Трещины гидроразрыва в проницаемых пластах с учетом вытеснения одной жидкости другой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Сандаков, Антон Евгеньевич

• Сандаков, Антон Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сандаков, Антон Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. АВТОМОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПОЛЯ ДАВЛЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ РАСТУЩЕЙ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВА С ПОСТОЯННОЙ РАСКЛИНИВАЮЩЕЙ СИЛОЙ.

1. Постановка задачи о распространении плоской трещины гидроразрыва с заданным расходом жидкости разрыва.

2. Построение аналитического решения автомодельной задачи.

ГЛАВА II. АВТОМОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ПОРШНЕВОГО ВЫТЕСНЕНИЯ ОДНОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ ДРУГОЙ В ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ТРЕЩИНЕ ПРИ КВАДРАТИЧНОМ ЗАКОНЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ.

1. Постановка задачи о поршневом вытеснении одной жидкостью другой в осесимметричной трещине при квадратичном законе сопротивления в пористой среде.

2. Параметрическое решение поставленной автомодельной задачи.

3. Алгоритм построения аналитического решения автомодельной задачи и полученные результаты.

ГЛАВА III. ЗАДАЧА О НАХОЖДЕНИИ РАСКРЫТИЯ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВА ПЕРКИНСА — КЕРНА В ЕЕ ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ ПРИ ПОМОЩИ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОД А.

1. Обобщенная модель трещины гидроразрыва Перкинса — Керна.

2. Применение асимптотического метода для решения поставленной задачи.

3. Нахождение функции раскрытия трещины в ее обобщенной модели.

ГЛАВА IV. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВА ПЕРКИНСА — КЕРНА В ПРОНИЦАЕМОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ.

1. Постановка задачи о распространении трещины гидроразрыва Перкинса — Керна в проницаемой пористой среде.

2. Численное решение задачи о фильтрации жидкости разрыва в пласте.

3. Численный расчет распределения давления жидкости внутри трещины.

4. Алгоритм вычисления длины трещины.

5. Результаты полученных численных расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Трещины гидроразрыва в проницаемых пластах с учетом вытеснения одной жидкости другой»

Одним из действенных методов интенсификации добычи нефти и газа в нефтегазовой промышленности является гидравлический разрыв пласта. Под гидравлическим разрывом пласта (далее ГРП) понимают процесс закачки в скважину жидкости (жидкости разрыва) или газа с таким расходом, который скважина не успевает поглощать. В результате скважине происходит рост давления и при некотором значении давления пласт начинает рваться. При разрыве пласта в нем образуются и распространяются трещины гидроразрыва под действием расклинивающего потока жидкости или газа.

На промысловой добыче ГРП впервые был применен в 1947 г. [109]. В настоящее время в США при добыче в слабопроницаемых породах широко используется глубоко-проникающий гидравлический разрыв пласта (ГГРП), который характеризуется созданием в продуктивном пласте с проницаемостью менее 30-50 мД1 глубоко-проникающей (около 100— 500 м) и высоко-проводящей трещины гидроразрыва [35]. Мировой опыт показывает, что ГГРП является одним из наиболее эффективных методов разработки низко-проницаемых коллекторов. Сегодня в нашей стране большая часть извлекаемых запасов нефти находится в коллекторах с проницаемостью менее 50мД [13], из которых около 80% — в Западной Сибири.

За последние десятилетия получили существенное развитие новые технологии проведения ГРП, в том числе взрывная технология (идея которой была предложена в 1890 г.), а также ядерная технология [11, 66], получившие название импульсного гидравлического разрыва пласта [47].

Уже более четырех десятилетий ГРП является объектом теоретического изучения, которое направленно на прогнозирование,

1 миллиДарси оценку результатов, а также управление самим процессом. Устойчивый интерес специалистов к проблеме ГРП связан прежде всего с постоянным развитием и усложнением технологии, что продиктовано необычайной сложностью его проведения. Дело в том, что ошибки, допущенные при определении основных факторов влияющих на ГРП, приводят к выводу из эксплуатации дорогостоящих скважин. Поэтому современная технология проведения ГРП достаточно сложна и наукоемка и базируется на целом комплексе предварительных исследований: микрогидроразрыв, минигидроразрыв, гидродинамические исследования скважины, прогнозирование ориентации трещины, а также моделирование распространения трещины.

Трудности построения математической модели ГРП связаны, в частности, с большим числом определяющих физико-механических факторов, основными из которых в настоящее время считаются [108]: механические свойства пород, такие как модули упругости, прочностные характеристики породы, а также физические характеристики породы, такие как трещиноватость, пористость, наличие и свойства поровой жидкости; напряженное состояние породы; неоднородность пласта; физические свойства жидкости разрыва.

Поэтому ГРП является комплексным процессом, который находится на стыке нескольких научных дисциплин: гидромеханики, газовой динамики, теории упругости и теории разрушения материалов, теории фильтрации, реологии жидкостей и горных пород, а также термодинамики.

Многокритериальность проблемы ГРП и сложность первоначальных дифференциальных уравнений приводят к огромным трудностям не только в аналитических исследованиях, но и в некоторых случаях к непреодолимым трудностям при исследовании с помощью численных методов на ЭВМ.

В связи с этим в настоящее время не представляется возможным сформулировать единую математическую теорию ГРП.

Несмотря на тот факт, что ГРП является связанным процессом, при его теоретическом описании обычно выделяют следующие относительно самостоятельные задачи, которые могут либо присутствовать в рассматриваемой математической модели ГРП, либо нет: расчет течения закачиваемой жидкости разрыва (или газа) по трещине, ее инфильтрацию в породу И' фильтрацию в ней; а также описание процесса распространения трещины гидроразрыва на основе анализа напряженного состояния породы. Одной из наиболее важных характеристик математической модели ГРП является ее размерность. Выделяют двумерные (2D), псевдотрехмерные (*P3D) и трехмерные (3D) модели.

Стоит отметить, что основы теории ГРП были заложены в 50-х годах в работах С.А. Христиановича, Ю.П. Желтова и Г.И. Баренблатта [8, 9, 37-40] (модель 1) в которых впервые была предложена целостная модель распространения двумерных трещин гидроразрыва (2D) — моделей.

Общий вид модели 1 представлен на рис. 1. В рамках этой модели проводили свои исследования J. Geertsma, F.De Klerk, G. Baron, P.Le Tirant, A.A. Daneshy и другие исследователи, как в нашей стране, так и за рубежом [65, 86, 104, 105].

Другой наиболее известной 2D — моделью распространения трещин ГРП является модель, которую предложили исследователи Т.К. Perkins и L.R.Kern [110] (модель2), которая представлена на рис.2. Позже эта модель была развита исследователем R.P. Nordgren в работе [119].

Рис. 1. Геометрия вертикальной трещины гидроразрыва Желтова Христиановича (модель 1).

МхЛ)

Рис. 2. Геометрия вертикальной трещины гидроразрыва Перкинса

Керна (модель 2).

В обоих этих моделях ГРП используются решения для плоских трещин в упругом теле, полученные I.N. Sneddon [111] и круговых — I.N. Sneddon, H.A. Elliot [100]. Законченное выражение математическая теория 2D — линейных трещин в упругом теле получила в работах Н.И. Мусхелишвили [48], а также А.Н. England, А.Е. Green [101].

На этом первом этапе построения теории ГРП в указанных выше работах принимались следующие предположения: жидкость разрыва является несжимаемой, течение жидкости разрыва в трещине — ламинарное, т.е. подчиняется закону Пуазейля, влиянием пластовой жидкости на ГРП либо пренебрегалось, либо считалось, что она играет пассивную роль, т.е. давление пластовой жидкости — постоянно, если и допускалось наличие утечек жидкости разрыва из трещины в окружающий ее пласт, то принималось, что утечки однородны вдоль поверхностей трещины и происходят в сухую породу.

Дальнейшее повышение точности математической модели ГРП связано с повышением точности вычисления утечек жидкости разрыва в окружающий пласт с поверхностей трещины. В точной математической постановке они могут быть получены в результате решения связанной задачи о фильтрации жидкости разрыва и пластовой жидкости. Однако, в такой постановке рассматриваемая задача является задачей со свободной границей между пластовой жидкостью и жидкостью разрыва, а также переменной границей (поверхностями трещины), на которых также ставятся граничные условия. Именно по этой причине ее решение связано с большими математическими трудностями и практически не изучено. Один из подходов приближенного решения этой задачи со свободной границей был указан в работе В.М. Ентова, А.Ф. Зазовского, И. Стелина [36].

В работах [13, 35] обобщающих опыт проведения ГРП фирмой Фракмастер, было отмечено, что в некоторых случаях ГРП выгоднее проводить маловязкими жидкостями или газами. Описанная технология проведения ГРП требует более детального математического описания течения жидкости или газа в трещине.

В настоящий момент работы по теории гидравлического разрыва пласта газами представлены исследователями R. Nilson и« его сотрудниками в работах [96, 116, 117], а также H.A. Кудряшовым в [21, 22, 25, 26]. В указанных работах был получен ряд автомодельных решений разрыва пласта газами.

Физико - математическая постановка задачи о ГРП жидкостями или газами описывается при помощи сложных нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому получение частных автомодельных решений этой задачи рассматривается как существенное продвижение в математической теории ГРП. Такие автомодельные решения приводят к значительным упрощениям математической постановки задачи, позволяют проанализировать различные нелинейные эффекты и являются хорошей возможностью протестировать различные численные решения. Интересным, в этой связи, является подход получения приближенных автомодельных решений предложенный О.П. Алексеенко и A.M. Вайсманом [4-6].

Развиваемая в последние десятилетия технология импульсного ГРП потребовала существенного усложнения математической теории. Здесь можно указать два практически не исследованных направления развития теории. Для средних скоростей распространения трещин гидроразрыва и газа (либо жидкостей) в трещине необходимо в уравнении движения газа обязательно учесть инерционные слагаемые, т.е. использовать для описания,движения газа в трещине уравнения газовой динамики с силами сопротивления. А при значительных скоростях распространения трещины разрыва стационарные уравнения теории упругости должны быть заменены нестационарными.

Другим важным направлением развития математической теории ГРП является переход от двумерных моделей трещин к псевдо-трехмерным и трехмерным, что объясняется неоднородностью реальных пластов.

Трехмерные модели распространения трещин гидроразрыва рассматривались в работах [3, 78, 106, 107, 114]. Однако данные модели достаточно сложны в численной реализации и часто не удается достаточным образом проанализировать величину численных ошибок для i сколько-нибудь реальных постановок задачи. Намного более простыми моделями, которые учитывают неоднородность пласта, являются псевдотрехмерные модели трещин, предложенные, например, в работах [59, 99]. В рамках псевдо-трехмерных моделей трещин существенные исследования проводили Abe Hl, Mura Т., KeerL.M., SettariA., ClearyM.P. [58, 84]. Однако в настоящее время остается недостаточно изученным вопрос о рамках применимости этих моделей распространения трещин. Стоит отметить, что впервые данный вопрос был поставлен в работе [112], в которой была предпринята попытка ответить на него путем численного сравнения трехмерных и псевдо-трехмерных моделей.

Достаточно важной проблемой, которая возникает при формулировке математических моделей ГРП, является описание поведения жидкости разрыва в вершине трещины, т.е. вблизи сингулярной точки. Впервые эта проблема возникла еще в работах Ю.П. Желтова и С.А. Христиановича [40]. Они сделали вывод, что жидкость разрыва не может достигнуть вершины трещины. Позже этот же вывод был также подтвержден рядом экспериментов (А.А. Daneshy [85], W.L. Medlin, L. Mosse [113], M.B. Rubin [120]). К аналогичному выводу пришли Н. Abe, Т. Mura, L.M. Keer [58] и

А.Ф. Зазовский [41], Ю.А. Песляк [49] при исследовании; диско-образных трещин в непроницаемых средах. Но с особой остротой' проблема описания локального поведения жидкости разрыва в вершине трещины встает при создании математической теории ГРП для проницаемыхтпород. В частности, при численном моделировании: распространения трещин гидроразрыва, для того, чтобы избавиться1 от сингулярности, в вершине трещины используются всевозможные эвристические предположения (догадки), проверить правдоподобность которых не представляется возможным без знания локального поведения жидкости разрыва в конце трещины. •

Рядом исследователей [71, 72, 83], было показано, что пренебрегаемые в классической теории ГРП пороупругие эффекты при некоторых условиях могут становиться существенными. Основные уравнения пороупругости были сформулированы исследователем BiotM.А. в работах [66-70], а позже развивались в работах [63, 64, 79-83, 87-89, 121, 122]. Методы решения уравнений пороупругости разрабатываются начиная с работ Biot M:А. по настоящее время. Тем не менее, математическая теория гидравлического разрыва пороупругого пласта стала развиваться относительно недавно. Здесь, прежде всего, стоит отметить работы по численным расчетам, которые проводились Boone T.J., Detournay Е. [71, 72].

В настоящее время1 научная работа в области ГРП ведется в области как аналитического, так и численного изучения трещин главным образом исследователями Adachi J.I.,. Detournay Е., а также Gäragash DIL, что можно наблюдать, например, в работах [61, 62, 74-77, 90, 92-95, 102, 103], где основное внимание уделяется изучению модели трещины Перкинса— Керна (модели 2) в силу более удобного практического применения.

Таким образом, из приведенного выше краткого анализа современного состояния физико-математической теории ГРП, можно сделать вывод, что существует еще большой разрыв между практикой, и теорией ГРП и уровень правдоподобного моделирования процессов еще не достигнут, что можно объяснить недостаточной изученностью тех факторов, которые имеют место при ГРП. Поэтому необходима еще большая работа специалистов по созданию и интегрированию в общую модель новых различных ее компонент.

На основании вышеизложенного материала сформулируем основные цели и задачи данной диссертационной работы:

1. Аналитическое и численное исследование классической модели трещины гидроразрыва Перкинса — Керна (распределения давления жидкости разрыва в трещине и ее'фильтрацию, в окружающем трещину пласте, утечки жидкости разрыва через боковую поверхность в окружающий пласт, раскрытие трещины), а- также ее распространения в пористой среде. Вычисление утечек проводится не по формуле Картера, а по полю давления жидкости в пласте.

2. Аналитическое исследование модели* поршневого изотермического вытеснения одной сжимаемой жидкости другой (например, вытеснение пластовой жидкости жидкостью разрыва) в, узкой осесимметричной трещине (щели) при больших скоростях движения.

3. Обобщение существующей физико-математической модели трещины гидроразрыва Перкинса — Керна с учетом упругого взаимодействие между различными вертикальными сечениями трещины, а также нахождения ее раскрытия при помощи асимптотического метода решения.

Научную новизну в диссертационной работе составляют следующие результаты:

1. Найдены точные решения автомодельной задачи о распределении давления в окрестности растущей плоской трещины гидроразрыва в проницаемой пористой среде в предположении, что жидкость разрыва и окружающий трещину пласт являются упруго-деформируемыми^ а на берега трещины действует постоянная расклинивающая сила. Получено распределение давления вне трещины в направлении ее распространения, а также в направлении, ортогональном ее распространению. Полученные решения могут быть построены для любого заданного распределения давления жидкости внутри трещины.

2. В параметрическом виде были построены точные аналитические решения автомодельной задачи о поршневом изотермическом-вытеснении одной сжимаемой жидкостью другой в осесимметричной трещине при больших скоростях движения: были определены зависимости автомодельной функции давления и скорости жидкостей от автомодельной переменной.

3. Благодаря применению асимптотического метода была найдена функция раскрытия трещины в обобщенной физико-математической модели трещины гидроразрыва Перкинса — Керна, которая, в отличие от классической,модели, учитывает сопряжение полей упругости и давления жидкости в трещине, т.е. взаимодействие различных вертикальных сечений трещины между собой.

4. Был создан численный комплекс программ, который позволяет моделировать распространение трещины гидроразрыва Перкинса — Керна в проницаемой среде. Численно моделировалось течение жидкости разрыва внутри трещины, фильтрация жидкости разрыва в окружающем пласте, а также образование «корки» — тонкого фильтрующегося раствора в пласте. В результате было численно рассчитано: распределение давления жидкости разрыва в трещине и в пласте, утечки жидкости разрыва в окружающий пласт через боковую поверхность трещины, которые вычисляются по полю давления в пласте, толщина «корки», а также величина раскрытия трещины гидроразрыва и ее длина. Был рассмотрен случай постоянного давления закачиваемой жидкости разрыва на скважине.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации дается краткое описание процесса гидравлического разрыва пласта, основных физико-математических моделей, определяются цели и задачи диссертационного исследования, научная новизна, а также формулируются основные результаты работы и кратко излагается ее содержание по главам;

Первая глава диссертации посвящена решению задачи о нахождении поля давления в окрестности плоской трещины гидроразрыва, которая распространяется в проницаемой пористой среде по корневому закону. В предположении, что жидкость разрыва и окружающий трещину пласт являются упруго деформируемыми, распределение давления в пласте будет описываться уравнением пьезопроводности, которое было предложено В.Н. Щелкачевым [57] др (д2р д2рЛ

-к ' dt

Удх2 ду2 j где p(x,y,t) — функция давления жидкости в трещине, (х,у) — пространственные координаты, t — время, а к — коэффициент пьезопроводности. Трещина гидроразрыва в данном случае считается тонкой областью (разрезом) вытянутой вдоль оси Ох, на которой задано хЛ давление рх отличное от начального пластового давления р0 = const. В задаче также полагается постоянной величина расклинивающей силы, которая действует на берега трещины. Это условие аналогично постоянному расходу жидкости разрыва в трещине, т.е. постоянному объему закачки жидкости на скважине. Таким образом» в первой главе решается смешанная краевая задача для уравнения пьезопроводности.

Было установлено, что поставленная задача будет автомодельной, когда' границы трещины растут по корневому закону. В результате, после перехода к автомодельным переменным (Х,У) и проведения замен переменных было показано, что поставленная краевая задача может быть сведена к матагармоническому уравнению (частному случаю уравнения Гельмгольца).

При помощи интегральных преобразований, а также некоторых тождеств было получено интегральное преобразование для решения метагармонического уравнения через гармоническую функцию, для которой была построена5 соответствующая: краевая задача. Полученная задача решалась, методами ТФКП: после введения* новой комплексно-значной функции, для нее была получена задача со смешанными краевыми условиями, решение которой задается формулой Келдыша— Седова [56]. После интегрирования было получено решение исходной смешанной краевой задачи в автомодельных переменных (Х,У). Таким образом, были построены функционально-инвариантные решения для произвольного распределения давления внутри трещины (граничного условия) в направлении распространения трещины при У = 0, т.е. вдоль оси Ох, а также в направлении ортогональном распространению трещины при X = О, т.е. вдоль оси Оу.

Был также рассмотрен представляющий интерес случай «идеальной трещины», то есть однородного распределения давления жидкости вдоль берегов трещины. Для данного случая также были получены соответствующие решения.

Далее рассматривался случай распределения давления внутри трещины вида у(Х) = -\1е2 — X2 , а распределение поля давления в окрестности трещины было рассчитано численно по полученным выше формулам.- Приведены графики .зависимости давления жидкости в трещине и на ее продолжении при 7 = 0 (рис. 3), а также график распределения давления в направлении ортогональном» распространению трещины при X = 0 (рис. 4) в зависимости от параметра е, который пропорционален скорости распространения трещины.

В результате был сделан* вывод, что при больших скоростях распространения трещины давление перед трещиной достаточно плавно переходит в давление в- пласте, а с уменьшением скорости распространения трещины перед ней формируется пик давления, соответствующий пороупругой волне сжатия и, как следствие, увеличению порового давления.

Полученное в первой главе диссертации точное решение представляет интерес как само по себе, так и для работы с разнообразными-численными алгоритмами: для их тестирования и отладки. Полученное поле давления жидкости в пласте позволяет анализировать величину утечек жидкости из трещины в пласт, что повышает точность математической модели.

Во- второй главе диссертации решается автомодельная задача о поршневом изотермическом вытеснении одной сжимаемой жидкости другой сжимаемой жидкостью в узкой осесимметричной (радиальной) трещине (щели) при высоких скоростях вытеснения.

Стоит отметить, что задача о движении и фильтрации газа в плоском случае в пористой среде уже рассматривалась и было получено точное решение в работах [12, 23], а для вытеснения одной жидкости другой в плоском случае — в работах [2, 24].

В данной главе утечки жидкости из трещины в окружающий пласт не рассматриваются, т.е. предполагаются равными нулю.

Изотермическое движение сжимаемой жидкости (газа) в узкой осесимметричной трещине (щели) при высоких скоростях течения описывается уравнением непрерывности кроме того, так называемым «квадратичным законом сопротивления», который является следствием из двучленного закона сопротивления Форхгеймера (Краснопольского), если в последнем пренебречь линейным слагаемым по скорости

Здесь p{x,t) — плотность соответствующей жидкости, u(x,t) — скорость, р(х, t) — давление, х — координата, t — время, с — изотермическая скорость звука в жидкости, w — постоянное раскрытие трещины, которое предполагается малым, а Ъ — экспериментальная константа, определяемая шероховатостью трещины и числом Рейнольдса, которая определяется экспериментальным путем.

В трещину через начало координат закачивается вытесняющая жидкость при постоянном давлении р(х = 0, t) = р*, которое отлично от начального давления в трещине р(х, t = 0) = р0.

В предположении поршневого вытеснения на границе раздела между жидкостями (газами) х = L(t) из условий Гюгонио (непрерывности потоков массы и импульса) следует, что др Ъ ти2Р> дх w 2 а также уравнением изотермы р — с р. . р(х = L(t) -Oj) = р(х = L(t) + 0, t);

P(u-Dt=m-o = P(u-Dt=L(t)+o где D = dL/dt — скорость движения границы раздела между жидкостями. Поток массы жидкости через границу раздела между двумя несмешивающимися жидкостями равен нулю, поэтому условия Гюгонио принимают вид: z/(x = Lit) -0,t) = г/(х = Lit) + 0, t) = D.

Исключив из исходной задачи функцию плотности жидкостей р, после перехода к автомодельной переменной Э, а также к автомодельным функциям давления и скорости жидкостей fi&) и (pi&) соответственно, исходная задача была записана в автомодельных переменных.

Было показано, что первое уравнение полученной автомодельной задачи, которое является уравнением Абеля второго рода, может быть сведено к уравнению Эйри d2y где у - y(z) — новая функция новой переменной z. Уравнение Эйри является точно решаемым и имеет общее решение вида у = D,Aiiz) + D2Biiz), где Aiiz),Biiz)— функции Эйри [1, 43], а Z), 2 — неизвестные константы.

В данной задаче уравнение Эйри задает два решения для вытесняющей и вытесняемой жидкости соответственно, неизвестные константы в которых были определены при помощи граничных условий задачи, а также некоторых асимптотик промежуточных функций.

Второе уравнение автомодельной задачи позволяет выразить автомодельные функции давления f и скорости газов ф:

Ф = ф =-г ке21 ув

1 (\-22/3к1/3у') где у = у(г) — решение уравнения Эйри для вытесняемой или вытесняющей жидкости.

Зависимость же между автомодельной переменной 6 и переменной z является обратно пропорциональной поэтому точке 6 = О ставится в соответствие точка г = , где г0 — ближайшая слева от точка, в которой у(г0) = 0, где точка 2 -соответствует значению в —» оо.

Таким образом при изменении в от нуля до оо, переменная г изменяется от г0 до гх с единственным разрывом в точке на границе раздела газов.

Используя условия на границе газов (условия Гюгонио) были получены следующие соотношения на границе раздела между жидкостями

Алгоритм построения аналитического решения исходной задачи в автомодельных переменных имеет следующий вид. Отметим, что параметры N и лг0 — параметры задачи, которые являются фиксированными, а г0 — вспомогательный параметр, который где 2 =г(^о-0),а2+=2(^о + 0). подбирается. В начале выбирается некоторое значение z0, после чего определяется функция решения уравнения Эйри у(г) для вытесняющей жидкости (газа). Таким образом, функции давления, скорости жидкости, а также зависимость 0{£) для вытесняющей жидкости на промежутке г получаются определенными. Далее по г0 определяется значение г~, а потом с помощью заданного к0 и z находится значение z+. С помощью условий на границе жидкостей (условий Гюгонио) вычисляется функция решения уравнения Эйри у(г), а также функции давления, скорости жидкости и зависимость для вытесняемой жидкости (газа) на промежутке г е ^ Далее находятся значение z1 и определяется некоторое значение N, которое соответствует выбранному в начале То значение параметра z0, которое отвечает заданному в задаче N, может быть определено методом «пристрелки», т.е. путем подбора с соответствующей точностью.

Были построены графические зависимости автомодельных функций давления и скорости жидкостей (газов) как функций автомодельной переменной в при различных начальных условиях. Например, рис. 5 иллюстрирует зависимость давления жидкости /{0}, а зависимость скорости жидкости (р{0) от автомодельной переменой представлены на рис. 6. Пунктирной линии здесь соответствует граница раздела между жидкостями (р — 6.

По результатам работы был сделан вывод, что на границе раздела между жидкостями имеет место скачок производной функции давления. Если плотность вытесняемой жидкости выше плотности вытесняющей жидкости, то этот скачок отрицателен, в противоположном случае — положителен, а для. одинаковых плотностей жидкостей скачок производной не наблюдается.

Результаты данной работы могут применяться для моделирования вытеснения пластовой жидкости закачиваемой жидкостью, разрыва в узкой радиальной трещине при больших скоростях движения [73], для анализа распределения давления в трещине, а также для тестирования различных численных алгоритмов подобных процессов.

Третья глава диссертации посвящена исследованию обобщенной модели трещины гидроразрыва Перкинса — Керна, которая, в отличие от классической модели трещины гидроразрыва Перкинса - Керна, учитывает сопряжение полей упругости и давления жидкости в трещине, т.е. упругое взаимодействие между различными вертикальными сечениями трещины.

Рассматривается симметричная относительно скважины вертикальная* трещина постоянной высоты 2Н и большой протяженности в горизонтальном направлении 2L » 2Н, где 2L — ее характерная длина.

Трещина занимает в плоскости у = 0 область G(^x\<L,H~ <z<

Н+-Н~=2Н. В" работе полагается, что Н+,Н~ -const. Трещина вскрывает продуктивный пласт и прилегающие к нему горные породы (|z| > Н). Упругие постоянные пласта и горных пород считаются одинаковыми, длина трещины 2L и распределение давления жидкости в ней р{х) полагаются известными. Заданными также считаются значение постоянного бокового горного давления в массиве сг и модуля сцепления К, характеризующего трещиностойкость пласта и окружающих его пород.

Стоит отметить, что функция р(х) является медленно меняющейся по переменной х, что позволяет использовать для решения задачи асимптотические методы.

Определение раскрытия трещины 2и>(х, сводится к решению уравнений равновесия упругой породы при следующих условиях на границах трещины сглО,г,0) = (Т-р(х), сг^(х,г,0) = а^(х,г,±0),(х,г)еС.

Здесь <т—компоненты напряжений.

Поставленная задача эквивалентна решению интегро-дифференциального уравнения относительно смещения поверхности трещины м?(х,г) > 0, совпадающей с границей полупространства .у > 0 [18]: тт ■+ ТП И I 2 = (РЮ - <г)> (*, е О где /? = 2(1 -у2)/Е, а Е и V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона пласта и вмещающих его пород соответственно. Задача состоит в определении неизвестной функции раскрытия трещины z) .

Обозначая у/(х) = -2л;/3(р(х)-<т) и, применяя к обеим частям вышеуказанного интегро-дифференциального уравнения преобразования Фурье по переменным (х, г) с параметром £ = , ), было показано, что оно может быть записано в виде свертки где Рс — оператор сужения на область (7.

Асимптотический метод решения основан на разложении интегро-дифференциального оператора по малому параметру £ = Н/Ь<< 1, предложенному в работе [19], который характеризует степень вытянутости трещины.

Чтобы параметр а вошел явно в исходное уравнение, следует перейти к безразмерным переменным вида где <тх — характерное значение бокового горного давления сг.

Учитывая проделанное выше преобразование Фурье и, обозначая за преобразование Фурье в безразмерных переменных (Х^) с параметром (¿;хбыло получено

Таким образом было показано, что в новых координатах () свертка уменьшается в е раз:

Рс(лА2Й+Й)*Щ*,2,£)} = £-ЩХ,е).

Здесь Рс, { } — соответственно оператор сужения на область С, т.е. область Сг в новых переменных (X, Z).

Далее искалась асимптотика множителя ^£2<!;2 + ) как обобщенной функции при малом параметре е «1. Для этого находилась асимптотика функции -^е2^2 + , а затем, используя непрерывность оператора : ) применялась к членам полученного асимптотического разложения. Под пространством здесь понимается пространство обобщенных функций.

Применяя потом к полученной асимптотике ^е2^ + | обратное преобразование Фурье в переменных (X, Z), было показано, что поставленная задача приводится к следующему виду, которое удобно для дальнейшего построения асимптотического разложения решения

Ф(Х9 Z, s) * W{X, = -2тЯ!(Х), (X,Z)eG', ф * w = - X, Z' - Z, s)W{X\Z', s)dX'dZ'.

G'

Здесь

Ф(Х, Z, s) = Ф0 (X, Z) + s2 ln (2/s) Ô\X) + sгФ2 (X, Z) + o(e2 ), <&0(X,Z) = -2S(X)-^pj, o2(x,z) = sxx)(i-\n\z\) + ±£Ip±

Решение полученной задачи искалось в виде разложения искомой функции раскрытия W(X,Z) в ряд по малому параметру s :

W(X,Z,s) = W0(X,Z) + s1 ln(2/s)V(X,Z) + s2W2(X,Z) + o(s2).

В результате была получена система уравнений свертки, относительно неизвестных членов разложения W{), Wx и W2 :

Ф0*1¥0=-2лУ(Х), Фо*^-^'^)*^,

Ф0 *W2 =-Ф2 *W0.

Полученная система решалась последовательно, сначала из первого уравнения находилась JV0(X,Z), а потом из последних двух— функции Wx{X,Z) и JV2(X,Z) соответственно.

Стоит отметить, что поправка JV0(X,Z) представляет собой решение классической задачи о раскрытии трещины гидроразрыва Перкинса — Керна [110]. Функции же W{(X,Z) и W2(X,Z) получены впервые и учитывают влияние поля давления жидкости в трещине упругого поля на раскрытие трещины Перкинса — Керна, т.е. упругое взаимодействие между различными вертикальными сечениями трещины.

Полученные в этой главе результаты могут быть полезны для дальнейшего развития численных методов применительно к данному классу задач, так как могут использоваться как тестовые для проверки разрабатываемых на основе численных методов программ, для оценки точности самих численных методов, а также для контроля решений более сложных задач подобного рода.

В четвертой главе настоящей диссертации проводилось численное моделирование распространения классической трещины гидроразрыва Перкинса — Керна в проницаемой пористой среде. Был построен численный комплекс программ, позволяющий рассчитывать решение сопряженной задачи о гидроразрыве, т.е. распределение давления жидкости разрыва внутри трещины и ее фильтрацию в окружающем трещину пласте, величину утечек (потерь) жидкости разрыва через боковую поверхность трещины в пласт, длину трещины и толщину так называемой «корки». Под «коркой» здесь понимается тонкий слой фильтрующегося раствора (жидкости разрыва), который проникает в окружающий трещину пласт и вытесняет пластовую жидкость вглубь пласта.

Течение жидкости разрыва внутри трещины (так называемая «внутренняя задача») задается уравнением непрерывности дю д ( ч 0 дt дх где функция скорости и{х, задается уравнением движения м?2 др(х^) и =

12// дх

25 ■■/•■■■

Здесь ' /?(л% /)— давление жидкости разрыва внутри трещины, раскрытие (ширина) трещины, qL —утечки жидкости разрыва через боковые поверхности трещины в окружающий ее пласт, х -— координата вдоль трещины, (начало координат было выбрано в центре трещины, а течение жидкости вдоль нее предполагается симметричным); I—время, //—вязкость жидкости разрыва:

Задача решается на отрезке 0 < х < /(/,) , где /(?)— длина трещины, т.е. решается задача с подвижной границей.

В начальный момент времени . задается начальное давление р(х, Р = 0) = рж равное начальному пластовому давлению.

Через начало координат закачивается.; жидкость разрыва с постоянным давлением р(х = 0,0 = Ро > а в: кончике («клюве») трещины задается условие р(х = /(/)>£)?= сг, где сг —постоянное боковое горное давление. ' ,

В задаче предполагается, что давление жидкости в трещине р(х, 1 не превосходит давления в кровле и в подошве горного массива, иначе трещина может принять вертикальное направление роста, что может привести к выходу из строя скважины.

Вышеуказанное уравнение непрерывности, после перехода к безразмерным переменным решается численно при помощи неявной четырехточечной схемы с применением итераций со следующими граничными и начальными условиями:

Р<£-= 0,т) = 1, Р& = Ь,т) = ст, Р(£,т = 0) = 0, где — безразмерная функция давления жидкости разрыва в трещине, а Ь{т) — безразмерная длина трещины, а т — безразмерное время.

Фильтрация жидкости разрыва в пласте (так называемая «внешняя задача») описывается уравнением пьезопроводности др (д2р Э2рЛ к

КдХ2 +'ду2; где р(х,у,{) — давление жидкости разрыва в пласте, у — координата ортогональная берегам трещины, к — коэффициент пьезопроводности.

После перехода к безразмерным переменным решение данного уравнения ищется на квадратной области: 0 < £ < 1, 0 < < 1.

Уравнение пьезопроводности «внешней задачи» решается вместе со следующими граничными и начальными условиями: о^-им-о. д%

При решении внешней задачи граничное условие внутри трещины полагается равным решению «внутренней задачи» г), т.е.

Для численного решения полученной задачи применяется метод дробных шагов (продольно-поперечная разностная схема).

Толщина «корки» (узкого слоя бурового раствора) определяется выражением т то где т -— пористость породы.

Раскрытие (форма) трещины уу{х,{) определяется соотношением вида:

4(1 -у)Н

Здесь V — коэффициент Пуассона, Н — постоянная высота трещины, а (7 — модуль сдвига.

Длина трещины определяется из условия разрушения р(х = 1,1) = С, т.е. равенства давления жидкости разрыва в кончике трещины и постоянного вертикального давления в пласте а.

Утечки жидкости разрыва из трещины в окружающий ее пласт qL вычисляются не по формуле Картера, а после решения «внешней задачи» по полю давления жидкости в пласте, в чем и состоит особенность диссертационной работы:

М ду где к — коэффициент проницаемости пласта.

Таким образом, алгоритм расчета сводится к следующему:

• в начальный момент времени задается пластовое давление в трещине р(х= 0) = р^ и в пластер(х,у= 0) = .

• Происходит повышение давления на скважине р(х = = р0 и жидкость разрыва начинает втекать в трещину. Предполагается, что на начальном этапе «корки» нет, т.к. она начинает формироваться с течением времени.

• Решается «внутренняя задача», т.е. производится вычисление распределения давления внутри трещины.

• Затем решается «внешняя задача», т.е. вычисляется пластовое давление вне трещины на первом временном шаге.

• По полю давления (по решению «внешней задачи») определяются утечки жидкости разрыва из трещины.

• Начинает формироваться «корка», толщина которой рассчитывается по утечкам жидкости в окружающий трещину пласт.

• Пересчитывается давление в трещине на следующем временном шаге и т.д.

В главе также приведены результаты полученных численных расчетов. Численное решение задачи о. распределении давления жидкости разрыва, внутри и вне движущейся трещины («внешняя задача») представлено в виде трехмерной анимации благодаря методам программы Ма^аЬ 7.0. Остальные рассчитываемые величины, такие как распределение давления жидкости внутри трещины («внутренняя задача»), утечки жидкости в пласт, раскрытие трещины и ее длина, представлены на соответствующих двумерных рисунках.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и одного приложения. Объем диссертации составляет 114 страниц, включая 11 рисунков, одно приложение на 4 страницах, а также список использованной литературы из 122 наименований на 13 страницах.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Сандаков, Антон Евгеньевич

Основные результаты диссертационной^ работы сводятся к следующему:

1. Построены аналитические решения задачи о распределении поля давления в окрестности растущей плоской трещины гидроразрыва в проницаемой пористой среде. Получено распределение давления вне трещины в направлении ее распространения, а также распределение давления в направлении, ортогональном ее распространению. По полю давления могут быть определены утечки жидкости разрыва- из трещины в окружающий пласт, что повысит точность модели.

2. Получены точные решения, задачи поршневого вытеснения одной изотермической сжимаемой жидкостью другой в узкой осесимметричной трещине при больших скоростях. Аналогичное решение может быть получено и для газов. Определены зависимости давления и скорости каждой из жидкостей от автомодельной переменной. Полученные решения позволяют анализировать распределение давления внутри радиальной трещины при вытеснении пластовой жидкости различными жидкостями разрыва.

3. С помощью асимптотического метода найдена функция раскрытия (ширины) трещины в обобщенной модели трещины гидроразрыва Перкинса— Керна, которая учитывает сопряжение полей упругости и давления жидкости в трещине, т.е. взаимодействие различных вертикальных сечений трещины. Полученная функция раскрытия является ) более точной, чем существующее на сегодняшний день решение классической задачи раскрытия трещины Перкинса - Керна.

4. Был создан численный комплекс программ, описывающий распространение трещины гидроразрыва Перкинса — Керна в проницаемой среде. В результате было рассчитано: распределение давления жидкости разрыва в трещине и в пласте, утечки жидкости разрыва в окружающий трещину пласт, толщина «корки» (фильтрующегося раствора в пласте), а также величина раскрытия (ширины) и длина трещины. Был рассмотрен случай постоянного давления закачиваемой жидкости разрыва на скважине. Утечки в данной главе считаются по полю давления жидкости разрыва в пласте.

Полученные в данной диссертационной работе аналитические решения могут применяться для повышения точности существующих на сегодняшний день физико-математических моделей благодаря предложенному методу вычисления утечек жидкости по полю давления в жидкости в пласте, для анализа процесса поршневого вытеснения пластовой жидкости в радиальных трещинах, а также для численного моделирования процесса роста трещины Перкинса — Керна в проницаемых средах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В настоящей диссертации был построен-ряд точных аналитических решений для плоских и осесимметричных трещин гидроразрыва в проницаемых пористых средах. В работе также проводилось численное моделирование распространения трещины гидроразрыва Перкинса — Керна в проницаемой среде и ее, математической модели.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сандаков, Антон Евгеньевич, 2009 год

1. Абрамоеиц М., СтиганИ. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

2. Агаева С. У., Гаджиее Л.М., Мурадов И.Р. Автомодельные решения, вытеснения одной жидкости другой в пласте при нелинейном (квадратичном) законе фильтрации // Нефть и газ. 1983. №4. С.34-38.

3. Адвани С.Х., ТорокДж.С. Течение неньютоновской жидкости в пласте (приложение к гидроразрыву) // Энергетические машины и установки. 1988. No.l. С.135-139.

4. Алексеенко О.П. Квазиравновестное состояние круговой трещины гидроразрыва // Изв. РАН. МТТ. 1993. №2. С.143-149.

5. Алексеенко О.П., ВайсманА.М. Нагнетание псевдопластика в круговую трещину гидроразрыва // Изв. РАН. МТТ. 1993. No.5.C. 147-153.

6. Алексеенко О.П., Вайсман A.M. Прямолинейный разрыв в упругой плоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. No.5. С.145-149.

7. Алексеенко О.П., Гордеев Ю.Н., Зазовский А.Ф. В сб.: Тез. Докл. Седьмой всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Москва. 1991.

8. Баренблаттп Г. И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // ПМТФ. 1961. № 4. С. 356.

9. Баренблатт Г.И. О некоторых задачах теории упругости, возникающих при исследовании механизма гидравлического разрыва нефтеносного пласта//ПММ. 1956: Т.20. Вып.4. С.475-486.

10. Баренблатт Г.И, Об автомодельных давлениях сжимаемой жидкости в пористой среде //ПММ. 1952. Т. 16. Вып. 6.

11. Беляев Б.М., Васильев С.А., Николаев С.И. Разрыв пласта давлением пороховых газов. М.: ВНИИОЭНГ. 1967. 63с.

12. Бондаренко А.Г., Колобашкин В.М., Кудряшов Н.А. Автомодельное решение задачи о течении газа через пористую среду в режиме турбулентной фильтрации //ПММ. 1980. Т.44. №.3. С.573-577.

13. Борисов Ю.П., Гусев В.И., Константинов C.B., ЛесикН.П. Глубокопроникающий гидравлический разрыв — метод интенсификации разработки низкопроницаемых коллекторов. Нефт. х-во. 1987. № 5.С.22-25.

14. Брычков Ю.А., Маричев О.Н., Прудников А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции//М.:Наука. 1983. С. 750.

15. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1968. 464с.

16. ВекуаИ.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.: Ленинград. 1948. 296с.

17. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971.

18. Голъдштейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989. 224 С.

19. Голъдштейн Р.В., Корелъштейн Л.Б. Асимптотическое решение задач теории упругости о трещинах, вытянутых вдоль пространственной кривой // ПММ. 1987. Т.51. Вып.5. С. 858-865.

20. Гордеев Ю.Н., Ентов В.М. О распределении давления в окрестности растущей трещины //ПММ. 1997. т.61. Вып. 6. С. 1060-1064.

21. Гордеев Ю.Н., Кудряшое H.A. Развитие магистральной трещины под действием движущегося в-ней газа // ПМТФ. 1986. No.4. С.116-122:

22. Гордеев Ю.Н., Кудряшое H.a. Рост магистральной трещины в горной породе под действием движущегося в ней газа. II —ая Всесоюзная школа-семинар «Физические основы прогнозирования разрушения горных пород». Тез. докл. Фрунзе. 1985.

23. Гордеев Ю.Н., Кудряшое H.A., Мурзенко В:В. Автомодельные решения одномерных задач движения газа в пористой среде при двучленном законе сопротивления // ИФЖ. 1984. Т.47. №3.

24. Гордеев Ю.Н., Кудряшое H.A., Мурзенко В.В: Изотермическое вытеснение одного газа другим // Нефть и газ. 1987.

25. Гордеев Ю.Н., Кудряшое H.a., Мурзенко В:В1. Ударные волны торможения в газе. Препринт МИФИ№ 034-86. М.:МИФИ. 1986.

26. Гордеев Ю.Н., Кудряшое H.A., Мурзенко В.В. Численное исследование движения газа-с учетом-сопротивления // ПМТФ. 1985. No 4. С.100-105.

27. Гордеев Ю.Н., Сандаков А.Е. О распределении давления в окрестности растущей трещины с постоянной расклинивающей силой // Известия РАН. Механика Жидкости и Газа. 2006. № 4. С. 121—126.

28. Гордеев Ю.Н., Сандаков А.Е. О численном моделировании трещины гидроразрыва Перкинса — Керна, распространяющейся в проницаемой среде. Препринт № 009-2007. М.: МИФИ. 2007. 16с.

29. Гордеев Ю.Н., Сандаков А.Е. Обобщенная модель трещины гидроразрыва Перкинса — Керна // Экологический Вестник Научных Центров ЧЭС. 2007. №4. С. 38-42.

30. Гордеев Ю.Н., Сандаков А.Е. Распределение давления жидкости в окрестности растущей трещины гидроразрыва. Доклад на Научной Сессии МИФИ!— 2007. Сборник научных трудов, том 5, стр. 79-80. Москва, 2007г.

31. Гордеев Ю.Н., Сандаков А.Е. Численное моделирование распространения трещины гидроразрыва. Доклад на Научной Сессии МИФИ — 2007. Сборник научных трудов, том 5, стр. 81-82. Москва, 2007г.

32. Гордеев Ю.Н., Сандаков А.Е., Чнжов Ю.Л. Автомодельные решения задачи вытеснения одного газа другим в осесимметричном случае при квадратичном законе сопротивления // Прикладная Механика и Техническая Физика. 2008. Т.49. №5. С. 87-92.

33. Гусев В.И., Константинов С.В, Техника и технология проведения гидравлического разрыва пластов за рубежом. Обз. инф. ВНИИ орг. упр. и экон. нефтегаз. пром-ти. Нефтепромысл. дело. 1985. № 12/101. 60 с.

34. Ентов В.М., Зазовскнй А.Ф., Стелин И.Б., ХараидзеД.М. Одномерная модель распространения трещины гидроразрыва.

35. Желтое Ю.П. Гидравлический разрыв пласта. М.: Гостоптехиздат. 1957.

36. Желтое Ю.П. Деформации горных пород. М.: Недра. 1966.

37. Желтое Ю.П. Механика нефтегазоносного пласта. М.: Недра. 1975.

38. Желтое Ю.П:, ХристиановичС.АО гидравлическом разрыве нефтеносного пласта // Изв. АН СССР. ОТН. 1955. №5. С.3-41.

39. Зазовский А.Ф. Распространение плоской круговой трещины гидроразрыва в; непроницаемой горной породе // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. №2. С. 103-109.

40. Калиткин H.H. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983.

41. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

42. Кудряшов H.A., Мурзенко В}В. Автомодельное решение задачи осесимметричного движения; газа через пористую среду при квадратичном законе сопротивления // Изв. РАН СССР. Механика жидкости и газа. 1982. №4. С. 168-171.

43. Лейбензон'Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. M.-JL: Ростехиздат, 1947.

44. Лыков A.B. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергоатом-издат. 1978.

45. Михалюк А.В. Торпедирование и импульсный гидроразрыв пластов. Киев: Наук, думка. 1986. 208с.

46. Мусхелишвили H.H. Некоторые основные задачи теории упругости. М.: Наука. 1966. 707 С.

47. ПеслякЮ.А. Расчет круговой трещины гидроразрыва в непроницаемых породах. В сб.: Науч. Тр. Нефтегаз НИИ. 1983. Вып.85. С.26-41.

48. Полубаринова-Кочгма П.Я. Теория< движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977.

49. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. 1988.

50. СандаковА.Е. Задача о вытеснении одного газа другим в осесимметричном канале при нелинейном законе сопротивления. Материалы XTV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». Том 2. с. 108. Москва, СП «Мысль», 2007.

51. Сандаков А.Е. Задача поршневого вытеснения одного газа другим в осесимметричной трещине. Сборник материалов 4-й международной научно-практической конференции» «Качество науки качество жизни». 2008 - Тамбов: Издательство ТАМБОВПРИНТ, 2008. СЛ18-120.1

52. СандаковА.Е. Нахождение ширины трещины гидроразрыва в обобщенной модели Перкинса — Керна. Сборник материалов 4-й международной научно-практической конференции «Качество науки качество жизни». 2008 - Тамбов: Издательство ТАМБОВПРИНТ, 2008. СЛ 17-118.

53. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики // М.: Л. Гостехиздат. 1950. С. 444.

54. Щелкачев В.Н. Основные уравнения движения упругой жидкости в упругой пористой среде// Докл. АН СССР. 1946. Т.52. №.2. С. 103-106.

55. AbeH., KeerL.M., MuraT. Growth rate of a penny shaped crack in hydraulic fracturing of rocks. Int. Journal of Geophysical Reseach. 1976. Vol.81. No.29. P.5335-5340.

56. Abow-Sayed A.S., Clifton R.J. Simonson E.R. Containment of massive hydraulic fractures. Soc. Petrol. Eng. J: 1978. Vol.18. No.l'v P.27-32.

57. AdachiJ., Detournay E. Self-similar solution of a plane-strain fracture driven by a power-law fluid . Int. J. Numer. Anal. Met:, 26(6), 579-604 (2002).

58. Atkinson G., Craster R. V. Plane strain fracture in poroelastic media. Proc. R. Soc. Lond. 1991. A.434. P.605-633.

59. Atkinson C., Craster R. V. The application of invariant integrals in diffusive elastic solids. Phil. Trans.Proc. R. Soc. Lond. 1992. A.339; P.231-263.

60. Baron G., Le Tirant P. Fractaration hydraulique: bases theoriques, e'tudes de laboratoire, essays sur champ. Proc 7th World Petrol Congr. 1967. Mexico. V. 3. Barking.

61. Biot M.A. The elastic coefficients of the theory of consolidation. Journal Appl. Mech. Trans. ASME. 1957. Vol.24.

62. Biot M.A. General solutions of the equations of elasticity and consolidation for a porous material. Journal Appl. Mech. Trans. ASME. 1956. Vol.78. P.91-96.

63. Biot M.A. General theory of three dimensional consolidation. Journal Appl. Phys. 1941. Vol.12. No.2. P.155-165.

64. Biot M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid. Journal Appl Phys. 1955. Vol.26. P.82-185.

65. Biot M.A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics. Journal Appl. Phys. 1956. Vol.33. P.240-253.

66. Boone T. J., Detournay E. Response of a vertical hydraulic fracture intersecting a poroelastic formation bounded by semiinfinite impermeable elastic layer. Int. J. Rock. Mech. Mining. Sci.&Geomecyh. Abstr. 1990. Vol.27. P.189-197.

67. Boone T.J., Ingraffea A.R., Roegiers J.C. Simulation of hydraulic fracture propagation in poroelastic rock with application to stress measurement techniques. Int. J. Rock. Mech. Mining. Sci.&Geomecyh. Abstr. 1991. Vol.28. P.l-14.

68. Brandt H., Pifts J. H. Gas flow in a permeable earth formation containing a crack // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech., 1977, vol. 44, No. 4.

69. Bunger A.P., Detournay E. Asymptotic solution for a penny-shaped near-surface hydraulic fracture. Engineering Fracture Mechanics. 2005. 72(16): 2468-2486.

70. Bunger A.P., Detournay E. Early time solution for a penny-shaped hydraulic fracture. Journal of Engineering Mechanics ASCE. 2007.133(5): 534-540.

71. Bunger A.P., Detournay E. Experimental Validation of the Tip Asymptotics for a Fluid-Driven Fracture. Journal of the . Mechanics and Physics of Solids. 2007.

72. Carrol H.B.Jr., Palmer LD. Three-dimensional hydraulic fracture propagating in the presence of stress variations. Soc. Petrol. Eng. J. 1983. Vol.23. P.870-878.

73. Cheng A., Detournay E. Influence of pressurization rate on the magnitude of the breakdown1 pressure. Proc. 33nd US, Rock Mechanics Symposium. Balkena. 1992.

74. Cheng A., Detournay E. Plain strain analysis of a stationary hydraulic fracture in a poroelastic medium. J.Solids. Struct. 1991. Vol.37. P. 1645-1662.

75. Cheng A., Detournay E. Poroelastic solution of a plane strain point displacement discontinuity. Journal Appl. Meek 1987. Vol. 54. P.783-787.

76. Cheng A., Detournay E., McLennan T.D. A poroelastic PRK hydraulic fracture model based on an explicit moving algorithm. ASME. J. of Energy Resources Technology. 1990. Vol'. 1,12. No.4. P.224-230.

77. Cheng A., Detournay E., McLennan T.D., Roegiers J.D. Poroelastic considerations in situ stress determination by hydraulic fracturing. Int. J. Rock. Mech. Mining. Sci.&Geomecyh. Abstr. 1989. Vol.26. P.507-513.

78. Cleary M.P., SettariA. Development and testing of a psevdo-three-dimensional model of hydraulic fracture geometry. SPE Prod. Eng. 1986. Vol.1. P.449-466.

79. Daneshy A.A. Hydraulic fracturing propagation in layered formations. Soc. Petrol. Eng. J. 1978. Vol.13. No.l. P.33-41.

80. Daneshy A. A. On-the design of vertical hydraulic fractures. Journal of Petroleum Technology. 1973. Vol. 25. P.83-97.

81. Derski W. Equations of the consolidation theory for the case of a sourse of fluid. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. techn. 1965. Vol.13. P.37-43.

82. Derski W. Theorem on reciprocity of displacements in theory of consolidation. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. techn. 1965. Vol.13. P.29-35.

83. Detournay E. Mechanics of fluid-infiltrated solids. Course Works. Dept. of Civil & Mineral Engineering. 1993. 104p.

84. Detournay E. Propagation regimes of fluid-driven fractures in impermeable rocks. International Journal of Geomechanics. P.35-45. 2004.

85. Detournay E., Garagash D. An analysis of the influence of the pressurization rate on the borehole breakdown pressure // J. Solids Structures, 1997.V. 34. № 24. P. 3099-3118.

86. Detournay E., Garagash D.I. The near-tip region of a fluid-driven fracturepropagating in a permeable elastic solid // J. Fluid Mech. V. 494. P. 1-32. 2003.

87. Detournay E., Garagash D.I. The tip region of a hydraulic fracture propagating in a permeable rock. Poromechanics II, Auriault et al (eds.). Swets & Zeitlinger, Lisse. pp.899-904. 2002.

88. Detournay E., Garagash D.I. Viscosity-dominated regime of a fluid-driven fracture in an elastic medium. IUTAM Symposium on Analytical and Computation Fracture Mechanics of Non-Homogeneous Materials. pp. 25-29.2002.

89. Detournay E., Jeffrey R., Zhang X. Propagation of a penny-shaped hydraulic fracture parallel to the free-surface of an elastic half-space. International Journal of Fracture. Vol.115, pp. 125-158. 2002.108?

90. BuffRiE., NilsonRiH., Proffer W. J: Modeling: of gas-driven fractures induced by propellant combustion within a bore hole. Int. J. Rock. Mech.

91. Sci & Abstr. 1985. V.22. No.l. P.3-19.i

92. Economides M. J., Notle K. G. Reservoir^ Stimulation // Eds:. Englewood Cliffs: Prentice Hall: Houston. Texas. 19891'Var.pag.

93. Economides MJJi, Nolte K.G; Reservoir Stimulation / Shlumberger Educational Sendees. Houston. Texas. 19971

94. Eekelen H.A.M. Hydraulic fracture geometry: fracture containment in layered formations. Soc. Petrol. Eng. J. 1982. Vol.22. No.3. P.341-349.

95. Eliot H. A., Sneddon I.N. The opening of a Griffith crack under internal pressure. Quart. Appl. Math. 1946. Vol. 4. No.4. P.262-267.

96. England A.H., Green A.E. Some two-dimensional punch and crack problems in classical elasticity. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1963. Vol. 59. P.489-500. .■.:":

97. Garagash D. Hydraulic fracture propagation in elastic rock with large toughness. Pacipic Rocks (Girard, Liebman, Breeds & Doe eds.). Balkema: Rotterdam, pp.221-228. 2000.

98. Garagash D.l. Evolution of a plane-strain fracture driven by a power-law fluid. 16 th. ASCE Engineering Mechanics Conference. University of Washington. Seattle. 2003 i 12 P.

99. Geertsma J. The effect of fluid pressure decline on volumetric changes of porous rocks. Petroleum Trans. AIME. 1957. Vol. 210. P.331-340.

100. Geertsma J., De KlerkF. A rapid method of predicting width and extent ofhydraulically induced fracture. J. Petrol Technol. 1969. Vol.21. P.1571-1581.

101. GibsomR E., McNamee J. A three-dimensional problem of a semi-infinite clay stratum. Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1963. Vol.16. P.l 15-127.

102. Gibson R.E., McNamee J. Displacement functions and linear transforms applied to diffusion through porous elastic media. Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1960. Vol.13. No.l. P.98-111.

103. Halliburton. Progress realize's an cours des vingt-cinq.dernieres annees dans la fracturation hydraulique. Ind.Miner.Ser.Minc. 1976. Vol.58. No.5. P. 197-200.

104. Howard G.C., Fast C.R. Hydraulic fracturing. SPE Monograph Series. II. Dallas. 1970.

105. KernL.R., Perkins T.K. Width of hydraulic fractures // J.Petrol. Technol. 1961. Vol.13. P.937-949.

106. Lowengrub M., Sneddonl.N. Crack problems in the classical theory of elasticity. John Wiley and Sons, Inc. New York. 1969.

107. Luiskiitty C.T., Palmer I.D. Comparison of hydraulic fracture models for highly elongated fractures of variable height. Trans. ASME. J. Energy Resour. Technol. 1986. Vol.108. No.2. P.107-115.

108. Medlin W.L., MosseL. Plasticity effects in hydraulic fracturing. J. Petrol. Technol. 1986. Vol.38. No.10. P.995-1006.

109. Meyer B.R. Design formulay for 2-D and 3-D vertical hydraulic fracture model comparison and parametric studies. SPE Paper No. 15240. SPE Unconventional Gas Technology Symposium, Louisville, KY. 1986.

110. Morrison F.A., Jr. Transient non-Darcy gas flow in a finite porous bed // Trans. ASME. Ser. I, J. Fluids Engng, 1977, vol. 99, No. 4.

111. Nilson R.H. Gas-driven fracture propagation. J. Appl Mech. 1981. Vol.48. No. 4. P.757-762.

112. Nilson R.H. Similarity solutions for wedge-shaped hydraulic fractures driven into a permeable medium by a constant inlet pressure. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomecanics. 1988. Vol. 12. P. 477-495.

113. NolteK.G., Smith M.B. Interpretation of fracturing pressures // J. Petrol. Technol. 1981. V. 33. № 9. P. 1764-1775.

114. Nordgren R.P. Propagation of a vertical hydraulic fracture. Soc. Petrol. Eng. J. 1972. Vol. 12. P.306-314.

115. Rubin M.B. Experimental study of hydraulic fracturing in an impermeable material. Trans. ASME. J. Energy Resour. Tech. 1983. Vol.105. No.2. P.l 16-124.

116. RudnickiJ. Effects of pore fluid diffusion on deformation and failyre of rock. Chap. 15 in Mechanics of Geomaterials, Proc. TUT AM William Prager Symp. on Mechanics of Geomaterials: Rock, Concrete, Soils, (ed.) Z.P.Bazalt, Wiley. 1985. P.315-347.

117. Thompson M., Willis J.R. A reformation of the equations of anisotropic poroelasticity. Trans. ASME. 1991. Vol.58. P.612-616.