Методы стабилизации программных движений в математических моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сухарев, Лев Александрович

• Сухарев, Лев Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сухарев, Лев Александрович

Введение

1. Асимптотика и устойчивость решений уравнений в математических моделях

1.1. Абсолютно равномерно ограниченные решения

1.2. Прямой метод Ляпунова и существование абсолютно равномерно ограниченных решений 1.3. Абсолютно равномерная устойчивость решений

1.4. Метод возмущений

1.5. Асимптотическое равновесие на конечном промежутке

1.6. Примеры и приложения

2. Метод сравнения и синтез управления 44 2.1 Синтез управлений для линейных систем

2.2. Синтез управлений для систем, близких к линейным

2.3. Метод последовательных приближений для построения управления с обратной связью

3. Стабилизация программных движений 62 м 3.1. Существование программных движений на полуоси

3.2. Существование программных движений на компакте

3.3. Модель Вальраса и стабилизация рыночных отношений производства

3.4. Постановка задачи стабилизации программного движения

3.5. Стабилизация программного движения

3.6. Стабилизация программных движений в механических системах ■

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы стабилизации программных движений в математических моделях»

Математическое моделирование на стабилизацию программного движения является наиболее актуальной частью кибернетики [1, 2]. Здесь основные трудности заложены в самой модели [3, 32, 33, 37]. Первая задача — построение программного движения [19, 20], вторая — его стабилизация [16, 18], третья — выбор самой выгодной стабилизации, которая называется оптимальной. Как правило, в реальном моделировании все эти задачи являются математическими, и их предварительно необходимо тщательно анализировать на предмет принадлежности к исследованным классам [37]. Типичный здесь случай, — когда необходимы новые дополнительные исследования, которые, как правило, приводят фактически к новым методам решения. Например, важнейшие задачи механики [35, 36] моделируются как математические задачи в смысле классического определения, сформулированного H.H. Красовским, В.И. Зубовым и другими. Здесь программное движение — конкретное решение дифференциального уравнения при фиксированном допустимом управлении. Затем в классе допустимых управлений К ищется такое управление, при котором программное движение является устойчивым в каком-либо смысле решением. На этом этапе программное движение стабилизировано. Однозначно, как правило, эта задача не решается. Пусть Ко — множество стабилизирующих допустимых управлений — Ко С К. На множестве Ко рассматривается функционал качества [35] J(x,u), х — решение уравнения движения, соответствующее допустимому управлению и. Оптимальным управлением является то управление iio, которое доставляет минимум функционалу J(x,u), и € Kq. В этом определении устойчивость программного движения, чаще всего, является асимптотической, и начальный момент движения t0 ■ — фиксирован. В точной постановке задачи стабилизации программного движения классические результаты принадлежат, прежде всего, H.H. Красовскому [22, 27], В.И. Зубову [19, 24], В.М. Матросову [28, 29] и другим. Основной вклад здесь внесла Российская математическая школа, которая, базируясь на теории Ляпунова, создала фундаментальную науку об устойчивости и оптимальной стабилизации.

Однако, моделирование задач стабилизации рынка [23, 36, 37, 47], небесной механики и других, обнаружило, что не всегда классическое определение стабилизации программного движения имеет смысл [13]. Например, некоторые задачи об эволюции цен в модели Вальраса [11, 23] устойчивость программного движения не может быть асимптотически устойчивой в смысле Ляпунова. Более того, движения могут иметь различные начальные моменты. Так появился новый вид устойчивости, который был назван абсолютно равномерной устойчивостью [11, 12]. Новое определение стабилизации повлекло к новому определению оптимальной стабилизации. Однако, идея оптимальной стабилизации осталась прежней: программное движение надо оптимально стабилизировать, вкладывая в понятия „стабилизация", „оптимальная стабилизация", новый смысл. Прежде чем формулировать задачу с новым понятием устойчивости, необходимо изучить асимптотические свойства движений. Точнее, написать теорию абсолютно равномерной устойчивости решений, куда входили бы:

1) Необходимые и достаточные условия абсолютно равномерной ограниченности решений.

2) Выделение классов уравнений, имеющих абсолютно равномерно ограниченные решения. Здесь необходимо расширение классификации Ио-шизавы [48].

3) Решение задачи о существовании аттракторов для дифференциальных уравнений движения.

4) Решение задачи о непрерывной зависимости решения от начальных данных на полуоси.

5) Решение задачи Коши с сингулярными начальными данными (+оо, хо). Только после решения задач 1) —5) перейти к точному определению абсолютно равномерной устойчивости решения. Здесь, следуя традициям, необходимо исследовать вопрос о необходимых и достаточных условиях абсолютно равномерной устойчивости. Затем нужно приступить к понятию стабилизации программного движения в новом смысле. Получить эффективные теоремы для исследования задачи о стабилизации. Наконец, дать строгое определение оптимальной стабилизации, доказать теорему существования и построить метод нахождения оптимального допустимого управления. Только после решения всех выше перечисленных задач, эффективность нового метода надо показать при решении конкретных задач математического моделирования. Именно по такому плану написана настоящая диссертационная работа, к изложению структуры и содержания которой сейчас переходим.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сухарев, Лев Александрович, 2003 год

1. Александров В.В. и др. Оптимизация динамики управляемых систем: Учеб. пособие. - М.: Изд-во МГУ, 2000. — 304 с.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. — 428 с.

3. Арнольд В.И. Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие для студ. физико-матем. спец. вузов. — М.: Наука, 1978. 304 с.

4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для механико-матем. спец. вузов. — М.: Наука, 1971. — 239 с.

5. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970. — 240 с.

6. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во иностр. лит., 1954. — 216 с.

7. Вылов Б.Ф. Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

8. Воскресенский Е.В. О равномерной ограниченности решений // Диф. уравнения. 1988. - Т.24, N2. — С. 346-348.

9. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. — Изд-во Саратовского ун-та. 1990. — 224 с.

10. Воскресенский Е.В. Аттракторы обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. — 2000. — Т.52, N10. — С.1311-1323.

11. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. — Саранск: СВМО, 2001. — 300с.

12. Воскресенский Е.В., Мамедова Т.Ф. Методы стабилизации программных движений // Вопросы атомной науки и техники. Сер. матем. моделирование физических процессов. — 2002. — Вып. 4. — С. 45-54.

13. Воскресенский Е.В. Оптимальная стабилизация программного движения // Труды средневолжского математического общества. — 2003. — Т.5, N1. С. 12-30.

14. Воскресенский Е.В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 2003. — N4. — С. 17-26.

15. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. — М.: Наука. — 1986. 225 с.

16. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970. — 534 с.

17. Еругин Н.П. Приводимые системы // Тр. матем. ин-та им. В.А. Стек-лова АН СССР. 1946. - Т.13. - 96 с.

18. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. — Л.: Изд-во Ленинг. ун-та, 1957. 241 с.

19. Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975. — 496 с.

20. Зубов С.И., Зубов Н.В. Математические методы стабилизации динамических систем. — Санкт-Петербург: Изд-во С-Пб. ун-та, 1996. — 288 с.

21. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во иност. лит., 1958. — 474 с.

22. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. -М.: Физматгиз, 1959. — 211 с.

23. Красс И.А. Математические методы экономической динамики. — М.: Сов.радио, 1976. 279 с.

24. Ла-Саль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. — М.: Мир, 1964. — 168 с.

25. Логинов Б.В. Об устойчивости решений дифференциального уравнения с вырожденным оператором при производной // Известия АН Уз.ССР. 1988. - N1. - С. 28-32; 1988. - N2. - С. 78.

26. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М. — Л.; Гостехиздат, 1950. — 471 с.

27. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 530 с.

28. Матросов В.М. К теории устойчивости движения // Прикл. матем. и механика. — 1962. Т.26, N6. — С. 992-1002.

29. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 223 с.

30. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. 720 с.

31. Чезари J1. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1964. — 477 с.

32. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — М. JI.: Гостехиздат, 1946. — 204 с.

33. Dollard J.D., Friedman О.Н. Asymptotic behavioer of solution of linear ordinary differential equations // J.of Math.Anal, and Appl. — 1978. — Vol. 66. P. 394-398.

34. Siljak D.D. Competitive economic systems: stabiliti, decompozition and aggregation // Proceeding of the 1973 IEEE Conference on Decision and Control. San Diego, California. — 1973, December 5-7. — P. 265-275.

35. Yoshizava T. Liapunov's function and boundedness of solutions // FunktiaI.Ekvas. 1959. - Vol.2. - P. 71-103.