Пластическое течение и упруго-пластическое деформирование сыпучей среды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Кондратьев, Дмитрий Сергеевич

• Кондратьев, Дмитрий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кондратьев, Дмитрий Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Основные положения механики гранулированных сред

§1. Напряженное состояние

§ 2. Деформация

§3. Скорость деформации

§ 4. Дифференциальные уравнения равновесия. Граничные условия

§ 5. Упругое тело, идеальная и вязкая жидкости

§ 6. Поверхность и кривая текучести. Условия текучести

§ 7. Уравнения пластического состояния

§ 8. Предельное равновесие сыпучей среды

§ 9. Предельное равновесие сыпучей среды при плоском деформированном состоянии

§ 10. Уравнения равновесия в напряжениях и скоростях

§11. Линии разрыва полей скоростей

§ 12. Основные краевые задачи. Численное интегрирование уравнений

Глава 2. Устойчивость оснований и откосов

§ 13. Напряженное состояние оснований

§ 14. Устойчивость откосов.

§ 15. Устойчивость оснований. Минимальное давление

§ 16. Активное давление засыпки на подпорную стенку

§ 17. Пассивное давление засыпки на подпорные стенки

Глава 3. Упругопластическое деформирование и предельное равновесие гранулированных сред

§ 18. Условие интегрируемости уравнений теории течения

§ 19. Разрешающая система уравнений. Плоское деформированное состояние

§ 20. Нагружение цилиндрической трубы внутренним давлением

§ 21. Упругопластическое деформирование кругового пласта

§ 22. Упругопластическое деформирование склона

§ 23. Численные итерационные методы решения

ВЫВОДЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пластическое течение и упруго-пластическое деформирование сыпучей среды»

Согласно сложившейся терминологии, под механикой сыпучих сред понимается наука о законах деформирования грунтов, горных пород, собственно гранулированных и сыпучих сред и других материалов, поведение которых объединяется тем, что условия перехода к состоянию пластического течения (критерии текучести) зависят от гидростатического давления.

Механика сыпучих сред является научной основой инженерных методов расчета оснований и фундаментов объектов гражданского и промышленного строительства, подземных сооружений и объектов горнодобывающей промышленности (шахты, скважины и др.) и т.д.

Ее важными задачами являются: прогнозирование и предотвращение таких катастрофических явлений как горные лавины, камнепады, оползни, сели и др.; мониторинг напряженного состояния естественных откосов и склонов; минимизация землеотводов под дорожное строительство, отвалы промышленных отходов, уменьшение объемов вскрышных работ при открытом способе добычи полезных ископаемых; рационализация ресурсопользования и решение современных экологических проблем.

В настоящее время решение этих задач является особенно актуальным в связи с повышением этажности зданий, увеличением габаритов сооружений и массы технологического оборудования, что приводит к увеличению удельных нагрузок на основания. Одновременно возросли требования к качеству строительства, сокращению его материалоемкости, стоимости и продолжительности работ. Это повышает значение правильной оценки несущей способности грунтов оснований, обеспечивающих нормальную эксплуатацию указанных сооружений. Уплотнение городской и промышленной застройки, интенсивное использование подземного пространства требуют надежной оценки влияния строительных работ на существующие здания, обоснования безопасных технологий строительства. Сложные проблемы возникают в связи с резким увеличением объемов работ по реконструкции зданий и сооружений. В экономически развитых районах при наличии сложившейся городской застройки ощущается нехватка территорий с благоприятными грунтовыми условиями и приходится застраивать площадки, ранее считавшиеся непригодными. Все в большей степени строительство смещается в районы со сложными климатическими, сейсмическими и грунтовыми условиями. Очень важной проблемой является также увеличение глубин подземных сооружений и объектов горнодобывающей промышленности (шахты, скважины и др.)

Все это делает особенно актуальной разработку новых и уточнение существующих теорий деформирования грунтов и горных пород, построение эффективных численных методов, решение возникающих краевых задач.

Основоположник теории предельного равновесия К. Кулон (1773) сформулировал основные положения предельного равновесия и применил их к определению давления засыпки, ограниченной горизонтальной плоскостью, на подпорную стенку с вертикальной абсолютно гладкой задней гранью, исходя из допущения о существовании плоской поверхности сползания. Те же положения были использованы впоследствии при нахождении давлений засыпки, ограниченной произвольной поверхностью, на подпорные стенки с наклонными и ломаными шероховатыми задними гранями. Далее В. Ренкин (1857) рассмотрел предельное равновесие бесконечного массива, ограниченного наклонной плоскостью, ввел понятие о поверхностях скольжения и нашел условие предельного состояния сыпучей среды, которое Г.Е. Паукер применил к оценке устойчивости оснований. Затем В.И. Курдюмов (1889) провел ряд экспериментов о предельном сопротивленни оснований, ясно показавших, что нарушение равновесия происходит путем сползания сыпучей среды по некоторым криволинейным поверхностям.

Дальнейшие исследования по теории предельного равновесия, обстоятельно разобранные в известном курсе Н.А. Цытовича, составили два направления.

Первое направление ставит своей целью создание упрощенной теории предельного равновесия, дающей возможность разбирать различные задачи простейшими средствами. Оно было развито С.И. Белзецким (1914), Г. Креем (1918), Н.М. Герсевановым (1923), Н.П. Пузыревским (1923) и В. Фелениусом (1926), которые принимали допущение о существовании поверхностей сползания некоторых простейших форм - плоских, призматических или круглоцилиндрических.

Указанное допущение, сводящее рассмотрение каждой задачи к выяснению самого невыгодного положения поверхности сползания выбранной формы, хотя и не имеет достаточного обоснования, нередко все же дает приемлемые результаты. Поэтому упрощенная теория, еще более разработанная И.П. Прокофьевым (1934) и Н.И. Безуховым (1934), а впоследствии снабженная удобными графиками и таблицами, до сих пор имеет довольно широкое распространение.

Второе направление, продолжающее идеи В. Ренкина, пытается построить строгую теорию предельного равновесия, позволяющую рассматривать различные задачи и находить соответствующие сетки линий скольжения. Оно ведет свое начало от Ф. Кеттера (1903), который, взяв дифференциальные уравнения равновесия и условие предельного состояния в каждой точке,^составил систему уравнений предельного равновесия сыпучей среды, а затем успешно занялся ее исследованием.

Большое влияние на дальнейшее развитие этой теории оказал Л. Прандтль (1920), который поставил и рассмотрел ряд задач о пластическом равновесии, причем впервые использовал решение с особой точкой и пучком прямых линий скольжения, проходящих через нее. Эти результаты затем были применены Г. Рейснером (1925) и В.Н. Новоторцевым (1938) к некоторым частным задачам об устойчивости оснований, но лишь для невесомой сыпучей среды, когда линии скольжения хотя бы одного семейства являются прямыми и решения имеют замкнутую форму.

Иным путем шли Т. Карман (1927) и А. Како (1934), изучавшие систему уравнений предельного равновесия идеально-сыпучей среды; им удалось рассмотреть некоторые частные задачи о давлении на подпорные стенки весомой засыпки, когда простых решений построить уже нельзя. »

Работы В.В. Соколовского (1947) в той же области имели своей целью: с одной стороны - построение общего метода, дающего возможность рассматривать задачи о предельном равновесии также и для связной среды, с другой стороны — получение метода, позволяющего достаточно просто разбирать различные задачи о напряженном состоянии идеально-сыпучего клина.

Результатом всех этих исследований явилось значительное развитие теории предельного равновесия, как в отношении расширения круга затрагиваемых вопросов, так и повышения эффективности применяемых методов, что позволило ей стать надежной основой инженерных расчетов в статике сыпучей среды.

Начиная с основополагающей работы К. Кулона (1773) и до начала 1960-х годов механика сыпучих сред развивалась в основном как наука о статике сыпучих сред. Это в значительной степени объясняется тем, что уравнения, описывающие напряженное состояние среды при плоском деформированном состоянии [1], так же как и уравнения теории идеальной пластичности, являются статически определимыми, т.е. в случае статически определимых краевых условий могут быть решены без привлечения кинематических соотношений. При этом уравнения, описывающие напряженное состояние, принадлежат к гиперболическому типу и имеют два семейства характеристик, являющихся линиями скольжения и пересекающихся под углами, зависящими от угла внутреннего трения сыпучей среды.

Попытки исследования деформированного состояния гранулированной среды в областях, находящихся в предельном равновесии, основывались, как правило, на предположениях о жесткопластическом поведении материала и его несжимаемости. Последнее предположение приводило к тому, что уравнения для определения полей скоростей также имели два семейства характеристик, которые оказывались взаимно ортогональными и, следовательно, не совпадающими с характеристиками уравнений для напряжений.

Это противоречие удалось преодолеть в работе [2], в которой была предложена теория течения, основанная на применении к критерию текучести ассоциированного закона и предположении о жесткопластическом поведении материала. Основным преимуществом этой теории являлось то, что характеристики уравнений, описывающих поля напряжений и скоростей при плоском деформированном состоянии, совпадали, и области, находящиеся в предельном равновесии, могли быть определены однозначно.

Л:

На базе этой модели в работах [3-6] было проведено подробное исследование разрешающей системы уравнений и линий разрыва скоростей и напряжений; решен ряд новых задач, в том числе и со смешанными краевыми условиями, разработаны эффективные численные методы. Недостатком этой теории, как и вообще теории предельного равновесия, являлось то, что она позволяла определить только предельные нагрузки и распределение напряжений и деформаций в пластических областях. Нахождение напряжений и перемещений вне этих зон с помощью этой теории невозможно.

Исторически сложилось так, что изложенные выше теории, следуя Кулону, не вполне точно называют теориями предельного равновесия. Их основная задача - нахождение предельных нагрузок, трактуемых как нагрузки, при достижении которых происходит потеря равновесия (потеря устойчивости) среды. По существу, с современной точки зрения, они являются теориями течения идеалыю-жесткопластического материала, а предельные нагрузки понимаются как нагрузки, при достижении которых такое течение становится возможным. Именно в этом смысле указанные термины будут применяться в дальнейшем.

Попытка учета упругих свойств материала в рамках данного подхода приводит к уравнениям типа Прандтля-Рейсса в теории идеальной пластичности, т.е. к тому, что скорости полных деформаций начинают зависеть не только от напряжений, но и от их частных производных по времени, что вызывает математические трудности, как при анализе разрешающей системы уравнений, так и при решении конкретных задач.

Одной из последних работ в данной постановке является исследование1, в котором проведено численное моделирование динамического процесса обрушения склона на основании модели Дракера-Прагера течения упругопластического тела. Учитываются большие перемещения и деформации материала. Исследование направлено на выявление параметров и условий, приводящих к большим локализованным деформациям. Принималось начальное напряженно-деформированное состояние слоя под действием веса, учитывающее историю образования склона. Возмущением и одновременно началом процесса деформирования служило мгновенное об

1 Кукуджапов В.II. и др. Исследование локализаций пластических деформаций при потере устойчивости откосов. Препринт № 538. М.: ИПМ РАН, 1994. разование наклонной поверхности, на которой нормальные и касательные напряжения отсутствуют. Здесь основной интерес представляет переходной процесс. Характер обрушения зависит в основном от параметров задачи, а также предварительных напряжений, но в меньшей степени от способа задания возмущения.

Другой" подход к определению напряженно-деформированного состояния (НДС) сыпучей среды состоит в том, что в качестве уравнений связи между компонентами тензоров напряжений и деформаций широко используются, особенно в инженерных приложениях [7, 8], соотношения, подобные соотношениям теории упругости. На начальных этапах нагружения упругие коэффициенты полагаются постоянными, т.е. справедлив обычный закон Гука, а по мере роста нагрузок их считают переменными, определяемыми из эксперимента. При обработке экспериментальных диаграмм рекомендуется использовать как касательные, так и секущие модули, т.е. применяемая процедура подобна способу введения переменных коэффициентов упругости в методе упругих решений, разработанному в деформационной теории-пластичности. Однако гипотезы, позволяющие применять этот метод в механике сыпучих сред, не сформулированы и общепринятая деформационная теория сыпучих сред до настоящего времени не разработана. Переход от упругого состояния к состоянию предельного равновесия исследован недостаточно.

Отметим, что и в теории пластичности в этом вопросе тоже нет полной ясности. Так, при упругопластическом изгибе и кручении стержней и при изгибе пластинок переход всего сечения стержня или пластинки в пластическое состояние происходит при внешних нагрузках, совпадающих с нагрузками, даваемыми теорией предельного равновесия (см., например, [9], [10]). С другой стороны, при упругопластическом деформировании толстостенной, трубы всё сечение трубы переходит в чисто пластическое состояние при нагрузке меньше предельной. Причем в случае изгиба и кручения переход всего сечения в чисто пластическое состояние сопровождается неограниченным возрастанием деформаций, тогда как в случае тру

-а» бы деформации остаются конечными [11].

Основной целью настоящей работы является разработка деформационной теории упруго-пластического деформирования гранулированных сред, содержащей в себе теорию предельного равновесия, т.е. позволяющую путем определенного предельного перехода получить из уравнений упруго-пластического деформирования среды известные уравнения предельного равновесия.

Прежде чем перейти к построению деформационной теории предельного равновесия сыпучих сред, отметим, что в теории пластичности имеется теорема А.А. Илыошина [12], утверждающая, что в случае простого нагружения теория течения и деформационная теория приводят к одинаковым результатам, то есть уравнения теории течения могут быть проинтегрированы. При доказательстве этой теоремы используется предположение о несжимаемости материала и степенном законе упрочнения. Поскольку в модели [2] имеет место изменение объема, а материал считается не упрочняющимся, то прямой перенос теоремы Илыошина на нее невозможен. В работе показано, что для случая простого деформирования уравнения теории течения [2] удается проинтегрировать и представить уравнения предельного равновесия механики сыпучих сред в виде уравнений деформационной теории [13].

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В ней кратко приводятся основные формулы теории напряжений и деформаций; при этом выделяются сведения, наиболее важные для построения теории деформирования гранулированных сред. Также в этой главе проведено исследование сыпучей среды, находящейся в предельном состоянии, приведено условие предельного равновесия, сформулированы системы уравнений. Проведено исследование уравнений, описывающих поля напряжений и скоростей, и преобразование их к канонической системе. Показано, что эти уравнения являются гиперболическими и описаны способы их численного решения.

Во второй главе приведены решения большого количества практических задач: об устойчивости оснований, откосов, активном и пассивном давлении засыпки на подпорную стенку, а также задача о нахождении распределения напряжений и скоростей в склоне. Наибольший интерес представляет задача о склоне. В работе показано существенное отличие решения автора от решения А. Надаи и В.В. Соколовского, и подробно объяснена причина данного отличия.

В третьей главе предложена новая теория деформирования гранулированной среды за пределами упругости, учитывающая как упругие, так и пластические деформации, и имеющая структуру, подобную структуре деформационной теории пластичности. Она существенно упрощает анализ разрешающей системы уравнений и позволяет проследить переход от чисто упругого состояния к состоянию предельного равновесия. Показано, что в случае простого (пропорционального) деформирования уравнения для скоростей в теории предельного равновесия сыпучей среды могут быть проинтегрированы и она может быть представлена в виде теории деформационного типа. Введена система специальных функций, определяющих компоненты тензоров напряжений и деформаций, и получена разрешающая * система уравнений упругопластического деформирования среды для случая плоского деформированного состояния. Указан предельный переход, с помощью которого из этих уравнений получаются известные уравнения теории предельного равновесия. Далее приводится решение с использованием предложенной теории ряда прикладных задач.

В § 20 решена упругопластическая задача о нагружешш трубы (толстостенного кругового цилиндра) внутренним давлением. Показано, что нагрузка, соответствующая переходу трубы в чисто пластическое состояние по всему сечению, как правило, не совпадает с нагрузкой, полученной на основании теории предельного равновесия. Определен предельный переход, при котором такое совпадение происходит.

В § 21 представлена новая задача об упругопластическом деформировании кругового пласта, имеющего отверстие (скважину) в центре. Впервые возможность появления пластических зон в подобной задаче рассматривался С. А. Христиановичем [14] применительно к исследованию гидроразрыва нефтеносного пласта. Обычно нефтеносные пласты состоят из довольно прочного песчаника, ограниченного сверху и снизу высокопластической глиной. Метод гидроразрыва состоит в том, что в скважине на верхней и нижней границе пласта устанавливаются гидравлические паркеры и между ними в скважине создается повышенное давление. В результате этого в пласте образуется трещина, в которую затем закачивается крупнозернистый песок. Определенное С.А. Христиановичем давление гидроразрыва оказалось больше соответствующего давления, наблюдаемого на практике. В некоторых случаях реальное давление гидроразрыва оказывалось даже меньше горного давления, действующего на пласт. Для объяснения этого явления С.А. Христианович полагал, что ограничивающие нефтеносный пласт слои глины перешли в предельное состояние в окрестности скважины, но сам пласт оставался упругим.

Одна из последних работ в этом направлении [15], посвящена численному решению данной задачи с учетом больших деформаций и накопления повреждаемости. Нефтеносный пласт также принимается упругим. Для описания неупругого поведения слоя глины используется модель упру-говязкопластической среды с повреждаемостью, которая строится на основе представлений феноменологической теории дислокаций и развития микродефектов применительно к процессам вязкопластического деформирования материала [16].

В данном параграфе полагалось, что ограничивающие пласт слои глины обладают настолько малой сдвиговой прочностью, что на внешних границах пласта не возникает касательных напряжений и предполагается нагружение только гидростатическим давлением. Определены глубины залегания пласта, при которых в окрестности скважины появляется зона пластической деформации. Установлено предельное значение глубины, при которой происходит схлопывание пласта. Найдено поле остаточных напряжений и деформаций. Задача имеет важное прикладное значение в вопросах добычи артезианских вод, углеводородного сырья и др. Решение этой задачи по теории предельного равновесия невозможно.

В § 22 приведено решение классической задачи о напряженном состоянии плоского склона в упругопластической постановке. Установлено соотношение между механическими характеристиками среды и углом склона, при котором склон по всей глубине всегда остается в упругом состоянии. Показано, что при упругопластическом деформировании возможны три разлииных напряженно-деформированных состояния. Прослежен переход к состоянию предельного равновесия и установлено, что, в отличие от существующих представлений, пластическое течение склона из же-сткопластического материала невозможно при углах склона меньших угла внутреннего трения. При углах склона больших угла внутреннего трения происходит пластическое течение не всего склона, а только его верхнего слоя определенной толщины.

Для нахождения напряженного и деформированного состояния в упругопластических задачах общего вида предложены три итерационных численных метода (аналогичные методам дополнительных нагрузок, дополнительных деформаций и переменных коэффициентов упругости в деформационной теории пластичности). В § 23 на тестовой задаче исследована скорость сходимости каждого из методов. Проведено комплексное сравнение этих алгоритмов друг с другом.

Предложенные в работе деформационная теория сыпучей среды, позволяющая проследить переход от чисто упругого состояния к состоянию предельного равновесия, и построенные на ее основе численные методы сделают более эффективными инженерные методы расчетов оснований и фундаментов объектов гражданского и промышленного строительства, подземных сооружений и объектов горнодобывающей промышленности. Они также позволят осуществлять мониторинг напряженного состояния откосов и склонов, т.е. решить задачу прогнозирования и предотвращения таких катастрофических явлений как горные лавины, камнепады, оползни, сели и т.д.

Применение результатов работы на практике помогут в решении вопросов рационализации природопользования и охраны окружающей среды, таких как*минимизирование землеотводов под дорожное, промышленное и гражданское строительство, под отвалы промышленных отходов, уменьшение объемов вскрышных работ при открытом способе добычи полезных ископаемых и т.д. Решенные задачи имеют важное прикладное значение в вопросах добычи артезианских вод, углеводородного сырья и др.

Обоснованность и достоверность полученных результатов вытекает из математической строгости и постановки рассматриваемых задач и применяемых методов. Предложенные в диссертации математические модели и вытекающие из них результаты основаны на общих законах и уравнениях нелинейной континуальной механики, а также фактически естественных гипотезах и допущениях. Кроме того, обоснованность и достоверность подтверждаются сравнением полученных результатов с известными результатами других авторов, полученных по теории предельного равновесия использованием внутренних проверок точности вычислений.

Таким образом, результаты работы внесут фундаментальный вклад в механику сыпучих сред, которая составляет научные основы многих современных технологических процессов и инженерных методов расчетов.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Кондратьев, Дмитрий Сергеевич

ВЫВОДЫ

На базе теории предельного равновесия проведено подробное исследование системы уравнений, описывающей поля напряжений и скоростей. Показано, что рассмотрение полей напряжений совместно с полями скоростей приводит к отличному от описанного в литературе решению классической задачи о предельном равновесии склона.

Показано, что в случае простого (пропорционального) деформирования уравнения для скоростей в теории предельного равновесия сыпучей среды могут быть проинтегрированы, и она может быть представлена в виде теории деформационного типа. Определяющая система уравнений упруго-пластического деформирования сыпучей среды представлена в виде уравнений теории упругости с переменными «упругими» модулями. Определена зависимость «упругих» модулей от механических свойств среды и степени ее деформирования.

Разработана новая теория упруго-пластического деформирования сыпучей среды, содержащая в себе теорию предельного равновесия. Причем компоненты тензора скорости деформации являются суммой упругой и пластической составляющих, последняя из которых определяется из ассоциированного закона течения. Разработанная теория позволяет проследить переход от чисто упругого состояния к состоянию предельного равновесия.

На основании анализа разрешающей системы уравнений теории упруго-пластического деформирования показано, что ее переход в уравнения теории предельного равновесия происходит при неограниченном росте деформаций. Линии разрыва скоростей в теории предельного равновесия трансформируются в слои конечной толщины, в которых происходит непрерывное изменение смещений.

В качестве примера решена упругопластическая задача о нагруже-нии трубы (толстостенного кругового цилиндра) внутренним давлением. Показано, что нагрузка, соответствующая переходу трубы в чисто пластическое состояние по всему сечению, как правило, не совпадает с нагрузкой, полученной на основании теории предельного равновесия. Определен предельный переход, при котором такое совпадение происходит.

Решена новая упругопластическая задача о нагружении кругового слоя, имеющего отверстие (скважину) в центре. Определены глубины залегания пласта, при которых в окрестности скважины появляется зона пластической деформации. Определено предельное значение глубины, при которой происходит схлопывание пласта. Определены остаточные напряжения в окрестности скважины при повторном повышении давления в скважине до величины горного давления. Предложено новое объяснение эффекту гидроразрыва пласта при давлениях ниже горного. Решение этой задачи в рамках теории предельного равновесия было невозможно.

Решена в упругопластической постановке классическая задача о напряженном состоянии плоского склона. Установлено соотношение между механическими характеристиками среды и углом склона, при котором склон по всей глубине всегда остается в упругом состоянии. Показано, что при упругопластическом деформировании возможны три различных напряженно-деформированных состояния. Прослежен переход к состоянию предельного равновесия и установлено, что, в отличие от существующих представлений, пластическое течение склона из жесткопластического материала невозможно при углах склона меньших угла внутреннего трения. При углах склона больших угла внутреннего трения происходит пластическое течение не всего склона, а только его верхнего слоя определенной толщины.

Для нахождения напряженного и деформированного состояния в упругопластических задачах общего вида предложены три итерационных численных метода (аналогичные методам дополнительных нагрузок, дополнительных деформаций и переменных коэффициентов упругости в деформационной теории пластичности). На тестовой задаче исследована скорость сходимости каждого из методов, проанализированы их преимущества и недостатки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кондратьев, Дмитрий Сергеевич, 2004 год

1. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1954. 274 с.

2. Drucker D.C., Praguer W. Soil mechanics and plastic analysis or limit design // Quart. App. Math. 1952. Y. 10. № 2. P. 157-165.

3. Ширко И.В. О полях скоростей при условии пластичности общего вида // Тр. МФТИ. М.: Оборонгиз, 1961. Т. 7. С. 71-84.

4. Ширко И.В. Разрывы полей напряжений при условии пластичности общего вида// Изв. АН СССР. Инж. ж. 1961. Т. 1. № 3. С. 188-192.

5. Ширко И.В. Некоторые задачи теории пластичности со смешанными граничными условиями // Изв. АН СССР. Инж. ж. 1962. Т. 2. №2. С. 305-311.

6. Shirko I. V. Effective Method of Numerical Solving the Problems of Plastic Flow of Materials // Proc. Adv. Tech. of Plasticity. Kyoto, 1990. V. 1. P. 435-439.

7. Ухов С.Б., Семенов В.В., Знаменский В.В. и др. Механика грунтов, основания и фундаменты. М.: Изд-во АСВ, 1994. 527 с.

8. Долматов Б.И., Бронин В.Н., Карлов В.Д. и др. Механика грунтов. Ч. 1. Основы геотехники в строительстве. М.: Изд-во АСВ; СПб.: СПбГА-СУ, 2000. 204 с.

9. Ширко И.В. Упруго-пластический изгиб защемленной вдоль контура пластинки //Тр. МФТИ. М.: Оборонгиз, 1959. Т. 3. С. 180-186.

10. Ширко И.В. Нелинейные деформации и предельное равновесие пространственных криволинейных стержней // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 1. С. 50-57.

11. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш. шк., 1969. 608 с.

12. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

13. NadaiA. Theory of Flow and Fracture of Solids. V. 1. N.Y., etc., McGraw-Hill, 1950. 572 p. = Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 1. М.: Мир, 1954. 647 с.

14. Христиаиович С.А., Желтое Ю. П. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта. ii Изв. АН СССР. ОТН. 1955. № 5. С. 3-41.

15. ХЪ.Бураго Н.Г., Ковшов А.Н. Напряженное состояние горной породы в окрестности скважины // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 1. С. 139-143.

16. Кукуджанов В.Н. Микромеханическая модель неупругой среды для описания локализации деформаций. // Тр. IX конф. по прочности и пластичности. М.: ИПМ РАН, 1996. Т. 2. С. 118-124.

17. Новожилов В.В. О физическом смысле инвариантов напряжения // ПММ. 1951. Т. 15. Вып. 2. С.

18. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.: Гостехиздат, 1947.

19. Цытович Н.А. Механика грунтов. 3-е издание. М.: Госстойиздат, 1951.

20. HuberМ.Т. Die spezifische Formanderungsarbeit als MaB der Anstrengung eines Materials. Lemberg, 1904.21 .МизесР. Механика твердых тел в пластическом деформированном состоянии // Сб. «Теория пластичности». М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948.

21. Shleicher F. Der Spannungszustand an der Fliefigrenze // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik. 1926. Bd. 6, №3.

22. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости // Сб. «Теория пластичности». М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948.

23. Mohr О. Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik. Zweite Auflage. Berlin, 1914.

24. Генки Г. К теории пластических деформаций и вызываемых ими в материале остаточных напряжений // Сб. «Теория пластичности». М.: Гос. изд-во иностр. л ит-ры, 1948.

25. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. М.: Гос. изд-во физ.-мат. л ит-ры, 1962.

26. Качалов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

27. Механика. Новое в зарубежной науке. Выпуск 2. Определяющие законы механики грунтов. Сборник статей. Мир, Москва, 1975.

28. Механика. Новое в зарубежной науке. Выпуск 36. Механика гранулированных сред. Теория быстрых движений. Сборник статей. Мир, Москва, 1985.

29. NadaiA. Theoiy of Flow and Fracture of Solids. V. 2. N.Y., etc., McGraw-Hill, 1963. 762 p. = Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. М.: Мир, 1969. 863 с.

30. Кондратьев Д.С., Ширко И.В. Простое деформирование в механике сыпучих сред // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Тез. докл. XLIII науч. конф. М.: МФТИ. Ч. 3. 2000. С. 10.

31. Shirko /. V., Kondratyev D.S., Stetsenko P. К Deformation theory in the mechanics of granular media // Proc. American Soc. Composites: 17th Techn. Conf., West Lafayette, 2002. P. №168.

32. Быков Д.Л. О некоторых методах решения задач теории пластичности // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1975. № 4. С. 119-139.

33. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Решение упруго-пластических задач методом конечных элементов // Вычислительная механика твердого деформированного тела. М.: Наука, 1991. Вып. 2. С. 78-122.

34. Христианович С.А., Желтое Ю.П., Баренблатт Г.И., Максимович Г.К. Теоретические основы гидравлического разрыва нефтяных пластов // Избранные работы. М.: Наука, 1998. С. 269-276.

35. Бураго Н.Г., КовшовА.Н. Напряженное состояние горной породы в окрестности скважины // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 1. С. 139-143.

36. Ширко КВ., Кондратьев Д.С., Стеценко П.В. О сходимости метода упругих решений в задачах механики грунтов // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Докл. XLV науч. конф. МФТИ. Ч. 3.2002. С. 18-20.