, ф Е Н(С), когда нулевое множество функции ф является секвенциально достаточным в

КетМф, Мф[/ 1(г) = ¿11 егЧ(С)ф(СЖ, где 7(С) - Функ-

с

ция, ассоциированная по Борелю с f (z), C - замкнутый контур, охватывающий все особые точки y(£). Отметим, что представление пространства целых функций в виде суммы множества целых решений однородного уравнения свертки и идеала, порожденного функцией sinnz доказано В.В. Напалковым (см. [3]) и, следовательно, решена интерполяционная задача в множестве целых решений однородного уравнения свертки, когда узлами интерполяции является множество {0, ±1, ±2,...}.

2. Доказана секвенциальная достаточность множества Np в КегМф при условиях, что последовательность Np = {АkР е Pc, лежит в углах {z е C : |1mz| < alRe z|}, 0 < а < то, пронумерована целыми числами в порядке возрастания вещественных частей, все нули простые, Re Ak ^ ±то, тогда k ^ ±то, и последовательность Nф = {^k" простых, вещественных нулей целой функции ф (z) пронумерована целыми числами в порядке возрастания. Тем самым доказана разрешимость многоточечной задачи Балле Пуссена с вещественными узлами в ядре оператора свертки.

3. Доказаза секвенциальная достаточность множества Np в КегМф при условии, что для некоторого фиксирован-

ного а Е [0, число ß Е [0, такое, что

а • ß < 1,

при этом выполнены условия:

(1) Щ С Da = {z Е C : llmz| < aRez} и существует подпоследовательность Aks такая, что

Re(Xks) <Re(Aks+i), s Е N.

(2) Щ С Dß = {z Е C : |1m z| < ßRe z} при этом:

1 ß

Refak) < 1 , ^Re(Vk+i), k Е N. 1 + aß

При этих условиях разрешима многоточечная задача Балле Пуссена с комплексными узлами в ядре оператора свертки.

Методика исследования. В диссертации используются методы комплексного анализа, функционального анализа и алгебры.

Степень обоснования результатов диссертации. Все

научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы. Результаты, полученные в диссертации, хорошо согласуются с работами других авторов как отечественных, так и зарубежных.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть полезны в теории целых функций, теории аппроксимации функций, теории дифференциальных уравнений с частными производными. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном Федеральном Университете, Казанском (Приволжском) Федеральном Университете, Московском, Башкирском, Нижегородском, Сыктывкарском госуниверситетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Работа выполнена при финансовой поддержке Мино-брнауки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг в 2012-2014 гг. подведомственными высшими учебными заведениями (шифр заявки 1.1907.2011). Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на XIII Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения (Саратов, 2006) [22]; на V международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2006)1 [23]; на 13-й международной конфе-

1 Доклад был отмечен дипломом за лучший доклад.

ренции по функциональным уравнениям и неравенствам (Польша, Краков, 2009) [25]; на Уфимской конференции конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (Уфа,2009)[24]; на Уфимской международной конференции, посвященной 70-ти летию В.В. Напалкова (Уфа, 2011) [26]; на 20-й европейской конференции по теории итераций (Лагов, Польша, 2014) [27].

По теме диссертации неоднократно делались доклады на семинарах по комплексному анализу (рук. проф. Напалков В.В., 2005-2014 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 8 научных публикациях, в том числе 2 статьи из них опубликованы в журналах, входящих в список ВАК изданий, рекомендуемых для публикации результатов диссертаций. Общее научное руководство исследованиями в течение всего времени работы над диссертацией осуществлялось научным руководителем Напалковым В.В. В опубликованных совместно с научным руководителем работах Напалкову В.В. принадлежат постановка задачи, идеи доказательств основных результатов и общее руководство, участие диссертанта 50%. Диссертант выражает благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук Напалкову Валентину

Васильевичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Содержание изложено на 100 страницах, включая список литературы из 48 наименований.

2. Краткое содержание диссертации

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В первой главе собраны предварительные сведения и дано определение пар Фишера.

В первом параграфе даются основные обозначения пространств и определение индуктивного предела.

Определение 0.1 .Целой функцией называют функцию комплексного переменного, аналитическую во всей плоскости, т.е. представляющуюся всюду сходящимся сте-енным рядом

оо

п=1

Обозначим H(C) - пространство целых функций в C; H*(C) - сопряженное пространство к H(C). Топология этого пространства определяется полунормами

Рк(f) = sup |f (z)1,

zeK

C

называется топологией равномерной сходимости на компактах из C. В работе [28] показа но, что H (C) является пространством Фреше, то есть полным, метризуемым, локально выпуклым пространством.

Пусть f (z) - целая функция. Положим

Mf (r) = max |f (z )|.

|z|=r

Говорят, что целая функция f (z) - целая функция конечного порядка, если существует такое / > 0, что неравенство

Mf (r) < er"

r=

|z| (r > r0(p)). Нижняя грань р таких чисел / называется порядком целой функции.

Пусть целая функция f (z) имеет конечный порядок р > 0 Говорят, что f (z) имеет конечный тип при порядке

р, если существует а > 0 такое, что неравенство

МI (г) < еагР

выполняется для всех достаточно больших значений г = |г| (г > г0(а)). Нижняя грань а таких чисел а называется типом целой функции порядка р.

Определение 0.2. Целая функция /(г) называется целой функцией экспоненциального роста, если порядок и тип функции равны 1.

Обозначим пространство таких функций через Рс.

Пусть Л - некоторое множество индексов, может быть несчетное. Пусть Ба (а Е Л) - семейство локально выпуклых пространств, да : Ба ^ Б - линейное отображение и

Б = У да (Ба).

аЕЛ

Среди локально выпуклых топологий в Б, относитель-

да

ет сильнейшая. Обозначим ее т. Базис окрестностей нуля в топологии т состоит из всех абсолютно выпуклых (поглощающих) множеств Ш С Б, для которых множество д-1(Ш) является окрестностью нуля в Ба для каждого

а Е Л. Топологию т в Б называют индуктивным преде-

16

лом топологий пространств Ба относительно отображений да. Пространство 5, наделенное топологией индуктивного предела, называют индуктивным пределом пространств ^относительно отображений да. В том частном случае, когда Ба - векторное подпространство в 5, а да : ^ 5 - вложения, говорят о внутреннем индуктивном пределе.

Пусть Е Е Н* (С). Функционал Е порождает в пространстве Н(С) оператор свертки М:

М[/](2)=<Еи/(2 + г) >,2 Е С.

Функция Е - преобразование Лапласа функционала Е

М

Конкретными примерами оператора свертки являются линейные дифференциальные операторы конечного порядка с постоянными коэффициентами, дифференциально-разностные операторы, интегро-дифференциальные операторы и др.

Во втором параграфе дается определение пар Фишера и теорема об интерполяции в пространстве Рс в целых точках.

Изучение пар Фишера началось в 1917 году с работы Эрнста Фишера [4], в которой получен следующий результат:

Теорема 0.1. Если Р(г) Е Нк (Нк - пространство однородных полиномов степени к в Сп), то всякий полином Q(z) Е Нт,0 < т < то представляется в виде

Я(г ) = К(г)+ д(г),

где д, К Е Нт, причем д кратно Р, а, К удовлетворяет дифференциальному уравнению

Р•(Б)К = 0, Б = (Би-,Оп), Б3 = д^, Р*(г) = РЩ.

Тем самым Фишер приходит к разложению

Нк+р = гтТ ф кегР•(Б), где отображение

Т : I ^ Р/,

действует из Нк ^ Нк+Р и

Р •(Б): Нк+Р ^ Нк Т

стали называться разложениями Фишера.

В 1989 году Шапиро [10] обобщил теорему Фишера на пространство H(Cn) n > 1. Им получен следующий результат:

Теорема 0.2. Пусть P - произвольный однородный полином в Cn. Тогда любую функцию f G H(Cn) можно представить единственным образом в виде

f = g + h,

где g, h G H(Cn) причем P G H(Cn) и

P *(D)h = 0.

Определение 0.3. Пара, полиномов (P,Q) (более точно: P(z) и Q(D), где D = (Db..,Dn),D3 = d/dz3) называется парой Фишера, если они удовлетворяют (a) или (6).-

(a) Каждая f G H(Cn) может быть представлена един-

ственным образом

f = g + h,

где g, h G H(Cn), причем g кратно P и Q(D)h = 0.

(b) Оператор T : f ^ Q(D)(Pf ) биективно отобража-

ет H(Cn) ^ H(Cn).

Условие (а) можно записать с помощью разложения Фишера, а именно,

H(Cn) = (P) 0 KerQ(D),

где (P) - это идеал, порожденный полиномом Р, на пространстве H (Cn).

В работе [12] для случая n = 1 показано: если пара (P, Q) удовлетворяет (Ь), то пара (Q,P) также удовлетворяет (Ь). В работе [13] доказана:

Теорема 0.3. Для выполнения (Ь) npun = 1 необходимо и достаточно, чтобы degP = degQ и отображение Т было инъежтивно.

Дальнейшее исследование было основано на том, что идеал порождается не полиномом, а некоторой целой функцией и вместо ядра дифференциального оператора рассматривается оператор свертки. В работе [3] доказана теорема, в которой приводятся условия, когда имеет место представление Фишера, когда главный идеал порождается функцией ) = sinnz. Фактически в этой теореме даются условия на характеристическую функцию оператора свертки с помощью секвенциально достаточных множеств в пространстве целых функций экспоненциального

роста, при которых разрешима задача интерполяции, в случае, когда узлами являются целые числа.

Теорема 0.4. Пусть множество состоит из простых нулей {Хк}, к = 0,1, ...и Q = {Хк Е Nф : Хк + 2nim}, к = 0,1,..., m = 0,1,... - секвенциально достаточное множество в пространстве PC, тогда

H (C) = KerMv + (sin nz).

Во второй главе в терминах секвенциально достаточных множеств найдены условия на функции (ф, ф), при

H(C) =

КегМф + (ф), тем самым найдены условия, при которых разрешима многоточечная задача Балле Пуссена (см. 29]).

В параграфе 1 даются предварительные результаты и постановка задачи.

Пусть F Е H*(C) известно (см. [30, 31]), что преобразование Лапласа

F(z ) = (F„e^z)

устанавливает топологический изоморфизм между H* (C) и Pe с топологией тс индуктивного предела пространств

Bn = {ф(Х) Е Pe : |M|n = sup |ф(Х)|е-п|Х| < ж},

ХеС

где n Е N.

Пусть S - множество единственности (см. [32]) в Pc Тогда в Pc можно ввести топологию ts индуктивного предела пространств

Bn,8 = MX) Е PC : Ыкз = sup M\)le-nlM < то},

XeS

где n Е N.

S

ально достаточным в пространстве PC, если сходимость rm(z) ^ a, m ^ то в топологии tc эквивалентна, сходимости rm(z) ^ a, m ^ то в тополо гии ts.

В работах [34, 35] изучены свойства топологии т^ и указан метод построения достаточных множеств для различных весовых пространств целых функций.

Пусть ^(г) Е РС и Р Е Н• (С) такой, что

Р(г) = <р(г).

Оператор свертки (см. [36, 37]) в Н(С) запишем в виде

Щ/](г) = (Ри/(г + 1)),/ Е Н(С).

Обозначим КегЩ = {/ Е Н(С) : И/ = 0} - ядро оператора свертки И^.

Определение 0.5. Многоточечную задачу Балле Пуссена в Кег Му с узлами Ц3, 3 = 1, 2,..., являющимися нулями функции ф(г) Е Н(С)7 поставим следующим образом: для произвольной последовательности комплексных чисел ау, 3 = 1, 2,... существует ли функция у (г) Е КегМу такая, что

У(^з) = aJ, 3 = 1, 2,...

Определение многоточечной задачи Балле Пусснена можно найти в работах [1, 2].

Поскольку разрешимость задачи Балле Пуссена тесно связана с понятием пар Фишера, дадим определение представления Фишера в терминах оператора свертки. Возьмем произвольную функцию ф (Л) Е Н(С) и построим в Н(С) идеал

(ф) = {ф(Л) ■ Д(Л): ЩЛ) Е Н(С)}.

Определение 0.6.Пара, функций (у (г),ф(г)) называет-

Н(С)

ставить в виде

Н (С) = КегМу + (ф), (0.4)

равенство (0.4) называется представление Фишера.

23

Замечание 0.1. Из равенства (0.4) следует, что любая функция представим,а неединственным образом в виде

f (z) = fi(z) + f(z), fi(z) e KerM,,, Mz) e (ф).

В работе [3] доказана:

Теорема 0.5. Следующие утверждения эквивалентны:

(1) Задача Балле Пуссена для, M^ разрешима.

(2) Имеет место представление Фишера.

Согласно результатам статьи [38] (см. также [39]) функция ф(z) e H(C) порождает в иространстве PC линейный и непрерывный оператор Мф : PC ^ PC, действующий по правилу

Мфф f(z ) = éïj ezÎY (t )ф(£ (°-5)

C

где y(t) - функция, ассоциированная по Борелю с f (z), C - замкнутый контур, охватывающий все особые точки

Y (t )

Введем линейный и непрерывный оператор

Mv№(z ) ■ y (z )] : H (C) ^ H (C).

Существует связь между представлением Фишера и оператором )•].

Теорема 0.6. [3] Равенство (0.4) эквивалентно сюрьек-тивности оператора Му[ф(г)•].

Оператор Му[ф•] линейно и непрерывно отображает пространство Н(С) в Н(С), тогда сопряженный оператор {Му[ф-]}* линейно и непрерывно отображает пространство Н*(С) в Н*(С). Поскольку пространства Н*(С) и РС топологически изоморфны [30], то оператор {Му[ф-]}* порождает линейный и непрерывный оператор

Мф [у(г) • в (г)] : Рс ^ рс,

где Мф - оператор вида (0.5). Так как Н(С) - пространство Фреше, то верна

Теорема 0.7. [40] Справедливы следующие утверждения.

(1) Замкнутости гшМф [у-] б Рс эквивалентна замкну-

тость гшМу[ф•] в Н(С).

(2) Инзективность оператора Мф [у-] эквивалентна, всю-

ду плотности гшМу[ф•] в Н(С).

Согласно теореме 0.5 разрешимость задачи Балле Пуссена для оператора свертки эквивалентна тому, что существует представление Фишера

Н (С) = КегМу + (ф). 25

В связи с этим, возникает вопрос: при каких условиях на функции р e PC и ф e H(C) имеет место представление Фишера?

Учитывая теорему 0.6 для того, чтобы доказать, что имеет место представление Фишера необходимо доказать сюръективность оператора Мр[ф-}) для этого, согласно теореме 0.7, надо доказать, что оператор Мф[р-] инъек-тивен и тМф[р-\ замкнут в pc-

В параграфе 2 доказывается инъективность оператора Мф [р-], доказательство этого факта опирается на то, что инъективность линейного оператора эквивалентна тривиальности его ядра, а также замкнутость образа оператора Мф [(р-\ в пространстве PC, которое основывается на доказательстве того, что множество Np является секвенциально достаточным множеством в КегМф [р-] тем самым доказана

Теорема 0.8. [29] Пусть р e pc, ф e H(C) и Np ЯвЛЯ,-ется секвенциально достаточным в КегМф . Тогда, имеет место представление Фишера

H (C) = КегМр + (ф ).

Замечание 0.2. Согласно теореме 0.5 для, функции р e PC ф e H(C)

0.8, разрешима многоточечная задача Балле Пуссена для Му

В третьей главе в первом параграфе доказывается секвенциальная достаточность множества нулей функции у в КегМф для вещественных узлов при условиях, что нулевая последовательность Nу = {Лк}++=°_00 целой функ-

у(г) {г Е С :

IIш г| < а1Яег|}, 0 < а < и пронумерована целыми числами в порядке возрастания вещественных частей. Предполагается, что все нули простые и ЯеЛк ^ когда к ^ Последовательность нулей целой функ-

ции ф(г) обозначим через Щ = {рк}+к=°_00 и предполагаем, что все нули простые, вещественные и пронумерованы целыми числами в порядке возрастания.

В параграфе 2 доказывается теорема, в которой приводятся условия секвенциальной достаточности множества нулей функции у в КегМф для комплексных узлов (см.

411).

Теорема 0.9. Пусть для некоторого фиксированного а Е [0, число в Е [0, такое, что

а • в < 1,

при этом выполнены условия:

27

(1)Np С Da = {z E C : llmz| < aRez} и существует подпоследовательность Xks такая, что

Re(Xks) <Re(Xks+l), s E N. (0.6)

(2) Щ С Dß = {z E C : llmz | < ßRez} при этом:

Re(p,k) < Re(Vk+i), k E N. (0.7)

1 + aß

Тогда, является секвенциально достаточным в

Ker Ыф.

Замечание 0.3. При ß = 0 получаем результат работы [29].

В пятом параграфе приводятся иллюстративные примеры разрешимости и неразрешимости задачи Балле Пуссена для бесконечного числа узлов.

3. Обозначения, нумерация

Список основных обозначений

0 - прямая сумма;

(ш) - идеал, порожденный функцией ш; H(C) - пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах;

H*(C) - пространство, сопряженное к H(C);

28

Рс - пространство целых функций экспоненциального роста;

Р(ц) = (Г, ехр < п, г >);

Мш[I](г) = {Г, I(г + I)) - оператор свертки с характеристической функцией и (Л) = .Р(Л), I Е Н (Сп); Кег А - ядро оператора А; Р *(г) = Ш; Нумерация

Нумерация параграфов в каждой главе, а также пунктов, формул, теорем, лемм, следствий, замечаний в каждом параграфе своя.

Глава 1. Предварительные сведения

В этой главе дадим основные понятия и теоремы, относящиеся к пространству целых функций и парам Фишера. Результаты этой главы можно найти в работах [4, 10, 12, 13, 30, 33].

1. Основные обозначения и определения

Определение 1.1. Топологическое векторное пространство Е называется локально выпуклым, если в нем существует базис выпуклых окрестностей нуля.

Топологию в локально выпуклых пространствах удобно задавать с помощью набора полунорм.

Определение 1.2. Вещественная функция р, определенная на локально выпуклом пространстве Е, называется полунормой, если она удовлетворяет следующим условиям.;;

1-р(!) > о,

2.р(Л1 ) = |Л|р(/), Л Е С.

3-р(/ + д) < р(1) + р(д), 1,д е е.

Локально выпуклые пространства обладают рядом важных свойств, главное из которых - наличие достаточно широго множества линейных непрерывных функционалов. Если Е - локально выпуклое пространство и f -ненулевой элемент из Е, то существует такой линейный непрерывный функционал F на Е, что (F, f) = 0.

Для каждого локально выпуклого пространства Е через E* обозначается сопряженное к Е пространство, состоящее из всех линейных непрерывных функционалов на

E*

гией, в которой фундаментальную систему окрестностей нуля образуют поляры2 ограниченных3 множеств.

Определение 1.3.Целой функцией называют функцию комплексного переменного, аналитическую во всей плоскости, т.е. представляющуюся всюду сходящимся степенным рядом Y^ anzn.

n=1

Обозначим H(C) - пространство целых функций в C. Топология этого пространства определяется полунормами

Рк(f) = sup |f (z)1,

zgK

2 Полярой множества G с E называется совокупность функционалов g g E*, удовлетворяющих условию |(g, х)| < 1, ух G G.

3Множество R в векторном пространстве Е называется ограниченным, если для всякой окрестности нуля U с E найдется такое a(U) > 0, что R с AU для всех А : |А| > a(U).

31

где К - всевозможные компактные подмножества C и называется топологией равномерной сходимости на компактах из C. В пространстве целых функций можно задать метрику для этого введем ряд вспомогательных понятий. Рассмотрим последовательность } открытых множеств такую, что

то

Пк С ttk+h k = 1, 2,..., У ttk = C.

k=i

В пространстве всех функций f (z) непрерывных в и голоморфных в ^k зададим топологию с помощью системы норм

||f||k =sup If(z)|,

zeQk

тогда метрику можно задать следующим образом:

= ± 2m iffc ,fg - H <«■

В работе [28] показано, что H(C) является пространством Фреше, то есть полным, метризуемым, локально выпуклым пространством.

Для формулировки основного результата потребуется пространство целых функций экспоненциально роста. Для того чтобы его определить необходимо ввести ряд

вспомогательных понятий. Пусть f (z) - целая функция.

32

Положим

М! (г)=тах\! (г )|

\г\=г

Говорят, что целая функция / (г) - целая функция конечного порядка, если существует такое р > 0, что неравенство

Ш! (г) < егм

выполняется для всех достаточно больших значений г = \г\ (г > г0(р)). Нижняя грань р таких чисел р называется порядком целой функции.

Пусть целая функция /(г) имеет конечный порядок р > 0. Говорят, что f (г) имеет конечный тип при порядке р, если существует а > 0 такое, что неравенство

МI (г) < еагР

выполняется для всех достаточно больших значений г =

\г \ (г > г0(а)). Нижняя гр ань а таких чисел а называется

р

Определение 1.4. Целая функция /(г) называется целой функцией экспоненциального роста, если порядок и тип функции равны 1.

Обозначим пространство таких функций через Рс. Целую

функцию экспоненциального роста, как правило, записы-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нуятов Андрей Александрович, 2015 год

Литература

[1] Ch. J. De La Vallee Poussin Sur Г equation différentielle lineaire du second ordre. Determination d'une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d'ordre n // Journ. de Math. (9), 8 (1929), 125-144.

[2] Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравненияТ.1 М.:Мир. 1953. 346 с.

[3] Напалков В.В. Комплексный анализ и задача Ко-ши для операторов свертки // Труды мат. пне. им.В.А.Стеклова. 2001. т.235. С.165-168.

[4] Е. Fischer lieber Differentiationsprozesse der Algebra // J. Math. 1917. Bd.148. S.l-78.

[5] V. Bargman On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform // Comm. Pure Appl. Math.1961. V.14 (3). p.187-214.

[6] L. Ehrenpreis Fourier analysis in several complex variables New York: Wiley - Interscience publishers, 1970.

[7] D.J. Newman, H.S. Shapiro A Hilbert space of analytic functions related to the operational calculus // Ann Arbor, 1964.

[8] D.J. Newman, H.S. Shapiro Certan Hilbert space of entire function // Bull. Amer. Math. Soc. 1970. V.72. p. 971-977.

[9] D.J. Newman, H.S. Shapiro Fischer spaces of entire functions // Proc. Symp. Pure Math. 1968. V.ll. P.360-369.

[10] H.S. Shapiro An algebraic theorem of E. Fischer, and the holomorphic Goursat problem //Bull.London Math. Soc.1989. V.21. P.513-537.

[11] Хермандер А. Анализ линейных дифференциальных операторов с частным,и производным,и. Т. 2: Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами М.:Мир. 1986. 455 с.

[12] A. Meril, D.C. Struppa Equivalence of Cauchy problems for entire and exponential type functions // Bull. London Math. Soc. 1985.V.17.P.469-473.

[13] A. Meril, A. Yger Problemes de Cauchy globaux // Bull.Soc. Math. France. 1992. V.120. P.87-111.

[14] Напалков В.В. К теории линейных дифференциальных уравнений, с переменными коэффициентами // ДАН. 2004.Т.397. Ш.С. 748-750.

[15] Напалков В.В. Об обобщении одной теоремы Фишера/ /ДАН. 2010. Т.433.№2. С. 170-172.

[16] Елпзарьев И.Н., Напалков В.В. О разложении Фишера для одного класса неоднородных полиномов/ /ДАН. 2012.Т.443.№2. С. 156-157.

[17] Мерзляков С.Г., Попенов С.В. Кратная интерполяция рядами экспоненте H(C) с узлами на, вещественной оси//Уфимский математический журнал. 2013. Т.5. № 3. С. 130 - 143.

[18] S. Axler, P. Gorkin,K. Voss The Dirichlet problem on quadratic surfaces Math, of computation. 2003. У.73.Ж246. P.637-651.

[19] Забирова К. Р., Напалков В. В. Операторы свёртки Данкла и многоточечная задача Балле Пуссена/ /Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физмат. науки. 2013. 1(30). С. 70-81.

[20] J. J. Betancor, М. Sifi, К. Trimeche, Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operators on C// Acta Math. Hung. 2005. V.106. Ж 1-2. P. 101-116.

[21] L. Lapointe, L. Vinet, Exact operator solution of the Calogero-Sutherland model//Commun. Math. Phys. 1996. V.178. №.2. P. 425-452.

[22] В.В.Напалков, А.А. Нуятов О парах Фишера// Тезисы докладов 13-й Саратовской зимнеи школы. Саратов: Научная книга, 2006. С. 127-128.

[23] В.В.Напалков, А.А. Нуятов О представлении пространства целых функций парами Фишера// Материалы Пятой молодежной научной конференции. Казань: Казанское математическое об-щество, 2006. С.169-170.

[24] Нуятов А.А. О представлении пространства целых функций парами Фишера// Материалы межд. конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ". Уфа. 2009. С.82-83.

[25] Nuyatov A.A. Representation of space of entire function of Fischer's pairs// Thirteenth International Conference on Functional Equations and Inequalities. Poland, Krakow, 2009. P. 133-134.

[26] Нуятов А. А. Связь многоточеной задачи Балле Пуссена с представлением Фишера//Комплексный анализ и дифференциальные уравнения: Материалы VI Международной научной конференции, посвяценной 70-ти летию Напалкова В.В. - Уфа. 2011. С.98.

[27] Nuyatov A.A. Interpolation problem in the kernel of the convolution operator with nodes specified in a corner// 20th Europ. Conf. on Itérât. Theory. Poland, Lagow, September 14-20, 2014. P.20.

[28] Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. M.: Мир, 1967.

[29] Напалков В.В., Нуятов A.A. Многоточечная задача Балле Пуссена для операторов свертки// Мат. сборник. 203:2 (2012). с.77-86.

[30] Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах М.: Наука, 1982. 240 с.

[31] Владимиров B.C. Уравнения математической физики М.: Наука, 1988.

[32] Левин Б.Я. Распределение корней целых функций М.:Гостехиздат, 1956.

[33] Напалков В.В., Мусин И.Х. Целые функции. Операторы свертки Баш. гос. ун-т, 2006.

[34] Напалков В.В. О дискретных слабодостаточных множествах в некоторых пространствах целых функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981.Т.45. №5. С.1088-1099.

[35] Напалков В.В. О строгой топологии в некоторых весовых пространствах функций// Матем. заметки. 39:4 (1986), 529-538.

[36] Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент М.: Наука, 1983.

[37] Кривошеев A.C., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. Т. 47, выпуск 6(288). 1992. С. 3-58.

[38] Muggli H. Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Comment. Math. Helv., 11:1 (1938), 151-179.

[39] Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент М.: Наука, 1980. 384 с.

[40] Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (F) и (LF). Сб. Математика. 1958. Т.2. №2. С. 77-107.

[41] Напалков В. В., Нуятов A.A. Многоточечная задача Балле Пуссена для операторов свертки с узлами, заданными в угле/ / Теоретическая и математическая физика. 180:2 (2014) С. 264-271.

[42] Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ Т.1 М.:Наука,1969.

[43] Епифанов O.E. О существовании непрерывного правого обратного оператора в одном классе локально выпуклых пространств //Изв. Сев.-Кавказ. Научного центра высшей школы. Сер. естеств. наук. Т.З. 1991. С. 3-4.

[44] Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957. Т. 1, №1. С. 60-77.

[45] Маркушевич А.И. Целые функции М.:Наука, 1975.

[46] Маркушевич А.И. Теория аналитических функций М.: Наука, 1968.

[47] Напалков В.В., Мерзляков С.А. Целые функции экспоненциального типа, представленные с помощью гамма-функции// ДАН. 2006.Т.410. №6. С. 734-738.

[48] Титчмарш Е. Теория функций М.:Наука, 1980.