Методы моделирования образования и развития трещин в горных породах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Улькин, Дмитрий Александрович

• Улькин, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Улькин, Дмитрий Александрович

ВВЕДЕНИЕ З

ГЛАВА 1 СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

ГЛАВА 2 РОСТ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВА В ПЛОСКО-ДЕФОРМИРОВАННОМ

ПЛАСТЕ

2.1 Постановка задачи

2.1.1 Динамика ньютоновской жидкости в трещине

2.1.2 Рост трещины в плоско-деформированном упругом массиве

2.1.3 Простейшая самосогласованная модель

2.1.4 Модель с учетом трещиностойкости

2.1.5 Модель с учетом трещиностойкости и лага

2.2 Автомодельные решения и предельные автомодельные режимы

2.2.1 Простейшая самосогласованная модель

2.2.2 Модель с учетом трещиностойкости

2.2.3 Модель с учетом трещиностойкости и лага

2.3 Численное решение

2.3.1 Простейшая самосогласованная модель

2.3.2 Модель с учетом трещиностойкости

2.3.3 Модель с учетом трещиностойкости и лага

2.4 Анализ результатов моделирования

2.4.1 Простейшая самосогласованная модель

2.4.2 Модель с учетом трещиностойкости

2.4.3 Модель с учетом трещиностойкости и лага

ГЛАВА 3 ОБРАЗОВАНИЕ СКЛАДЧАТЫХ СТРУКТУР В

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ ПЛАСТЕ

3.1 Кинематика деформаций. Двумерная однородная деформация простого сдвига

3.2 Первичная неустойчивость и неустойчивость в малом по Друккеру

3.3 Пример модели упругопластического тела

3.4 Алгоритм отыскания первичных форм потери устойчивости

3.5 Результаты расчетов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы моделирования образования и развития трещин в горных породах»

Образование и рост трещин являются важными составляющими многих природных и техногенных геологических процессов, происходящих в земной коре. В последнее время активные исследования данных явлений связаны в первую очередь с широким распространением технологии гидравлического разрыва пластов (ГРП) на месторождениях углеводородов, применяемой для инетсификации добычи. ГРП представляет собой создание искусственной трещины в геологическом пласте под действием расклинивающего давления жидкости, нагнетаемой через скважину. Операция ГРП позволяет значительно увеличить зону, из которой происходит приток углеводородов в скважину, и проницаемость в этой зоне.

Интерес к задаче развития трещины под действием закачиваемого раствора или расплава возникает не только при описании гидроразрыва. Разнообразные геологические структуры в верхних слоях земной коры формируются при участии трещин самого различного масштаба, развивающихся под действием давления магмы [27, 35, 72]. Отличительной особенностью таких процессов является принципиально иной режим нагнетания расплава, который происходит при постоянном давлении на входе в трещину. Кроме того, характерные размеры величин, как правило, существенно отличаются для задач исследования геофизических процессов и задач добычи углеводородов.

Высокая стоимость проведения операции гидроразрыва приводит к необходимости предсказания результатов в зависимости от характеристик горных пород, слагающих месторождение, а также используемых в процессе материалов и режима закачки. Однако для описания распространения трещины под действием закачиваемой жидкости необходимо одновременно учитывать большое количество взаимосвязанных физических процессов, что и в настоящее время приводит к значительным проблемам при численном моделировании. Кроме того, для использования трехмерных моделей требуются геологические данные, получение которых сопоставимо по стоимости и сложности с проведением гидроразрыва.

Наиболее распространенным способом предсказания основных характеристик трещины гидроразрыва в реальном времени, на данный момент, явч ляется использование псевдотрехмерных моделей PKN (по фамилиям авторов Perkins, Kern, Nordgren) и KGD (по фамилиям авторов Христианович, Geertsma, De Klerk). При их построении используется ряд упрощений, которые, ценой потери общности и точности результатов, позволяют просто и быстро рассчитывать размеры трещины, используя только простейшие геологические данные. Первые классические модели такого типа описывали характеристики трещины явными аналитическими соотношениями, но при существенных упрощениях. Впоследствии было предложено большое количество расширенных моделей, в каждой из которых часть упрощений уже не требуется, но при этом удается построить лишь частные автомодельные решения либо только определить характер зависимости, от времени основных параметров трещины при некоторых режимах- закачки, что существенно ограничивает их практическое применение.

В настоящей диссертации построены алгоритмы, реализованные в виде комплекса программ, для численного моделирования роста трещины в плоско-деформированной среде на основе современных расширенных моделей: модели с согласованными давлением и раскрытием трещины в жидкости разрыва и в окружающей породе, модели с учетом трещиностойкости и модели с учетом возможного отставания жидкости от кончика трещины. Важной отличительной особенностью выбранного в работе подхода является использование для расчетов полной системы уравнений модели с начальным условиями, без предположений об автомодельности решения и ограничений на режим закачки жидкости. При проведении гидроразрыва обычно нет возможности полностью определить состояние трещины до начала операции, поэтому для проверки корректности данного подхода в диссертации проведено качественное исследование системы уравнений модели. Было показано, что при любом режиме закачки с ростом трещины задача быстро вырождается по одному или нескольким управляющим параметрам. При помощи методов подобия и размерности определены автомодельные переменные, и вид зависимости от времени всех автомодельных решений, допускаемых системами уравнений выбранных моделей, часть из которых реализуется только в случае соответствующего вырождения задачи по параметрам. При этом установлено, что автомодельные решения являются асимптотическими во всех случаях полиномиального и экспоненциального режима закачки жидкости разрыва в трещину, в том числе в практически наиболее важном случае закачки с постоянной объемной скоростью. Наличие асимптотического решения показывает, что начальное условие можно выбирать достаточно произвольно, поскольку трещина с ростом забывает его особенности. Полученные аналитически характеристики предельных автомодельных решений использованы, дляпроверки.расчетов.

Одним из важнейших вопросов, остающихся вообще за рамками рассмотрения псевдотрехмерных моделей, является определение направления роста трещины. На практике известно, что с высокой вероятностью трещина будет развиваться в плоскости перпендикулярной минимальному главному напряжению во вмещающей среде. Поэтому для построения модели трещины гидроразрыва необходимо иметь возможность определить напряженно-деформированное состояние пласта, или хотя бы главные значения и направления тензора напряжений. Для этой задачи на данный момент времени не существует единого подхода к решению, например, во многих случаях о распределении напряжений на месторождении можно судить по поверхностным геологическим формированиям, находящимся в непосредственной близости, однако, в условиях равнинной и болотистой местности Западной Сибири применение подобных методов затруднительно. Поэтому для определения напряжений необходимо использовать данные геологической разведки, позволяющие обнаружить особенности внутреннего строения горных пород. Одной из характерных черт внутреннего строения, которую можно использовать для составления карты внутренних напряжений на месторождении, является наличие систем параллельных нарушений (рис. 3), носящих название складчатых структур [26]. Моделирование образования складчатых структур в изначально однородном пласте, позволяет определить накапливающиеся в нем напряжения.

В настоящей диссертации рассмотрена задача моделирования возникновения складчатых структур на основании подхода объясняющего их происхождение проявлением в пласте специфической локализованной формы неустойчивости. Предполагается, что изначально однородное упругопласти-ческое тело деформируется однородным образом вплоть до потери устойчивости, после чего к смещениям, соответствующим однородной деформации, добавляются смещения, представляющие форму потери устойчивости [45]. Затем, в зонах, где потеря устойчивости привела к образованию относительно больших, дополнительных к однородным, деформаций происходит зарождение макродефектов [67]. В настоящей работе, повидимому, впервые численными методами получены формы первичной неустойчивости для мизесо-ва упругопластического тела, подвергающегося деформации простого сдвига. Данные формы неустойчивости имеют вид систем периодических локализованных зон относительно больших пластических деформаций, в виде параллельных полос малой ширины, разделенных зонами относительно малых упругих деформаций. Такой вид деформаций тела качественно совпадает с деформациями, наблюдаемыми в складчатых структурах на месторождениях, что показывает принципиальную возможность моделирования их возникновения на основе выбранного в работе подхода.

В целом, задачи диссертационной работы направлены на практическое применение, и полученные результаты могут иметь прикладное значение. В частности разработан программный комплекс для моделирования развития трещины гидроразрыва в плоско-деформированной среде в реальном времени, включающий более общие модели, чем используются в существующих аналогах представленных на рынке. Полученные при моделировании образования складчатых структур характеристики распределения напряжений в породе, могут быть использованы при построении карты внутренних напряжений месторождения в качестве основного или вспомогательного источника данных.

Постановка задач в работе производится на основе методов механики сплошных сред. Для исследования системы интегро-дифференциальных уравнений задачи гидроразрыва применяются классические методы подобия и размерности, а также более общие групповые соображения. Численное исследование задач проводится при помощи разработанных автором комплексов программ. Решение задачи гидроразрыва, в плоско-деформированной среде строится-на основе; разработанной, в диссертации, неявной консервативной разностной схемы. Решение задачи о моделировании возникновения складчатых структур строится на основе разработанного в диссертации алгоритма для- нахождения глобального минимума функционала специального вида. Для проверки результатов численного моделирования используется сравнение с известными точными автомодельными решениями и экспериментальными данными.

Научная новизна

Методами подобия и размерности исследованы автомодельные решения, допускаемые уравнениями, описывающими процесс гидроразрыва в плоско-деформированной упругой изотропной среде, в том числе для всех физически содержательных асимптотических случаев вырождения задачи по управляющим параметрам. Получены условия симметрии системы уравнений относительно групп преобразований подобия и сдвига по времени, что позволило найти автомодельные переменные и характер зависимости от времени величин, входящих в задачу.

Показано, что решение задачи о формировании трещины гидроразрыва в плоско-деформированной упругой изотропной среде при полиномиальном и степенном режиме закачки имеет автомодельную асимптотику, что позволяет достаточно произвольно выбирать начальные данные при численном моделировании, поскольку их особенности забываются с ростом трещины.

Установлено, что решение задачи с учетом лага и трещиностойкости в практически наиболее важном случае ненулевого горного давления быстро выходит на автомодельный режим. При этом существенно, что система уравнений указанной задачи не допускает автомодельных решений. Автомодельный режим в случае постоянной скорости закачки жидкости совпадает с автомодельным решением задачи без учета.лага, а в случае возрастающей скорости закачки - с автомодельным решением задачи, без?учета трещиностойкости и лага. Выход на автомодельный режим происходит неравномерно по пространству и времени.

Установлено, что решение задачи с учетом лага и трещиностойкости при нулевом горном давлении является асимптотическим и не-может эволюционировать с течением времени к другому автомодельному решению, как предполагается в работе Garagash D.I. [49].

Установлено, что экспоненциальное автомодельное решение задачи описывает асимптотическое поведение произвольного решения при задании постоянного давления в скважине. При этом учет наличия лага приводит к предельному автомодельному решению, принципиально отличающемуся от экспоненциального решения Spence D.A., Sharp P.W. [75], но имеющего существенное сходство с классическим решением Христиановича С.А. и ЖелтоваЮ.П. [9].

Построен алгоритм минимизации функционала, используемого для определения устойчивости равновесия тела в смысле положительности работы сторонних сил на виртуальных перемещениях из положения равновесия. Численными методами получены формы первичной неустойчивости для мизесова упругопластического тела. При этом первичная форма неустойчивости имеет вид периодической системы параллельных локализованных зон пластического нагружения, в виде полос малой ширины, разделенных зонами упругой разгрузки. Такой вид деформации тела качественно совпадает с деформациями, наблюдаемыми в пластах на месторождениях, что показывает принципиальную возможность моделирования явлений их возникновения на основе выбранного в работе подхода.

Апробация результатов

По результатам работы на разных стадиях ее выполнения в период с 2007г. по настоящее время был сделан ряд докладов на семинарах кафедры механики композитов и кафедры- вычислительной5 механики Механико-математического факультета МГУ. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

A. X. Пергамент, Д. А. Улькин — Исследование асимптотических режимов развития трещины гидроразрыва // Международная научная конференция «Ломоносовские1 чтения», 2007

B. А. Левин, А. X. Пергамент, Д. А. Улькин — К постановке трехмерной задачи о трещине гидроразрыва в неоднородном линейно-упругом теле // 7-я всероссийская научно-технической конференции «Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России», 2007

Д. А. Улькин - Математическое моделирование первичных форм потери устойчивости разупрочняющихся упругопластических тел // Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», 2009

Д. А. Улькин — Математическое моделирование локализационных форм потери устойчивости разупрочняющихся упругопластических тел // Международная научная конференция «Ломоносовские чтения», 2009

Публикации

Результаты диссертации с достаточной- полнотой отражены, в 7 научных работах, среди: которых две публикации в реферируемых журналах, один препринт, а также четыре доклада в сборниках материалов и тезисов научных конференций:

А. X. Пергамент, Д. А. Улькин— Автомодельные асимптотики в задаче о распространении трещины гидроразрыва в плоско-деформированной среде //ПрепринтИПМ №22, Москва, 2007

А. X. Пергамент, Д; А. Улькин — Метод подобия и размерности в плоской задаче о распространении, вертикальной трещины гидроразрыва в упругой среде // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 2. С. 262-275

Д1Аг Улькин!— Моделирование первичньпс формшотери устойчивостий упругопластических тел при однородном сдвиге // Математическое моделирование, 22:12, С. 103-114, 2010

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 77 наименований. Работа изложена на 133 страницах и содержит 26 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Улькин, Дмитрий Александрович

Заключение

Исследована полная связанная задача с одновременным рассмотрением течения вязкой жидкости в трещине и плоско-деформированного состояния вмещающей среды, в отличие от широко используемых на данный момент решений РЮЧ и КХхО. Рассмотрены три различные постановки задачи: простейшая, в которой длина трещины определяется на основании материального баланса жидкости, как в большинстве работ по данной тематике, более общая, в которой длина трещины вычисляется на основе критерия разрушеN ния Ирвина, как в некоторых современных работах, посвященных исследованию влияния трещиностойкости породы на гидроразрыв, а также наиболее общая, в которой учитывается возможное наличие лага в носике трещины. Постановки задачи с лагом редко используются для исследования гидроразрыва, поскольку экспериментально установлено, что в большинстве случаев лаг занимает лишь несколько процентов от всей длины трещины. В данной диссертации показано, что наличие лага важно сразу по нескольким причинам. Во-первых, при рассмотрении, задач с заданным постоянным давлением в скважине, которые особенно актуальны для исследования геофизических процессов.в верхних слоях земной коры, наличие лага принципиально меняет поведение решения. Во-вторых, постановка с лагом более точно описывает поведение трещины гидроразрыва на- начальных этапах ее развития. В-третьих, при наличии лага не возникает сингулярность в функции давления в носике трещины, что позволяет использовать для численного решения аппроксимацию, приводящую к хорошо обусловленной численной задаче. При этом существенно, что применение численных методов позволило решить задачу с начальными условиями и исследовать выход на асимптотический режим, что было сделано впервые для данного класса задач.

С помощью методов подобия и размерности получены автомодельные асимптотические решения и установлены управляющие параметры. Это безразмерные значения коэффициента интенсивности напряжений К и горного давления Т. При этом, параметр Т стремится к бесконечности при увеличении характерного времени роста трещины, а параметр К постоянен при постоянной величине потока на входе в трещину, а при увеличении потока стремится к нулю.

Показано, что более сложные модели позволяют описать некоторые принципиальные особенности развития трещины гидроразрыва, которые невозможно описать в рамках простых моделей, такие как остановка трещины, различная крутизна профилей давления и режимы со значительной величиной лага. Так простейшая модель принципиально неверно описывает ситуацию при постоянной и убывающей скорости закачки жидкости, а модель дополненная условием для определения длины трещины из критерия разрушения не позволяет реализовать режимы с конечной величиной лага.

При помощи численных экспериментов, установлено, что решение задачи с начальными условиями достаточно быстро выходит на автомодельный режим,, даже в тех случаях, когда система-,уравнений« задачи не допускает явного автомодельного решения. Для модели с учетом трещиностойкости и лага в практически наиболее важном случае ненулевого горного давления и постоянного потока на входе в трещину решение стремится к автомодельному решению задачи без лага, но с учетом трещиностойкости, а при возрастающем потоке к решению Spence D.A., Sharp P. W. [75] для. простейшей модели. Последнее связано, с тем очевидным фактом, что P(t) —> 0 при t -» оо, если величина потока закачиваемой жидкости не растет экспоненциально. Установлено, что автомодельное решение в случае нулевого горного давления Т0 = 0 также является асимптотическим, поэтому не может с течением времени эволюционировать в решение Spence D.A., Sharp P.W. [75], как это утверждается в [49].

Установлено, что задача допускает также предельное автомодельное решение. В этом случае, для установления вида автомодельных переменных построена группа преобразований сдвига по времени, сохраняющая задачу. Существенно, что предельным автомодельным решением для задачи в наиболее общей постановке является известное решение Христиановича С.А. и Желтова Ю.П. [9], в то время как отсутствие лага в постановке приводит к принципиально иному предельному автомодельному решению Брепсе Б.А., 8Ьагр РЖ [75].

Построен алгоритм отыскания первичных форм потери устойчивости — кинематически допустимых перемещений упругопластического тела, раньше других доставляющих отрицательное значение функционалу работы виртуальных внешних сил, уравновешивающих механическую систему на малых перемещениях из положения равновесия. Алгоритм реализован для широко известной математической модели мизесова при пластическом нагружении и гукова при упругой разгрузке разупрочняющегося упругопластического тела. Для указанной модели численно найдены первичные формы потери устойчивости: Показано,* что-они имеют периодический характер с ярко выраженной^ локализацией зон пластической деформации в виде узких параллельных полос, что согласуется с результатами многочисленных экспериментальных данных, полученных в лабораторных и естественных условиях. Таким образом, доказана принципиальная возможность применения данного подхода для моделирования образования складчатых структур в горных породах.

Показано, что, несмотря на наличие близких локальных минимумов функционала, они имеют различную величину, в отличие от одномерных случаев, что позволяет надеяться на существование единственного глобального минимума и отсутствие вырождения и в более общих многомерных постановках.

19. Выход Р(О, г) на степенной режим при К — 1 и закачке /(г) = т для модели с учетом трещиностойкости.

20. Профили давления, нормированные на величину давления в нуле, после выхода на автомодельный режим при постоянной скорости закачки для Г = 0 и различных значений К для модели с учетом трещиностойкости и лага.

21. Установление одинакового отношения R(t)/ Ь(т) при экспоненциальной скорости закачки и Т = -1 для различных значений К для модели с учетом трещиностойкости и лага.

24. Локализованные зоны пластичности в мизесовом упругопластическом теле при потере устойчивости

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Улькин, Дмитрий Александрович, 2011 год

1. Баренблатт Г.И. О предельных автомодельных движениях в теории нестационарной фильтрации газа в пористой среде и теории пограничного слоя. -Прикладная математика и механика, 1955, т. 19, с. 61-88.

2. Баренблатт Г.И. О некоторых задачах теории упругости, возникающих при исследовании механизма гидравлического разрыва пласта // ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 4. С.475-486.

3. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике. Ленинград Гидроме-теоиздат, 1982.

4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

5. Гордеев Ю.Н. Автомодельное решение задачи о распространении псевдотрехмерной вертикальной трещины гидроразрыва в непроницаемом пласте // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №6. С. 79-86.

6. Гордеев Ю.Н. Автомодельные решения задач распространения трещин гидроразрыва в непроницаемом пласте. Изв. РАН МТТ 1996, № 5.

7. Гордеев Ю.Н., Зазовский А.Ф. Автомодельное решение задачи о глубокопроникающем гидравлическом разрыве пласта // Изв. РАН. МТТ. 1991. №5. С. 119-131.

8. Желтов Ю.В., Желтов Ю.П. О распространении горизонтальной трещины в горной породе под воздействием нефильтрующейся жидкости в случае постоянного горного давления // Изв. АН СССР. Отд. техн. н., механ. и мапш-ностр. 1959. №5. С. 166-169.

9. Желтов Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтяного пласта // Изв. АН СССР. Отд. техн. н. 1955. №5. С. 3-41.

10. Зазовский А.Ф. Распространение плоской круговой трещины гидроразрыва в непроницаемой горной породе // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. №2. С. 103-109.

11. Зазовский А.Ф., Одишария М.Г., Песляк Ю.А. Автомодельные решения задачи о распространении трещины гидроразрыва в непроницаемой горной породе // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №5. С. 92-100.

12. Ивашнев O.E.-, Смирнов H.H. Формирование трещины гидроразрыва в пористой среде //Вестн. МГУ. Математика, механика. 2003. №6. С. 28—36.

13. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

14. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

15. Мусхелишвилли Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Изд. Акад. наук СССР, 1954.

16. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений, М.:Наука, 1978.

17. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. О механизме деформирования сыпучего материала при больших сдвигах // ФТПРПИ. 1974. -№3. С.130-138.

18. Реутов В.А. Гидравлический разрыв пласта. // Итоги н. и т., Мех. деф. тв. т. 1989. Т. 20. С. 84-188.

19. Рыжак Е.И. К вопросу об осуществимости однородного закритического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине // Изв. АН СССР: МТТ. 1991.- №1.-С.111-127.

20. Рыжак Е.И. Условия устойчивости и формы проявления неустойчивости разупрочняющихся упругопластических тел. Москва: Ин. проблем мех., 2002, автореферат диссертации.доктор физ.-мат. наук.

21. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике (1944). Изд. ^9. М.: Наука, 1981.448 с.

22. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. Гл. Теория трещин (1968). Изд. 6. М.: Лань, 2004. С. 530-554.

23. Смирнов H.H., Тагирова В.Р. Автомодельные решения задачи о формировании трещины гидроразрыва в пористой среде // Изв. РАН. МЖГ, 2007, №1. С. 70-82.

24. Стоянов С.С. Механизм формирования разрывных зон. М.: Недра, 1977. 144с

25. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: Пер. сангл. М.: Мир, 1980.

26. Тимурзиев А.И., Гогоненков Г.Н. Структурно-тектоническая характеристика фундамента сдвиговых зон на примере Еты-Пуровского вала // Геология нефти и газа 2007. - №6. С.2-10.

27. Файф У., Прайс Н., Томсон А. Флюиды в земной коре. М.: Мир. 1981. 436 с.

28. Abe Н., Мига Т., Keer L.M. Growth rate of a penny-shaped crack in hydraulic fracturing of rocks. 1 // J. Geophys. Res. 1976a. V. 81. №29. P. 5335-5340. — РЖМех. 1977. 2B965.

29. Advani S., Lee Т., Lee J. Three dimensional modeling of hydraulic fractures in layered media: Finite element formulations // ASME J. Energy Res. Tech. 1990. V. 112. P. 1-18.

30. Adachi J.I. Fluid-driven fracture in permeable rock // Ph.D. thesis, University of Minnesota, Minneapolis. 2001. 177 pp.

31. Adachi J.I., Detournay E. Self-similar solution of a plane—strain fracture driven by a power-law fluid // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 2002. V. 26. P. 579-604.

32. Alekseenko O.P, Vaisman A.M., Zazovsky A.F. A new approach to fracturing test interpretation using PKN model // Int. J. Rock Mech. & Min. Sci. 1997. 34: 3-4. Paper №356.

33. Asaro R.J., Rice J.R. Strain localization in ductile single crystals. J. Mech.

34. Phys. Solids, 1977, v.25, No. 5, p. 309-338.

35. Batchelor G.K., 1967. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge, UK.

36. Brown M., Averkin Y., McLellan E.L., Sawyer E. Melt segregation in mig-matites // J. Geophys. Res. 1995.100. P. 15655-15679.

37. Bunger A.P., Detournay E., Garagash D.I. Toughness-dominated hydraulic fracture with leak-of // Int. J. Fracture. 2005. V. 134. №2. P. 175-190.

38. Bycrlee J., Voevoda O., Myachkin V., Summers R. Structures developed in fault gouge during stable sliding and stick slip. — Tectonophys., 1978, v. 44, No. 14, p. 161-171.

39. Carbonell R., Desroches J., Detournay E. A comparison between a semi-analytical and a numerical solution of a two-dimensional hydraulic fracture // Int. J. Solids Structures. 1999. V. 36. №(31-32). P. 4869-4888.

40. Carter R.D. Optimum fluid characteristics for fracture extension // ASME Spring Meeting, Mid-Continent District, ASME, Tulas, OK, 1957. In G. Howard ad C. Fast (Eds.), Drilling and Production Practices. 1957. P. 261-270.

41. Desroches J., Thiercelin M. Modeling propagation and closure of microhydraulic fractures // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. 1993. V. 30. P. 1231-1234.

42. Desroches J., Detournay E., Lenoach B., Papanastasiou P., Pearson J.R.A., Thiercelin M., Cheng A.H—D. The crack tip region in hydraulic fracturing // Proc. Roy. Soc. London A. 1994. V. 447. P. 39-48.

43. Detournay E. Propagation regimes of fluid-driven fractures in impermeable rocks // Int. J. Geomech. 2004. V. 4. P. 35-45.

44. Detournay E., Cheng A.H-D., McLennan J. A poroelastic PKN hydraulic fracture model based on an explicit moving mesh algorithm // ASME J. Energy Res. Tech. 1990. V. 112. P. 224-230.

45. Drucker D.C. A definition of stable inelastic material // J. Appl. Mech. ASME. 1959. - V.26. - P.101-106.

46. Economides M.J., Nolte K.G. Reservoir Stimulation. N.Y.: Wiley, 2000. 807 c.

47. Eekelen H.A.M. Hydraulic fracture geometry: fracture containment in layered formation // Soc. Petrol. Eng. J. 1982. V. 22. №3. P. 341-349. — P)KMex. 1983. 1T512.

48. Fan Y., Economides M.J. Fracture Dimensions in Frack&Pack Stimulation // Paper SPE 30469 Presented at the 1995 Annual technical Conference and Exibi-tion, Dallas, TX, Oct., 22-25, 1995.

49. Garagash D.I. Propagation of a plain-strain hydraulic fracture with a fluidlag: Early time solution. Int. J. Solids and Structure. 2006a. V. 43. P. 5811-5835.

50. Garagash D.I., Detournay E. Plane strain propagation of a fluid-driven fracture: Small toughness solution // ASME J. Appl. Mech. 2005. V. 72. P. 916-928.

51. Geertsma J., De Klerk F. A rapid method of predicting width and extent of hydraulic induced fractures // J. Pet. Tech. 1969. V. 246. P. 1571-1581. — SPE 2458.

52. Geertsma J., Haafkens R. A comparison of the theories for predicting width and extent of vertical hydraulically induced fractures // ASME J. Energy Res. Tech. 1979. V. 101. P. 8-19.

53. Gilbert J.V., Barree R.D.: Production Analysis of Multiply Fractured Horizontal Wells, SPE 123342, presented at SPE Rocky Mountain Petroleum Technology Conference in Denver, CO, USA; 14-16 April, 2009.N

54. Hill R. A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. 1958. - V.6. - P.236-249.

55. Hill R. Acceleration waves in solids // J. Mech. Phys. Solids. 1962. - V.10. -P.l-16.

56. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack trans versing a plate // Trans. ASME, Jour. Appl. Mech. 1957. V. 24, P. 361-364.

57. Kemp L.F. Study of Nordgren's equation of hydraulic fracturing // SPE Production engineering. 1990. P. 311-314. — SPE 18959.

58. Khristianovic S., Zheltov Y., 1955. Formation of vertical fractures by means of highly viscous fluids. In: Proceedings of the 4th World Petroleum Congress, Rome, vol. II, pp. 579-586.

59. Lam K.Y., Cleary M.P., and Barr D.T. A Complete Three-Dimensional Simulator for Analysis and Design of Hydraulic Fracturing // Paper SPE 15226 Presented at the Unconventional Gas Technology Symposium in Louisville, KY, May, 1986, 673-678.

60. Lenoach B. The crack tip solution for hydraulic fracturing in a permeable solid // J. Mech. Phys. Solids. 1995. V. 43. №7. P. 1025-1043.

61. Meyer B. R.: Three-Dimensional Hydraulic Fracturing Simulation on Personal Computers: Theory and Comparison Studies, SPE 19329 presented at the SPE Eastern Regional Meeting, Morgantown, Oct. 24-27, 1989.

62. Meyer B. R., Cooper, G. D. and Nelson, S. G.: "Real-Time 3-D Hydraulic Fracturing Simulation: Theory and Field Case Studies," SPE 20658 presented at the SPE 65thAnnual Technical Conf., New Orleans, Sept. 23-26, 1990.

63. Meyer B.R. and Jacot, R.H.: Pseudosteady-State Analysis of Finite Conductivity Vertical Fracture, SPE 95941, October, 2005.

64. Mitchell S.L., Kuske R., Peirce A.P. An asymptotic framework for the analysis of hydraulic fractures: the impermeable case // Journal of Applied Mechanics. 2007. V. 74. №2. P. 365-372.

65. Nordgren R.P. Propagation of vertical hydraulic fractures // J. Pet. Tech. 1972. V. 253. P. 306-314. — SPE 3009.

66. Perkins T.K., Kern L.R., 1961. Widths of hydraulic fractures. J. Pet. Tech., Trans. AIME 222, 937-949.

67. Rice J.R. The localization of plastic deformation // Theoretical and Applied Mechanics. Proc. 14th IUTAM Congr. Amsterdam: North-Holland, 1976. -P.207-220.

68. Rubin A.M. Tensile fracture of rock at high confining pressure: Implication for dike propagation//J. Geophys. Res. 1993. V. 98. P. 15919-15935.

69. Rudnicki J.W., Rice J.R. Conditions for the localization of deformation in pressure-sensitive dilatant materials.-J. Mech. Phys. Solids, 1975, v.23, No. 6, p. 371-394.

70. Savitski A. Propagation of a Penny—shaped Hydraulic Fracture in an Impermeable Rock // Ph. D thesis, University of Minnesota, Minneapolis. 2000.

71. Siebrits E., Peirce A. Hydraulic fracturing in laminated reservoirs // In R. Jeffrey and J. McLennan (Eds.), Proc. Workshop on Three-Dimensional and Advanced Hydraulic Fracture Modeling, Seattle. 2000. P. 1—12.

72. Simakin A., Talbot C. Tectonic pumping of pervasive granitic melts // Tecto-nophysics. 2001. 332: P. 387-402.

73. Sneddon I. N., and Elliott A. A. 1946. The opening of a griffith crack under internal pressure. Quarterly of Applied Mathematics, IV:262.

74. Spence D.A. An eigenvalue problem for elastic contact with finite friction.

75. Proc. Camb. phil. Soc. 73, 1973, pp. 249-268. '

76. Spence D.A., Sharp P.W., 1985. Self-similar solution for elastohydrodynamic cavity flow. Proc. Roy. Soc. Lond., Ser. A (400), 289-313.

77. Warpinski N.R. Measurement of width and pressure in a propagating hydraulic fracture // SPE/DOE Joint Symp. Low permeabil. Gas Reservoirs., Denver., Colo., 1983. Proc., Denver. 1983. P. 409-420. — РЖГорн. дело. 1986. 6Г471.

78. Zhang X., Detournay E., Jeffrey R. Propagation of a penny-shaped hydraulic fracture parallel to the free-surface of an elastic half—space // Int. J. Fracture. 2002. V. 115. P. 125-158.I