Структура и тождества некоторых градуированных алгебр ЛИ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Репин, Дмитрий Владимирович

• Репин, Дмитрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Репин, Дмитрий Владимирович

Введение

1 Алгебры Ли, градуированные алгебры и их многообразия

1.1 Основные определения.

1.2 Z2 - градуированные алгебры Ли

1.3 Многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста

2 Градуированная алгебра sfo

2.1 Градуировки на алгебре sfo. 2.2 Тождества гг-градуированной алгебры s/

2.3 Тождества Z2 х 72-градуированной алгебры SI2.

2.4 Тождества Z3-rpaflynpoBaHHoii алгебры s/г

3 Некоторые многообразия алгебр Ли, порожденные Z2 - градуированными алгебрами Ли

3.1 Многообразие V^

3.2 Многообразие V3 2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура и тождества некоторых градуированных алгебр ЛИ»

При изучении тождественных соотношений в линейных алгебрах одним из важных вопросов является нахождение численных характеристик для описания количества тождеств некоторой конкретной алгебры или многообразия алгебр. Такой характеристикой для произвольного многообразия V является размерность Cn(V) пространства полилинейных элементов степени п. Числа cn(V) образуют последовательность, рост которой называют ростом многообразияV. В ассоциативном случае А.Регевым в [28] было показано, что любое собственное многообразие ассоциативных алгебр имеет не более чем экспоненциальный рост. В алгебрах Ли это не так, существуют многообразия алгебр Ли со сверхэкспоненциальным ростом. Одним из таких многообразий является многообразие AiV"2, определяемое тождеством (Х1Х2Х3) (х^х^хо) = 0. Данное многообразие было подробно исследовано И.Б. Воличенко [5],[6]. Новые результаты исследования этого многообразия можно посмотреть в работе А. Джамбруно, С.П. Мищенко и М.В. Зайцева [12].

В теории многообразий линейных алгебр хорошо известны результаты о многообразиях с почти полиномиальным ростом, то есть само многообразие имеет экспоненциальный рост, а любое его собственное подмногообразие -полиномиальный.

В ассоциативном случае А.Р. Кемером [16] было показано, что только два многообразия ассоциативных алгебр имеют почти полиномиальный рост. Одно из них порождено бесконечномерной алгеброй Грассмана Л, второе - алгеброй UT2 верхнетреугольных матриц порядка два.

В случае алгебр Ли в настоящее время известно только пять многообразий почти полиномиального роста. Из работ И.Б. Воличенко [3],[4] и С.П.Мищенко [19],[20],[21] следует, что в классе разрешимых многообразий алгебр существует только четыре многообразия почти полиномиального роста. Кроме того, построен только один пример неразрешимого многообразия почти полиномиального роста, это многообразие порождается простой трехмерной алгеброй Ли, которое подробно исследовано Ю.П. Раз-мысловым и В.Дренски [26],[27], [9].

В последнее время большой интерес повернут на изучение алгебр с дополнительными условиями: алгебр с инволюцией, градуированных алгебр, например, [1],[10],[11],[24],[13],[14]. Из работ A. Giambruno, С.П. Мищенко, A. Valenti [11],[24] существует только два многообразия ассоциативных алгебр с инволюцией почти полиномиального роста. Одно из них порождается алгеброй С?2 = F © F, где F - основное поле, с инволюцией (a, b)* = (6, а). Это многообразие играет роль аналогичную роли бесконечномерной алгебры Грассмана А. Второе многообразие порождается четырехмерной алгеброй (аналогично UT2).

Данная работа посвящена изучению градуированных тождеств алгебр Ли, порождающих многообразия почти полиномиального роста.

Работа состоит из введения и трех глав. В первом параграфе первой главы даны основные определения и понятия, связанные с теорией многообразий алгебр Ли и техникой диаграмм Юнга. Во втором параграфе приведены основные определения, связанные с Z2 - градуированными алгебрами Ли, описана техника диаграмм Юнга для случая Z2 - градуированных алгебр, введены понятия градуированной коразмерности и градуированной кодлины.

Третий параграф носит реферативный характер, в котором описываются пять многообразий Vo, Vi, V2, V3, V4 почти полиномиального роста и некоторые их свойства.

Вторая глава диссертации посвящена изучению градуированных тождеств простой трехмерной алгебры Ли si2. Здесь основное поле F - алгебраически замкнутое поле характеристики 0. В первом параграфе рассмотрены всевозможные градуировки на L = si2 конечной группой G. В предположении, что G порождается Supp L, все эти градуировки изоморфны четырем классическим градуировкам:

1) Тривиальная градуировка. L — Lq.

2) г2-градуировка. L = L0©Li, где Lq =< ец — в22 >, Li =< ei2,e2i >.

3) Z2 х г2-градуировка. L = L00 Ф L10 Ф L0i ф L'u, где

Аю=<0>> L10 =< en - e22 >, Lqi =< eu + e2i >, Ьц =< eu - e2i > .

4)^з-градуировка. L = 1 ф L0 ф Li, где

-1 =< ei2 >, Lo =< ец - e22 >, £1 =< e2i > .

Теорема 1. Пусть G - конечная абелева группа. Тогда любая G - градуировка изоморфна одной из четырех классических градуировок: 1) тривиальной градуировке; 2) Ъч - градуировке; 3) Z2 х Z2 - градуировке; 4) Z3 - градуировке.

Во втором параграфе второй части дано доказательство технической леммы 4.4 из статьи В.Дренски [9] и дано полное описание полилинейных частей копространства идеала градуированных тождеств Z2 - градуированной алгебры 5/2. Введем обозначения h — ец — е22, е = 612, / = e2i, где eij~ матричные единички.

Лемма 2. Пусть f(x 1, Х2, £3) — однородный степени di по Х{ многочлен в свободной ассоциативной алгебре и di = <jj {mod 2), = 0,1, г = 1, 2,3.

Тогда г, е + /, е — /) = eh^(е + /Г2(е - /Г, е G F.

Теорема 2. Пусть для многообразия Vq 2 дано разложение Sk х — характера

Xk,n-k(V^2)= тл,м(хл<Э Хм),

АЬ-Л; fj,hn—k тогда = 1, если \ — (k), /i = (q + r,q)yu выполнены следующие условия:

1) А; ф щ

2)г ф щ

3) r = 1 или к + q = 1 (mod 2), в остальных случаях т\)/х = 0.

В третьем параграфе второй главы дано описание полилинейных частей копространства идеала градуированных тождеств алгебры s^c Z2 х Z2 -градуировкой .

Z х Z

Теорема 3. Пусть для многообразия VQ 2 2 дано разложение SpxSqx Sr х St-характера

Xp,q,r,t{Vl3Z2XZ2) = mA,^(XA <S> X/. ® Хг/ ® Хтг), fHr,7rht тогда = 1, если \ = (p), fi = (q),v = (r), 7Г = (£) и выполнены условия: 1) p = 0;

2) чФп1 r Ф Щ t ф Щ

3) q — г = 1 (mod 2) шш г — £ = 1 (mod 2), в остальных случаях тдлг,)Я- = 0.

В четвертом параграфе второй главы доказывается техническая лемма, которая используется при доказательстве основной теоремы этого параграфа, описывающей строение полилинейных частей копространства идеала градуированных тождеств Z3 - градуированной алгебры s^

Лемма 3. Пусть f(x 1, Х2, £з) — однородный степени d{ по xi многочлен в свободной ассоциативной алгебре. Тогда f(e,hj) =

О, | d3:|> 1, е\е, d\ — dz = 1, 62/, d3-dv=l, езец + б4е22, di = ds, где бi E f.

Теорема 4. Пусть для многообразия V^13 дано разложение SpxSqxSr характера

ХрлЛЦ?3) = rnxwixx-® Хц ® Xv)> vbr тогда = 1, если А■= = = (г)и выполнены следующие условия:

1) Р Ф Щ яф ni г Ф Щ

2) | p-r |< 1.

В остальных случаях = 0.

Третья глава посвящена изучению градуированных тождеств алгебр, порождающих многообразия Уг, V3. Характеристика основного поля F предполагается равной 0. Пусть Л - бесконечномерная алгебра Грассмана с порождающим множеством Е = {е\,., еп,.}, относительно операции коммутирования она является алгеброй Ли Л^-). Векторное пространство Л с нулевым умножением будем рассматривать как абелеву алгебру Ли, которую обозначим А0. Зададим действие на Л° следующим образом

9i9j = (зд)°, где Оmf е A0,9j е АН: Рассмотрим алгебру L = Л° X Л^ ) с умножением

01-+ 9i)(92.+ 92) = 9I92 ~ 9291 + \gu 92], где #2] коммутатор в ассоциативной алгебре Грассмана Л.

В первом параграфе третьей главы рассмотрена - градуировка на L:

L = L0 ф Lh где Lo — Л(), Lx = Л°, описано строение полилинейных частей копространства идеала градуированных тождеств, вычислены формулы последовательностей коразмерностей и кодлин.

Теорема 5. Пусть для многообразия V^2 дано разложение Sk х Sn-k - характера

Xk,n-k(V22) = Xk,n-k(L)= ^ mx^{x\ ®Xix), (1)

Al-Jfc" цЬп—к тогда для п > 2 1. mA)M = 1, если А = (р+ 1,1пр~2),/2 = (1 ),р = 0,. ,п - 2, mx,fi = 0 в остальных случаях. П2п~\ l9nr{V^) = n- 1.

Рассмотрим трехмерную нильпотентную алгебру Ли iV3 с базисом {а, 6, с} и.таблицей умножения Ьа = —аб = с, ас = be = 0, и ассоциативно-коммутативное кольцо многочленов R от переменной t относительно операции коммутирования. R является абелевой алгеброй Ли, превратим ее в правый А^з - модуль, полагая действие базисных элементов следующим образом: f) о а = f'(t),f(t) О ь = tf(t), f(t) О с = /(*). 8

Рассмотрим полупрямое произведение N = R \ iV3 и зададим Z2 - градуировку на алгебре N:

N = N0 ® NU где N0 = N3, М = R.

Во втором параграфе приведено описание полилинейных частей копро-странства идеала градуированных тождеств алгебры N.

Теорема 6. Пусть для многообразия Vz 2 дано разложение Sk х - характера

Хк,п-к{Уз2) = Xk,n-k(N)= ^ тх,ц{х

ЛЬ к ц\-п—к тогда для п > 2

1. mA)/i = 1, если X = (р + q + r,p + q,p), \i = (1);

2. тх,Й = 1, если А = (p + q,p),V = (1); 3- m(ni))(i) = 1;

4■ т\— О? в остальных случаях.

Основная часть результатов опубликована в работах автора [29],[30],[31],[32],[33]:

В заключении автор хотел выразить чувство глубокой благодарности своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору С.П. Мищенко за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе и моральную поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Репин, Дмитрий Владимирович, 2005 год

1. Анисимов Н.Ю. Коразмерности тождеств с инволюцией алгебры Грас-смана//Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 2001, N 3, с. 25-29.

2. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли.-М.:Наука, 1985.

3. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами. Весщ АН БССР: Сер. ф1з.-матем. навук, 1980, N 1, с. 23-30.

4. Воличенко И;Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами. Весщ АН БССР: Сер. ф1з.-матем. навук, 1980, N 2, с. 22-29.

5. Воличенко И.Б. О многообразии алгебр Ли AN2 над полем характеристики нуль//ДАН БССР 1981. T.25.N 12, с. 1063-1066.

6. Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [^1,Ж2,а:з][сс4,а;5,а;б]] = 0 над полем характеристики нуль// Сиб. матем. журн., 1984, Т.25, N 3, с.40-54.

7. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп.-М.:Мир,1982.

8. Drensky V., Giambruno A. Cocharacters, codimensions and Hilbert series of the polynomial identities for 2 x 2 matrices with involution//Canad. J. Math. 1994. 46. 718-733.

9. Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр.-Матем. сб., 1981, Т.115, N 1, с. 98-115.

10. Giambruno A., Mishchenko S., Polynomial growth of the *-codimensions and Young diagrams, Communication in Algebra,2001,29(1),277-284.

11. Giambruno A., Mishchenko S. On star-Varieties with Almost Polynomial Growth, Algebra Colloquium 8:1 (2001) 33-42.

12. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. On the colength of a variety of Lie algebras. International Journal of Algebra and Computation. Vol.9, N 5(1999),483-491.

13. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Polynomial identities on superalgebras and almost polynomial growth. Communications in Algebra, 2001, V.29, N 9, 3787 3800.

14. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Group actions and asymptotic behavior of graded polynomial identities. J.London Math.Soc.,2002, (2)66, 295-312.

15. Зайцев M.B. Тождества неприводимых представлений алгебры Гейзен-берга. Мат. модели и методы в социальных науках. Труды вторых ма-тем. чтений МГСУ. М.:1994, с. 1-4.

16. Кемер А.Р. Т-идеалы со степенным ростом коразмерностей. Сибирский математ. журнал, 1976, N 19, с. 37-48.

17. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр.-М.:Наука, 1969.18.'Мальцев. А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями. -Матем. сб., 1950, Т. 26, N 1, с. 19-33.

18. Мищенко С.П. Многообразие алгебр Ли с двуступенно нильпотентным коммутантом. Весщ АН БССР, сер. ф1з.-мат. навук, 1987, N 6, с. 39-43.

19. Мищенко С.П. О разрешимых подмногообразиях многообразия, порожденного алгеброй Витта.//Матем. сб.- 1988.Т.136, N 3, с. 413-425.

20. Мищенко С.П. Рост многообразий алгебр Ли. (обзор)//УМН-1990.-Т.45, N 6(276), с. 25-45.

21. Мищенко С.П. Тождества неприводимых представлений двумерной ме-табелевой алгебры. Мат. модели и методы в социальных науках. Труды третьих матем. чтений МГСУ. М.:1995, с. 49-51.

22. Мищенко С.П. Цветные диаграммы Юнга // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. N 1, с.90-91.

23. Mishchenko S., Valenti A. A Star-Variety with Almost Polynomial Growth, Journal of Algebra 223 66-84 (2000).

24. Наумова Л.Е., Седова H.O. Некоторые многообразия почти полиномиального роста.//Труды молодых ученых УлГУ: Сборник докладов. -Ульяновск: УлГУ, 1999. 128 с. - стр. 20-21.

25. Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль. //Алгебра и логика, 1973, т. 12, N 1, с. 83-113.

26. Размыслов Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий ал-гебр.//Алгебра и логика, 1974, т. 13, N 6, с. 685-693.

27. Regev A. Existence of identities in А®В// Isr. J. Math. 1972. 11.131-152.Публикации автора по теме диссертации

28. Репин Д.В. Градуированные тождества простой трехмерной алгебры Ли. Вестник Самарского государственного университета. 2004. Второй спец. выпуск, с. 5-16.

29. Репин Д.В. Тождества градуированной простой трехмерной алгебры Ли. Сборник докладов и тезисов докладов студентов и аспирантов на XII ежегодной научно-практической конференции. Выпуск 11. Ульяновск: Издательство УлГУ, 2002 г. с. 12-13.