Математическое моделирование динамики управляемых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Десяев, Евгений Васильевич

• Десяев, Евгений Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Десяев, Евгений Васильевич

Оглавление

Введение

Глава 1 Управляемость линейными системами

1.1 Управляемость и построение программных движений

в линейных системах за конечное время

1.2 Управляемость и построение программных движений

в линейных системах за бесконечное время

1.3 Задача управляемости за бесконечное время для линейных

систем с постоянной матрицей

Глава 2 Асимптотические методы исследования математических моделей

2.1 Метод сравнения и асимптотика решений

2.2 Асимптотическая эквивалентность и гомеоморфизм начальных условий

2.3 Приложение метода асимптотической эквивалентности к исследованию математических моделей 55 Глава 3 Метод сравнения и управляемость нелинейных математических моделей

3.1 Синтез управления для систем близких к линейным

3.2 Существование программных движений для систем типа Липшица

на полуоси

3.3 Построение программных движений для нелинейных систем за конечное время 74 Глава 4 Моделирование динамики управляемых систем

4.1 Приведение механической системы к нормальному виду

4.2 Устойчивость программных движений

4.3 Численные методы построения программного управления для механических систем

4.4 Описание функциональных возможностей разработанного программного комплекса

4.5 Моделирование динамики управляемого движения космического аппарата 98 Список литературы 104 Приложение 1

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование динамики управляемых систем»

Введение

В последние десятилетия особый интерес ученых и конструкторов проявляется к исследованию возможности построения космических аппаратов, в которых в качестве тягового двигателя используется импульс, получаемый аппаратом в результате действия сил светового давления. Такой интерес вполне объясним, поскольку в этом случае существенно повышается автономность функционирования космических аппаратов (КА) или космических станций. Имеется большое количество работ по управлению геоцентрическим и гелиоцентрическим движением КА с помощью солнечного паруса (обзоры этих работ содержатся в [96, 99]), а также по управлению вращательным движением. Однако, несмотря на очевидные выгоды, использование сил светового давления в реальной практике космической навигации имеет весьма серьезные препятствия. Во-первых, силы светового давления несравнимо меньше не только реактивных сил, вырабатываемых современными двигателями, но и некоторых возмущающих факторов, например, атмосферных воздействий для спутников с низкими орбитами. Это приводит к необходимости рассматривать солнечные паруса с большой площадью. Но тогда возникает другая трудность. Управление такими парусами, в частности развертывание в космическом пространстве паруса большой площади - сложная техническая проблема [98]. Поэтому весьма интересным является рассмотрение таких космических проектов с использованием сил светового давления, когда силы, действующие на КА или космическую станцию, относительно малы, и при этом не требуется управляемого поворота протяженных элементов как, например, в случае, если в качестве управляющего параметра взять отражательную способность КА, которую можно изменять. Одним из таких проектов является исследование орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации под действием гравитационных сил, сравнимых по величине с силами светового давления на КА с достаточно большой отражательной способностью [104] (вполне доступной для реализации при современном состоянии космических технологий). Поэтому весьма перспективной в смысле практической реализации и актуальной является задача об управлении орбитальным движением КА в окрестности первой коллинеарной точки либрации Ь с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце.

Математическую постановку такой задачи в 70-х годах предложил М.Л. Лидов [48], [49]. Данный проект очень интересен с практической стороны. Первая внутренняя коллинеарная точка либрации Ь\, определенная в рамках круговой задачи трех тел, находится на отрезке Солнце-Земля на расстоянии около 0,01 а. е. (примерно 1,5 млн. км) от центра Земли. Данная область пространства, обладая замечательными теоретическими

свойствами, связана со многими космическими проектами. В окрестности коллинеарной точки либрации можно, например, разместить экраны, локально затемняющие Землю, и таким образом уменьшить развитие парникового эффекта (greenhouse effect) [96]. Можно расположить обсерваторию для слежения за солнечной активностью (и такой проект уже действует -SOHO) или космическую станцию в рамках программы борьбы с астероидной опасностью [60], [61], [35]. Одной из распространенных математических моделей, применяющихся для описания движения космического аппарата, является модель ограниченной круговой задачи трех тел [90]. Она используется, когда КА движется в поле притяжения двух массивных небесных тел, например звезды и планеты, которые, в свою очередь, вращаются вокруг общего центра масс по околокруговым орбитам.

При описании полетов в околоземном пространстве на достаточно далекие расстояния (порядка 106 км) уже требуется учитывать притяжение Солнца, и, хотя эксцентриситет земной орбиты отличен от нуля (е = 0.0167), уравнения круговой задачи трех тел достаточно точно описывают движение. Они существенно сложнее уравнений движения в гравитационном поле одного притягивающего центра и не допускают точного аналитического представления. Известны, однако, несколько частных их решений, при которых система трех тел сохраняет свою конфигурацию (так называемые лагранжевые решения). Это коллинеарные (прямолинейные) и треугольные точки либрации. Точка либрации L\, неустойчивая. С одной стороны это затрудняет длительное пребывание КА в ее окрестности без специальной "удерживающей"системы управления. С другой стороны, неустойчивость можно использовать как положительный фактор при полете в L2 или для перехода на другие орбиты. Таким образом, неустойчивость коллинеарной точки либрации имеет свои плюсы, однако, чтобы их использовать, нужно уметь удерживать КА (или космическую станцию) в окрестности этой точки достаточно длительное время.

Идея удержания КА (или станции) в окрестности коллинеарной точки либрации разрабатывалась многими авторами . При этом рассматривались различные постановки задачи управления орбитальным движением: управления с помощью импульсного воздействия, управления с помощью непрерывной тяги, использование сил светового давления [50], [62] и другие.

В работе [76] предложена оригинальная методика построения закона управления в виде линейного регулятора, обеспечивающего стабилизацию орбитального движения К А в окрестности как солнечной, так и лунной точек либрации. В данной статье указан конкретный вид регулятора, но не дается алгоритма его построения. Исследование проведено для плоского

линейного случая.

Во всех выше перечисленных работах рассматриваются уравнения движения космического аппарата в линейном приближении. Неучет нелиней-ностей в математической модели может привести к катастрофе. На первоначальном этапе моделирования порой невозможно учесть все возмущения, действующие на исследуемый объект. Поэтому удается регистрировать только результат этого воздействия. В данной работе рассматривается метод, предложенный Е.В. Воскресенским, идея которого заключается в следующем: строится верхняя оценка всех действующих возмущений в виде кусочно-непрерывной функции F(t,x,u). Далее на основании полученных для линейного случая классов управления строятся новые классы управления, которые учитывают введенное возмущение. Управления из построенных классов управлений должны удерживать КА в окрестности первой коллинеарной точки либрации достаточно долго, т.е. актуальным становится задача попадания КА за конечное время в е -окрестность первой коллинеарной точки либрации, и не выходит из нее в течение достаточно большого интервала времени. Данная задача эквивалентна задаче управляемости за бесконечное время, рассмотренной в работах Е.В. Воскресенского, В.И. Зубова.

В настоящей работе строятся управления, которые обеспечивают устойчивость по Ляпунову [51], [5] решений, что является, существенным ослаблением ограничений, полученных другими авторами [1], [2], [6], [66], [77], [53], [54], [55], [75], [115], [114], [112], [105], так как в данных работах управления обеспечивают асимптотическую устойчивость по Ляпунову. В работе особое внимание уделено математической стороне вопроса построения классов управлений. В качестве наиболее важных и ценных результатов в данном направлении следует отметить результаты, полученные P.E. Кал-маном [40], В.И. Зубовым [37], [38], [39], H.H. Красовским [42, 47], Е.А. Барбашиным [4], Е.В. Воскресенским [9], [11], [12], [16], [17] и др. Достаточно общий подход к вопросу управляемости нелинейных систем разработан Е.В. Воскресенским. В основе его лежит метод сравнения системы с другой, линейной или нелинейной, более удобной для исследования. Метод сравнения использовал в своих работах также А.Ю.Павлов [58]. В статье система сравнивается с соответствующей линейной системой в предположении, что в фиксированном классе допустимых управлений система сравнения управляема.

Очень часто практика ставит перед исследователем необходимость решения именно таких задач, которые возникают при математическом моделировании [68] экономических, химических, биологических, физических,

социальных и других процессов [77], [78], [ИЗ], [109], [107], [106], [101], [102], [103], [100], [82], [83], [86], [79], [80], [84], [85], [91], [94], [108], [111] . С помощью математического моделирования удается не только строго формализовать знания об объекте, но и иногда (при хорошей изученности объекта) оно может дать количественное описание процесса и предсказать его ход и эффективность.

Цель работы.

Основной целью работы является получение новых теорем для решения задач об управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений за бесконечное время и применение полученных результатов к решению задачи математического моделирования управляемых нелинейных динамических систем. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) получить аналитические представления класса допустимых управлений для линейной и нелинейной динамической системы;

2) доказать новые теоремы об асимптотической эквивалентности по Бра-уеру для дифференциальных уравнений;

3) применить полученные теоремы для решения задач об управляемости искусственными спутниками Земли за достаточно большое время;

4) разработать численные методы и алгоритмы для нахождения класса допустимых управлений за бесконечное время для линейных и нелинейных динамических систем;

5) создать комплекс программ для решения задач управляемости нелинейными динамическими системами за бесконечное время.

Методы исследования.

Для решения рассматриваемых задач в диссертации применяются следующие методы исследования:

1) метод сравнения;

2) методы асимптотической эквивалентности, разработанные Е.В. Воскресенским, для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

3) теоремы о неподвижной точке;

4) метод вариаций произвольных постоянных Лагранжа;

5) первый и второй методы Ляпунова;

6) метод Рунге — Кутта четвертого порядка.

Научная новизна.

Получены аналитические представления класса допустимых управлений для линейных и нелинейных динамических систем. Доказаны новые теоремы об асимптотической эквивалентности по Брауэру для управля-

емых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработаны численные методы и алгоритмы для нахождения класса допустимых управлений за бесконечное время для линейных и нелинейных динамических систем. Создан комплекс программ для решения задач управляемости нелинейных динамических систем за бесконечное время. Применены полученные теоремы и комплекс программ для решения задач управляемости за бесконечное время для искусственных спутников Земли.

Практическая ценность.

Предложенные в диссертации математические методы и вычислительные алгоритмы могут быть использованы при решении задач, возникающих в практике исследования динамики управляемого движения космического аппарата.

Апробация диссертации.

Основные результаты докладывались и обсуждались на объединенных научных семинарах кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева и Средневолжско-го математического общества (2005—2012 гг.), в том числе под руководством профессора Е.В. Воскресенского в 2005—2008 гг., на VIII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 12—16 мая 2008 г.), III Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем"(Пенза, 15—16 октября 2008 г.), на Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 1—4 июня 2009 г.), IX научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании "с участием зарубежных ученых, (Саранск, 1—3 июля 2010 г.), на IV Международной научной школе-семинаре "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"(Саранск, 1—12 августа 2009 г.), на IX молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения —2010", посвященной 50-летию механико-математического факультета Казанского университета (Казань, 1—6 октября 2010 г.), на V Международной научной школе-семинаре "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"(Саранск, 1—12 июля 2011 г.), на ежегодных научных конференциях "Огаревские чтения "Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева (Саранск, 2005—2012 гг.), на ежегодных научных конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева (Саранск, 2005—2012 гг.).

Публикации. По результатам диссертационного исследования опубли-

ковано 17 работ, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 116 наименований. Общий объем диссертации составляет 137 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель и задачи, аргументирована научная новизна исследования, показана практическая значимость полученных результатов, представлены на защиту научные положения. Проведен исторический обзор, анализ литературы и научных публикаций по теме исследования.

Первая глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе, используя работу [37], рассмотрим управляемые математические модели, представленные в виде систем дифференциальных уравнений:

г\т

= А{г)х + В{1)и + Р(г), (0.0.1)

(ль

где ж 6 К", А{{) - непрерывная (п х п) - матрица, !?(£) - непрерывная (пхтп) - матрица, «бГ, ^ Е С ([0, Т], К"), г Е [0, Т].

Для системы (0.0.1) необходимо решить следующую задачу: перевести точку хо Е Мп в точку х\ Е Еп управлением и = и{£) за время Т > 0 по интегральной кривой системы (0.0.1). При этом возникает вопрос, какой вид имеют классы программных управлений и(Ь), переводящих точку х$ в точку х\ .

Определение 0.0.1. Систему (0.0.1) будем называть вполне управляемой в некотором классе К управлений и Е С ([0, Т], Кт); если для любых Х0,Х1 Е Кп существует управление и Е К, переводящее систему (0.0.1) из хо в х\ за время Т.

В дальнейшем будем считать, что точка х\ является фиксированной, и выясним вид программных управлений. В [37] доказана теорема 2.1 о необходимых и достаточных условиях управляемости системы (0.0.1). Следует заметить, что данная теорема справедлива только в конкретном классе управлений . Эти управления определяются формулой

и(г) = Б0*(£)с+ ?;(£), (0.0.2)

где Д)(£) = ; У(£) - фундаментальная матрица уравнения

у = Л(г)у,

нормированная в нуле У(0) = Е; ~ матрица, транспонированная к

Во(Ь), с 6 1п, г;(£) - га - мерная вектор-функция такая, что

т

= 0.

о

В случае невырожденности матрицы

т

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Десяев, Евгений Васильевич, 2012 год

Список литературы

Александров В.В. Оптимизация динамики управляемых систем: Учеб. пособие / В.В. Александров, В.Г. Болтянский, С.С. Лемак. — М.: Изд-во МГУ, 2000. - 304 с.

Афанасьев В.Н. Математическая теория конструирования систем управления / В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. — М.: Высшая школа, 1989. — 447 с.

Бахвалов Н.С. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. — М.: Наука, 1987. — 600 с.

Барбашин Е.А. Функции Ляпунова / Е.А. Барбашин. — М.: Наука, 1970. - 240 с.

Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Беллман. — М.: Изд-во иностр. лит., 1954. — 216 с.

Брайсон А. Прикладная теория оптимального управления / А. Брайтон, Хо Ю-Ши. - М.: Мир, 1972, - 544 с.

Былов Б.Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б.Ф. Былов, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман,

B.В. Немыцкий. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

Воскресенский Е.В. О равномерной ограниченности решений / Е.В. Воскресенский // Диф. уравнения. - 1988. - Т. 24, №. -

C. 346-348.

Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе / Е.В. Воскресенский. — Изд-во Саратовского ун-та. 1990. — 224 с.

Воскресенский Е.В. Аттракторы обыкновенных дифференциальных уравнений / Е.В. Воскресенский // Укр. мат. журн. — 2000. — Т. 52, №10. - С. 1311-1323.

Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения / Е.В. Воскресенский. - Саранск: СВМО, 2001. - 300 с.

Воскресенский Е.В. Методы стабилизации программных движений / Е.В. Воскресенский, Т.Ф. Мамедова // Вопросы атомной науки и

техники. Сер. матем. моделирование физических процессов. — 2002. — Вып. 4. - С. 45-54.

[13] Воскресенский Е.В. Оптимальная стабилизация программного движения / Е.В. Воскресенский // Труды средневолжского математического общества. - Саранск, 2003. - Т. 5, М. - С. 12-30.

[14] Воскресенский Е.В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений / Е.В. Воскресенский // Изв. вузов. Математика. — 2003. - Ш. - С. 17-26.

[15] Воскресенский Е.В. Классы управляемости линейных и близких к линейным систем дифференциальных уравнений /Е.В. Воскресенский, П.Г. Черников // Вестн. Морд, ун-та. — Саранск, 1997. — №2. — С. 122-125.

[16] Воскресенский Е.В. О стабилизации программного движения / Е.В. Воскресенский // Укр.мат. журн. - 2003. - Т. 45, № 11. -С. 1450-1458.

[17] Воскресенский Е.В. Глобальное выпрямление поля направлений и абсолютно равномерная стабилизация программного движения / Е.В. Воскресенский // Труды Средневолжского математического общества. - Саранск, 2004. - Т. 6, М. - С. 14-19.

[18] Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах / Е.А. Гребенников. — М.: Наука. — 1986. — 225 с.

[19] Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. — М.: Наука, 1970. - 534 с.

[20] Десяев Е.В. Постановка задачи о стабилизации управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеар-ной точки либрации Ы / Е.В. Десяев // Труды Средневолжского математического общества. — Саранск, 2006, — Т. 8, №1, С. 208—211.

[21] Десяев Е.В. Задача стабилизации управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации Ь1 / Е.В. Десяев // Материалы XI научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. — Саранск: СВМО, 2006, С. 22—25.

[22] Десяев Е.В. О построении синтеза управления для нелинейной управляемой системы за бесконечное время / Е.В. Десяев // Материалы научной конференции XXXVI Огаревские чтения. Прикладная математика и информатика. — Саранск: СВМО, 2007, С. 7—8.

[23] Десяев Е.В. О стабилизации программных движений системы дифференциальных уравнений /Е.В. Десяев // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных проблем: Сборник статей I Международной научно-технической конференции. — Пенза, 2006, С. 31-34.

[24] Десяев Е.В. О построении синтеза управления для линейно — возмущенной управляемой системы за бесконечное время / Е.В. Десяев // Труды Средневолжского математического общества. — Саранск, 2007,

- Т. 9, №1, С. 274-275.

[25] Десяев Е.В. О стабилизации программных движений линейной системы дифференциальных уравнений с возмущением /Е.В. Десяев // Материалы научной конференции XXXV Огаревские чтения. Прикладная математика и информатика. — Саранск: СВМО, 2006, С. 17—18.

[26] Десяев Е.В. О стабилизации орбитального движения космического аппарата / Е.В. Десяев // Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. — Самара: СамГТУ, 2009. — С. 45-48.

[27] Десяев Е.В. Управление доходностью и риском валютного портфеля методом Е.В. Воскресенского / Е.В. Десяев, Т.Ф. Мамедова // Труды Средневолжского математического общества. — Саранск: Из-во СВМО, 2009. - Т И, № 1. - С. 153-156.

[28] Десяев Е.В. Управляемость динамической системой за бесконечное время / Е.В. Десяев // Сборник статей IV Международной научно-технической конференции. — Пенза: Приволжский Дом знаний, 2009.

- С. 53-54.

[29] Десяев Е.В. О задаче стабилизации программных движений / Е.В. Десяев, Т.Ф. Мамедова // Труды Института системного анализа Российской академии наук. - Т. 42(2).- М.: 2009, - С. 32-34.

[30] Десяев Е.В. Об одном методе применение качественных методов интегрирования дифференциальных уравнений в теории управления / Е.В. Десяев // Материалы XIV научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского университета.

- Саранск: СВМО, 2010. - С. 21-23.

[31] Десяев Е.В. Гомеоморфизм начальных условий для асимптотически эквивалентных дифференциальных уравнений / Е.В. Десяев // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского "Лобачевские чтения - 2010", 1-6 октября 2010 г., - Казань. - С. 118-123.

Десяев E.B. О построении управления для нелинейных динамических систем / Е.В. Десяев, Т.Ф. Мамедова // Научно-технический вестник Поволжья. - 2012. №1 - С. 154-156.

Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы / Г.Н. Дубошин. - М., 1975. - 799 с.

Еругин Н.П. Приводимые системы / Н.П. Еругин // Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1946. - Т. 13, - С. 3-96.

Ивашкин В.В. Качественный анализ некоторых методов уменьшения астероидной опасности для Земли / В.В. Ивашкин, В.В. Смирнов // Астрономический вестник, 1993, т.27, №6, — С. 46—54.

Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение / В.И. Зубов. — Л.: Изд-во Ленинг. ун-та, 1957. — 241 с.

Зубов В.И. Лекции по теории управления / В.И. Зубов. — М.: Наука, 1975. - 496 с.

Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования / В.И. Зубов. —Л.: Машиностроение, 1974. — 335 с.

Зубов С.И. Математические методы стабилизации динамических систем / С.И. Зубов, Н.В. Зубов. — Санкт-Петербург: Изд-во С-Пб. унта, 1996. - 288 с.

Калман P.E. Об общей теории систем управления / P.E. Калман // Труды I Международного конгресса ИФАК, т.П. — М.: Изд-во АН СССР, 1961. - С. 521-547.

Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. — М.: Изд-во иност. лит., 1958. — 474 с.

Красовский А.Н. Синтез смешанных стратегий управления / А.Н. Кра-совский. — Свердловск: Изд-во Урал. Ун-та, 1988. — 366 с.

Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения / H.H. Красовский. - М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

Красовский H.H. Теория управления движением: Линейные системы / H.H. Красовский. — М.: Наука, 1968. - 476 с.

Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений (прил.). Теория устойчивости движения / H.H. Красовский, И.Г. Мал-кин. — М.: Наука, 1966. — 530 с.

[46] Красовский H.H. Управление динамической системой / H.H. Красов-ский. - М.: Наука, 1985. - 398 с.

[47] Красовский H.H. О некоторых задачах управления / H.H. Красовский // Тр. Мат. ин-та РАН, 1999. - Т. 224, - С. 208-217.

[48] Лидов М. Л. Полуаналитический метод расчета движения К А в окрестности коллинеарной точки либрации / М. Л. Лидов, М. А. Ваш-ковьяк, А. П. Маркеев // Космич. исслед. 1976. Т. 14. №6. - С. 909

[49] Лидов М.Л. Исследование траекторий полета на гало-орбиту в окрестности точки либрации Lz системы Земля-Солнце с использованием гравитации Луны / М.Л. Лидов, В.А. Ляхова, Н.М. Тесленко // Письма в АЖ. 1991. - Т. 17, №12. - С. 1124.

[50] Лукьянов С.С. Управление движением космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации круговой задачи трех тел с помощью светового давления / С.С. Лукьянов // Космич. исслед., 1981. Т.19. №4. - С. 518-527.

[51] Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов. — М. — Л.: Гостехиздат, 1950. — 471 с.

[52] Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстер-ник, В.И. Соболев. - М., 1965. - 520 с.

[53] Малкин И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. — М.: Наука, 1966. — 530 с.

[54] Матросов В.М. К теории устойчивости движения / В.М. Матросов // Прикл. матем. и механика. 1962. - Т. 26, №6. - С. 992-1002.

[55] Матросов В.М. Принципы сравнения с вектор-функцией Ляпунова. I-IV // Диф.уравнения. - 1968. - Т.4, N8. - С. 1374-1386; 1968. - Т.4, N10. - С. 1739-1752; 1969. - Т.5, N7. - С. 1171-1185; 1969. - Т.5, N12. - С. 2129-2143.

[56] Математическая энциклопедия. В 5 т./ Гл.ред. И.М.Виноградов. — М.:"Сов.эциклопедия", 1977.

[57] Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике / А.П. Маркеев. - М.: Наука, 1978. - 312 с.

[58] Павлов А.Ю. Об управляемости нелинейных систем / А.Ю. Павлов // Вестник Мордовского университета, — Саранск, 1995. №1. — С. 54—57.

[59] Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. - М.: Наука, 1983. - 392 с.

[60] Поляхова Е. Н. Обзор современных исследований по проблеме предотвращения астероидной опасности с помощью эффектов светового давления солнечной радиации /E.H. Поляхова // Астероидная опасность-96. 1996. - С. 101-102.

[61] Поляхова Е. Н. Динамические и астрономические аспекты проекта размещения солнечного экрана в первой точке либрации / Е. Н. Поляхова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1993. Вып. 1 (№1). - С. 111-121.

[62] Полякова E.H. Математическое обоснование теории орбитальной коррекции, выполняемой с помощью солнечного паруса /E.H. Полякова, A.C. Шмыров // Космич. исследования, 1989. Т. 27. Вып. 1. — С. 54— 63.

[63] Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре. — М. — «ТТ.: Гостехиздат, 1947. — 392 с.

[64] Рейссиг Р. Качественная теория нелинейных систем дифференциальных уравнений / Р. Рейссиг, Г. Сансоне, Р. Конти. — М.: Наука, 1974. - 316 с.

[65] Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных / В.В. Румянцев // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1957. - №4. - С. 9-16.

[66] Румянцев В.В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных / В.В. Румянцев, A.C. Озиранер. — М.: Наука, 1987. - 256 с.

[67] Руш Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа. - М.: Мир, 1960. - 300 с.

[68] Самарский A.A. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / A.A. Самарский, А.П. Михайлов. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с.

[69] Терехин М.Т. Управляемость в малом системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М.Т. Терехин // Дифференциальные и интегральные уравнения. Методы топологической динамики: Межвуз. сб. науч. тр. — Горький: Горьк. ун-т, 1987. — С. 48—52.

[70] Терехин М.Т. Устойчивость управления по параметру / М.Т. Терехин // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. — Рязань: Изд-во РГПУ, 1998. - Ш. - С. 86-96.

[71] Терехин М.Т. Об управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.Т. Терехин, Л.С. Землякова // Дифференци-

альные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. — Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. - С. 141-150.

Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. — М.: Наука, 1985. — 223 с.

Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. - М.: Мир, 1970. - 720 с.

Чезари JI. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / JI. Чезари. — М.: Мир, 1964. - 477 с.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения / Н.Г. Четаев. — M. — JL: Госте-хиздат, 1946. — 204 с.

Шмыров В.А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L\ / В.А. Шмыров // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 10. 2005. Вып. 2. - С. 193-199.

Ahmed N.U. Dynamic Systems and Control with Applications / N.U.Ahmed. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ,. 2006. - P. 468.

Akhmet M. Controllability of two-point nonlinear boundary-value problems by the numerical-analytic method / M. Akhmet, A. Zafer // Applied Mathematics and Computation 151, 2004. - P. 729—744.

Arara A. Controllability results for semilinear functional differential inclusions with unbounded delay / A. Arara , M. Benchohra, L. Gerniewicz, A. Ouahab// Math. Bulletin 3, 2006. - P. 157-183.

Balachandran K. Controllability of nonlinear systems in Banach spaces: A survey. Dedicated to Professor Wolfram Stadler, J. Optim. Theory Appl. 115, 2002. - P. 7-28.

Barnett S. Introduction to mathematical control theory / S. Barnett. O.U.P, Oxford, 1975.

Benchohra M. Controllability of neutral functional differential and integrodifferential inclusions in Banach spaces with nonlocal conditions / M. Benchohra, L. Gerniewicz, S. K. Ntouyas // Nonlinear Anal. Forum 7, 2002. - P. 39-54.

[83] Benchohra M. Controllability results for evolution inclusions with non-local conditions / M. Benchohra, E. P. Gatsori, L. Gerniewicz, S. K. Ntouyas // Z. Anal. Anwendungen 22(2), 2003. - P. 411-431.

[84] Chang-you Wang, Qi-hong Shi, and Shu Wang. Asymptotic Behavior of Equilibrium Point for a Family of Rational Difference Equations // Advances in Difference Equations/Volume 2010 (2010), Article ID 505906, 10 pages/doi:10.1155/2010/505906 // http: / / www.hindawi.com/journals/ade/2010/505906.html

[85] Chukwu E.N. Controllability questions for nonlinear systems in abstract spaces / E.N. Chukwu, S.M. Lenhart // J. Optim. Theory Appl. 68(3), 1991. - P. 437-462.

[86] Corduneanu C. Equations with unbounded delay / C. Corduneanu, V. Lakshmikantham // Nonlinear Anal., 4, 1980. - P. 831-877.

[87] Delves L.M. Numerical Solution of Integral Equations / L.M. Delves, J. Walsh // Oxford Univ. Press, 1974.

[88] Dollard J.D. Asymptotic behavior of solution of linear ordinary differential equations / J.D. Dollard, O.H. Friedman // J.of Math.Anal, and Appl. 1978. - Vol. 66. - P. 394-398.

[89] Effati S. Solution of boundary value problems for linear second orderODEs by using measure theory / S. Effati, A.V. Kamyad // J.Analysis, 1998. Vol. 6, - P. 139-149.

[90] Farquhar R. W. Trajectories and Orbital Maneuvers for the Fist Libration-Point Satellite / R.W. Farquhar, D.P. Muhonen, C.R. Newman, H.S. Heuberger // Journal of Guidance and Control, Vol. 3, November-December 1980, - P. 549-554.

[91] Fu X. Controllability of neutral functional differential systems in abstract space / X. Fu // Appl. Math. Comput. 141, 2003. - P. 281-296.

[92] Fu X. Controllability of abstract neutral functional differential systems with unbounded delay / X. Fu // Appl. Math. Comput. 151, 2004. - P. 299-314.

[93] Fu X. Existence of solutions for neutral functional differential evolution equations with nonlocal conditions / X. Fu, K. Ezzinbi// Nonlinear Anal. 54, 2003. - P. 215-227.

[94] Gachpazan M. A new Method for solving nonlinear second order differential equations / M. Gachpazan, A. Kerachian, A. V. Kamyad // Korean J. Comput. Appl. Math., 2000. Vol. 7, №2, - P. 333-345.

[95] Gatsori E.P. Controllability results for nondensely defined evolution differential inclusions with nonlocal conditions / E.P. Gatsori //J. Math. Anal. Appl, 297, 2004. - P. 194-211.

[96] Gomez G. The dynamics around the: collinear equilibrium points of the RTBP / G. Gomez, J.M. Mondelo // Phys. D. 157, 2001. №4, - P. 283321.

[97] Gomes G. Dynamics and mission design near libration points / G. Gomes, J. Llibre, R. Martinez, C. Simo. Vol. 1. River Edge, 2001. 443 p.

[98] Gomez G. Dynamics and mission design near libration points / G. Gomez, J. Llibre, R. Martinez, C. Simo. Vol. 2. World Scientific Publishing, 2001. 146 p.

[99] Gomez G. Dynamics and mission design near libration points / G. Gomez, J. Llibre, R. Martinez, C. Simo . Vol. 3. World Scientific Publishing, 2001. 262 p.

[100] Guermah S. Controllability and Observability of Linear Discrete-Time Fractional-Order Systems / S. Guermah, S. Djennoune, M. Bettayeb // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, Vol. 18, №2, 2008. - P. 213-222.

[101] Hernandez E. A Massera type criterion for a partial neutral functional differential equation, Electron / E. Hernandez// J. Differerential Equations 2002(40), 2002. - P. 1-17.

[102] Hoang N.S. A nonlinear inequality / N.S. Hoang, A.G. Ramm // Jour. Math. Ineq., 2, N4, 2008. - P. 459-464.

[103] Hong M. Complete Controllability of an N-Bus Dynamic Power System Model / M. Hong, C.C. Liu, M. Gibescu // IEEE transactions on circuits and systems-i: fundamental theory and applications, vol. 46, JV26, june 1999. - P. 700-713.

[104] Howell K.C. Families of orbits in the vicinity of the: collinear libration points / K.C. Howell // J. Astronaut. Sci. 49, 2001. №1, - P. 107-125.

[105] Huabin Chen, Xiaozhi Zhang, and Yang Zhao. The Existence and Exponential Stability for Random Impulsive Integrodifferential Equati ons of Neutral Type/ Advances in Difference Equations/Volume 2010 (2010), Article ID 540365, 18 pages/doi:10.1155/2010/540365/ http://www.hindawi.com/journals/ade/2010/540365.abs.html

[106] Jerri J. Introduction to Integral Equations with Applications / J. Jerri // London: Wiley, 1999.

[107] Lasiecka L. Exact controllability of semilinear abstract systems with application to waves and plates boundary control problems / L. Lasiecka, R. Triggiani // Appl. Math. Optimiz. 23, 1991. - P. 109-154.

108] Li G. Controllability of evolution inclusions with nonlocal conditions / G. Li, Sh. Song, Ch. Wu J. // Systems Sci. Complexity, 18(1), 2005. - P. 35-42.

109] Naito K. On controllability for a nonlinear Volterra equation / K. Naito // Nonlinear Anal. 18 (1), 1992. - P. 99-108.

110] Nakagiri S. Controllability and observability for linear retarded systems in Banach space / S. Nakagiri, R. Yamamoto // Inter. J. Control 49(5) (1989), - P. 1489-1504.

111] Quinn M.D. An approach to nonlinear control problems using the fixed point methods, degree theory and pseudo-inverses / M.D. Quinn, N. Carmichael // Numer. Funct. Anal. Optim. 7 (1984-1985), - P. 197-219.

112] Ramm A.G. Asymptotic Stability of Solutions to Abstract Differential Equations / A.G. Ramm // Journal of Abstract Differential Equations and Applications. 2010. Vol. 1, №, - P. 27-34.

113] Siljak D.D. Competitive economic systems: stability, decomposition and aggregation /D.D. Siljak // Proceeding of the 1973 IEEE Conference on Decision and Control. San Diego, California. 1973, December 5-7. — P. 265-275.

114] Triggiani R. On the stabilizability problem in Banach space / R. Triggiani // J. Math. Anal. Appl. 52(3), 1975. - P. 383-403.

115] Ye H. Stability theory for hybrid dynamical systems / H. Ye, A.N. Michel, L. Hou // IEEE Trans. Autom. Control, vol. 43, 1998. - P. 461-474.

116] Yoshizava T. Lyapunov's function and boundedness of solutions / T. Yoshizava // FunktiaI.Ekvas. 1959. - Vol. 2. - P. 71-103.