Квазилокальные кварковые модели для векторных мезонов и условия восстановления киральной симметрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат физико-математических наук Афонин, Сергей Сергеевич

• Афонин, Сергей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Афонин, Сергей Сергеевич

1 Введение

2 Глава I

2.1 Введение.

2.2 Квазилокальная Кварковая Модель в поликритическом режиме.

2.2.1 Формулировка Квазилокальной Кварковой Модели

2.2.2 Динамическое нарушение киральной симметрии в окрестности трикритической точки

2.2.3 Вторая вариация и спектр коллективных возбуждений

2.2.4 Ограничения на мезонные параметры из правил сумм ВКС

2.3 Векторные и аксиально-векторные мезоны в ККМ

2.3.1 Введение VA-полей.

2.3.2 Спектр масс для VA-мезонов.

2.3.3 Р-А смешивание

2.3.4 ВКС ограничения в VA-случае.

2.3.5 Сравнение VA и SP каналов.

2.4 £//(3)-обобщение ККМ с ненулевой токовой массой кварка.

2.4.1 Построение £7/(З)-обобщепия ККМ.

2.4.2 Массовые соотношения

2.5 Сравнение с экспериментом.

2.6 Выводы.

3 Глава II

3.1 Введение.

3.2 Электромагнитное расщепление масс 7г-мсзопов

3.3 Учет вклада высших VA-резонансов в электромагнитное расщепление масс 7г-мезонов.

3.4 Выводы.

4 Глава III

4.1 Введение.

4.2 Кварк-адронная дуальность для мезонных резонансов

4.2.1 Ток-токовые корреляторы и правила сумм КХД.

4.2.2 Векторные и аксиально-векторные резонансы

4.2.3 Скалярные и псевдоскалярные резонансы

4.2.4 Детали фитов и результаты.

4.2.5 Фиты и сравнение с экспериментом.

Л 4.3 Кварковый конденсат и отклонения от струноподобного поведения мезонных спектров.

4.3.1 Формулировка гипотезы.

4.3.2 Линейный спектр масс.

4.3.3 Нелинейный спектр масс

4.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазилокальные кварковые модели для векторных мезонов и условия восстановления киральной симметрии»

Одной из основных задач физики элементарных частиц в области низких и промежуточных энергий является описание свойств легких адронов, взаимодействующих, главным образом, посредством сильных взаимодействий. В настоящее время признанной теорией сильных взаимодействий является Квантовая Хромоди-^ намика (КХД). Однако, в данной области константа сильного взаимодействия велика и КХД оказывается в режиме сильной связи, где исходные переменные — токовые кварки и глюоны — не соответствуют физике адронизации. Последняя, в свою очередь, в значительной степени определяется динамическим нарушением киральной симметрии (ДНКС) в КХД, предположительно происходящим при энергиях около 1 ГэВ. В данном режиме стандартная теория возмущений не применима, а универсальных непер-турбативных методов до сих пор не разработано. Весьма многообещающим выглядит развитие решеточных вычислений, однако их применение пока сильно ограничено.

Такая ситуация привела к бурному развитию различных модельных подходов, в рамках которых вычисление физических характеристик адронов намного проще. Многие из предложенных моделей являются эффективными теориями поля. Эти теории описывают различные аспекты низко-энергетической физики, где понятие "низкий" определено по отношению к некоторому масштабу энергии А. В них учитываются только низкоэнергетические степени свободы, т.е. состояния с массой т<Л, в то время как по остальным степеням свободы с т Л произведено усреднение. По предположению, результатом этого усреднения являются константы связи получившегося низкоэнергетического эффективного лагранжиана. С точки зрения фундаментальной теории сильных взаимодействий, эти модели являются низко-энергетическим приближением типа эффектив-•V ного действия Каданова-Вильсона [1]. Как следствие, ожидается появление бесконечного числа эффективных взаимодействий. Однако на практике из них удерживают только конечное число, а остальные считаются подавленными степенями 1/А, т.е. несущественными при описании низко-энергетических взаимодействий.

Простейшая эффективная модель строит динамику сильных взаимодействий без глюонов — на основе локального четырех-фермионного самодействия кварков (по аналогии со сверхпроводимостью). Эта модель — модель Намбу-Йона-Лазинио (НЙЛ) [2] — изначально была введена для описания пиона как связанного состояния нуклона и антинуклона. Позже, после формулировки КХД, она была переопределена для кварков [3]. Начиная с этого времени, различные обобщения данной модели нашли свое применение ко многим физическим задачам [4-16], подробный обзор которых представлен в работах [17-19]. Главным достоинством модели НЙЛ является то, что она сравнительно просто описывает одно из самых важных явлений в низко-энергетической динамике КХД — явление ДНКС. А именно, в рамках модели НЙЛ ДНКС происходит из-за сильного притяжения в скалярном канале. В результате кварки приобретают динамическую массу М^уп, а также появляется изоспиновый мультиплет пионов, которые безмассо-вы в киральном пределе, и массивный скалярный мезон с массой та = 2Mdyn. Более того, хорошо известные из алгебры токов результаты, такие как соотношения Голдбергера-Треймана и Гелл-Манна-Окса-Реннера, могут быть непосредственно выведены, т.к. они являются следствиями симметрий модели НЙЛ.

По предположению, глюонные степени свободы в модели НЙЛ "заморожены" в эффективном точечном взаимодействии между легкими кварками. Существуют различные идеи, объясняющие доминантность локального 4-х фермионного взаимодействия в низко-энергетическом, длинно-волновом пределе КХД [8,17-19] (см. также [20,21]). Схематично, к модели НЙЛ можно иитуитивпо придти следующим образом. Пусть мы формально проинтегрировали по глюонам в порождающем функционале КХД в киральном пределе (в Евклидовом пространстве):

Далее, естественно предположить, что такое интегрирование не нарушает лоренц-инвариантности, т.е. £eff = £eff{яя) является функционалом билинейных комбинаций кварковых полей qq. Кинетический кварковый член остается без изменения. Таким образом, можно символически себе представить, что:

АлШ = iqfiq + f(qq) •

Если допустить в некотором обобщенном смысле аналитичность функции /(ад), то можно написать разложение: qq) = Со + Cm + С2(<?]ГTiq){q Tjq) + . , i j где Гг- являются операторами с различными лоренцевыми, спинор-ными и флейворными индексами. Константа Со несущественна и может быть отброшена. Логично предположить, что интегрирование по глюонам явно не нарушает киралыюй симметрии, т.е. С\ = 0. Удержав, тем самым, в суммах только единичный оператор, мы воспроизводим простейшую модель НИЛ. Также могут быть формально получены и различные обобщения этой модели. Например, для объяснения Ua{ 1) аномалии надо удержать 6-ти фермионные вершины в разложении [22].

Из-за 4-х фермионного точечного характера взаимодействия, модель НЙЛ является неперенормируемой. Чтобы полностью определить эту модель как эффективную теорию поля, нужно предписать определенную регуляризационную схему для работы с возникающими несобственными интегралами. В принципе, пе-реиормируемость не является проблемой в эффективных теориях поля: при включении новых вершин всегда можно выполнить перенормировку порядок за порядком. Более того, как показано в [4], стандартная модель НИЛ эквивалентна перенормируемой линейной сг-модели. Другая особенность модели НЙЛ — отсутствие кон-файнмента, что однако также не является большой проблемой, т.к. взаимодействия адронов во многих случаях не зависят от деталей конфайнмента.

Следует заметить, что моделирование эффективных кварковых взаимодействий посредством только локальных 4-х ферм ионных вершин является грубой аппроксимацией. В полном эффективном фермиоином действии КХД ожидается бесконечное число вершин любой размерности (вообще говоря, нелокальных). Концепция низко-энергетического эффективного действия допускает адиабатическое (квазилокальное) разложение по степеням 1 /А, включающим производные по фермионным полям. По предположению, эти вершины описывают более сложные микроскопические взаимодействия. Каноническая размерность соответствующих констант связи является главным аргументом в пользу локального приближения: вершины высшей размерности имеют дополнительные обратные степени масштаба Л, который, как пред-\ полагается, существенно больше типичных импульсов. Таким образом, соответствующие вершины считаются несущественными (более строгий ренормгрупповой анализ подтверждает эту классификацию). Тем не менее, как было обнаружено в [23] (см. также [24]), ситуация кардинально меняется в режиме сильной связи, где возникает явление поликритического ДНКС, которое приводит к образованию нескольких бозонных состояний с одинаковыми квантовыми числами. Таким образом, включение квазилокальных 4-х фермионных вершин приводит к качественно другой модели.

Попытки включения вершин с производными в модели НЙЛ i предпринимались различными авторами [25,26], но без существенных результатов. Ситуация, когда новые операторы обеспечивают формирование дополнительных состояний при достаточно больших константах связи, впервые рассмотрена в [23]. Позже данный анализ был обобщен на векторный и аксиально-векторный каналы [27-33]. Альтернативный подход к обобщению модели НЙЛ рассмотрен в [34-37]. По аналогии с нерелятивистскими потенциальными моделями, дополнительные состояния с теми же квантовыми числами, но разными массами обычно называют радиальными возбуждениями основного состояния. Серии таких состояний хорошо известны из эксперимента [38], в частности, 0~+(7г, 7г', 7г",.), 1 (р, р', р",.), а недавний анализ протон-антипротонной аннигиляции на лету привел к открытию нескольких десятков новых радиальных возбуждений мезонов в области 1900-2400 МэВ [39], систематизация которых представлена в [40,41]. Благодаря кон-файнменту, ожидается бесконечное число возбужденных состояний с возрастающими массами. Таким образом, квазилокальная модель НЙЛ, включающая как вершины с локальными взаимодействиями, так и вершины с производными от кварковых полей, позволяет описывать не только основные состояния мезонов, но также и их радиальные возбуждения. В диссертации эта модель называется Квазилокальной Кварковой Моделью (ККМ). Отметим, что ККМ можно использовать для описания составных частиц Хиггса в расширениях Стандартной Модели [42].

Для того, чтобы воспроизвести основные особенности КХД как в пертурбативной, так и в непертурбативной области энергий мы используем для ККМ так называемые условия восстановления киральной симметрии, суть которых в следующем. При промежуточных энергиях корреляторы ККМ можно сопоставить [43] с операторным разложением (ОРЕ от Operator Product Expansion) соответствующих корреляторов в КХД [44] (подобные попытки были предприняты в [16]). С точки зрения КХД, любой адрон является полюсом двух-точечного коррелятора кварковых токов с квантовыми числами этого адрона. Ключевой момент сопоставления ("сшивки") заключается в отождествление полюсов двухточечных корреляторов КХД с соответствующими мезонными состояниями ККМ. Процедура проводится в приближении больших Nc [45], которое эквивалентно планарному пределу в КХД [46]. В этом приближении корреляторы синглетных по цвету кварковых токов насыщаются узкими мезонными резонансами. В частности, двухточечные корреляторы скалярного (S), псевдоскалярного (Р), векторного (V) и аксиально-векторного (А) кварковых токов могут быть представлены в виде суммы мезонных полюсов в Евклидовом пространстве:

ПJ(p2) = J d4xexp(ipx)(qTq(x)qrq{0))pianar = n J1TI

J = S,P,V, А; Г = г, 75,7M, 7^75; D0, Dx = const.

Последние два члена представляют пертурбативный вклад, где Do и D\p2 являются контактными членами, требуемыми для регуляризации бесконечных сумм. С другой стороны, высокоэнергетическая асимптотика этих корреляторов контролируется теорией возмущений и ОРЕ [44] благодаря асимптотической свободе КХД. Она оказывается следующей: п V) |р.-оо= П„'срт.(Р2) + П^„ерт.(р2) к Р2 lng + О (1 /р2). (2)

А4

Сравнивая выражения (1) и (2), можно заключить, что для воспроизведения пертурбативной асимптотики должно существовать бесконечное число резонансов с одинаковыми квантовыми числами.

Разность корреляторов для токов противоположной четности быстро убывает при больших евклидовых импульсах [43,47]: nV) - nV))^ = Л5Р * 24™s<9-?>2, (3) и [44,48,49]:

ПV) - = Ди - -16ла6(дд)2, (4) мг где в V,A каналах по определению:

П^(Р2) = ("<W2 + (5) и использована гипотеза вакуумной доминантности [44] в пределе больших Nc.

Отсюда следует, что киральная симметрия восстанавливается при больших энергиях, а две вышеприведенные разности представляют параметр порядка нарушения киралыюй симметрии в КХД. Так как они быстро убывают при больших импульсах, можно аппроксимировать их КХД асимптотики посредством нескольких низколежащих резонансов, что дает ряд связей на спектральные параметры моделей. Такая процедура используется как для получения дополнительных условий на модельные параметры, так и для вычисления некоторых констант распада [16,27,29-33,48,50,51].

Двухточечные корреляторы VA кварковых токов связаны также еще с одной важной величиной — электромагнитной разностью масс 7г-мезонов, Атп\ет [52]. Экспериментальные данные коллабораций ALEPH [53] и OPAL [54] по адронным т-распадам (т —> (VA)vr, г —> т/г) указывают на необходимость более полного учета всех адронных степеней свободы в VA-корреляторах с целью проверки как пертурбативных, так и непертурбативных параметров КХД. Так, в частности, в работе [55] проведен анализ экспериментальных данных ALEPH [53] по измерению поведения разности корреляторов Пу — IT4 из распада т —> (V,A)vT. Оказывается, что она практически исчезает уже при промежуточных энергиях < 3 ГэВ. В эксперименте виден небольшой вклад в первых радиальных возбуждений векторных мезонов, а вклад следующих возбуждений уже пренебрежимо мал.

Из работ [52,56] следует, что главный вклад в электромагнитное расщепление масс Атпж\ет 7г-мезонов имеет, в основном, электромагнитную природу. При этом были предложены различные теоретические подходы к вычислению данной величины [56-66]. Вопрос о вкладе радиальных возбуждений VA-мезонов в Ат^|ет был впервые поднят в [29,67] и рассмотрен в диссертации.

Указанную выше идею о возможности вычисления параметров спектра из двухточечных корреляторов можно распространить на случай бесконечного числа узких резонансов, которое ожидается в силу приближения больших Nc. Экспериментальной основой для таких вычислений является следующий факт в феноменологии адронов: массы мезонов с фиксированными квантовыми числами расположены в плоскости (т2, п) (п - номер радиального возбуждения) на траекториях, близких к линейным (см., например, современные обзоры [40,41]). Это, в частности, означает, что КХД является струноподобной теорией в смысле поведения спектра масс. В [68] было отмечено, что если принять линейное поведение спектра масс, то в случае бесконечного числа резонансов можно воспроизвести логарифм партонной модели для двухточечного векторного коррелятора, что находится в полном соответствии с моделью Венециано [69]. Данное наблюдение может означать, что обмен бесконечным числом векторных мезонов в некотором смысле дуален пертурбативному континууму КХД, построенному из кварков и глюонов. Подобная кварк-адронная дуальность была точно проверена в двухмерной КХД в пределе большого числа цветов [45,70]. В настоящее время под этим понятием специалисты подразумевают несколько утверждений, эквивалентность которых, вообще говоря, не доказана. Наиболее известное из них состоит в том, что теорию возмущений можно применять для вычисления усредненных с некоторым весом адронных сечений рассеяния (так называемая глобальная дуальность) [71]. Мы под кварк-адронной дуальностью имеем ввиду возможность использования (и дальнейшего развития) дуальных моделей. А именно, с точки зрения ОРЕ, логарифм партонной модели является оператором нулевой размерности. Возникает вопрос: способны ли дуальные модели воспроизводить операторы ненулевой размерности, появляющиеся в ОРЕ? Оказывается, ответ на этот вопрос положительный, что является одним из результатов данного диссертационного исследования.

Позже, модель с бесконечным числом векторных мезонов начали активно использовать [72-80]. В контексте правил сумм с конечной энергией рассматривались также псевдоскалярный [81] и скалярный [82] каналы. Однако из модели бозонной струны следует, что наклон траекторий должен быть одинаков во всех VASP случаях, так как он пропорционален натяжению струны, которое, в свою очередь, зависит только от глюодинамики (свойство универсальности). Таким образом, возникает задача одновременного анализа VASP каналов с универсальным наклоном. Кроме того, важным является вопрос о построении модели, описывающей отклонения от линейности, которые видны в эксперименте [40,41]. Эти вопросы, в частности, также затронуты в диссертации [83,84].

Основными целями данного диссертационного исследования являются:

1. Обобщение Квазилокальной Кварковой Модели на случай векторных и аксиально-векторных каналов. Исследование РА смешивания.

2. Разработка ограничений на параметры векторной ККМ, используя правила сумм восстановления киральной симметрии.

3. Построение Uj{3) ККМ для VASP каналов с учетом ненулевой токовой массы кварка.

4. Оценка вклада радиальных возбуждений VA-мезонов в электромагнитную разность масс пионов Атж и константу L\q эффективного киралыюго лагранжиана.

5. Вывод и применение условий согласования VASP спектров масс в пределе большого числа цветов с аналитической структурой операторного разложения для соответствующих двухточечных корреляторов.

6. Построение моделей для описания отклонений от линейных траекторий.

Материал изложен в диссертации следующим образом:

Заключение диссертации по теме «Физика атомного ядра и элементарных частиц», Афонин, Сергей Сергеевич

4.4 Выводы

В данной главе рассмотрена проблема совместного рассмотрения ("сшивки") резонансной части двухточечных корреляторов VASP токов с их ОРЕ для случая бесконечного числа резонансов с универсальным наклоном. Анализ был выполнен для легких нестраниых мезонов в приближении большого числа цветов и киральном пределе. Главный результат заключается в том, что если известны массы основных состояний, то правила сумм ВКС позволяют получить весь спектр масс и вычетов VASP мезонов. Основные результаты, полученные в первой части главы:

1) Линейная параметризация спектра масс не воспроизводит корректно величины конденсатов в ОРЕ.

2) Сходимость обобщенных правил сумм Вайнберга требует универсальности интерсептов для масс киральных партнеров. На древесном уровне универсальность интерсептов должна быть во всех VASP каналах. Таким образом, должны существовать отклонения от линейного спектра масс (т.е. от предсказаний бозонной струны), параметризующие нарушение киральной симметрии. Эти отклонения экспоненциально (или быстрее) убывают с ростом номера радиального возбуждения.

3) Существуют также отклонения от соотношения для мезонных вычетов (констант распада) F2(n) ~ dmd^ • Аналитическая структура ОРЕ налагает экспоненциальное (или быстрее) убывание па эти отклонения с ростом п.

4) При высоких энергиях происходит отщепление D-волновых векторных мезонов от правил сумм ВКС. Данный факт предполагает экспоненциальное (или быстрее) убывание соответствующих констант распада Fp(n). Однако при небольших п вклад D-волновых векторных мезонов в физические наблюдаемые может оказаться важным.

В работе предложен простейший анзац для VASP мезонных масс и вычетов, удовлетворяющий всем перечисленным требованиям. Соответствующие правила сумм ВКС были численно решены, и результаты оказались в хорошем согласии с экспериментальными данными.

К сожалению, мы не знаем внутренней динамики, которая порождает экспоненциальные вклады в мезонные массы и вычеты (последние связаны с волновыми функциями мезонов). Можно только предположить, что эти отклонения от струнной картины параметризуют нарушение киральной симметрии в КХД и, следовательно, должны быть пропорциональны кварковому конденсату (qq). Один из возможных вариантов развития этой идеи представлен в следующем разделе главы, где была предложена соответствующая модель и схема счета. В этой схеме кварковый конденсат рассматривается как малый параметр, по степеням которого можно разлагать. Правило сумм (п.с.) при Q~6, чувствительное к нарушению киралыюй симметрии, дает тогда набор решений для интерсептов (в нулевом порядке конденсатпого разложения). П.с. при Q'2 позволяет классифицировать эти решения. П.с. при Q0 дает значения вычетов, а п.с. при Q~2 в аксиально-векторном канале позволяет определить величину универсального наклона. В итоге, линейный спектр масс оказывается параметризован только одной константой Fn, при этом хорошо удовлетворяя известной феноменологии. П.с. при Q~4 служит для проверки решений. Было обнаружено, что это п.с. не может быть удовлетворено без нелинейных поправок к струноподобному спектру масс. Эти поправки оказались довольно малыми, однако они делают п.с. самосогласованными.

Таким образом, в разделе 4.3 предлагается модель, в которой струноподобная часть спектра КХД и часть, возникшая вследствие нарушения киральной симметрии, являются естественным образом факторизованы. Такой подход оказывается альтернативной точкой зрения на асимптотическое поведение спектра масс

VA-мезонов по сравнению с идеологией, рассмотренной в первой части главы: здесь V- и А-траектории имеют постоянное расщепление при любой энергии. Похожий результат следует также из работ [72,81,82].

5 Заключение

В заключении подведем итоги научной работы по теме диссертации.

В главе I показано, что подход, основанный на включении производных в кирально-инвариантные четырехкварковые взаимодействия, расширяет область применимости эффективных квар-ковых моделей типа НЙЛ. Их можно использовать для описания сильных взаимодействий не только в области низких энергий, но и в области промежуточных энергий как для основных, так и для возбужденных состояний мезонов. Более ясно это обнаруживается при совместном рассмотрении скалярного, псевдоскалярного, векторного и аксиально-векторного каналов в описании соответствующих мезонов. При промежуточных энергиях становится оправданным совместное рассмотрение Квазилокальных Кварко-вых Моделей с правилами сумм восстановления киральной симметрии, что увеличивает их предсказательные возможности. Учет странных кварков в моделях с квазилокальным взаимодействием позволил получить ряд дополнительных, модельно-независимых соотношений для спектров масс основных состояний мезонов и их первых радиальных возбуждений. Численное сравнение с экспериментом, приведенное в таблице 1, дает основание считать, что ККМ вполне удовлетворительно описывают физику мезонов при низких и промежуточных энергиях.

Вычисления в главах I и II показали, что рассмотренные физические наблюдаемые насыщаются, главным образом, вкладом основных состояний мезонов, однако вклад первых возбуждений может оказаться заметным. Остальные возбуждения вносят поправку, которая меньше, чем точность расчетов при сделанных приближениях. Таким образом, учет первых радиальных возбуждений мезонов является важным как в эффективных кварковых моделях, так и в правилах сумм КХД.

Основной вывод главы III состоит в том, что учет поправок к линейным траекториям на плоскости m2(n) (где п — номер радиального возбуждения) является необходимым не только в адрон-ной феноменологии, но и с теоретической точки зрения, поскольку эти поправки позволяют достичь согласования асимптотического поведения двухточечных корреляторов с их операторным разложением в области промежуточных энергий. Предложенные в этой главе модели указывают на то, что наблюдаемые в эксперименте отклонения от линейного поведения спектра масс должны быть связаны с динамическим нарушением киральной симметрии в КХД при низких энергиях, в то время как при высоких энергиях наблюдается струноподобное поведение спектров масс, определяемое, главным образом, механизмами восстановления киральной симметрии.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю А.А. Андрианову, а также В.А. Андрианову за помощь в работе над диссертацией и за годы сотрудничества. Кроме того, автор благодарит весь коллектив кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц СПбГУ за приобретенные знания и опыт.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Афонин, Сергей Сергеевич, 2003 год

1. К. Wilson, J. Kogut, Phys. Rep. C12 (1974) 75.

2. Y. Nambu, G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 122 (1961) 345.

3. T. Eguchi, Sugawara, Phys. Rev. D10 (1974) 4257.

4. T. Eguchi, Phys. Rev. D14 (1976) 2755.

5. M.K. Volkov, Ann. Phys. (N.Y.) 157 (1984) 282.

6. T. Hatsuda, T. Kunihiro, Phys. Lett. B271 (1984) 188.

7. A. Dhar, R. Shankar, S.R. Wadia, Phys. Rev. D31 (1985) 3256.

8. D. Ebert, H. Reinhard, Nucl. Phys. B271 (1986) 188.

9. V. Bernard, R.L. Jaffe, U.-G. Meissner, Nucl. Phys. B308 (1988) 753.

10. M. Wakamatsu, W. Weise, Z.Phys.-Hadrons and Nuclei A331 (1988) 173.

11. S. Klimt, M. Lutz, U. Vogl, W. Weise, Nucl. Phys. A516 (1990) 429.

12. H. Vogl, W. Weise, Progr. Part. Nucl. Phys. 27 (1991) 195.

13. A.A. Andrianov, V.A. Andrianov, Z. Phys. C55 (1992) 435; ТМФ 93 (1992) 67.

14. J. Bijnens, C. Bruno, E. de Rafael, Nucl. Phys. B390 (1993) 501; hep-ph/9206236.

15. D. Ebert, H. Reinhardt, M.K. Volkov, Progr. Part. Nucl. Phys. 33 (1994) 1.

16. E. Pallante, R. Petronzio, Z. Phys. C65 (1995) 487; С. V. Chris-tov, K. Goeke, M. Polyakov, hep-ph/9501383.

17. S. Klevansky, Rev. Mod. Phys. 64 (1992) 649.

18. T. Hatsuda, T. Kunihiro, Phys. Rept. 247 (1994) 221.

19. J. Bijnens, Phys. Rept. 265 (1996) 369; hep-ph/9502335.

20. А.А. Андрианов, В.А. Андрианов, В.Ю. Новожилов, Ю.В. Новожилов, ТМФ 70 (1987) 63.

21. А.А. Andrianov, Phys. Lett. В157 (1985) 425.

22. G. 't Hooft, Phys. Rev. Lett. 37 (1976) 8; Phys. Rev. D14 (1976) 3432.

23. A.A. Andrianov, V.A. Andrianov, Int. J. Mod. Phys. A8 (1993) 1981; ТМФ 94 (1993) 6; Proc. School-Sem. "Hadrons and nuclei from QCD", Tsuruga/Vladivostok/Sapporo 1993, Singapore: WSPC, 1994, pp. 341-353; hep-ph/9309297.

24. А.А. Андрианов, В.А. Андрианов, В.JI. Юдичев, ТМФ 108 (1996) 276.

25. М. Suzuki, Mod. Phys. Lett. A5 (1990) 1205.

26. A. Hasenfratz, P. Hasenfratz, K. Jansen, J. Kuti, Y. Shen Nucl. Phys. B365 (1991) 79.

27. A.A. Andrianov, V.A. Andrianov, S.S. Afonin, Proc. of the 15th Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory (Tver, 2000), ed.by M.N. Dubinin and V.I. Savrin, MSU, Moscow, 2001, p.233; hep-ph/0101245.

28. A.A. Andrianov, V.A. Andrianov, S.S. Afonin, Proc. of the 16th Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory (Moscow, 2001), ed.by M.N. Dubinin and V.I. Savrin, MSU, Moscow, 2001, p.254.

29. C.C. Афонин, Вестник Молодых Ученых 3 Серия: Физические Науки 1 (2002) 12.

30. V.A. Andrianov, S.S. Afonin, Записки Научных Семинаров ПО-МИ. Вопросы квантовой теории поля и статистической физи-ки.17. 291 (2002) 5; hep-ph/0304140.

31. V.A. Andrianov, S.S. Afonin, Eur. Phys. J. A17 (2003) 111.

32. A.A. Андрианов, В.А. Андрианов, C.C. Афонин, Физическая Мысль России 1 (2002) 2.

33. А.А. Andrianov, V.A. Andrianov, S.S. Afonin, Proceedings of the 12th International Seminar on High Energy-Physics QUARKS'2002 (Novgorod, 2002); E-print archive hep-ph/0209260 (Cornell University, USA, 2002).

34. M.K. Volkov, C. Weiss, Phys. Rev. D56 (1997) 221; hep-ph/9608347.

35. M.K. Volkov, D. Ebert, M. Nagy, Int. J. Mod. Phys. A13 (1998) 5443.

36. M.K. Volkov, V.L. Yudichev, Int. J. Mod. Phys. A14 (1999) 4621; hep-ph/9904226.

37. M.K. Волков, В.Л. Юдичев, ЭЧАЯ 31 (2000) 576; hep-ph/9906371.

38. Particle Date Group: K. Hagiwara et al., Phys. Rev. D66 (2002) 010001.

39. A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, A.V. Sarantsev, Phys. Rev. D62 051502 (2000); hep-ph/0003113.

40. V.V. Anisovich, hep-ph/0208123.

41. A.A. Andrianov, V.A. Andrianov, R. Rodenberg, JHEP 06 (1999) 3; A.A. Andrianov, V.A. Andrianov, V.L. Yudichev, R. Rodenberg, Int. J. Mod. Phys. A14 (1999) 323; hep-ph/9709475.

42. A.A. Андрианов, В.А. Андрианов, Зап. научн. сем. ПОМИ 245 (1996) 5; hep-ph/9705364.

43. М.А. Shifman, A.I. Vainstein, V.I. Zakharov, Nucl. Phys. B147 (1979) 385, 448.

44. G. 't Hooft, Nucl. Phys. B72 (1974) 461.

45. E. Witten, Nucl. Phys. B160 (1979) 57.

46. A.A. Andrianov, D. Espriu, R. Tarrach, Nucl. Phys. B533 (1998) 429.

47. M. Knecht, E. de Rafael, Phys. Lett. B424 (1998) 335.

48. S. Peris, M. Perrottet, E. de Rafael, JHEP 05 (1998) Oil.

49. A.A. Andrianov, D. Espriu, JHEP 10 (1999) 022; A.A. Andrianov, D. Espriu, R. Tarrach, Nucl. Phys. В Proc. Suppl. 86 (2000) 275.

50. A.A. Andrianov, V.A. Andrianov, in: Coimbra 1999 Proc. of the Int. Workshop on Hadron Physics, ed.by A.H. Blin et al., N.Y., AIP, 2000, p.328; hep-ph/9911383.

51. T. Das, G.S. Guralnik, V.S. Mathur, F.E. Low, J.E. Young, Phys. Rev. Lett. 18 (1967) 759.

52. ALEPH Collab. (R. Barate et al), Eur. Phys. J. C4 (1998) 409.

53. OPAL Collab. (K. Ackerstaff et a J.), Eur. Phys. J. C7 (1999) 571; hep-ex/9808019.

54. M. Davier, A. Hocker, L. Girlanda, J. Stern, Phys. Rev. D58 (1998) 096014.

55. R. Socolow, Phys. Rev. B137 (1965) 1221.

56. J. Bijnens, Phys. Lett. B306 (1993) 343.

57. T. Minamikawa et al., Prog. Theor. Phys. Suppl. 37-38 (1966) 56; Prog. Theor. Phys. 61 (1979) 548.

58. R.D. Peccei, J. Sola, Nucl. Phys. B281 (1987) 1.

59. W.A. Bardeen, J. Bijnens, J.-M. Gerard, Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 1343.

60. D. Espriu, E. de Rafael, J. Taron, Nucl. Phys. B345 (1990) 22; Erratum: ibid. B355 (1991) 278.

61. J. Bijnens, E. de Rafael, Phys. Lett. B273 (1991) 483.

62. J. Donoghue, B. Holstein, D. Wyler, Phys. Rev. D47 (1993) 2089.

63. B. Moussallam, Eur. Phys. J. C6 (1998) 681; hep-ph/9804271.

64. J. Bijnens, E. de Rafael, H. Zheng, Z. Phys. C62 (1994) 437.

65. G. Ecker, J. Gasser, A. Pich, E. de Rafael, Nucl. Phys. B321 (1989) 311;

66. В.А. Андрианов, C.C. Афонин, ЯФ 65 (2002) 1913; hep-ph/0109026.

67. A. Bramon, E. Etim, M. Greco, Phys. Lett. B41 (1972) 609; M. Greco, Nucl. Phys. B63 (1973) 398; J.J. Sakurai, Phys. Lett. 46B (1973) 207.

68. G. Veneziano, Nuovo Cim. A57 (1968) 190.

69. A.R. Zhitnitsky, Phys. Rev. D53 (1996) 5821; hep-ph/9510366; B. Blok, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 64 (1998) 481; hep-ph/9707218; B. Blok, M. Shifman, D-X. Zhang, Phys. Rev. D57 (1998) 2691, Erratum ibid. D59 (1999) 019901; hep-ph/9709333.

70. E.C. Poggio, H.R. Quinn, S. Weinberg, Phys. Rev. D13 (1976) 1958.

71. H.B. Красников, A.A. Пивоваров, ЯФ 35 (1982) 1270; Phys. Lett. B112 (1982) 397.

72. Б.В. Гешкенбейн, ЯФ 49 (1989) 1138.

73. M. Shifman, "At the Frontier of Particle Physics/Handbook of QCD," ed. by M. Shifman (World Scientific, Singapore, 2001); hep-ph/0009131.

74. M. Golterman, S. Peris, JHEP 0101 028 (2001); hep-ph/0101098.

75. S.R. Beane, Phys. Rev. D64 (2001) 116010; hep-ph/0106022.

76. S.R. Beane, Phys. Lett. B521 (2001) 47; hep-ph/0108025.

77. Yu.A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 65 (2002) 135; hep-ph/0109081.

78. M. Golterman, S. Peris, В. Phily, E. de Rafael, JHEP 0201, 024 (2002); hep-ph/0112042.

79. M. Golterman, S. Peris, Phys. Rev. D67 (2003) 096001; hep-ph/0207060.

80. A.L. Kataev, N.V. Krasnikov, A.A. Pivovarov, Phys. Lett. B123 (1983) 93.

81. S.G. Gorishnii, A.L. Kataev, Phys. Lett. B135 (1984) 457.

82. A.A. Andrianov, V.A. Andrianov, S.S. Afonin, Proceedings of the 5th Int. Conf. on Quark Confinement and Hadron Spectrum (Gargnano, Italy, 2002), World Scientific, Singapore (2003) pp. 361-363; hep-ph/0212171.

83. S.S. Afonin, Phys. Lett. B576 (2003) 122; hep-ph/0309337.

84. S. Narison, V.I. Zakharov, Phys. Lett. B522 (2001) 266; hep-ph/0110141.

85. B.L. Ioffe, K.N. Zyablyuk, Nucl. Phys. A687 (2001) 437; hep-ph/0010089.

86. J. Gasser, H. Leutwyler, Nucl. Phys. B250 (1985) 465.

87. G. Ecker, Progr. Part. Nucl. Phys. 35 (1995) 1.

88. A. Pich, Rept. Prog. Phys. 58 (1995) 563; hep-ph/9502366.

89. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 18 (1967) 507.

90. S. Godfrey, N. Isgur, Phys. Rev. D32 (1985) 189.

91. G. Ecker, J. Gasser, A. Pich, E. de Rafael, Nucl. Phys. B321 (1989) 311.

92. M.Y. Ishida, S. Ishida, Progr. Theor. Phys. 98 (1997) 621; hep-ph/9712231; M. D. Scadron, Phys. Rev. D26 (1982) 239.

93. E. Pallante, Z. Phys. C75 (1997) 305; hep-ph/9606286.

94. V.V. Anisovich, A.V. Sarantsev, Eur. Phys. J. A16 (2003) 229; hep-ph/0204328.

95. A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, D.V. Bugg, V.A. Nikonov, Phys. Lett. B456 (1999) 80; A.B. Анисович, В.В. Анисович, В.Н. Марков, В.А. Никонов, ЯФ 65 (2002) 497.

96. A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, V.A. Nikonov, Eur. Phys. J. A12 (2001) 103; A.B. Анисович, В.В. Анисович, М.А. Матвеев, В.А. Никонов, ЯФ 66 (2003) 946; hep-ph/0204330.

97. М. Knecht, R. Urech, Nucl. Phys. B519 (1998) 329; hep-ph/9709348.

98. L.J. Reinders, H. Rubinstein, S. Yazaki, Phys. Rep. 127 (1985) 1.

99. D. Gross, S.B. Treiman, F. Wilczek, Phys. Rev. D19 (1979) 2188.

100. J. Gasser, Ann. Phys. 136 (1981) 62.

101. J. Gasser and H. Leutwyler, Ann. Phys. 158 (1984) 142.

102. M. Knecht, S. Peris, E. de Rafael, Phys. Lett. B443 (1998) 255; hep-ph/9809594.

103. S. Narison, Nucl. Phys. Suppl. 96 (2001) 364; hep-ph/0012019.

104. A.A. Andrianov, V.A. Andrianov, V.L. Yudichev, Phys. Lett. B328 (1994) 401; hep-ph/9403404.

105. L.J. Reinders, S. Yazaki, H.R. Rubinstein, Nucl. Phys. B196 (1982) 125.

106. K.G. Chetyrkin, S. Narison, V.I. Zakharov, Nucl. Phys. B550 (1999) 353; hep-ph/9811275.

107. F.V. Gubarev, V.I. Zakharov, Phys. Lett. 501 (2001) 28; hep-ph/0010096; S. Narison, V.I. Zakharov, Phys. Lett. 522 (2001) 266; hep-ph/0110141.

108. E.A. Tainov, Z. Phys. CIO (1981) 87; Б.В. Гешкенбейн, ЯФ 42 (1985) 991.

109. J.R. Pelaez, Invited talk to the 25th MRST, Conference on High Energy Physics, Syracuse (USA), 2003 (to be published); hep-ph/0306063.

110. B.K. Хеннер, T.C. Белозерова, ЯФ 59 (1996) 1915; Яд. Физ. 61 (1998) 128.

111. M.A. Shifman, A.I. Vainstein, V.I. Zakharov, Phys. Rev. Lett. 42 (1979) 297.