Легкие мезоны в нелокальной киральной кварковой модели с конфайнментом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Раджабов, Андрей Евгеньевич

• Раджабов, Андрей Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Раджабов, Андрей Евгеньевич

1. Введение.

2. Би(2) х Би(2) нелокальная киральная кварковая модель типа Намбу-Иона-Лазинио.

2.1 Построение эффективного мезон-кваркового действия.

2.2 Введение внешних калибровочных полей.

2.3 Пропагаторы и вершинные функции мезонов.

2.4 Соотношение Гелл-Манна-Окса-Реннера.

2.5 Соотношение Голдбергера-Треймана.

2.6 Выводы.

3. Определение форм-фактора и описание сильных взаимодействий

3.1 Выбор на основе нелокального кваркового конденсата.

3.2 Альтернативный выбор форм-фактора.

3.3 Численные оценки модельных параметров.

3.4 Массы мезонов.

3.5 Сильные распады.

3.6 Выводы.

4. Электромагнитные взаимодействия.

4.1 Распад р -4 е+е~.

4.2 Электромагнитный форм-фактор и радиус заряженного пиона.

4.3 Переходный радиус нейтрального пиона.

4.4 Поляризуемость заряженного пиона.

4.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Легкие мезоны в нелокальной киральной кварковой модели с конфайнментом»

Квантовая хромодинамика (КХД) является теоретическим фундаментом сильных взаимодействий элементарных частиц. Асимптотическая свобода на малых расстояниях [1, 2] обеспечивает существование малого параметра а8, что позволяет успешно применять хорошо разработанные методы теории возмущений [3]. Однако значительно более сложная ситуация имеет место при средних и низких энергиях, где уже не существует малого параметра для построения теории возмущений, и здесь приходится использовать непертурбативные методы квантовой теории поля. Поэтому в этой области энергий является оправданным применение различных эффективных моделей. В отсутствие строгой динамической теории основным принципом построения эффективных моделей является киральная симметрия сильных взаимодействий [4]. Напомним, в силу малости токовых масс кварков, эта приближенная симметрия является также основной симметрией КХД.

Первые феноменологические лагранжианы, основанные на киральной симметрии были построены и интенсивно развивались в середине 60-х годов [5, б, 7]. В рамках этих лагранжианов оказалось возможным описать взаимодействия легких мезонов и барионов.

Еще раньше в 1961 году была сформулирована хорошо себя зарекомендовавшая в дальнейшем модель Намбу-Иона-Лазинио (НИЛ) [8]. Основой модели являлось эффективное четырех-фермионное(нуклонное) взаимодействие. В результате спонтанного нарушения киральной симметрии, нуклон приобретал массу, а пион, как связанное состояние пары нуклон-антинуклон выступал в качестве безмассовой голдстоуновской частицы.

Интересно отметить, что следующий шаг в развитии этой теории был сделан только через 15 лет, когда эта модель была использована японскими физиками Егучи и Кикава для описания свойств и взаимодействий кварков [9, 10]. В этих работах на основе кирально-симметричного четырех-кваркового взаимодействия было рассмотрено спонтанное нарушение киральной симметрии, которое приводило к возникновению квар-кового конденсата, пион при этом был безмассовым. Явление конденсации безмассовых токовых кварков приводило к тому, что новыми эффективными степенями свободы являлись массивные составляющие кварки, связанные состояния которых приводили к образованию мезонов в результате эффекта бозонизации исходного кваркового лагранджтана. В работе [9] изучалась (2) х 5С/(2) модель со скалярным-псевдоскалярным взаимодействием, а в работе [10] рассматривался более сложный случай 11(3) х II(3) модели с включением векторного-аксиально-векторного сектора. При этом рассматривался случай точной киральной симметрии, и поэтому работы носили скорее академический характер.

В начале 80-х годов в работах Волкова и Эберта [11, 12] был рассмотрен более реальный случай лагранжианов такого типа с ненулевой массой токового кварка, что позволило решить целый ряд конкретных физических задач: описать спектр масс псевдоскалярных, скалярных, векторных и аксиально-векторных мезонных нонетов, их внутренние свойства и взаимодействие друг с другом. После этого, начиная с 1984-1985 годов модели типа НИЛ начали активно изучаться и использоваться для решения различных физических задач во многих исследовательских центрах мира. Особенно интенсивно модель НИЛ изучалась в Германии и Японии, причем исследовалась применимость модели не только для квантовой теории поля, но и для ядерной физики [13,14,15,16,17,18,19, 20, 21]. Благодаря простому и прозрачному механизму спонтанного нарушения киральной симметрии, а также простоте вычислений и интерпретации результатов спектр применения моделей НИЛ очень широк, он затрагивает рассмотрение масс и сильных и электрослабых взаимодействий мезонов, описание радиальных возбуждений мезонов, поведение мезонов в горячей и плотной среде. Интерес к моделям типа НИЛ не ослабевает и в настоящее время.

Однако локальная модель НИЛ имеет недостатки, которые существенно сужают область ее применения. Поскольку модель НИЛ является неперенормируемымой теорией, для устранения ультрафиолетовых рас-ходимостей необходимо введение феноменологичесокого параметра обрезания по импульсам А « 1 ГэВ в кварковых петлевых интегралах. Физический смысл этого параметра связан с выделением области энергии-импульса, где происходит спонтанное нарушение киральной симметрии. Несмотря на то, что такая процедура не однозначна, различные схемы регуляризации обычно приводят к похожим результатам. Неперенорми-руемость модели НИЛ приводит к трудностям и при рассмотрении следующих порядков разложения по обратной величине числа цветов кварков, 1/Л^с, которая является естественным малым параметром в калибровочных теориях. В каждом следующем порядке 1/Л^с возникают новые параметры обрезания мезонных петель. Модель НИЛ не обеспечивает также конфайнмент кварков.

Для устранения указанных выше недостатков локальной модели НИЛ, предлагались различные нелокальные эффективные модели. Такого рода модели позволяют решать целый ряд задач, которые невозможно решить без привлечения дополнительных феноменологических предположений в рамках локальных теорий: корректное описание длин рассеяния, форм-факторов частиц, радиусов, поляризуемостей, параметров наклона и т.д. Одной из проблем является выбор нелокального взаимодействия, поскольку не существует однозначных методов вывода эффективного нелокального лагранжиана из КХД.

Отметим ряд направлений в построении нелокальных моделей типа НИЛ.

Одна из возможностей введения нелокальности была исследована в модели конфаймированных1 кварков (МКК) [22, 23, 24]. Основным пред

1 Следует отметить, что под словом конфайнмент здесь подразумевается не неограниченный рост положением этой модели было то, что в результате взаимодействия кварков с фоновым глюонным полем, кварки перестают быть свободными, а адроны рассматриваются как коллективные переменные, возникающие в результате кварк-глюонных взаимодействий. При этом пропагаторы кварков и глюонов представляются в виде целых функций.

Другая возможность введения нелокальности в модель НИЛ была использована в работах [26]. В работе была сделана попытка построить 4-мерное обобщение 3-мерного линейно растущего потенциала для обеспечения конфайнмента. Дальнейшее развитие этих идей с различными приложениями было сделано в работах [27].

Для описания физики мезонов также применяются модели, основанные на оборванных рядах уравнений Дайсона-Швингера для кварково-го пропагатора и Бете-Солпитера для мезонов [28, 29]. При этом основой модели является пропагатор глюона, непертурбативно модифицированный в инфракрасной области. Хотя в рамках такого рода моделей возможно удовлетворительно описывать физику мезонов, существенным недостатком является необходимость сложных численных расчетов.

Нелокальность кварковых взаимодействий может быть мотивирована инстантонными взаимодействиями. Инстантоны являются нелокальным решением классических полей Янга-Милса и соответствуют туннельному переходу между вакуумами с разными топологическими зарядами [30].

Одним из непертурбативных методов показавшим важность вакуума КХД для физики адронов, явились правила сумм (ПС) КХД [31]. В методе ПС КХД было показано, что важную роль в формировании адронов играют ненулевые вакуумные средние кварковых и глюонных полей - вакуумные конденсаты. Кварковый конденсат (ад) является параметром порядка спонтанного нарушения киральной симметрии вакуума КХД, а глюонный конденсат (С^С?^) задает масштаб масс и важен из-за наличия аномалии в следе тензора энергии-импульса. потенциала с ростом расстояния [25], а то что называется "аналитическим конфайнментом" - отсутствие массовой поверхности у кварка(или глюона). Очевидно, что если пропагатор частицы представляется в виде целой функции, то у нее отсутствует массовая поверхность. В дальнейшем мы будем употреблять слово конфайнмент именно в этом смысле.

Широко известным способом построения нелокальной теории является использование модели вакуума КХД как жидкости инстантонов, которая основывается на феноменологических соображениях, о том что в ансамбле инстантонов доминируют инстантоны определенного размера. Среднее расстояние между инстантонами гораздо больше размера инстантонов, то есть инстантонная жидкость является разреженной. В результате инстантонное взаимодействие ведет к появлению эффективного нелокального взаимодействия ЛГ/ кварков. В инстантонном вакууме происходит спонтанное нарушение симметрии и генерируется динамическая масса кварка, зависящая от его виртуальности. В инстантонной модели происходит регуляризация петлевых интегралов за счет учета нелокальной структуры непертурбативного вакуума КХД. Параметры модели, средний размер инстантона и плотность инстантонов в вакууме, имеют наглядный физический смысл, а все величины низкоэнергетической физики выражаются через них. В то же время, инстантонная модель не обеспечивает конфайнмент.

Предлагаемая диссертация посвящена построению нелокальной модели на основе объединения идей локальной модели НИЛ и модели инстантонной жидкости. Структура нелокальности в данной модели, выбирается согласно модели вакуума КХД, как жидкости инстантонов [32, 33, 34, 35, 36, 37]. В отличие от модели инстантонной жидкости нелокальность вводится в форме позволяющим обеспечить конфайнмент кварков. При этом скалярная или векторная часть кваркового пропагатора представляется в виде целой функции, что сходно с методами предложенными в работах [22, 23, 24].

Диссертация состоит из пяти глав, одного приложения и основывается на работах [38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46].

В первой главе - введении, обсуждается актуальность работы и мотивация проводимых исследований, а также приводится краткое содержание диссертации.

Во второй главе приводится формулировка кварковой модели с нелокальным сепарабельным четырехкварковым взаимодействием, при этом каждое кварковое поле содержит форм-фактор, зависящий от виртуальности кварка. С помощью процедуры бозонизации осуществляется переход от исходного действия к действию, содержащему физические мезонные поля. При этом спонтанное нарушение киральной симметрии приводит к возникновению динамической, зависящей от импульса, массы кварка тп(р). С помощью уравнения щели массовая функция кварка выражается через квадрат форм-фактора. Пропагатор кварка имеет вид

Введение внешних, калибровочных полей, которые могут быть отождествлены с электрослабыми полями, осуществляется при помощи швин-геровских фазовых факторов. Это приводит к появлению нелокальных вершин взаимодействия кварков и мезонов с внешними полями.

Показано выполнение низкоэнергетических теорем: соотношений Голд-бергера-Треймана и Гелл-Манна-Окса-Реннера.

Построены пропагаторы и вершинные функции мезонов. Учтен эффект смешивания псевдоскалярного (7г) и продольной компоненты аксиально-векторного (ах) полей.

В третьей главе рассматривается проблема выбора вида нелокального взаимодействия. Основными требованиями при этом является сходимость петлевых интегралов, а также отсутствие порогов рождения свободных кварков в амплитудах различных процессов.

В работе рассмотрены два варианта выбора массовой функции кварка. Первый вариант основывается на связи нелокального кваркового конденсата и скалярной части кваркового пропагатора. Для обеспечения конфайнмента кварков нелокальный кварковый конденсат выбран в виде целой функции, а именно гауссовской экспоненты

Представление кваркового пропагатора в виде целой функции широко используется в литературе для обеспечения конфайнмента кварков. Однако численные расчеты с массовой функцией кварка такого вида для ряр) = (Р~т(р)) 1. да процессов при промежуточных импульсах содержат ряд трудностей. Более простым для проведения численных расчетов оказывается второй вариант, в котором векторная часть кваркового пропагатора имеет вид

Мы и будем пользоваться этим вариантом при исследовании электромагнитных процессов.

Интересно отметить, что представление кваркового пропагатора в виде целой функции приводит к ограничению числа модельных параметров. При таком представлении значение кварковой массы при нулевой виртуальности ш(0) и параметр обрезания Л оказываются связаны между собой. Модельные параметры: массовая функция кварка при нулевой виртуальности т(0), константа связи в векторном-аксиально-векторном секторе С?2, токовая масса кварка тс, фиксируются по экспериментальным значениям слабой константы распада пиона Рп, массы р-мезона Мр и массы пиона Мп, соответственно.

В качестве предсказаний рассмотрены массы а и а\ мезонов, а также сильные распады р —» 7Г7Г, а —> 7гтг и а\ —> р7г.

В четвертой главе исследуются электромагнитные процессы. Ширина радиационного распада р-мезона р —> е+е~ оказывается в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными. Далее рассматриваются электромагнитный и переходный радиусы пионов, а также электромагнитный форм-фактор пиона в области —1 ГэВ2< д2 < 1.6 ГэВ2. Известно, что в локальной модели НИЛ вклад диаграмм с промежуточными векторными мезонами в радиусы пионов имеет тот же порядок, что и вклад контактных диаграмм. В результате суммарное значение радиуса плохо согласуется с экспериментом. В нелокальной модели вклад векторных мезонов в радиусы оказывается сильно подавлен, что приводит к удовлетворительному согласию вычисленных радиусов с наблюдаемыми. Показано, что учет вклада промежуточного р-мезона позволяет также описать электромагнитный форм-фактор пиона во времени-и пространственно- подобных областях. При этом в пространственнопот2(р) +р2 1 добной области данный вклад подавлен, тогда как во времениподобной области происходит компенсация контактного вклада и вклада с промежуточным векторным мезоном. В результате электромагнитный форм-фактор пиона находится в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными.

Оценки поляризуемости заряженного пиона показывают, что в данной модели поляризуемость по сравнению с локальной моделью имеет меньшую величину. Причиной сильного уменьшения поляризуемости в нелокальной модели является подавление амплитуды двухфотонного распада скалярного мезона <т —» 77. Показано, что поляризуемость чувствительна к деталям модели и при наличии хороших экспериментальных данных может использоваться для выбора вида форм-фактора.

В пятой главе приведены основные результаты диссертации и сформулированы главные выводы.

В приложении приводятся выражения для нелокальных вершин и способ вычислений амплитуд различных процессов.

Глава 2

SU(2) х SU(2) НЕЛОКАЛЬНАЯ КИРАЛЬНАЯ КВАРКОВАЯ МОДЕЛЬ ТИПА НАМБУ-ИОНА-ЛАЗИНИО

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Раджабов, Андрей Евгеньевич

4.5 Выводы

Радиационный распада р-мезона р —> е+е~ удовлетворительно предсказывается в рамках нелокальной модели. Далее в данной главе рассматривались электромагнитный и переходный радиусы пионов, а также электромагнитный форм-фактор пиона в области —1 ГэВ2< д2 < 1.6 ГэВ2. Известно, что в локальной модели НИЛ вклад диаграмм с промежуточными векторными мезонами в радиусы пионов имеет тот же порядок, что и вклад контактных диаграмм. В результате суммарное значение радиуса плохо согласуется с экспериментом. В нелокальной модели вклад векторных мезонов в радиусы оказывается сильно подавлен, что приводит к удовлетворительному согласию вычисленных радиусов с наблюдаемыми. Показано, что учет вклада промежуточного р-мезона позволяет также описать электромагнитный форм-фактор пиона во времени- и пространственно- подобных областях.

При этом в пространственноподобной области данный вклад подавлен, тогда как во времени подобной области происходит компенсация контактного вклада и вклада с промежуточным векторным мезоном. В результате электромагнитный форм-фактор пиона находится в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными.

Оценки поляризуемости заряженного пиона показывают, что в данной модели поляризуемость по сравнению с локальной моделью имеет меньшую величину. Причиной сильного уменьшения поляризуемости в нелокальной модели является подавление амплитуды двухфотонного распада скалярного мезона сг —> 77.

Показано, что поляризуемость чувствительна к деталям модели и при наличии хороших экспериментальных данных может помочь при выборе форм-фактора.

Глава 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации построена нелокальная киральная кварковая модель с отсутствием ультрафиолетовых расходимостей и конфайнментом кварков. Эти свойства модели обеспечиваются нелокальным сепарабельным ядром четырехкваркового взаимодействия. Такая форма взаимодействия может быть мотивирована моделью инстантонной жидкости. В отличие от инстантонной модели нелокальное взаимодействие было расширено с целью включения в модель векторных и аксиально-векторных мезонов.

Переход от четырехкваркового действия к действию, описывающему мезонные поля осуществлялся с помощью процедуры бозонизации. При этом в силу спонтанного нарушения симметрии у легких токовых кварков появляется динамическая масса, зависящая от импульса. В лидирующем порядке разложения по числу цветов кварков 1/7УС в данной модели отсутствует перенормировка кваркового поля.

В вершинах взаимодействия мезонов с кварками появляются нелокальные функции, при этом перенормировка мезонных полей является функцией импульса.

Внешние калибровочные поля введены с помощью швингеровских фазовых факторов, при этом используется формализм основанный на независимости контурного интеграла от пути интегрирования [47]. В результате появляются дополнительные нелокальные вершины взаимодействия кварков и мезонов с внешними полями, при этом полные вершины удовлетворяют тождествам Уорда.

В модели выполняются низкоэнергетические теоремы, в частности соотношения Голдбергера-Треймана и Гелл-Манна-Окса-Реннера. Для получения первого из них оказывается важным наличие нелокальных диаграмм, их численный вклад в константу слабого распада пиона Еп оказывается порядка 30%.

Для обеспечения конфайнмента кварков предлагались две различные формы для динамической массы кварка. При этом часть скалярная или векторная часть пропагатора кварка представлялась в виде целой функции. Подобные представления широко известны в литературе. Такое представление вело к уменьшению модельных параметров - величина динамической массы кварка т(0) оказывалась однозначно связанной с параметром обрезания Л, модельные параметры га(0), С?2, тс при этом фиксировались по наблюдаемым: константе слабого распада пиона массе р-мезона мр и массе пиона мж.

Несмотря на меньшее, чем обычно число параметров в секторе сильных взаимодействий модель удовлетворительно предсказывает массы сг-мезона, распад р —> тпг и отношение £>-,5- парциальных волн в распаде ах —> ртт. Небольшая величина распада а\ —» рте может быть объяснена малостью фазового объема данного распада вследствие сильного расхождения вычисленной массы ах-мезона с экспериментальной. Относительно проблем с малой ширины распада скалярного мезона а 7гтг известно, что в скалярном канале возможны большие поправки от учета смешивания с другими скалярными мезонами, глюболом(и) и четырехкварковы-ми состояниями. Более того в скалярном канале возможны поправки от следующих порядков разложения. Поэтому трудно расчитывать на удовлетворительное описание процессов, где скалярный мезон представляется простым кварк-антикварковым состоянием. Таким образом мы не можем претендовать на хорошее описание процессов а —>• 7Г7Г, а —»• 77. Приведенные в данной диссертации вычисления поляризуемости заряженного пиона могут претендовать лишь на качественные оценки.

Более надежные результаты получены при описании распада р —> е+е~. Особенно хотелось бы отметить результаты полученные для радиусов пионов. Действительно, что в локальных моделях типа НИЛ обычно встречались большие трудности, при рассмотрении вкладов контактных и р мезонных диаграмм в радиусы пионов. Совместный учет этих вкладов приводил к резко завышенному значению для радиусов. В нелокальной модели удалось показать, что вклад диаграмм с векторными мезонами значительно подавлен по сравнению с вкладом контактной диаграммы. Совместный учет вкладов приводит к хорошо согласующимся с экспериментальными величинами значениям радиусов. Вклад р мезонных диаграмм также важен при описании электромагнитного форм-фактор пиона. При этом в пространственноподобной области данный вклад подавлен, тогда как во времениподобной области происходит компенсация контактного вклада и вклада с промежуточным векторным мезоном. В результате электромагнитный форм-фактор пиона находится в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными.

Следует отметить, что в дальнейшем для описания странных частиц модель может быть легко расширена на киральную группу £/(3) х 11(3). При этом также важным является привлечение модели инстантонов, поскольку именно индуцированное инстантонами нелокальное шести квар-ковое взаимодействие т'Хоофта приводит к решению 11а{ 1) проблемы (разница масс т/, г/).

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своим руководителям М.К. Волкова и А.Е. Дорохова за постановку задачи и помощь, оказанную в выполнении работы. Я также благодарен РФФИ и программе Гейзенберг-Ландау за финансовую поддержку исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Раджабов, Андрей Евгеньевич, 2004 год

1. D. J. Gross and F. Wilczek, "Ultraviolet behavior of non-abelian gauge theories," Phys. Rev. Lett. 30, 1343 (1973).

2. H. D. Politzer, "Reliable perturbative results for strong interactions?," Phys. Rev. Lett. 30, 1346 (1973).

3. H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков, "Введение в теорию квантованных полей М., "Наука", 1984, 600 с.

4. В. Де Альфаро, С. Фубини, Г. Фурлан и К. Росети, Токи в физике адронов М., "Мир", 1976, 670 с.

5. S. Weinberg, "Dynamical approach to current algebra," Phys. Rev. Lett. 18, 188 (1967).

6. J. Wess and B. Zumino, "Lagrangian method for chiral symmetries," Phys. Rev. 163, 1727 (1967).

7. S. Gasiorowicz and D. A. Geffen, "Effective lagrangians and field algebras with chiral symmetry," Rev. Mod. Phys. 41, 531 (1969).

8. Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, "Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. I," Phys. Rev. 122, 345 (1961).

9. T. Eguchi, "A new approach to collective phenomena in superconductivity models," Phys. Rev. D 14, 2755 (1976).

10. K. Kikkawa, "Quantum corrections in superconductor models," Prog. Theor. Phys. 56, 947 (1976).

11. M. К. Волков и Д. Эберт, "Четырехкварковое взаимодействие как общий динамический источник модели векторной доминантности и (т-модели," ЯФ 36, 1265 (1982).

12. D. Ebert and М. К. Volkov, "Composite meson model with vector dominance based on U(2) invariant four quark interactions," Z. Phys. С 16, 205 (1983).

13. M. K. Volkov, "Meson lagrangians in a superconductor quark model," Annals Phys. 157, 282 (1984).

14. T. Kunihiro and T. Hatsuda, "A selfconsistent mean field approach to the dynamical symmetry breaking: the effective potential of the Nambu-Jona-Lasinio model," Prog. Theor. Phys. 71, 1332 (1984).

15. D. Ebert and H. Reinhardt, "Effective chiral hadron lagrangian with anomalies and skyrme terms from quark flavor dynamics," Nucl. Phys. В 271, 188 (1986).

16. M. К. Волков, "Низкоэнергетическая физика мезонов в кварковой модели сверхпроводящего типа," ЭЧАЯ 17, 433 (1986).

17. U. G. Meissner, "Low-energy hadron physics from effective chiral lagrangians with vector mesons," Phys. Rept. 161, 213 (1988).

18. T. Hatsuda and T. Kunihiro, "QCD phenomenology based on a chiral effective Lagrangian," Phys. Rept. 247, 221 (1994).

19. U. Vogl and W. Weise, "The Nambu and Jona-Lasinio model: Its implications for hadrons and nuclei," Prog. Part. Nucl. Phys. 27, 195 (1991).

20. S. P. Klevansky, "The Nambu-Jona-Lasinio model of quantum chromodynamics," Rev. Mod. Phys. 64, 649 (1992).

21. D. Ebert, H. Reinhardt and M. K. Volkov, "Effective Hadron Theory Of QCD," Prog. Part. Nucl. Phys. 33, 1 (1994).

22. Г. В. Ефимов и M. А. Иванов, "Физика легких мезонов в кварковой модели с конфайнментом," ЭЧАЯ 20, 1129 (1989).

23. G. V. Efimov and М. A. Ivanov, The quark confinement model ofhadrons (IOP, Bristol, 1993).

24. G. V. Efimov and S. N. Nedelko, "Nambu-Jona-Lasinio model with the homogeneous background gluon field," Phys. Rev. D 51, 176 (1995).

25. Б. А. Арбузов, "Квантовая хромодинамика на больших расстояниях," ЭЧАЯ 19, 5 (1988).

26. F. Gross and J. Milana, "Decoupling confinement and chiral symmetry breaking: an explicit model," Phys. Rev. D 45, 969 (1992).

27. С. M. Shakin and W. D. Sun, "Gauge invariance and confinement in a generalized NJL model," Phys. Rev. С 54, 1414 (1996).

28. P. C. Tandy, "Hadron physics from the global color model of QCD," Prog. Part. Nucl. Phys. 39, 117 (1997).

29. C. D. Roberts, "Nonperturbative effects in QCD at finite temperature and density," ЭЧАЯ 30, 537 (1999).

30. A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Shvarts and Y. S. Tyupkin, "Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations," Phys. Lett. В 59, 85 (1975).

31. M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, "QCD and resonance physics. Sum rules," Nucl. Phys. В 147, 385 (1979).

32. E. V. Shuryak, "The role of instantons in quantum chromodynamics. 1. Physical vacuum," Nucl. Phys. В 203, 93 (1982).

33. D. Diakonov and V. Y. Petrov,"A theory of light quarks in the instanton vacuum," Nucl. Phys. В 272, (1986) 457.

34. A. E. Дорохов и H. И. Кочелев, "Кварковая модель с учетом взаимодействия через вакуум КХД," ЯФ 52, 214 (1990).

35. А. Е. Дорохов, Ю. А. Зубов, Н. И. Кочелев, "Проявление структуры вакуума КХД в составных кварковых моделях," ЭЧАЯ 23,1192 (1992).

36. Т. Schafer and Е. V. Shuryak, "Instantons in QCD," Rev. Mod. Phys. 70, 323 (1998).

37. И. В. Аникин, A. E. Дорохов и Jl. Томио, "Структура пиона в модели инстантонной жидкости," ЭЧАЯ 31, 1023 (2000).

38. А. Е. Калошин и А. Е. Раджабов, "Унитарное смешивание скаляр-вектор в Щ калибровке," ЯФ 66, 1416 (2003).

39. М.К. Volkov, А.Е. Radzhabov, V.L. Yudichev, "Process 7*7-a at large virtually of 7*," ЯФ 66, 2193 (2003).

40. A. E. Dorokhov, A. E. Radzhabov, M. K. Volkov, USU(2) x SU(2) chiral quark model with nonlocal interaction," ЯФ 67, 1042 (2004).

41. A. E. Radzhabov and M. K. Volkov, "Nonlocal chiral quark model with confinement," Письма в ЭЧАЯ 118, 5 (2004).

42. A. E. Radzhabov and M. K. Volkov, USU(2) x SU(2) nonlocal quark model with confinement," Eur. Phys. J. A 19, 139 (2004).

43. A. E. Dorokhov, A. E. Radzhabov, M. K. Volkov, "Pion radii in nonlocal chiral quark model," Eur. Phys. J. A 21, 155 (2004).

44. A. E. Radzhabov, M. K. Volkov, "Charged pion polarizability in the nonlocal quark model of Nambu-Jona-Lasinio type," Письма в ЭЧАЯ 125, 7 (2005), hep-ph/0403131.

45. A. E. Radzhabov, M. K. Volkov, "Meson model with nonlocal four-quark interaction," Proceedings of XII International Conference on Selected Problems of Modern Physics, Dl,2-2003-219, Dubna, p.291.

46. A. E. Radzhabov and M. K. Volkov, "SU(2) x SU(2) model with confinement and pion radius," Proceedings of Miniworkshop Modern Methods in Relativistic Nuclear Physics.

47. S. Mandelstam, "Quantum Electrodynamics Without Potentials," Annals Phys. 19, 1 (1962).

48. J. Terning, "Gauging nonlocal Lagrangians," Phys. Rev. D 44, 8871991).

49. A. E. Dorokhov and W. Broniowski, "Vector and axial-vector correlators in a nonlocal chiral quark model," Eur. Phys. J. C 32, 79 (2003).

50. M. Gell-Mann, R. J. Oakes and B. Renner, "Behavior of current divergences under SU(3) x S£/(3)," Phys. Rev. 175, 2195 (1968).

51. K. Hagiwara et al. Particle Data Group Collaboration., "Review of particle physics," Phys. Rev. D 66, 010001 (2002).

52. R. D. Bowler and M. C. Birse, "A nonlocal, covariant generalization of the NJL model," Nucl. Phys. A 582, 655 (1995).

53. R. S. Plant and M. C. Birse, "Meson properties in an extended non-local NJL model," Nucl. Phys. A 628, 607 (1998).

54. A. E. Dorokhov and W. Broniowski, "Vanishing dynamical quark mass at zero virtuality?," Phys. Rev. D 65, 094007 (2002).

55. S. V. Mikhailov and A. V. Radyushkin, "Quark condensate nonlocality and pion wave function in qcd: general formalism," 51® 49, 794 (1988).

56. S. V. Mikhailov and A. V. Radyushkin, "The Pion wave function and QCD sum rules with nonlocal condensates," Phys. Rev. D 45, 17541992).

57. M. Ishida, "The present status on sigma and kappa meson properties," Prog. Theor. Phys. Suppl. 149, 190 (2003).

58. N. Isgur, С. Morningstar and С. Reader, "The a\ in r decay," Phys. Rev. D 39, 1357 (1989).

59. J. C. R. Bloch, Y. L. Kalinovsky, C. D. Roberts and S. M. Schmidt, "Describing a\ and Ьг decays," Phys. Rev. D 60, 111502 (1999).

60. C. J. Burden, L. Qian, C. D. Roberts, P. C. Tandy and M. J. Thomson, "Ground-state spectrum of light-quark mesons," Phys. Rev. С 55, 2649 (1997).

61. G. V. Efimov and G. Ganbold, "Meson spectrum and analytic confinement," Phys. Rev. D 65, 054012 (2002).

62. M. K. Volkov and V. L. Yudichev, "Scalar mesons and glueball in a quark model allowing for gluon anomalies," Eur. Phys. J. A 10, 109 (2001).

63. R. L. Jaffe, "Multi-quark hadrons. 1. The phenomenology of (2 quark 2 anti-quark) mesons," Phys. Rev. D 15, 267 (1977).

64. R. S. Plant and M. C. Birse, "Mesonic fluctuations in a nonlocal NJL model," Nucl. Phys. A 703, 717 (2002).

65. С. Б. Герасимов, "Стурктурные константы мезонов в модели квар-ковых диаграмм," ЯФ 29, 513 (1979).

66. Н. J. Hippe and S. P. Klevansky, "Nambu-Jona-Lasinio model compared with chiral perturbation theory: The pion radius in SU(2) revisited," Phys. Rev. С 52, 2172 (1995).

67. R. Tarrach, "Meson charge radii and quarks," Z. Phys. С 2, 221 (1979).

68. M. K. Volkov, "Vector mesons in pion and kaon form factors," ЯФ 60, 1115 (1997).

69. V. Bernard and U.G. Meissner, "Electromagnetic Structure Of The Pion And The Kaon," Phys. Rev. Lett. 61, 2296 (1988).

70. M. Lutz and W. Weise, "Sizes of hadrons," Nucl. Phys. A 518, 156 (1990).

71. M. Barkov et al, "Electromagnetic Pion Form-Factor In The Timelike Region," Nucl. Phys. В 256, 365 (1985).

72. R.R. Akhmetshin et al. CMD-2 Collaboration., "Measurement of e+ e—> pi+ pi- cross section with CMD-2 around rho meson," Phys. Lett. В 527, 161 (2002).

73. S.R. Amendolia et al NA7 Collaboration., "A Measurement Of The Space Like Pion Electromagnetic Form-Factor," Nucl. Phys. В 277, 168 (1986).

74. J. Volmer et al. The Jefferson Lab F(pi) Collaboration., "New results for the charged pion electromagnetic form-factor," Phys. Rev. Lett. 86, 1713 (2001).

75. M. Moinester COMPASS Collaboration., "Pion and kaon polarizabilities at CERN COMPASS," arXiv:hep-ex/0301024.

76. Y. M. Antipov et al., "Compton Effect On тг- Meson," Z. Phys. С 24, 39 (1984).

77. V. N. Pervushin and M. K. Volkov, "Pion Polarizability In Chiral Quantum Field Theory," Phys. Lett. В 55, 405 (1975).

78. В. H. Первушин и М. К. Волков, "Амплитуда процесса 77 —> 7Г7г в квантовой киральной теории," ЯФ 22, 346 (1975).

79. М. К. Волков и А. А. Осипов, "Поляризуемость пионов и каонов в кварковой модели сверхпроводящего типа," ЯФ 41, 1027 (1985).

80. А. Е. Dorokhov, М. К. Volkov, J. Hufner, S. P. Klevansky and P. Rehberg, "Pion Polarizabilities At Finite Temperature," Z. Phys. С 75, 127 (1997).

81. M. A. Ivanov and T. Mizutani, "Pion and kaon polarizabilities in the quark confinement model," Phys. Rev. D 45, 1580 (1992).

82. A. Faessler, T. Gutsche, M. A. Ivanov, V. E. Lyubovitskij and P. Wang, "Pion and sigma meson properties in a relativistic quark model," Phys. Rev. D 68, 014011 (2003).

83. A. E. Kaloshin and V. V. Serebryakov, "7r+ and 7r° polarizabilities from 77 —» 7T7T data on the base of S matrix approach," Z. Phys. C 64, 689 (1994).

84. V. Kartvelishvili, M. Margvelashvili and G. Shaw, "Pion polarisability and hadronic tau decays," Nucl. Phys. Proc. Suppl. 54A, 309 (1997).

85. K. Ackerstaff et al. OPAL Collaboration], "Measurement of the strong coupling constant a?a and the vector and axial-vector spectral functions in hadronic tau decays," Eur. Phys. J. C 7, 571 (1999).