Реконструкция трещиноподобных дефектов в вязкоупругой слоистой среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Лапина, Полина Анатольевна

• Лапина, Полина Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лапина, Полина Анатольевна

Содержание

Введение

Глава 1. Постановка задач о колебаниях вязкоупругого слоя с трещиной

1.1 Постановка задачи о колебаниях слоя с туннельной трещиной

1.2 Постановка прямой задачи об антиплоских колебаниях слоя, защемленного на нижней границе (задача 1)

1.3 Постановка прямой задачи о колебаниях слоя, защемленного на нижней границе, в условиях плоской деформации (задача 2)

1.4 Постановка прямой задачи о колебаниях слоя, лежащего на жестком основании, в условиях плоской деформации (задача 3)

1.5 Постановки обратных задач (задачи 4, 5, 6)

1.6 Используемые модели вязкоупругого поведения материалов

Глава 2. Сведение краевых задач 1, 2, 3 к системам граничных интегральных уравнений и их анализ

2.1 Фундаментальные решения

2.2 Построение функций Грина

2.3 Исследование дисперсионных множеств

2.4 Интегральные представления полей перемещений и сведение к системам ГИУ

2.5 Дискретизация ГИУ на основе МГЭ

2.6 Численные результаты решения прямой задачи

Глава 3. Идентификация трещины в вязкоупругом слое

3.1 Общая формулировка операторных уравнений в задаче идентификации трещины

3.2 Численные результаты восстановления прямолинейной трещины75 Глава 4. Асимптотический подход в задаче о колебаниях вязкоупругого слоя с трещиной

4.1 Построение решения прямой задачи для трещин малых размеров

4.2 Реконструкция трещины в слое на основе асимптотического

подхода

4.3 Численные результаты, полученные на основе асимптотического метода

4.4 Построение решений прямых и обратных задач для прямолинейных трещин малого размера в случае задач 2 и 3

Заключение

Литература

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Реконструкция трещиноподобных дефектов в вязкоупругой слоистой среде»

Введение

Прочность реальных конструкций в значительной степени зависит от наличия в них различных микродефектов, развитие которых под действием приложенных нагрузок может приводить к появлению и последующему росту трещин и, как следствие, к частичному или полному разрушению конструкции. Распределение напряжений в телах после появления в них трещин и изучение работоспособности конструкций, ослабленных трещинами, являются важными вопросами современной механики разрушения.

Современное развитие промышленности связано с внедрением новых, в том числе композиционных материалов, которые зачастую содержат различные нарушения сплошности: дефекты (трещины, полости), включения, нарушения кристаллической структуры.

К наиболее опасным дефектам с точки зрения механики разрушения относятся трещины, в т.ч. расслоения на границе раздела сред, поскольку их вершины являются концентраторами напряжений, что может послужить причиной дальнейшего развития дефекта и последующего разрушения конструкции.

Краевые задачи динамической теории упругости для тел с трещинами принято делить на две класса - прямые задачи, в которых требуется определить волновые поля, например, поля перемещений или напряжений, и обратные задачи, в которых по волновым полям, известным на части или всей границе тела, необходимо определить геометрию и местоположение дефекта.

К настоящему моменту динамические задачи теории трещин изучены довольно подробно и получили свое развитие в работах Александрова В.М., Андрейкива А.Е., Бабешко В.А., Борисковского В.Г.,

Ватульяна А.О., Глушкова Е.В., Глушковой Н.В., Гольдштейна Р.В., Зозули В.В., Кита Г.С., Кудрявцева Б.А., Морозова Н.Ф., Морозова Е.М., Михаськива В.В., Панасюка В.В., Партона В.З., Попова Г.Я., Слепяна Л.И., Сметанина Б.И., Соболя Б.В., Соловьева А.Н., Сумбатяна М.А., Филыптинского JI.A., Черепанова Г.П., Шифрина Е.И., и ряда зарубежных авторов, таких как Achenbach J.D., Andrieux S., Bannour T., Bostrom A., Bui N.D., Colton D., Cruse T.A., Datta S.K., Erdogan F., Kobayashi A., Krenk S., Kuo A.Y., Loeber J.F., Mal A.K., Nakamura M., Sih S.K., Shindo Y, Tanaka M.

По типу возбуждаемых в среде волновых полей динамические задачи можно разделить на нестационарные и стационарные (т.е. неустановившиеся и установившиеся во времени). Методы решения нестационарных задач при неизменной длине трещины основываются на применении преобразования Лапласа и анализе возникающей смешанной задачи в пространстве изображений. Более простыми с точки зрения анализа математической модели являются стационарные постановки.

При создании математической модели трещина, как правило, описывается математическим разрезом в области, на границе которого имеются скачки полей перемещений. В большинстве исследований полагают, что берега трещины в процессе колебаний не взаимодействуют друг с другом. Следует отметить, что экспериментальные данные акустического зондирования показывают, что трещины проявляют себя как нелинейные объекты, для которых не выполняется принцип суперпозиции. Существуют нелинейные модели поведения трещин с учетом взаимодействия берегов, в которых учитываются трение, удар, наличие тепловыделения [43]. Такая постановка приводит к сложной нелинейной задаче в силу переменности области контакта во времени. Поэтому при формулировке систем ГИУ часто используют условие

отсутствия напряжений на трещине, что соответствует наиболее опасному случаю, когда трещина раскрыта под действием некоторого поля нагрузок.

Прямым задачам о колебаниях тел с трещинами произвольной конфигурации посвящены многочисленные публикации отечественных и зарубежных ученых. Задачи определения волновых полей в телах с трещинами в линейной постановке хорошо изучены, для них разработаны различные аналитические и численные методы. Отметим монографии [9, 53, 54, 55]. При этом для решения задач о колебаниях тел с трещинами используются как полуаналитические методы, основанные на решении интегральных уравнений с разностными ядрами [9, 21, 31], так и численные, среди которых главная роль принадлежит конечноэлементным [88] и граничноэлементным подходам [47] и их комбинациям.

Разработаны методы, позволяющие получать решение интегральных уравнений в полуаналитической форме для слоистых сред с одиночной трещиной и с системой трещин, расположенных в параллельных плоскостях для изотропного материала [10, 11]. Для решения прямых задач в случае областей канонической формы методы представлены в работах Партона В.З., Борисковского В.Г., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. [38, 53, 54, 55]. При произвольной же форме трещины используются подходы, основанные на методе граничных интегральных уравнений [45] и предполагающие дискретизацию систем граничных интегральных уравнений на основе одного из вариантов МГЭ [24, 65].

К наиболее эффективным экспериментальным методам неразрушающего контроля в упругих телах относятся методы, основанные на дифракции упругих волн на дефектах [34, 35, 36]. В этом случае для правильного описания дифрагированного поля формулируются системы интегральных уравнений относительно скачков смещений на трещине [39]. Динамическим задачам теории трещин посвящены многочисленные публикации [25, 99, 45, 40, 97, 89]. В последние годы для исследования

дифракции упругих волн на внутренних и поверхностных трещинах были разработаны различные аналитические и численные методы исследования этих уравнений.

Методы решения прямых задач расчета полей в среде с дефектом можно разделить на два класса по типу возникающих граничных интегральных уравнений (ГИУ): гиперсингулярные [53, 71, 85, 90, 42] так и несингулярные [94] и использующие двойственные формулировки [9, 33].

Также следует разделить методы исследования таких задач на высокочастотные и низкочастотные. В первом случае длина высокочастотного зондирующего сигнала имеет тот же или меньший порядок, что и длина трещины. Это позволяет регистрировать интерференционные явления и использовать эти данные для идентификации дефекта. Низкие частоты колебаний позволяют использовать статические результаты теории трещин при решении динамических задач и делать предсказания о дальнейшем росте трещины и разрушении образца по коэффициентам интенсивности напряжений.

Задача идентификации трещины в теле состоит в определении ее характерных размеров, формы и положения по известной информации о перемещениях или амплитудах распространяющихся мод на части границы тела. Трещина может быть по-разному расположена по отношению к границам тела, и может иметь большой или малый размер в сравнении с характерными размерами тела.

Общим подходом к решению задач идентификации трещин является сведение к системам операторных уравнений. Отметим, что если размеры дефекта соизмеримы с длиной волны зондирующего сигнала или меньше ее, то поле на поверхности для тел с дефектом и без него будут мало отличаться друг от друга. Поэтому для решения обратной задачи необходимо иметь достаточно точную постановку и уметь строить

численные решения соответствующей краевой задачи с достаточно высокой точностью.

В ряде конструкций положение трещины известно (клеевые или сварные соединения двух разнородных материалов), что значительно упрощает задачу идентификации, однако приводит к многочисленным переотражениям волн, которые затрудняют процедуру идентификации.

Задачи идентификации трещин в твердых телах представляют собой важную техническую проблему и составляют суть современной дефектометрии. С математической точки зрения задачи по определению конфигурации трещины в твердом теле относятся к обратным геометрическим задачам математической физики. К настоящему времени выполнено достаточно большое количество работ, посвященных обратным задачам для упругих тел с трещиной. Развитие данной тематики связано с ее практическим применением в дефектоскопии, сейсморазведке, геофизике, что стимулирует разработку новых эффективных методов исследования. Своевременное выявление трещиноподобных дефектов позволяет избежать катастрофических последствий.

В ряде работ рассмотрены обратные задачи для моделей пространства, полупространства или полуплоскости с одиночной трещиной, расположенной, как правило, параллельно границе среды. Более трудоемкими являются модели полуограниченной среды или слоя с прямолинейной наклонной или криволинейной трещинами.

Эффективным методом решения обратных задач теории трещин является метод, использующий метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) и его дискретный вариант. Благодаря этому подходу формулируются интегральные уравнения по неизвестному контуру трещины, и далее, системы нелинейных операторных уравнений для решения обратной задачи.

Значительный вклад в постановку обратных задач теории дифракции и разработку методов их исследования внесли Колтон Д., Кресс Р. [46], Горюнов A.A., Сасковец A.B. [37], Бухгейм А.П. [15], Ватульян А.О. [16, 17, 20, 23, 30, 26, 27], Гольдштейн Р.В. [79], Емец В.Ф. [41], Соловьев А.Н. [23, 26, 27], Сумбатян М.А. [74, 91, 95], Шифрин Е.И. [58, 92, 93, 44, 57, 79], Шушпанников П.С. [79], Achenbach J.D. [71, 89, 69], Bannour Т. [66], Bostrom А. [67, 68], Bui N.D. [59, 64, 70], Datta S.K. [86], Nakamura M., Tanaka M. [96], Abda A.B. [59, 64, 66], Alessandrini G. [61], Alves C.J.S., Ha Duong T. [62, 63], Budrec D.E. [71, 69].

Рядом ученых исследованы проблемы реконструкции трещин в конечных телах, причем наибольшего продвижения в решении таких задач удалось достичь при наличии априорной информации о том, что трещина или системы трещин расположены в некоторой плоскости. Особое внимание уделено задачам определения приповерхностных дефектов и дефектов, расположенных на стыке областей, возникающих в результате непроклея или непровара материалов, вертикальных трещин в слое или полупространстве.

При решении обратной задачи могут быть использованы различные способы зондирования - позиционное, когда при фиксированной частоте излучателя измеряются смещения в некоторых точках участка поверхности упругого тела, или частотное, когда измеряются смещения в фиксированной точке тела на разных частотах.

Обратные геометрические задачи в различных постановках исследованы в работах [63, 70, 75, 76, 87].

В подавляющем большинстве работ рассматриваются вопросы идентификации трещин в изотропных упругих телах. Однако ряд конструкционных и композиционных материалов, в которых трещины являются характерными дефектами, обладает сложными механическими свойствами, например, анизотропией и сложной реологией.

Так, например, вязкоупругие свойства проявляет большой класс материалов - полимерные материалы и композиты на их основе (последние часто имеют анизотропию различного типа). Поэтому особый интерес представляют задачи идентификации трещин, учитывающие эффекты затухания и специфику распространения волн в анизотропных материалах и конструкциях из них в той или иной форме.

Свойства таких вязкоупругих материалов являются достаточно сложными и характеризуются несколькими релаксационными механизмами, однако в подавляющем большинстве случаев один из них является преобладающим. Поэтому в первом приближении для описания динамического поведения таких объектов можно использовать модель стандартного вязкоупругого тела с одним временем релаксации.

Разрушение композиционных материалов с трещинами на основе концепции квазихрупкого разрушения и исследования коэффициентов интенсивности напряжений - один из важнейших аспектов теории трещин, ему посвящены работы [72, 73, 80, 81, 82, 100].

При исследовании коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин в вязкоупругих средах разработаны некоторые приемы. В [72] при решении антиплоской задачи для трещины в вязкоупругом слое, расположенном между двумя различными материалами, учет вязкоупругих свойств произведен на основе принципа соответствия. Изучено влияние температуры, геометрических соотношений и граничных условий на коэффициенты интенсивности напряжений. В [73] рассмотрена монетовидная трещина в среднем слое композитного вязкоупругого материала. Для оценки возможности разрушения исследованы коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от толщины внутреннего слоя путем моделирования трещины при помощи непрерывной функции распределения. Представлены асимптотические разложения. В статье [81] на основе принципа соответствия рассмотрена

вязкоупругая подложка на упругом слое с трещинами под действием сосредоточенной нагрузки, причем упругое решение в плоском случае построено на основе метода комплексных потенциалов.

В то же время привлекательной является постановка вопроса о возможности прогнозирования работоспособности тела с трещиной по данным акустического зондирования, идентификация характерных размеров трещины и ее расположения. При этом реологические свойства материала приводят к достаточно сильному затуханию полей смещений, что приводит к увеличению погрешностей идентификации.

Целью настоящего исследования является изучение и оценка влияния вязкоупругих свойств материала на процедуру идентификации одиночной трещины в слое.

В настоящей работе на основании метода ГИУ решается два типа задач. К задачам первого типа относится задача нахождения полей перемещений в ортотропном слое (и на его поверхности) на основе идеологии метода граничных интегральных уравнений. Колебания вызываются действием нагрузки (сосредоточенной силы), приложенной на поверхности слоя. Задачи второго типа состоят в идентификации трещины в ортотропном вязкоупругом слое; при этом считается заданным поле перемещений на части поверхности слоя, что моделирует реальный процесс измерений полей с помощью датчиков. Таким образом, задача идентификации дефекта требует либо экспериментальной информации, либо вычислительного эксперимента, при реализации которого требуется решение прямой задачи.

Аналогичные задачи определения параметров трещин в упругом слое рассмотрены в работах Баранова И.В., Ватульяна А.О., Явруян О.В [12, 17,30, 29].

В первой главе диссертации (в пунктах 1.1-1.5) представлены постановки прямых и обратных задач для ортотропного вязкоупругого

слоя в общем трехмерном случае, а также для туннельной трещины в случае антиплоской и плоской деформации при разных граничных условиях на нижней грани (жесткое защемление и скользящий контакт). Пункт 1.6 посвящен общим вопросам линейной теории вязкоупругости и различным частным способам моделирования свойств вязкоупругих материалов в рамках концепции комплексных модулей. Рассмотрены модельный изотропный вязкоупругий материал и реальный ортотропный композит, для которых проводилась численная реализация.

Вторая глава посвящена решению прямых задач для слоистых структур с произвольно ориентированными неплоскими трещинами на основе сведения краевых задач 1, 2, 3 к системам граничных интегральных уравнений. В пункте 2.1 представлены фундаментальные решения для вязкоупругой плоскости. В пункте 2.2 построены функции Грина для всех трех задач в виде контурных интегралов. Исследована структура функций Грина. Пункт 2.3 посвящен исследованию дисперсионных множеств рассматриваемых задач. В случае антиплоских колебаний (задача 1) дисперсионное множество получено аналитически. Произведено сравнение вязкоупругого случая с упругим. В пункте 2.4 представлены интегральные представления полей перемещений в слое и осуществлено сведение задачи к системам граничных интегральных уравнений относительно неизвестных функции - скачков полей перемещений на трещине. Выделена главная часть ядер системы, показано, что они являются гиперсингулярными. В пункте 2.5 предложена дискретизация систем ГИУ на основе МГЭ и квадратурных формул для гиперсингулярных интегралов. После дискретизации задача сведена к задаче отыскания неизвестных узловых значений функций раскрытия из системы линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которых представлены в виде однократных интегралов. После решения этой системы становится возможным численное построение компонент поля перемещений в любых точках слоя.

Пункт 2.6 посвящен численным результатам решения прямых задач для прямолинейных и криволинейных трещин и расчету полей смещений на границе слоя, анализу влияния трещины (ее длины, ориентации) на волновые поля на границе.

Третья глава посвящена формулировке операторных уравнений и методам решения обратных задач теории трещин. В 3.1 представлена общая формулировка операторных уравнений в обратной задаче об определении формы криволинейной трещины. В случае известной конфигурации трещины (прямолинейная или криволинейная в виде части окружности) обратная задача упрощается и сводится к конечномерной проблеме определения 4 или 5 параметров соответственно. В этом случае алгоритм решения основан на минимизации функционала невязки, что численно осуществлено при помощи генетического алгоритма. Пункт 3.2 посвящен численному анализу обратной задачи для прямолинейной трещины, анализу влияния различных факторов на точность реконструкции.

В четвертой главе в пункте 4.1 предложен асимптотический подход к решению задачи о колебаниях вязкоупругого слоя с произвольно ориентированной прямолинейной трещиной в случае ее малой относительной длины. В пункте 4.2 представлены полученные на основе такого подхода аналитические формулы для поэтапного определения параметров прямолинейной трещины в случае ее малого характерного размера для задачи 1. Пункт 4.3 посвящен численному анализу асимптотического метода, проведено сравнение с численными решениями, полученными на основе МГИУ, выяснены диапазоны применимости предложенного упрощенного подхода. Пункт 4.4 посвящен асимптотическому анализу плоской задачи. В предположении малости характерного размера дефекта предложены асимптотические формулы представлений полей перемещений и интегральных уравнений. Для

решения обратной задачи на основе асимптотического метода получены трансцендентные уравнения для определения неизвестных параметров трещины. Проведен численный анализ.

В заключении сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Основное содержание диссертации отражено в работах [2-8, 18, 19, 26, 50]. В работах [4, 6-8] Явруян О.В. принадлежит вывод интегральных представлений полей перемещений и формулировка граничных интегральных уравнений для упругого слоя с трещиной, Лапиной П.А. (Азаровой П.А.) принадлежит исследование влияния вязкоупругого поведения материала на поля перемещений и процедуру идентификации трещины в вязкоупругом слое, проведение вычислительных экспериментов. Результаты работы [5] принадлежат авторам в равной степени.

В работе [18] Ватульяну А.О. принадлежат постановка задачи, выбор методов исследования, Лапиной П.А. (Азаровой П.А.) принадлежит построение решения и численный анализ задачи. В работе [19] Ватульяну А.О. принадлежат постановка задачи, метод решения, Явруян О.В. принадлежит анализ аналогичной упругой задачи, Лапиной П.А. (Азаровой П.А.) принадлежит вывод формул для вязкоупругого слоя и исследование влияния вязкоупругого поведения на процедуру реконструкции трещины. В работе [25] Ватульяну А.О. принадлежат выбор подхода к исследованию задачи, Лапиной П.А. принадлежит построение асимптотического решения для вязкоупругого слоя с трещиной малого размера и проведение вычислительных экспериментов.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт № П596) и гранта РФФИ 10-01-00194-а.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Лапина, Полина Анатольевна

Основные результаты, полученные в диссертации:

1. Разработаны методы решения задачи о колебаниях вязкоупругого ортотропного слоя с трещиной (плоский и антиплоский случаи).

2. Проведен численный анализ систем гиперсингулярных интегральных уравнений на основе МГЭ.

3. Предложен асимптотический метод расчета волновых полей в слое в случае малых прямолинейных трещин.

4. Разработаны методы решения обратных задач по идентификации параметров прямолинейной трещины по полям смещений на поверхности слоя на основе минимизации функционала невязки и на основе асимптотического подхода.

5. Проведена серия вычислительных экспериментов в задаче определения параметров трещины и определены наиболее эффективные для зондирования частотные диапазоны.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лапина, Полина Анатольевна, 2012 год

Литература

1. Адамов A.A., Матвеенко В.П., Труфанов H.A., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. Изд-во: УрО РАН. 2003. 412 с.

2. Азарова П.А. Об идентификации трещины в слое с учетом вязкоупругих свойств // Тезисы VI Школы-семинара Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. 2007. С. 64-67.

3. Азарова П.А. Фундаментальные решения для вязкоупругой ортотропной плоскости // Труды XII международной конференции Современные проблемы механики сплошной среды. 2008. Т. 2. С. 16-19.

4. Азарова П.А., Явруян О.В. О влиянии затухания на процедуру реконструкции трещины в слое // Труды XI международной конференции Современные проблемы механики сплошной среды. 2007. Т. 1.С. 6-11.

5. Азарова П.А., Явруян О.В. Исследование колебаний вязкоупругой слоистой биологической ткани // Труды IV всероссийской школы-семинара Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. 2008. С. 7-8.

6. Азарова П.А. Явруян О.В. О реконструкции параметров трещин в вязкоупругом слое // Труды V всероссийской школы-семинара Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. 2009. С. 5.

7. Азарова П.А., Явруян О.В. Об одном способе определения параметров трещины в вязкоупругой ортотропной полосе // Труды XIII международной конференции Современные проблемы механики сплошной среды. 2009. Т. 1. С. 6-10.

8. Азарова П.А., Явруян О.В. К идентификации трещин в вязкоупругой слоистой среде // Труды XIV международной конференции

Современные проблемы механики сплошной среды. 2010. Т.1. С. 21-24.

9. Александров A.M., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.:Наука. 1993. 224с.

10. Бабешко В.А., Бужан В.В., Горшкова Е.М., Рохлин С.И. К проблеме оценки прочности сварного шва // Докл. АН. 1997. Т. 353. № 3. С. 327-329.

11. Бабешко В.А., Рохлин С.И., Хуанг В., Бужан В.В. К проблеме дефектоскопии сварных швов // Докл. АН. 1994. Т. 337. № 6. С. 732-736.

12. Баранов И.В., Булгурян О.В., Ватульян А.О. Интегральные уравнения для упругого слоя с трещиной произвольной конфигурации и их исследование // Вестник ДГТУ. Издательский центр ДГТУ. 2004. Т.4. № 3. С. 257-269.

13. Баранов И.В., Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об одном генетическом алгоритме и его применении в обратных задачах идентификации упругих сред // Вычислительные технологии. 2006. Т.П. №3. С. 1426.

14. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука. 1985. 256 с.

15. Бухгейм А.П. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука. 1988. 183 с.

16. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит. 2007. 223 с.

17. Ватульян А.О. Об определении конфигурации трещины в анизотропной среде // ПММ. 2004. № 1. С. 192-200.

18. Ватульян А.О., Азарова П.А. О реконструкции трещины в вязкоупругой ортотропной полосе // Теоретическая и прикладная

механика изд. Донецкого Национального университета. 2009. Т. 1. С. 112-117.

19. Ватульян А.О., Азарова П. А., Явруян О.В. Идентификация параметров наклонной прямолинейной трещины в вязкоупругом слое // Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Т. 14. № 3. С. 461-472.

20. Ватульян А.О., Баранов И.В. Идентификация внутренней трещины в ортотропной упругой среде // Вестник ДГТУ 2002. Т. 2. № 2. С. 104-110.

21. Ватульян А.О., Баранов И.В., Гусева И.А. Идентификация трещиноподобного дефекта в ортотропном слое // Дефектоскопия. 2001. № 10. С. 48-52.

22. Ватульян А.О., Беляк O.A., Сухов Д.Ю., Явруян О.В. Обратные и некорректные задачи. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2011. 232 с.

23. Ватульян А.О., Ворович И.И., Соловьев А.Н. Об одном классе задач в динамической теории упругости // ПММ. 2000. Т.64. Вып.З. С. 373-380.

24. Ватульян А.О., Красников В.В. Колебания ортотропной полуплоскости с криволинейной трещиной // Изв.РАН МТТ. 2002. № 5. С.82-90.

25. Ватульян А.О., Лапина П.А. Об асимптотическом анализе задачи о реконструкции трещины в вязкоупругом слое // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2011. №3. С. 21-29.

26. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Восстановление поля в анизотропной упругой среде // Ак. журн. 2000. Т.46. Вып.4. С.451-455.

27. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Определение ориентации плоских трещин в упругом теле // Теоретическая и прикладная механика. Харьков. 2003. Т.37. С.141-145.

28. Ватульян А.О., Чебакова Е.М. Фундаментальные решения для ортотропной среды в случае установившихся колебаний // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 5. С.131-139.

29. Ватульян А.О., Явруян О.В. Асимптотический подход в задачах идентификации трещин // ПММ. 2006. № 4. С.714-724.

30. Ватульян А.О., Явруян О.В. Реконструкция наклонных трещин в слое // Известия вузов. Северо-Кавказский Регион. Естественные науки. 2005. № 2. С. 36-39.

31. Ворович И.И., Бабешко В.В. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука. 1989. 320 с.

32. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов н/Д: Изд-во РГУ. 1993. 144с.

33. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы // ПММ, 1996. Т.60. Вып.2. С.282-289.

34. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Ехлаков A.B. Математическая модель ультразвуковой дефектоскопии пространственных трещин // ПММ. 2002. Т. 66. Вып.1. С. 147-156.

35. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Дифракция упругих волн на наклонной трещине в слое // ПММ. 2007. Т. 71. Вып. 4. С.702-715.

36. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кривонос A.C. Возбуждение и распространение упругих волн в многослойных анизотропных композитах // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 3. С. 419-432.

37. Горюнов A.A., Сасковец A.B. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.:Изд-во МГУ. 1989. 151 с.

38. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук, думка. 1981. 284 с.

39. Дацышин А.П., Саврук М.П. Интегральные уравнения плоской задачи теории трещин // ПММ. 1974. Т.38. С. 728-731.

40. Дьяконов М.Б., Устинов Ю.А. Сдвиговые волны в упругом полубесконечном слое с разрезами // Акуст. журн., 1995. Т.41. № 3. С. 421-426.

41. Емец В Ф. К обратной задаче рассеяния упругих волн тонким инородным включением // ПММ. 1986. 50. № 2. С. 303-308.

42. Зозуля В.В. Интегралы типа Адамара в динамических задачах теории трещин // ДАН УССР. - Сер.А. 1991. №2. С. 43-47.

43. Зозуля В. В. К исследованию влияния контакта берегов трещины при нагружении гармонической волной // Прикладная механика. 1992. Т.28, № 2. С. 32-38.

44. Капцов A.B., Шифрин Е.И. Идентификация плоской трещины в упругом теле с помощью инвариантных интегралов // Изв. РАН. МТТ. 2008. №3. С. 145-163.

45. Кит Г.С., Михаськив В.В., Хай О.М. Анализ установившихся колебаний плоского абсолютно жесткого включения в трехмерном упругом теле методом граничных элементов // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 5, С. 855-863.

46. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.:Мир, 1987. 311 с.

47. Крауч С., Старфилд А. Метод граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир. 1987. 256 с.

48. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир. 1974. 338 с.

49. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. Т. 7. 246 с.

50. Лапина П.А. Асимптотический подход в задаче реконструкции трещины в вязкоупругом слое // Тезисы докладов VI всероссийской

школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». 2011. С. 60.

51. Матвеенко В.П., Сметанников О.Ю., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Термомеханика полимерных материалов в условиях релаксационного перехода. М.: ФИЗМАТ ЛИТ. 2009. 176 с.

52. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 872 с.

53. Партон В.З., Борисковский В. Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 239 с.

54. Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамическая механика разрушения. М.: Машиностроение, 1985. 264 с.

55. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1974. 416 с.

56. Шифрин Е.И. Об асимптотике упругих перемещений вблизи контура плоской трещины, расположенной на границе соединения двух материалов // Ин-т пробл. мех. РАН. препр. 2000, № 666. С. 1-18.

57. Шифрин Е.И. О связи между инвариантными интегралами линейной изотропной теории упругости и интегралами, определяемыми принципом взаимности // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 2. С. 325-334.

58. Шифрин Е.И. Идентификация эллипсоидального дефекта в упругом теле по результатам одного испытания на одноосное растяжение (сжатие) // Изв. РАН. МТТ. 2010. №3. С. 131-142.

59. Abda А.В., Bui H.D. Planar crack identification for the transient heat equation // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003. Vol. 11. №1. P.27-31.

60. Aizikovich S.M., Krenev L.I., Sobol B.V., Trubchik I.S. An equilibrium penny-shaped crack in an inhomogeneous elastic medium. // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2010. Vol.74. №2. P.232-240.

61. Alessandrini G., Cristo M.Di. Unique determination of surface breaking cracks in three-demensional bodies // J. Inv.Ill-Posed Problems. 2000. Vol.8. №5. P.469-482.

62. Alves C.J.S., Ha Duong T. Inverse scattering for elastic plane cracks // Inverse Problems. 1999. Vol.15. №1. P.91-97.

63. Alves C.J.S., Ha Duong T., Penzel F. On the identification of conductive cracks // Inverse Problems in Engineering Mechanics II. 2000. P.213-218.

64. Andrieux S., Abda A.B., Bui H.D. Reciprocity principle and crack identification // Inverse Problems. 1999. Vol.15. P.59-65.

65. Balas J., Sladek J., Sladek V. Stress Analysis by boundary element method // Amsterdam: Elsevier. 1989. 52lp.

66. Bannour T., Abda A.B., Jaoua M. A semi-explicit algorithm for the reconstruction of 3D planar cracks // Inverse Problems. 1997. V.13. P.899-917.

67. Bostrom A. Acoustic scattering by a sound-hard rectangle // J. Acoust. Soc. Am. 1991. 90(6). P. 3344-3347.

68. Bostrom A., Wirdelius H. Ultrasonic probe modeling and nondestructive crack detection // J. Acoust. Soc. Am. 1995, Vol.97, P.2836-2848.

69. Budrec D.E., Achenbach J.D. Scattering from three-dimensional planar cracks by the boundary integral equation method // J. Appl. Mech. 1988. Vol.55. P.405-412.

70. Bui H.D., Constantinescu A., Maigre H. On the identification of a crack in 3d acoustics // Inverse Problems in Engineering Mechanics II. 2000. P.203-212.

71. Budrec D.E., Achenbach J.D. Scattering from three-dimensional planar cracks by the boundary integral equation method // J. Appl. Mech. 1988. Vol. 55. P.405-412.

72. Chang R.C., Chuang C.T. Stress intensity factors of a crack lying in a viscoelastic layer embedded in two different media under an anti-plane concentrated load // International Journal of Mechanical Sciences. 2001. V. 43. P. 1457-1471.

73. Chen C.Y., Atkinson C. The influence of layer thickness on the stress intensity factor of a penny-shaped crack in a sandwiched viscoelastic bimaterial // International Journal of Engineering Science. 2005. V. 43. P. 222-249.

74. Ciarletta M., Iovane G., Sumbatyan M.A. Anti-plane inverse problem for inclined cracks in the elastic half-space // Mechanics Research Communications. 2009. Vol. 36. Issue 4. P. 452-460.

75. Duong C.N., Wang C.H. Fundamental Concept of Crack Patching // Composite Repair Theory and Design. 2007. P.69-94.

76. Ha Duong T., Jaoua M., Menif F. A modified frozen Newton method to identify a cavity by means of boundary measurements // Mathematics and Computers in Simulation. 66. № 4-5. 2004. P. 355-366.

77. Iovane G., Sumbatyan M.A. On dynamic stress analysis for cracks in elastic materials with voids // International Journal of Solids and Structures. 2005. Vol. 42. Issues 16-17. P. 4880-4889.

78. Garnich M.R., Hansen A.C. A multicontinuum Approach to Structural Analysis of Linear Viscoelastic Composite Materials // J. of Applied Mechanics. December 1997. Vol. 64. P. 795-803.

79. Goldstein R.V., Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Application of invariant integrals to the problems of defect identification // Int. J. Fract. 2007. Vol.147 P.45-54.

80. Han X., Ellyin F., Xia Z. A crack near the interface of bonded elastic-viscoelastic planes. // International Journal of Solids and Structures. 2001. V. 38. P. 3453-3468.

81. Hsiao C.C., Chao C.K., Chang R.C. Stress analysis of an elastic cracked layer bonded to a viscoelastic substrate // International Journal of Solids and Structures. 2004. V. 41. P. 1435-1451.

82. Han X., Ellyin F., Xia Z. Interface crack between two different viscoelastic media // International Journal of Solids and Structures. 2001. V. 38. P. 7981-7997.

83. Hui C.Y., Slia D. Evaluations of hypersingular integrals using Gaussian quadrature // Int.J.Numer Meth. Eng. 1999. 44. №2. P.205-214.

84. Iovane G., Lifanov I.K., Sumbatyan M.A. On direct numerical treatment of hypersingular integral equations arising in mechanics and acoustics // Acta Mechanica. 2003. № 162. P.99-110.

85. Krishnasamy G., Schmerr L., Rudolphi T.J., Rizzo F.J. Hypersingular boundary integral equations: Some applications in acoustic end elastic wave scattering // ASME. J. Appl. Mech. 1990. Vol.57. P.404-414.

86. Liu S.W., Datta S.K. Scattering of ultrasonic wave by cracks in a plate // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1993. V.60. June. P.353-357.

87. Lu N.C., Cheng Y.H., Si H.L., Cheng J. Dynamics of asymmetrical crack propagation in composite materials // Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Vol. 47. № 3. 2007. P.260-273.

88. Mackerle J. Finite-element modeling of nondestructive material evalution: a bibliography (1976-1997) // Modeling Simul. Mater. Sci. Eng. 1999. Vol.7. P.107-145.

89. Mendelsohn D.A., Achenbach J.D., Keer L.M. Scattering of elastic waves by a surface-breaking crack // Wave Motion. 1980. V.2. P.277-292.

90. Mukherjee S., Mukherjee Y.X. The hypersingular boundary contour method for three-dimensional linear elasticity // ASME. J. Appl. Mech. 1998. Vol.65. P.300-309.

91. Scalia A., Sumbatyan M.A. On efficient quantitative analysis in real-time ultrasonic detection of cracks // Ultrasonics. 1999. 37. N3. p.239-245.

92. Shifrin E.I. The asymptotic expansion of elastic fields in the vicinity of the contour of a plane crack at the interface of two materials // J. Appl. Maths. Mechs. 2001. Vol.65. №6. P. 1011-1019.

93. Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Identification of an ellipsoidal defect in an elastic solid using boundary measurements // International Journal of Solids and Structures. 2011. Vol. 48. № 7-8. C. 1154-1163.

94. Sladek V., Sladek J. On nonsingular boundary integral equations for crack problems //Mech. Research Com. 1990. Vol.17. P.281-291.

95. Sumbatyan M.A., Remizov M.Yu., Zampoli V. A semi-analytical approach in the high-frequency diffraction by cracks // Mechanics Research Communications. 2011. Vol. 38. Issue 8. P. 607-609.

96. Tanaka M., Nakamura M., Nakano T., Shikawa H. Application of the boundary element method to elastodynamic inverse problems // Consideration of noisy additional information. Trans. Jap.Soc.Mech.Eng.A. 1991. Vol.57. №541. P.2179-2185.

97. Visscher W.M. Theory of scattering of elastic waves from flat cracks of arbitrary shape // Wave Motion. 1983. №5. P. 15-32.

98. Wang L., Yuan F.G. Group velocity and characteristic wave curves of Lamb waves in composites: Modeling and experiments // Compos. Sci. and Technol. 2007. Vol. 67. №8. P.1370-1384.

99. Zhang Ch., Gross D. On wave propagation in elastic solid with cracks // Southhampton: Computational Mechanics Publ. 1998. 248p.

100. Zhang H.H., Rong G., Li L.X. Numerical study on deformations in a cracked viscoelastic body with the extended finite element method // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2010. Vol. 34. P.619-624.