Методы математического моделирования наследственно-упругих сред на основе дробного исчисления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Унгарова Луиза Гадильевна

• Унгарова Луиза Гадильевна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Унгарова Луиза Гадильевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи

1.1. Основные области применения дробного исчисления

1.2. Основные понятия дробного исчисления, свойства операторов и

некоторые их особенности

1.3. Постановка задачи для математических моделей наследственно­

упругого тела в форме дифференциальных уравнений

Глава 2. Математическое моделирование линейного вязкоупруго­

го тела на основе обобщённых структурных моделей и аппара­

та дробного интегро-дифференцирования Римана— Лиувилля

2.1. Метод структурного моделирования линейных наследственно упру­

гих тел

2.2. Аналитические решения задачи о вязкоупругом деформировании

для некоторых линейных дробных аналогов классических реоло­

гических моделей

2.3. Асимптотика аналитических решений для дробных моделей

2.4. Выводы по второй главе

Глава 3. Методы идентификации параметров дробных реологи­

ческих моделей линейного наследственно упругого тела

3.1. Метод идентификации параметров дробных моделей на основе

последовательной аппроксимации кривых вязкоупругого дефор­

мирования

3.2. Метод идентификации параметров дробных моделей на основе

одновременной аппроксимации серии кривых вязкоупругого де­

формирования

3

3.3. Построение линейных феноменологических дробных теорий вяз­

коупругого деформирования поливинилхлоридного пластиката,

идентификация параметров, анализ и сравнение результатов

3.4. Выводы по третьей главе

Глава 4. Математические модели нелинейной вязкоупругости с

операторами дробного интегро-дифференцирования

4.1. Нелинейные дробные аналоги реологических моделей, допускаю­

щих аналитические решения задач вязкоупругости

4.2. Идентификация параметров нелинейных дробных математиче­

ских моделей, допускающих аналитические решения

4.3. Численное исследование и идентификация параметров нелиней­

ных моделей наследственно-упругого тела дробного порядка, не

допускающих аналитического решения

4.4. Сравнительный анализ математических моделей вязкоупругих

сред с операторами дробного и целочисленного интегро-диффе­

ренцирования

4.5. Проверка адекватности нелинейных дробных моделей экспери­

ментальным данным при кусочно-постоянных режимах нагруже­

ния

4.6. Выводы по четвертой главе

Глава 5. Разработка программного обеспечения для идентифика­

ции параметров параметров и реализации расчётов на основе

дробных математических моделей

Заключение

Список литературы

Приложение А. Экспериментальные данные для вязкоупругой

4

деформации поливинилхлоридного пластиката при 𝑇 = 20 ‰

Приложение Б. Экспериментальные данные для вязкоупругой

деформации поливинилхлоридного пластиката при 𝑇 = 24 ‰

Приложение В. Экспериментальные и расчётные данные вязко­

упругого деформирования по моделям дробного порядка поли­

винилхлоридного пластиката при 𝑇 = 24 ‰

В.1. Линейные модели

В.2. Варианты нелинейных дробных моделей, для которых решение

можно построить численными методами

Приложение Г. Свидетельство о регистрации программы

Приложение Д. Акт об использовании результатов диссертации

в Самарском государственном техническом университете

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы математического моделирования наследственно-упругих сред на основе дробного исчисления»

Введение

Актуальность темы исследования. Одним из трендов развития науч­

ных исследований является модификация "классических"математических мо­

делей на более сложные, включающие известные модели в частных случаях.

Состояние любой системы зачастую зависит от процессов, произошедших в про­

шлом, поэтому соответствующие математические модели должны учитывать

наследственные свойства. Соответствующие подходы, базирующиеся на моде­

лях с интегро-дифференциальными операторами целочисленного порядка, не

в полной мере дают адекватную картину кинетики тех или иных процессов.

Возникновение и развитие аппарата дробного исчисления дало возможность

более адекватного описания структур (сред, систем), обладающих эффектом

"памяти" , в физике, механике, биологии, технических системах автоматиче­

ского управления и других науках.

Так, в механике и физике одной из задач является построение математиче­

ских моделей вязкоупругого деформирования материалов. В рамках контину­

альной механики сплошных сред материал представляет собой единое целое, в

то же время известно, что это очень сложная конструкция, и именно так мате­

риал рассматривается на микроскопическом уровне. В этой связи одним из под­

ходов исследования свойств материалов является структурное моделирование,

когда среда представляется в виде конструкции, состоящей из набора локаль­

ных элементов, наделённых простейшими свойствами. В классической теории

вязкоупругости эти элементы моделируются следующими свойствами: линей­

ной упругостью (моделируются идеальной пружиной) и линейной вязкостью

(моделируется демпфером). Различные их соединения и сочетания позволяют

получать разнообразные математические модели (Максвелла, Фойхта, Кельви­

на и др.), описываемые дифференциальными уравнениями целого порядка. Та­

кой подход позволяет установить структуру искомой параметризованной функ­

циональной зависимости, связывающей входные воздействия (напряжения) с

6

выходными параметрами (деформациями) на уровне континуальной среды, а

из экспериментов определяются входящие в них параметры и функции.

Естественным обобщением классических структурных моделей является

замена в них локальных элементов с линейными законами упругости и вяз­

кости на блоки, описываемые операторами дробного интегрирования и диф­

ференцирования. Таким образом можно получить ряд новых математических

моделей, но здесь сразу же возникает ряд проблем: исследование внутренних

математических свойств этих моделей, планирование тестовых экспериментов

и разработка методики идентификации параметров моделей на основе получен­

ных экспериментальных данных, применимость моделей к описанию свойств

реальных материалов и сред и, вообще говоря, целесообразность использования

математических моделей с операторами дробного интегро-дифференцирования

в прикладных исследованиях.

Вышеизложенное и определяет актуальность темы исследования.

Объектом исследования являются одноосные математические модели

деформирования вязкоупругих сред с памятью.

Предметом исследования являются математические модели, численно­

аналитические методы, алгоритмы и программные продукты для решения од­

номерных задач деформирования сплошых сред с памятью.

Цель диссертационной работы состоит в разработке новых математи­

ческих моделей и численно-аналитических методов исследования одномерных

деформационных процессов в наследственно-упругих средах на основе обобщён­

ных структурных моделей и аппарата дробного интегродифференцирования

Римана– Лиувилля, алгоритмов идентификации параметров моделей дробного

порядка и специального программного обеспечения для их реализации.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решены ни­

жеследующие задачи.

1. Разработаны новые нелинейные математические модели исследования од­

7

номерных деформационных процессов наследственно–упругих сред с ис­

пользованием обобщённых структурных моделей и аппарата дифференци­

альных уравнений с операторами дробного интегро-дифференцирования

Римана–Лиувилля.

2. Предложены и реализованы численно–аналитические и численные методы

решения задач наследственной упругости на основе обобщённых дробных

аналогов моделей типа Фойхта, Максвелла, Кельвина, Зенера в терминах

специальных функций, связанных с функцией Миттаг–Леффлера. Дока­

заны теоремы о существовании и асимптотических свойствах найденных

решений.

3. Разработаны методики идентификации параметров линейных и нелиней­

ных моделей дробного порядка вязкоупругого одноосного деформирова­

ния.

4. Созданы алгоритмы и программное обеспечение для построения решения

задач, идентификации параметров моделей дробного порядка и графиче­

ского отображения результатов расчётов.

5. Выполнена проверка адекватности разработанных математических моде­

лей дробного порядка экспериментальным данным деформирования об­

разцов при постоянных и кусочно–постоянных режимах нагружения.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) разработаны новые неклассические математические модели деформиро­

вания наследственно–упругих сред с использованием структурных моде­

лей и аппарата дифференциальных уравнений с операторами дробного

интегро-дифференцирования Римана– Лиувилля, позволяющие обобщить

классические варианты теории вязкоупругости;

8

2) разработаны новые численно–аналитические и численные методы реше­

ния задач наследственной упругости на основе обобщённых дробных ана­

логов моделей типа Фойхта, Максвелла, Кельвина, Зенера в терминах

специальных функций, связанных с функцией Миттаг–Леффлера, позво­

ляющие в частных случаях получать решения для классических моделей

вязкоупругости этих типов. Доказаны теоремы о существовании и асимп­

тотических свойствах построенных решений;

3) разработана методика и решена нелинейная задача параметрической иден­

тификации линейных и нелинейных моделей дробного порядка на основе

численного метода многомерной оптимизации (метод Хука–Дживса), поз­

волившая впервые получить численные значения параметров для ряда

моделей применительно к деформированию поливинилхлоридного пласти­

ката;

4) выполнен сравнительный анализ данных расчётов по разработанным мо­

делям дробного порядка с данными расчётов по классическим моделям с

операторами интегро-дифференцирования целочисленного порядка и на

примере экспериментальных данных для поливинилхлоридного пластика­

та впервые установлено, что при меньшем числе параметров погрешность

расчётов по моделям с дробными операторами не больше, чем при исполь­

зовании классических моделей вязкоупругости;

5) созданы алгоритмы и программное обеспечение, позволяющее эффектив­

но получать решения рассмотренных задач с операторами интегро-диф­

ференцирования дробного порядка, изучать свойства описываемых этими

моделями деформационных процессов, выполнять сравнительный анализ

с решениями задач в классической постановке.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в

разработке и исследовании новых математических моделей, описывающих де­

9

формационные процессы в наследственных средах, в форме дифференциаль­

ных уравнений с операторами дробного интегро-дифференцирования Римана—

Лиувилля, включающих как частный случай классические варианты теории

вязкоупругости. В теоретическом плане новизна заключается в ряде новых кор­

ректных постановок задач при построении моделей дробного порядка, методах

их решения и идентификации параметров, параметрическом анализе решений,

апостериорной оценке погрешностей моделей. В прикладном плане разработан­

ные методы и алгоритмы, заложенные в программное обеспечение, позволяют

использовать полученные результаты, обеспечивая не только более полное ма­

тематическое описание детально рассмотренного процесса деформирования по­

ливинилхлоридного пластиката, но и ряда неклассических процессов в средах

и системах с памятью (переходные процессы в электродинамике, обобщённые

ПИД-регуляторы в системах автоматического управления, и процессы, модели­

руемые интегральными уравнениями с разностным ядром). На разработанный

программный комплекс получено свидетельство о государственной регистрации

в Реестре программ для ЭВМ № 2019616951. Результаты диссертационной рабо­

ты частично внедрены в учебный процесс Самарского государственного техни­

ческого университета в лекционные курсы для студентов направления 01.03.02

"Прикладная математика и информатика", магистрантов направления 01.04.02

"Прикладная математика и информатика" и аспирантов направления 09.06.01

"Информатика и вычислительная техника".

Положения, выносимые на защиту:

1. математические модели деформационных процессов наследственно-упру­

гих сред в форме дифференциальных уравнений с операторами дробного

интегро-дифференцирования Римана–Лиувилля, позволяющие обобщить

классические варианты одномерной теории вязкоупругости;

2. численно-аналитические и численные методы решения задач на основе

обобщённых дробных аналогов модели типа Фойхта, Максвелла, Кель­

10

вина, Зенера в терминах специальных функций, связанных с функцией

Миттаг-Леффлера, позволяющие в частных случаях получить решения

для классических моделей вязкоупругости. Теоремы о существовании и

асимптотических свойствах построенных решений;

3. методика параметрической идентификации линейных и нелинейных моде­

лей дробного порядка на основе численного метода многомерной оптими­

зации (метод Хука–Дживса), позволившая впервые получить численные

значения параметров для ряда моделей применительно к деформирова­

нию поливинилхлоридного пластиката;

4. результаты сравнительного анализа данных расчётов по разработанным

моделям дробного порядка с данными расчётов по классическим моделям

с целочисленными операторами интегро-дифференцирования, позволив­

шие на примере экспериментальных данных для поливинилхлоридного

пластиката впервые установить, что при меньшем числе параметров по­

грешность расчётов по моделям с дробными операторами не больше, чем

при использовании классических моделей вязкоупругости;

5. алгоритмы и программное обеспечение, позволяющее эффективно полу­

чать решения рассмотренных задач с операторами интегро-дифференци­

рования дробного порядка, изучать свойства описываемых этими моделя­

ми деформационных процессов.

Степень достоверности и апробация результатов.

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и ре­

комендаций обеспечивается

– корректностью вывода определяющих соотношений математических мо­

делей с операторами дробного интегро-дифференцирования в дифферен­

циальной форме на основе принятых гипотез о наследственно-упругом

теле;

11

– корректностью редукции начальных задач для дифференциальных урав­

нений с дробными производными Римана–Лиувилля к соответствующим

определяющим соотношениям в интегральной форме;

– сравнением численных и аналитических решений по рассматриваемым мо­

делям с известными экспериментальными данными;

– преемственностью полученных новых теоретических и прикладных ре­

зультатов с известными сведениями, когда существующие классические

теории являются частным случаем предложенных методов и моделей.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих

конференциях: Третья международная конференция «Математическая физика

и ее приложения», Самара, 2012; Девятая Всероссийская научная конферен­

ция с международным участием ( "Математическое моделирование и краевые

задачи"), Самара, 2013; IV и V Международная конференция "Нелокальные

краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информа­

тики и физики" , Нальчик-Терскол, 2013, 2018 гг.; Четвертая международная

конференция "Математическая физика и ее приложения", Самара, 2014; XI

Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и при­

кладной механике, Казань, 2015; Десятая Всероссийская научная конференция

с международным участием "Математическое моделирование и краевые зада­

чи" , Самара, 2016; Десятая Всероссийская научная конференция по механике

деформируемого твердого тела, Самара, 2017; Международная конференция

"Актуальные проблемы прикладной математики"(2017 и 2018 г., Приэльбрусье,

Терскол, Кабардино-Балкарская республика); Международная научная конфе­

ренция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" , Стерлитамак,

2018; XI Всероссийская научная конференция с международным участием "Ма­

тематическое моделирование и краевые задачи" , Самара, 2019. Результаты ра­

боты докладывались на научном семинаре "Прикладная математика и механи­

ка" Самарского государственного технического университета (руководитель,

12

профессор Радченко В.П., 2018–2020 гг.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 25 печатных ра­

ботах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах из перечня Web of Science

и Scopus [49, 50, 79], 10 статей в сборниках трудов конференций и 12 тезисов

докладов.

Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю

профессору Радченко В. П. за постоянное внимание к работе и доценту Огород­

никову Е. Н. за ряд постановок задач, консультации и поддержку работы.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­

ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­

кованные работы. Постановка задачи и подготовка к публикации полученных

результатов в работах [2–8, 42, 45, 48, 49, 74, 81–83] проводилась совместно с со­

авторами, при этом решение дифференциальных уравнений в работах [2, 8, 43–

46, 48, 49, 82, 84], построение численных решений [84], разработка метода пара­

метрической идентификации в работах [42, 44, 49, 74, 75, 79] представляют лич­

ный вклад автора. Работы [1, 76–80, 164] выполнены автором самостоятельно.

Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с со­

авторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные

в диссертации результаты анализа решений на основе разработанных моделей

получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

обзора литературы, 5 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссер­

тации 199 страниц, из них 168 страниц текста, включая 42 рисунка, 5 приложе­

ний. Список литературы включает 172 наименования на 20 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Унгарова Луиза Гадильевна

Заключение

1. Предложены новые неклассические математические модели и методы их

исследования для описания квазистатических деформационных процессов

в сплошных средах с памятью в форме дифференциальных уравнений

с операторами дробного интегро-дифференцирования Римана–Лиувилля,

позволяющие в частности обобщить классическую одномерную теорию

вязкоупругости.

2. Построены численно-аналитические и численные решения задач вязко­

упругости на основе обобщённых дробных аналогов моделей типа Фойхта,

Максвелла, Кельвина, Зенера в терминах некоторых специальных функ­

ций, связанных с функцией Миттаг–Леффлера. Решения проанализирова­

ны при различных значениях параметров модели, основным из которых

является порядок дробности. Доказаны теоремы о существовании и асимп­

тотических свойствах найденных решений.

3. Разработана методика идентификации параметров линейных и нелиней­

ных моделей дробного порядка вязкоупругого деформирования на основе

базовой информации для экспериментальных кривых вязкоупругого де­

формирования при постоянных напряжениях. Нелинейная задача пара­

метрической идентификации решается двухступенчатым итерационным

способом. На первом этапе используются характерные экспериментальные

точки диаграмм и особенности асимптотического поведения моделей при

неограниченном возрастании времени и определяются начальные прибли­

жения параметров. На втором этапе осуществляется уточнение этих пара­

метров методом покоординатного спуска (методом Хука—Дживса) и ми­

нимизации функционала среднеквадратического отклонения расчетных

значений от экспериментальных.

4. Разработаны алгоритмы и численные методы для реализации методики

168

идентификации параметров разработанных моделей дробного порядка,

которые реализованы применительно к экспериментальным данным для

кривых вязкоупругого деформирования поливинилхлоридного пластика­

та при постоянных напряжениях и 𝑇 = 20 ‰ и 𝑇 = 24 ‰.

5. Выполнена проверка адекватности линейных и нелинейных математиче­

ских моделей дробного порядка экспериментальным данным по вязко­

упругому деформированию поливинилхлоридного пластиката при квази­

статических и кусочно-постоянных режимах нагружения при двух темпе­

ратурах 𝑇 = 20 ‰ и 𝑇 = 24 ‰.

6. Выполнен сравнительный анализ данных расчётов по разработанным мо­

делям дробного порядка с данными расчётов по классическим математи­

ческим моделям вязкоупругости с целочисленными операторами интегро­

дифференцирования. Показано, что для поливинилхлоридного пластика­

та при меньшем числе параметров погрешность расчётов по линейной

дробной модели практически совпадает, а для нелинейной модели она бо­

лее чем в два раза меньше, чем при использовании классических моделей.

Этот факт может служить обоснованием использования моделей дробно­

го порядка при моделировании реальных процессов, по крайней мере, в

теории вязкоупругости.

7. В среде MathWorks MATLAB R2016b создан программный комплекс, пред­

назначенный для реализации метода идентификации параметров разра­

ботанных линейных и нелинейных моделей дробного порядка и решения

соответствующих начальных краевых задач. Проведено тестирование про­

граммного комплекса, показавшего его эффективность при выполнении

указанных задач. Получено свидетельство о регистрации электронного

ресурса по разработанному программному комплексу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Унгарова Луиза Гадильевна, 2021 год

Список литературы

1. Абусаитова (Унгарова) Л. Г. Дифференциальные уравнения двух анало­

гов дробных реологических моделей кельвина и зенера и некоторые свой­

ства их решений. / в сб.: Тезисы докладов xxxix самарской областной сту­

денческой научной конференции. часть 1: Общественные, естественные и

технические науки. — 2013. — С. 205.

2. Абусаитова (Унгарова) Л. Г., Огородников Е. Н. Дифференциальные

уравнения двух аналогов дробной реологической Фойхта и некоторые свой­

ства их решений / В сб.: Тезисы докладов XXXVIII Самарской областной

студенческой научной конференции (10–20 апреля 2012 г.) Часть 1: Обще­

ственные, естественные и технические науки. — С. 197.

3. Абусаитова (Унгарова) Л. Г., Огородников Е. Н. О некоторых специаль­

ных функциях, связанных с функцией Миттаг–Лефлера, их свойствах и

применении / Материалы X школы молодых ученых «Нелокальные кра­

евые задачи и проблемы современного анализа и информатики». — Наль­

чик : КБНЦ РАН, 2012. — С. 13–15.

4. Абусаитова (Унгарова) Л. Г., Огородников Е. Н. Исследование двух рео­

логических моделей вязкоупругого тела с памятью, основанных на ис­

пользовании дробного интегро- дифференцирования римана-лиувилля / в

сб.: Viii междунар. научно-техн. конф. «аналитические и численные мето­

ды моделирования естественнонаучных и социальных проблем». — 2013. —

С. 146–150.

5. Абусаитова (Унгарова) Л. Г., Огородников Е. Н. Сравнительный анализ

дробных реологических моделей кельвина и зенера, основанных на ис­

пользовании аппарата интегро-дифференцирования римана-лиувилля. / в

сб.: Труды девятой всероссийской научной конференции с международ­

ным участием. "математическое моделирование и краевые задачи ч. 1. —

2013. — С. 12–15.

170

6. Абусаитова (Унгарова) Л. Г., Огородников Е. Н. Математическое моде­

лирование вязкоупругих сред с памятью и задача параметрической иден­

тификации дробных реологических моделей // Четвертая международ­

ная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы

конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радчен­

ко. — Самара: СамГТУ, 2014. — С. 40–41.

7. Абусаитова (Унгарова) Л. Г., Огородников Е. Н., Латыпова Н. М. Иссле­

дование ползучести на примере дробных аналогов реологических моделей

Кедьвина и Зенера // Материалы IV международной конференции «Нело­

кальные краевые задачи и родственные проблемы математической биоло­

гии, информатики и физики». — Нальчик–Терскол : КБНЦ РАН, 2013. —

С. 19–22.

8. Абусаитова (Унгарова) Л. Г., Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. О дроб­

ных дифференциальных уравнениях двух аналогов реологической модели

Фойхта и свойствах их решений / Материалы третьей международной кон­

ференции «Математическая физика и ее приложения»–. — Самара : СамГ­

ТУ, 2012. — С. 22–23.

9. Афанасьев В. В., Данилаев М. П., Польский Ю. Е. Стабилизация

фрактального осциллятора инерциальными воздействиями // Письма в

ЖТФ . — 2010. — Т. 36, № 7. — С. 1–6.

10. Базовкина А. С. Разработка и исследование методов определения парамет­

ров дробных дифференциальных операторов на основе разностных урав­

нений : Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-мате­

матических наук / А. С. Базовкина. — Самара, 2014. — 182 с.

11. Бегли Р. Л., Торвик П. Д. Дифференциальное исчисление, основанное на

производных дробного порядка–новый подход к расчету конструкции с

вязкоупругим демпфированием // Аэрокосмическая техника . — 1984. —

Т. 2, № 2. — С. 84–93.

12. Бейбалаев В. Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторон­

171

ней производной дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.

Физ.-мат. науки . — 2009. — Т. 1(18). — С. 267–270.

13. Бейбалаев В. Д. Численный метод решения краевой задачи для двумер­

ного уравнения теплопроводности с производными дробного порядка //

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки . — 2010. — Т. 5(21). —

С. 244–251.

14. Бронский А. П. Явление последействия в твёрдом теле // ПММ. — 1941. —

Т. 5, № 1. — С. 31–56.

15. Булгаков И. И. Ползучесть полимерных материалов. — М. : Наука. Глав­

ная редакция физико-математической литературы, 1973. — 288 с.

16. Бутковский А. Г., Постнов Е. А., Постнова Е. Дробное интегродиффе­

ренциальное исчисление и его приложения в теории управления. i. мате­

матические основы и проблема интерпретации // Автомат. и телемех. —

2013. — Т. 4. — С. 3–42.

17. Бутковский А. Г., Постнов Е. А., Постнова Е. А. Дробное интегро-диф­

ференциальное исчисление и его приложения в теории управления. ii. дроб­

ные динамические системы: моделирование и аппаратная реализация //

Автомат. и телемех. — 2013. — Т. 5. — С. 3–34.

18. Васильев В. В., Симак Л. А. Дробное исчисление и аппроксимационные

методы в моделировании динамических систем. — НАН Украины : Springer

Verlag, 2008. — 256 с.

19. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифферен­

циальных уравнений.— Пер. с англ./П.Н. Кузнецов. — М. : Наука, 1982. —

304 с.

20. Герасимов А. Н. Обощение линейных законов деформирования и его при­

менение к задачам внутреннего трения // ПММ . — 1948. — Т. 12, № 3. —

С. 251–260.

21. Головизнин В., Киселев В., Короткин И. Численные методы решения

уравнения дробной диффузии в одномерном случае. — М., 2003. — Пре­

172

принт / ИБРАЭ РАН: IBRAE-2003-12.

22. Гуаделупе Э. М. М. Анализ динамического поведения вязкоупругих балок

при ударных воздействиях с использованием моделей, содержащих дроб­

ные операторы : Диссертация на соискание ученой степени кандидата фи­

зико-математических наук / Эстрада Мария Меза Гуаделупе. — Воронеж,

2017. — 120 с.

23. Данилаев М. П. Обобщённые многомодовые модели в задачах анализа и

синтеза радиоэлектронных, квантовых систем и фрактальных структур :

Автореф. дис. . . д-ра тех. наук. / М. П. Данилаев. — Казань, 2010. — 34 с.

24. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функ­

ций в комплексной области. — М. : Наука, 1966. — 672 с.

25. Ерохин С. В. Математическое моделирование физических соотношений

вязкоупругих тел с использованием методов дробного исчисления : Дис­

сертация на соискание ученой степени кандидата технических наук /

С. В. Ерохин. — Москва, 2015. — 117 с.

26. Интегральные уравнения / Под ред. А. Б. Васильева, Н. А. Тихонов. —

М. : Физматлит, 2002. — 160 с.

27. Ишлинский А. Ю. Об уравнениях пространственного деформирования

не вполне упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР, ОТН .—

1945. — № 3. — С. 250–260.

28. Колесниченко А. В. Термодинамический вывод дробного уравнения Фок­

кера-Планка для фрактального турбулентного хаоса со степенной памя­

тью. № 72. — М., 2014. — 32 с. — Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. Ре­

жим доступа: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2014-72.

29. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функцио­

нального анализа. — М : Наука. Главная редакция физико-математической

литературы, 1976. — 544 с.

30. Корчагина А. Численное моделирование диффузионных процессов в фрак­

тальных средах // Учёные записки ЗабГУ. — 2013. — Т. 50, № 3. — С. 53–59.

173

31. Корчагина А. Использование производных дробного порядка для решения

задач механики сплошных сред // Известия Алтайского государственно­

го университета . — 2014. — Т. 1, № 1(81). — С. 65–67.

32. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. — М. :

Машиностроение, 1975. — 400 с.

33. Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетерс Г. А. Сопротивление полимер­

ных и композитных материалов. — Рига : Зинатне, 1980. — 572 с.

34. Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнени­

ям: Методы решения. — М. : Факториал Пресс, 2000. — 384 с.

35. Мейланов Р. П., Янполов М. С. Особенности фазовой траектории «фрак­

тального» осциллятора // Письма в ЖТФ. — 2002. — Т. 28, № 1. — С. 67–73.

36. Механика сплошных сред / Под ред. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. :

ГИТТЛ, 1954. — 120 с.

37. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного

порядка / Под ред. В. Е. Тарасов. — Ижевск : Институт компьютерных

исследований, 2011. — 568 с.

38. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. — М. : Высшая шко­

ла, 1995. — 301 с.

39. Нахушев А. М. Математические модели вязкоупругого тела // Изв. вузов.

Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки . — 2000. — № 3. — С. 107–109.

40. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — М. : Физматлит,

2003. — 272 с.

41. О перспективах использования теории дробного дифференциального ис­

числения в механике / Под ред. М. А. Журавков, Н. С. Романова. —

Минск : БГУ, 2013. — 53 с. — Режим доступа: http://elib.bsu.by/

handle/123456789/37576.

42. Огородников Е., Радченко В., Унгарова Л. Г. Математические модели од­

ноосной наследственной упругости и аппроксимация экспериментальных

данных ползучести образцов из поливинилхлоридного пластиката // Ма­

174

териалы V Международной научной конференции «Нелокальные краевые

задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики

и физики». — Нальчик : ИПМА КБНЦ РАН, 2018. — С. 153.

43. Огородников Е., Радченко В., Унгарова Л. Г. Одномерные математиче­

ские модели нелинейной наследственной упругости с операторами дробно­

го интегро-дифференцирования римана–лиувилля // Материалы Между­

народной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смеж­

ные проблемы". — Стерлитамак : Башкирский государственный универси­

тет, 2018. — С. 252–255.

44. Огородников Е., Унгарова Л. Идентификация параметров нелинейных ма­

тематических моделей наследственно-упругого тела на основе численного

решения интегральных уравнений в задаче о ползучести // Материалы

IV Международной научной конференции «Актуальные проблемы при­

кладной математики и физики». — Нальчик : ИПМА КБНЦ РАН, 2018. —

С. 198.

45. Огородников Е., Унгарова Л., Латыпова Н. М. Решение задачи о ползу­

чести для некоторых нелинейных математических моделей наследственно­

упругого тела // Материалы Международной научной конференции «Ак­

туальные проблемы прикладной математики и физики». — Нальчик : ИП­

МА КБНЦ РАН, 2017. — С. 161.

46. Огородников Е., Унгарова Л. Г. Аналитические решения задачи о ползуче­

сти и идентификация параметров нелинейных математических моделей на­

следственно-упругого тела // Труды десятой Всероссийской научной кон­

ференции по механике деформируемого твердого тела. — Самара: СамГ­

ТУ, 2017. — С. 120–123.

47. Огородников Е. Н. О некоторых краевых задачах для системы уравнений

Бицадзе-Лыкова с инволютивной матрицей. — В сб. : Тр. десятой межвуз.

науч. конф. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Мат.

моделирование и краевые задачи. Самара: СамГТУ, 2000. — С. 119–126.

175

48. Огородников Е. Н., Абусаитова (Унгарова) Л. Г. Определяющие соотно­

шения и начальные задачи для вязкоупругих сред с дробными оператора­

ми римана–лиувилля // Материалы VIII Всероссийской конференции по

механике деформируемого твёрдого тела, Ч. 2. — Чебоксары: Чуваш. гос.

пед. ун-т, 2014. — С. 105–107.

49. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Унгарова Л. Г. Математическое моде­

лирование наследственно упругого деформируемого тела на основе струк­

турных моделей и аппарата дробного интегро-дифференцирования ри­

мана–лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. нау­

ки . — 2016. — Т. 20. — С. 167–194.

50. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Унгарова Л. Г. Математические мо­

дели нелинейной вязкоупругости с операторами дробного интегро-диффе­

ренцирования // Вестник Пермского национального исследовательского

политехнического университета: Механика. — 2018. — Т. 2. — С. 147–161.

51. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. О некоторых свой­

ствах операторов с функциями типа миттаг–леффлера в ядрах // Труды

шестой Всероссийской научной конференции с международным участием

(1–4 июня 2009 г.).Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые зада­

чи / Матем. моделирование и краев. задачи. — Самара : СамГТУ, 2009. —

С. 181–188.

52. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. Математические мо­

дели вязкоупругого тела и вынужденные колебания дробных осциллято­

ров // Матерiали конф. , Тринадцята Мiжнародна наукова конференцiя

iменi академiка М.Кравчука), Т.1. Киiv: НТУУ). — Т. 1. — Киiv : НТУУ,

2010. — С. 344–345.

53. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. Реологические моде­

ли вязкоупругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дроб­

ных осцилляторов // Вестн. Сам.гос.техн.ун-та. Сер.Физ.-мат.науки. —

2011. — Т. 22, № 1. — С. 255–268.

176

54. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Вынужденные колебания дробных ос­

цилляторов // Тр. пятой Всерос. научн. конф. с междунар. участием.

Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надёжности эле­

ментов конструкций. Матем. моделирование и краев. задачи, СамГТУ,

Самара . — 2008. — С. 215–221.

55. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Некоторые специальные функции в ре­

шении задачи коши для одного дробного осцилляционного уравнения //

Вестн. Сам.гос.техн.ун-та. Сер.Физ.-мат.науки . — 2009. — Т. 18, № 1. —

С. 276–279.

56. Определение характеристик ползучести линейных упруго-наследственных

материалов с использованием эцвм / Е. Н. Звонов, Н. И. Малинин,

Л. Х. Паперник, Б. М. Цейтлин // Изв. АН СССР, МТТ . — 1968. —

С. 76–85.

57. Параметрическая идентификация математической модели вязкоупругих

материалов с использованием производных дробного порядка / С. В. Еро­

хин, Т. С. Алероев, Л. Ю. Фриштер, А. В. Колесниченко // International

Journal for Computational Civil and Structural Engineering . — 2015. —

Т. 11. — С. 82–86.

58. Работнов Ю. Н. Равновесие упругой среды с последействием // ПММ .—

1948. — Т. 12, № 1. — С. 53–62.

59. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. — М. : Наука, 1966. —

752 с.

60. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твёрдых тел. — М. :

Наука, 1977. — 384 с.

61. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. — М. : Наука,

1979. — 744 с.

62. Радченко В. П., Голудин Е. П. Феноменологическая стохастическая модель

изотермической ползучести поливинилхлоридного пластиката // Вестн.

Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки . — 2008. — Т. 1(16). —

177

С. 45–52.

63. Репин О. Н., Саичев А. И. Дробный закон пуассона // Изв. ВУЗов. Ра­

диофизика . — 2005. — Т. 43, № 9. — С. 823–826.

64. Ржаницын А. Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся

во времени / А.Р. Ржаницын. — М. : Гостехиздат, 1949.

65. Рогачев Г. Н. Эволюционный алгоритм настройки обобщенного пид регуля­

тора // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Тех. науки. — 2005. — № 39. —

С. 17–21.

66. Розовский М. И. Об интегро–дифференциальном уравнении динамической

контактной задачи вязкоупругости // Прикладная математика и механи­

ка. — 1973. — Т. 37, № 2. — С. 359–363.

67. Самарин Ю. П. Построение экспоненциальных аппроксимаций для кри­

вых ползучести методом последовательного выделения экспоненциальных

слагаемых // Проблемы прочности . — 1974. — С. 24–27.

68. Самарин Ю. П. Описание деформирования реономных материалов мето­

дами теории управления. — Куйбышев : Куйбышевский политехнический

институт им. В. В. Куйбышева, 1976.

69. Самарин Ю. П. Уравнения состояния материалов со сложными реологи­

ческими свойствами. — Куйбышев : Куйб. госуниверситет, 1979. — 84 с.

70. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дроб­

ного порядка и некоторые их приложения. — Минск : Наука и техника,

1987. — 688 с.

71. Слонимский Г. Л. О законах деформации реальных материалов //

ЖТФ . — 1939. — Т. 9, № 20. — С. 1791–1799.

72. Станиславский А. А. Вероятностная интерпретация интеграла дробного

порядка // Теор. матем. физ. — 2004. — Т. 138, № 3. — С. 491–507.

73. Сургуладзе Т. А. О некоторых применениях операторов дробного поряд­

ка в вязкоупругости : Диссертация на соискание ученой степени доктора

физико-математических наук / Т. А. Сургуладзе. — М., 2002. — 174 с.

178

74. Унгарова Л., Огородников Е. Идентификация параметров нелинейных

дробных математических моделей наследственно упругого тела на основе

экспериментальных данных о ползучести образцов из пвх-пластиката //

Материалы XI Всероссийской научной конференции с международным

участием "Математическое моделирование и краевые задачи". Том 2. —

Самара : СамГТУ, 2019. — С. 359–363.

75. Унгарова Л., Огородников Е. Н. Идентификация параметров дробных рео­

логических моделей для серии экспериментов // Свид. о регистрации

программы для ЭВМ № 2019616951, правообладатели: Унгарова Л. Г.,

Огородников Е. Н. — заявка № 2019615734, заявл. 17.05.2019, зарегистр.

03.06.2019.

76. Унгарова Л. Г. Решение задач параметрической идентификации некото­

рых дробных реологических моделей вязкоупругих сред с памятью / ма­

териалы xii школы молодых ученых «нелокальные краевые задачи и про­

блемы современного анализа и информатики». — 2014. — С. 70–72.

77. Унгарова Л. Г. Идентификация параметров дробных реологических моде­

лей вязкоупругих сред с памятью / xix зимняя школа по механике сплош­

ных сред. — 2015. — С. 329.

78. Унгарова Л. Г. Явные решения задачи о ползучести для некоторых нели­

нейных реологических моделей наследственно-упругого тела // ХI Всерос­

сийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и приклад­

ной механики: сборник докладов. — Казань, 2015. — С. 3843–3845.

79. Унгарова Л. Г. Применение нелинейных дробных аналогов реологических

моделей в задаче аппроксимации экспериментальных данных по растяже­

нию поливинилхлоридного пластиката // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та.

Сер. Физ.-мат. науки . — 2016. — Т. 20, № 4. — С. 691–706.

80. Унгарова Л. Г. Решение задачи ползучести и идентификация параметров

математических моделей наследственно упругого тела, порядок которых

больше единицы // Материалы международной конференции «Актуаль­

179

ные проблемы прикладной математики и информатики». — Кабардино­

Балкарская Республика, Приэльбрусье : ИПМА, 2016. — С. 251–254.

81. Унгарова Л. Г., Огородников Е. Идентификация параметров дробных рео­

логических моделей вязкоупругого тела с памятью / труды десятой все­

российской научной конференции с международным участием. "математи­

ческое моделирование и краевые задачи". ч. 1. — 2016. — С. 234–239.

82. Унгарова Л. Г., Огородников Е. Математические модели наследственно

упругого деформируемого тела не более, чем второго порядка / труды

десятой всероссийской научной конференции с международным участи­

ем. "математическое моделирование и краевые задачи". ч. 1. — 2016. —

С. 158–161.

83. Унгарова Л. Г., Огородников Е. Нелинейные дробные математические мо­

дели на основе структурного моделирования вязкоупругого тела / материа­

лы международной научной конференции «дифференциальные уравнения

и смежные проблемы». — 2017. — С. 199–201.

84. Унгарова Л. Г., Огородников Е. Численное решение интегральных урав­

нений и идентификация параметров нелинейных математических моде­

лей наследственно-упругого тела // Труды десятой Всероссийской науч­

ной конференции по механике деформируемого твердого тела. — Самара :

СамГТУ, 2017. — С. 251–254.

85. Учайкин В. Дробно-дифференциальная модель динамической памяти //

Сборник научно-популярных статей — победителей конкурса РФФИ 2006

года / Под ред. В. И. Конова. — № 10. М. : Октопус, 2007. — С. 25–41.

86. Учайкин В. Метод дробных производных. — Ульяновск : Артишок, 2008. —

512 с.

87. Учайкин В., Учайкин Д. Эффект памяти в диэлектриках // Учёные за­

писки Ульяновского государственного университета. Физика. — 2005. —

Т. 17, № 1. — С. 14–18.

88. Федер Е. Фракталы. — М. : Мир, 1993. — 260 с.

180

89. Фракталы и дробные операторы / Под ред. А.Х. Гильмутдинова ; Пре­

дисловие акад. Ю.В. Гуляева и чл.-кор. РАН С.А. Никитова. — Казань :

"Фэн"Академии наук РТ, 2010. — 488 с.

90. Хаусдорф Ф. Теория множеств. — М.; Л. : ОНТИ, 1937. — 306 с.

91. Черных В. Математические концепции гидрогеомеханики. — М. : РУДН,

2013. — 447 с.

92. Яшагин Н., Огородников Е. Н. Электронный ресурс «Автоматизиро­

ванный исследовательский комплекс «MitLef»» в ОФЭРНиО №17486 от

11.10.2011 г. и ФГНУ ЦИТиС №50201151294 от 18.11.2011 г.

93. Яшагин Н. С. Математическое моделирование и исследование осцилляци­

онных явлений в системах с памятью на основе аппарата дробного инте­

гро-дифференцирования : Диссертация на соискание ученой степени кан­

дидата физико-математических наук / Н. С. Яшагин. — Самара, 2011. —

186 с.

94. Яшагин Н. С., Огородников Е. Н. Об одном обобщении функции типа мит­

таг–леффлера, интегральном операторе с указанной функцией в ядре, их

свойствах и приложениях // Актуальные проблемы современной науки:

Труды 5–го Международного форума. Естественные науки. Части 1–3:

Математика. Математическое моделирование. Механика. СамГТУ, Са­

мара . — 2010. — С. 261–267.

95. Algorithms for the fractional calculus: A selection of numerical methods /

K. Dielthem, N. J. Ford, A. D. Freed, Yu. Luchko // Computer Methods in

Applied Mechanics and Engineering. –– 2005. –– Vol. 194. –– P. 743–773.

96. Alieva T., Bastiaans M. G., Calvo M. L. Fractional transforms in optical in-

formation processing // EURASIP Journal on Applied Signal Processing. ––

2005. –– Vol. 10. –– P. 1–22.

97. The Analysis of Fractional Differential Equations / Ed. by K. Diethelm. ––

Berlin : Springer, 2010. –– 253 p.

98. Bagley R. L., Torvik P. J. Fractional calculus—a different approach to the

181

analysis of viscoelastically damped structures // AIAA. –– 1983. –– Vol. 21. ––

P. 741–748.

99. Bagley R. L., Torvik P. J. A theorical basis for the application of fractional

calculus to viscoelasticity // J. Rheol. –– 1983. –– Vol. 27. –– P. 201–210.

100. Barrett J. H. Differential equations of non-integer order // Canad. J.

Math. –– 1954. –– Vol. 6. –– P. 529–541.

101. Bateman G., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. –– New York :

McGraw-Hill, 1953. –– 302 p.

102. Boltzman L. Zur theorie der elastichen nashwirkung // Sitzungsberichte

Kaiserl, Acad. Wis.-Maht.-Natur wiss. –– 1874.

103. Caputo M. Free modes splitting and alterations of electrochemically polar-

izable media // Rend. Fis. Acc. Lincei. –– 1993. –– P. 89–98.

104. Caputo M., Mainardi F. A new dissipation model based on memory mecha-

nism // Pure Appl. Geophys. –– 1971. –– P. 134–147.

105. Carpinteri A., Cornetti P., Sapora A. Nonlocal elasticity: an approach based

on fractional calculus // Meccanica. –– 2014. –– Vol. 49, no. 11. –– P. 2551–

2569.

106. Carpinteri A., Mainardi F. Fractals and Fractional Calculus in Continuum

Mechanics. –– Wien and New York : Springer Verlag, 1997. –– 348 p.

107. Debnath L. Recent applications of fractional calculus to science and engineer-

ing // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. ––

2014. –– Vol. 2003, no. 54. –– P. 3413–3442.

108. Duffing G. Elastizial und reibyng beim reimentrieb // Forschung auf dem

Gebdes Ingenierwesens. –– 1931. –– P. – 99–104.

109. Effect of saturation on the viscoelastic properties of dentin / T. Cisneros,

D. Zaytsev, S. Seyedkavoosi et al. // Journal of the Mechanical Behavior of

Biomedical Materials. –– 2020.

110. Fractioal Calculus: Models and Numerical Methods / Ed. by D. Balenu,

K. Diethelm, E. Scalas, J. J. Trujillo. –– New York : World Scientific, 2016. ––

182

476 p.

111. Fractional Calculus: History, Theory and Applications / Ed. by R. Daou,

M. Xavier. –– New York : Nova Science Publishers, 2015. –– 303 p.

112. Fractional creep and relaxation models of viscoelastic materials via a non-

newtonian time-varying viscosity: physical interpretation / Xianglong Su,

Wenxiang Xu, Wen Chen, Haixia Yang // Mechanics of Materials. –– 2019. ––

Vol. 140.

113. Friedrich C. Relaxation and retardation functions of the maxwell model with

fractional derivatives // Rheologica Acta. –– 1991. –– Vol. 30. –– P. 151–158.

114. Fung Y. Biomechanics: Mechanical properties of living tissues. –– Springer-

Verlag, 1981. –– 568 p.

115. Gemant A. A method of analyzing experimental results obtained from elasto-

viscous bodies // J. Appl. Phys. –– 1936. –– P. 311–317.

116. Gemant A. On fractional differentials // Philos. Mag., VII. Ser. –– 1938. ––

P. 540–549.

117. Generalized viscoelastic models: their fractional equations with solutions /

H. Schiessel, R. Metzler, A. Blumen, T. F. Nonnenmacher // Journal of

Physics A: Mathematical and General. –– 1995. –– Vol. 28, no. 23. –– P. 6567–

6584.

118. GorenfIo R., Mainardi F. Fractional Calculus: Integral and Differential

Equations of fractional Orders // A. Carpinteri, F. Mainardi (Eds.), Fractals

and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. –– Wien and New York :

Springer Verlag, 1997. –– P. 223–276.

119. GorenfIo R., Mainardi F. Essentials of Fractional Calculus. –– 2000. –– P. 1–

31. –– Preprint submitted to MaPhySto Center, 28 January.

120. Heymans N., Bauwens J.-C. Fractal rheological models and fractional differ-

ential equations for viscoelastic behavior // Rheologica Acta. –– 1994. –– Vol.

33(3). –– P. 210–219.

121. Hooke R., Jeeves T. A. “direct search” solution of numerical and statistical

183

problems // Journal of the ACM (JACM). –– 1961. –– P. 212–229.

122. How to impose physically coherent initial conditions to a fractional system? /

J. Sabatier, M. Merveillaut, R. Malti, A. Oustaloup // Communications in

Nonlinear Science and Numerical Simulation. –– 2010. –– Vol. 15, no. 5. ––

P. 1318 – 1326.

123. Jouravkov M. A., Romanova N. S. Review of methods and approaches for

mechanical problem solutions based on fractional calculus // Mathematics

and Mechanics of Solids. –– 2014. –– Vol. 21. –– P. 1–26.

124. Kaminsky A. A. Mechanics of the delayed fracture of viscoelastic bod-

ies with cracks: Theory and experiment (review) // International Ap-

plied Mechanics. –– 2014. –– Vol. 50, no. 5. –– P. 485–548. –– Access mode:

http://dx.doi.org/10.1007/s10778-014-0652-8.

125. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of

Fractional Equations / Ed. by J. van Mill. –– Amsterdam : Elsevier. North-

Holland Mathematics Studies, 2006. –– Vol. 204. –– 253 p.

126. Koeller R. C. Applications of fractional calculus to the theory of viscoelas-

ticity // Journal of Applied Mechanics. –– 1984. –– Vol. 51(2). –– P. 299–307.

127. Lewandowski R., Chora˛życzewski B. Identification of the parameters

of the kelvin–voigt and the maxwell fractional models, used to modeling

of viscoelastic dampers // Computers and Structures. –– 2009. –– Vol. 88. ––

P. 1–17.

128. Li C. P., Deng W. Remarks on fractional derivatives // Applied Mathematics

and Computation. –– 2007. –– Vol. 187, no. 2. –– P. 777 – 784.

129. Li C. P., Qian D., Chen Y. Q. On riemann–liouville and caputo deriva-

tives // Discrete Dynamics in Nature and Society. –– 2011. –– Vol. 2011. ––

P. 1–15.

130. Luchko Y. F., Srivastava H. M. The exact solution of certain differential

equations of fractional order by using operational calculus // Comput. Math.

Appl. –– 1995. –– no. 29. –– P. 73–85.

184

131. Machado J. A probabilistic interpretation of the fractional-order differenti-

ation // Frac. Calc. Appl. Anal. –– 2003. –– Vol. 6, no. 1. –– P. 73–80.

132. Machado J. A. T., Galhano A. M. S. F., Trujillo J. J. On development of

fractional calculus during the last fifty years // Scientometrics. –– 2014. ––

Vol. 98. –– P. 577–582.

133. Mainardi F. Fractional relaxotion-occilation and fractional diffusionwave

phenomena chaos // Solitons and Fractals. –– 1996. –– Vol. 7, no. 9. –– P. 1461–

1477.

134. Mainardi F. On mittag-leffler-type functions in fractional evolution pro-

cesses // Journal of Computational and Applied Mathematics. –– 2000. –– Vol.

118. –– P. 283–299.

135. Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An

Introduction to Mathematical Models. –– London : Imperial College Press,

2010. –– 347 p.

136. Mainardi F. An histotical perspective on fractional calculus in linear vis-

coelasticity // Fractional Calculus and Applied Analysis. –– 2012. –– Vol. 15. ––

P. 712–717.

137. Mainardi F. On some properties of the mittag-leffler function E𝛼 (−t𝛼 ), com-

pletely monotone for t > 0 with 0 < 𝛼 < 1 // Discrete and continuous dy-

namical systems - series B . –– 2014. –– Vol. 19, no. 7. –– P. 2267—-2278.

138. Mainardi F., Bonetti E. The application of real-order derivatives in linear

viscoelasticity // Rheol. Acta. –– 1988. –– Vol. 26. –– P. 64–67.

139. Mainardi F., Paradisi P., Gorenflo R. Probability distributions gener-

ated by fractional diffusion equations [Electronic resource]. –– 1999. –– Ac-

cess mode: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.

1.1.26.4261.

140. Makris N., Constantinou M. C. Fractional derivative maxwell model for

viscous dampers // Journal of Structural Engineering ASCE. –– 1991. –– Vol.

117(9). –– P. 2708–2724.

185

141. Nonnenmacher T. F., Glockle W. G. A fractional model for mechanical stress

relaxation // Phil. Mag. Lett. –– 1991. –– Vol. 64(2). –– P. 89–93.

142. Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus. –– N.Y.-London : Aca-

demic Press, 1974. –– 223 p.

143. Paola M. D., Pirrotta A., Valenza A. Visco-elastic behavior through frac-

tional calculus: An easier method for best fitting experimental results //

Mechanics of Materials. –– 2011. –– Vol. 43. –– P. 799 – 806.

144. Petras I., Grega S. Applications of fractional calculus in mechanics // Proc

2d Int Workshop Varna 96, 23-30 August 1996, Bulgaria. Transform Methods

and Special Functions. –– Bulgaria, 2001. –– P. 309–334.

145. Petras I., Grega S. Digital fractional-order controllers: A possible hardware

realization // Proceedings of ICCC’2001, May 22-25. –– Krynica, Poland,

2001. –– P. 217–222.

146. Podlubny I. Fractional Differential Equations ( An Introduction to Fractional

Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution

and Some of Their Applications). –– San Diego - Boston - New York - London

-Sydney - Tokyo - Toronto : Academic Press, 1999. –– 340 p.

147. Podlubny I. Fractional-order systems and p𝑖𝜆 𝑑𝜇 -controllers // IEE Trans.

Automatic Control. –– 1999. –– Vol. 44, no. 1. –– P. 208–214.

148. Rami E.-N. Cosmology with fractional action principle // Romanian Reports

in Physics. –– 2007. –– Vol. 3. –– P. 763–771.

149. Rogosin S., Mainardi F. George william scott blair – the pioneer of fractional

calculus in rheology // Communications in Applied and Industrial Mathe-

matics. –– 2014. –– Vol. 6. –– P. 1–20.

150. Ross B. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional

calculus // Lecture Notes in Mathematics. –– 1975. –– Vol. 457. –– P. 1–36.

151. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus to dy-

namic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids //

Applied Mechanics Reviews. –– 1997. –– Vol. 50. –– P. 15–67.

186

152. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Application of fractional derivatives to the

analysis of damped vibrations of viscoelastic single mass systems // Acta

Mech. –– 1997. –– Vol. 120. –– P. 110–125.

153. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. A new method for solving dynamic prob-

lems of fractional derivative viscoelasticity // Int. J. Eng. Science. –– 2000. ––

Vol. 39. –– P. 149–176.

154. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Two approaches for studying the impact

response of viscoelastic engineering systems: An overview // Computers &

Mathematics with Applications. –– 2013. –– Vol. 66. –– P. 755–773.

155. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Features of fractional operators involving

fractional derivatives and their applications to the problems of mechanics

of solids // Chapter 8 in: Fractional Calculus: Applications (Roy Abi Zeid

Daou and Xavier Moreau, Eds.). –– New York : NOVA Publishers, USA,

2015. –– P. 165–226.

156. Sasso M., Palmieri G., Amodio D. Application of fractional derivative mod-

els in linear viscoelastic problems // Mech Time-Depend Mater . –– 2011. ––

Vol. 15. –– P. 367–387.

157. Schmidt A., Gaul L. Application of fractional calculus to viscoelastically

damped structures in the finite element method // Proceedings of the Inter-

national Conference on Structural Dynamics Modelling. –– 2002. –– P. 297–

306.

158. Scott Blair G. W. The role of psychophysics in rheology // Journal of Colloid

Science. –– 1947. –– Vol. 2, no. 1. –– P. 21–32.

159. Scott Blair G. W. A survie of general and applied rheology. –– London: Sir

Isaac Pitman Sons, 1949. –– 314 p.

160. Some approximations of fractional order operators used in control theory

and applications / B. M. Vinagre, I. Podlubny, A. Hernandez, V. Feliu //

Fractional Calculus and Applied Analysis. –– 2000. –– Vol. 3, no. 1. –– P. 231–

248.

187

161. Stanislavsky A. A. The stochastic nature of complexity evolution in the frac-

tional systems // Chaos, Solitons and Fractals. –– 2007. –– Vol. 34. –– P. 51–61.

162. Study of the mechanical behavior of asphalt mixtures using fractional rhe-

ology to model their viscoelasticity / M. Lagos-Varasa, D. Movilla-Quesada,

J.P. Arenas et al. // Construction and Building Materials. –– 2018. –– Vol.

200. –– P. 124–134.

163. Uchaikin V. V. Heredity and Nonlocality // Fractional derivatives for phusi-

cists and engineer. –– Berlin : Nonlinear Physical Science, Springer, 2013. ––

P. 3–58.

164. Ungarova L. G. Solution of the problem to identify parameters for one-

dimensional rheological mo dels of viscoelastic media with the memory on

the basis of test results polyvinyl chloride pipes with tension / proceedings

of international russian-chinese conference “on actual problems of applied

mathematics and physics” and school for young scientists “nonlocal bound-

ary problems and modern problems of algebra, analysis and informatics”. ––

2015. –– P. 206–207.

165. Valério D., Machado J. T., Kiryakova V. Some pioneers of the applications

of fractional calculus // Fractional Calculus and Applied Analysis. –– 2014. ––

Vol. 17, no. 2. –– P. 552–578. –– Access mode: http://dx.doi.org/10.2478/

s13540-014-0185-1.

166. Vasques C. M. A., Dias Rodrigues J., Moreira R. A. S. Experimental identi-

fication of GHM and ADF parameters for viscoelastic damping modeling //

III European Conference on Computational Mechanics. –– Springer, 2006.

167. Volterra V. Sulle equazioni integro-differeziali della teoria dell’elascita //

Rend. Acc. Naz. Lincei. –– 1909. –– Vol. 5. –– P. 295–301.

168. Volterra V. Fonctions de lignes/V. Volterra.–Paris: Gauthier-Villard. ––

1913.

169. Volterra V. Theory of functionals and of integral and integro-differential

equations. –– New York : Dover Publ., Inc., 1959. –– 226 p.

188

170. West B. Fractal physiology for physicists: Levy statistics // Phys. Rep. ––

1994. –– Vol. 246. –– P. 1–100.

171. Westerlund S. Dead matter has memory // Phisica Scripta. –– 1991. ––

Vol. 43. –– P. 174–179.

172. Xu H., Jiang X. Creep constitutive models for viscoelastic materials based on

fractional derivatives // Computers and Mathematics with Applications. ––

2016. –– Vol. 73. –– P. 1377–1384.