Анализ устойчивости и циклического поведения нелинейных управляемых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Мулкиджан, Алексей Сергеевич

• Мулкиджан, Алексей Сергеевич
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Мулкиджан, Алексей Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ СОЧЕТАНИЯ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА И ПРЕДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Устойчивость и инвариантность динамических систем

§2. Развитие комбинированного метода исследования устойчивости

§3. Алгоритмы стабилизации на основе функций Ляпунова и предельных

уравнений

Выводы по главе 1

Глава 2. АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

§1. Условия оптимальной стабилизации нелинейных управляемых систем.. 57 §2. Алгоритм оптимальной стабилизации нелинейных управляемых систем

§3. Условия оптимальной стабилизации многосвязных систем

§4. Алгоритм оптимальной стабилизации многосвязных систем

Выводы по главе 2

Глава 3. АНАЛИЗ ЦИКЛИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 1. Циклические свойства траекторий динамических систем в двумерном и

трехмерном случаях

§2. Условия существования предельных циклов

§3. Циклические свойства и устойчивость траекторий автономных

многомерных динамических систем

Выводы по главе 3

Глава 4. ОПТИМАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ МАНИПУЛЯЦИОННОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ

§ 1. Основные обозначения

§ 2. Синтез управления манипуляционной системой

§ 3. Иллюстрирующий пример

Выводы по главе 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ устойчивости и циклического поведения нелинейных управляемых систем»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы и обзор результатов, относящихся к теме диссертации. Развитие методов системного анализа управляемых процессов обусловлено как обширным кругом прикладных задач, так и интенсивным внедрением компьютерной техники. В условиях значительного усложнения структуры проектируемых промышленных систем и управляемых технических процессов перед фундаментальной наукой ставится проблема системного анализа сложных управляемых динамических систем, позволяющего находить условия безопасного их функционирования с учетом влияния параметров системы на ее устойчивость.

Во многих задачах технического характера структура управляемых динамических систем и их параметры известны с некоторой погрешностью, и к числу необходимых требований, предъявляемых к управляемым системам, относится их устойчивость (в том или ином смысле) по отношению к структурным и внешним возмущениям. К таким задачам относятся задачи проектирования и отработки сложных технических систем, например, роботов-манипуляторов и летательных аппаратов.

Для решения задач стабилизации сложных управляемых динамических систем используют упрощение (преобразование) их структурных схем. Наиболее распространенными упрощениями являются декомпозиция, децентрализация и агрегирование. Известно, что подбором обратных связей сложную управляемую динамическую систему можно представить в виде отдельных подсистем. В приложениях встречаются управляемые динамические системы, которые расчленяются на локализованные подсистемы, обладающие определенной степенью автономности в том смысле, что управление может осуществляться на уровне подсистем (на локальном уровне) и на уровне исходной системы (на глобальном уровне). К таким системам относятся математические динамические модели объединенных энергосистем, манипуляци-онных управляемых динамических систем и других систем.

При решении задач оптимальной стабилизации ключевую роль играют теоремы метода функций Ляпунова об устойчивости относительно всех и части фазовых переменных [11, 108]. На основе указанных теорем изучаемые задачи сводятся к определению вида подынтегральной функции в критерии качества, при этом управляющие воздействия выбираются таким образом, чтобы известная для системы без управления функция Ляпунова могла служить оптимальной функцией Ляпунова для той же системы, но при действии на нее дополнительных управляющих сил.

Для анализа динамических процессов управления техническими системами эффективным является использование теоретического аппарата теории устойчивости и качественной теории динамических систем. Методы, разработанные в трудах A.M. Ляпунова [75], Н.Е. Жуковского [46], Н.Г. Четаева [124-126], И.Г. Малкина [76-78], H.H. Красовского [59-61, 63], Е.А. Барбашина [16], В.И. Зубова [47-49], A.A. Шестакова [128-135] и других ученых, позволяют исследовать устойчивость состояний равновесия и предельных циклов в динамических управляемых системах.

Важным методом исследования устойчивости неавтономных управляемых динамических систем является метод предельных уравнений в сочетании с методом функций Ляпунова. Метод предельных уравнений дает возможность использовать для анализа изучаемой системы свойства ее предельной системы и исследовать предельную систему с помощью приемов топологической динамики. Предельные свойства динамических систем изучались, начиная с работ А.М. Ляпунова [75], А. Пуанкаре [102,103], в работах Дж. Селла [158, 159], 3. Артпггейна [143], Дж. Като [156], A.C. Андреева [5, 6, 8-9],

A.A. Мартынюка [80-82], A.A. Шестакова [128-135], И.Г. Башмакова [17], А.М. Матвиенко [83] и других ученых.

Метод предельных уравнений в сочетании с методом функций Ляпунова применяется также для решения задач оптимальной стабилизации управляемых динамических систем. Способы оптимальной стабилизации управляемых систем различных типов разработаны в трудах

Н.Н. Красовского [62], В.В. Румянцева [107-111], А.С. Андреева [7], О.В. Дружининой и Е.В. Щенниковой [40] и других ученых. В настоящее время исследования по оптимальной стабилизации направлены на обобщения имеющихся результатов при ослаблении условий, налагаемых на оптимальную функцию Ляпунова. Кроме того, актуальными являются вопросы оптимальной стабилизации многосвязных управляемых систем, используемых в различных областях техники.

Практические задачи, связанные с необходимостью оценки движения на конечном промежутке времени, повлекли многочисленные обобщения и стимулировали развитие понятия устойчивости, учитывающее те или иные специфические особенности процесса функционирования систем. Одной из разновидностей такого рода устойчивости является понятие технической устойчивости.

Известно большое число различных определений понятия технической устойчивости, однако при всем их разнообразии указанные определения имеют одни и те же предпосылки. А именно, в каждой постановке задачи о технической устойчивости: ^рассматривается дифференциальное уравнение х = g(x) или х = g(t, х), где хе Rn, t е R+; 2) вводится некоторое множество MQ(i) с Rn начальных возмущений x.o=x.(tQ), i = 1,2,...,п, и рассматриваются траектории, исходящие из точек xQ е M(j (iQ); 3) задается определенный интервал Г значений времени t; 4) вводится некоторое множество М (t) допустимых значений возмущений x(t) на Т.

Понятие технической устойчивости принимает конкретное содержание в зависимости от выбора множеств MQ{t), M^t) на Т и этот выбор имеет

существенное значение в отличие от постановки задачи об устойчивости по Ляпунову.

Начиная с работ Н.Г. Четаева [124-126] и Н.Д. Моисеева [87], вопросы технической устойчивости и задачи стабилизации до технической устойчивости различных типов управляемых систем рассматривались в работах

К.А.Карачарова и А.Н. Пилютика [51], Г.В.Каменкова [50], А.А. Мартынюка [80-82], К.А. Абгаряна [1], Н.Ф. Кириченко [54-55], Л. Вейса и Е. Инфанте [164] и других ученых. Несмотря на значительность результатов, достигнутых к настоящему времени, круг проблем в этой области далеко не исчерпан. В задачах технической устойчивости выбор вида областей допустимых состояний имеет существенное значение, в отличие от постановки задачи устойчивости в смысле Ляпунова, когда вопрос устойчивости или неустойчивости не зависит от выбора вида областей допустимых состояний. Система, обладающая технической устойчивостью, например, относительно области в форме и-мерного параллелепипеда может оказаться неустойчивой относительно области предельных отклонений в форме шара и наоборот. Поэтому в вопросах технической устойчивости, стабилизации и оптимальной стабилизации актуальна разработка различных критериев и условий, решающих один и тот же вопрос относительно разных форм областей допустимых состояний. Актуальность перечисленных проблем еще более возрастает в связи с необходимостью получения конструктивных результа-

о

тов. Под конструктивностью понимается совокупность условии, проверку которых можно выполнить с помощью конечного числа операций.

Изучение технической устойчивости систем и управления технической устойчивостью оказывается плодотворным в системном анализе динамических процессов, когда другие понятия устойчивости не соответствуют постановке задачи системного анализа. Как известно, в ряде случаев не представляется возможным рассматривать движение на бесконечных промежутках времени или особенности структуры фазовых множеств требуют использования понятия технической устойчивости относительно совокупности параметров, возникающих в прикладной задаче.

Важное значение в задачах анализа динамических систем имеют вопросы существования предельных циклов и автоколебаний. Предельным циклом называется замкнутая траектория в фазовом пространстве автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая является

а - или со -предельным множеством хотя бы для одной другой траектории этой системы. Автоколебания - незатухающие колебания в нелинейной динамической системе, амплитуда и частота которых в течение длительного промежутка времени могут оставаться постоянными, не зависят в широких пределах от начальных условий и определяются свойствами самой системы. Термин «автоколебания» был введен А.А.Андроновым [11, 12]. Динамические системы, которые могут совершать автоколебания, называются автоколебательными системами. К таковым относятся часы, генераторы электрических колебаний, электрический звонок, духовые и смычковые музыкальные инструменты и т.п. При определенных условиях автоколебания могут возникать и в динамических системах, нормальным состоянием работы которых является отсутствие автоколебаний. Простую автоколебательную систему можно представить состоящей из постоянного источника энергии, устройства, регулирующего поступление энергии в колебательную систему, и колебательной системы. Существенным является наличие обратной связи: регулирующее устройство, с одной стороны, управляет движением колебательной системы, а с другой - управление работой регулирующего устройства осуществляется движением колебательной системы. С теоретической точки зрения автономные автоколебательные системы с одной степенью свободы можно определить как такие системы, уравнения движения которых, характеризуются наличием на фазовой плоскости одного или нескольких предельных циклов. Важным характерным свойством автоколебаний является независимость их амплитуды в широких пределах от начальных условий, т.е. существование одной или нескольких областей начальных условий таких, что любым начальным условиям, принадлежащим какой-либо из этих областей, будет соответствовать одна и та же амплитуда автоколебаний.

Для двумерной динамической системы циклическое поведение решений рассматривалось, начиная с работ А. Пуанкаре [102, 103], А.М. Ляпунова [75], И. Бендиксона [144], Г. Дюлака [41], в многочисленных работах отечественных и зарубежных исследователей. В многомерном случае

для решения задачи нахождения условий наличия или отсутствия автоколебаний не существует общего метода, хотя ряд частных случаев изучен достаточно детально [36, 39, 141, 146, 152, 160-163]. Изучение циклического поведения динамических систем представляет интерес в задачах управления техническими процессами и промышленными предприятиями [127, 141, 153].

Объектом исследования являются нелинейные управляемые динамические системы, моделирующие поведение сложных технических систем и описываемые многомерными дифференциальными уравнениями.

Целью работы является разработка теоретических основ методики управления и анализа устойчивости и построение алгоритмов стабилизации сложных технических систем, включая манипуляционные робототехнические системы, а также анализ циклического поведения и выяснение условий возникновения предельных циклов в динамических системах.

Методы исследования. В диссертации использованы методы системного анализа, теории управления, качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости динамических систем.

Научная новизна. В диссертационной работе получены новые, а также обобщены, дополнены и уточнены известные результаты в теории управления и устойчивости управляемых динамических процессов. Получены условия асимптотической устойчивости экспоненциального и неэкспоненциального типов для состояний равновесия нелинейной автономной динамической системы, и на основе этих условий предложены алгоритмы анализа устойчивости. Дано развитие комбинированного (на основе сочетания свойств функций Ляпунова и предельных уравнений) метода анализа устойчивости управляемых систем. Предложены алгоритмы оптимальной стабилизации нелинейной управляемой системы. Дано применение алгоритма оптимальной стабилизации к изучению поведения робототехнических систем. Для динамической модели робота-манипулятора на уровне подсистем синтезировано стабилизирующее управление и на уровне исходной системы синтезировано оп-

тималыюе управление. Получены новые условия наличия предельных циклов в нелинейных динамических системах.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут найти применение в задачах исследования устойчивости манипуляцион-ных робототехнических и ракетно-космических систем управления, в задачах стабилизации программного движения, в задачах качественного исследования динамики промышленных систем, а также при проектировании, совершенствовании и отработке сложных технических систем, например, ракетно-космических и летательных аппаратов и т.д.

Ряд результатов диссертации получен в рамках работы по гранту РФФИ (проект № 10-08-00826-а) и в рамках госбюджетной научно-исследовательской работы Российской открытой академии транспорта Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ).

Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов, сформулированных в диссертации, обеспечивается корректностью принятых допущений и строгостью аналитических и качественных методов. Все утверждения диссертации обоснованы, приведены полные обоснования выводов.

Личный вклад автора в проведенное исследование. Представленные на защиту результаты диссертации получены автором самостоятельно. Результаты, опубликованные совместно с другими авторами, принадлежат соавторам в равных долях. Результаты других авторов, которые использованы при изложении, содержат ссылки на соответствующие источники.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на XX межвузовской студенческой конференции «Актуальные проблемы естествознания» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 2008 г.); на Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии Российского университета дружбы народов (Москва, 2008-2010 гг.); на XXI Международной студенческой конференции «Актуальные проблемы естествознания. Фундаментальная наука и транспорт» Московского государственного уни-

верситета путей сообщения (МИИТ) (Москва, 2009); конференции «Управление в технических системах УТС-2010» (Санкт-Петербург, ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2010 г.); Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» Российского университета дружбы народов (Москва, 2011); III Международной научной конференции «Фундаментальные проблемы системной безопасности и устойчивости», посвященной 50-летию полета первого в мире космонавта Ю.А. Гагарина (ЗАТО ГО «Звездный городок», 2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [57, 67, 90, 92, 93, 95, 133, 139] общим объемом 1,8 п.л., в том числе 5 работ в журналах и изданиях из перечня, рекомендованного ВАК РФ, объемом 1,3 п.л., 3 публикации в сборниках научных трудов и в сборниках тезисов и трудов конференций.

Структура диссертации. Диссертация содержит 130 страниц текста и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 164 наименования работ отечественных и зарубежных авторов. При ссылках на формулы, не входящие в текущий раздел, даются указания на соответствующие главы и разделы. Работа содержит 3 рисунка.

В первой главе «Анализ устойчивости управляемых динамических систем на основе сочетания функций Ляпунова и предельных уравнений» рассмотрены вопросы устойчивости и стабилизации управляемых динамических систем на основе сочетания функций Ляпунова и предельных уравнений. Дано развитие комбинированного метода исследования устойчивости нелинейных управляемых технических систем, базирующихся на сочетании свойств функций Ляпунова и предельных уравнений. Получены условия асимптотической устойчивости экспоненциального и неэкспоненциального типов для состояний равновесия нелинейной неавтономной динамической системы. На основе указанных условий разработаны алгоритмы исследования устойчивости.

Во второй главе «Алгоритмы оптимальной стабилизации управляемых систем» рассмотрены вопросы оптимальной стабилизации нелинейных управляемых систем и разработаны алгоритмы оптимальной стабилизации. Изучена нелинейная многосвязная управляемая динамическая система. Предложены алгоритмы оптимальной стабилизации нелинейной управляемой технической системы и даны условия оптимальной стабилизации многосвязной системы управления.

В третьей главе «Анализ циклического поведения нелинейных динамических систем» рассмотрены вопросы существования и устойчивости предельных циклов нелинейных динамических систем и проанализированы условия возникновения предельных циклов. Установлен необходимый и достаточный признак существования притягивающего предельного цикла для двумерной автономной динамической системы. Получены условия наличия и устойчивости предельных циклов в нелинейных многомерных динамических системах.

В четвертой главе «Оптимальная стабилизация программного движения манипуляционной управляемой системы» даны приложения разработанного во второй главе алгоритма оптимальной стабилизации к анализу поведения манипуляционной робототехнической системы. Рассмотрена описанная во введении диссертации модель функционирования робота-манипулятора, содержащего п звеньев, связанных поступательными либо вращательными сочленениями.

В главе осуществлен синтез управления для манипулятора с помощью децентрализованного управления на базе декомпозиции исходной системы, соответствующей возмущенному режиму. Синтезировано управление на локальном уровне и выяснено, какой вид должна иметь подынтегральная функция в критерии качества с учетом того, что соответствующие подсистемы асимптотически устойчивы. Рассмотрен иллюстрирующий пример.

Полученные условия устойчивости и построенные алгоритмы оптимальной стабилизации могут служить теоретической основой методики ана-

лиза устойчивости и оптимальной стабилизации некоторых типов управляемых технических систем.

Проведем обзорно-сравнительный анализ и дадим описание некоторых моделей технических систем, исследование которых можно осуществить разработанными в диссертации методами.

а) Анализ устойчивости на основе обобщенных уравнений в вариациях. Уравнения в вариациях для нелинейных динамических систем, начиная с работ А. Пуанкаре [102, 103], A.M. Ляпунова [75], изучались в многочисленных работах отечественных и зарубежных исследователей [20, 85]. Большой интерес при управлении сложными техническими системами представляют обобщенные уравнения в вариациях, включающие в себя наряду с линейными членами нелинейные члены, что позволяет исследовать устойчивость и качественные свойства более широкого класса управляемых систем.

При рассмотрении динамического уравнения отдельного блока нелинейной системы автоматического управления блок может иметь не одну входную величину, а несколько (например, при наличии дополнительных обратных связей). Кроме входной и выходной величин блока, может учитываться также внешнее воздействие. Пусть блок системы управления имеет входные величины xlf х2, выходную величину х3 и внешнее воздействие /, а динамическое уравнение блока имеет произвольный нелинейный вид

F(xl,x2,x2,x3,x3,x3,'x3) = ф(/,/) . (1)

В предположении, что установившийся процесс имеет место при некоторых постоянных значениях x^xf, х2=х2, х3=х3, / = /°, уравнение процесса для исследуемого блока будет иметь вид

F(^,x2°,0,x0,0,0,0) = 9(/°,0). (2)

Если переменные х{, х2, х3 изменяются так, что их отклонения Ах,, Ах2, Ах3 от установившихся значений (У\х2°,х30) остаются достаточно малыми, то

х\ (0 = Х1 + (0> *2 (0 = Х2 + ^2 (О, Х2=АХ2, *з(0 = хз° + Ах3(0, х3=Ах3, х3=Ах3, х3 = Дх3.

В результате разложения функции ^ уравнения (1) в ряд по степеням

малых отклонений (1) будет иметь вид

+

/ \0

ЧЭхз у

А^з +

/ \о

дх у ил з у

Ах3 +

Ах1 +

\0

дх \ил2 у

Лх2 +

4^2 у

Лх2 +

Ах3 +

4 3 у

уО&з у

Ах'з +

(3)

+ (члены высшего порядка малости) = ср(/,/),

где через

/ \0 кдхи

дР оо

обозначена величина —, вычисленная при хх = х^, х2=х2.

дх1

х2=0, х3=х3, ..., х3 = 0 (т.е. сперва берется частная производная от функции Е по хх, после чего в нее вместо всех переменных подставляются их

постоянные значения х°,х°,0,х°,...,0).

Все частные производные в уравнении (3) представляют собой некоторые постоянные коэффициенты. Они будут переменными во времени, если функция ^ содержит / в явном виде или если установившийся процесс в системе определяется переменными значениями х^О» хз (0 ■ Члены

высшего порядка малости в уравнении (3) состоят из произведений и степеней малых отклонений Ах15 Ах2,... с коэффициентами в виде смешанных частных производных и частных производных второго и высших порядков от функции Т7 по всем переменным.

В результате почленного вычитания из уравнения (3) установившегося состояния (2) и отбрасывания членов высшего порядка малости линеаризованное уравнение динамики данного блока будет иметь вид

/ \0

дх1.

(

г

+

а^

А*! +

л°

V

дх v 2 у

Дх2 +

\дх2 у

Лх2 +

а^

4.^3 у

Дх3 +

дх \илз у

Ах3 +

/ \0

Яг

У

АЗс3 +

/ \0

дх \илз у

Щ=ср(/,Л-<р(/°,0).

Это дифференциальное уравнение, так же как и (1), описывает тот же динамический процесс в том же блоке системы управления. Отличие этого уравнения от прежнего состоит в следующем: 1) оно является более приближенным, ибо в процессе его вывода были отброшены малые высшего порядка; 2) неизвестными функциями времени в этом уравнении являются не прежние величины хх, х2, х3, а их отклонения Ах1, Ах2, Дх3 от некоторых

установившихся значений , х2, х3°; 3) полученное уравнение является линейным относительно отклонений Ах1? Лх2, Лх2, Лх3 ..., Лх3 с постоянны-

ми коэффициентами

дГ удх1у

\о

а^

дх \ил2 у

или с переменными коэффициента-

ми, если ^ содержит / в явном виде, а также когда установившийся процесс определяется переменными величинами х,° (*), х2(0, х3°(0> например,

в программном регулировании.

Уравнение (4) является дифференциальным уравнением блока в вариациях. Проделав то же самое для всех блоков системы, получим в результате линеаризованные уравнения процесса управления в вариациях.

Задачей рассматриваемой системы управления является поддержка требуемого значения управляемой величины или изменение ее по определенной программе, которая либо заранее задана, либо поступает извне во время функционирования системы в зависимости от некоторых условий. Программы возможно задавать по времени (называемые временными): у = у{1) или задавать в текущих координатах (называемые параметрическими): у = у(т1,т2,...,тп), где т1,...,тп - физические величины, характеризующие

текущее состояние объекта в процессе управления.

Программа управления осуществляется регулятором неизбежно с некоторыми ошибками jt(/), определяемыми, как разность x(t) = упр (t) - y(t).

Ошибка системы (рассогласование) обусловлена погрешностями реальной аппаратуры и принципом построения регулятора. Понятие динамической ошибки x(t) может перейти в некоторые постоянные отклонения управляемой величины в установленном режиме как упр = const, называемое статистической ошибкой хст.

Нелинейной системой автоматического управления является система, содержащая хотя бы один блок, описываемый нелинейным уравнением. Нелинейные блоки разделяются на следующие виды: 1) блок релейного типа; 2) блок с кусочно-линейной характеристикой; 3) блок с криволинейной характеристикой любого очертания; 4) нелинейный импульсный блок; 5) логический блок; 6) блоки, описываемые кусочно-линейными дифференциальными уравнениями, в том числе с переменной структурой; 7) блок, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных и другие их комбинации; 8) нелинейный блок с запаздыванием, причем запаздывание понимается в смысле, указанном ниже, а нелинейность может иметь любой вид.

К линейным системам с запаздыванием относятся такие системы, которые отличаются от обыкновенных систем тем, что в одном или нескольких из своих блоков имеют запаздывание по времени начала изменения выходной величины (после начала изменения входной) на величину х, называемую временем запаздывания, при этом время запаздывания остается постоянным и во всем последующем функционировании процесса.

Как известно, различают статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

Общий метод составления уравнений для нелинейных управляемых систем состоит в следующем. Сначала производится линеаризация уравне-

ний всех блоков системы, для которых это допустимо, кроме существенно нелинейных блоков. Затем составляются уравнения этих последних блоков со всеми допустимыми упрощениями их характеристик.

В результате возникает система обыкновенных линейных уравнений, к которым добавляется одно-два (иногда более) нелинейных. В соответствии с этим обобщенную структурную схему любой нелинейной системы автоматического управления в случае одного нелинейного блока можно представить в виде, в котором линейная часть может иметь структуру любой сложности (с обратными связями и т.п.). В случае двух нелинейных блоков могут быть разные комбинации, в зависимости от того, в какие цепи системы они входят.

Часто при анализе нелинейных систем управления возможно выделить нелинейность так, чтобы она описывалась непосредственно уравнением между выходной и входной величинами

х2=Р(х{), (5)

которое может иметь любой вид (релейный, кусочно-линейный или криволинейный вид). Но иногда этого сделать нельзя, и возникает необходимость исследовать нелинейные дифференциальные уравнения вида

х2 рхх), х2 = ^ (х{) + Р2 (рх2 ),

2

Р(рх2,х2) = с1хи ^(/7 х2,рх2) + Р2(х2) = с1х1,

где р = — - оператор дифференцирования. Л

Имеются и более сложные случаи, когда обе величины (входная и выходная) входят под знак нелинейной функции раздельно:

Р(рх2,х2) = Р1(х1), ^ (рх2) + Р2(х2) = Р1(х1), (7)

или же совместно

Р(рх2,х2,х1) = 0, Р2х2 +/71(х2,х1) = 0. (8)

Совокупность нелинейных систем управления можно разбить на два типа. К первому типу нелинейных систем отнесем такие, в которых уравнение нелинейного блока приводится к любому из видов (5) - (7), т.е. когда под

знаком нелинейной функции стоит только входная величина (и ее производные), либо только выходная величина (и ее производные). При этом имеется в виду, что система в целом может быть приведена к одному нелинейному блоку. К этому типу сводится, например, также случай с двумя нелинейными блоками, которые могут быть объединены в один нелинейный блок. Сюда же относится и случай, в котором имеется два нелинейных блока (если их уравнения содержат под знаком нелинейности только входную величину х, например, вида (5) или (6)).

Второй тип блока нелинейных систем содержит системы с любым числом нелинейных блоков, когда под знаки нелинейных функций входят различные переменные, связанные между собой линейной передаточной функцией. Так будет в случае системы с одним нелинейным блоком вида (7) или (8), а также в системе с двумя нелинейными блоками, если в первом из них под знак нелинейности входит входная величина, а во втором - выходная. Система будет относиться ко второму типу, если под знаки нелинейности входят в обоих блоках, либо только входные, либо только выходные величины нелинейных блоков.

Второй тип нелинейных систем содержит также системы с двумя и более нелинейностями, в уравнениях которых под знаки нелинейных функций входят разные переменные, связанные между собой нелинейными дифференциальными уравнениями (т.е. связанные через линейные части и нелинейные блоки). К таким системам относится, например, система, если в ее уравнениях под знаками нелинейных функций находятся входные (или выходные) величины обоих нелинейных блоков, и многие другие системы.

Системы с логическими устройствами относятся к нелинейным системам второго типа. Отметим, что во всех случаях, когда под знак нелинейной функции входит какая-либо линейная комбинация разных переменных, их следует обозначать одной буквой, а данную линейную комбинацию учитывать при составлении общего уравнения линейной части системы.

Из всех уравнений линейных блоков, а также добавочных линейных выражений, получаемых при выделении нелинейности, составляется общее уравнение линейной части системы

Q(p)x1 = -R(p)x2, где Q{p) и R(p) - операторные многочлены. Передаточная функция линейной части системы определяется формулой

* о»-ад.

ЛР> Q(p)

Процессы в нелинейных системах имеют целый ряд весьма существенных особенностей, которые не встречаются в линейных системах. С учетом этих существенных особенностей вопрос об устойчивости системы становится более сложным. Кроме структуры системы и значений ее параметров для устойчивости того или иного установившегося процесса имеют значение, в отличие от линейных систем, также и начальные условия. Возможен новый вид установившегося процесса - автоколебания, т.е. устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой при отсутствии внешних колебательных воздействий. Если в системе возникают автоколебания, то установившееся состояние, соответствующее постоянному значению управляемой величины,

часто невозможно.

В общем случае в плоскости параметров систем могут быть не два вида областей (устойчивости и неустойчивости), как в линейных системах, а четыре вида: 1) область устойчивости равновесного состояния с постоянным значением управляемой величины; 2) область устойчивых автоколебаний; 3) область неустойчивости системы; 4) области, соответствующие другим, более сложным ситуациям.

б) Метод оптимального управления динамическим объектом и критерий безопасности движения.

Для такого динамического объекта, как международная космическая станция (МКС), исследуя оптимальное управление, следует исходить из условия, заключающегося в том, что этот объект меняется во времени, то есть

его параметры функционально связаны со временем. Пусть положение МКС в пространстве в каждый момент времени t полностью характеризуется набором ее параметров х1^), х2(0>-> Этими параметрами могут быть координаты, скорость, тяга двигательной установки и др. Запишем выражение

х(0 = (Л0,-, АО),

которое является фазовым вектором МКС. МКС снабжена органами управления, от положения которых зависит состояние МКС - ее поведение на орбите, а положение органов управления (имеется в виду рулевое устройство) характеризуется в каждый момент времени / набором параметров

и1 (0,-, "и(0- Вектор

м(0 = (м1(0,и2(0,-, «"(0)

является управляющим параметром МКС.

Предположим, что состояние МКС в данный момент времени / зависит от того, какие значения принимает управление м(Г) до момента времени г, и не зависит от будущего поведения управления. В зависимости от того, как выражается зависимость вектора фазового состояния х{$) от управления и({), можно рассматривать и другие динамические объекты, например,

управление движением (плаванием) авианесущего крейсера «Адмирал Н.Г. Кузнецов» в акватории мирового океана. Эту зависимость можно описать системой дифференциальных уравнений

*=:/(*,*, и). (9)

Тогда, зная значение управления и(0 в каждый момент времени можно определить траекторию исследуемого объекта х(Г) как решение дифференциального уравнения (9). Будем считать, что закон изменения вектора состояния х(0 в зависимости от изменения вектора управления м(0 задан (известен), то есть динамика функционирования МКС известна. Здесь следует отметить, что для МКС (или крейсера) управление м(?) не может быть про-

извольным, так как на него (управление) налагаются определенные ограничения, вытекающие из физического или внешнего смысла. Например, если и1 (0 - тяга двигателя МКС или скорость крейсера (зависит от состояния акватории мирового океана), то в каждый момент времени она должна удовлетворять ограничению

«ши ^"ЧО^тах-

При этом тяга и1 (0 двигателя МКС или скорость, качка крейсера могут принимать так же крайние значения ит{а и итах. Вектор управления и{г) удовлетворяет в каждый момент времени г ограничению

м(*)еи, (10)

где и - некоторое заданное множество. Для МКС (крейсера) это множество замкнуто, что не позволяет в общем случае исследовать поведение МКС (крейсера) классическими методами, например, вариационного исчисления. Помимо ограничения (10), могут быть наложены ограничения на зависимость управления МКС и(0 от времени. Например, из физического смысла допустимыми управлениями могут быть либо гладкие функции, либо непрерывные, либо кусочно непрерывные и т.п.

Будем считать, что класс допустимых управлений и{$) МКС задан.

Предположим, что задан начальный момент времени tQ и множество М0 допустимых начальных состояний МКС. Кроме того, необходимо управлять объектом так, чтобы в какой-то конечный момент времени ^, исследуемый объект перешел на некоторое множество М1 допустимых конечных состояний. Будем считать, что допустимое управление м(/) переводит МКС (исследуемый объект) из множества начальных состояний М0 на множество конечных состояний Мх на отрезке времени [Г0, ^ ], если соответствующее этому управлению м(?) фазовое состояние объекта х{$) удовлетворяет условиям

х(?0)еМ0, хЦх)еМх.

Здесь заметим, что конечный момент времени ^ может быть не фиксированным, а определяется из условия попадания вектора х(/) на конечное множество Мх. Допустимые множества М0, Мх заданы. Тогда управляемый исследуемый объект (МКС) можно перевести из множества М0 на множество Мх многими способами, и этот перевод на практике выбирается самый наилучший. Обычно предполагается, что каждому допустимому управлению и(/), заданному на отрезке |>0, ^ ], и соответствующей ему траектории х(/)

сопоставляется критерий %, оценивающий и^), х(/), т.е. задан функционал, который назовем критерием качества (безопасности) функционирования объекта и который можно представить в виде

Ч

хМО, *(/)) = //°0> ФУ) ж ■

ч

Тогда оптимальное управление исследуемым объектом (МКС) заключается в нахождении такого допустимого управления и (0? и соответствующей ему

Ж

траектории объекта х (/), переводящий МКС из множества начальных состояний М0 на множество конечных состояний М{, что при этом функционал качества (безопасности) %(и({), х(1)) принимает минимальное значение, т.е.

%(и (О,* (0) = пш13с(к(0,*(0)-

Здесь минимум берется по всевозможным допустимым управлениям и соответствующим траекториям , переводящим объект из множества М0 на множество конечных состояний Мх.

Пример 1. МКС движется по некоторой круговой орбите вокруг Земли. Тогда с определенной степенью точности поведение МКС можно описать системой дифференциальных уравнений (9). При этом координатами вектора фазового состояния х(?) могут быть координаты вектора положения МКС относительно неподвижной системы координат, связанной с Землей; коорди-

наты вектора скорости; углы, задающие ориентацию МКС; угловая скорость и др. Координатами вектора управления и(/) могут быть углы поворота струи реактивного двигателя, расход топлива в единицу времени и др. Выбирая те или иные значения координат вектора управления и({), можно заставить МКС двигаться по любой траектории х(7). Пусть МКС требуется перевести на новую круговую орбиту, т.е. подобрать управление м(7) таким образом, чтобы соответствующая траектория началась в момент времени t0 на первой круговой орбите и заканчивалась в некоторый момент времени tl на второй круговой орбите. При этом за множество начальных состояний М0 можно взять значение координат МКС на первой круговой орбите, например, допустимые начальные скорости и др., т.е. значение вектора х(?0). Аналогично, также можно поступить с множеством конечных состояний Мх. Критерием качества может быть общее количество топлива, затраченное на переход с первой орбиты на вторую. Таким образом, задача оптимального управления будет заключаться в выборе такого допустимого управления и(1) и соответствующей траектории х(/), чтобы перевод МКС с первой круговой орбиты на вторую осуществлялся с минимальным расходом топлива.

Пример 2. Рассмотрим движение авианосного крейсера «Адмирал Кузнецов» в водах Атлантического океана.

Предположим, что корабль находится в равновесии (ровном киле, или с небольшими допустимыми отклонениями в килевой и бортовой качке). Пусть у - отклонение от положения равновесия корабля. Тогда в этом случае качка корабля примет вид у + у = О. Будем иметь в виду, что при плавании на корабль действует управляющая сила, которая ограничена по величине, например, (условно) равная единице, т.е. \и\ < 1. Тогда уравнение управляемого корабля будет иметь вид у + у = и. Приведем это уравнение к виду (9) х = /(/, х, и), положив х1 = у, х2 = у. Тогда имеем

• 1 _ 2

* ' (11) х2 = -л;1 + и.

В данном случае фазовый вектор х = (х1, х2) имеет всего две координаты: х1 = у - отклонение корабля от положения равновесия и х = у - скорость отклонения. Положение равновесия при отсутствии управления, т.е. при и = О, задается условием х1 = 0, х2 = 0. Предположим, что при воздействии набегающей волны корабль отбрасывается в произвольное положение х°=(х^хд). Нахождение его в этом положении не желательно, так как в

этом положении он может приблизиться к порогу устойчивости по бортовой качке. Поэтому как можно скорее корабль следует вывести из этого положения - привести в состояние близкое к равновесию, выбирая для этого компенсирующую силу управления и(Г). Из физических соображений функция должна быть, например, кусочно гладкой. Таким образом, задача оптимального управления кораблем заключается в подборе такой кусочно-непрерывной внешней силы и(1), то есть управления, которая удовлетворяла

бы ограничению \и\ < 1, чтобы траектория движения (плавания) корабля х(0, соответствующая решению уравнения (И), перешла из начального состояния М0 = {х0} = {(*о>*о )} в положение равновесия ,/^={(0,0)} за наименьшее время.

в) Задача управления манипуляционными робототехническими системами.

Применение общей теории управления к сложным механическим системам, таким, как роботы, летательные аппараты, гидравлические системы и т.д., является чрезвычайно трудной задачей ввиду сложности и существенной нелинейности их математических моделей. Для достижения высокой скорости перемещения робототехнических систем и точности позиционирования необходимы как применение известных методов этой теории, так и разработка новых алгоритмов управления. Методы моделирования можно

классифицировать в соответствии с законами механики, на основе которых формируются уравнения движения. Принимая этот признак в качестве критерия, можно различать методы, основанные на уравнениях Лагранжа, Ньютона-Эйлера, Аппеля и др. Другим критерием может быть возможность решения с помощью данного метода прямой или обратной задачи динамики. Прямая задача динамики связана с определением движения робота при заданных управляющих силах и моментах; обратная задача динамики позволяет определить требуемые управляющие силы для выполнения заданного движения. Особенно ценными являются методы, позволяющие решать обе задачи динамики.

Рассмотрим механизм, содержащий п твердых тел (звеньев), связанных вращательными или поступательными сочленениями, причем между каждыми двумя соседними звеньями имеется одна степень подвижности. Первое сочленение обеспечивает перемещение первого звена относительно фиксированной системы координат Охуг, связанной с опорой.

Звено манипулятора представляет собой твердое тело, параметры которого определяются совокупностьюС{(К{, Д ), где К{ - обозначает множество кинематических, а Д - динамических параметров. Индекс I - порядковый номер звена в цепи, считая от опоры к схвату.

Множества Кл и Д могут быть определены различными способами.

В методах Ньютона-Эйлера локальные системы координат чаще всего привязаны к центрам масс звеньев, а их оси направлены вдоль главных осей инерции. Параметры, определяемые относительно таких систем координат, больше подходят для динамического анализа, на основе которого последовательности и Д определяются как

д=к-Д)>

где Ц - единичный вектор оси г-го сочленения; е(+] - единичный вектор (/ +1) -й оси в /-той системе координат; г1к - вектор, проведенный от центра

А;-го сочленения к центру масс г-го звена; т1 - масса г-го звена; = ^а^в) ~ диагональная матрица размера 3x3, содержащая

главные моменты инерции I -го звена.

Знак ~ означает, что вектора Щ и гш определяются по отношению к локальной системе координат, связанной с I -м звеном. Это декартова система координат, связанная с центром масс и с осями, ориентированными вдоль главных осей инерции. Единичные векторы этих осей обозначим как дл, и . На рис. 1 представлен пример, иллюстрирующий второе звено («плечо») манипулятора.

Рис. 1. Характерные векторы для звена манипулятора Относительное положение звеньев определяется координатами сочленений (обобщенными координатами манипулятора). В случае вращательного сочленения qi определяется как угол между проекциями векторов г._1 . и Гц на плоскость, перпендикулярную оси е, I -го сочленения. В случае

поступательного сочленения д1 представляет собой линейное перемещение г-го звена относительно (7 -1) -го звена. Положительное направление поворота для вращательных сочленений или перемещения для поступательных сочленений определяется направлением осей сочленения.

Динамическая модель манипуляционного механизма робота может быть представлена в виде [28]:

Р = Н(д, ¿)д + дтС(д, ¿)д + , (12)

где Я(д,¿0 - матрица пхп инерции системы; С{д,с1) - матрица пхпхп центробежных и кориолисовых эффектов; g(q,d) - вектор сил тяжести

размера п; ц = [дх,..., д2]Т - вектор обобщенных координат. Вектор ^ содержит геометрические и динамические параметры механизма (длины, массы, моменты инерции и т д.). Второе слагаемое в (12) может быть представлено в виде

~дтС\д,й)д

гр %%%

д С(д, сГ)д =

_дтСп(д^)д_

где С1 (д, сР), г = 1,..., п - матрицы размера п х п.

Матрицы динамической модели зависят только от обобщенных координат и параметров сочленений, от кинематических переменных К1 = ем, гй, ги гЧ1)и динамических параметров . Кроме того, векто-

ры совокупности кинематических переменных зависят от текущей конфигурации манипулятора, т.е. от обобщенных координат д1,...,дп. Для определения элементов матриц динамической модели требуется вычислить все эти векторы в абсолютной системе координат Охуг. Для этого используем формулу конечных поворотов векторов. Предположим, что механизм находится в начальном положении, при котором углы в сочленениях равны нулю. Пусть единичные векторы систем координат звеньев известны.

Обозначим их как qfj (j = 1,2,3; i = \,...,ri). Теперь выполним поворот всех звеньев механизма вокруг оси ех на угол qv Затем выполним поворот всех звеньев механизма, кроме первого, на угол q2 вокруг оси е2. Эта процедура повторяется вплоть до (/ - 1)-го сочленения. В достигнутом пространственном положении вектор обобщенных координат равен q = ..., q¿_i, 0,..., 0). Выполним теперь поворот части механизма, включающей звенья i, ¿ + 1, ..., п на угол q¡ вокруг оси et.

В соответствии с формулой конечных поворотов получаем, что после поворота на угол q¿ единичные векторы системы координат, связанной с i -м звеном, становятся равными

4ij =qfcosqi+qf)smqi+qf\ j = 1,2,3,

где qf = e¡ x Щ x ^ ), qf = et x q¡j , qf = (e, ■ q'y )ei,

причем q\j - единичный вектор j-й оси системы координат /-го звена перед поворотом на угол q¡. Если г'-е сочленение поступательное, то q'y = q¡j будет сохраняться. Отметим, что матрица Q¡ -Vliñii^ñ^ размера 3x3 определяет преобразование локальной системы координат i-го звена в абсолютную систему координат Oxyz. Если ei+l, rtí и ru+l - векторы в локальной

системе координат i-го звена, то в абсолютной системе они будут иметь вид

ei+i=Qei+b и гц+1 = Qirii+].

Если i-e сочленение поступательное, то вектор ги станет равным rü = Qyü + qiei. Таким образом, все требуемые векторы, связанные с множеством кинематических переменных, определены в абсолютной системе координат.

Динамический анализ механизма с использованием метода Ньютона-Эйлера предусматривает вычисление сил и моментов инерции, действующих на звенья механизма при его движении. Силы инерции определяются по за-

кону Ньютона, а моменты - из уравнений динамики Эйлера. Управляющие моменты и силы вычисляются при помощи метода кинетостатики. Этот метод объединяет многие законы механики, сформулированные с использованием рекурсивных соотношений. Преобразование этих рекурсивных соотношений в нерекурсивные позволяет получить элементы динамической модели

в замкнутой форме.

Матрицы динамической модели практически зависят только от обобщенных координат и параметров механизма. Чтобы сформировать их, необходимо определить кинематические переменные как функции обобщенных координат и затем использовать их скалярные и векторные произведения.

Предполагается, что робототехническая система состоит из механической части , имеющей п степеней подвижности, и приводов, а также что каждая степень подвижности приводится в движение одним приводом , г = 1,2,..., п. В составе приводов робототехнических систем могут использоваться электродвигатели постоянного тока, гидравлические сервоприводы и т.д.

Математическая модель механической части может быть записана в общем виде следующим образом [28, 29]:

Бм : р1 = Щя, + 4ТСМ, с1)4 + ¿0 = Щя, 4)я + Чя, я, Л), (13)

где е Я1 - момент или сила, действующие в г'-м сочленении механизма (7-й

степени подвижности);

Н1 :Яп х Я1 - вектор инерции;

С Яп х Я1 Япхп - матрица, учитывающая центробежные и кориолисовы эффекты;

gi: Яп х Я1 -» Я1 - гравитационные моменты (силы);

т

hi - определяется как hj(q,q,d) = q х СДд, d)q + gt(q, d), так что hj :Rn xRn xRl -»i?1 — центробежные, кориолисовы и гравитационные силы;

q е Ё1 - вектор относительных углов (или перемещений) механизма,

q-(qi, q2, —> qn)T, 4i соответствует i -й степени подвижности;

d € Rl - вектор параметров механизма (например, полезной нагрузки, коэффициентов трения и т.д.), который должен принадлежать ограниченной области допустимых значений параметров D, т.е. d eDczR1; / - множество I = {i: i = 1,2,..., п}.

Рассмотрим случай, когда все параметры механизма заранее не известны или когда некоторые из них меняются в пределах заданных допустимых границ (определяемых ограниченной областью D). Следует отметить, что в модели (13) должны учитываться также массы и моменты инерции приводов. Однако параметры инерции входят также в модели приводов, поэтому необходимо выделить соответствующие J'R из Нй, где J'R,~ момент инерции (масса) ротора двигателя i -го сочленения. Предположим, что модели приводов линейны в пространстве состояний и нелинейны по входному сигналу. Чтобы упростить синтез управления, преобразуем математические модели приводов к следующему виду:

81\х1=А\$У +Ъ\&)Ы(и1) + /Ч0г'Жг-5 V/e/, (14)

где х1 eR- вектор координат состояния г-го привода S'; щ - порядок математической модели привода S1;

• / И у Т"?

А :R' —»i? ' ' - матрица подсистемы; Ъ1 :Rli —» Rn> - вектор преобразования входного сигнала; fl :R1, —» Rn' - вектор преобразования нагрузки; и1 ei?1 - входной сигнал на привод S1;

М^еЯ1- нагрузка, действующая на 1-й привод (например, для двигателей постоянного тока М1 представляет собой нагрузку, действующую на выходной вал редуктора);

И(и1) - нелинейная функция входного сигнала и1 типа насыщения

Ы(и1) =

ит' и <-ит,>

и'т>

и1

< ит,

и1т, и'>и1т,

где и1т - верхний предел амплитуды входного сигнала;

9г е Я1' - вектор параметров /-го двигателя (коэффициент вязкого трения, статический момент, параметры электродвигателя и т.д.).

Предположим, что параметры 0* двигателей точно определены и могут меняться очень медленно, и что эти параметры должны принадлежать

некоторому ограниченному множеству параметров ©', 0г е 0г с Я1'.

Установим связь между моделью механической части робота Бм (13) и моделями приводов (14). Связь между перемещением вала двигателя /г-и угловым или линейным перемещением соответствующего сочленения является в общем случае нелинейной, т.е. можно записать

*/=£'( П>

где :Я1 -» Я1- некоторая нелинейная функция V.

В общем случае связь между обобщенной координатой механизма

и вектором состояния соответствующего привода х1 может быть записана в виде

где (?г: Я"' —> Я1. Подобным образом можно установить соотношение между нагрузкой М1, действующей на двигатель , и моментом или силой Р1,

развиваемой в сочленении механизма. В общем случае связь между Р; и М1 задается нелинейным преобразованием

где м/ : Я1 х Я1 -> Я1 нелинейная функция М{ и .

На рис. 2 представлено схематичное изображение модели манипуля-ционного робота.

Рис. 2. Схема модели манипуляционного робота Чтобы сформировать полную модель робототехнической системы 5* централизованного типа, объединим модель механической части систе-

мы SM и модели приводов S1. Централизованную модель можно представить в виде

S: x = Ad(x, в, d) + BD (х, 0, d)N(u), где xeRN - вектор состояния робототехнической системы,

x(t) = xlT(t),x2T(t),...,xnT(t)f ;

п

N- размерность полной робототехнической системы, N = ;

/=1

ueRn-вектор входных сигналов u(t) = (u\t),и1 (/),...,ип(tj)T; N(u) - вектор нелинейностей, N(u) = (N(ul), N(u2),N(un)T; Ad : Rn xRl xRl -> Rn - вектор, задаваемый как

Ad(x, 6, d) = [IN - F(0)z'(G(x)) ■ ff(G(x), d) G(x)]-1 • • [^(0) + F(Q)z'h(G(x) G(x), d)]; Bd\Rn xRl xRl —» R xn— вектор преобразования входных сигналов, задаваемый как BD(x, 0, d) - [IN - F{Q)z'(G(x)) • H(G(x), d G(x)]"1 • 5(0).

Задание роботу обычно формулируется с использованием координат его терминального устройства (схвата манипулятора) в абсолютной системе координат пространства S(t), называемых внешними. Координаты S(t) включают положение кисти, определяемое вектором положения p(t) конечной точки в абсолютной декартовой системе координат, и ориентацию схвата cp(i), которая может быть выражена различными способами. Связь

т т

между внешними координатами = (0>Ф (0] манипулятора и его обобщенными координатами q(t) задается соотношением

s(t) = /Mt))> (15)

где fs \Rn —> Rm - вектор-функция, m — размерность вектора S(t) внешних координат, S(t)eRm. Если пг = п, манипулятор не является избыточным и выражение (15) единственное, т.е для заданного q(t) может быть получен

единственный вектор S(t), и наоборот, при условии, что обратное преобразование невырожденное. Если т<п, манипулятор является избыточным и при заданном S(t) нельзя найти единственное решение для q(t), поэтому необходимо ввести некоторый дополнительный критерий для получения единственного решения.

Исходя из (15), система управления должна вычислять вектор q(i),

который соответствует заданному S(t). На тактическом уровне рассчитывается q(t) и посылается на исполнительный уровень управления. На последнем уровне должны вырабатываться команды на приводы сочленений, которые обеспечивают отработку переменных q(t) так, чтобы внешние

координаты соответствовали S(t).

Наиболее общей задачей робототехники может считаться задача практической устойчивости робота вблизи заданной траектории. Эта задача управления может рассматриваться как задача обеспечения практической устойчивости робототехнической системы в течение конечного интервала времени вблизи заданной номинальной траектории x°(t). Рассмотрим случай, когда все параметры робота d, 9 предварительно не могут быть определены или некоторые из них являются переменными. Мы делим параметры робота на две группы: d - параметры механической части робота, которые предполагаются переменными и неизвестными, а их изменения считаются относительно быстрыми; 0 - параметры приводов, которые меняются очень медленно. Предполагается, что можно изменениями параметров привода 0 пренебречь и выполнять их идентификацию предварительно. Таким образом, можно синтезировать управление, предполагая, что модели приводов предварительно определены и неизменны. При функционировании робота его система управления должна время от времени проверять параметры приводов 0 для определения их значений и, если они значительно изменяются, либо синтезировать новые коэффициенты обратных связей, либо фиксировать изменения параметров.

С другой стороны, некоторые параметры механической части робота могут значительно изменяться (например, полезная нагрузка). Поэтому при синтезе управления следует обращать внимание на изменения заранее неизвестных параметров. Нужно синтезировать управление, которое эффективно при всех ожидаемых изменениях параметров. Предполагается, что (Л е £), т.е. значения параметров должны принадлежать некоторому ограниченному множеству В допустимых значений параметров.

Задача управления на исполнительном уровне может быть поставлена следующим образом.

Необходимо синтезировать управление которое обеспечи-

вало бы для \/х(0)еХ7 и \fdeD выполнение х(0), \fteT, где X1 и X' - ограниченные области пространства состояния вблизи заданной номинальной траектории (/).

Такая постановка задачи управления является достаточно общей, чтобы охватить по возможности все задачи управления в робототехнике (на нижнем уровне управления).

К подходам к динамическому управлению манипуляционными роботами, относятся следующие [28, 29]: оптимальное управление; подход, основанный на решении обратной задачи; децентрализованное управление (разделение робототехнической системы на несколько независимых подсистем более низкого порядка, которыми можно управлять в отдельности); управление с помощью сигналов, хранящихся в памяти ЭВМ; подход на базе теории систем с переменной структурой и некоторые другие подходы. В настоящей диссертации развит подход на базе децентрализованного управления манипуляционными системами, динамика которых описывается конкретными классами многосвязных систем дифференциальных уравнений.

Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук профессору О.В. Дружининой за помощь в работе, постановки задач и обсуждение полученных результатов. Автор выражает благодарность доктору физико-математических профессору A.A. Шестакову, доктору технических наук профессору Е.П. Королькову, доктору физико-математических наук профессору Е.А. Гребеникову, доктору физико-математических наук профессору В.В. Дикусару, доктору физико-математических наук 3.JI. Шулимановой, кандидату технических наук Е.Г. Андриановой за ценные советы и замечания по диссертационной работе.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Мулкиджан, Алексей Сергеевич

Выводы по главе 4

С целью оптимальной стабилизации программного движения робототех-нической системы на уровне подсистем синтезировано стабилизирующее управление, определен вид подынтегральной функции в критерии качества переходного процесса с учетом того, что подсистемы асимптотически устойчивы. На уровне исходной системы синтезировано оптимальное управление. Рассмотрен пример применения полученных результатов для конкретной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения. Результаты могут быть использованы в задачах управления движением сложных пространственных механизмов, а также в задачах стабилизации движения многосвязных систем различных типов.

Рассмотренный подход к решению задач стабилизации программного движения манипуляционных систем можно распространить на нелинейные многосвязные системы с перекрывающимися декомпозициями. Для этого следует воспользоваться оптимальными функциями Ляпунова, определенными для каждой подсистемы, подынтегральная функция функционала качества (критерия качества) в интегральной форме исходной многосвязной системы выбирается с учетом устойчивости (асимптотической устойчивости) подсистем. Представляется, что разработанная модификация метода оптимальной стабилизации может быть использована и при анализе других типов технических управляемых систем.

Указанный подход может служить теоретической основой методики анализа устойчивости и оптимальной стабилизации ряда классов сложных технических систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты настоящей диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Модифицированы критерии асимптотической устойчивости и разработаны алгоритмы оптимальной стабилизации нелинейных управляемых систем. Дано развитие комбинированного метода исследования устойчивости нелинейных управляемых динамических систем, базирующегося на сочетании свойств функций Ляпунова и предельных уравнений.

2. Развит метод оптимальной стабилизации для случая многосвязных управляемых систем. Разработан алгоритм оптимальной стабилизации многосвязной системы управления. Разработаны теоретические основы методики анализа устойчивости и оптимальной стабилизации в моделях, описывающих функционирование манипуляционных робототехнических систем.

3. Получены условия асимптотической устойчивости состояний равновесия нелинейной неавтономной динамической системы. На основе указанных условий разработаны алгоритмы исследования устойчивости.

4. Получены условия наличия предельных циклов в нелинейных динамических системах общего вида. Установлен необходимый и достаточный признак существования притягивающего предельного цикла для двумерной автономной динамической системы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Мулкиджан, Алексей Сергеевич, 2012 год

ЛИТЕРАТУРА

1. АбгарянКА. Введение в теорию устойчивости движения на конечном интервале времени. М.: Наука, 1992.

2. Александров А.Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004.

3. Александров А.Ю., Платонов A.B. Устойчивость движений сложных систем. СПб: НИИ Химии СПбГУ, 2002.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

5. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем // ПММ. 1979. Т. 45. Вып. 5. С. 796-805.

6. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 2. С. 225-232.

7. Андреев A.C., Румянцев В.В. О стабилизации движения нестационарной управляемой системы // Автоматика и телемеханика, 2007. №8. С. 18-31.

8. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости на основе предельных уравнений // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 253-259.

9. Андреев A.C. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. Ульяновск: УлГУ, 2005.

10. Андронов A.A., Витт A.A., ХайкинС.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.

11. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон НИ., МайерА.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

12. Андронов A.A., Леонтович Е. А., Гордон И.И., МайерА.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

13. АнтончикB.C. Методы стабилизации программных движений. СПб.: СПбГУ, 1998.

1-4. Афанасьев В.П. Аналитическое конструирование непрерывных систем управления. М.: РУДН, 2005.

15. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.В. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.

16. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1984.

17. Башмаков КГ. Об управлении динамической системой // Проблемы динамики подвижного состава и устойчивости движения динамических систем. Сб. науч. трудов. М.: ВЗИИТ, 1990. С. 118-120.

18. БеллманР. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Эдиториал УРСС, 2003.

19.БеллманР., ГликсбергК, ГроссО. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. М.: ИЛ, 1962.

20. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.

21. Бородакий Ю.В., Лободинский Ю.Г. Основы теории систем управления (исследование и проектирование). М.: Радио и связь, 2004.

22. БиркгофДж. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

23. Валеев К.Г., Финин Г. С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1981.

24. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

25. Волкова В.Н., Денисов A.A. Теория систем и системный анализ. М.: Юрайт, 2010.

26. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

27. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001.

28. Вукобратович М., СтокичД. Управление манипуляционными роботами. М.: Наука, 1985.

29. Вукобратович М., СтокичД, Кирчански Н.. Неадаптивное и адаптивное управление манипуляционными роботами. М.: Мир, 1989.

30. Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов Ф.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.

31. Гальперин Е.А., Красовский H.H. О стабилизации установившихся движений нелинейных управляемых систем // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 6. С. 9881007.

32. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

33. Дружинина O.B. Индексно-дивергентный метод исследования устойчивости нелинейных динамических систем. М.: Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН, 2007.

34. Дружинина О.В. Методы анализа устойчивости и динамической прочности траекторий нелинейных дифференциальных систем. М.: Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН, 2008.

35. Дружинина О.В., Климачкова Т. С. О методе предельных уравнений исследования управляемых динамических процессов // Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32(1). С. 54-58.

36. Дружинина О.В., Климачкова Т.С. О существовании предельных циклов и автоколебаний в нелинейных динамических системах // Доклады РАН. 2006. Т. 409. № 3. С. 328-332.

37. Дружинина О.В., Шестаков A.A. О понятиях орбитальной устойчивости и фазовой устойчивости движений динамической системы // Доклады РАН. 1997. Т. 355. №3. С. 339-341.

38. Дружинина О.В., Шестаков A.A. О предельных свойствах асимптотически устойчивых по Ляпунову и асимптотически прочных по Жуковскому траекторий динамических систем // Доклады РАН. 2006. Т. 409. №2. С.185-190.

39. Дружинина О.В., Шестаков A.A. Необходимые и достаточные условия существования автоколебаний в конечномерной непрерывной динамической системе // Доклады РАН. 2008. Т. 418. № 1. С. 37-41.

40. Дружинина О.В., Щенникова Е.В. О задаче оптимальной стабилизации систем с однородными главными частями // Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. 2010. Т. 49(1). С. 20-25.

41. ДюлакГ. Предельные циклы. М.: Наука, 1977.

42. Евтушенко Ю.Г. Методы оптимизации. М.: Наука, 1982.

43. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. Применение метода функций Ляпунова для исследования сходимости численных методов // ЖВМ и МФ. 1975. Т. 15. № 1.С. 101-112.

44. Жабко А.П., Прасолов A.B., Харитонов B.JJ. Сборник задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений. М.: Высшая школа, 2003.

45. Жуков В.П. Исследование периодических режимов в нелинейных системах // ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 2. С. 302-305.

46. Жуковский Н.Е. О прочности движения // ПСС. Т. 1. M.-JL: ОНТИ НКТП, 1937. С. 110-208.

47. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

48. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, 1974.

49. Зубов В.К Устойчивость движения. Методы A.M. Ляпунова и их применение. М.: Высш. шк., 1973.

50. Каменков Г.В. Избранные труды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1972.

51. Карачаров К.А., ПилютикА.Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1962.

52. Карлов Н.В., Кириченко H.A. Колебания, волны, структуры. М.: Физмат-лит, 2003.

53. Катулев А.Н., Северцев H.A. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. М.: Наука, 2000.

54. Кириченко Н.Ф. Некоторые задачи устойчивости и управляемости движения. Киев: Изд-во Киев, ун-та, 1972.

55. Кириченко Н.Ф. Введение в теорию стабилизации движения. Киев: Вища школа, 1978.

56. Климачкова Т. С. Об условиях наличия предельных циклов и автоколебаний для нелинейных динамических систем непрерывного и дискретного типов // Тез. докл. Международного конгресса «Нелинейный динамический анализ-2007». СПб.: СПбГУ, 2007. С. 232.

57. Климачкова Т.С., Мулкиджан A.C. Об управлении технической устойчивостью и стабилизация динамических систем на конечном интервале времени // Фундаментальные проблемы системной безопасности: Сб. статей. Вып. 2 / Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН. М.: Вузовская книга, 2009. С. 264-268.

58. Косое A.A. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. №10. С. 1432-1434.

59. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

60. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

61. Красовский H.H. О поведении в целом интегральных кривых систем двух дифференциальных уравнений// ПММ. 1954. Т. XVIII. С. 735-737.

62. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений //В кн. МалкинИ.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. С. 475-515.

63. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

64. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977.

65. Ла Салль Ж. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

66. Леонов А.Г. Военно-техническое сотрудничество с иностранными государствами по совместному созданию образцов военной техники. М.: Научный мир, 2009.

67. Леонов А.Г., Мулкиджан A.C. Анализ устойчивости управляемых систем на основе обобщенных уравнений в вариациях // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем. 2010. Т. 53(3). С. 55-60.

68. Леонов Г.А. Методы стабилизации линейных управляемых систем. С.-Пб.: Изд-во С.-Петербург, гос. ун-та, 2002.

69. Леонов Г.А. Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2006.

70. Леонов Г.А., Пономаренко Д.В. Критерии орбитальной устойчивости траекторий динамических систем// Изв. вузов. Сер. матем. 1993. № 4. С. 88-94.

71. Лётов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз, 1962.

72. Лётов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981.

73. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961.

74. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.

75. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. M.-JL: Гостех-издат, 1955.

76. Малкин КГ. Об устойчивости периодических движений динамических систем// ПММ. 1944. Т. 8. Вып.4. С. 327-331.

77. Малкин КГ. Существование функций Ляпунова // Изв. Казанского физ.-матем. общества. 1929/30. III.4. С. 51-62.

78. Малкин КГ. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

79. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

80. МартынюкА.А. Практическая устойчивость движения. Киев: Наукова думка, 1983.

81. Мартынюк A.A., КатоДж., Шестаков A.A. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990.

82. Мартынюк A.A., Лобас Л.Г., Никитина Н.В. Динамика и устойчивость движения колесных транспортных машин. Киев: Техника, 1981.

83. Матвиенко A.M., Багрова А.К Об устойчивости решений неавтономного дифференциального уравнения, исследуемого с помощью предельных уравнений // Вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Самарканд: СамГУ им. А. Навои, 1984.

84. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

85. Матросов В.М., АнаполъскийЛ.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980.

86. Меркин ДР. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1987.

87. Моисеев НД. О некоторых методах теории технической устойчивости // Труды Воен.-возд. академии им. Жуковского. 1945. Вып. 135.

88. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.

89. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972.

90. Мулкиджан A.C. Исследование математических моделей, описывающих циклические процессы промышленного производства // Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высо-

котехнологичных систем». М.: Российский университет дружбы народов, 2011. С. 268-270.

91. Мулкиджан A.C. Применение моделей с флуктуациями при разработке методов и технологий управления промышленными предприятиями // Наукоемкие технологии. 2010. Т. 11. № 2. С. 53-58.

92. Мулкиджан A.C. О циклических свойствах траекторий нелинейных динамических систем // Труды Института системного анализа Российской академии наук. 2010. Динамика неоднородных систем. Т. 53(3). С. 73-77.

93. Мулкиджан A.C. Устойчивость предельных циклов в динамических моделях промышленных и технических процессов управления // Тез. докладов XLVI Всероссийской конф. по проблемам математики, информатики, физики и химии. М.: Российский университет дружбы народов, 2010. С. 84-85.

94. Мулкиджан A.C., Дружинина О.В. Об алгоритмах поиска максимума технологического темпа роста // Труды института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32(3). С. 192-198.

95. Мулкиджан A.C., Дружинина О.В. Устойчивость динамических моделей промышленных и технических процессов управления // Материалы конференции «Управление в технических системах» (УТС-2010). СПб.: ОАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор", 2010. С. 171-174.

96. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.

97. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

98. Петрова С.И., Климачкова Т.С., Дружинина О.В. О предельных свойствах нелинейных динамических систем // Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. 2009. Т. 42(1). С. 25-30.

99. Подчукаев В.А. Аналитические методы теории автоматического управления. М.: Физматлит, 2002.

100. Поляков Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

101. Попов ЕЛ. Теория нелинейных систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1979.

102. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.:ГТТИ, 1947.

103. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1971, 1972.

104. Разумихин Б. С. Физические модели и методы теории равновесия в программировании и экономике. М.: Наука, 1975.

105. РейссигР., СансонеГ., КонтиР. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

106. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.

107. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения// Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука, 1968. С. 7-66.

108. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // Прикл. матем. и механика. Т. 34. Вып. 3. 1970. С. 440-456.

109. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: Вычислительный Центр АН СССР, 1967.

110. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения// Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 5. С. 739-776.

111. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабильность движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

112. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

113. Самочкин В.И. Гибкое развитие предприятия. Анализ и планирование. М.: Дело, 1999.

114. Салуквадзе М.Е. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора при постоянно действующих возмущениях// Автоматика и телемеханика, 1962. Т. 23. № 6. С. 721-731.

115. Северцев H.A., Бецков A.B. Системный анализ теории безопасности. М.: ТЕИС, 2009.

116. Сибирский КС. Равномерная аппроксимация точек и свойства движений в динамически предельных множествах // Изв. АН Молдавской ССР. 1963. № 1.С. 38^18.

117. Солодовников В.В., Семёнов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974.

118. ТахаХ. Введение в исследование операций. Т. 1, 2. М.: Мир, 1985.

119. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977.

120. ХакенГ. Синергетика. М.: Мир, 1980.

121. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

122. Хитрое Г.М. К задаче стабилизации в критических случаях // Теория устойчивости и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1979. С. 136-142.

123. ЧезариЛ. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

124. ЧетаевН.Г. Об одной мысли Пуанкаре// Сб. научных трудов Казанского авиац. ин-та. 1935. № 3. С. 3-6.

125. Четаев Н.Г. О некоторых вопросах, относящихся к задаче об устойчивости неустановившихся движений // ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 1.

126. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М:. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1955.

127. Шаповалов В.И., Каблов В.Ф., Башмаков В.А., Аввакумов В.Е. Синерге-тическая модель устойчивости средней фирмы // Синергетика и проблемы теории управления. М.: Физматгиз. 2004. С. 454-464.

128. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Изд-во УРСС, 2007.

129. Шестаков A.A. О понятиях орбитальной устойчивости и прочности траекторий динамических систем // Колебания, прочность и устойчивость движения в задачах механики транспортных систем. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 1998. С. 4-8.

130. Шестаков A.A. Прямой метод Ляпунова как метод локализации функциями Ляпунова предельных множеств неавтономных динамических процессов // Функции Ляпунова и их применения. АН СССР. Сибирское отд. Иркутский вычислительный центр. Новосибирск: Наука, 1987. С. 14-48.

131. Шестаков A.A., Дружинина О.В. Метод функций Ляпунова для исследования диссипативных автономных динамических процессов // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 8. С. 1008-1015.

132. Шестаков A.A., Дружинина О.В. Об асимптотической прочности устойчивого по Пуассону компактного инвариантного множества динамической системы // Доклады РАН. 2009. Т. 249. № 2. С. 191-195.

133. Шестаков A.A., Мулкиджан A.C. Исследование устойчивости и стабилизация нелинейных управляемых систем на основе функций Ляпунова и предельных уравнений // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем. 2010. Т. 53(3). С. 95-106.

134. Шестакое A.A., Степанов А.Н. Индексные и дивергентные признаки устойчивости особой точки автономной системы дифференциальных уравнений// Дифференц. уравнения. 1979. Т. 18. №4. С. 650-661.

135. Шестаков A.A., Черкашин Ю.М., Дружинина О.В. Устойчивость и прочность движения детерминированных динамических систем железнодорожного транспорта // Транспорт: Наука, техника, управление. 2003. № 12. С. 10-15.

136. ШшъякД.Д. Децентрализованное управление сложными системами. М.: Мир, 1994.

137. Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Асимптотическая устойчивость нулевого решения сложной системы относительно части переменных// Вестник Мордовского ун-та. 1998. № 3-4. С. 72-75.

138. Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Оценки погрешности линеаризации относительно части и всех фазовых переменных // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 1.С. 132-133.

139. Щенникова Е.В., Дружинина О.В., Мулкиджан A.C. Об оптимальной стабилизации многосвязных управляемых систем // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем. 2010. Т. 53(3). С. 99-102.

140. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1982.

141. ЭрроусмитД., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986.

142. Arrow К., Hurwicz L. On the stability of the competitive equilibrium //Econometrica. 1958. V. 26. P. 522-552.

143. ArtsteinZ. Stability, observability and invariance// J. of Differential Equations. 1982. V. 44. P. 224-248.

144. Bendixonl. Sur les courbes définis par des equations différentielles // Acta Mathematica. 1901. V. 24. P. 1-88. (Русский перевод первой главы: И. Бендиксон. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями //УМН. 1941. №9.)

145. Chicone C., Liu W. Asymptotic phase revisited // J. Differential Equations. 204. 2004. P. 227- 46.

146. Cronin J. A criterion for asymptotic stability // J. Math. Anal. Appl. 1980. V. 74. P. 247-269.

147. Dafermos C.M. An invariance principle for compact processes// J. of Differential Equations. 1971. V. 9. P. 239-252.

148. Dafermos C.M. Applications of the invariance principle for compact processes // J. of Differential Equations. 1971. V. 9. P. 291-299.

149. Dockner J., Feichtinger G. On the optimality of limit cycles in dynamic economic systems // Journal of Economics. 1991. V. 53. №. 1. P. 31-50.

150. Dulac H. Recherche des cycles limites // C.R. Acad. Sci. Paris. 1937. V. 204. P. 1703-1706.

151. GaleD. The law of supply and demand // Math. Scand. 1955. V. 3. P. 155-169.

152. Giesl P. Unbounded basins of attraction of limit cycles // Acta. Math. Univ. Comenianae. 2003. V. LXXII. № 1. P. 81-110.

153. Goodwin R.M. The non-linear accelerator and the persistence of business cycles//Econometrica. 1951. V. 19. P. 1-17.

154. Hallam T.G., Komkov V. Application of Liapunov's functions to finite time stability // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1969. V.14. № 4. P. 495-501.

155. Hartman P., Olech C. On global asymptotic stability of solutions of differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. V. 104. P. 154-178.

156. Kato J., Martynyuk A.A., Shestakov A.A. Stability of Motion of nonautono-mous systems (Method of Limiting Equations). Amsterdam: Gordon and Breach, 1996.

157. Li Y., Muldowney J.S. On Bendixson's criterion // J. of Differential Equations. 1994. V. 106. P. 27-39.

158. SellG.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics //Trans. AMS. 1967. V. 127. №3. P.241-283.

159. Sell G.R. Periodic solutions and asymptotic stability // J. of Differential Equations. 1966. V. 2. P. 143-157.

160. Smith R.A. The Poincare-Bendixson's theorem for certain differential equations of higher order // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Ser. A. 1979. V. 83. P. 63-79.

161. Smith R.A. Existence of periodic orbits of autonomous ordinary differential equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Ser. A. 1980. V. 85. P. 153-172.

162. Smith R.A. An index theorem and Bendixson's negative criterion for certain differential equations of higher dimension // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Ser. A. 1981. V. 91. P. 63-77.

163. Smith R.A. Orbital stability for ordinary differential equations // J. Differential Equations. 1987. V. 69. P. 265-287.

164. Weiss L., Infante E.F. On the stability of systems defined over a finite time interval // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1965. V. 54, № 1. P. 44-48.