Теоремы Чернова и Троттера-Като для локально выпуклых пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Неклюдов, Александр Юрьевич

• Неклюдов, Александр Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Неклюдов, Александр Юрьевич

1 Единственность и гладкость решения абстрактной задачи

Коши для уравнений вида х = Ах, А €

1.1 Терминология и обозначения.

1.2 Существование эффективной производной Э^ДО) для Э £

1.3 Единственность решения абстрактной задачи Коши.

2 Формула типа Чернова для представления локального решения абстрактной задачи Коши и её некоторые следствия.

2.1 Формула типа Чернова для решения абстрактной задачи Коши.

2.2 Аналоги теорем Чернова, Троттера и Троттера-Като для секвенциально полных локально выпуклых пространств.

3 Необходимые и достаточные условия существования решения абстрактной задачи Коши.

3.1 Необходимые и достаточные условия существования локального решения уравнения х = Ах для А €

3.2 Необходимые и достаточные условия того, что замыкание оператора является генератором локально равностепенно непрерывной полугруппы.

3.3 Некоторые следствия предыдущих результатов для банаховых пространств.

Посвящается маме и брату.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы Чернова и Троттера-Като для локально выпуклых пространств»

В диссертации рассматриваются задачи бесконечномерного анализа, связанные с исследованием абстрактной задачи Коши х = Ах: х(0) = .г*о 6 Т)(А) (1) для плотно определенных линейных операторов А £ Ях в локально выпуклом пространстве X, где 2>х состоит из всех операторов, играющих роль аналогичную генераторам локально равностепенно непрерывных полугрупп (но не обязательно являющихся генераторами). В ней получены представление локального решения задачи Коши для уравнения (1) в виде формулы типа Чернова, обобщения теорем Чернова, Трот-тера и Троттера-Като для секвенциально полных локально выпуклых пространств, необходимые и достаточные условия того, что замыкание оператора является генератором локально равностепенно непрерывной полугруппы. Следует отметить, что при доказательстве этих теорем не использовалась резольвентная техника, так что наш подход принципиально отличается от классического подхода, использованного при доказательстве первоначальных вариантов и некоторых обобщений этих теорем.

Перечисленные задачи относятся к одному из важнейших направлений бесконечномерного анализа, на протяжении более 50 лет находящемуся в центре внимания специалистов - теории полугрупп операторов. Считается, что рождение этой теории началось с публикацией книги Е. Хилле "Функциональный анализ и полугруппы" в 1948 году. С тех пор вышло бесчисленное количество литературы посвященной этой области функционального анализа; отметим в частности, монографии [4], [14], [15], [16], [27] и многочисленные журнальные статьи как этих, так и многих других авторов, в том числе Ю.Л. Далецкого, X. Троттера, П. Чернова, В. Феллера, Т. Като, Р. С. Филлипса, К. Иосида, О. Г. Смолянова и многих других. Область применения этой теории огромна и включает в частности задачи математической физики, теории вероятностей и теории управления. Таким образом, тему диссертации следует считать вполне актуальной.

В теории полугрупп хорошо известна проблема о связи между сходимостью последовательности полугрупп и последовательности порождающих генераторов. В случае банахова пространства теорема Троттера-Като [31] достаточно полно решает эту задачу. Эта теорема и её различные модификации играют важнейшую роль в теории полугрупп ([10], [17]). При доказательстве теоремы Троттера-Като изначально использовалась резольвентная техника. Развитие этой техники для теории полугрупп в локально выпуклых пространствах было одной из центральных проблем в работах [17], [20], [21], [26], [28], [32] и других. Отметим отдельно работу [9]. Используя резольвентную технику, развитую в [26], в ней доказываются обобщения теоремы Троттера-Като (теоремы 15, 17) для локально равностепенно непрерывных полугрупп, заданных на секвенциально полных локально выпуклых пространств. В отличие от результатов, полученных в этой работе, в диссертации доказывается обобщение теоремы Троттера-Като для произвольных локально равностепенно непрерывных полугрупп. А именно, нам удалось показать при естественных условиях эквивалентность сходимости последовательности локально равностепенно непрерывных полугрупп и последовательности их генераторов, не накладывая никаких дополнительных условий на генераторы этих полугрупп. Этот результат применим даже для локально равностепенно непрерывных полугрупп Т, заданных на секвенциально полном локально выпуклом пространстве X, генератор Z которых удовлетворяет следующему условию: не существует числа Л £ С, при котором образ оператора XI — 2 будет плотен в X. В частности такая полугруппа приводится в примере 1.

Другим центральным результатом в теории полугрупп можно считать теорему Чернова [11] (являющейся обобщением теоремы Троттера [31]). Теорема Чернова используется для представления решения задачи Коши уравнения (1). Частным случаем этого уравнения являются такие важные уравнения в математической физике как уравнение Шре-дингера, уравнение теплопроводности и многие другие. Э. Нельсон [25] использовал формулу Троттера (являющуюся частным случаем теоремы Чернова) для представления решения уравнения Шредингера с помощью интеграла Фейнмана по траекториям в конфигурационном пространстве.

Теорема Чернова была использована в [30] для представления решения уравнения теплопроводности на компактном римановом многообразии и в [29] для представления решения уравнения Шредингера в виде фейн-мановского интеграла по траекториям в фазовом пространстве. Эта теорема также была использована в работах [2], [3] и других. Обобщения теорем Чернова и Троттера для локально выпуклых пространств можно найти в [9], [10]. В отличие от результатов, полученных в этих статьях, в диссертации были доказаны обобщения этих теорем для произвольных локально равностепенно непрерывных полугрупп, заданных па секвенциально полных локально выпуклых пространствах.

Заметим, что при использовании теоремы Чернова предполагается глобальное существование и единственность решения уравнения вида (1) для банаховых пространств. В диссертации получена теорема (4) о представимости локального решения уравнения (1) в виде формулы типа Чернова, которая не предполагает ни единственность локального решения уравнения (1), ни тем более существование глобального решения этого уравнения. При этом уравнение вида (1) мы рассматриваем на произвольном локально выпуклом пространстве. Теорема (4) является центральным результатом в диссертации. Используя эту теорему, мы получаем обобщения теорем Чернова, Троттера и Троттера-Като на случай секвенциально полных локально выпуклых пространств. Даже в случае банахова пространства область применения теоремы (4) значительно шире, чем у теоремы Чернова. В частности из неё следует, что если существует локальное решение уравнения х = Ъх (2) с начальным условием ге(О) = хо для диссипативпого оператора Z в гильбертовом пространстве X, то это решение представимо в виде формулы типа Чернова. Также из этой теоремы непосредственно следует, что из существования локального решения уравнения Шредингера следует представление этого решения в виде фейнмановского интеграла. Используя теорему (4), в диссертации доказываются необходимые и достаточные условия существования локального решения уравнения вида (1). Как следствие этих результатов, мы получаем необходимые и достаточные условия того, что замыкания операторов являются генераторами локально равностепенно непрерывных полугрупп, заданных на секвенциально полных локально выпуклых пространствах. В частности, в работе найдены необходимые и достаточные критерии того, что сумма двух генераторов локально равностепенно непрерывных полугрупп является генератором локально равностепенно непрерывной полугруппы и при этом формула Троттера справедлива. Отметим также, что интерес представляет само доказательство теоремы (4), поскольку оно может быть использовано для оценки аппроксимации решения задачи Коши уравнения вида (1).

Методы исследования

В диссертации используются методы бесконечномерного анализа, а также ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Кроме того некоторые результаты могут найти применение в математической физике и в уравнениях в частных производных.

Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались на семинарах в Московском университете, а также на следующих конференциях:

1) XXVIII Конференция Молодых Учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2006;

2) XXIX Конференция Молодых Учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2007;

3) XXII Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г.Петровского, Москва, 2007;

4) XXX Конференция Молодых Учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2008.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, пет.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из 3 глав, разбитых на параграфы. Общий объём диссертации составляет 95 страницы. Список литературы включает 36 названий.

Краткое содержание диссертации Глава 1

В первой главе рассматривается задача Коши для уравнения х = Ах, (3) где А 6 Ях- В ней доказывается, что если существует локальное решение уравнения 3, то тогда это решение будет единственным и её производная по времени будет непрерывной. Также в этой главе доказываются различные вспомогательные результаты, которые и дальнейшем будут использоваться.

Глава состоит из трех параграфов. В параграфе §1.1 формулируются основные определения используемые в диссертации.

Для произвольного локально выпуклого пространства Е над полем Т G {М,С} с топологией задаваемой полунормами ]| • |[а, а £ П, мы предполагаем, что £(Е) — пространство всех ограниченных линейных операторов в Е с топологией поточечной сходимости (сильной операторной топологии), I — тождественный оператор в Е. Для любой функции С, определенной на подмножестве пространства Е, через Т>{С) будет обозначаться область определения С. Далее любое линейное подпространство пространства Е будет рассматриваться как локально выпуклое пространство с топологией задаваемой полунормами совпадающими с ограничениями непрерывных полунорм из Е на это подпространство. Для любого множества А С Е пусть функция || • ||а • Е i—» [0, оо) U {сю} определяется из равенства fsup{£ > 0\x/t ф А}, если {t > 0\x/t ф А} ф 0;

IpIIA — \

10, иначе, где х G Е; А° — множество, состоящее из всех линейных непрерывных функционалов / на Е удовлетворяющих условию sup|/(rc)| < 1. Для жеа любого множества В обозначим через 2В множество, состоящее из всех подмножеств множества В. Для любой функции S : [0, оо) i—> £(Е) обозначим через S* функцию из [0, оо) в £(Е) такую, что выполняется равенство S*(s) = (S(s))* для каждого s > 0.

Определение (1). Сопряженное пространство Е* — это локально выпуклое пространство, состояние из всех линейных непрерывных функционалов на Е; с топологией пороэюденной полунормами вида ii • ||а°; где А — ограниченное подмножество множества'Е.

Определение (2). Назовем линейный оператор А : V(A) —> Е замкнутым в том и только в том случае, когда график {(ж, Ах)\х £ Х>(А)} замкнут в пространстве Е х Е.

Определение (3). Назовем линейный оператор А : Т>(А) —■»■ Е замыкаемым в том и только в том случае, когда замыкание графика {(ж, Ах)\х £ Т>(А)} в Е х Е является графиком линейного оператора. Определение (7). Семейство (функций Gß £ £(Е), ß £ Г, равностепенно непрерывно, если для любого а £ О. существуют щ £ и {&г}"=1) bi > 0, такие, что sup ||С/зж||а < X^ILi ^'IMU* для каждого er х £ Е.

Определение (8). Для любой функции F : [0, оо) i—> £(Е) и любого числа s > 0 пусть Bf С £(Е) — семейство функций {Fm(^)|md/n < 5, n, т £ N, d> 0}.

Определение (9). £e — множество, состоящее из всех функций ¥ : [0, оо) I—» £(Е) таких, что F(0) — 1 и для каждого s > 0 лтожество Bf равностепенно непрерывно.

Определение (10). Для любых¥ £ £е, ol £ 5 > 0 функция || • ||F'S :

Е > [0, оо) определяется равенством = sup ||^(ж)[|а, х £ Е. seßF

Определение (11). Пользуясь определением 10 и применяя индукцию по п, для любых {Ег-}-г=1, Fi £ £е> си £ {si}f=1, S{ > 0, определим функцию || • ||^bSi;F2,s2;.;F„,s„ : Е i—»• [0, оо) равенством sup ^(а;)^1'5151'2'525-^-1'5"-1, х £ Е, для каоюдого натурального п > 2.

Определение (12). Для любой функции F : [0, оо) н-> £(Е) пусть Ер — MHooicecmeo, состоящее из всех / £ Е для которых суи^ествует последовательность {/s}s>o такая, что существуют пределы lim Д =

I, Hm /г,-1 (S(/i) — Э(0))Д.

Л—> о

Определение (13). Мы назовем (сильной) многозначной эффективной производной в 0 функции S : [0, оо) н-> £(Е) отображение S/rTiej(0) : Ер и 2е удовлетворяющее условию: для любого / £ Ер S/mey(0)/ состоит из всех g £ Е для которых суи^ествуют последовательности {fs}s>о такие, что существуют пределы lim Д = f, h—>0 mh-l(S(h)-S(0))fh = g. п.—> О

Определение (14). Мы будем говорить, что S/mey(0) однозначная, если S'mej(0)f состоит из одного элемента для каждого / G Ер. Определение (15). Пусть S — функция из [0, оо) в £(Е) и S'mef(0) однозначна. Мы назовем (сильной) эффективной производной еО функции S линейное отображение S'ej(0) : Ер Е такое, что для каждого / € Ер Sgyr(O)/ G S'mej(0)f. Мы будем говорить, что существует (сильная) эффективная производная S'ej-(0), если S^iej(0) однозначна. Определение (16). Мы назовем (сильной) производной в 0 функции S : [0, оо) н-> £(Е) линейное отображение S'(0) : T>(S'(Q)) i—> Е определенное равенством З'(0)гр = lim h~1(S(h)íp — S(0)iß), i¡j G X>(S'(0)), где г—» О

T>(S'(0)) состоит из всех чр G Е для которых этот предел существует.

Определение (17). Функцию Т : [0, оо) —> £(Е) назовём ICq-полугруппой, если выполняются следуют,ие условия:

1) Т(0) = I, Т(/ + т) = Т(1)Т(т) для каждых I, те [0, оо).

2) Функция Т непрерывна.

3) tg £е

Определение (18). Линейный оператор Z назовём генератором ICq-полугруппыТ, если Z является (сильной) производной в нуле 0 функции Т.

Хорошо известен факт, что имеется взаимно однозначное соответствие между ZCo-полугруппами и их генераторами. Определение (19). Назовём Т> ядром генератора Z Ю^-полугруппы Т, если замыкание множества {(ж, Zx)\x G Т>} в Е х Е совпадает с графиком функции Ъ.

Определение (20). jFe — множество, состоящее из всех функций F : [0, оо) н-» £(Е) таких, что F G £е и плотно в Е.

Определение (21). Zе — мнооюество, состоящее из всех плотно определенных линейных операторов в Е для которых существуют функции F G íJe такие, что Т>{Z) С T>(F'ej(Ö)) и Z/ = F^(0)/ для каждого f G £>(Z).

Далее всюду мы предполагаем, что X — хаусдорфово локально выпуклое пространство над полем Т G {М, С}) с топологией порожденной полунормами [| ■ ||а, a G Í2, и В — либо сепарабельное рефлексивное банахово пространство, либо гильбертово пространство.

Замечание (2). Условие хаусдорфовости пространства X на самом деле не является существенным, поскольку вместо любого локально выпуклого пространства можно рассматривать соответствующее фактор-пространство.

В параграфе §1.2 мы доказываем существование эффективной производной Sgj(O) для функций S 6 IJx- Также в ней доказана следующая теорема:

Теорема (1). Пусть F Е jFx- Пусть также линейный операторЪ имеет область определения Т>{Z) с D(F'ey(0)) и

Z/ = F'e/(0)/, / Е V(Z).

Тогда оператор Z замыкаем.

Из теоремы 1 непосредственно следует, что если Z Е Zx, то тогда Z — замыкаемый оператор.

Замечание (4). Далее мы будем часто пользоваться тем, что оператор Z Е Zx является замыкаемым оператором, и в условиях некоторых утверждений мы не будем пояснять существование замыкания оператора Z (Z), если из других условий этих утверждений следует, что Z Е Zx

В параграфе §1.3 вводится определение локального решения и доказываются некоторые свойства этих решений.

Определение (22). Функция g : [0, /) i—» X, I > 0, называется локальным решением на полуинтервале [О, I) системы f(t) = z/(¿), te [о, о, ДО) = hev( z), где Z Е Zr, если выполняются следующие условия: 1) g(s) Е T>(Z) при каоюдом s Е [О, I). Ю = h и (g(s))'s = Zg(s), при каждом s Е [О, I).

Следующие две теоремы показывают единственность и гладкость локальных решений соответствующих систем уравнений: Теорема (2). Предположим, что функция F Е Ux и t > 0. Предполо-DicuM также, что линейный оператор Z имеет область определения V{Z) с V(F'ef(0)) и

Z / = F'(0)/, / Е V(Z).

Если существует локальное решение / : [0, ¿) i—> X системы

Г (s) = Zf(s),se [О, О, ДО) = gev{ Z), mo тогда это решение единственное и s) = W- lim {F(i/n)]>% 5 G [О, О

Tl—^оо

Теорема (3). Предположим, что F G ^х- Предполооюим также, что линейный оператор Z имеет область определения Р(Z) С î?(Fgj(0)) и

Z/ = F'e/(0)/, / G 2>(Z). Пусть f : [0, /) X — локальное решение системы f\t) = z/(i),te[o, Z), /(0) =

Тогда / G Ci ([О, /),Х). Глава 2

Во второй главе доказывается теорема о представимости локального решения уравнения (1) в виде формулы типа Чернова, которая не предполагает нpi единственность локального решения уравнения (1), ни тем более существование глобального решения этого уравнения. При этом уравнение вида (1) мы рассматриваем на произвольном локально выпуклом пространстве. Эта теорема является центральным результатом в диссертации. Используя эту теорему, мы получаем обобщения теорем Чернова, Троттера и Троттера-Като на случай секвенциально полных локально выпуклых пространств. В частности из этой теоремы непосредственно следует, что из существования локального решения уравнения Шредингера следует представление этого решения в виде фейнманов-ского интеграла. Также эта теорема в дальнейшем будет использована для доказательств необходимых и достаточных условий существования локального решения уравнения вида (1). И как следствие этих результатов, мы в дальнейшем получим необходимые и достаточные условия того, что замыкания операторов являются генераторами локально равностепенно непрерывных полугрупп, заданных на секвенциально полных локально выпуклых пространствах.

Вторая глава состоит из двух параграфов. В параграфе §2.1 сначала доказывается теорема о представимости локального решения уравнения (1) в виде формулы типа Чернова. Она формулируется следующим образом:

Теорема (4). Предположим, что функция F G 5Fx- Предположим тако/се, что линейный оператор Z имеет область определения Т)(Ъ) с

4Kfm и z/ = F'e/(0)Z, / G V(Z). Если существует локальное решение f : [0, I) н-> X системы f(t) = Z/(i), t G [О, о,

До) = hev{ Z), то тогда F(|)"/?, сходится к f(t) при п —> оо равномерно по t & [0, to] для каэюдого ¿о £ (0, /).

Отметим, что доказательство теоремы (4) может быть использовано для оценки аппроксимации решения задачи Коши уравнения вида (1). Из теоремы (4) выводятся следующие результаты:

Следствие (3). Предполоэюим, что функция F G üFx и t — фиксированное положительное число. Предположим также, что линейный оператор Z имеет область определения Т>{Ъ) С T>(F'ef(0)) и

Z/ = F'e/(0)/, / G V(Z).

Если существует локальное решение f : [0, /) н-> X системы f(t) = z/«, ^g [о, о,

0) = /igD(Z), то тогда сходится к f(s) rcpw п —> оо равномерно по s Е

0, ¿о] для каждого to £ (0,

Теорема (5). Предположим, что функция F G 5Fx- Предположим также, что линейный оператор Z имеет область определения Т>{Ъ) С

4Kfm« z/ = F'e/(0)/, / G Z?(Z).

Если существует локальное решение f : [0, /) i—»■ X системы f(t) = Zf(t), te [о, /), ДО) = he v(z), то тогда F(^)nZh сходится к Z f(t) при п —» оо равномерно not £ [0, ¿о] для каоюдого to £ (0, /).

Следствие (4). Предполоо/сим, что функция F G 5Fx и I — фиксированное полоо/сительное число. Предполооюим также, что линейный оператор Z имеет область определения T>(Z) С V(F'ej(0)) и z/ = F'e/(0)/, / е V(Z).

Если существует локальное решение / : [0, /) >—> X системы f\t) = Z/(*), t € [О, Z), /(О) = АеВД то тогда сходится к Zf(s) при п —» оо равномерно по s е

О, ¿о] для каждого to е (0, /).

В параграфе §2.2 доказываются обобщения теорем Чернова, Трот-тера и Троттера-Като для секвенциально полных локально выпуклых пространств.

Следующая теорема является обобщением теоремы Чернова [11] для локально выпуклых пространств.

Теорема (6). Пусть оператор Z является генератором ICq-полугруппы в секвенциально полном локально выпуклом пространстве X w Т) является ядром (существенной областью определения) генератора Z. Предположим также, что существует функция F € Эх такая, что

F'e/(0)/ = Zf для каэюдого f е V. Тогда F(t/n)nf сходится к exp(iZ)/ при п —оо для произвольного / Е X равномерно по t Е [0, ¿о] для каэюдого to > 0.

Далее приводится теорема представляющая собой обобщение теоремы Троттера-Като для произвольных локально равностепенно непрерывных полугрупп, заданных на секвенциально полных локально выпуклых пространств: а именно, в ней утверждается эквивалентность сходимости последовательности полугрупп и сходимости последовательности порождающих генераторов при соответствующих условиях. Теорема (7). Для као/сдого s > О пусть Zs является генератором ICq-полугруппы в секвенциально полном локально выпуклом пространстве X. Пусть также мноэюество операторов

A/o = {exp(/Zs)|/e [0, /о], s>0} равностепенно непрерывно для каэюдого 1о > 0. Пусть D состоит из всех / G Т>(Zo) для которых существует последовательность {fs}s>o, fs G T>(ZS), такая, что существуют пределы ит/5 = /, s—>0 lim Z sfs = Z0/. s—>0

Тогда следующие условия эквивалентны: г) exp (/Zs)/ сходится к exp (/Zo)/ при s —> 0 равномерно по I G [0, ¿о] для каоюдых ¿о > 0 и / G X. j D — ядро (существенная область определения) генератораЪо.

Следующая теорема является обобщением теоремы Троттера для локально выпуклых пространств.

Теорема (8). Пусть А, В и Z являются генераторами Ю^-полугрупп в секвенциально полном локально выпуклом пространстве~Х. и D является ядром (существенной областью определения) генератораЪ. Предположим, что D С Т>{А) П Т>(В),

Z/ = A/ + B/ для каоюдого / G Т> и функция exp (-А) exp (-В) : [0, оо) £(Х)} G £Х

Тогда (exp (^А) ехр (^В))п/ сходится к exp (¿Z)/ при п —» оо для всех / G X равномерно по t G [0, ¿о] для као/сдого to > 0.

В заключение покажем, что результаты, полученные в работах [9], [10] в отличие от приведенных выше, не применимы для произвольных равностепенно непрерывных полугрупп на секвенциально полных локально выпуклых пространствах. Для этого нам достаточно построить генератор Z локально равностепенно непрерывной полугруппы Т, который удовлетворяет следующему условию: не существует числа А Е С, при котором образ оператора Л1 — Z будет плотен в X. Следующий пример удовлетворяет этому условию:

Пример (1). Пусть X состоит из всех комплсснозначных непрерывных функций на комплексной плоскости и топология на X задается полунормами || • ||г, г > 0,, которые определяются равенствами ||/||г — вир \/(х)\, х Е С, для каждого /бХ. Определим оператор умножения ж| <г

Z : X —» X равенством Z(/(.г•)) = ж/(ж), / е X, х Е С. Тогда легко проверяется, что Z порождает /Со-полугруппу Т, которая удовлетворяет равенству Т(з)(/(х)) = е8Х/(х), 5 > 0, / £ X, ж £ С. Тогда очевидно, что при любом А 6 С замыкание образа А1 — Z не содержит ни одну не обращающуюся в 0 непрерывную функцию из X. Таким образом, мы получили, что образ оператора А1 — Z не плотен в X.

Глава 3

В третьей главе доказываются необходимые и достаточные условия существования локального решения уравнения вида (1). И как следствие этих результатов, выводятся необходимые и достаточные условия того, что замыкания операторов являются генераторами локально равностепенно непрерывных полугрупп, заданных на секвенциально полных локально выпуклых пространствах.

Третья глава состоит из трех параграфов. В параграфе §3.1 доказываются необходимые и достаточные условия существования локального решения уравнения вида (1). В часности получен следующий результат: Теорема (9). Пусть оператор Z Е 2х и £ > 0. Пусть такэ/се существует функция Р Е Э^х такая, что выполняются следуюи^ие условия: г) 2>(б"(о)) э Ъ{Ъ) и по)/ = г/, / е V{Z). и) V{F*'(0)) *-плотно в X*.

Тогда локальное решение / : [0, I) ь-> X, I > 0, системы = г/(г>), ДО) = НеЪ{Ъ), существует на полуинтервале [0, /) в том и только в том случае, когда выполнены следующие условия: а) Из любой подпоследовательности последовательности g G {h, Zli}, s G [О, l), мюжно выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность.

Ь) Для любых s G [0, I) существует последовательность {fn}%Li> fn ^ Т>(Z), такая, что существует предел w- lim (FM\±)h-fi) = 0 п—> оо и из любой подпоследовательности последовательности {Zs G [0, I), можно выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность. Более того, если условия (а)-(Ь) выполнены, то тогда f(v) = lim {F(v/n)}nh, v G [0, l). n—>00

Как следствие теоремы 9 получаем следующее утверждение: Следствие (5). Пусть оператор Z 6 Zy^ ut > 0. Пусть также существует функция F € такая, что выполняются следующие условия: г) V{¥'{0)) э V(Z) и F'(0)/ = Z/, / G X>(Z). ii) V(F*'(0)) *-плотно в X*.

Тогда локальное решение / : [0, /) t—> X, l > 0, системы f(v) = Z

Л0) = леад, существует на полуинтервале [0, Z) в том и только в том случае, когда выполнены следующие условия: a) Из любой подпоследовательности последовательности

9 ^ {h, Zh}, s G [0, l), Mooicuo выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность. b) Для любых s G [0, I) существует последовательность 1; G I?(Z), такая, что tu- lim = 0 п—>со U w- lim {F[ns/i\±-)zh - Z/4) = 0. п—>оо 71

Более того, если условия (а)-(Ъ) выполнены, то тогда f(v) = lim {F(v/n)}nh, v G [0, l). n—>00

Если X — рефлексивное пространство, то условие (а) теоремы 9 можно упростить:

Теорема (10). Пусть X — рефлексивное локально выпуклое пространство, оператор Z G и t > 0. Пусть также существует функция F G Эх шакал, что выполняются следующие условия: г) X>(F'(0)) D V(Z) и F'(0)/ = Z/, / е V(Z). ii) !D(F*/(0)) *-плотно в X*.

Тогда локальное решение f : [0, /) н-» X, I > 0, системы f(v) = Z /(О) = /ie2?(Z), существует на полуинтервале [0, ¿) в том и только в том случае, когда выполнены следующие условия: a) Из любой подпоследовательности последовательности s G [0, I), можно выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность. b) Для любых s G [0, I) существует последовательность fn £ Т>{Z), такая, что существует предел w- lim (F^(i)/i-/*) = 0, г?—+оо и из любой подпоследовательности последовательности s G

0, /), modicho выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность. Более того, если условия (а)-(Ъ) выполнены, то тогда f(v) = lim {F(v/ri)}nh, v G [0, /). n—*oo

Если заменить условие (а) теоремы 9 на условие, что из любой подпоследовательности последовательности s G [0, /), можно выбрать сходящуюся подподпоследовательность, то тогда, как следует из следующей теоремы, условие (ii) можно опустить. Теорема (11). Предполоо1сим, что Z — плотно определенный линейный оператор в локальном выпуклом пространстве X и t > 0. Предположим также, что существует функция F G iFx такая, что P(F'(0)) D V(Z) и F'(0)/ = Zf, f G V(Z).

Тогда локальное решение J : [О, Z) i—^ X, / > О, системы f'(v) = Z/(V), о) = hev( z), существует на полуинтервале [О, I) в том и только в том случае, когда выполнены следующие условия: a) Из любой подпоследовательности последовательности s (С [q Mootcno выбрать сходящуюся подподпоследовательность. b) Для любого s Е [О, /) существует последовательность /„ £ такая, что существует предел w- lim (Ff775^^-)^ —= О и п—юо п из любой подпоследовательности последовательности {Z fn}neN можно выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность. Более того, если условия (а)-(Ь) выполнены, то тогда f(v) = lim {F{v/n)}nh, v E [О, I). п—юо

Как следствие теоремы 11 получаем следующее утверждение: Следствие (6). Пусть t > 0. Предполооюим, что С и D являются генераторами 1Со-полугрупп exp(sC) и exp (sD) в секвенциально полном локально выпуклом пространстве X. Предположим также, что выполнены следующие условия: г) V(C) П V(D) плотно в X. И) {[0, оо) Э 5 exp (sC) exp (sD)} e £x-Тогда локальное решение f : [0, /) t—> X, I > 0, системы f(v) = (Ü+D )f(v), /(0) = heV( C + D), существует на полуинтервале [О, I) в том и только в том случае, когда выполнены следующие условия: a) Из любой подпоследовательности последовательности {{exp exp 5 е [0, l/t), можно выбрать сходящуюся подподпоследовательность. b) Для любого s Е [0, l/t) существует последовательность {fn}%Li> fn е X?(C + D), такая, что существует предел w- lim {exp (£C) exp (¿D)}frisl/ — /®) = 0 и из любой подпоследовательности последовательности {(С + D)/®}^=1 mooicho выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность.

Более того, если условия (а)-(Ъ) выполнены, то тогда выполняется равенство f{s) = lim {exp (¿С) exp (¿D )}»/, s G [0, Z), тг—oo " " для каэ/сдого f G X.

В параграфе §3.2 доказываются необходимые и достаточные условия того, что замыкания операторов являются генераторами локально равностепенно непрерывных полугрупп, заданных на секвенциально полных локально выпуклых пространствах.

Теорема (12). Пусть X — секвенциально полное локально выпуклое пространство и функция F G Э^х- Предположим, что линейный оператор Z имеет область определения Т>{Ъ) С Т>(F'(0)) и

Z/ = F'(0)/, feV(Z).

Предположим также, что А С является плотным линейным подпространством X и существует фиксированное I > 0 такое, что существует локальное решение / : [0, /) i—> X системы f{s) = Z/(s), 5 G [О, О, /(0) = /о лл всея; /о G А. Тогда Z замыкаем и Z является генератором ICq-полугруппы S. Более того, выполнено следующее равенство:

S(¿)/ = Hm F(i/nf/, t > 0, п—>оо для каждого / G X.

Выше приведенный результат является аналогом теоремы 2.27 из [14] для локально выпуклых пространств. Из теорем 9 и 12 получаем следующий результат:

Теорема (13). Предполоотим, что Z — плотно определенный линейный оператор в секвенциально полном локальном выпуклом пространстве X и t > 0. Предположим также, что существует функция F : [0, ос) —> £(Х) удовлетворяющая следующим условиям: г) F G 5FX. гг) V(F'(0)) э V(Z) и F'(0)/ = Z/, / e V(Z). iii) £>(F*'(0)) *-плотно в X*.

Тогда оператор Z замыкаем и его замыкание является генераторомICq-полугруппы тогда и только тогда, когда существует плотное линейное подпространство А С V(Z) такое, что для любых / G А и s > 0 существует последовательность {/%}*£= i, In е удовлетворяющая следующим условиям: a)w- lim (Ff™/i](i)//-) = 0. тг—>00 " b) Из любой подпоследовательности последовательности {Z/®} можно выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность. c) Из любой подпоследовательности последовательности моэ/сно выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность.

Используя теорему 13, получаем следующий результат: Теорема (14). Пусть Z — плотно определенный замыкаемый линейный оператор в секвенциально полном локально выпуклом пространстве и t > 0. Тогда замыкание оператора Z является генератором Юо-полугруппы в том и только в том случае, когда существует функция F € З^х такая, что выполняются следующие условия: i) £>(F'(0)) D V(Z) и F'(0)/ = Z/, f e V(Z). ii) £>(F*'(0)) *-плотно в X*. iii) Существует плотное линейное пространство А С Т>{Z) такое, что для каэ!сдых / е А, s > 0 существует последовательность {fn}n.=i> fn е удовлетворяющая следующим условиям: a)w- lim (F^](i)/^) = 0. гг—кх> b) Из любой подпоследовательности последовательности {Z можно выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность. c) Из любой подпоследовательности последовательности {/„}neN можно выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность. Более того, если условия (i)-(iii) выполнены, то тогда exp (tZ)f = lim FШпГ/. тг—>оо

Как следствие теоремы 14 получаем следующий результат: Следствие (7). Пусть Z — плотно определенный замыкаемый линейный оператор в секвенциально полном локально выпуклом пространстве ~Х. и t > 0. Тогда замыкание оператора Z является генератором

1С ^-полугруппы в том и только в том случае, когда существует функция F G Ux шакал, что выполняются следующие условия: i) P(F'(0)) D V(Z) и F'(0)/ = Z/, / G V{Z). ii) £>(F*'(0)) *-плотно в X*. ш,) -03 любой подпоследовательности последовательности {рМ s > 0, / G X, можно выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность. iv) Существует плотное линейное подпространство А С Т>{Z) ?па-геое, "гто као/сдых / G А, s > 0 су1цествует последовательность {fn}n=fn е £>(Z), такая, что w- lim (FH(i)//-) = 0 тг—>оо " и w- lim (F^(^)Z/ — Z/4) = О. n—>-оо

Более того, если условия (i)-(iv) выполнены, то тогда exp (tZ)f — lim F{t/nff. п—юо

Из теоремы (13) получаем следующий результат: Следствие (8). Пусть t > 0. Предположим, что С и D являются генераторами Ю^-полугрупп exp (sC) и exp (sD) секвенциально полном локальном выпуклом пространстве X. Предполоо1сим также, что существует множество В С P((exp(sC)*)'s=:0) П X>((exp(sD)*)/s=0) и следующие условия выполнены: г) V{C) П £>(D) плотно в X. п) В * -плотно в X*. in) {[0, оо) Э s I—> exp (sC) exp (sD)} € £хiv) Функция g(s,x) = exp (sD*)a;, s > 0, x G X, непрерывна в точке s = 0 для као/сдого х G (exp(sC)*)'s=0(B).

Тогда сумма операторов С и D является замыкаемым оператором и его замыкание является генератором Ю^-полугруппы тогда и только тогда, когда существует плотное линейное подпространство А С Х>(С) П T>(D) такое, что для всех / G А и s > 0 существует последовательность {f*}n=i> fn £ £>(C + D), удовлетворяющая следующим условиям: а) w- lim ((exp (±С) exp (±D))М/ /-) = 0. b) Из любой подпоследовательности последовательности modic-но выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность. c) Из любой ' подпоследовательности последовательности {(C + Dмоэюно выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность.

Более того, если условия (а)-(с) выполнены, то тогда exp (s(C + D))/ = lim {ехр (¿С) exp (¿D)}n/, 5 > О, n—y oo каждого /бХ.

Если заменить условие (Ь) теоремы 14 на условие, что из любой подпоследовательности последовательности {Fможно выбрать сходящуюся подподпоследовательность, то тогда, как следует из следующей теоремы, условие (ii) можно опустить.

Теорема (15). Предположим, что Z — плотно определенный линейный оператор в секвенциально полном локальном выпуклом пространстве X и t > 0. Предположим также, что существует функция Fg?x такая, что £>(F'(0)) э D(Z) и F'(0)/ = Z/, / G Z>(Z). Тогда оператор Z замыкаем и его замыкание является генератором ICq-полугруппы тогда и только тогда, когда существует плотное линейное подпространство А С Т){ Z) такое, что для любых JeA«s>0 существует последовательность {fn}%Li> £ £>(Z), так, что выполняются следуют,ие условия: a)w- lim (FM(i)/-/n*)=o. n—> oo " b) Из любой подпоследовательности последовательности моэюно выбрать сходящуюся подподпоследовательность. c) Из любой подпоследовательности последовательности моэюно выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность.

Из теоремы 15 получаем следующий результат: Следствие (9). Пусть t > 0. Предположим, что С и D являются генераторами 1Со-полугрупп exp(sC) и exp (sD) в секвенциально полном локально выпуклом пространстве X. Предполоэюим также, что выполнены следуют;ие условия: i) V(C) П £>(D) плотно в X. ii) {[0, oo) Э «и exp(sC)exp(<sD)} € £х

Тогда сумма операторов С и D является замыкаемым оператором и его замыкание будет генератором Ю^-полугруппы тогда и только тогда, когда существует плотное линейное подпространство А С Х>(С) flX>(D) такое, что для каждых / е А и s > 0 существует последовательность {¡п}п=\, In £ + удовлетворяющая следующим условиям: a) ад-Ит ((ехр (¿С) exp (¿D))H/ /-) = 0. b) Из любой подпоследовательности последовательности молено выбрать сходящуюся подподпоследовательность. c) Из любой подпоследовательности последовательности {(С + можно выбрать слабо сходящуюся подподпоследовательность.

Более того, если условия (а)-(с) выполнены, то тогда выполняется равенство ехр (s(C + D))/ = lim {ехр (¿С) ехр (¿D)}"/, s > О, для каждого f G X.

В параграфе §3.3 выводятся некоторые следствия предыдущих результатов для случая, когда X является рефлексивным сепарабельным банаховым пространством или гильбертовым пространством. В этом случае многие предыдущие результаты существенно упрощаются и мы получаем следующие результаты:

Следствие (10). Пусть Z : В D Т>(Z) В является линейным оператором, Т>(Z) плотно в В и t > 0. Тогда оператор Z замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда существует функция F : [0, оо) ь-»• С{В) удовлетворяющая следующим условиям: i) F(0) = I и существуют а € М и М > 1 такие, что ||Fm(^)|| < Mexp(as^) для каждых п, т G N и s > 0. ii) £>(F'(0)) э V(Z) и F'(0)/ = Z/, для/ е V(Z). iii) £>(F*'(0)) *-плотно в В*. iv) Существует полное линейное подпространство А С V(Z) такое, что для каждых / G А и s > 0 существует последовательность fn}^L], In £ ^(Z), которой, во-первых, существует предел w- lim (FM(i)//n) = o,

11—»oo " во-вторых, последовательность является ограниченной.

Более того, если условия (i)-(iv) выполнены, то тогда выполнено равенство exp (sZ)f = lim F(s/n)7lf, s > О, для каждого f E В. n—>• CO

Следствие (11). Пусть Z : В Z> P(Z) —» Z3 является линейным оператором, V(Z) плотно в В и t > 0. Предположим, что существует функция F : [0, оо) н-£(Б) длл которой выполнены следующие условия: i) F(0) = I и существуют а Е К. и М > 1 такие, что

F"4£)||<Mexp(<<) длл любых п, т Е N и s > 0.

Й; X>(F'(0)) D P(Z) « F'(0)/ = Z/, / E 2>(z). iii) £>(F*'(0)) *-плотно в В*.

Тогда оператор Z замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда существует плотное линейное подпространство А С V(Z) такое, что для любых f eA«s>0 существует последовательность {/n}^L1; fn Е T>(Z), удовлетворяются равенству w- lim — fn) = 0, и для которой п.—юо п последовательность {F^O)/^}^ является ограниченной. Следствие (12). Пусть t > 0. Предположим, что операторы С и D являются генераторами сильно непрерывных полугрупп exp(sC) и exp(sD) в В и выполнены следующие условия: г) £>(С) П £>(D) плотно в В. И) £>(С*) П V(D*) *-плотно в В*. iii) Существуют а Е К и М > 1 такие, что выполняется неравенство exp(JC)exp(^D)r|| < Мехр(а^) для любых n, т Е N и s > 0.

Тогда сумма операторов С и D является замыкаемым оператором и его замыкание будет генератором сильно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда существует плотное линейное подпространство

А С V{C) П T>(D) такое, что для любых / € А и s > 0 существует последовательность {/n}£Li; fn £ ^(С) П P(D), удовлетворяющая следующим условиям: a) w- lim ((ехр (¿С) exp (¿D- /п) = 0. п—юо " b) {(C + D)/n}^=0 — ограниченная последовательность.

Более того, если выполнены условия (а)-(Ь), то тогда имеет место равенство ехр (s(C~+~D))/ = lim {ехр (¿С) ехр (¿D)}"/, ^ > О, п—>оо ' " для каждого f Е В.

Замечание (6). операторы iC и ¿D являются самосопряженными, то тогда условия (ii), (iii) в следствии 12 можно опустить.

В заключение я хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Неклюдов, Александр Юрьевич, 2008 год

1. Я. А. Бутко, Функциональные интегралы, соответствующие решению задачи Коши-Дирихле для уравнения теплопроводности в области компактного риманова многообразия, Фундаментальная и прикладная математика, 2006, том 12, выпуск 6, стр. 3-15.

2. X. фон Вайцзеккер, О.Г. Смолянов, О. Виттих, Диффузия на компактном римановом многообразии и поверхностные меры, доклады Академии Наук, 371 (2000), N 4, 442-447.

3. С.Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М.: Наука, 1967.

4. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977.

5. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, том 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978.

6. А. Робертсон, В. Робертсон, Топологические векторные пространства, М.: Мир, 1967.

7. X. Шефер, Топологические векторные пространства, М.: Мир, 1971.

8. А. А. Albanese, F. Kühnemund, Trotter-Kato approximation theorems for locally equicontinuous semi-groups, Riv. Mat. Univ. Parma 1 (2002) 19-53.

9. A. A. Albanese, E. Mangino, Trotter-Kato theorems for bi-continuous semigroups and applications to Feller semigroups, J. Math. Anal. Appl. 289 (2004) 477-492.

10. P. R. Chernoff, Note on product formulas for operator semigroups, J. Funct. Anal. 2 (1968), 238-242.

11. N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear Operators, I. General Theory, Pure and Applied Mathe- matics, Vol. 7, Interscience Publishers, New York, 1958.

12. N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear Operators, II: Spectral Theory. Self Adjoint Operators in Hilbert Space, with the assistance of William G. Bade and Robert G. Bartle, Interscience Publishers, New York, 1963.

13. E. B. Davies, One-Parameter Semigroups, St. John's College, Oxford, England (1980).

14. K.-J. Engel and R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Texts, in Math., vol. 194, SpringerVerlag, 2000.

15. J. A. Goldstein, Semigroups of Linear Operators and Applications, Oxford Univercity Press, New York, 1985.

16. C. Grosu, The Trotter product formula in locally convex spaces, I. Rev. Roumaine Math. Pures Appl.- 31.- 1986, no. 1, p.29-42.

17. E. Hille, Functional Analysis and Semigroups, Amer. Math. Soc. Coll. Publ. 31, Providence R.I., 1948.

18. E. Hille and R. S. Phillips, Functional Analysis and Semigroups, Amer. Math. Soc., Providence, R. I. (1957).

19. H. Komatsu, Semi-groups of operators in locally convex spaces, J. Math. Soc. Japan, 16 (1964), 230-262.

20. T. Komura, Semigroups of operators in locally convex spaces, J. Functional Analysis, 2 (1968), 258-296.

21. F. Kühnemund, Bi-continuous semigroups on spaces with two topologies: theory and applications, Ph.D. thesis, Tübingen, 2001.

22. F. Kühnemund, A Hille-Yosida theorem for bi-continuous semigroups, Semigroup Forum, submitted for publication.

23. F. Kühnemund, Approximation of bi-continuous semigroups, J. Approx. Theory, submitted for publication.

24. E. Nelson, Feynman integrals and the Schrodinger equation, J. Math. Phis., 1964, Vol. 5, no. 3, p. 332-343.

25. S. Ouchi, Semi-groups of operators in locally convex spaces, Math. Soc. Japan, Vol. 25, No. 2, 1973.

26. A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Appl. Math. Sei., vol. 44, Springer- Verlag, 1983.

27. L. Schwartz, Lectures on mixed problems in partial differential equations and the representation of semi-groups, Tata Institute of Fundamental Research, 1958.

28. O. G. Smolyanov, A. G. Tokarev, A. Truman, Hamiltonian Feynman path integral via the Chernoff formula, J. Math. Phys., Vol. 43, No. 10, October 2002.

29. O. G. Smolyanov, H. von Weizsäcker, O. Wittich, Brownian Motion on a Manifold as Limit of Stepwise Conditioned Standard Brownian Motions, Canadian Math. Society Conference Proceedings, 589-602, 29 (2000).

30. H. Trotter, On the product of semigroups of operators, Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959), 545-551.

31. K. Yosida, Functional analysis, Springer, Berlin, 1965.

32. А. Ю. Неклюдов, Обращение теоремы Чернова, Матем. заметки, 2008, 83:4, 581-589.

33. А. Ю. Неклюдов, Обращение теоремы Чернова, Труды XXVIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова 2006 г., т.2, 156-158.

34. А. Ю. Неклюдов, О критериях применимости теорем Чернова и Тро-ттера. Тезисы международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г. Петровского, 2007, 209-210.

35. А. Ю. Неклюдов, Теоремы Чернова и Троттера-Като для локально выпуклых пространств; Моск. гос. ун-т. Москва, 2008. - 55 с. -Библиогр.: 21 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 03.07.08. № 574-В2008