Моделирование процессов инициации и распространения трещин гидроразрыва пласта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Есипов, Денис Викторович

• Есипов, Денис Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Есипов, Денис Викторович

Содержание

Введение

1 Обзор моделей инициации и распространения трещин гидроразрыва пласта

1.1 Одномерные модели

1.1.1 Христиановича - Гиртсма - де Клерка (К£Ю) модель

1.1.2 Перкинса - Керна - Нордгрена (РКЫ) модель

1.1.3 Гибридная PKN - КИБ модель с фильтрационными утечками жидкости в породу

1.1.4 Гибридная РКМ - КСБ модель с фильтрационными утечками жидкости гидроразрыва и наличием примеси пропанта

1.1.5 Гибридная РКМ - КСБ модель с фильтрационными утечками жидкости гидроразрыва, расширенная уравнением пьезопроводности в области вне трещины

и уравнением переноса пропанта в трещине

1.1.6 Модель радиальной трещины

1.2 Двумерные модели

1.3 Псевдотрехмерные модели

1.4 Трехмерные модели

1.5 Модели инициации трещины гидроразрыва

2 Моделирование напряженно-деформированного состояния

2.1 Внешняя задача упругости и метод ее решения

2.1.1 Классический МГЭ

2.1.2 Классический МГЭ и условие на бесконечности

2.2 МГЭ для задач с частично вырожденной границей

2.3 Дуальный МГЭ для задач с частично вырожденной границей

2.4 Обзор способов вычисления коэффициентов интенсивности напряжений (КИНов)

2.5 Метод вычисления значения КИНов на основе «/-интеграла

2.6 Многозонный МГЭ

2.6.1 Постановка задачи упругости для нескольких подобластей

2.6.2 Построение результирующей системы линейных уравнений

2.7 Вычисление тензора напряжений на поверхности задачи

3 Моделирование распространения трещины гидроразрыва в

двумерной постановке

3.1 Двумерная модель гидроразрыва

3.1.1 Подзадача упругости

3.1.2 Подзадача течения и утечки жидкости в породу

3.1.3 Критерии распространения и выбора направления распространения трещины

3.1.4 Начальная конфигурация гидроразрыва

3.2 Пошаговое распространение трещины гидроразрыва

3.2.1 Численный метод решения нелинейной задачи распространения трещины

3.2.2 Численный метод решения связанной задачи «гидродинамика-упругость»

3.3 Валидация вычислительной методики путем сравнения с КСЭ моделью

3.4 Результаты расчетов

3.4.1 Влияние угла перфорирования

3.4.2 Влияние длины перфорации

3.4.3 Влияние неравномерности напряжений залегания

3.4.4 Влияние трещиностойкости породы

3.4.5 Влияние скорости закачки жидкости

3.4.6 Влияние реологии жидкости гидроразрыва

4 Моделирование инициации трещины гидроразрыва в трехмерной постановке

4.1 Постановка задачи моделирования инициации

4.1.1 Необсаженная скважина

4.1.2 Обсаженная скважина

4.2 Валидация методики путем моделирования эксперимента

4.2.1 Моделирование эксперимента 1

4.2.2 Моделирование эксперимента 2

4.3 Инициация трещины из перфорированной как необсаженной

так и обсаженной скважины

4.4 Влияние формы перфорации и вертикального сжимающего напряжения на процесс инициации

Заключение

Литература

Приложение А

Приложение Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процессов инициации и распространения трещин гидроразрыва пласта»

Введение

Диссертационная работа посвящена математическому моделированию процессов инициации и распространения трещин гидроразрыва пласта, имеющему существенное значение для построения оптимальной технологии гидроразрыва.

Актуальность темы исследований. Технологии разработки и добычи полезных ископаемых включены в перечень критических технологий Российской Федерации [1]. Среди них — технологии интенсификации добычи углеводородов, главной из которых является гидравлический разрыв продуктового пласта [2]. Он производится при помощи закачивания под высоким давлением в перфорированную скважину жидкости гидроразрыва, которая в области перфорации инициирует зародышевую трещину. Затем жидкость, надавливая на берега зародышевой трещины, заставляет ее распространяться вглубь массива породы, как схематично изображено на рис. 1. Для поддержания трещины в открытом состоянии через определенное время от начала подачи в жидкость гидроразрыва добавляются твердые частицы. После утечки жидкости в породу берега трещины ложатся на упаковку из попавших в трещину частиц. Образуется высокопроницаемый канал для фильтрации углеводородов из пласта в скважину, что увеличивает выкачиваемый объем углеводородов из скважины.

Проницаемость закрепленной трещины существенно зависит от ее положения, формы и распределения вдоль нее твердых частиц. Поэтому моделирование процесса гидроразрыва пласта, позволяющее определять давление жидкости, необходимое для инициации трещины, размер, расположение и ширину образовавшейся трещины — является актуальной задачей

Закачивание жидкости гидроразрыва

Скважина

Скорость жидкости в трещине

Деформация породы

Крыло трещины

Через перфорации жидкость поступает в трещину

Ширина трещины

Крыло трещины

Рис. 1. Процесс гидроразрыва пласта

поскольку позволяет проектировать и создавать трещины, максимизирующие добычу углеводородов.

Несмотря на то, что моделирование гидроразрыва ведется более 60-ти лет, остается ряд недостаточно изученных вопросов. Не выяснено влияние на кривизну траектории трещины в окрестности скважины всей совокупности ключевых параметров гидроразрыва: угла перфорации по отношению к направлениям действия главных напряжений, реологии жидкости гидроразрыва, скорости ее закачки и других факторов. В связи с этим актуальна как в научном, так и в практическом плане разработка более полных моделей, в которых одновременно решались бы по крайней мере три сопряженные задачи, в которых: отыскивалось течение неньютоновской жидкости в трещине, рассчитывалась упругая деформация породы и определялась

возможность распространения трещины с выбором направления.

При численной реализации модели гидроразрыва актуально наличие совершенных методик решения каждой из выше перечисленных задач. Особенно следует выделить метод расчета напряженно-деформированного состояния породы ввиду того, что рассматриваемая задача упругости является внешней с частично вырожденной границей, которая в свою очередь изменяется с течением времени. Также актуальна задача совершенствования методики совместного решения указанных подзадач, образующих связанную задачу моделирования распространения трещины гидроразрыва.

Цель исследования — создание численных моделей процессов инициации трещины гидроразрыва пласта и ее распространения, а также исследование особенностей и закономерностей этих процессов.

Объектом исследований выступают инициация трещины гидроразрыва, течение жидкости в ней, напряженно-деформированное состояние в ее окрестности и распространение трещины.

Предметом исследований являются закономерности возникновения и особенности поведения трещины при разрыве пласта в зависимости от геофизических условий.

В качестве метода исследования используется методы математического моделирования, включающие в себя: математическую формулировку задачи, построение эффективного численного алгоритма решения, программную реализацию алгоритма, проведение расчетов и анализ полученных результатов.

Основные задачи, решенные в ходе достижения поставленной цели.

1. Предложена и обоснована новая двумерная постановка связанной задачи моделирования процесса гидроразрыва, в которой одновременно определяются:

— напряженно-деформированное состояние породы,

— течение и утечка неньютоновской жидкости в трещине,

— скорость и направление распространения трещины.

2. Предложена трехмерная постановка задачи моделирования инициации трещины из перфорированной как необсаженной, так и обсаженной скважины.

3. На основе метода граничных элементов предложен модифицированный метод определения напряженно-деформированного состояния породы около скважины и трещины.

4. Создан метод решения системы объединенных нелинейных подсистем уравнений, возникающих при решении связанных задач.

5. Разработано программное обеспечение для численного моделирования инициации и нестационарного распространения трещин.

6. Проведены исследования процессов распространения трещин гидроразрыва при реальных геофизических условиях и различных условиях закачки неньютоновской жидкости и ее реологии.

7. Проведены исследования инициации трещины из перфорированной как необсаженной, так и обсаженной скважины гидроразрыва при реальных геофизических условиях.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие четырем пунктам паспорта специальности 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам.

Пункт 1: Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

1. Новый математический метод моделирования инициации трещин и новый метод распространения трещин гидроразрыва, объединяющий подмодели: напряженно-деформированного состояния породы около скважины и трещины, течения и утечки неньютоновской жидкости в трещине и скорости и направления распространения трещины.

Пункт 3: Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

2. Численный методы решения внешней задачи упругости с частично вырожденной границей, разработанный на основе метода граничных элементов и численный метод совместного решения задач течения неньютоновской жидкости, упругости и хрупкого разрушения.

Пункт 4: Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

3. Программный комплекс САБВЕМ/2011, предназначенный для расчета напряженно-деформированного состояния произвольного упругого тела, созданный на основе предложенных методов и используемый для проведения вычислительных экспериментов в филиале ООО «Технологическая Компания Шлюмберже» в г. Новосибирске и в ОАО «Силовые машины» «ЛМЗ» в г. Санкт-Петербурге.

Пункт 5: Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

4. Результаты моделирования процессов инициации трещины в трехмерной постановке и распространения трещины гидроразрыва в двумерной постановке и анализа влияния геофизических условий, условий закачки неньютоновской жидкости и ее реологии на эти процессы.

Таким образом, в соответствии с формулой специальности 05.13.18 в диссертации представлены оригинальные результаты одновременно из трех областей: математического моделирования, численных методов и комплексов программ.

Научная новизна выносимых на защиту результатов заключается в следующем.

Впервые рассмотрена двумерная модель гидроразрыва одновременно учитывающая напряженно-деформированное состояние породы, течение и утечку неньютоновской жидкости в трещине, скорость и направление распространения трещины. До последнего времени имелись работы, в которых

рассматривались двумерные модели гидроразрыва с учетом только напряженно-деформированного состояния, скорости и направления распространения трещины [3,4]. Также впервые рассмотрена трехмерная постановка задачи инициации при наличии обсадной колонны. До этого имелись только работы, в которых рассматривался процесс инициации трещины гидроразрыва без обсадной колонны [5,6], наличие которой является неотъемлемой частью технологического процесса гидроразрыва [7,8].

Предложен численный метод совместного решения нелинейных систем уравнений возникающих при решении объединенных задач из новой модели гидроразрыва.

Создан оригинальный программный комплекс на основе разработанных эффективных численных методов для решения внутренних и внешних задач упругости, в том числе и с вырожденной границей.

В рамках новой модели построены траектории распространения и раскрытия трещины гидроразрыва в зависимости от геофизических параметров и условий закачки жидкости и ее реологии. Указаны условия, при которых трещина гидроразрыва пережимается в окрестности скважины. В новой постановке рассчитаны давление жидкости, необходимое для инициации, а также положение и форма зародышевой трещины. Указано, что наличие обсадной колонны, как правило, увеличивает давление жидкости, необходимое для инициации.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается использованием в качестве основы моделирования фундаментальных законов механики твердого тела, механики жидкости, механики разрушения и выбором теоретически обоснованных численных методов, а также подтверждается хорошим согласованием результатов проведенных расчетов с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других исследователей.

Практическая ценность результатов исследования заключается в возможности использования полученных результатов в ряде прикладных областей нефтегазовой промышленности и горного дела, а также для мо-

делирования напряженно-деформированного состояния тел, деталей и конструкций (программный комплекс CADBEM/2011, зарегистрированный в Роспатенте 27 мая 2011 г., per. № 2011614189). Результаты диссертационной работы используются в исследованиях в филиале ООО «Технологическая Компания Шлюмберже» в г. Новосибирске и в ОАО «Силовые машины» «JIM3» в г. Санкт-Петербурге, что подтверждают приложенные в конце диссертации акты об использовании научных результатов в практической деятельности.

Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на объединенном научном семинаре ИВТ СО РАН «Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» под руководством академика РАН Шокина Ю. И. и профессора Ковени В.М., на научном семинаре в ИГД СО РАН, а также на семи всероссийских и международных конференциях:

1. Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» посвященная памяти академика A.A.Самарского в связи с 90-летием со дня его рождения, Москва, Июнь 2009.

2. Всероссийская конференция, приуроченная к 80-летию академика С. К. Годунова «Математика в приложениях», Новосибирск, Июль 2009.

3. VII Казахстанско-Российская международная научно-практическая конференция «Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности», Алма-Ата, Сентябрь 2010.

4. XI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, Октябрь 2010.

5. X Всероссийская конференция «Краевые задачи и математическое моделирование», Новокузнецк, Ноябрь 2010.

6. Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» посвященная 90-летию Н.Н. Яненко, Новосибирск, Июнь 2011.

7. Международная конференция «Математические и информационные технологии, М1Т-2011» (IX конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке технике и образовании»), Врнячка Баня, Будва, Сентябрь 2011.

Основные результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах [1-15], в том числе (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций в печатных листах, в знаменателе — объем принадлежащий лично автору) 3 статьи в периодических изданиях рекомендованных ВАК [1-3] для представления основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора или кандидата наук (5.0/2.7), 1 статья в периодическом рецензируемом издании [4] (0.5/0.5), 1 — в сборнике научных статей [5] (1.1/0.8), 2 — в трудах международных конференций [67] (1.6/0.8), 1 свидетельство государственной регистрации программ для ЭВМ (в Роспатенте), 7 публикаций в тезисах международных и всероссийских конференций [9-15] (0.5/0.2).

Личный вклад. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. Во всех совместных работах [1-10,12-15] автор участвовал в формулировках постановок задач, создал и реализовал в виде комплекса программ численный метод для моделирования напряженно-деформированного состояния породы, провел расчеты и анализ их результатов. Также в совместных работах [2,7,9,10,12,14,15] автор участвовал в создании численного метода совместного решения задач.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Диссертация изложена на 142 страницах машинописного текста, включая 70 иллюстраций и 2 таблицы. Список цитируемой литературы содержит 114 наименований.

Во Введении кратко описан сам процесс гидравлического разрыва пла-

ста и обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели и задачи исследований, основные результаты, выносимые на защиту. Также приведены сведения о научной новизне, практической значимости работы, апробации результатов и основных публикациях. А также кратко излагается содержание диссертации по главам.

В Главе 1 приведен наиболее полный из существующих в настоящее время обзор моделей гидроразрыва пласта и инициации трещины гидроразрыва пласта. Описаны как ставшие уже классическими одномерные КОБ, и радиальная модели, так и их современные усовершенствова-

ния. Основными путями их усовершенствования являются учет фильтрационных утечек жидкости гидроразрыва через стенки трещины в породу и учет переноса и осаждения твердых частиц в трещине. Однако все одномерные модели обладают двумя существенными недостатками: трещина рассматривается как плоский разрез и распространяется только в продольном направлении. Дальнейшее совершенствование моделей гидроразрыва сосредоточено на устранении этих недостатков. Рассмотрение искривления траектории трещины в горизонтальной плоскости привело к созданию двумерных моделей гидроразрыва, а рассмотрение наряду с продольным вертикального распространения трещины привело к созданию псевдотрехмерных моделей. В обзоре также отмечены и полностью трехмерные модели, не получившие пока широкого применения ввиду своей высокой вычислительной трудоемкости.

Глава 2 посвящена разработке модифицированного метода определения напряженно-деформированного состояния породы, успешно примененному в диссертационной работе как в задаче распространения трещины гидроразрыва в двумерной постановке, так и в задаче инициации трещины в трехмерной постановке. Отмечено, что в каждой из этих задач рассматривается внешняя задача упругости. В дополнении к этому в задаче распространения трещины граница является частично вырожденной (т. е. часть границы представляется берегами разреза) и меняется с течением времени. Также рассмотрены вспомогательные вопросы вычисления коэффициентов

интенсивности напряжений и определения тензора напряжений на поверхности задачи.

В Главе 3 представлена плоская двумерная постановка задачи гидроразрыва. Приводится оригинальный метод пошагового распространения трещины гидроразрыва, на каждом шаге которого решается нестационарная задача «упругость - жидкость». Рассматриваются методы решения такой совместной задачи, объединяющей линейную подзадачу упругости и нелинейную подзадачу течения неньютоновской жидкости между параллельными стенками. Так как задача характеризуется достаточно большой интерфейсной границей между подзадачами предложено представить её в виде задачи минимизации для некоторого функционала. В этой главе проведена валидация построенной вычислительной методики на модели Хри-стиановича- Гиртсма — де Клерка (КОБ). Затем представлены результаты численного моделирования процесса гидроразрыва для реальных геофизических параметров, условий закачки жидкости и ее реологии.

В главе 4 представлена трехмерная постановка задачи инициации для перфорированной как необсаженной, так и обсаженной скважины. Приводится модель инициации трещины гидроразрыва и методика построения зародышевой трещины. В этой главе проведена верификация построенной вычислительной методики путем моделирования двух экспериментов. Затем представлены результаты численного моделирования процесса инициации трещины гидроразрыва для реальных геофизических параметров.

В заключении диссертационной работы сформулированы основные выводы и приведены выносимые на защиту результаты.

В приложении А выписаны интерполяционные формулы для различных типов граничных элементов.

В приложении Б приведено описание программного комплекса САБВЕМ/2011 и описаны примеры решения как тестовых задач, так и сложной задачи упругости для изолированной лопасти рабочего колеса гидротурбины.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность С. Г. Чер-

ному за всестороннюю поддержку и постоянное внимание в ходе выполнения работы. Успешному выполнению работы способствовали ценные критические замечания В. Н. Лапина, Д. С. Куранакова, Д. В. Банникова, Д. В. Чиркова.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Есипов, Денис Викторович

Заключение

В диссертации приведено решение актуальной задачи моделирования процесса распространения трещины гидроразрыва в двумерной постановке и задачи инициации трещины из перфорированной как необсаженной, так и обсаженной скважины в трехмерной постановке. Построены эффективные численные методы для моделирования этих процессов. Создан программный комплекс САБВЕМ/2011, предназначенный для расчета напряженно-деформированного состояния произвольного упругого тела, основанный на предложенных методах. Выявлены закономерности развития и искривления траектории трещины гидроразрыва до ее выхода на магистральное направление гидроразрыва. Выполнен анализ влияния как геофизических, так и технологических параметров на давление инициации и месторасположении зародышевой трещины гидроразрыва.

Основные научные и практические результаты проведенных исследований заключаются в следующем.

1. Предложена и обоснована новая двумерная постановка связанной задачи моделирования процесса гидроразрыва, в которой одновременно определяются: напряженно-деформированное состояние породы, течение и утечка неньютоновской жидкости в трещине, скорость и направление распространения трещины.

2. Предложена трехмерная постановка задачи моделирования инициации трещины из перфорированной как необсаженной, так и обсаженной скважины при реальных геофизических условиях.

3. На основе метода граничных элементов предложен модифицированный метод определения напряженно-деформированного состояния породы около скважины и трещины, реализованный в виде программного комплекса САБВЕМ/2011.

4. Создан численный метод решения системы объединенных нелинейных подсистем уравнений, возникающих при решении связанных задач течения неньютоновской жидкости, упругости и хрупкого разрушения.

5. Разработано программное обеспечение для численного моделирования инициации и нестационарного распространения трещин.

6. Проведены исследования процессов распространения трещин гидроразрыва при реальных геофизических условиях и различных условиях закачки неньютоновской жидкости и ее реологии. Установлено, что напряжения в естественном залегании породы и величина угла перфорации по отношению к направлению максимальных сжимающих напряжений играют основную роль в формировании траектории трещины и ее ширины. Сильная неравномерность напряжений в естественном залегании породы вкупе с большим углом перфорации приводит к значительному искривлению трещины гидроразрыва. Большой угол перфорации приводит к пережатию трещины гидроразрыва в окрестности скважины, и как следствие закупорке трещины. Показано, что рост меры консистенции неньютоновской жидкости приводит к спрямлению траектории распространения.

7. Проведен сравнительный анализ инициации трещины из перфорированной необсаженной и обсаженной скважин. Результаты вычислительных экспериментов показывают, что механизмы инициации трещины в этих случаях гидроразрыва значительно отличаются. При обсаженной скважине трещина всегда инициируется на поверхности перфорации в отличии от инициации трещины на стыке скважины и перфорации при необсаженной скважине. Установлена оптимальная длина перфорации, увеличение которой уже практически не снижает давление инициации трещины. При этом выяснено, что форма перфорации не играет существенной роли в процессе. Установлено, что напряжения в естественном залегании породы и направление перфорации играют основную роль в процессе инициации трещины гидроразрыва.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Есипов, Денис Викторович, 2011 год

Литература

[1] Об утверждении приоритетных направлений развития науки, технологий и техники в Российской Федерации и перечня критических технологий Российской Федерации: Указ Президента Рос. Федерации от 7 июля 2011 г. № 899 // Собр. законодательства Рос. Федерации. — 2011. - № 28. - Ст. 4168.

[2] Ибрагимов JI. X., Мищенко И. Т., Челоянц Д. К. Интенсификация добычи нефти — М.: Наука, 2000. — 414 с.

[3] Зубков В. В., Кошелев В.Ф., Линьков A.M., Численное моделирование инициирования и роста трещин гидроразрыва // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 2007. — № 1. — С. 45-63.

[4] Мартынюк П. А., Особенности развития трещин гидроразрыва в поле сжатия // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2008. - № 6. - С. 19-29.

[5] Hossain М. М., Rahman М. К., Rahman S. S. Hydraulic fracture initiation and propagation: roles of wellbore trajectory, perforation and stress regimes //J. Petroleum Science and Engineering — 2000. — Vol. 27, iss. 3-4 — P. 129-149.

[6] Yuan Y., Abousleiman Y., Weng X., Roegiers J.-C. Three-dimensional elastic analysis on fracture initiation from a perforated borehole // Paper SPE — 1995. — No. 29601.

[7] Howard G.C., Fast C.R. Hydraulic fracturing — Dallas: SPE — 1970. — 261 p.

[8] Экономидес М., Олини Р., Валько П. Унифицированный дизайн гидроразрыва пласта. От теории к практике — М.: Институт компьютерных исследований, 2007. — 236 с.

[9] Банников Д. В., Есипов Д. В., Черный С. Г., Чирков Д. В. Оптимизационное проектирование ротора гидротурбины по критериям эффективность-прочность // Теплофизика и Аэромеханика. — 2010. — Т. 17, № 4. - С. 651-658.

[10] Алексеенко О. П., Есипов Д. В., Куранаков Д. С., Лапин В.Н., Черный С. Г., Двумерная пошаговая модель распространения трещины гидроразрыва // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. — 2011. - Т. 11., вып. 3. - С. 36-59.

[11] Есипов Д. В., Куранаков Д. С., Лапин В. Н., Черный С. Г., Многозонный метод граничных элементов и его применение к задаче инициации трещины гидроразрыва из перфорированной обсаженной скважины // Вычислительные технологии. — 2011. — Т. 16., № 6. — С. 1326.

[12] Есипов Д. В. Моделирование процесса инициации гидроразрыва пласта методом граничных элементов // Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. - 2010. - № 3(66). - С. 270-277.

[13] Черный С. Г., Лапин В. Н., Есипов Д. В., Куранаков Д. С. Метод граничных элементов и его приложение к задаче разрушения перфорированной скважины // Тем. Сб. науч. ст. «Краевые задачи и математическое моделирование». — Новокузнецк: Новокузнецкий филиал КемГУ, 2010. - Т. 1. - С. 159-168.

[14] Есипов Д. В., Черный С. Г., Куранаков Д. С., Лапин В. Н. Моделирование многозонным методом граничных элементов процесса инициации трещины гидроразрыва пласта из перфорированной обсаженной скважины // Труды междунар. конф. «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Янен-

ко. — № гос. per. 0321101160, НТЦ «Информрегистр». — Новосибирск, 2011. — http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/fulltext /40532/47467/EsipovDV.pdf

[15] Черный С. Г., Лапин В.Н., Есипов Д. В., Куранаков Д. С. Некоторые особенности численного моделирования гидроразрыва пласта // Труды междунар. конф. «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Янен-ко. — № гос. per. 0321101160, НТЦ «Информрегистр». — Новосибирск, 2011. — http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/fulltext /40670/47352/LapinVN_big.pdf

[16] Черный С. Г., Есипов Д. В., Лапин В.Н., Банников Д. В. Программа расчета напряженно-деформированного состояния произвольного упругого тела методом граничных элементов САБВЕМ/2011 / Свид. о гос. per. прогр. для ЭВМ. Per. № 2011614189. Роспатент.

[17] Черный С. Г., Чирков Д. В., Лапин В.Н., Есипов Д. В., Алексеен-ко О. П., Медведев О.О. Численное моделирование процесса гидроразрыва пласта // Тез. докладов междунар. конф. «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» памяти и к 90-летию А. А. Самарского. — М.: ВМК МГУ, 2009. — С. 381-382.

[18] Lapin V.N., Cherny S.G., Chirkov D.V., Esipov D.V., Alek-seenko O. P., Medvedev О. О. 2Б numerical of hydraulic fracturing // Тез. докладов Всерос. конф. приуроченная к 80-летию акад. С. К. Годунова «Математика в приложениях». — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2009. - С. 304-305.

[19] Есипов Д. В. Моделирование многозонным методом граничных элементов процесса инициации гидроразрыва при наличии развитой трещины // Прогр. и тез. докл. XI Всерос. конф. молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. — Красноярск: ИВТ СО РАН, 2010. - С. 22-23.

[20] Черный С. Г., Чирков Д. В., Лапин В.Н., Банников Д. В., Еси-пов Д. В., Куранаков Д. С., Авдюшенко А.Ю., Скороспелов В. А., Ту рук П. А. Численное решение сопряженных задач «гидродинамика — упругость» // Материалы XVII Междунар. конф. по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС 2011) - Алушта: МАИ-ПРИНТ, 2011. - С. 169-171.

[21] Ееипов Д. В., Черный С. Г., Куранаков Д. С., Лапин В. Н. Моделирование многозонным методом граничных элементов процесса инициации трещины гидроразрыва пласта из перфорированной обсаженной скважины // Тез. докл. междунар. конф. «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» посвященная 90-летию со дня рождения H.H. Яненко — Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2011. - С. 88-89.

[22] Черный С. Г., Лапин В. Н., Ееипов Д. В., Куранаков Д. С. Некоторые особенности численного моделирования гидроразрыва пласта // Тез. докл. междунар. конф. «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» посвященная 90-летию со дня рождения Н. Н. Яненко — Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2011. - С. 106-107.

[23] Лапин В.Н., Черный С. Г., Ееипов Д. В., Куранаков Д. С. Математические модели и численные методы гидроразрыва пласта // Справ, конф. «Математические и информационные технологии, МИТ 2011» — Врнячка-Баня; Будва: Математическое общество Косово и Метохии, 2011. — С. 97.

[24] Behrmaim L.A., Elbel J.L., Effect of perforations on fracture initiation // J. Petr. Tech. — 1991. — P. 608-615.

[25] Ching H. Y. Mechanics of Hydraulic Fracturing — Houston: Gulf publishing company, 2010. — 182 p.

[26] Mendelsohn D.A. A review of hydraulic fracture modeling — Part I:

General concepts, 2D models, motivation for 3D modeling //J. Energy Resour. Tech. — 1984. — Vol. 106., iss. 3. — R 369-376.

[27] Mendelsohn D.A. A review of hydraulic fracture modeling — Part II: 3D Modeling and vertical growth in layered rock //J. Energy Resour. Tech. — 1984. — Vol. 106., iss. 4. — P. 543-553.

[28] Geertsma J. Chapter 4. Two-dimensional fracture propagation models // Recent advances in hydraulic fracturing, Monograph Series, 12. / Eds. Gidley J., Holditch S., Veatch D.N.R. — Richardson TX: SPE, 1989. — P. 81-94.

[29] Adachi J., Siebrits E., Peirce A., Desroches J. Computer simulation of hydraulic fractures // Int. J. Rock Mechanics & Mining Sciences. — 2007. — Vol. 44. — P. 739-757.

[30] Clark J. B. Hydraulic process for increasing productivity of wells // Trans. AIME. — 1949. — Vol. 186. — P. 1-8.

[31] Каневская P. Д. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта. — М.: Недра, 1997. — 211 с.

[32] Economides М. J., Nolte К. G. Reservoir stimulation, 3rd ed. — West Sussex: John Wiley к Sons, 2000. — 856 p.

[33] Crittendon В. C. The mechanics of design and interpretation of hydraulic fracture treatments //J. Petr. Tech. — 1959. — No. 9. — P. 21-29.

[34] Harrison E., Kieschnick W. F., McGuire W.J. The mechanics of fracture induction and extension // Petr. Transactions AIME — 1954. — Vol. 201. — P. 252-263.

[35] Hubbert M.K., Willis D.G., Mechanics of hydraulic fracturing //J. Petr. Tech. — 1957. — Vol. 9. — P. 153-168.

[36] Carter R. D. Appendix I. Derivation of the general equation for estimating the extent of the fractured area // Drilling and Production Practice / Eds. Howard G.C., Fast C.R. — N. Y.: American Petr. Institute, 1957. — P. 261-270.

[37] Желтов Ю.П., Христианович С. А. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта // Изв. АН СССР. Отдел технических наук. — 1955. - № 5. - С. 3-41.

[38] Sheddon I. N. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack in a elastic solid // Proc. Royal Soc. A. — 1946. — Vol. 187. — P. 229260.

[39] Sheddon I.N., Elliott A. A. The opening of a griffith crack under internal pressure // Quarterly of Appl. Math. — 1946. — No. 4. — P. 262-267.

[40] Geertsma J., de Klerk F. A rapid method of predicting width and extent of hydraulically induced fractures //J. Petr. Tech. — 1969. — No. 12. — P. 1571-1581.

[41] Perkins Т.К., Kern L. R. Widths of hydraulic fractures // SPE, J. Petroleum Tech. — 1961. — No. 9. — P. 937-949.

[42] Nordgren R. P. Propagation of a vertical hydraulic fracture // SPE J. — 1972. — Vol. 12., no. 4. — P. 306-314.

[43] Abe H., Mura Т., Keer L.M., Growth rate of a penny-shaped crack in hydraulic fracturing of rocks // J. of Geophysical Research — 1976. — Vol. 81. — P. 5335-5340.

[44] Abe H., Keer L.M., Mura Т., Theoretical study of hydraulically fractured penny-shaped cracks in hot, dry rocks // Int. J. for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. — 1979. — Vol. 3. — P. 79-96.

[45] Sneddon I., Lowengrub M. Crack Problems in the Classical Theory of Elasticity. — N. Y.:John Wiley к Sons, 1969 — 221 p.

[46] Spence D.A., Sharp P. Self-similar solutions for elastohydrodynamic cavity flow // Proc. Royal Soc. A. — 1985. — Vol. 400. — P. 289-313.

[47] Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974. - 640 с.

[48] Daneshy A. A. On the design of vertical hydraulic fractures. //J. Petr. Tech. — 1973. — Vol. 1. — P. 83-97.

[49] Adachi J. I., Detournay E. Self-similar solution of a plane-strain fracture driven by a power-law fluid // Int. J. for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. — 2002. — Vol. 26. — P. 579-604.

[50] Баренблатт Г. И. О некоторых задачах теории упругости, возникающих при исследовании механизма гидравлического разрыва нефтеносного пласта // Прикл. мат. и мех. — 1956. — Т. 20., вып. 4. — С. 475-486.

[51] Papanastasiou P. The influence of plasticity in hydraulic fracturing // Int. J. of Fracture — 1997. — Vol. 84. — P. 61-97.

[52] Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, — М.: Наука, 1970. — 904 с.

[53] Бабе Г. Д., Бондарев Э.А., Воеводин А. Ф., Каниболотский М.А. Идентификация моделей гидравлики. — Новосибирск: Наука, 1980. — 161 с.

[54] Алексеенко О. П., Вайсман A.M. Прямолинейный гидроразрыв в упругой плоскости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1988. - № 6. - С. 145-149.

[55] Алексеенко О. П., Вайсман А. М. Некоторые особенности плоской задачи гидроразрыва упругой среды // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых — 1999. — № 3. — С. 64-70.

[56] Desroches J., Detournay Е., Lenoach В., Papanastasiou P., Pearson J.R. A., Thiercelin M., Cheng A.H.-D. The crack tip region in

hydraulic fracturing // Proc. Royal Soc. A. — 1994. — Vol. 447. — P. 39-48.

[57] Garagash D., Detournay E. The tip region of a fluid-driven fracture in an elastic medium // J. of Applied Mechanics — 2000. — Vol. 67. — P. 183-192.

[58] Lecampion В., Detournay E. An implicit algorithm for the propagation of a hydraulic fracture with a fluid lag // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering — 2007. — Vol. 196, iss. 49-52. — P. 48634880.

[59] Nolte K. G. Fracturing-pressure analysis for nonideal behavior // J. Petroleum Tech. — 1991. — No. 2. — P. 210-218.

[60] Ивашнев О. E., Смирнов H. H. Формирование трещины гидроразрыва в пористой среде // Вестник М. Университета. Сер. 1. Математика, механика. - 2003. - № 6. — С. 28-36.

[61] Смирнов Н.Н., Тагирова В. Р., Автомодельные решения задачи о формировании трещины гидроразрыва в пористой среде // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2007. — № 1. — С. 70-82.

[62] Тагирова В. Р., Распространение трещины гидроразрыва под напором неньютоновской жидкости // Вестник М. Университета. Сер. 1. Математика, механика. — 2009. — № 6. — С. 33-41.

[63] Татосов А. В. Модель закачки проппанта в трещину гидроразрыва // Вычислительные технологии. — 2005. — Т. 10., № 6. — С. 91-101.

[64] Татосов А. В. Движение вязкой жидкости с примесью частиц в пористом канале // Вестник ТюмГУ. - 2007. - № 5. - С. 56-60.

[65] Ентов В. М., Вазовский А. Ф., Стелин И. Б., Хараидзе Д. М. Одномерная модель распространения трещины гидроразрыва // Материалы IX Всесоюзного семинара «Численные методы решения задач фильтрации. Динамика многофазных сред». Якутск, 1988. — Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1989. - С. 91-95.

[66] Алексеенко О. П., Вайсман А. М. Рост почти заполненной осесиммет-ричной трещины гидроразрыва при малых и больших утечках / / Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 2004. - № 3. - С. 1-11.

[67] Atkinson С., Eftaxiopoulos D.A., Numerical and analytical solution for the problem of hydraulic fracturing from cased and cemented wellbore // Int. J. of Solids and Structures — 2002. — Vol. 39., no. 6. — P. 1621-1650.

[68] Cherny S., Chirkov D., Lapin V., Muranov A., Bannikov D., Miller M., Willberg D. Two-dimensional modeling of the near-wellbore fracture tortuosity effect // Int. J. of Rock Mechanics and Mining Sciences. — 2009. — Vol. 36., no. 6. — P. 992-1000.

[69] Settari A., Cleary M.P. Three-dimensional simulation of hydraulic fracturing // Journal of Petroleum Technology — 1984. — Vol. 36., No. 7. — P. 1177-1190.

[70] Vandamme L., Curran J.H. A three-dimensional hydraulic fracturing simulator // International Journal for Numerical Methods in Engineering — 1989. — Vol. 28., iss. 4. — P. 909-927.

[71] Ouyang S., Carey G. F., Yew С. H An adaptive finite element scheme for hydraulic fracturing with proppant transport // Int. J. for Numerical Methods in Fluids — 1997. — Vol. 24. — P. 645-670.

[72] Vandamme L., Curran J.H. A three-dimensional hydraulic fracturing simulator // Int. J. for Numerical Methods in Engineering. — 1989. — Vol. 28., iss. 4. — P. 909-927.

[73] Morales R. H., Brady В. H. Three-dimensional analysis and visualization of the wellbore and the fracturing process in inclined wells // Paper SPE — 1993. — No. 25889.

[74] Sousa J. L., Carter B. J., Ingraffea A. R. Numerical simulation of 3D hydraulic fracture using newtonian and power-law fluids // Int. J. of

Rock Mechanics and Mining Sciences к Geomechanics Abstracts. — 1993. — Vol. 30., iss. 7. — R 1265-1271.

[75] Carter B. J., Desroches J., Ingrafea A. R., Wawrzynek P. A. Simulating fully 3D hydraulic fracturing — preprint - 57 p.

[76] Rungamornrat J., Wheeler M. F., Mear M. E. A numerical technique for simulating non-planar evolution of hydraulic fractures // Paper SPE — 2005. — No. 96968.

[77] Fallahzadeh S.H., Shadizadeh S.R. Pourafshary P. Dealing with the challenges of hydraulic fracture initiation in deviated-cased perforated boreholes // Paper SPE — 2010. — No. 132797.

[78] Papanastasiou P., Zervos A. Stability of perforations near hydraulic fractures // Int. J. of Rock Mechanics and Mining Sciences. — 1998. — Vol. 35. — P. ?-?.

[79] Papanastasiou P., Zervos A., Three-dimensional stress analysis of a wellbore with perforations and a fracture // Paper SPE — 1998. — No. 47378.

[80] Купрадзе В. Д., Методы теории потенциала в теории упругости. — М.: Наука, 1963. - 472 с.

[81] Зенкевич О. С. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975. - 541 с.

[82] Smith I. М., Griffiths D. V. Programming the finite element method, 4th edition. - West Sussex: John Wiley к Sons, 2004. - 628 p.

[83] Rizzo F.J. An integral equation approach to boundary value problems of classical elastostatics // Quarterly Journal of Applied Mathematics. — 1967. — No. 25. — P. 83-95.

[84] Бенерджи П., Баттерфилд P. M. Методы граничных элементов в прикладных науках. — М.: Мир, 1984. — 494 с.

Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. — М.: Мир, 1987. - 262 с.

Betti Е. Teoria dell elasticita //И Nuovo Cienmento — 1872. — P. 710.

Somigliana C. Sopra l'equilibrio di un corpo elastico isotropo //II Nuovo Cienmento — 1886. — P. 17-29.

Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука., 1979. - 560 с.

Амензаде. Ю.А. Теория упругости: Учебник для университетов. — М.: Высшая школа., 1971. — 288 с.

Lachat J. С., Watson J. О. Effective numerical treatment of boundary integral equations: A formulation for three-dimensional elastostatics // Int. J. for Numerical Methods in Engineering — 1976. — Vol. 10. — P. 991-1005.

Мусхелишвили Н.И., Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Изд. АН СССР, 1949. — 635 с.

Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. — Санкт-Петербург: Наука, 1999. — 382 с.

Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. — М.: Мир, 1987. — 328 с.

Portela A., Aliabadi М. Н., Rooke D. P. The dual boundary element method: efficient implementation for cracked problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering — 1992. — Vol. 33. — P. 1269-1287.

[95] Irwin G. R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack transversing a plate //J. Applied Mechanics — 1957. — Vol. 24. -P. 361-364.

[96] Saigado N.K., Aliabadi M. H. Boundary element analysis of fatigue crack propagation in stiffened panels // AIAA J. Aircraft. — 1998. — Vol. 35(1)., P. 122-130.

[97] Smith R. N. L. The solution of mixed-mode fracture problems using the boundary element method

Engineering Analysis with Boundary Elements. — 1988. — Vol. 5. — P. 75-80.

[98] Fedelinski P., Aliabadi MH, Rooke D.P. A time-domain DBEM for rapidly growing cracks // Int. J. for Numerical Methods in Engineering. — 1997. — Vol. 40. — P. 1555-1572.

[99] Aliabadi M. H. Boundary element formulations in fracture mechanics // Appl. Mech. Rev. ASME — 1997. — Vol. 50. — P. 83-96.

[100] Tsepoura K.G., Polyzos D. Static and harmonic bem solutions of gradient elasticity problems with axisymmetry // Comput. Mech. — 2003. Vol. 32. — P. 89-103.

[101] Черепанов Г. П. О распространении трещин в сплошной среде // ПММ. - 1967. - Т. 31(3). - С. 476-488.

[102] Rice J. R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks //J. Appl. Mech. — 1968. — Vol. 35. — P. 379-386.

[103] Ishikawa H., Kitagawa H., Okamura H. J-integral of mixed mode crack and its application // Proc. 3rd Int. Conf. on Mehanical Behavior of Materials. — Oxford: Pergamon press, 1980. — Vol. 3. — P. 447-455.

[104] Aliabadi M. H. Evaluation of mixed mode stress intensity factors using path independent integral // Proc. 12th Int. Conf. on Boundary Elements Method. — Southhampton: Computational Mechanics Publications, 1990. — P. 281-292.

[105] Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. — М.: Мир, 1981. - 155 с.

[106] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. — 624 с.

[107] Levenberg К. A method for the solution of certain non-linear problems in least squares // The Quarterly of Applied Mathematics. — 1944. — Vol. 2. — P. 164-168.

[108] Marquardt D. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1963. — Vol. 11., iss. 2. — P. 431-441.

[109] Halleck P.M., Behrmann L. A., Penetration of sharped charges in stressed rock // Proc. 31st U.S. Symposium on Rock Mechanics. — Golden, 1990. — P. 629-636.

[110] Cormen Т.Н., Leiserson C.E., Rivest R. L., Stein C. Introduction to algorithms, 2nd edition — Cambridge: MIT Press, 2001 — 1184 p.

[111] Goto K., Geijn R. A., Anatomy of high-performance matrix multiplication // ACM Transactions on Mathematical Software — 2008. -Vol. 34., iss. 3 — P. 1-25.

[112] Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition — SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, 2003. — 477 p.

[113] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2003. — Т. VII. Теория упругости. — 264 с.

[114] Доннел Л. Г. Балки, пластины и оболочки. — М.: Наука, 1982. — 567 с.