Физика легких мезонов в квантовой хромодинамике со спонтанным возникновением взаимодействия Намбу - Иона-Лазинио тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.23, кандидат физико-математических наук Зайцев, Иван Владимирович

• Зайцев, Иван Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зайцев, Иван Владимирович

Глава 1. Введение.

Глава 2. Физика скалярных и псевдоскалярных мезонов.

§ 1. Уравнение компенсации для эффективного формфактора.

§2. Скалярные и псевдоскалярные состояния.

§3. Спонтанное нарушение киральной симметрии

§4. Пионная масса и кварковый конденсат.

§5. Численные результаты и обсуждение.

Глава 3. Физика векторных и аксиально-векторных мезонов

§ 1. Уравнение компенсации для эффективного формфактора.

§2. Волновая функция векторных состояний.

§3. Вычисляемые физические параметры и итоговые замечания.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Физика легких мезонов в квантовой хромодинамике со спонтанным возникновением взаимодействия Намбу - Иона-Лазинио»

Как известно, квантовая хромодинамика успешно применяется для теоретического исследования сильных взаимодействий элементарных частиц при достаточно высоких энергиях ( [1, 2, 3] ). Методы теории возмущений здесь позволяют достичь самосогласованного описания, в рамках которого асимптотическая свобода в кварковом взаимодействии оказывается связана с последовательным учетом элементарных процессов, задаваемых исходным локальным лагранжианом теории. Однако соответствующее поведение бегущей костанты связи, то есть ее убывание при стремлении энергии взаимодействия к бесконечности, сменяется, напротив, ее ростом при движении энергетической переменной к нулю. В результате этого в определенный момент теория возмущений оказывается неприменима, и описание как конкретных взаимодействий, так и дальнейшего поведения указанной константы оказывается невозможным в рамках данного подхода. Между тем одной из важнейших задач теории остается, во всяком случае, описание связанных состояний сильно взаимодействующих частиц, то есть прежде всего самих кварков, а тут энергия взаимодействия оказывается заведомо ниже упомянутого порога применимости теории возмущений.

Одним из вариантов решения данной проблемы является попытка построения точных решений квантовополевых уравнений, заданных не во всем пространстве, а на решетке (в конечном числе точек) (см, например, [4, 5, 6]). Соответствующие методы достаточно успешно развиваются, однако этот процесс ограничен, во-первых, возможностями вычислительных систем, необходимых для выполнения "решеточной"программы. Во-вторых же, ясно, что подобный метод не может быть признан универсальным и что границы области его применимости не могут быть выявлены априори. В особенности же задача достижения понимания физической сути процессов, происходящих в ходе низкоэнергетических взаимодействий кварков и глюонов, обусловливает актуальность развития и иных непертурбатив-ных методов исследований в этой области, прежде всего феноменологических, то есть позволяющих в известной мере отвлечься от фундаментальных затруднений в рассмотрении квантовохромодинамической теории как таковой и вместе с тем проливающих и некоторый свет на новые пути и песпективы преодоления указанных затруднений. При этом в теории сильных взаимодействий наиболее естественным принципом построения соответствующих моделей оказывается приближенная ки-ральная симметрия лагранжиана КХД [7].

Одним из подобных методов, развиваемых исследователями в течении многих десятилетий, является подход, связанный с введением взаимодействия Намбу -Иона-Лазинио (НИЛ). Суть его заключается в получении связанных многочастичных состояний посредством введения в лагранжиан теории членов, нарушающих киральпую симметрию: возникающие при этом голдстоуновскпе частицы и могут в итоге интерпретироваться как мезонные или бариоиные системы. Характерно, что сам подход возник еще до появления квантовой хромодипамики (из аналогии с теорией сверхпроводимости, [8]) в 1961 году в работе упомянутых исследователей [9], и был реализован на нуклонных системах, которые в то время рассматривались как связанные состояния пи- и сигма-мезонов. В 60-е годы достаточно интенсивно развивались и иные феноменологические подходы, основанные непосредственно на киральной симметрии ( [10, 11, 12]), но в дальнейшем наибольшее развитие получил метод НИЛ. Для кварковых систем его впервые переформулировали в 1976 году японские теоретики Егучи и Кикава [13, 14]. Именно в их работах было продемонстрировано, каким образом легкие токовые кварки могут переходить в массивные составляющие в результате спонтанного нарушения киральной симметрии. Однако в целом модель здесь рассматривалась лишь в простейшем случае кирального предела, то есть при нулевой токовой массе кварков, что в итоге приводило и к безмассовости возникающих связанных (мезонных) состояний.

Этот недостаток был в принципе преодолен в публиковавшихся начиная с 1982 года работах М.К.Волкова и Д.Эберта [15, 16, 17, 18], которые предложили вариант модели НИЛ с ненулевой токовой массой кварков, что позволило описать основные свойства скалярных, псевдоскалярных, а также векторных и псевдовекторных мезонов. В дальнейшем подход был применен также к физике других ад-ронов, и в различных интерпретациях он развивался во многих научных центрах различных стран. Было опубликовано более 600 работ, посвященных уточнению и развитию метода( [20, 21, 22, 23, 24, 25]) и др.). При этом необходимо сразу отметить, что важнейшей проблемой оставался вопрос о возможности получения исходного эффективного лагранжиана теории НИЛ на основе известных принципов квантовой теории поля и допускаемых этими принципами явлений, без привлечения искусственных приемов. В нашей работе, в частности, также рассматривается радикальный подход к решению указанной задачи, а именно, один из вариантов нелокальной модели НИЛ.

Простейший вид имеет локальная кварковая модель НИЛ, описывающая скалярный и псевдоскалярные мезоны. Здесь постулируется четырехкварковый лагранжиан следующего вида: G

L = q(x)(idx - m0)q{x) + — ((q(x)q(x))2 + (;q{x)iTal5q{x))2) (1.1) где q{x) — {u(x), rf(a;)} и аналогично для q(x) - кварковые и антикварковые поля, - токовая масса кварка, G - константа взаимодействия т0 - матрицы Паули и 75 матрица Дирака. При помощи тождественных преобразований ( в частности, преобразований производящего функционала связных функций Грина) можно произвести бозонизацию данного лагранжиана, перейдя к мезонным полям а и 7га:

S~l(x, у) = [idx -m + a'(x)+ i^5Tana(x)]S^(x - у) (1.2)

Здесь фигурирует поле сг'(х), где штрих обозначает, что вследствие спонтанного нарушения киральной симметрии соответствующее ноле приобрело ненулевое вакуумное ожидание а0 = (<т)о, то есть а (х) = о 4- сг0 - так получается физическое скалярное поле. Тогда, потребовав исключения из лагранжиана линейных по а (х) членов, мы получим уравнение щели sJl

5а' 0, =>• m0 = m + o0 = m(l-8GI1A(m)) (1.3) sigma =0 где I\K(m) - характерный для данной теории расходящийся и, соответственно, обрезанный на некотором уровне А интеграл. Таким образом, в результате спонтанного нарушения симметрии кварки приобретают массу ш, включающую в себя вакуумное ожидание скалярного мезонного поля. Здесь интеграл Д, в частности, таков: гЛ/ . Nc Г dV(A2-к2) Nc га2 2l /А2 „ ,,

Л (m) = ^J (m» + f) = ",1аЬ+ О]' (L4) где Nc = 3 - число цветов кварков, а Л - параметр ультрафиолетового обрезания, задающий область применимости данной теории. Введя аналогичным образом интеграл 12 г Л/ n Nc f с14еО{А2 — к2) Nr г /Л2 л / m2\-ii ,, мы можем записать мезонный лагранжиан тт и ег-полей: i + 4/lA(m) + ^V)) х К(рК(-Р) + аа(р)*а(-р)) --8m2l2A(m)cj' а(р)а' а(-р) = \{р2 - Мп2)1га"(Р)1та«(-Р) + \{р2 - Мв2)о*{р)о*{-р) (1.6)

В последней строке введены массы 7Г и а-мезонов, которые оказываются связаны соотношением

М/ = М, 4 тп2

1.7) а также перенормированные поля

ТТа (р) = Onqq^aip); СГа (р) = OaqqCaip)

1.8) причем

М,2 = ~ 8/Дт)) , 9пяя = 9«чя = (4/2А(т))~1/2 (1.9)

Рассмотрев на кварковом уровне слабый распад пиона 7г —> ць>, можно получить здесь соотношение Гольдбергера-Треймена:

F* = Qivqqm 412A{m) =

777.

9nqq

1.10) где Fn-93 Мэв - константа слабого распада пиона. При этом из записанных выше формул получается соотношение Гелл-Мана - Окса - Реннера = + (1.11)

Здесь (qq) = — 4mIiA(m) - кварковый конденсат. Таким образом, квадрат массы пиона оказывается пропорционален токовой массе кварка, и в случае т,0 = 0 (киральный предел) пион становится безмассовой голдстоуновской частицей.

Для векторных и аксиально-векторных мезонов кварковый лагранжиан записывается следующим образом:

L = ^-(ШътаЯ(х))2 + (Ц(х)ЪЪ raq{x)f) (1.12)

Используя преобразования, аналогичные применявшимся в случае скалярных мезонов, можно прийти к лагранжиану, в котором векторные и аксиально-векторные мезрнные поля объединяются со скалярными и псевдоскалярными:

L = а'(.х))2 + (тга(-*))2 , (р(хГаУ + (а1а»(х)?

2 G 2 G

S~l(x, у) = [%дх - т + а (х) + г^5та7га(х) +

-iTr[\nS~l(x,y)}

X—yi

Ъ,тар(х)а'1 + ЪЪТааи»} 6W(x - у) (1.13)

Отсюда для лагранжиана свободных р и ох мезонов с использованием калибровочно-ивариантной регуляризации получается выражение гкФ1^*"-*?)*

ApStiWi-p) + Я'1/ЬКЛ-Р)) + л/б/2Л(ш)а1а"(р)а1в"(-р) (1.14)

Здесь также из кварковой петли с двумя векторными вершинами определяется константа перенормировки векторного поля gpqq и кинетический член векторного мезона, в результате чего получается важное соотношение

9pqq = y/bgaqq С1-15)

Для массы р-мезона получается выражение

М„2 == ^ (1.16)

Перенормировочная константа для oi-мезона совпадает с таковой для р-мезона, а для массы выполняется соотношение

Mai2 = Mp2 + 6m2 (1.17)

Указанные соотношения сохраняются и для нелокальной модели, к которой побуждает перейти прежде всего наличие в описанной теории ультрафиолетовых расходимостей. В нелокальном лагранжиане нарушающие симметрию слагаемые, выраженные непосредственно через кварковые поля, заменяются токами:

S(q,q) = J d*x{ q(x)(idx-m0)q(x) + ^[ja(x)ja(x) + j:(x)jaux)

Gv Y

J^(x)pT(x) + J£{x)J£{x)], } (1.18) причем общий вид данных токов следующий:

Ш = J J d4x1dix2f(x1)f(x2)q(x-xl)rIq{x + x2), (1.19) где предполагается нормировка /(0) = 1, а матрицы Г/ таковы:

Го- = 1 Гл = гЪта Гу = т„та Т^ = ЪЪта (1.20)

Конкретный выбор функций f(x) задает специфику модели. При этом, разумеется, их введение имеет целью преодоление прежде всего основного затруднения локальной теории, а именно, наличия ультрафиолетовых расходимостей. И для определения вида указанных формфакторов мы должны стремиться найти наиболее простой принцип, не имеющий под собой произвольных оснований и действующий здесь естественным образом. Известен целый ряд подходов к построению нелокальной теории. В работах [26, 27, 28] используется идея "конфайнмирован-ных кварков", которые перестают быть свободными вследствие взаимодействия с фоновым глюопиым полем, и адроппые поля вводятся как коллективные переменные кварк-глюонного взаимодействия. В работах [29, 30] на основе введения непертурбативно модифицированного глюопного пропагатора получались решения для адронных состояний с использованием оборванных рядов в уравнениях Бете-Солпитера для мезонов и Швингера-Дайсона для кварковых пропагаторов.

Проблема конфайнмента кварков решалась в работах [31, 32] на основе попыток построения четырехмерного обобщения растущего трехмерного потенциала в нелокальной модели НИЛ. Далее, введение нелокальности может обосновываться учетом инстантонов, то есть нелокальных решений полевых уравнений Янга-Миллса, соответствующих тунельному переходу между вакуумами с различными топологическими зарядами [33]. Большое количество работ было выполнено на основе рассмотрения вакуума КХД как жидкости инстантонов [34, 35, 36, 37, 38, 39], а также в рамках интегрированного подхода, дополняющего данный принцип элементами других упомянутых моделей [40, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 48]. Несмотря на то, что в рамках указанных подходов были получены определенные результаты, значимые как чисто теоретически, так и в смысле соответствия эксперементаль-ным данным, все же применяемые допущения, по нашему мнению, не во всем обнаруживали достаточную универсальность и последовательность, которых мы вправе ожидать при разрешении рассматриваемых фундаментальных вопросов, а вводимые в теорию параметры в ряде случаев принимали произвольные значения, обосновываемые лишь телеологически. Стремление радикальным образом преодолеть необходимость появления в теории такого рода моментов и определило наше обращение в модели НИЛ к методу "квазисредних", введенному Н.Н. Боголюбовым в квантовой статистике [50, 49] и в дальнейшем обнаружившему свою эффективность в теории поля [51]. По существу он представляет собой наиболее простой и универсальный способ осуществления спонтанного нарушения симметрии, присущей лагранжиану исходной теории. А именно, нарушающие симметрию члены вводятся в него с некоторым множителем, который устремляется к нулю уже после проведения вычислений интересующих нас физических величин. При этом полученные значения, "квазисредние", могут, вообще говоря, отличаться от простых "средних", задаваемых исходной теорией. То есть если у нас имеется симметричная теория, задаваемая лагранжианом

L = L0 + Lint, (1.21) то мы можем ввести сюда слагаемое еЬьг, нарушающее симметрию. Конкретный же способ определения модифицированных значений оказывается связан с процедурой "добавить - вычесть": после того, как первоначальная симметрия теории уже нарушена, мы можем ввести в лагранжиан аналогичные члены уже без малого параметра таким образом, чтобы они, будучи противоположными по знаку, непосредственно компенсировали друг друга, не меняя в целом действие, но один из них отнести к свободном}' лагранжиану, а другой - к лагранжиану взаимодействия. Тогда остается потребовать, чтобы функции Грина, задаваемые свободным лагранжианом теории, не содержали в себе вкладов, порожденных указанными дополнительными членами, то есть чтобы соответствующие вклады различных порядков взаимно компенсировали друг друга. Возникающие при этом уравнения компенсации как раз и могут, в частности, определять формфакторы, которыми мы должны обсуждаемые члены снабдить при введении их в теорию. Однако аналогичные слагаемые, отнесенные к лагранжиану взаимодействия, могут при этом все же давать нетривиальные вклады в интересующие нас физические величины. Например, если рассмотреть теорию с киралъной симметрией, в которой фермионы остается безмассовыми, то для появления у них массы нужно ввести нарушающие симметрию члены. Возьмем следующую малую добавку: еЬьг = -ефф. (1-22)

Тогда измененный лагранжиан можно записать в виде

L = Lq — тфф + Lznt + тфф — ефф, (1.23) то есть с явно записанными массовыми членами противоположных знаков. Объявив первые два слагаемых свободным лагранжианом, а оставшиеся три - лагранжианом взаимодействия, мы в данном случае должны будем потребовать, чтобы новое взаимодействие не давало вклада в массовый член, т.е. чтобы двухчастичная функция Грина, полученная с помощью модифицированного лагранжиана взаимодействия на массовой поверхности обращалась в нуль. Это, в частности, приводит к уравнению

-т + г + £(т) = 0; (1.24) где Е(т) есть массовый оператор на массовой поверхности модифицированного свободного лагранжиана. В этом уравнении уже можно выполнить предельный переход е —> 0. Как правило массовый оператор Е(ш) пропорционален т, так что всегда существует тривиальное решение уравнения компенсации т = 0. Однако, может существовать и нетривиальное решение т Ф 0.

Особенности применения метода "квазисредпих,,в интересующем нас случае полевого взаимодействия и принципы построения соответствующих уравнений компенсации проанализированы в работе [53]. Здесь вводится в рассмотрение модельная теория скалярного поля в шестимерном пространстве с одним временным измерением и пятью пространственными с исходным масштабно-инвариантным лагранжианом 1 дфдф дл 2 J дх* дх» 3! г

1.25)

Нетрудно убедиться, что данная теория является асимптотически свободной, однако в случае введения массы здесь появляются квадратичные расходимости, так что вопрос о массе требует отдельного рассмотрения. Введя в лагранжиан малое слагаемое фа мы осуществляем нарушение масштабной инвариантности, так что делается возможным появление также нелокальных, вообще говоря, вкладов вида

G I F(x, xi, х2, Жз, х^) ф(х1)ф(х2)ф(х3)ф(х4) dxi dx2 dxs dx±\ (1.26) где G - размерная константа связи, a F(x, xi,x2,x^,x4) есть функция четырех разностей координат х — ж,, Фурье-образ которой F(pi,p2,p3,p4), где pi - импульсы концов, имеет смысл форм-фактора, определяющего область действия взаимодействия (1.26). Введя теперь для соответствующего выражения сокращенное обозначение GF • ф4, можно записать модифицированный лагранжиан

2 У дх» dxv 2 G

1.27) в который также введены аналогичным образом ("добавить - вычесть") массовые члены, которые также сделались допустимы из-за явного нарушения калибровочной инвариантности. Здесь можно ввести следующее разбиение на свободный лагранжиан и лагранжиан взаимодействия:

Ln =

2 у дхf дх" г л? G rr лА 1 т2 jfi

Lint j Ф + F -ф + —ф ;

1.28)

Теперь, в соответствии с принципами метода, мы должны потребовать, чтобы новый свободный лагранжиан приводил к нулевым четырехчастичным связным функциям Грина и содержал в итоге, как и исходный, только квадратичные но полям члены. Для получения уравнения компенсации необходимо взять содержащийся в этом новом свободном лагранжиане член со знаком "минус"-- G ф4 и, рассматривая его в качестве элементарного взаимодействия, построить также од-нопетлевые, двухпетлевые и так далее слагаемые: сумма их всех вместе с исходным членом первого порядка должна обращаться в пуль, что и определяет формфак-тор F(pi, j>2, рз, p.i). Получив, таким образом, уравнение компенсации, мы можем устремить малый параметр е к нулю.

Очень важно заметить, что выполнение условия компенсации приводило бы также к эффективному выпадению четырехчастичных членов и в лагранжиане взаимодействия

Lint =

1.29) если бы, помимо отличия в знаке ( "плюс"вместо "минус") мы рассматривали нолевые комбинации не четвертой, а любой нечетной степени, например, трилинейные поп полям: тогда оба разложения отличались бы именно лишь общим знаком.

Для получения обозримых результатов в данной модели оказывается необходимым ввести ряд условий, которые также вообще характерны для описываемого подхода. А именно, во-первых, определяются ограничения на кинематику следующего вида: в уравнениях для формфактора четвертого порядка оба правых конца имеют нулевые импульсы, а левые концы имеют импульсы р и —р. Что касается построения самого уравнения, то в нем удается учесть члены лишь до двухпетлевых включительно, а именно, член первого порядка - точку; три члена второго порядка - простые петли, одну горизонтальную и две вертикальных с перестановкой импульсов у левых концов; в третьем порядке - горизонтальную и две вертикальных двухзвенных цепочки, и шесть членов : "рюмки" горизонтальные, ножкой вправо и влево, и вертикальные, ножкой вверх и вниз (здесь также учитывается возможность перестановки импульсов). Возможность же получения аналитических решений, необходимых для извлечения конкретных характеристик теории, оказывается связана с проведением дополнительной процедуры линеаризации: обоснованию такой процедуры в значительной мере и служит рассмотрение вводимой здесь модельной теории.

Линеаризация заключается в том, что формфактор F(p, —р, 0, 0) = F(p2) выставляется не во всех вершинах, как это, вообще говоря, должно быть, а лишь в одной из вершин каждой диаграммы, в частности, в данном случае, в члене первого порядка и в правых вершинах горизонтальной петли второго порядка, горизонтальной двухзвенной цепочки и горизонтальной рюмки третьего порядка (ножкой вправо). Остальные вершины в этих диаграммах рассматриваются как точечные вершины взаимодействия, в которых формфактор заменен его значением в нуле (F(0) = 1). В вертикальных же петлях выставляются лишь соответствующие точечные вершины вида

Диаграммное представление для получающегося в результате уравнения компенсации представлено на Рис.1. В отношении расходящихся интегралов выбирается следующая стратегия: на верхнем пределе вводится обрезание А, которое в случае существования достаточно быстро убывающего решения может быть, в частности, определено как

Произвол в таком определении может привести к появлению дополнительных постоянных множителей, но одним из важных результатов работы, иллюстрирующих свойство теории в целом, оказывается независимость результата от выбора обрезания.

Указанные условия позволяют перейти от диаграммного соотношения к интегральному уравнению, в котором, в частности, явным образом обнаруживается существование тривиального решения G = 0. Последовательным дифференцированием интегральное уравнение сводится к дифференциальному, которое в результате достаточно простых преобразований может быть записано как каноническое уравнение Мейера, вид которого определяет порядок асимптотических членов в нуле. Устраняя сингулярные асимптотики, а также восстанавливая коэффициенты остающихся в соответствии с видом исходного интегрального уравнени и вводя нормировку формфактора на единицу в нуле, удается получить выраенное через убывающие на бесконечности функции Мейера аналитическое решение уравнения компенсации.

1.30)

1.31)

Но существование данного решения, обеспечивающего обращающение в нуль связной функции Грина с черыремя концами, означает и существование решения общего уравнения компенсации, точнее говоря, цепочки зацепляющихся уравнений для функций Грина с шестью, восемью и так далее концами, которые, вообще говоря, также необходимо здесь строить. Дело в том, что для всех этих уравнений самой их структурой гарантировано существование тривиального решения в случае обращения в ноль неоднородной части, содержащей вклады низшего порядка. А это именно и достигается подстановкой в лагранжиан найденного нетривиального решения, задействующего механизм последовательной элиминации разрушающих тривиальное решение вкладов во всей цепочке уравнений компенсации начиная с нижнего уровня. Теоретически можно предположить существование дополнительных нетривиальных решений, дающих соответствующие формфакторы и вклады в лагранжиан, но важно прежде всего, что удается предъявить хотя бы одно решение, соответствующее всем требованиям.

Поскольку же имеется решение уравнения компенсации, можно, в частности, использовать свободные функции Грина обычного вида для построения теории, учитывающей влияние отнесенного в лагранжиан взаимодействия нарушающего симметрию члена, который остался иескомпенсированным. И прежде всего сам факт нарушения симметрии должен приводить к появлению в спектре возбуждения с нулевой массой, для описания которого строится уравнение Бете-Солпитера для связанного состояния двух скалярных нолей. Очевидно, что ядро уравнения должно совпадать с таковым для уравнения компенсации, но оно естественным образом будет тут иметь противоположный знак (поскольку здесь предполагается уже не компенсация вершинного члена, а наоборот). При этом аналогичным образом знак меняется и в дифференциальном уравнении, что приводит к перестройке теории. В частности, граничные условия меняются таким образом, что неоднородная часть уравнения выпадает (также важное характерное свойство всего метода). В описываемой работе получено обладающее всеми необходимыми свойствами аналитическое решение - волновая функция - для случая безмассового поля (учет массы и для уравнения компенсации здесь проводился также лишь в виде поправок). Таким образом, нулевое возбуждение здесь действительно существует, так что в этом смысле теория оказывается самосогласованной.

По поводу же введения массы следует отметить, что в работе построено также уравнение компенсации для массового члена, и оно приводит к выражению массы через исходные параметры теории. X

GF(p) G x X X 0

Рис. 1.

Наконец, учет влияния нелинейности производится следующим образом. Поскольку наличие убывающего формфактора в рассмотренной теории естественно задает область ее применимости, возможное влияние нелинейных членов следует рассматривать за пределами данной области, то есть при больших значениях импульсной переменной х = р1. Изначально дифференциальное уравнение для функции формфактора (в безмассовом пределе) выглядит следующим образом:

Полагая его справедливым ( вместе с граничными условиями) при малых значениях х, можно предположить, что при больших значениях оказывается справедливым, в частности, уже нелинейное уравнение следующего вида:

1хЛ

1.33)

Поскольку теперь убывание на бесконечности обеспечивается последним уравнением, которое по предположению справедливо при очень больших импульсах, к решению исходного линейного уравнения, справедливого вблизи нуля, добавляются вклады, содержащие растущие асимптотики и правильно определенные лишь в нуле.

Оказывается, что последовательный учет новых, растущих вкладов, добавляемых к имевшемуся прежде решению, позволяет найти точку, в которой оба решения сшиваются с производными до пятого порядка включительно. А влияние нелинейности при этом можно проследить по изменению значения формфакто-ра в нуле. Выясняется, что указанная величина оказывается весьма устойчивой в отношении проводимой процедуры: отклонение от исходного значения не превышает 1-2 процента. Таким образом, по крайней мере такая грубая оценка влияния нелинейности демонстрирует оправданность введения линеаризации достаточно наглядно.

Итак, рассмотрение данной модельной теории показывает, что применение метода компенсации Боголюбова при введении ряда обоснованных допущений позволяет прийти к получению самосогласованных аналитически выражаемых решений, реализующих нелокальную модель Намбу - Иона-Лазинио без введения дополнительных исходных параметров и произвольных физических допущений. Это позволило перейти к построению реалистической теории, допускающей экспериментальную проверку. Во второй главе мы рассмотрим скалярные и псевдоскалярные мезоны, а также вопрос о спонтанном нарушении киральной симметрии (основные результаты опубликованы в работе [77]). В третьей главе будут получены необходимые соотношения и вычислены параметры также для векторных и аксиально-векторных мезонов (результаты опубликованы в работе [78]).

Глава 2

Физика скалярных и псевдоскалярных мезонов

Заключение диссертации по теме «Физика высоких энергий», Зайцев, Иван Владимирович

Заключение

В данной работе мы поставили перед собой цель построить описание легких мезонов при помощи феноменологической модели, в которой необходимые для ее построения конструкции вводятся последовательным, чуждым произвола образом на основе общих принципов квантовополевой теории. В частности, мы развивали нелокальную модель Намбу - Иона-Лазинио, в которой устраняющие ультрафиолетовые расходимости обрезающие формфакторы не просто вводятся в лагранжиан теории, определяясь теми или иными априорными представлениями о том, каковы они должны быть, а получаются естественным образом как решение задаваемых структурой самой исходной теории уравнений компенсации Боголюбова. Характерной чертой таких уравнений является именно отсутствие каких-либо предварительных представлений о виде искомого решения, а также и соответствующих параметров, которые могли бы определять поведение решений и которые обычно привносятся извне. Вместе с тем, в частности, из уравнения компенсации для функции формфактора скалярных мезонов, которое мы построили в первую очередь и для которого в результате обоснованных упрощений мы смогли получить нетривиальное аналитическое решение, - из этого уравнения мы смогли получить оценку параметра щ, задающего связь токовой массы кварка с наблюдаемыми массами мезонов, в свою очередь связанными с составляющей массой кварков. При этом величина обрезания, вводившаяся в процессе решения в содержащиеся в уравнении интегралы, оказалась для получаемых в результате функций несущественной.

Упомянутую связь между безразмерным параметром, извлеченным из рассмотрения формфактора скалярных мезонов, и наблюдаемыми величинами удалось проследить благодара рассмотрению мезонных состояний, которые в модели НИЛ получаются как естественное следствие введения в лагранжиан нарушающих киральную симметрию четырехфермионных вкладов. Связанные двухквар-ковые состояния исследовались при помощи построения уравнения для волновой функции Бете-Солпитера. В случае скалярных и псевдоскалярных мезонов такое уравнение вводилось сначала для безмассовых состояний, а получение его решения позволило перейти к построению на его основе уравнения, определяющего массу, причем здесь уже определяющую роль играет квантовохромо-динамическое взаимодействие (глюонный обмен), а также эффективное кварк-мезонное взаимодействие. Поскольку же квадрат массы скалярного состояния оказывается отрицательным, то есть соответствующее полее оказывается тахионным, мы приходим к необходимости исследования структуры вакуума посредством построения эффективного потенциала, зависящего от данного поля, для чего, в свою очередь, требуется рассмотреть получающееся путем преобразования уравнения Бете-Солпитера уравнение Швингера-Дайсона для массового оператора кваркового поля. Условие минимума эффективного потенциала связысвязывает токовую и составляющую массы кварка с усредненным по низкоэнергетической области значением константы сильного взаимодействия, однако переход к численным значениям этих параметров делается возможен благодаря получению из рассмотрения слабого распада пиона соотношения, аналогичного соотношению Гольдбергера-Треймена: в итоге все величины нормируются константой f-x — 93MeV. В частности, путем уточнения вида массового оператора мы оцениваем массу пи-мезона и величину кваркового конденсата для легких кварков, а также массу сигма-мезона и ширину его распада на два пи-мезона. Таким образом, здесь вполне реализуется стандартная схема нарушения киральной симметрии, причем как сам факт существования мезонных состояний, так и численные значения рассмотренных параметров вполне удовлетворительным образом согласуются с экспериментальными данными. Перейдя, далее, к рассмотрению векторных мезонов, мы строим уравнение компенсации для изовекторно-го формфактора. Здесь мы получаем дополнительный критерий оценки самосогласованности теории, рассматривая значение формфактора на нижнем пределе интегрирования, равенство которого единице (с достаточной точностью) в данном случае подтверждает обоснованность нашего подхода. Здесь также, как и в случае скалярной вершины, удается избежать введения каких-либо дополнительных величин, обеспечивающих сходимость интегралов. В уравнении Бете-Солпитера здесь глюонный и мезонный обмен вводятся сразу, так что полученная волновая функция может быть непосредственно использована для оценки параметров, во-первых, ро-мезона (в частности, его массы и ширины распада на два пи-мезона), а также, аналогичным образом, и ai-мезона. Вычисленные значения в целом удовлетворительно соответствуют экспериментальным данным, в большинстве случаев укладываясь также и в пределы заявленной точности рассчетов (10%). Подводя итог, мы должны еще раз подчеркнуть, что все результаты получены без введения в теорию каких бы то ни было внешних параметров, помимо извлеченной из рассмотрения слабого распада токовой массы кварка и величины среднего значения замороженной в низкоэнергетической области константы сильного взаимодействия as. Для последней используются различные значения, но важно отметить, что оптимальным оказывается величина as — 0.416, которая получена в работе [75] при помощи метода, аналогичного используемому нами здесь. Все это демонстрирует, что цель работы достигнута и, соответственно, наш подход, во-первых, обозначил свою адекватность в области исследования физики легких мезонов, и тут он может получить дальнейшее развитие в построении следующих приближений и углублении его теоретического обоснования. Во-вторых же, полученные здесь результаты (наряду с уже упоминавшимися результатами других исследований) указывают на перспективность применения метода компенсации Боголюбова к исследованию эффективных взаимодействий и построению связанных фермионных и иных состояний в области как хромодинамической, так и, в частности, возможно, и электрослабой теории.

Благодарности

В заключение выражаю искреннюю и глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Борису Андреевичу Арбузову за исключительно внимательное и чуткое отношение, всестороннюю поддержку и помощь в работе.

Я благодарен профессору Михаилу Константиновичу Волкову за плодотворное сотрудничество.

Я признателен также руководителю Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ профессору Виктору Ивановичу Саврину за поддержку, благодаря которой мне удалось завершить работу над диссертацией, и благодарю коллег - сотрудников отдела за благожелательное отношение ко мне и к моей работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зайцев, Иван Владимирович, 2009 год

1. H. D. Politzer, "Reliable perturbative results for strong interactions."Phys. Rev. Lett.30, 1346 (1973).

2. H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков, "Введение в теорию квантованных полей М., "Наука", 1984, 600 с.

3. S.R. Sharpe. Progress in lattice gauge theory. Talk given at 29th International Conference on High-Energy Physics (ICHEP 98), Vancouver, Canada, 23-29 Jul 1998. In Vancouver 1998, High energy physics, vol.1 171-190. e-Print: hep-lat/9811006

4. S. Muroya, A. Nakamura, Ch. Nonaka, T. Takaishi. Lattice QCD at Finite Density An introductory review. Prog.Theor.Phys. 110 (2003) 615.

5. N.Ishii S.Aoki T.Hatsuda. Lattice QCD approach to nuclear force. Talk given at the XXV International Symposium on Lattice Field Theory (LATTICE 2007), Regensburg, Germany, July 30-August 4, 2007. PoSLAT2007,146,2007. ( arXiv:0710.4422)

6. В. Де Альфаро, С. Фубини, Г. Фурлан и К. Росети, Токи в физике адронов -М., "Мир", 1976, 670 с.

7. Y.Nambu Quasiparticles and Gauge Invariance in the Theory of Superconductivity. Phys.Rev.: 117, 648 (1960).

8. S. Weinberg, "Dynamical approach to current algebra", Phys. Rev. Lett. 18, 188 (1967).

9. J. Wess and B. Zumino, "Lagrangian method for chiral symmetries", Phys. Rev. 163, 1727 (1967).

10. S. Gasiorowicz and D. A. Geffen, "Effective lagrangians and field algebras with chiral symmetry", Rev. Mod. Phys. 41, 531 (1969).

11. T. Eguchi. New approach to collective phenomena in superconductivity models. Phys. Rev. , D14, 2755 (1976).

12. K. Kikkawa, "Quantum corrections in superconductor models", Prog. Theor. Phys. 56, 947 (1976).

13. M. К. Волков и Д. Эберт, "Чстырсхкварковос взаимодействие как общий динамический источник модели векторной доминантности и а-модели", ЯФ 36, 1265 (1982).

14. D. Ebert and М. К. Volkov, "Composite meson model with vector dominance based on U(2) invariant four quark interactions", Z. Phys. С 16, 205 (1983).

15. M. K. Volkov, "Meson lagrangians in a superconductor quark model", Annals Phys. 157, 282 (1984).

16. M. К. Волков, "Низкоэнергетическая физика мезонов в кварковой модели сверхпроводящего типа", ЭЧАЯ 17, 433 (1986).

17. D. Ebert, Н. Reinhardt and М. К. Volkov, "Effective Hadron Theory Of QCD", Prog. Part. Nucl. Phys.33, 1 (1994).

18. U. G. Meissner, "Low-energy hadron physics from effective chiral lagrangians with vector mesons", Phys. Rept. 161, 213 (1988).

19. T. Kunihiro and T. Hatsuda, "A selfconsistent mean field approach to the dynamical symmetry breaking: the effective potential of the Nambu-Jona-Lasinio model", Prog. Theor. Phys. 71, 1332 (1984).

20. D. Ebert and H. Reinhardt, "Effective chiral hadron lagrangian with anomalies and skyrme terms from quark flavor dynamics", Nucl. Phys. В 271, 188 (1986).

21. S. P. Klevansky, "The Nambu-Jona-Lasinio model of quantum chromodynamics", Rev. Mod. Phys. 64, 649 (1992).

22. Г. В. Ефимов и М. А. Иванов, "Физика легких мезонов в кварковой модели с конфайнментом", ЭЧАЯ 20, 1129 (1989).

23. G. V. Efimov and М. A. Ivanov, The quark confinement model of hadrons (IOP, Bristol, 1993).

24. G. V. Efimov and S. N. Nedelko, "Nambu-Jona-Lasinio model with the homogeneous background gluon field", Phys. Rev. D 51, 176 (1995).

25. P. C. Tandy, "Hadron physics from the global color model of QCD", Prog. Part. Nucl. Phys. 39, 117 (1997).

26. C. D. Roberts, "Nonperturbative effects in QCD at finite temperature and density", ЭЧАЯ 30, 537 (1999).

27. F. Gross and J. Milana, "Decoupling confinement and chiral symmetry breaking: an explicit model", Phys. Rev. D45, 969 (1992).

28. C. M. Shakin and W. D. Sun, "Gauge invariance and confinement in a generalized NIL model", Phys. Rev. С 54, 1414 (1996).

29. A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Shvarts and Y. S. Tyupkin, "Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations", Phys. Lett. В 59, 85 (1975).

30. E. V. Shuryak, "The role of instantons in quantum chromodynamics. 1. Physical vacuum", Nucl. Phys. B203, 93 (1982).

31. D. Diakonov and V. Y. Petrov",A theory of light quarks in the instanton vacuum", Nucl. Phys. В 272, (1986) 457.

32. A. E. Дорохов и H. И. Кочелев, "Кварковая модель с учетом взаимодействия через вакуум КХД", ЯФ 52, 214 (1990).

33. А. Е. Дорохов, Ю. А. Зубов, Н. И. Кочелев, "Проявление структуры вакуума КХД в составных кварковых моделях", ЭЧАЯ 23,1192 (1992).

34. Т. Schafer and Е. V. Shuryak, "Instantons in QCD", Rev. Mod. Phys. 70, 323 (1998).

35. И. В. Аникин, A. E. Дорохов и JI. Томио, "Структура пиона в модели инстан-тонной жидкости", ЭЧАЯ 31, 1023 (2000).

36. А. Е. Калошин и А. Е. Раджабов, "Унитарное смешивание скаляр-вектор в Щ калибровке", ЯФ 66, 1416 (2003).

37. M.K. Volkov, А.Е. Radzhabov, V.L. Yudichev, "Process 77* — a at large virtually of 7*", ЯФ 66, 2193 (2003).

38. A. E. Dorokhov, A. E. Radzhabov, M. K. Volkov, "SU2) x SU(2) chiral quark model with nonlocal interaction", ЯФ 67, 1042 (2004).

39. A. E. Radzhabov and M. K. Volkov, "Nonlocal chiral quark model with confinement", Письма в ЭЧАЯ 118, 5 (2004).

40. A. E. Radzhabov and M. K. Volkov, "Nonlocal chiral quark model with confinement", Eur. Phys. J. A19, 139 (2004).

41. A. E. Dorokhov, A. E. Radzhabov, M. K. Volkov, "Pion radii in nonlocal chiral quark model", Eur. Phys. J. A21, 155 (2004).

42. A. E. Radzhabov, M. K. Volkov, "Meson model with nonlocal four-quark interaction", Proceedings of XII International Conference on Selected Problems of Modern Physics, Dl,2-2003-219, Dubna, p.291.

43. A. E. Radzhabov, M. K. Volkov, "Meson model with nonlocal four-quark interaction", Proceedings of XII International Conference on Selected Problems of Modern Physics, Dl,2-2003-219, Dubna, p.291.

44. A. E. Radzhabov and M. K. Volkov, "SU(2) x SU2) model with confinement and pion radius", Proceedings of Miniworkshop Modern Methods in Relativistic Nuclear Physics.

45. H.H. Боголюбов, О принципе компенсации и методе самосогласованного поля, УФН, 1959, LXVII, вып.4.

46. Н.Н. Боголюбов. Квазисредние в задачах статистической механики. Препринт ОИЯИ. Д-781. Дубна, 1961.

47. Б.А. Арбузов, А.Н. Тавхелидзе и Р.Н. Фаустов. К вопросу о массе фермиона в 75-инвариантной модели теории поля. ДАН СССР. 1961. Т. 139. С. 345.

48. Yu.A. Simonov. Effective quark Lagrangian in the instanton gas model. Phys. Lett. B412, 371 (1997).

49. Б.А. Арбузов. Спонтанное возникновение эффективного взаимодействия в ре-нормирусмой модели квантовой теории поля. Теоретическая и математическая физика. 140, 1205 (2004).

50. М.К. Volkov, V.L. Yudichev. Chiral SU(2) x SU(2) model with infrared quark confinement. Phys. Atom. Nucl. 63, 464 (2000); Yad. Fiz. 63, 536 (2000).

51. H. Bateman and A. Erdelyi, (New York, Toronto, London: McGraw-Hill, 1953).

52. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды элементарные функции. М.: Наука, 1981. С. 545.

53. Yu.A. Simonov and A.M. Badalian. Freezing of as(Q2) in e+ e- annihilation. Phys. Atom. Nucl. 60, 630 (1997).

54. D.V. Shirkov, Analytic perturbation theory in analyzing some QCD observables. Eur.Phys.J.C22:331,2001. . C22, 331 (2001).

55. Yu.L. Dokshitzer and D.E. Kharzeev, The Gribov conception of quantum chromodynamics. Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 54, 487 (2004).

56. A.M. Badalian, A.I. Veselov and B.L.G. Bakker, Restriction on the strong coupling constant in the IR region from the 1D-1P splitting in bottomonium. Phys. Rev. D70, 016007 (2004).

57. D. Ebert, R. N. Faustov and V.O. Galkin, Masses of light mesons in the relativistic quark model. Mod. Phys. Lett. A20, 1887 (2005).

58. J. Goldstone. Field Theories with Superconductor Solutions. Nuovo Cimento 19, 154 (1961).

59. D. Ebert, M.Nagy and M.K. Volkov, To the problem of 1/N(c) approximation in the Nambu-Jona-Lasinio model. Phys. Atom. Nucl. 59, 140 (1996).

60. V. Dmitrasinovic, H.J. Schulze, R. Tegen and R.H. Lemmer. Chirally symmetric О (1 /Nc) corrections to the Nambu-Jona-Lasinio model. Annals Phys. 238, 332 (1995).

61. A.A. Andrianov and V.A. Andrianov. Status of four fermion interactions in low-energy QCD. Z. Phys. C55, 435 (1992);

62. A.A. Andrianov, D. Ebert, T. Feldmann and V.A. Andrianov. Dimensional structural constants from chiral and conformal bosonization of QCD. Int. J. Mod. Phys. A12, 5589 (1997).

63. A.A. Osipov, A.E. Radzhabov and M.K. Volkov. 7r — 7r scattering in a nonlocal Nambu Jona-Lasinio model arXiv: hep-ph/0603130.

64. M. M. Gell-Mann, R. J. Oakes and B. Renner, "Behavior of current divergences under SU(2) x SU(3)", Phys. Rev. B175, 2195 (1968).

65. Particle Data Group, Phys. Lett. B592, 495 (2004).

66. G. Colangelo, J. Gasser and H. Leutwyler, Nucl. Phys. B603, 125 (2001).

67. D.V. Bugg. Sigma, Kappa and fo(980) in E791 and BES II data, AIP Conf. Proc. 814, 78 (2006); hep-ex/0510021.

68. V.V. Anisovich. Scalar mesons and low-mass sigma: Does the a reveal the confinement singularity? arXiv: hep-ph/0510409.

69. Y. Namekawa, S. Aoki, M. Fukugita . Light hadron spectroscopy in two-flavor QCD with small sea quark masses. Phys. Rev. D70, 074503 (2004).

70. B.A. Arbuzov, in: , Ed. by D.I. Kazakov and A.V. Gladyshev (Singapore: World Scientific, 2002), 273.

71. B.A. Arbuzov. Infrared non-perturbative QCD running coupling from Bogolubov approach. Phys.Lett. B656, 67 (2007).

72. Б.А. Арбузов. Спонтанное возникновения взаимодействия Намбу -Иона-Лазинио в квантовой хромодинамике с двумя легкими кварками. ЯФ 69 (2006) 1621-1633.

73. B.A. Arbuzov, М.К. Volkov, I.V. Zaitsev. NJL interaction derived from QCD. International Journal of Modern Physics. A, 21, 5721 (2006).

74. B.A. Arbuzov, M.K. Volkov, I.V. Zaitsev. NJL interaction derived from QCD: vector and axial-vector mesons. International Journal of Modern Physics. A, 24, 2415 (2009).