Многокварковые взаимодействия, методы их бозонизации и физика мезонов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Осипов, Александр Андреевич

• Осипов, Александр Андреевич
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Осипов, Александр Андреевич

Введение

1 Динамика составных частиц: вычисление амплитуд п-частичных процессов в лидирующем порядке 1 /Nc разложения

1.1 Формулировка задачи.

1.2 Бозонизация в импульсном пространстве.

1.3 Разложения по степеням т.

1.4 7Г7Г рассеяние.

1.5 7") —> 7Г7Г взаимодействие.

1.6 Процесс 77 —» 7Т°7Г°.

1.7 Процесс 777г+7г.

2 Динамика составных частиц: векторные Jp = моды

2.1 Бозонизация расширенной модели НИЛ.

2.2 Соотношение Гольдбергсра - Треймана и другие формулы

2.3 Разложение по степеням m.

2.4 7Г7Г рассеяние в расширенной модели НИЛ.

2.5 Нелинейная формулировка модели.

2.6 7Г7Г рассеяние: нелинейный подход.

3 Метод Швингера — Девитта в теории с нарушенной киральной симметрией

3.1 Разложение Швингера — Девитта.

3.2 Случай невырожденных масс

3.3 Связь коэффициентов Ьп и а„

3.4 Выводы.

4 Эффективный лагранжиан модели НИЛ с нарушенной SU(3)f и U(1)a симметрией

4.1 Модель.

4.2 Отступление в одно измерение.

4.3 Разложение фермионного детерминанта.

4.4 Токи, смешивание, константы fp

4.5 Спектр масс

4.6 Численные оценки.'.

5 Восьмикварковые взаимодействия и стабильность SU{3) <g> 51/(3) ваку

5.1 Простая модель с локальными многокварковыми взаимодействиями

5.2 Условия глобальной стабильности вакуума: SU{3) случай.

5.3 Условия глобальной стабильности: общий случай.

5.4 Псевдоскалярный спектр.

5.5 Скалярный спектр.

5.6 Численные оценки.

6 Фазовые переходы при наличие восьмикварковых взаимодействий

6.1 Магнитный катализ.

6.2 Температура фазового перехода.

6.3 Фазовый переход при т ф 0.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многокварковые взаимодействия, методы их бозонизации и физика мезонов»

Цветные кварки и глюоны являются не наблюдаемыми непосредственно на опыте основными объектами фундаментальной теории сильных взаимодействий — квантовой хромодипамнки (КХД). При низких энергиях законы, описывающие взаимодействие этих фундаментальных частиц, приводят к сложным перестройкам внутри кварк-глюонпой системы, в результате которых появляются бесцветные образования из кварков и глюонов: мезоны, барионы, глюонии. гибриды н возможная экзотика.

Несмотря на то, что лагранжиан КХД известен, сложность явлений, которые охватывает теория, почти не оставляет надежд на то. что ее уравнения могут быть решены точно и в результате нам откроется картина адронного мира. Обычная теория возмущений1 или любое искусное ресум-мирование ряда теории возмущений не годятся для вычислений свойств адронов, т.к. они не в состоянии воспроизвести нулевую асимптотику ад-ронных масс при малых значениях КХД константы связи д. являющуюся прямым следствием ренорм-группового рассмотрения [1], что выводит на первый план неиертурбативные методы. Их задача дать нам в руки эффективный аппарат для описания низкоэнергетической динамики адронов и найти ответ на такие фундаментальные вопросы теории сильных взаимодействий как копфайпменг, спонтанное нарушение киралыгай симметрии, структура КХД вакуума, динамическая генерация адронных масс.

Феномен спонтанного нарушения киральной симметрии в КХД тесно связан с явлением конфайнмснта: в теории, обладающей кирально симметричными взаимодействиями конфапнмирующими кварки, с неизбежностью происходит спонтанное нарушение киральной симметрии [2, 3]. При этом возбуждаются голдстоуновские моды [4, 5] — своеобразная реакция системы, направленная на восстановление утраченной вакуумом симметрии. Неудивительно, что кпральпая симметрия играет определяющую роль в описании динамики голдстоуновских частиц, и это нашло свое математическое выражение в методе феноменологических лагранжианов [6, 7].

1 Пертурбативная динамика дочшшрзет на расстояниях г < 0.25 фм.

Первоначально идея заключалась в удобной и компактной лагранже-вой форме записи основных результатов алгебры токов. Позднее данный подход удалось развить в мощный самостоятельный метод для описания сильных взаимодействий псевдоголдстоуновских мезонов, получивший название киральной теории возмущений (КТВ) [8]. При низких энергиях поведение амплитуд рассеяния или матричных элементов токов в КХД может быть описано в терминах модифицированных тейлоровских разложений по импульсам частиц, учитывающих сингулярности, связанные с полюсами и разрезами, порождаемыми присутствием в спектре теории легких псевдоскаляров. КТВ дает возможность получить вышеуказанные разложения, используя язык феноменологических мезонных лагранжианов и методы эффективной теории ноля. При этом полностью игнорируется кварк-антикварковая структура псевдоголдстоуновских состояний, а значит неясно как можно вычислить константы эффективного мезониого лагранжиана из первых принципов. Чтобы продвинуться в решении данного вопроса, необходимо понять микроскопическую картину спонтанного нарушения киральной симметрии в КХД, т.е. установить какие топологически нетривиальные конфигурации полей Янг — Миллса отвечают за это явление и каким образом в результате возникают эффективные мезонные вершины. Эта проблема еще не решена.

Модель ннстантонного [9, 10] вакуума КХД дает элегантное микроскопическое описание спонтанного нарушения киральной симметрии [11]-[13]. Ключевой элемент .механизма — наличие нулевой моды у оператора Дирака во внешнем поле (анти)инстантона. Локализованные пулевые моды отдельно взятых пнетантонов, перекрываясь между собой, делокализуются. В результате делокализации возникает глобальная зона «проводимости», характеризуемая ненулевой плотностью собственных значений оператора Дирака, приходящихся на единицу-объема пространства-времени: //(Л) при Л < 7% где т - масса фермиопа. Образование такой зоны означает нарушение киральной симметрии, т.к. в киральном пределе т —» 0 плотность квазпнулевых мод в зоне непосредственно связана с кварковым конденсатом: (qq) — — 7П/(0) Ф 0 (результат известный из работы [3]).

Реальная картина КХД вакуума по-видимому сложнее [14]-[16]. Инстан-тонный ансамбль не в состоянии объяснить конфайнмент. К тому же изучение распределения плотности топологического заряда на решетке свидетельствует о том, что около 80% пространства-времени заполнено двумя непрерывными структурами (слоями), обладающими противоположными зарядами. Наиболее интенсивные точки (18%) каждого из слоев организованы в протяженную локально одномерную структуру (скелст), пронизывающую весь слой [17]. Данная структура определенно отличается от того, что лежит в основе модели инстантоннон жидкости (разделенные топологические заряды). Известно также, что решение С/(1)л проблемы в КХД [18. 19], не нуждается в инстантонах. 1JN разложение оказалось более фундаментальным подходом, который автоматически справился с трудностями инстантонного решения: выполнением аномальных тождеств Уорда [20] и описанием в зависимости вакуумных ожиданий, например, для квар-кового конденсата (qq) [21]. Был построен и эффективный лагранжиан, включающий псевдоскалярные мезонпые поля и плотность топологического заряда Q(x), который отвечает решению 17(1) проблемы в рамках 1/N разложения КХД [22]. Отсюда в частности следует, что реальный механизм спонтанного нарушения киральной симметрии существенно отличается от картины перекрывающихся локализованных нулевых мод отдельных ин-стантонов.

Тем не менее инстантонная модель способствовала развитию полезного математического аппарата, позволившего заглянуть в топологические свойства адронного вакуума и связать конкретную микроскопическую картину с соответствующим ей на некотором макроскопическом уровне эффективным мезонпым лагранжианом. Одним из таких следствий оказались эффективные многокварковые взаимодействия, индуцированные ин-стантонами в области энергий Acor,f < Е < Ахарактеризуемой шкалой конфайнмента Aconf ~ Aqqd ~ 0.2 ГэВ н шкалой спонтанного нарушения киральной симметрии Axsr ~ — 1 ГэВ, где Axsb является естественным параметром разложения для эффективного кирального лагранжиана [23], а соответствующие вершины имеют вид

С = q(i$ - m)q + + + . . (1)

Здесь Г — матрицы, несущие индексы спипа, аромата и цвета; т — массы токовых кварков; А — масштаб, определяемый шкалой спонтанного нарушения киральной симметрии, а многоточием обозначены члены лагранжиана, содержащие более высокие степени фермиоиных полей и производных. Параметр А одновременно является эффективным обрезанием неие-ренормируемой теории, необходимым при вычислении кварковых нетель.

Замечательно, что теории с нелинейными многокварковыми связями возникают и вне рамок инстантонного подхода. Для этого нет необходимости конкретизировать вид топологических зарядов, присутствующих в адронном вакууме. Так в методе вакуумных корреляторов [24, 25], предположив. что некоторые из корреляторов глюонных полей, ответственных за конфайнмент2, отличны ог нуля, мы автоматически приходим к эффективной теории легких кварков с нелинейными многофермионными взаимодействиями.

Исходя из вышесказанного, можно предположить, что в основе эффективного мезонного лагранжиана на некотором более глубоком уровне понимания непертурбагивноп кварк-глюонной динамики лежит другая эффективная теория, которая может быть описана нелинейным кварковым лагранжианом и которая является естественным промежуточным шагом на пути извлечения феноменологических следствии КХД в области низких энергий. В настоящее время мы не располагаем надежным методом для получения такого лагранжиана из первых принципов. Тем не менее молено попытаться достичь некоторого прогресса основываясь на феноменологически мотивированных моделях, постепенно углубляя наши представления о структуре эффективных кварковых вершин. Что мы знаем о них сейчас?

Инстантонные модели позволяют сделать некоторые заключения относительно числа членов, содержащихся в лагранжиане (1). Известно, например, что в модели инстантонного газа возникает бесконечный набор многокварковых вершин, начиная с четырехкварковых [26], причем знаменитый детерминант т'Хофта [10] появляется при рассмотрении только нулевых мод в процессе получения эффективного кваркового лагранжиана. Этот 2Дг^-кварковый член, где Nf — число легких кварковых ароматов, явно нарушает U{1)a аксиальную симметрию КХД лагранжиана и несет ответственность за большую массу т/ мезона.

Напротив, в модели инстаптонной жидкости с малой плотностью ин-стантонов многокварковые вершины степеней больших чем 2Nf подавлены, и лагранжиан С, содержащий лишь четырехфермионные взаимодействия (при Nf = 2), уже является разумным приближением для построения эффективной теории [27]. При Nf — 3 в лагранжиане будут доминировать члены, схематически показанные в (1). Это эффективные вершины четырехкварковых взаимодействий типа Намбу — Иона-Лазинно3 (НИЛ) [28]-[30], которые симметричны относительно преобразований киральной U(3)l <8> U(3)r группы, и шестнкварковые взаимодействия т'Хофта. Каждое из них способно вызвать динамическое нарушение киральной симмет

23десь имеется в виду образование сi руны между цвешымп зарядами, которая состоит, в основном, из продольного электрического поля [14].

3Первоначально лагранжиан модели был написан в терминах нуклонных степеней свободы. В дальнейшем будем использовать его современную трактовку, основанную па кварковом описании. рии. Соответствующая аргументация [28, 31] основывается на изучении нетривиальных решений уравнения Хдртри — Фока для массового квар-кового оператора в приближении среднего ноля4.

Полуклассическая модель инстантониой жидкости феноменологически более успешна [13], [32]-[35], поэтому идея доминирования низших много-кварковых взаимодействий кажется предпочтительнее.

Еще один аргумент в пользу доминирования мы находим в теории вакуумных корреляторов [24]. Здесь, интегрируя по нолям глюонов в производящем функционале КХД, мы получаем эффективный кварковый лагранжиан, содержащий бесконечный набор многокварковых вершин. Каждая из них в качестве ядра включает неприводимые вакуумные корреляторы глюонных полей. Измерения на решегке5 указывают на наличие иерархии среди корреляторов и доминирование низшего из них (гауссов билокаль-нын коррелятор) [36]. Отсюда вытекает иерархия в семействе многокварковых вершин с доминированием низшего чегырехкваркового взаимодействия.

Общая структура моделей с многокварковыми квазилокальными взаимодействиями изучалась в работах [37]. Исходя из небольшого числа предположений (1/уУс-разложение, масштабная инвариантность), были классифицированы вершины эффективной теории, ответственные за динамическое нарушение киральной симметрии, и сделан вывод, что доминирующими здесь являются только четырех, шести и восьмикварковые взаимодействия.

Несмотря на достигнутые успехи, данная область исследований требует дальнейшего изучения как структуры эффективного многофермионного лагранжиана, так и теоретических методов, направленных на извлечение физической информации, заключенной в нем. Именно поэтому модели, основанные на эффективных многокварковых взаимодействиях, и составляют предмет исследования данной диссертационной работы. Мы ограничиваемся рассмотрением только локальных вершин и основные усилия направляем на формулировку новых методов, необходимых для бозонизации

4Существование таких решений не является достаточным условием для динамического нарушении симметрии. Важно, чтобы при этом эперпш вакуума была бы минимальна. При n/ = 2 это так, по при Nf — 3 эффективный потенциал неограничен снизу, а значит имеется серьезное внутреннее противоречие, которое, как будет далее показано, можно устрани п>, приняв во внимание следующий восьмиквлрковый член в разложении (1).

Сравнивались два вида кллнбровочно-ннвариантпых потевых корреляторов, которые отвечают значениям п — 1 и п — 4 в общем выражении Д^, = ('ft { gflli/l (.сь х0). g^nvr (т„,х0)}), где

GUti/t(xt,x о) = Ф(хо,х>)Рц,иг (.г,)Ф(а'г, ^о); и not годней формуле первый и третий члены — фа юный фактор в неабелевой теории Ф(.г, у) = Рехр i f* Л„ а «горой — чепзор напряженности глюонного поля. таких теорий. Распространение развитых здесь методов на случай более сложных по своей структуре нелокальных взаимодействий представляется отдельной самостоятельной задачей.

Целью диссертации является математический аппарат, который позволяет найти ответ на следующие физические вопросы: а) Как в эффективной теории с локальными мпогокварковыми взаимодействиями ввести переменные, отвечающие наблюдаемым составным кварк-антикварковым мезонным состояниям, и каким образом рассчитать амплитуды процессов с участием этих связанных состоянии? Здесь мы предлагаем новое решение известной проблемы, ориентированное на использование в рамках метода функционального интеграла, и применяем его для вычислений амплитуд 7г7г-рассеяпия и процесса 77 —> тпг. б) Как получить длинноволновое разложение для эффективного мезон-ного лагранжиана мпогокварковой теории, если известно, что киральная симметрия нарушена явным и спонтанным образом, а элементы массовой матрицы составляющих кварков не равны друг другу? Здесь па базе метода теплового ядра впервые решена задача ковариантного разложения теплового оператора в ряд по обратным степеням масс тяжелых кварков, а затем данный математический аппарат использован для нахождения эффективного мезонного лагранжиана, возникающего при бозонизацпи конкретной кварковой модели. в) Как бозонизировать многокварковые вершины? Здесь показано, что система уравнений стационарной фазы, возникающая при бозонизацпи модели на основе метода функционального интегрирования, вообще говоря, может иметь несколько действительных решении, что нежелательно, так как ведет к эффективному потенциалу неограниченному снизу, лишая теорию физического содержания. Нами впервые высказана гипотеза о том, что реалистическая модель с многокварковыми взаимодействиями должна удовлетворять требованию единственности стационарной траектории, которое может рассматриваться как прямое следствие наличия иерархии среди многокварковых сил. Гипотеза реализована при построении конкретной модели с SU(3)l ® SU(3)r киральной симметрией, где четырехкварковые и шестикварковые взаимодействия должны быть дополнены восьмиквар-ковыми вершинами, чтобы удовлетворить вышеуказанному требованию и тем самым ограничить эффективный потенциал теории снизу.

Очертим круг решаемых в диссертации задач более подробно. Модель НИЛ с четырехкварковыми U{3)l<8> U(3)r кирально симметричными взаимодействиями и нарушенной аксиальной U(1)a симметрией за счет шестикварковых взаимодействий т'Хофта уже давно и успешно используется для описания свойств низших мезонных состояний [38)-[49]. При этом по аналогии с четырехкварковым случаем предполагается, что нетривиальное решение уравнения Хартри — Фока для массового кваркового оператора по-прежнему характеризует состояние квазичастиц в адронном вакууме. Однако это не совсем так. Несложно убедиться, что нетривиальное решение хартри-фоковского уравнения в данном конкретном случае отвечает лишь локальному минимуму эффективного потенциала, который в целом неограничен снизу, что становится очевидным при задании его в виде функции от вакуумного ожидания (qq).

Бозонизация модели с помощью метода функционального интегрирования позволяет вскрыть источник проблемы. Как оказалось, система уравнений стационарной фазы6 т + Gh + ^h2 + ^/г3 + . = 0, (2) используемая для оценки производящего функционала Z, может иметь несколько корней Каждое действительное решение дает вклад в Z, т.е. Z ~ ^Z Zi, где г = 1. 2,. п - число действительных корней, а следовательно и в уравнение щели

J2h(i) +ml(m2) = 0, (3) i где /(m2) однопетлевой квадратично расходящийся интеграл, который обрезается при больших импульсах в евклиде р2Е = А2.

В модели НИЛ (G Ф 0, к, А — 0) уравнение (2) имеет единственное решение h = —m/G, при этом метод стацфазы дает точный результат: уравнение щели имеет тривиальное решение т = 0 (фаза Вигнера — Вейля), и при определенном условии, наложенном на параметры модели нетривиальное т ф 0, означающее спонтанное нарушение симметрии (фаза Намбу — Голдстоуна).

При включении взаимодействия т'Хофта (G, к ф 0. Л = 0) уравнение (2) имеет два действительных решения в области т > G2/2k, к, < 0, что разрушает теорию: во-первых, уравнение щели (3) теряет тривиальное решение, т.к. h^ + h= —2G/к ф 0, во-вторых, при малых к уравнение вВ качестве примера здесь рассматривается простейшее алгебраическое уравнение, возникающее когда четырехкварковые взаимодействия (константа связи G) дополняются шестикварковыми (константа к), а затем восьмнкварковыми взаимодействиями (константа Л); теория обладает киральной SU(3)l ® su(3)n симметрией, которая мол-сет быть спонтанно нарушена; то - щель и спектре квазичастиц. стацфазы является сингулярно возмущенным, т.е. если один из его действительных корней при н —> 0 переходит в решение невозмущенной задачи, то второй неограниченно растет но абсолютной величине и здесь уже нельзя говорить о малых поправках, вносимых взаимодействием т'Хофта.

Отсюда следует, что разумно ограничиться рассмотрением только таких эффективных многокварковых лагранжианов, для которых существует только одна действительная стационарная траектория. При этом мы предполагаем, что какой бы ни была реальная микроскопическая картина КХД вакуума, она не может описываться эффективной теорией, лишенной физического содержания. Высказанная гипотеза является важным конструктивным моментом при выборе эффективного лагранжиана. В частности, она указывает, что расширение модели НИЛ за счет шести-кваркового детерминанта т'Хофта, как минимум, должно сопровождаться одновременным добавлением восьмикварковых взаимодействий. Тогда, при выполнении определенных условий, наложенных на константы связи7, эффективный потенциал модифицированной теории будет определен при всех действительных значениях т pi будет иметь глобальный минимум.

Дальнейшее изучение модели позволяет установить, что величина восьмикварковых взаимодействий косвенно влияет на механизм динамического нарушения киральнон SU(^S)l® SU(3)h симметрии. Если они малы, нарушение симметрии — результат четьтрехкварковых сил. Однако, с ростом их интенсивности возможна конфигурация (т.е. феноменологически приемлемый набор значений параметров модели), при которой потенциал имеет сразу два локальных минимума, соответствующих кирально симметричному и кирально асимметричному вакуумным состояниям. При этом уже взаимодействие т'Хофта, а не четырехкварковые взаимодействия НИЛ, ответственны за спонтанное нарушение кирапыюй симметрии.

Теперь о бозонизации в целом. Бозоиизация многокварковых вершин, начиная с шестикварковых, не может быть выполнена точно. В диссертации она осуществляется методом функционального интегрирования и проводится в два этапа.

На первом этапе вводятся вспомогательные переменные; их число вдвое превышает количество независимых степеней свободы изучаемой задачи, поэтому, после смены порядка интегрирований, избыточные переменные исключаются, что достигается взятием соответствующих функциональных интегралов методом стационарной фазы. В результате многокварко

7В случае (2) таким условием будет g > к2/2А, которое возникает из требования монотонности кубической ф} икцп» на всей действительно» оси —тс < h < со. вые взаимодействия сводя 1ся к чисто мезониым и к взаимодействиям юка-вовского типа между кварками и мезонами. Это хорошо известный прием [40]. При его реализации требуется установить, что система стационарных уравнений, погруженная в девятимерное пространство группы ароматов U{3), совместна. Этот вопрос детально рассмотрен в диссертации. Показано что уравнения системы при определенном выборе параметров модели совместны и содержат единственное действительное решение, которое отвечает динамическому нарушению киральной SU{3)l С§> SU(3)ц симметрии8. В результате константы чисто мезонной части лагранжиана выражаются через коэффициенты стационарной траектории, которые в свою очередь рекурепгно связаны с величиной кваркового конденсата. При этом нам удалось заменить цепочку зацепляющихся уравнении ста-цфазы набором рекурентных формул для непосредственного вычисления коэффициентов эффективного лагранжиана.

На втором этапе интегрируются кварковые поля. Это интегрирование не требует приближенных методов. Здесь мы имеем дело с известными интегралами гауссова типа, которые ведут к формальному детерминанту оператора Дирака.

Новым достижением является метод, позволяющий построить длинноволновое разложение для модуля полученного детерминанта в условиях, когда киральная симметрия теории явно и спонтанно нарушена. Разложение дает вершины эффективного мезонного лагранжиана, причем каждый шаг разложения удовлетворяет требованиям симметрии исходного выражения. Предложенный метод является нетривиальным развитием известной техники Швингера — Девитта [51]-[55]. Результат совершенно оригинален, о чем, в частности, свидетельствует его включение в число современных успехов в развитии метода теплового ядра [56]. Следует подчеркнуть, что в литературе встречается множество задач, в которых авторы прибегают к длинноволновом}' разложению кнралыюго фермионного детерминанта (см., например, работы [57]-[62]). Общий их недостаток — отсутствие последовательной математически ясной процедуры для случая с явным нарушением киральной симметрии. В диссертации устранен этот очевидный пробел.

Второй метод, представленный в диссертации, связан с точным вычислением кваркового детерминанта. Он направлен на решение задач в ко

8Похожее исследование проводилось рапсе Пайсом при изучении уравнений отклика в октетном пространстве группы su{3), для выяснения возможности динамического нарушения su(3) симметрии сильных взаимодействий [50]. торых на первый план выходит знание полной импульсной зависимости бозонизированных мезонных вершин. Если первый метод дает нам инвариантное разложение эффективного мезонного лагранжиана по обратным степеням масс составляющих фермионов, то второй целиком формулируется в импульсном пространстве и направлен на вычисление п-частичных мезонных амплитуд на массовой поверхности этих составных состояний. Он также применим для построения низкоэнергетического разложения амплитуды по степеням импульсов и масс токовых кварков. Методы представляют собой два взаимно дополняющих друг друга подхода к проблеме описания динамики коллективных мезонных возбуждений на базе много-кваркового лагранжиана.

Отметим, что н-частпчные мезонные амплитуды можно вычислить с помощью уже имеющейся стандартной техники [63, 64, 39, 41, 42]. Уравнение щели в энергетическом спектре кварков в таком подходе возникает как следствие хартри-фоковского приближения в процессе решения собственно-энергетического уравнения для фермионной функции Грина, а коллективные мезонные возбуждения являются решениями соответствующих уравнений Бете — Солпитера на связанные кварк-антикварковые состояния. Предложенный в диссертации метод более универсален. Он содержит оригинальную процедуру бозопизации, существенным образом связанную с переходом от нефизических элементарных мезонных полей теории к составным физическим кварк-антикварковым состояниям (в импульсном пространстве). Это дает свои преимущества. Например, новый метод допускает возможность работы как с линейной, так и с нелинейной реализациями группы киральной симметрии. Мы показываем, что результаты линейного и нелинейного подходов полностью совпадают лишь па массовой поверхности составных мезонных состояний. В то же время они являются различными отправными точками при получении всевозможных пизкоэнергитических разложений теории. Кроме того, техника вычислений много проще стандартной, что позволило нам впервые получить целый ряд аналитических выражений ранее неизвестных в данной модели. Например, амплитуду распада р —» 7Г7Г, полностью учитывающую эффекты тг-ai смешивания, амплитуды 7гтг-рассеянпя, амплитуды двухфотонпых взаимодействий пионов 77 —> irir.

Многокварковые взаимодействия, в той форме в которой мы их здесь рассматриваем, не решают проблему конфайнмеита. Поэтому часть из полученных результатов имеет ограниченную область приложения. Так вершины рте7г или (77Г7Г используются в основном для описания одночастичных обменов в процессах с участием виртуальных р и а мезонов при энергиях ниже порога рождения кварк-ангикварковой пары, например, при изучении нпзкоэнергетической пионной физики. Чтобы исключить пефизпче-ские пороги, необходимо учесть конфайнмпрующие взаимодействия. Это возможно [65]-[67], но ценой дополнительных предположений. Нам представляется перспективной конструкция, иснользовапная в работе [25], и мы надеемся, что со временем методы, представленные в диссертации, будут распространены и на этот более общий случай.

Развитый здесь аппарат также может быть использован для расчетов в ядерной физике, где в последнее время появились и успешно развиваются лагранжевы модели, построенные на базе многонуклонных взаимодействий [68] и где нет необходимости в конфайимированин нуклонов.

Основной материал размещен в шести главах диссертации следующим образом.

В первой главе диссертации представлен метод, позволяющий вычислять произвольные n-частичные мезонные амплитуды с учетом полной импульсной зависимости лежащих в их основе кварковых однопетлевых диаграмм. Для простоты изложения рассматривается простейший вариант модели НИЛ с лагранжианом взаимодействия, инвариантным относительно преобразований киральной группы U(2)i ® С/(2)д. Стартовой точкой является формальное выражение для одиопетлевого фермионного детерминанта. Рассматривая собственно-энергетические мезонные фу нкции, мы показываем как следует определить нелокальные преобразования элементарных бозонных нолей к их физическим значениям; получаем выражения для констант мезон-кварковых взаимодействий, строим пропагаторы, описывающие псевдоскалярные п скалярные составные мезоны.

Интересно отметить, что в рамках излагаемого подхода уравнения на массы связанных кварк-антикварковых состояний совпадают с условиями полюсных особенностей в уравнениях Бете — Солпитера, хотя и получаются без явного суммирования бесконечной последовательности диаграмм, построенной из однопетлевых кварковых цепочек.

На основе уравнения щели и уравнения на массу пиона находятся тэйло-ровские разложения для основных физических величин в ряд по степеням токовой массы кварка. Они играют роль связующего звена при сравнении результатов развиваемого подхода с известными результатами, полученными ранее методом киральных лагранжианов. Непосредственное сравнение позволяет увидеть насколько быстро сходится киральное разложение, т.е. установить как отличаются матричные элементы, вычисленные на массовой поверхности связанных состояний, от результатов их последовательной аппроксимации в виде разложения в окрестности нефизического кирально симметричного решения.

Затем вычисляются: амплитуда 7Г7Г рассеяния, параметры эффективной области и длины рассеяния; подробно, в лидирующем приближении по 1 /Nc, исследуется процесс 77 — > 7гтг, находится его амплитуда н извлекаются дипольные поляризуемости пионов. Данные расчетов сравниваются с экспериментальными данными.

Во второй главе метод распространяется на случай расширенной модели НИЛ, содержащей помимо псевдоскалярных и скалярных мезонов векторные и аксиально-векторные состояния. Здесь возникает смешивание между псевдоскалярными и аксиально-векторными модами, а также между скалярной и векторной компонентами. Диагонализация соответствующих двухчастичных амплитуд осуществляется в импульсном пространстве. Нам принадлежит приоритет в учете п-а\ смешивания в модели НИЛ (Волков, Осипов: 1985 г.); оно ведет к увеличению массы составляющего кварка на 20%. Здесь также возникают соотношения, связывающие свойства пиона с характеристиками векторных и аксиально-векторных частиц. Соотношения подобного рода известны, обычно их получают, предполагая медленное изменение соответствующих формфакто-ров между р2 — 0 и массовой поверхностью состояний. В модели НИЛ мы выводим ряд моделыю-зависимых выражений, составленных из произведений формфакторов, которые справедливы при любых значениях р2 и, исходя из них, установливаем формулы, которые обобщают соотношение Гольдбергера — Треймана (на кварковом уровне), КСРФ (Каварабаяши и Сузуки, Риазуддин и Фаязуддин) соотношение и вайнберговскне правила сумм на случай составных кварк-антикварковых состояний.

Как и в предыдущей главе, исследуется эффект явного нарушения ки-ральной симметрии: построены киральные разложения для основных физических величин в присутствии частиц сшша-1. Показано, что в модели НИЛ с векторными мезонами улучшается сходимость кирального ряда.

Затем мы повторяем расчет амплитуды упругого тг7г-рассеяния, учитывая вклады р и а,1 мезонов, и извлекаем из нее информацию о фазах, длинах рассеяния и параметрах эффективной области взаимодействия.

В заключение метод распространяется на случай с нелинейной реализацией киральной симметрии, для чего используется стандартная техника индуцированных представлений. Мы показываем, что физические результаты не зависят от способа реализации киральной симметрии. Изменяется только диаграммное содержание теории и поведение амплитуд вне массовой поверхности. Так замена переменных, преобразующихся по линейному представлению кнральной группы, на переменные, преобразующиеся ио нелинейному закону, полностью меняет картину отдельных виртуальных вкладов в амплитуду 7Т7г рассеяния, однако их полная сумма на массовой поверхности пионов остается прежней.

В третьей главе строится разложение кирального фермионного детерминанта в ряд ио обратным степеням тяжелых масс кварков, когда массы кварков различаются. Отправным пунктом является знаменитое представление детерминанта эллиптического оператора в виде интеграла но собственному времени (оно известно, как формула Швингера —Девитта). Некоммутативность массовой матрицы с остальной частью оператора существенно усложняет задачу. Используя специально предложенную формулу, нам удается пересуммировать ряд так, что его члены собираются в инвариантные комбинации. В итоге каждый шаг асимптотического разложения теплового ядра сохраняет трансформационные свойства исходного выражения, что важно, например, при использовании метода тепловой функции для получения вершин эффективного мезонного лагранжиана, описывающего длинноволновый предел теории. Вычислены первые коэффициенты нового разложения, и показано, что они в частном случае равных кварковых масс совпадают с известными коэффициентами Снли — Девитта.

В четвертой главе мы бозонизируем модель, содержащую черырехквар-ковые взаимодействия ПИЛ и шестикварковые взаимодействия т'Хофта. В производящий функциональный интеграл вводятся дополнительные бо-зонные переменные, которые позволяют исключить все фермиоиные вершины лагранжиана степень которых выше второй. Вместо них появляются бозонные вершины, зависящие от вспомогательных полей. Избыточные переменные устраняются приближенным интегрированием с помощью метода стационарной фазы. Стационарные траектории удовлетворяют системе из восемнадцати кубических уравнений, которые совместны, но имеют несколько действительных корней. Показывается, что это дестабилизирует теорию: она не имеет вакуумного состояния. Возможное решение проблемы представлено в следующей главе, а здесь, как это обычно делается в литературе, рассматривается лишь одно действительное решение, отвечающее пересуммнрованшо ряда теории возмущений по константе т'Хофта (необходимый шаг для последующих сравнений). Полученная в предыдущей главе формула для длинноволнового разложения эффективного действия позволяет построить мезопный лагранжиан теории. Вычисляются спектр масс, константы слабого распада и углы смешивания псевдоскалярных мезонов.

В пятой главе к лагранжиану модели добавляются локальные эффективные восьмикварковые взаимодействия не содержащие производных. Показано, что при определенных условиях, наложенных на константы mhoi о-кварковых связей, система уравнений стационарной фазы имеет лишь одно действительное решение, и. благодаря этому, теория обладает стабильным вакуумным состоянием. Единственность действительного стационарного решения устанавливается в самом общем случае, когда ти ф та ф ms. Затем мы переходим к вычислению мезонпого спектра, и показываем его слабую чувствительность к величинам констант восьмикварковых взаимодействий с/1 и с/2- При этом наблюдается корреляция между величиной константы четырехкварковых взаимодействий G и величиной константы <?i, описывающей восьмикварковые взаимодействия, нарушающие правило Цвейга. Подробно обсуждается связь полученных массовых формул с ранее известными результатами.

В шестой главе исследуются специфические проявления восьмикварковых сил при кпральных фазовых переходах. Анализ основывается на изучении зависимости эффективного потенциала многокварковой системы от величины вакуумного ожидания билинейного по кварковым полям скалярного оператора (qq) в присутствии (а) внешнего постоянного магнитного поля; (б) при конечных температурах. Изучение фазовых переходов при конечной температуре осуществляется как для случая безмассовых, так п массивных кварков. Эффективный потенциал как функция (qq) строится в лидирующем приближении метода стационарной фазы.

В заключение суммируются основные результаты диссертации выносимые на защиту. На их основе делается вывод, что в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение. Там же приводится неполный список из наиболее важных семинаров п конференций, где были представлены результаты диссертационной работы.

Диссертация содержит три приложения, в которые вынесены некоторые детали вычислений, а также общее доказательство совместности системы уравнений стацфазы, которое является слишком длинным для включения в основной текст работы.

Публикации, на которых основана диссертация, указаны в общем списке литературы иод номерами [69]-[100].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Осипов, Александр Андреевич

Заключение

В диссертации предложено новое направление, суть которого состоит в изучении низкоэнергетпческой мезонной физики на базе эффективного лагранжиана с локальными многокварковыми взаимодействиями. Новыми являются: (а) развитый в диссертации математический аппарат, позволяющий построить эффективный мезонный лагранжиан бозонизированной теории; (б) модель, которая предполагает существование эффективных восьмикварковых взаимодействий, как правило игнорируемых большинством известных подходов. Восьмикварковые взаимодействия, как показано в диссертации, важны для формирования стабильного вакуумного состояния многокварковой системы и влияют на характер протекания фазовых процессов при конечной температуре, плотности и в присутствии внешнего магнитного поля.

Разработанные в диссертации новые теоретические методы позволяют повысить эффективность изучения теорий с многофермиопными взаимодействиями, упростить их теоретический анализ и повысить качество получаемых результатов. Методы могут быть полезными при построении эффективного мезонного лагранжиана в длинноволновом пределе теории или при расчетах амплитуд ?1-частичных процессов в лидирующем приближении 1/iV разложения. Можно предположить, что развитие и изучение новых фермионных моделей с нелинейными взаимодействиями продолжится. Такая уверенность, в частности, основывается на ожидании, что многофермпонные модели позволят извлечь ценную информацию о механизме динамического нарушения киральной симметрии в теории сильных взаимодействий pi прольют свет на природу генерации масс. Для этого необходимо установить общую структуру лагранжиана, которая несет ответственность за явное и спонтанное нарушение киральной U (3)/, <Э U(3)д симметрии и в частности понять, какое из эффективных многофермион-ных взаимодействий: четырехкварковое пли шестикварковое отвечает за это фундаментальное явление, какую роль здесь играют восьмикварковые взаимодействия и как все это связано с нарушением феноменологического правила Цвейга.

Суммируем основные научные результаты, представленные в диссертационной работе, которые выносятся на защиту:

1. Новый теоретический метод, позволяющий вычислять однопетлевые //-частичные амплитуды в теории составных частиц с учетом полной импульсной зависимости эффективных мезонных вершин в лидирующем порядке 1 JNC разложения.

2. Нелинейная формулировка метода, и вывод о полной эквивалентности линейного и нелинейного подходов на массовой поверхности составных мезонных полей.

3. Впервые полученные в модели НИЛ выражения для амплитуд 7Г7Г-рассеяния и 77 —тгтг вблизи порога, которые в лидирующем порядке 1/NC разложения полностью учитывают импульсную зависимость эффективных мезонных вершин, а также расчитанные на их основе длины рассеяния, параметры эффективной области, дипольные поляризуемости пионов.

4. Новое разложение тепловой функции в методе Швингера — Девитта по обратным степеням тяжелых масс составляющих кварков в случае, когда киральная симметрия теории нарушена явным и спонтанным образом, а также аналитические выражения для первых четырех коэффициентов асимптотического ряда.

5. Найденная связь между существованием единственного действительного решения у системы уравнений стационарной фазы, определяющей квазиклассическую траекторию при бозонизации многофермионных взаимодействий, и стабильностью основного состояния теории.

6. Доказательство, что нарушение U(1)a симметрии, осуществляемое детерминантом т'Хофта, в модели НИЛ с четырехфермионными U(3)l <g> U(3)r кирально симметричными взаимодействиями, ведет к теории, эффективный потенциал которой не ограничен снизу.

7. Решение проблемы нестабильности вышеуказанной теории, основанное на рассмотрении дополнительных локальных восьмикварковых взаимодействий.

8. Формулы для спектра легких мезонов и, в частности, обобщение формулы Виттена — Венециано для массы rf при наличие восьмикварковых сил.

9. Теоретическое предсказание возможности осуществления вторичного магнитного катализа в системе, которая помимо четырехфермионных обладает шести и восьмифермионными взаимодействиями, а именно: способности таких взаимодействий при квазистатическом увеличении магнитного поля дестабилизировать вакуумное состояние системы, катализированное слабым магнитным полем.

10. Эффект понижения температуры киралыю1 о перехода с ростом интенсивности восьмикварковых сил.

11. Результат, что восьмикварковые взаимодействия, нарушающие правило Цвейга, влияют на тип фазового перехода в многокварковой системе с явно нарушенной киральной симметрией, а именно: в зависимости от силы восьмикварковых взаимодействий в системе с Nj = 3 может осуществляться либо быстрый кроссовер переход, либо фазовый переход первого рода.

12. Вывод о имеющейся связи между интенсивностью восьмикварковых взаимодействий, нарушающих правило Цвейга, и механизмом динамического нарушения киральной симметрии: начиная с некоторого «критического» значения константы Sq-связи за спонтанное нарушение симметрии ответственны 6q-взaимoдcйcтвия т'Хофта, а не 4q-B3aHMOfleftcTBHH, которые вызывают данный процесс при слабых Sq-силах.

Материал, изложенный в диссертации, докладывался и обсуждался на семинарах Лаборатории ядерных проблем ОИЯИ, Боголюбовской лаборатории теоретической физики ОИЯИ, на теоретических семинарах ряда зарубежных научных центров: Университет г. Коимбра (Португалия), Университет им. Луиса Пастера г. Страсбург (Франция), Университет г. Регенсбург (Германия); а также на ряде международных конференций и рабочих совещаниях:

• The Quark Confinement and the Hadron Spectrum 2008, 1-6 Sept 2008, Mainz, Germany;

• The XIII International Conference "Selected Problems of Modern Theoretical Physics" (SPMTP08), June 23-27, 2008, Dubna, Russia;

• "Scadron'70" Workshop on Scalar Mesons and Related Topics, February 11-16, 2008, Lisbon, Portugal;

• "Quark Matter 2008" 20th International Conference on Ultra-Relativistic Nucleus Nucleus Collisions, February 4-10, 2008;

• The 7th International Conference on Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics (SNMP 07), 24-30 June 2007, Kyiv, Ukraine;

• The Hadronth06 Workshop, 7-9 September 2006, Perriscola, Spain;

• The Quark Confinement and the Hadron Spectrum VII, 2-7 September (2006), Azores, Portugal;

• The International Meeting on Topics in Quantum Field Theory, 10-14 April 2006, Belo Horizonte, BH, Brazil;

• The 6th International Conference on Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics (SNMP 05), 20-26 June 2005, Kyiv, Ukraine;

• The International Conference on High Energy and Mathematical Physics, Marrakech, Morocco, 4-7 April 2005;

• The 8th Workshop on Nonperturbative Quantum Chromodynamics, Paris, France, 7-11 June 2004;

• The 5th International Conference on Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics (SNMP 03), 23-29 June 2003, Kyiv, Ukraine;

• The International Conference on Many-Body Physics, Sept. 20-25, 1993, Coimbra, Portugal

Ссылки на полученные в диссертации результаты можно найти в центральных физических изданиях, включая обзорные журналы: «Physics Reports» и «Успехи Физических Наук». Данные исследования были поддержаны, как российским: РФФИ No 94-02-03028, так и европейскими: PCERN/FIS/1034/95, PCERN/FIS/1086/96, PCERN/ FIS/1062/97, PRA-XIS/P/FIS/12247/1998, POCTI/1999/FIS/35304, POSTI/FIS/35304/2000, CERN/Р/FIS/40119/2000, POSTI/FP/FNU/50336/2003, POCI/FP/63412/-2005, POCI/FP/63930/2005, POCI/FP/81926/2007 грантами; материал четырех последних глав является частью Европейской программы: Sixth Framework Programme: EU Integrated Infrastructure Initiative Hadron Physics Project: RII3-CT-2004-506078.

Мне хочется выразить благодарность Фонду Галуста Гульбекяна (Португалия) , удостоившего меня в октябре 2004 года стипендии почетного профессора фонда и поддержавшего исследования, приведенные в третьей, четвертой и пятой главах диссертации.

Я выражаю глубокую благодарность соавторам работ, вошедших в диссертацию: профессорам М. К. Волкову, Ulf-G. Meissner, V. Bernard, В. Hiller, А. Н. Blin, J. da Providencia, M. C. Nemes, M. Rosina, а также к.ф.-м. наук Ю. П. Иванову, и докторам J. Moreira и В. Bajc.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Осипов, Александр Андреевич, 2008 год

1. Callan С. G., Dashen R., Gross D. J. Toward a theory of the strong interactions // Physical Review D.-1978.-Vol. 17.-№ 10,- p. 2717-2763.

2. Casher A. Chiral symmetry breaking in quark confining theories // Physics Letters В.-1979,- Vol. 83.- № 3-4,- p. 395-398.

3. Banks Т., Casher A. Chiral symmetry breaking in confining theories // Nuclear Physics В.- 1980,- Vol. 169.-№ 1-2.- p. 103-125.

4. Nambu Y. Axial vector current conservation in weak interactions // Physical Review Letters.- I960,- Vol. 4.- № 7.- p. 380-382.

5. Goldstone J. Field theories with «superconductor» solutions // Nuovo Cimento.- 1961,- Vol. 19,- № 1,- p. 154-164.

6. Gasiorowicz S., GefTen D. A. Effective lagrangians and field algebras with chiral symmetry // Reviews of Modern Physics.- 1969.- Vol. 41.- № 3.-p. 531-573.

7. Dyakonov D. I., Petrov V. Yu. A theory of light quarks in the instanton vacuum // Nuclear Physics В.- 1986,- Vol. 272, № 2,- p. 457-489.

8. Schafer Т., Shuryak E. V. Instantons in QCD // Reviews of Modern Physics.- 1998,- Vol. 70.- № 2,- p. 323-425.

9. Симонов Ю. А. Конфайнмент // Успехи физических наук,- 1996,- т. 166,- т.- с. 337-362.

10. Chernodub М. N., Polikarpov М. I. Abelian projections and monopoles // arXiv: hep-th/9710205.

11. Chernodub M. N., Nakamura A., Zakharov V. I. Manifestations of magnetic vortices in equation of state of Yang-Mills plasma // arXiv: 0807.5012 hep-lat].

12. Witten E. Current algebra theorems for the £7(1) «Goldstone boson» // Nuclear Physics В.- 1979.- Vol. 156.- № 2,- p. 269-283.

13. Veneziano G. U( 1) without instantons // Nuclear Physics В.- 1979.- Vol. 159.- № 1-2,- p. 213-224.

14. Crewther R. J. Chirality selection rules and the U( 1) problem // Physics Letters В.- 1976,- Vol. 70.- № 3,- p. 349-354.

15. Manohar A., Georgi H. Chiral quarks and the non-relativistic quark model // Nuclear Physics В.- 1984,- Vol. 234.- № 1,- p. 189-212.

16. Simonov Yu. A. Theory of light quarks in a confining vacuum // Physics of Atomic Nuclei.- 1997.- Vol. 60.- № 12,- p. 2069-2093 Ядерная Физика.- 1997,- т. 60.- № 12.- с. 2252-2276].

17. Simonov Yu. A. Chiral Lagrangian with confinement from the QCD Lagrangian // Physical Review D.- 2002,- Vol. 65.- № 9.- 094018 10 p.

18. Simonov Yu. A. Effective quark lagrangian in the instanton-gas model // Physics Letters В.- 1997.- Vol. 412.- № 3-4.- p. 371-376.

19. Shuryak E. V. Applying the many-body theory to quarks and gluons // Physics Reports.- 2004,- Vol. 391.- № 3-6,- p. 381-428.

20. Вакс В. Г., Ларкин А. II. О применении методов теории сверхпроводимости к вопросу о массах элементарных частиц // Журнал экспериментальной и теоретической физики.- 1961.- т. 40.- № 1.- с. 282-285.

21. Арбузов Б. А., Тавхелидзе А. Н., Фаустов Р. Н. К вопросу о массе фермиона в 75-инвариантноп модели квантовой теории поля // Доклады Академии наук СССР.- 1961,- т. 139,- № 2,- с. 345-347.

22. Caldi D. G. Quark-mass generation by pseudoparticles // Physical Review Letters.- 1977.- Vol. 39.- № 3.- p. 121-124.

23. I): Quark-giuon plasma // Nuclear Physics В.- 1982,- Vol. 203.- № 1,-p. 140-156. Shuryak E. Pseudoscalar mesons and instantons // Nuclear Physics В.- 1983.- Vol. 214,- № 2,- p. 237-252.

24. Schafer Т., Shuryak E., Verbaarschot J. J. M. Baryonic correlators in the random instanton vacuum // Nuclear Physics В.- 1994,- Vol. 412,- № 1-2,- p. 143-168.

25. Di Giacomo A., Dosch H. G., Shevchenko V. I., Simonov Yu. A. Field correlators in QCD. Theory and applications // Physics Reports.- 2002,-Vol. 372,- № 4,- p. 319-368.

26. Андрианов А. А., Андрианов В. А. Эффективные фермионные модели с динамическим нарушением симметрии // Теоретическая и математическая физика.- 1993.- т. 94,- №1- с. 6-18. Andrianov А. А.,

27. Andrianov V. A. Structure of effective fermion models in symmetry-breaking phase // International Journal of Modern Physics A.- 1993.-Vol. 8.- № 11.- p. 1981-1991.

28. Bernard V., Jaffe R. L., Meissner U.-G. Flavor mixing via dynamical chiral symmetry breaking // Physics Letters В.- 1987,- Vol. 198.- № 1,-p. 92-98.

29. Bernard V., Jaffe R. L., Meissner U.-G. Strangeness mixing and quenching in the Nambu — Jona-Lasinio model // Nuclear Physics B.-1988.- Vol. 308.- № 4,- p. 753-790.

30. Reinhardt H., Alkofer R. Instanton-induced flavour mixing in mesons // Physics Letters В.- 1988,- Vol. 207.- № 4,- p. 482-488.

31. Vogl U., Weise W. The Nambu and Jona-Lasinio model: Its implications for hadrons and nuclei // Progress in Particle and Nuclear Physics.-1991.- Vol. 27,- p. 195-272.

32. Takizawa M., Tsushima K., Kohyama Y., Kubodera K. Study of meson properties and quark condensates in the Nambu — Jona-Lasinio model with instanton effects // Nuclear Physics A.- 1990.- Vol. 507.- № 3-4,- p. 611-648.

33. Klevansky S. P. The Nambu — Jona-Lasinio model of quantum chromodynamics // Reviews of Modern Physics.- 1992.- Vol. 64.- № 3.-p. 649-708.

34. Kunihiro Т., Hatsuda T. Effects of flavour mixing induced by axial anomaly on the quark condensates and meson spectra // Physics Letters В.- 1988.- Vol. 206.- № 3,- p. 385-390.

35. Hatsuda Т., Kunihiro T. QCD phenomenology based on a chiral effective lagrangian // Physics Reports.- 1994,- Vol. 247,- № 5-6,- p. 221-367.

36. Bernard V., Blin A. II., Hiller В., Mcifiner U.-G., Ruivo M. C. Strong and radiative meson decays in a generalized Nambu — Jona-Lasinio model // Physics Letters В.- 1993.- Vol. 305,- № 1-2,- p. 163-167.

37. Dmitiasinovic V. Ua{ 1) symmetry breaking, scalar mesons and the nucleon spin problem in an effective chiral field theory // Nuclear Physics A.- 2001.- Vol. 686.- № 1-4,- p. 379-392.

38. Naito К., Oka M., Takizawa M., Umekawa T. UA{1) breaking effects on the light scalar meson spectrum I j Progress of Theoretical Physics.-2003.- Vol. 109,- № 6,- p. 969-980.

39. Pais A. Some remarks about dynamical asymmetry // Physical Revicw.-1968,- Vol. 173,- № 5.- p. 1587-1595.

40. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization / / Physical Review.- 1951.- Vol. 82,- № 5.- p. 664-679.

41. DeWitt B. S. Dynamical Theory of Groups and Fields.- New York: Gordon and Breach, 1965. Девитт В. С. Динамическая теория групп и полей: Пер. с англ. / Под ред. Г. А. Вылковыского.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1987.- 288 е.]

42. DeWitt В. S. Quantum field theory in curved spacetime // Physics Reports.- 1975.- Vol. 19.- № 6 p. 295-357.

43. Barvinsky A. O., Vilkovisky G. A. The generalized Schwinger-DeWitt technique in gauge theories and quantum gravity // Physics Reports.-1985.- Vol. 119,- № 1.- p. 1-74.

44. Ball R. D. Chiral gauge theory // Physics Reports.- 1989,- Vol. 182,- № 1-2,- p. 1-186.

45. Vassilevich D. V. Heat kernel expansion: user's manual // Physics Reports.- 2003.- Vol. 388,- № 5-6.- p. 279-360.

46. Kikkawa K. Quantum corrections in superconductor models // Progress of Theoretical Physics.- 1976.- Vol. 56,- № 3.- p. 947-955.

47. Volkov M. K. Meson lagrangians in superconductor quark model // Annals of Physics.- 1984.- Vol. 157.- № 1.- p. 282-303.

48. Волков М. К. Низкоэнергетическая физика мезонов в кварковой модели сверхпроводящего типа // Физика элементарных частиц и атомного ядра,- 1986.- т. 17,- № 3.- с. 403-471.

49. Ebert D., Reinliardt Н. Effective chiral hadron lagrangian with anomalies and skyrme terms from quark flavour dynamics // Nuclear Physics B.-1986,- Vol. 271.- № 1,- p. 188-226.

50. Espriu D., de Rafael E., Taron J. The QCD effective action at long distances // Nuclear Physics В.- 1990,- Vol. 345,- № 1,- p. 22-56.

51. Bijnens J., Bruno C., de Rafael E. Nambu — Joim-Lasinio — like models and the low-energy effective action of QCD // Nuclcar Physics В.- 1993.-Vol. 390,- № 2.- p. 501-541.

52. Bernard V., Brockmann R., Schaden V., Weise W., Werner E. The goldstone pion and the quark-antiquark pion: (I). Pion mass and strength function // Nuclear Physics A.- 1984,- Vol. 412,- № 3,- p. 349-372.

53. Bernard V., Meissner U.-G. Properties of vector and axial-vector mesons from a generalized Nambu — Jona-Lasinio model // Nuclear Physics A.-1988.- Vol. 489.- № 4,- p. 647-670.

54. Celenza L. S., Shakin С. M., Sun W.-D., Szweda J., Zhu X. Scalar-isoscalar correlator in a phenomenological coupled-channel quark model // International Journal of Modern Physics E.- 1993,- Vol. 2.- № 3.- p. 603-627.

55. Celenza L. S., Shakin С. M., Sun W.-D., Szweda J., Zhu X. Quark model calculations of current correlators in the nonperturbative domain // Annals of Physics.- 1995,- Vol. 241,- № 1.- p. 1-36.

56. Celenza L. S., Shakin С. M., Sun W.-D., Szweda J., Zhu X. Vertex functions for confined quarks in momentum-space quark-liadron models // Physical Review D.- 1995.- Vol. 51,- № 7,- p. 3638-3651.

57. Nuclear Physics A.- 2003.- Vol. 729.- № 2-4,- p. 769-783. Mishustin I. N., Satarov L. M., Greiner W. How far is normal nuclear matter from the chiral symmetry restoration? // Physics Reports.- 2004,- Vol. 391.-№ 3-6.- p. 363-380.

58. Bernard V., Osipov A. A., Meifiner U.-G. Consistent treatment of the bosonized Nambu — Jona-Lasinio model // Physics Letters В.- 1992.-Vol. 285,- № 1-2,- p. 119-125.

59. Bajc В., Blin A. H., Hiller В., Nemes M. C., Osipov A. A., Rosina M. Low-energy dynamics of the 77 —> 7Г7Г reaction in the NJL model // Nuclear Physics A.- 1996.- Vol. 604.- № 4,- p. 406-428.

60. Bernard V., Blin A. H., Hiller В., Ivanov Yu. P., Osipov A. A., Meifiner U.-G. Quark-antiquark resonances in the NJL model // Physics Letters В.- 1997,- Vol. 409.- № 1-4,- p. 483-490.

61. Волков M. К., Осипов А. А. Поляризуемости пионов и каонов в квар-ковой модели сверхпроводящего типа // Ядерная Физика,- 1985.- т. 41, № 4.- с. 1027-1034.

62. Osipov A. A., Volkov М. К. Decays of the B,H,H',Q 1 and Q2 mesons in the quark model of superconducting type // Sov. Journal of Nuclear Physics.- 1985.- Vol. 41,- № 3,- p. 500-503 Ядерная Физика,- 1985.- т. 41,- № 3.- с. 785-790].

63. Osipov A. A., Volkov М. К. Pion-pion scattering lengths // Sov. Journal of Nuclear Physics.- 1984,- Vol. 39.- № 3.- p. 440-442 Ядерная Физика.-1984,- т. 39.- № 3,- с. 694-698].

64. Bernard V., Meifiner U.-G., Osipov A. A. The momentum-space bosonization of the Nambu — Jona-Lasinio model with vector and axial-vector mesons // Physics Letters В.- 1994,- Vol. 321,- № 2,- p. 201-208.

65. Bernard V., Blin A. H., Hiller В., Ivanov Yu. P., Osipov A. A., Meifiner U.-G. Pion observables in the extended NJL model with vector and axial-vector mesons // Annals of Physics.- 1996.- Vol. 249.- № 2.- p. 499-531.

66. Osipov A. A. The momentum-space bosonization // Physics of Atomic Nuclei.- 1996.- Vol. 59.- № 10.- p. 1786-1794 Осипов А.А. Бозонизация в импульсном пространстве // Ядерная Физика.-1996.- т. 59, № 10.-с. 1849-1858].

67. Волков М. К., Осипов А. А. 7г —> ai переходы и кварковые массы в модели сверхпроводящего типа.- Дубна, 1985.- 7 с. (Препринт ОИЯИ: P2-S5-390).

68. Волков М. К., Осипов А. А. 7га,1-Переходы и низкоэнергетическпн предел в линейной сигма-модели // Теоретическая и математическая физика,- 1991,- т. 86,- № 3.- с. 385-390.

69. Osipov A. A., Hiller В. One-loop fermion determinant with explicit chiral symmetry breaking // Physics Letters В.- 2000.- Vol. 488.- № 3-4.- p. 299-302.

70. Osipov A. A., Hiller В., Blin A. H. One-loop determinant of Dirac operator in non-renormalizable models // Physics Letters В.- 2000.- Vol. 475.- № 3-4,- p. 324-328.

71. Osipov A. A., Hiller B. Inverse mass expansion of the one-loop effective action // Physics Letters В.- 2001.- Vol. 515.- № 3-4,- p. 458-462.

72. Osipov A. A., Sampaio M., Hiller B. Implications of a new effective chiral meson lagrangian // Nuclear Physics A.- 2002,- Vol. 703.- № 1-2,- p. 378392.

73. Osipov A. A., Hiller B. Effective chiral meson Lagrangian for the extended Nainbu — Jona-Lasinio model // Physical Review D.- 2000.- Vol. 62.- № 11,- 114013 10 p.

74. Osipov A. A., Hiller B. Generalized proper-time approach for the case of broken isospin symmetry // Physical Review D.- 2001.- Vol. 63,- № 9.094009 10 p.

75. Osipov A. A., Hiller B. Large mass invariant asymptotics of the effective action // Physical Review D.- 2001.- Vol. 64,- № 8.- 087701 4 p.

76. Osipov A. A., Hansen H., Hiller B. Long distance expansion for the NJL model with SU{3) and UA( 1) breaking // Nuclear Physics A.- 2004,- Vol. 745.- № 1-2,- p. 81-103.

77. Editors: Berndt Miiller and Chung-I Tan // Special Issue of Int. Journal of Mod. Phys. A.- 2005.- Vol. 20.- № 19.- p. 4599-4608.

78. Osipov A. A., Hiller B. Path integral bosonization of the 't Hooft determinant: quasi-classical corrections // European Physical Journal C.-2004,- Vol. 35.- № 2,- p. 223-241.

79. Osipov A. A., Hiller B. Path integral bosonization of the 't Hooft determinant: fluctuations and multiple vacua // Physics Letters В .-2002.-Vol. 539,- № 1-2,- p. 76-84.

80. Osipov A. A., Hiller В., Bernard V., Blin A. H. Aspects of UA(1) breaking in the Nambu and Jona-Lasinio model // Annals of Physics.- 2006.- Vol. 321.- № 11.- p. 2504-2534.

81. Osipov A. A., Hiller В., Moreira J., Blin A. Ii. Stationary phase corrections in the process of bosonization of multi-quark interactions // European Physical Journal C.- 2006,- Vol. 46.- № 1,- p. 225-233.

82. Osipov A. A., Hiller В., da Providencia J. Multi-quark interactions with a globally stable vacuum // Physics Letters В.- 2006,- Vol. 634,- № 1,-p. 48-54.

83. Osipov A. A., Hiller В., Blin A. H., da, Providencia J. Effects of eight-quark interactions on the hadronic vacuum and mass spectra of light mesons // Annals of Physics.- 2007.- Vol. 322.- № 9.- p. 2021-2054.

84. Osipov A. A., Hiller В., Blin A. H., da Providencia J. Dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field and multi-quark interactions // Physics Letters В.- 2007.- Vol. 650.- № 4.- p. 262-267.

85. Hiller В., Osipov A. A., Blin A. II., da Providencia J. Effects of quark interactions on dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field99100101102103104105106107108

86. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications.-2008.- Vol. 4.- № 024,- 14 p.

87. Osipov A. A., Hiller В., Moreira J. Blin A. H., da Providencia J. Lowering the critical temperature with eight-quark interactions // Physics Letters В.- 2007,- Vol. 646,- № 2-3,- p. 91-94.

88. Osipov A. A., Hiller В., Moreira J., Blin A. H. OZI violating eight-quark interactions as a thermometer for chiral transitions // Physics Letters В.- 2008.- Vol. 659,- № 1-2,- p. 270-274.

89. Weinberg S. Elementary particle theory of composite particles // Physical Review.- 1963.- Vol. 130.- № 2.- p. 776-783.

90. Eguchi Т., Sugawara H. Extended model of elementary particles based on an analogy with superconductivity // Physical Review D.- 1974.- Vol. 10.- № 12,- p. 4257-4262.

91. Eguchi T. New approach to collective phenomena in superconductivity models // Physical Review D.- 1976,- Vol. 14,- № 10,- p. 2755-2763.

92. Kugo T. A. A simple derivation of Ginzburg — Landau — Iliggs type Lagrangian // Progress of Theoretical Physics.- 1976.- Vol. 55.- № 6.- p. 2032-2034.

93. Shizuya К. 1 /N expansion and the theory of composite particles // Physical Review D.-1980.- Vol. 21,- № 8,- p. 2327-2335.

94. Волков M. К., Эберт Д. Четырехкварковые взаимодействия как общий динамический источник гт-модели и модели векторной доминантности // Ядерная Физика,- 1982,- т. 36,- № 5 (И).- с. 1265-1277.

95. Ebert D., Volkov М. К. Composite-meson model with vector dominance based on U(2) invariant four-quark interactions // Zeitschrift. fur Physik C: Particles and Fields.- 1983.- Vol. 16,- № 3.- p. 205-210.

96. Волков M. К., Креопалов Д. В. Мезонные лагранжианы группы U(3) в модели с четырехкварковыми взаимодействиями // Теоретическая и математическая физика.- 1983 т. 57.- № 1.- с. 21-34.

97. Волков М. К., Креопалов Д. В. Массы токовых и составляющих кварков в модели с четырехкварковыми взаимодействиями // Ядерная физика.- 1984,- т. 39.- № 4.- с. 924-931.

98. Dhar A., Shankar R. Wadia S. R. Nambu — Jona-Lasinio — type effective lagrangian: anomalies and nonlinear lagrangian of low-energy, large-AT QCD // Physical Review D.- 1985,- Vol. 31.- № 12.- p. 3256-3267.

99. Cclenza L. S., Shakin С. М., Zhu X. Chiral symmetry in nuclear physics: a bosonized Nambu — Jona-Lasinio model for nuclear structure studies.-N.-Y., 1992 (Brooklyn College Report: BCCNT 92/082/225).

100. Celenza L. S., Shakin С. M., Szweda J. Low-mass scalar mesons in nuclear physics: multiloop effects in the bosonization of the Nambu — Jona-Lasinio model // International Journal of Modern Physics E.- 1993.- Vol. 2,- № 2,- p.437-450.

101. Bijnens J. Chiral Lagrangians and Nambu — Jona-Lasinio like models // Physics Reports.- 1996.- Vol. 265.- № 6,- p. 370-446.

102. Meissner Т., Arriola E. R., Goeke K. Regularization scheme dependence of vacuum observables in the Nambu — Jona-Lasinio model // Zeitschiift fur Physik A: Hadrons and Nuclei.- 1990.- Vol. 336,- № 1,- p. 91-96.

103. Pauli W., Villars F. On the invariant regularization in relativistic quantum theory // Reviews of Modern Physics.- 1949.- Vol. 21.- № 3.- p. 434-444.

104. Медведев Б. В., Павлов В. П., Суханов А. Д. Градиентная инвариантность и регуляризация // Журнал экспериментальной и теоретической физики,- 1970,- т. 58.- № б.- с. 2099-2109.

105. Blin А. Н., НШег В., da Providencia J. Mesonic excitations in the Nambu — Jona-Lasinio quark-antiquark continuum // Physics Letters В.- 1990.-Vol. 241,- № 1,- p. 1-6.

106. Hansson Т. H., Prakash M., Zahed I. The Nambu — Jona-Lasinio model in light of chiral perturbation theory // Nuclear Physics В.- 1990.- Vol. 335.- № 1,- p. 67-76.

107. Arriola Б. R. The low energy expansion of the generalized SU(3) NJL model // Physics Letters В.- 1991.- Vol. 253.- № 3-4.- p. 430-435.

108. Schiiren C., Arriola E. R., Goeke K. Explicit chiral symmetry breaking in the Nambu — Jona-Lasinio model // Nuclear Physics A.- 1992,- Vol. 547,- № 4.- p. 612-632.

109. Бельков А. А., Ланев А. В. Бозонизированные лагранжианы в высших порядках кпралыюго разложения // Физика элементарных частиц и атомного ядра.- 1998 т. 29 - № 1,- с. 82-144.

110. Belkov A. A., Lanyov А. V., Schaale A., Scherer S. An Effective chiral meson Lagrangian at 0(p6) from the NJL model // Acta Physica Slovaca.- 1995,- Vol. 45.- № 2.- p. 121-134.

111. Gasser J., Leutwyler H. Chiral perturbation theory to one loop // Annals of Physics.- 1984,- Vol. 158,- № 1,- p. 142-210.

112. Weinberg S. Pion scattering lengths // Physical Review Letters.- 1966.-Vol. 17,- № 11,- p. 616-621.

113. Colangelo G., Gasser J., Leutwyler H. 7Г7Г scattering // Nuclear Physics В.- 2001,- Vol. 603.- M 1-2.- p. 125-179.

114. Nagels M. M. et al. Compilation of coupling constants and low-energy parameters // Nuclear Physics В.- 1979.- Vol. 147.- № 3-4.- p. 189-276.

115. Colangelo G., Gasser J., Leutwyler H. The 7Т7г S-wave scattering lengths // Physics Letters В.- 2000.- Vol. 488,- № 3-4,- p. 261-268.

116. Ananthanarayan В., Colangelo G., Gasser J., Leutwyler H. Roy equation analysis of ixit scattering // Physics Reports.- 2001.- Vol. 353.- № 4.- p. 207-279.

117. Pelaez J. R., Yndurain F. J. Precision of chiral-dispersive calculations of 7Г7Г scattering // Physical Review D.- 2003.- Vol. 68,- № 7,- 074005 18 p.

118. Pelaez J. R., Yndurain F. J. Regge analysis of pion-pion (and pion-kaon) scattering for energy s1/2 > 1.4GeV // Physical Review D.- 2004.- Vol. 69,- № 11.- 114001 12 p.

119. Pelaez J. R., Yndurain F. J. Pion-pion scattering amplitude // Physical Review D.- 2005,- Vol. 71.- A'" 7,- 074016 31 p.

120. Волков M. К., Креопалов Д. В. Мезонные лагранжианы группы U(3) в модели с четырехкварковыми взаимодействиями // Теоретическая и математическая физика 1983.- т. 57,- № 1,- с. 21-34.

121. Bellucci S., Bruno С. 77 —> 7г°7г° and 77 7г°77 at low energy within the extended Nambu Jona-Lasinio model // Nuclear Physics В.- 1995.-Vol. 452.- № 3,- p. 626-645.

122. Bel'kov A. A., Lanyov A. V., Scherer S. 77 —> 7г°7г° and 77 —> 7r°77 at 0(p6) in the NJL model // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics.- 1996.- Vol. 22,- № 10.- p. 1383-1394.

123. Bijnens J., Fayyazuddin A., Prades J. The 77 —> 7г°7г° and 77 —> 7r°77 transitions in the extended NJL model // Physics Letters В.- 1996.- Vol. 379.- № 1-4,- p. 209-218.

124. Bellucci S., Gasser J., Sainio M. E. Low-energy photon — photon collisions to two-loop order // Nuclear Physics В.- 1994.- Vol. 423.- № 1,-p. 80-122.

125. Mark II Collab., Boyer J. et al. Two-photon production of pion pairs // Physical Review D.- 1990.- Vol. 42,- № 5,- p. 1350-1367.

126. Crystal Ball Collab., Marsiske H. et al. Measurement of 7г°7г° production in two-photon collisions // Physical Review D.- 1990.- Vol. 41.- № 11.-p. 3324-3335.

127. Bijnens J., Cornet F. Two-pion production in photon-photon collisions // Nuclear Physics В.- 1988.- Vol. 296,- № 3.- p. 557-568.

128. Donoghne J. F., Holstcin B. R., Lin Y. C. The reaction 77 —7г°7г° and chiral loops // Physical Review D.- 1988,- Vol. 37,- № 9.- p. 2423-2430.

129. Donoghue J. F., Holstein B. R. Photon-photon scattering, pion polarizability, and chiral symmetry // Physical Review D.- 1933.- Vol. 48.- № 1,- p. 137-146.

130. Bijnens J., Dawson S., Valencia G. 7^ —4 7г°7г° and К^ —> 7г°77 in the chiral quark model // Physical Review D.- 1991.- Vol. 44,- W 11.- p. 3555-3561.

131. Gasser J., Ivanov M. A., Sainio M. E. Low-energy photon — photon collisions to two loops revisited // Nuclear Physics В.- 2005,- Vol. 728,-№ 1-3.- p. 31-54.

132. Baldin A. M. Polarizability of nucleons // Nuclear Physics.- I960.- Vol. 18,- p. 310-317.

133. Петрунькии В. А. Электрическая и магнитная поляризуемости адронов // Физика элементарных частиц и атомного ядра.- 1981,- т. 12.-№ 3,- с. 692-753.

134. Fil'kov L. V., Kashevarov V. L. Compton scattering 011 the charged pion and the process 77 —> 7г°7г° // The European Physical Journal A: Hadrons and Nuclei.- 1999.- Vol. 5,- № 3,- p. 285-292.

135. Калошин A. E., Персиков В. M., Серебряков В. В. Первые оценки (а + ру из двухфотонпых экспериментов // Ядерная Физика.- 1994.т. 57.- № 12,- с. 2298-2299.

136. Fil'kov L. V., Kashevarov V. L. Determination of 7r° meson quadrupole polarizabilities from the process 77 —7г°7г° // Physical Review C.- 2005.-Vol. 72,- № 3.- 035211 6 p.

137. Gasser J., Ivanov M. A., Sainio M. E. Revisiting 77 —> 7г+7г~ at low energies // Nuclear Physics В.- 2006.- Vol. 745.- № 1-2,- p. 84-108.

138. Bijnens J., Talavera P. 7r —> lи7 form factors at two-loop // Nuclear Physics В.- 1997.- Vol. 489.- № 1-2.- p. 387-404.

139. Geng C. Q., Ho I-L., Wu Т. H. Axial-vector form factors for and 7Г/2-, at 0(p6) in chiral perturbation theory // Nuclear Physics B- 2004.-Vol. 684,- № 1-2,- p. 281-317.

140. The CELLO collaboration / Behrend H.-J., et al. An experimental study of the process 77 —> 7r+7r~ // Zeitschrift fur Physik C: Particles and Fields.- 1992.- Vol. 56.- № 3,- p. 381-390.

141. MARK II collaboration / Boyer J., et al. Two-photon production of pion pairs // Physical Review D.- 1990.- Vol. 42.- № 5.- p. 1350-1367.

142. Kaloshin A. E., Persikov V. M., Serebryakov V. V. Another look at the angular distributions of the 77 —> mr reactions.- Irkutsk, 1995 (Preprint: ISU-IAP.Th 95-01) arXiv: hep-ph/9504261],

143. Kaloshin A. E, Serebryakov V. V. 7r+ and 7Г° polarizabilities from 77 —> 7Г7Г data, // Zeitschrift fur Physik C: Particles and Fields.- 1994,- Vol. 64.-№ 4,- p. 689-694.

144. Ahrens J., et al. Measurement of the 7r+— meson polarizabilities via the 7P 77T+7i reaction // The Europian Physical Journal A: Hadrons and Nuclei.- 2005,- Vol. 23.- № 1.- p. 113-127.

145. Fil'kov L. V., Ivashevarov V. L. Determination of ж^ meson polarizabilities from the 77 —»■ 7г+7г~ process // Physical Review C.-2006,- Vol. 73,- № 3.- 035210 6 p.

146. Weinberg S. Nonlinear Realizations of Chiral Symmetry // Physical Review.- 1968.- Vol. 166,- № 5.- p. 1568-1577.

147. Haag R. Quantum field theories with composite particles and asymptotic conditions // Physical Review.- 1958.- Vol. 112,- № 2,- p. 669-673.

148. Chisholm I. S. R. Change of variables in quantum field theories // Nuclear Physics.- 1961.- Vol. 26,- № 3,- p. 469-479.

149. Фок В. А. Собственное время в классической и квантовой механике // Изв. АН СССР,- ОМЕН, 1937,- с. 551. Фок В. А. Работы по квантовой теории поля / / Из дат. Ленинградского Университета.- 1957.- с. 141158.

150. Seeley R. Т. Complex powers of an elliptic operator //In Singular integrals / ed. by. A. P. Caldern.- Am. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math.- 1967.- Vol. 10.- c. 288-307.

151. Van de Ven A. E. M. Index-free heat kernel coefficients // Classical and Quantum Gravity.- 1998.- Vol. 15,- № 8,- p. 2311-2344.

152. Salcedo L. L. Generalized heat kernel coefficients // Eur.Phys.J. direct.-2001.- Vol. 3.- № 1,- p. 1-10.- arXive: hep-th/0107133].

153. Bernard V., Meissner U.-G. Electromagnetic Structure of the pion and the kaon // Physical Review Letters.- 1988.- Vol. 61.- № 20.- p. 2296-2299.

154. Coleman S., Weinberg E. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking // Physical Review D.- 1973.- Vol. 7.-№ 6.- p. 1888-1910.

155. Gell-Mann M., Levy M. The axial vector current in beta decay // Nuovo Cimento.- I960.- Vol. 16,- № 4,- p. 705-726.

156. C. Amsler et al. (Particle Data Group). Review of Particle Physics // Physics Letters В.- 2008.- Vol. 667.- № 1-5,- p. 1-1340.

157. Keiser R. Diploma work.- University of Bern, 1997.

158. Feldmann Т., Kroll P., Stech B. Mixing and decay constants of pseudoscalar mesons // Physical Review D.- 1998.- Vol. 58.- № 11.114006 8 p.

159. Feldmann T. Quark structure of pseudoscalar mesons // International Journal of Modern Physics A.- 2000,- Vol. 15,- № 2.- p. 159-207.

160. Feldmann Т., Kroll P., Stech B. Mixing and decay constants of pseudoscalar mesons: the sequel // Physics Letters В.- 1999,- Vol. 449.-№ 3-4,- p. 339-346.

161. Hagiwara K. et al. (Particle Data Group) Review of Particle Properties // Phys. Rev. D.- 2002.- Vol. 66.- № 1.- 010001 974 p.

162. E791 Collaboration / Aitala E. M. et al. Dalitz plot analysis of the decay D+ —> A'^7T+7T+ and indication of a low-mass scalar Ктх resonance // Physical Review Letters.-2002.- Vol. 89.- № 12,- 121801 5 p.

163. Tornqvist N. A. Comparing the broken U(3) x U(3) linear sigma model with experiment // The European Physical Journal C.- 1999.- Vol. 11.-№ 2,- p. 359-363.

164. Schechter J., Ueda Y. General treatment of the breaking of chiral symmetry and scale invariance in the SU(3) a model // Physical Review

165. Oiler J. A., Oset E., Pelaez J. R. Meson-meson interactions in a nonperturbative chiral approach // Physical Review D.- 1999.- Vol. 59.-№ 7.- 074001 19 p. (Erratum-ibid. D 60 (1999) 099906). Oiler J. A., Oset

166. E., Pelaez J. R. Nonperturbative approach to effective chiral lagrangians and meson interactions // Physical Review Letters.- 1988.- Vol. 80.- № 16.- p. 3452-3455.

167. Black D., Harada M., Schechter J. Vector-meson-dominance model for radiative decays involving light scalar mesons // Physical Review Letters.- 2002,- Vol. 88,- № 18.- 181603 4 p.

168. Di Vecchia P., Veneziano G. Chiral dynamics in the large N limit // Nuclear Physics В.- 1980.- Vol. 171,- p. 253-272. Kawarabayashi K., Ohta

169. Rosenzweig C., Schechter J., Trahern C. G. Is the effective Lagrangian for quantum chromodynamics a a model? // Physical Review D.- 1980.-Vol. 21,- № 12.- p. 3388-3392.

170. Bicudo P. Mesons and tachyons with confinement and chiral restoration // Physical Review D.- 2006,- Vol. 74,- № 6.- 065001 11 p.

171. Del Debbio L., Giusti L., Pica C. Topological susceptibility in SU(3) gauge theory // Physical Review Letters.- 2005.- Vol. 94.- № 3.- 032003 3p.

172. Dmitrasinovic V. Ua( 1) breaking and scalar mesons in the Nambn and Jona-Lasinio model // Physical Review C.- 1996,- Vol. 53.- № 3.- p. 13831396.

173. Achasov N. N. Radiative decays of </>-meson about nature of light scalar resonances // Nuclear Physics A.- 2003,- Vol. 728,- № 3-4,- p. 425-438.

174. Klempt E. Hadron spectroscopy without constituent glue // International Journal of Modern Physics A.- 2005.- Vol. 20.- № 8-9,- p. 1720-1727.

175. E791 Collaboration / Goebel C. Light mesons and charm decays: New results from E791 /, Frascati Phys. Ser.- 2001,- Vol. 20.- p. 373-384 arXiv: hep-ex/0012009],

176. Jamin M. Flavour-symmetry breaking of the quark condensate and chiral corrections to the Gell-Mann Oakes - Renner relation // Physics Letters В.- 2002,- Vol. 538.- № 1-2,- p. 71-76.

177. Klevansky S. P., Lemmer R. H. Chiral-symmetry restoration in the Nambu — Jona-Lasinio model with a constant electromagnetic field // Physical Review D.- 1989.- Vol. 39,- № 11.- p. 3478-3489.

178. Krive I. V., Naftulin S. A. Dynamical symmetry breaking and phase transitions in a three-dimensional Gross-Neveu model in a strong magnetic field // Physical Review D.- 1992.- Vol. 46,- № 6.- p. 27372740.

179. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Dimensional reduction and dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field in 3 + 1 dimensions // Physics Letters В.- 1995,- Vol. 349.- № 4.- p. 477-483.

180. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Dimensional reduction and catalysis of dynamical symmetry breaking by a magnetic field // Nuclear Physics В.- 1996,- Vol. 462.- № 2-3,- p. 249-290.

181. Bardeen J., Cooper L. N., Sehrieffer J. R. Theory of superconductivity // Physical Review.- 1957,- Vol. 108,- № 5.- p. 1175-1204.

182. Ragazzon R. Nambu -— Jona-Lasinio model in a magnetic field with variable direction // Physical Review D.- 1999.- Vol. 59.- № 6.- p. 065006 5 p.

183. Brown F. R. et al. On the existence of a phase transition for QCD with three light quarks // Physical Review Letters.- 1990,- Vol. 65.- № 20.- p. 2491-2494.

184. Meyer-Ortmanns H. Phase transitions in quantum chromodynamics // Reviews of Modern Physics.- 1996.- Vol. 68.- № 2.- p. 473-598.

185. Lenaghan J. Т., Rischke D. H., Schaffner-Bielich J. Chiral symmetry restoration at nonzero temperature in the SU(3)д x SU(3)l linear sigma model // Physical Review D.- 2000,- Vol. 62,- № 8.- 085008 13 p.

186. Bernard C. et al. QCD thermodynamics with three flavors of improved staggered quarks // Physical Review D.- 2005.- Vol. 71,- № 3.- 034504 11 P

187. Ebert D., Kalinovsky Yu. L., Mimchow L., Volkov M. K. Mesons and diquarks in a NJL model at finite temperature and chemical potential // International Journal of Modern Physics A.- 1993.- Vol. 8.- № 7.- p. 1295-1312.

188. Ruster S. В., Werth V., Buballa M., Shovkovy I. A., Rischke D. H. Phase diagram of neutral quark matter: Self-consistent treatment of quark masses // Physical Review D.- 2005.- Vol. 72,- № 3.- 034004 13 P

189. Florkowski W. Description of hot compressed hadronic matter based on an effective chiral lagrangian // Acta Physica Polonica В.- 1997.- Vol. 28,- № 10.- p. 2079-2212.

190. Pisarski R. D., Wilczek F. Remarks on the chiral phase transition in chromodynamics // Physical Review D.- 1984.- Vol. 29,- № 2.- p. 338341.

191. Kapusta J. I. Finite-Temperature Field Theory.- Cambridge: Cambridge University Press, 1989.

192. Iwasaki Y., Kanaya K., Kaya S., Sakai S., Yoshie T. QCD phase transition with strange quark in Wilson formalism for fermions // Zeitschrift fur Physik C: Particles and Fields.- 1996,- Vol. 71.- № 2,- p. 343-346.