Асимптотические методы в математических моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Егорова, Дарья Константиновна

• Егорова, Дарья Константиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Егорова, Дарья Константиновна

Введение

1. Асимптотика решений нелинейных дифференциальных уравнений

1.1. Абсолютно равномерно ограниченные решения

2. Теорема Важевского абсолютно равномерно ограниченные peine-ния

1.3. Абсолютно равномерно ограниченные решения в ограниченной части пространства Жп

1.4. Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений и функции Ляпунова

2. Выпрямляемость дифференциальных уравнений управляемого движения

2.1. Выпрямление поля направлений

2.2. Оптимальная стабилизация при наличии мажоранты и абсолютно равномерно ограниченных решений

2.3. Оптимальная стабилизация программного движения при асимптотической устойчивости и абсолютно равномерно ограниченных решениях 67 3. Математическое моделирование динамики статистических результатов управляемых процессов

3.1. Моделирование в экономике

3.2. Моделирование в экологии

3.3. Моделирование в демографии 82 *

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические методы в математических моделях»

-s tt

Математические методы в изучении реальных процессов играют роль инструмента исследования. Как правило, этот инструмент используется в случаях, когда другие методы дают неудовлетворительный результат, а кое-когда даже невозможно их применение. Например, эксперимент недопустим — тогда математические методы исследования становятся основными. Это относится к изучению Вселенной, демографических процессов и многих других. Математическое моделирование применяется, в основном, по классической схеме А.Н.Тихонова [39] и поэтому, вообще говоря, оно применимо к одному и тому же объекту исследования много раз [39], а критерием приемлемости результатов исследования является практика. Только практика отвечает на вопрос об удовлетворительности результатов, поэтому при моделировании всегда должны быть четко выделены методы экспертизы. Наиболее эффективным методом в этом случае является знание эталонных решений. Могут быть и другие подходы [39].

Математическое моделирование, как правило, порождает структуру, которая четко не определяется по принадлежности определенным разделом математической науки. Более того, часто описание реального процесса порождает новую структуру, которая затем может дать развитие всей математической науке. Например, изучение Вселенной и планет солнечной системы породило теорию дифференциальных уравнений, теорию устойчивости и так далее [39], а потребности последних породили линейную алгебру [39] и топологию [39]. Другими словами, выступая как инструмент, математика при математическом моделировании сама обогащается. И это происходит непрерывно, наполняя Человечество новыми сведениями о строении Вселенной.

Математическое моделирование не является общедоступным инструментом. Его надо применять только тогда, когда без него нельзя обойтись. Именно в этом случае достигается наибольший эффект ее применения.

Диссертационная работа посвящена применению асимптотических методов в математических моделях. Это означает, что математическая структура, представляющая реальный процесс содержит дифференциальные уравнения, решения которых определены на полуоси [Т, +оо) и на ней следует описать функциональные свойства некоторой вектор-функции x(t) , которая характеризует в момент времени t расширенное фазовое пространство уравнения из математической модели.

Реальные процессы могут быть стихийными (неуправляемыми) либо управляемыми. В последнем случае на ход процесса можно влиять управляемыми параметрами, которые в дальнейшем называются допустимыми управлениями [13], а сам такой процесс в дальнейшем именуется управляемым процессом [13]. Такие модели широко известны в математической литературе. Здесь же широко применяется понятие оптимального управления [13].

При классическом определении оптимального управления минимизируется интегральный функционал, который выражается несобственным интегралом. При решении подобных задач, когда ищется управление стабилизирующее программное движение, причем наилучшим образом, имеются значительные успехи [25, 26]. Однако, в дальнейшем выяснилось [30], что классическое определение стабилизации и, следовательно, оптимального управления, не всегда существует при моделировании [31]. Например, если стабилизация движения осуществляется в смысле устойчивости по

Ляпунову, и при этом исключается асимптотическая устойчивость, то в этом случае классическое определение оптимального управления не имеет смысла. Такая ситуация возникает всегда, когда в достаточно малой окрестности программного движения имеются траектории, стремящиеся к определенному пределу при t —>■ +00 отличному от предельного положения программного движения; возникает всегда, когда уравнение движения dx = f(t,x,u),ueK, (0.0.1) имеет выпрямляемое поле направлений [15].

Именно изучению таких управляемых процессов посвящены первые две главы настоящей диссертационной работы.

Третья глава носит полностью прикладной характер, и в ней продемонстрированы задачи, о которых выше идет речь. Но и здесь имеются новые теоретические результаты, которые относятся к методам математического моделирования. Здесь указана единая система исследования динамических процессов, когда используются многолетние статистические данные. И на этой основе изучается динамика процесса. При этом главная задача — выяснение асимптотических свойств, на основании которых в дальнейшем делается прогноз изучаемых событий. Рассматриваются различные виды устойчивости решений уравнений, в основном по Ляпунову. Это важно для долгосрочного прогнозирования. Именно вопросы устойчивости исследуемых процессов в динамических системах являются главными, ибо на их основе улавливаются тенденции развития. Другие математические методы лишены, вообще говоря, таких способностей, так как исследование проводится на конечном промежутке времени, а исходным материалом являются так же статистические данные. В некоторых случаях аналитический вид функций, входящих в математические модели известен, тогда задача решается без наличия статистического материала. Это, например, происходит в математических моделях экономики, когда используется уравнение Валь- • раса [5]; в математических моделях экологии [6], здесь процесс описыва- > ется уравнением Вольтерра. Примечательно, что в общем случае наличие аналитического задания необязательно [11], но тогда необходимы статистические сведения, при помощи которых строится уравнение сравнения, и на этой основе исследуется динамика управляемого процесса, выражаемого уравнением (0.0.1).

Первая глава посвящена изучению асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений вида (0.0.1). В математической литературе • изучению различных видов устойчивости, свойств ограниченных решений, -существования периодических решений дифференциальных уравнений и связей между этими понятиями посвящено очень много работ разных авторов. Среди которых отметим классические работы А.М.Ляпунова [37], В.И.Зубова [24], В.М.Матросова [40-43], Н.И.Красовского [29, 30]. Задача существования периодических решений и аттракторов дифференциальных уравнений решалась в работах Е.В.Воскресенского [7-16]. В известных классификациях дифференциальных уравнений [55] рассмотрены только . дифференциальные уравнения, решения которых продолжимы либо вправо (t > to) , либо только влево (Т < t < to) . Вместе с тем, при решении задач о существовании полиномиальных аттрактов необходимо наличие ограниченных решений, которые не зависят от начальных данных, то есть t и tg не связаны никаким^ соотношениями [12].

Именно вопросы асимптотического равновесия, абсолютно равномерной ограниченности (равномерная ограниченность вправо и влево), связи асимптотического равновесия с абсолютно равномерной ограниченностью решений на всем пространстве Rn рассматриваются в первой главе. Кроме этого, здесь же прямым методом Ляпунова получены достаточные условия существования асимптотического равновесия, а. также достаточные условия абсолютно равномерной устойчивости. Предложен метод построения функций Ляпунова [2], удовлетворяющих полученным теоремам.

Вторая глава посвящена задачам оптимальной стабилизации программного движения. Оптимальная стабилизация программного движения в каноническом виде формулируется так [31]. Пусть уравнение движения имеет вид (0.0.1), где и € К, a; Gl", К — класс допустимых управлений, u(t) eV, f Е С™([Т, +оо) хГх Rm, Rn)(p, q > 0), /(£, 0,и) = 0.

Тогда надо найти щ Е К, такое допустимое управление, которое стабилизирует решение х = 0 уравнения (0.0.1), и при этом справедливо неравенство оо

J fo(s, x(s : to, x0, U0), u0(s, x(s : t0, x0, u0)))ds < t0 oo / fo(s,x(s : to, X0,u),u(s, x(s : to,x0, u)))ds, ||ar0|| < 5, Viz € К . 0

Здесь предполагается стабилизация по асимптотической устойчивости [3, 4] • и класс допустимых управлений К содержит лишь управления с обратной связью и = u(t, х) . Именно в таком виде рассматривается классическое определение которое, вообще говоря, имеет более широкий смысл [31]. /о — оо f fo(s,x(s : to,xo,u)7u(s,x(s : to,xo,u)))ds - функционал качества [31]. to

Однако в математических моделях, как правило, аналитическое задание функций / и /о не дается (быть может за исключением функции /о). Указываются лишь свойства уравнений (0.0.1), области их определения и области значений.

Например, для функции f(t,x,u) указывается мажоранта Л: f(t,x,u)\\ < X(t, М,|М|), (t,x)eScRn+\ueK и на основании скалярной функции Л описываются аналитические свойства неизвестной в модели функции /. В этом случае свойства решений уравнения (0.0.1) связываются с решениями известного уравнения dz = A(t,*,!>), z> 0, w=||ti||. (0.0.2)

Эта связь устанавливается, как правило, на основании теоремы Важевско-го.

Обсудим вопрос об устойчивости решения х = 0 уравнения (0.0.1). Будем считать, что управление и здесь произвольно, но фиксировано. Если решения этого уравнения определены на полуоси [Т, +оо) и решение z = 0 уравнения сравнения (0.0.2) устойчиво, то решение х = 0 уравнения (0.0.1), так же устойчиво [48]. Однако, в классической задаче стабилизации программного движения с качеством или без качества это решение должно быть асимптотически устойчиво. Решение z = 0 уравнения (0.0.2) никогда не может быть асимптотически устойчивым. Следовательно, стабилизировать движение х = 0 в классическом смысле, с использованием лишь только асимптотических свойств уравнения сравнения, не удастся.

В этом случае, первоначально надо исследовать условия асимптотической устойчивости решения х = 0 при наличии мажоранты Л. При этом важнейший вопрос здесь такой: может ли решение х = 0 быть, в этом случае, асимптотически устойчивым?

Рассмотрим такой пример. Для простоты будем предполагать при фикdef сированном управлении и функция f(t,x,u) = f(t,x). L ее " Л при х > О,

Пусть f(t, х) = < t2

О, при х = О, ее**

-, при х < 0. i2 dx

Тогда для соответствующего уравнения — = f(t,x) решение х = 0 dt асимптотически устойчиво. При этом \f(t,x)\ <

Следовательно, наличие мажоранты Л не исключает асимптотическую устойчивость решения х = 0 и это при существовании пределов lim x(t : t->+оо to, Хо) . Вместе с тем, из первой главы известно, что при условиях близких к условию Липшица в бесконечности сингулярная задача (+оо, 0) имеет единственное решение при любом xq , ||а;о|| < В этом случае асимптотическая устойчивость исключается. Отсюда следует, что классическая задача стабилизации программного движения требует расширенной формулировки. При этом расширение необходимо сделать так, чтобы новое определение включало и задачи стабилизации при отсутствии асимпте ^и-ческой устойчивости. В противном случае значительное число задач стабилизации не будут укладываться в теорию и практику управления движения. Именно этим задачам посвящена вторая глава, где исследования проводятся на основании математических исследований из первой главы. В третьей главе результаты исследований из первых двух глав применяются в математическом моделировании управляемых процессов. Реальные процессы рассматриваются во времени и описываются вектор-функцией x(t : to,xo,u), где xq - фазовые координаты, ~ начальный момент времени, и £ К, К - класс допустимых управлений, Т < to < +00 . Эта * вектор-функция характеризует процесс при произвольных начальных дан- ' ных и фиксированном управлении. Как правило, эта вектор-функция является абсолютно непрерывной.

Пусть реальный процесс обозначен символом (S) . Задача состоит в том, чтобы на конечном или бесконечном промежутке времени определить поведение этой вектор-функции. Если речь идет о программном движении, то типичные вопросы при этом следующие: знание асимптотических свойств, устойчивость, аналитическое выражение и так далее. Закон изменения этой •* вектор-функции определяется внутренними законами развития управляв- -мого процесса (5) . Для математического моделирования необходимо най- ' ти формулировку этих законов, и тогда при помощи математических методов формулируется модель.

Особенность предлагаемого подхода заключается в том, что предварительно на временном участке (конечном или бесконечном) собираются статистические данные о скорости изменения компонент вектор-функции x(t : to,xo,u). Как правило, для их сбора используются различные ис- * точники, и в результате для скоростей компонент получаются различные • промежутки изменения. Тогда на основе анализа этих промежутков полу- • чается неравенство dx ~dt А(*,|И|,Ы). (0.0.3)

Здесь функция Л получена на основе вышеуказанных статистических данных и она называется мажорантой для скоростей. Функция Л обладает известными аналитическими свойствами, она может быть получена, например, применением метода наименьших квадратов или других методов обработки статистических данных. Оценку вида (0.0.3) всегда можно получить. Однако, для анализа процесса (S) желательно, чтобы эта оценка была как можно более "плотной".

Далее, пусть

F : [Г, +оо) х S0 х К0 х К-+2So (0.0.4) многозначная функция, где р({0}, F(t, х, /х, и)) < A(t, |Н|, |Н|, |М1) (0.0.5) def и А = А(£, •) - функция типа Каратеодори [50], р(•) — метрика Хаусдор-фа, д - параметр.

Рассмотрим дифференциальное включение ' dx eF(t,x,n,u). (0.0.6)

Оно является математической моделью управляемого процесса (S) . Заметим, что здесь не уточняется сам процесс, важно то, что он описывается включением (0.0.6). Причем именно по вышеуказанному правилу строится » это включение. В качестве примера мы предварительно рассмотрим моделирование демографической ситуации. Тогда параметр ц соответствует географическим координатам региона, а функция Л определяется из многолетних статистических данных. И в этом случае демографическая ситуация описывается некоторым дифференциальным включением (0.0.6), удовлетворяющим неравенству (0.0.5).

Рассмотрим скалярное уравнение dz = A(t, z, цо, ио), jj>o = М, щ = |М|. (0.0.7)

Это уравнение называется уравнением сравнения для включения (0.0.6). В дальнейшем функция Л подбирается таким образом, чтобы для включения (0.0.6) выполнялись условия теоремы о существовании решения при всех (t0, хо), /I € Яо) и £ К и :е(£) - абсолютно непрерывная функция. Чаще всего удается получить условия теоремы Зарембы [50]. Тогда по теореме Важевского справедливо неравенство x(t: t0, х0, м, «ОН ^ zit: zo, Vo, Щ), ||:го|| <*o,t> t0, где z{t : to, zq, - решение уравнения сравнения (0.0.7). И в этом случае для анализа поведения решения x{t: to, ^сь и) можно применить исследования первых двух глав. Здесь через уравнение сравнения изучается асимптотика решений, устойчивость. Можно применять численные методы. Тогда на основе полученных результатов, в частности, для задачи демографии, можно решить такие важные задачи как прогнозирование динамики народонаселения, возможные катаклизмы и методы стабилизации ситуации. Аналогично, по этой же схеме будут решены задачи динамики популяции в экологии, задачи экономического прогнозирования, стабилизации производства и так далее.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Егорова, Дарья Константиновна

Заключение

Диссертационная работа построена по следующему принципу: первые две главы содержат новые результаты которые необходимы для решения основной задачи. Основная задача содержится в третьей главе "Математическое моделирование динамики статистических результатов управляемых процессов". Суть ее заключается в том, что на основе статистических результатов, которые подвержены управлению, строится математическая модель и на ее основе исследуется реальный процесс. Такая ситуация имеет место в экологии, динамике демографии и так далее. Подробное обоснование задачи изложено во Введении. В первых двух задачах уравнения управляемого движения записываются на основе законов Вальраса [5] и Вольтерра [6]. Далее, построенными методами исследуются интегральные кривые управляемых движений или, другими словами, программные движения. В третьей задаче уравнение управляемого движения неизвестно, но по априори имеющимся статистическим данным строится мажорирующая функция Л. Далее, по мажоранте Л определяется дифференциальное включение управляемого движения и в этом случае результаты исследования первых двух глав применяются для исследования программного движения. В этом заключается особенность и, как нам представляется, эффективность результатов полученных для исследования широкого класса реальных процессов, которые не допускают экспериментов для их анализа.

93

1] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для механико-матем. спец. вузов. — М.: Наука, 1971. — 239 с.

2] Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970. — 240 с,

3] Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во иностр. лит., 1954. — 216 с.

4] Былов Б.Ф. Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

5] Вальрас Л. Элементы чистой политической экономии или Теория общественного богатства / Пер. с фр. И.А. Егоров, А.В. Белянин. — М.: Изограф, 2000. — 421 с.

6] Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976. — 286 с.

7] Воскресенский Е.В. О равномерной ограниченности решений // Диф. уравнения. - 1988. — Т.24, N2. - С. 346-348.

8] Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. — Изд-во Саратовского ун-та, 1990. — 224 с.

9] Воскресенский Е.В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 1991. — N1. — С. 11-14.

10] Воскресенский Е.В. Функции Ляпунова и асимптотика решений возмущенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 1991. - N5. - С. 3-9.

11] Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. — Саранск: Из-во СВМО, 2001. — 300с.

12] Воскресенский Е.В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 2003. — N4. — С. 17-26.

13] Воскресенский Е.В. О стабилизации программного движения // Укр.мат. журн. - 2003. - Т.45, N11. - С.1450-1458.

14] Воскресенский Е.В. Оптимальная стабилизация программного движения // Труды Средневолжского математического общества. — 2003. — Т.5, N1. - С. 12-30.

15] Воскресенский Е.В. Глобальное выпрямление поля направлений и абсолютно равномерная стабилизация программного движения // Труды Средневолжского математического общества. — 2004. — Т.6, N1. — С. 14-19.

16] Воскресенский Е.В. Математическое моделирование демографической ситуации региона // Труды Средневолжского математического общества. - 2005. - Т.7, N1. - С. 14-20.

17] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.:Наука, 1967, 472 с.

18] Егорова Д.К. О построении функций Ляпунова // Труды Средневолжского математического общества. — 2003. — Т.5, N1. — С. 157-161

19] Егорова Д.К. Критерий абсолютно равномерной ограниченности решений // Математическое моделирование и краевые задачи. Тр.тринадцатой межвуз.конф. Ч.З. — Самара: СамГТУ. — 2003. — Ч.З - 2003 - Ч.З - С.46-48.

20] Егорова Д.К. Абсолютно равномерно ограниченные решения в ограниченной области пространства. Препринт N53. — Из-во СВМО, 2003 — С.10-12.

21] Егорова Д.К. Об исследовании решений дифференциальных уравнений на абсолютно равномерную ограниченность // Труды Средне-волжского математического общества. — 2005. — Т.7, N1. — С.276-279.

22] Егорова Д.К. Сухарев JI.A. Оптимальная стабилизация программных движений и математическое моделирование динамики статистических результатов управляемых процессов // Труды Средневолжского математического общества. — 2005. — Т7, N1. — С.263-276.

23] Еругин Н.П. Качественные методы в теории устойчивости // При-кл.мат. и мех. — 1955. — Т.19, N 5. — С. 599-616.

24] Зубов В.И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение.) — М.: Высш.шк., 1973. — 221 с.

25] Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975. — 496 с.

26] Зубов В.И. Теория оптимального управления. — Л.Судостроение, 1996.- 352 с.

27] Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.

28] Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. - М.: Наука, 1997.-288 с.

29] Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. -М.: Физматгиз, 1959, — 211 с.

30] Красовский Н.Н. Теория управления движением: Линейные системы. - М.: Наука, 1968. — 476 с.

31] Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений (прил.) // Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 530 с.

32] Красс И.А. Математические методы экономической динамики. — М.: Сов.радио, 1976. — 279 с.

33] Кузнецова И.В., Мамедова Т.Ф. Моделирование динамики выбросов вредных веществ // Труды Средневолжского математического общества. - 2005. - Т.7, N1. - С.248-250.

34] Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Историческая динамика. Взгляд с позиций синергетики. [Электронный ресурс]. — Режим дступа httpl lwww.keldysh.ru/papersl200Alprep85lprep2004i-S5.html.

35] Лакшмикантам В., Лила, Мартынюк А.А. Устойчивость движения: Метод сравнения. — Киев. Наука думка, 1991. — 248 с.

36] Ла-Саль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. — М.: Мир, 1964. — 168 с.

37] Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М. — Л.: Гостехиздат, 1950. — 471 с. t

38] Мамедова Т.Ф. Стабилизация экологических систем // Труды Средне-волжского математического общества. — 2004. — Т.б, N1. — С. 227-230.

39] Математическая энциклопедия. В 5 т./ Гл.ред. И.М.Виноградов. — М.:"Сов.эциклопедия", 1977.

40] Матросов В.М. К теории устойчивости движения // Прикл. матем. и механика. - 1962. - Т.26, N6. - С. 992-1002.

41] Матросов В.М. Принципы сравнения с вектор-функцией Ляпунова. I-IV // Диф.уравнения. - 1968. - Т.4, N8. - С. 1374-1386; 1968. - Т.4, N10. - С. 1739-1752; 1969. - Т.5, N7. - С. 1171-1185; 1969. - Т.5, N12. - С. 2129-2143.

42] Матросов В.М. Развитие метода функций Ляпунова и теории устойчивости // Труд II Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике. — М.: Наука, 1965. Вып. I. С. 112-125.

43] Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. — М.:Физматлит, 2001. — 384 с.

44] Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М. — Л.: Гостехиздат, 1949. 550 с.

45] Озиранер А.С., Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных // Прик. мат. и мех. - 1972. - Т.36, N 2. - С. 364-383.

46] Понтрягин JI.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1983. — 392 с.

47] Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных систем дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1974. — 316 с.

48] Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1960. — 300 с.

49] Сухарев Л.А. Методы стабилизации программных движений в математических моделях: диертация на соискание ученой степени кандидата физико-математичеких наук: 05.13.18: защищена 19.11.03 — Саранск, 2003. - 123 с.

50] Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 223 с.

51] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. - 720 с.

52] Якубович В.А. Об асимптитическом поведении решений дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. — 1946. — Т.63, N4. - С. 363-366.

53] Dollard J.D., Friedman О.Н. Asymptotic behavioer of solution of linear ordinary differential equations // J.of Math.Anal. and Appl. — 1978. — Vol. 66. - P. 394-398.

54] R'ad М/ Asymptotic relationships between the solutions of two systems of differential equations //Ann/Polon; Math. — 1974. - Vol.30. — P.119-124.

55] Yoshizava Т. Liapunov's function and boundedness of solutions // Funktial.Ekvas. - 1959. - Vol.2. - P. 71-103.