Задачи демпфирования динамических систем, связанные с использованием дробных производных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Колесников, Максим Анатольевич

• Колесников, Максим Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колесников, Максим Анатольевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1. НАСЛЕДСТВЕННАЯ МЕХАНИКА, ОСНОВАННАЯ НА ДРОБНОМ ИСЧИСЛЕНИИ (ОБЗОР)

1.1. История возникновения дробного исчисления

1.2. Модели вязкоупругих сред, содержащие параметры дробности

1.3. Гармоническое деформирование

1.4. Методы решения динамических задач, связанных с использованием вязкоупругих моделей с дробными производными

1.4.1. Аналитические методы

1.4.2. Численные методы

1.5. Динамические задачи с использованием дробного исчисления

2. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

2.1. Постановка задачи

2.2. Механический осциллятор на базе обобщенной модели стандартного линейного тела

2.3. Механический осциллятор на базе обобщенной модели Максвелла

2.4. Механический осциллятор на базе вязкоупругих моделей, содержащих несколько параметров дробности

2.5. Выводы по второй главе

3. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

3.1. Постановка задачи

3.2. Двухмассовая система на базе обобщенной модели Фойгта

3.3. Двухмассовая система на базе обобщенной модели Максвелла

3.4. Двухмассовая система на базе смешанных моделей

3.5. Выводы по третьей главе

4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

4.1. Постановка задачи

4.2. Метод решения

4.3. Резонанс один-к-одному

4.4. Резонанс два-к-одному

4.5. Выводы по четвертой главе

5. КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

5.1. Изгибные колебания вязкоупругой балки, лежащей на вязко-упругом основании

5.2. Продольные колебания вязкоупругого стержня

5.3. Удар вязкоупругого стержня о жесткую преграду

5.4. Выводы по пятой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи демпфирования динамических систем, связанные с использованием дробных производных»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе изучаются демпфирующие свойства различных механических систем, поведение которых описывается уравнениями, содержащими несколько независимых параметров дробности (порядков дробных производных). При исследовании линейных динамических процессов, протекающих в таких системах, используется метод преобразования Лапласа, причем в отличии от традиционных численных подходов, решение удается получить в аналитическом виде. Для анализа нелинейных динамических процессов используются методы возмущений в сочетании с разложением дробной производной по малому параметру.

Фундаментальный вклад в решение задач демпфирования динамических систем внесли: Работнов Ю.Н., Шермергор Т.Д., Мешков С.И., Рос-сихин Ю.А., Даринский Б.М., Постников B.C., Bland D.R., Bagley R.L., Torvik P.J., Caputo M., Mainardi F. и другие отечественные и зарубежные ученые. Применение вязкоупругих моделей, содержащих дробные производные и другие дробные операторы, в задачах демпфирования динамических систем рассматривалось в работах Россихина Ю.А., Россихина Ю.А. и Шитиковой М.В., Bagley R.L. и Torvik P.J.

Актуальность темы. В настоящее время возобновился интерес к дробному исчислению и его приложениям к механике сплошных сред. Это связано с тем, что дробным операторам соответствуют не дискретные значения времен релаксации (ползучести), а непрерывный спектр этих значений. Спектр времен релаксации (ползучести) в большей степени отвечает современным демпфирующим устройствам, в качестве которых используются многослойные обшивки, подложки, прокладки и т.д. Многослойные обшивки используются в различных летательных аппаратах для устранения вредных вибраций корпусов, подложки применяются при строительстве сейсмостойких сооружений, прокладки выступают в качестве гасителей колебаний различных механизмов. Наличие дополнительного параме-

тра в определяющих уравнениях (параметра дробности) позволяет управлять колебательным процессом в системе, переводя колебательный режим в апериодический и наоборот. Введение нескольких независимых параметров дробности дает возможность более гибко управлять колебательными процессами в системах. Кроме того, последние исследования по механике твердых полимеров показали, что те внутренние процессы, которые происходят в таких материалах, относятся к типу микро-броуновского движения и описываются уравнениями, содержащими дробные производные по времени.

Основными целями диссертационной работы являются:

1) Изучение демпфирующих свойств механических систем с одной, двумя и более степенями свободы, вязкоупругие свойства которых описываются реологическими моделями, содержащими дробные производные различных порядков.

2) Анализ линейных колебаний стержней и балок, демпфирующие свойства которых описываются различными реологическими моделями, содержащими два независимых параметра дробности.

3) Исследование зависимостей характеристик колебательного процесса от времени релаксации (ретардации), что эквивалентно исследованию их зависимостей от температуры.

4) Изучение влияния нескольких независимых параметров дробности на процесс перекачки энергии, происходящий при нелинейных колебаниях вязкоупругих систем с двумя степенями свободы.

Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и проанализировано поведение корней характеристических уравнений в комплексной плоскости для следующих задач:

1) О свободных колебаниях наследственно-упругого осциллятора на основе обобщенных моделей Максвелла и стандартного линейного тела, содержащих два независимых параметра дробности, а также на

базе четырех моделей, содержащих несколько независимых параметров дробности.

2) О свободных колебаниях двухмассовой наследственно-упругой системы на основе обобщенных моделей Максвелла и Фойгта, а также на основе их сочетаний.

3) Об изгибных колебаниях вязкоупругой балки, лежащей на вязкоупру-гом основании; о продольных колебаниях вязкоупругого стержня; об ударе вязкоупругого стержня о жесткую преграду на основе обобщенных моделей Максвелла и стандартного линейного тела, содержащих два независимых параметра дробности.

4) На примере нелинейных колебаний механической системы, обладающей двумя степенями свободы, исследовано влияние параметров дробности на тип перекачки энергии: двусторонний энергообмен (периодическое движение), односторонний энергообмен (апериодическое движение) и отсутствие энергообмена (стационарные колебания).

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. При стремлении параметров дробности к единице полученные решения переходят в известные решения для производных целых порядков. Правильность работы комплекса программ проверена решением тестовых задач.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при расчете современных демпфирующих устройств, представляющих из себя многослойные обшивки, подложки и прокладки для вибрирующих частей различных механизмов, а также при расчетах зданий и сооружений на сейсмостойкость. Результаты, полученные при исследовании нелинейных колебаний систем, обладающих

двумя степенями свободы, могут быть использованы при расчете висячих комбинированных систем, находящихся в условиях внутреннего резонанса.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

- Распространение метода решения динамических задач вязкоупруго-сти, предложенного Россихиным Ю.А., на реологические модели, содержащие два и более независимых параметров дробности.

- Управление колебательным процессом в вязко-упругих материалах при помощи варьирования значений параметров дробности.

- Управление процессом перекачки энергии, происходящим при нелинейных колебаниях вязкоупругих систем с двумя степенями свободы путем варьирования значений параметров дробности.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежской государственной архитектурно-строительной академии в 1995-1997 годах; на городском семинаре по механике твердого тела в 1998 году в г. Воронеже; на XV Международной конференции "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых тел" в 1996 году в Санкт- Петербурге; на международной школе по механике - "Scaling in Laws and Frac-tality Continuum Mechanics" (A Survey of Methods Based on Renormalization Group and Fractional Calculus) в 1996 в Удине, Италия; на 5-й международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в 1998 году в г.Дубна; на IV международной конференции "Математика. Образование. Экономика" в 1998 году в г. Чебоксары; на Воронежской школе "Современные проблемы механики и прикладной математики" в 1998; на IV международной конференции "Numerical methods and applications" в 1998 году в Софии, Болгария; на конференции "Математическое моделирование систем" в 1998 году в г.Воронеж.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 10 публикациях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 137 страницах машинописного текста, содержит 57 рисунков, список использованных источников из 101 наименования.

Краткое изложение диссертации

В первой главе дан краткий исторический обзор возникновения и развития дробного исчисления, описаны модели, используемые в диссертации, рассмотрено поведение наследственно-упругой среды при гармоническом деформировании. Кроме того, в первой главе описаны аналитические и численные методы решения задач демпфирования динамических систем.

Вторая глава посвящена свободным затухающим колебаниям систем, обладающих одной степенью свободы. На примере гармонического осциллятора показано поведение таких систем при приложении к ним в начальный момент времени импульсной нагрузки. В качестве реологических моделей используются обобщенные модели Максвелла и стандартного линейного тела, содержащие два независимых параметра дробности, и четыре модели, содержащие несколько независимых параметров дробности. Для каждого из шести случаев проанализированы зависимости корней характеристического уравнения от времени релаксации в комплексной плоскости, а также получены аналитические решения.

В третьей главе рассматриваются линейные системы, обладающие двумя степенями свободы. Изучается влияние двух независимых параметров дробности на поведение двухмассового осциллятора, подвергнутого в начальный момент времени импульсному воздействию. В качестве реологических моделей, описывающих вязкоупругие свойства различных участков системы, берутся обобщенные модели Максвелла и Фойгта с двумя независимыми параметрами дробности и рассматриваются все возможные сочетания этих моделей.

В четвертой главе на примере нелинейных колебаний системы, обладающей двумя степенями свободы, исследуется процесс перехода энергии

из одного вида в другой (так называемая перекачка энергии). Для случаев

11 11 11 11 внутреннего резонанса один-к-одному и два-к-одному анализируются

три возможных типа такой перекачки, зависящие как от вязкости, так и от соотношения параметров дробности.

Пятая глава посвящена исследованию колебаний в системах, обладающих бесконечным числом степеней свободы. В этой главе решаются следующие задачи: об изгибных колебаниях вязкоупругой балки, лежащей на вязкоупругом основании, о продольных колебаниях вязкоупругого стержня, об ударе вязкоупругого стержня о жесткую преграду. В качестве реологических моделей, описывающих вязкоупругие свойства материалов, используются обобщенные модели Максвелла и стандартного линейного тела с двумя независимыми параметрами дробности.

1. НАСЛЕДСТВЕННАЯ МЕХАНИКА, ОСНОВАННАЯ НА ДРОБНОМ ИСЧИСЛЕНИИ (ОБЗОР)

1.1. История возникновения дробного исчисления

Историю дробного исчисления следует вести с работ Н. Абеля, Ж. Лиу-вилля и Б. Римана.

В работах Н. Абеля [33, 34] рассматривается задача о нахождении в вертикальной плоскости 5, т такой кривой, по которой материальная точка под действием силы тяжести, начав движение без начальной скорости в точке с ординатой ж, достигнет оси От за заданное время Т = Ф(ж), где функция Ф(ж) задана заранее. Если положить угол наклона касательной к искомой кривой к оси От равным и, то

^ = -у/2д(х - фтш,

где £ - время.

Интегрирование этого равенства в пределах от 0 до ж и введение обозначений

1 <р(з),

smw

приводит к интегральному уравнению (уравнение Абеля)

Г-p^ds = f(x) (1.1)

J о л/х - S

относительно неизвестной функции (p(s), нахождение которой дает возможность составить уравнение искомой кривой, которая называется таутохроной

7(0) + Г f^L dT

(р(х) = - , -

7!" I V'^ Уо Vх ~ т

Помимо уравнения (1.1), Абель рассматривает более общее уравнение

Г <р(8

ds = fix), а < х < b, (1.2)

0 (х - s)a J w' - - v 1

а > О, 0 < а < 1 - заданные постоянные, f(x) - известная функция, <р(х) - искомая функция. Выражение (х — s)~a называется ядром Абеля, а уравнение (1.2) принадлежит к классу уравнений Вольтерра 1го рода. Если /(ж) - непрерывно дифференцируемая функция, то уравнение (1.2) имеет

единственное непрерывное решение, представимое формулой

, , sin сот d fx f(t)dt _

сp(x =--— / 17 w —. 1.3

YK J -к dx Ja (x -t)l-a v y

В 1832-1837 гг. появляется серия работ Ж. Лиувилля [66]- [73], сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного интегродифференцирования. Она еще не достигла той формы, которую ей придало дальнейшее развитие другими исследователями, но в ней уже высказаны и далеко продвинуты важные идеи. Исходное определение Ж. Лиувилля, предложенное им в работе [66], основано на формуле дифференцирования показательной функции и относится к функциям /(ж), пред-

оо

ставимым в виде ряда f(x) = ^ с^еакХ, где и - const. Для них, по

к=О

определению Ж. Лиувилля,

оо

Dpfx = YsC*aleakX (L4)

k=0

при любом комплексном р. Ограничение этого определения, очевидно, связано со сходимостью ряда. Исходя из определения (1.4), Ж. Лиувилль получает в работе [66] формулу дифференцирования степенной функции. Более

того, в этой же работе Ж. Лиувилль выводит формулу

1 Г°°

D~pf(x) = / <р(х + t)tp-xdt, -оо < ж < оо, Шу> 0, (1.5)

,-1)рГ J о

называемую теперь (без множителя (—1)р) лиувиллевской формой дробного интегрирования. В работе [66] содержится также большое число приложений к задачам геометрии, физики, механики и др.

В дальнейших работах Ж. Лиувилля [67] - [73] дается развитие и применение введенных понятий. Среди полученных там результатов особо следует отметить содержащуюся в работе [67] идею определения дробной производной через предел разностного отношения Дд///гр, где Aphf - разность

дробного порядка. В другой работе [72] он рассматривает замену переменной в дробных интегралах и производных.

Работа Римана [82], выполненная им в 1847 г. в студенческие годы, была опубликована в 1876 - спустя 10 лет после его смерти. Б. Риман пришел к конструкции дробного интегрирования

служащей с тех пор наряду с конструкцией (1.5) Ж. Лиувилля одной из основных форм дробного интегрирования.

Среди современных работ, посвященных дробному интегродифферен-цированию, можно отметить работы Oldham [80], McBride [76], Ross [83], Miller [77], Kiryakova [58]. Математические аспекты дробного исчисления нашли отражение в монографии Самко и др. [26]. В этой работе авторам удалось собрать вместе и систематизировать как классические, так и современные работы, касающиеся дробного интегродифференцирования, вплоть до 1986 г. Эта книга носит энциклопедический характер и содержит большое количество разнообразных форм дробного интегрирования и дифференцирования.

1.2. Модели вязкоупругих сред, содержащие параметры дробности

Простейшей моделью, которая хотя бы качественно описывает процессы ползучести и релаксации, происходящие в реальных материалах под воздействием нагрузки, является модель стандартного линейного тела, показанная на рис. 1.1. Обозначим жесткость первой и второй пружин через Ei и Е2 соответственно, а вязкость демпфера через 3rj. Удлинение первой пружины под воздействием силы <т описывается выражением е\ — <тЕf1, в то время как для второй пружины имеем сг = £^£2 + ^¿2-, где точка над символом означает производную по времени. Вводя суммарное удлинение

(1.6)

67

а

Рис. 1.1. Модель стандартного линейного твердого тела

е = £\ + 6*2, и исключая £\ и получим следующее соотношение между деформацией и напряжением

^{сг+ т£а) = £ + Та£, (1.7)

где та = и т£ — А-1 - времена ползучести и релаксации соответственно, = А[Ец)"1 и /оо^.Е'-1 - релаксированное и нерелаксированное значение податливости соответственно, Е = Е\, X = (Е\ + Е^ХЗ??)-1, ц = ^(З??)-1.

Времена ползучести и релаксации связаны друг с другом следующим соотношением:

Те/Га = «7ооМ = Д)/#оо, (1-8)

где Ео = и Еоо = - релаксированное и нерелаксированное значения модуля упругости соответственно.

Если в уравнении (1.7) устремить —>• оо, то с учетом (1.8) получим

Ло {(г+ т£сг) = те£, (1.9)

что соответствует модели Максвелла (рис. 1.2).

Если в уравнении (1.7) устремить ^ —> 0, то с учетом (1.8) получим

(7 = 70-1(е + г(Ге), (1.10)

что соответствует модели Фойгта (рис. 1.3). Теперь заменим в выражениях (1.7), (1.9), (1.10) обыкновенные производные по времени на дробные производные по времени. В результате получим [28]

J0a = £ + t2D1£1

(1.11) 1.12 (1.13)

где

7>

Та

I

оо

Е(i

Jo

Е,

1.14

оо

3 7]

3 7}

а

Е

а

<7

Рис. 1.2. Модель Максвелла Рис. 1.3. Модель Фойгта

Уравнения (1.11-1.13) соответствуют простейшим моделям вязкоупру-гой среды: обобщенной модели стандартного линейного твердого тела, обобщенной модели Максвелла, обобщенной модели Фойгта соответственно.

Вязкоупругие модели, содержащие два и более независимых параметров дробности, являются логическим обобщением моделей, описанных выше. Если в левой и правой частях выражений (1.11-1.12) взять различные значения параметров дробности а и ¡3, то получим [36]

JQ(a + r«Daa) = £ + r¡Dpe, (1.15)

(1.16)

Независимых параметров дробности может быть и больше, чем два. Например, на основе общей формулы

п то

и + J2 r^Da'a = Е0(е + ^ r^D^e) (1.17)

¿=1 j=l

можно написать следующие реологические уравнения:

ci + T«lDaia + тfWa2a = Е0(е + r^Daie + T^Da2e), (1.18)

(T + T^D^a + TpD^a = Е0(е + r^D^e + r^D^e), (1.19)

(j + t®1 Dai a + = E0{e + r^D^e + тfD^e + r^D^e), (1.20)

о + r^Daia + T?*Da2(T + T°3Da3a = EQ(e + r^D^e + r^D^e). (1.21)

Новейшие теоретические и экспериментальные исследования твердых полимеров на основе модели адаптивных связей показывают, что вязко-упругие среды могут трактоваться как нестационарные сети длинных цепочек, связанных друг с другом упругими связями; при этом вязкость материала описывается непрерывным процессом нарушения старых связей и образования новых связей вследствие микро-броуновского движения (Drozdov, [100]). Известно (Mainardi, [102]), что броуновское движение можно описать уравнениями, которые содержат дробные производные по времени, поэтому реологические уравнения, описывающие релаксационно-ретардационные процессы, протекающие в твердых полимерах, содержат дробные производные по времени от напряжений и деформаций (Drozdov [101]).

1.3. Гармоническое деформирование

Для исследования поведения наследственно-упругой среды под воздействием гармонической нагрузки достаточно положить в соотношениях (1.151.21) сгоегсЛ вместо &(t), а вместо e(t) - е§егш1. В результате получим

а(гсо) = Ее{гш),

где a (ico) и eí(ÍLd) - трансформанты Фурье напряжения и деформации, а комплексный модуль упругости Е = Е' + Е" для моделей (1.15 - 1.17) соответственно имеет вид

{теи>Уё*Р12

Е = Е0-Ц—--—:—jz-. (1.24)

i

Численное выражение рассеянной энергии (внутреннее трение) определяется при помощи тангенса угла механических потерь

tg 5 = E"/E' = J"/J', (1.25)

который для моделей (1.15 - 1.16) можно записать в следующем виде: (т£иУ sin f + (т£ш)а sin f + (,-\теи)а+Р sin Ш-a)

tg 6

1 + Í~1(t£ujY cos f- + (reu)a eos f- + Í-\t£lüY+P eos f (¡3 - a) '

(1.26)

Dill ^r T t IfUJ Olj-X 7Г Ш - uc .

*g* = Ъ ., L l .—~ • a-27

sin^ + (r£w)asin|(/9- a) cos ^ + (r£Lv)a cos I(13 - a)

Тангенс угла механических потерь для моделей Фойгта и Максвелла исследовался в работе [96].

Для моделей, содержащих два и более параметров дробности, реологические уравнения которых можно представить в виде (1.17), величины J' и /" имеют вид

Г = 2>а>)*«-

' р*

+ - «0)

+

7г

-а

г 5

008 + С08(? № ~ а*'))

+

+£

а;

геа;; ' соэ — ,

7г

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Колесников, Максим Анатольевич

Основные результаты и выводы диссертационной работы состоят в следующем:

1) Исследовано поведение механических систем, обладающих одной и двумя степенями свободы, вязкоупругие свойства которых описываются реологическими моделями, содержащими два и более параметров дробности, под воздействием импульсной нагрузки, приложенной в начальный момент времени. Показано, что все рассмотренные модели можно разделить на два типа. Для моделей первого типа корни характеристического уравнения при неограниченном возрастании времени релаксации (ретардации) также возрастают неограниченно, приближаясь к своим асимптотам, что свойственно системам, не обладающим мгновенной упругостью. Для моделей второго типа корни характеристического уравнения при неограниченном возрастании времени релаксации (ретардации) остаются ограниченными, что свойственно системам, обладающим мгновенной упругостью. Показано также, что характер поведения корней характеристического уравнения определяется соотношением старших параметров дробности в левой и в правой частях реологического уравнения. Влияние младших параметров дробности становится заметным только при очень малых или очень больших значениях времени релаксации. Для систем с двумя степенями свободы выяснено, что число собственных частот и число собственных форм колебаний определяется числом степеней свободы системы и не зависит от значений параметров дробности; перемещение каждой массы системы в зависимости от времени является суперпозицией двух видов перемещений: дрейфа положения равновесия и затухающих колебаний вокруг дрейфующего положения равновесия.

2) Проведено исследование влияния нескольких независимых параметров дробности на процесс перекачки энергии, происходящий при нелинейных колебаниях вязкоупругих систем с двумя степенями свободы. Выяснено, что поведение нелинейных систем, обладающих двумя степенями свободы, во многом определяется наличием вязкости, описываемой при помощи дробных производных. При отсутствии вязкости имеют место три типа обмена энергиями: двусторонний энергообмен (периодическое движение), односторонний энергообмен (апериодическое движение) и отсутствие энергообмена (стационарные колебания). При введении в уравнение движения дробных производных с двумя независимыми параметрами дробности для обоих резонансов характерен только один тип энергообмена - нестационарный с последующим затуханием. Как частый случай для резонанса один-к-одному возможен апериодический режим с затуханием при условии равенства параметров дробности. При этом апериодический режим наблюдается при начальных условиях, которые в отсутствие вязкости давали стационарный и апериодический режимы. Таким образом, в случае внутреннего резонанса вязкость влияет на систему двумя способами: дестабилизирует систему, вызывая нестационарный энергообмен; стабилизирует систему, способствуя затуханию энергообмена.

3) Для продольных колебаний вязкоупругого стержня конечной длины показано, что наличие сил инерции корректирует поведение обобщенной модели стандартного линейного тела, а именно: равенство (5 = а, полученное в работах Е^1еу и Топак, может быть заменено на неравенство ¡3 > а. При этом поведение материала стержня при /3 = а и (3 > а соответствует поведению материалов, обладающих и не обладающих мгновенной упругостью. Если параметр дробности /3 меньше параметра дробности а, то подобные реологические модели не имеют физического смысла.

4) Если параметры дробности одинаковы, то по стержню, материал которого описывается реологическими уравнениями , возмущение распространяется с конечной скоростью, если параметр дробности (3 больше параметра дробности а, то возмущение распространяется мгновенно. Если параметр дробности (3 меньше параметра дробности а, то подобные реологические модели не имеют физического смысла, так как для них не выполняется лемма Жор дана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колесников, Максим Анатольевич, 1998 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Витт A.A., Горелик Г.А. Колебания упругого маятника как пример колебаний двух параметрически связанных линейных систем// Журнал технической физики.- 1933.- Вып.2-3.- С.294-307.

2. Гонсовский B.JL, Мешков С.И., Россихин Ю.А. Исследование корней характеристического уравнения, связанного с затухающими колебаниями наследственно-упругих систем// Рассеивание энергии под воздействием колебаний механических систем/ Под ред. Писаренко,- Киев: Наукова Думка.- С. 101-107.

3. Гонсовский B.JL, Мешков С.И., Россихин Ю.А. Удар вязкоупруго-го стержня о жесткую преграду// Прикладная механика.- 1972.- Т. 8(10).-С.77-76.

4. Даринский Б.М., Мешков С.И. Сингулярные ядра наследственности и спектры релаксации и ретардации// Известия Академии Наук СССР. Механика твердого тела.- Т. 3,- С.134-140.

5. Зеленев В.М., Мешков С.И., Россихин Ю.А. Затухающие колебания упруго-наследственных систем со слаб о сингулярными ядрами / / ПМТФ. - 1970. - N 2. - С. 104-108.

6. Зеленев В.М., Мешков С.И., Россихин Ю.А. О влиянии параметров дробности Э-функции на затухающие колебания наследственно-упругих систем // Известия АН СССР. Механика твердого тела.- 1970. - N 3.- С. 115-117.

7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного.- М.: Наука, 1973.- 736 с.

8. Мешков С.П., Россихин Ю.А. Температурные зависимости коэффициентов затухания динамических систем с сингулярными ядрами

наследственности// Инженерно-физический журнал - 1971- Т.21(2).-С.377

9. Мешков С.И. Описание внутреннего трения в наследственной теории упругости при помощи ядер, имеющих слабую сингулярность// ПМТФ,- 1967,- Т.4 - С.147-151.

10. Мешков С.И., Пачевская Г.Н. Расчет объемной релаксации при помощи внутреннего трения// ПМТФ,- 1967,- Т.2.- С.80-82.

11. Мешков С.И. Интегральное представление дробно- экспоненциальных функций и их применение к динамическим задачам линейной вязко-упругости// ПМТФ,- Т.91- С.103-110.

12. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений.- М.: Мир, 1984,- 535 с.

13. Работнов Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием// Прикладная математика и механика.- 1948.- Т. 12(1).- С.53-62.

14. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.- М.: Наука, 1977,- 384 с.

15. Розовский М.И., Синайский Е.С. Колебания осциллятора, обладающего наследственной ползучестью// Прикладная математика и механика.-1996.- Т. 30(3).- С.584-589.

16. Россихин Ю.А. Динамические задачи линейной вязкоупругости, связанные с исследованием спектров релаксации и ретардации: Автореф. дис. ... канд.физ.-мат. наук.- Воронеж, 1970.

17. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование вяз-коупругих моделей с несколькими параметрами дробности в задачах о колебаниях механических систем с одной степенью свободы - 1997.33 е.- Деп. в ВИНИТИ, N 726 - В97.

18. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование вяз-коупругих моделей с двумя параметрами дробности в задачах о колебаниях механических систем с двумя степенями свободы. - 1997.- 27 е.- Деп. в ВИНИТИ 19.11.97, N 3383 - В97.

19. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование обобщенной модели линейного стандартного тела с двумя параметрами дробности для описания удара вязкоупругого стержня о жесткую преграду. - 1998. - 11 стр. - Деп. в ВИНИТИ 19.06.98, N 1885 - В98.

20. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование дробных производных для описания свободных затухающих колебаний систем с двумя степенями свободы// Тез. докладов 5-й межд. конф. "Математика. Компьютер. Образование" .- Дубна, 1998.- С.173.

21. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Влияние двух параметров дробности на затухающие колебания систем с двумя степенями свободы// Тез. докладов 6-й межд. конф. "Математика. Образование. Экономика".- Чебоксары, 1998.- С.100-101.

22. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование дробных производных для описания изгибных колебаний вязкоупру-гой балки, лежащей на вязкоупругом основании// Тез. докл. Воронежской школы "Современные проблемы механики и прикладной математики".-Воронеж, 1998 - С.238.

23. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование дробных производных для описания продольных колебаний стержня конечной длины// Тез. докл. конф. "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства".- Воронеж, 1998.- с. 111.

24. Колесников М.А. Свободные затухающие колебания наследственно-упругих осцилляторов с двумя параметрами дробности// Материалы

50-й юбилейной научно-технической конференции. Воронежская государственная архитектурно-строительная академия - Воронеж, 1997.-С. 2-5.

25. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование дробных производных для описания свободных затухающих колебаний систем, обладающих двумя степенями свободы// Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций. Вып. 4,- Воронеж, 1998. С. 139-147.

26. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Минск: Наука и техника, 1987.

27. Синайский Е.С. Наследственный осциллятор с трением// Известия Академии Наук СССР. Механика твердого тела.- 1969.- N.5.- С.58-60.

28. Шермергор Т.Д. Применение дробного дифференцирования для описания наследственных свойств материалов// Прикладная математика и техническая физика.- 1966 - N.6.- С.118-121.

29. Шитикова М.В. Моделирование свободных нелинейных колебательных процессов в висячих мостах при помощи двухмассовых систем// Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций - Воронеж: ВИСИ, 1992 - Вып. 1- С.147-153.

30. Кристенсен Р. Введение в теорию вязко-упругости.- М.: Мир, 1974338 с.

31. Abdel-Ghaffar A.M., Housner G.W. Ambient vibration tests of suspension bridge// Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE.- 1978.-V.104 - P.983-999.

32. Abdel-Ghaffar A.M., Scanlan R.H. Ambient vibration studies of Golden Gate Bridge. I: suspended structure// Journal of Engineering Mechanics, ASCE.- 1985.- V.U1 - P.463-482.

33. Abel N.H. Solution de quelques problèmes à l'aide d'integrales défines // Gesammelte mathematische werke. Leipzig: Teubner, 1881- V.l.- P.ll-27.

34. Abel N.H. Auflösung einer mechanischen Aufgabe // J. für reine und angew. Math.- 1826,- Bd.l - P.153-157.

35. Handbook of Mathematical Functions// Applied Mathematical Services/ M. Abramowitz and I.Stegan (eds). National Bureau of Standards U.S.A., 1964,- V.55.

36. Bagley R.L., Torvik P.J. A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity// J. Rheology.- 1983.- V. 27(3).- P.201-210.

37. Bagley R.L., Torvik P.J. Fractional calculus - a different approach to the analysis of viscoelastically damped structures// AIAA J.- 1983.- V.21(5).-P.741-748.

38. Bagley R.L., Torvik P.J. Fractional calculus in the transient analysis of viscoelastically damped structures// AIAA J. - 1985. -V.23(6).- P.918-925.

39. Bagley R.L., Torvik P.J. On the fractional calculus model of viscoelastic behavior// J Rheology.- 1986,- V.30(l).- P.133-155.

40. Bagley R.L., Calico R.A. The fractional order state equations for the control of viscoelastically damped structures// Proc of Damping'89. - 1989. - V.l, DAB-1 - DAB-26.

41. Bland, D.R. Theory of Linear Viscoelasticity.- New York: Pergamon, 1960. (Русск. перевод Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости.- М.: Мир, 1962)

42. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent// Annales di Geofísica.- 1966.- V.19(4) - P.383-393.

43. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent - II// Geophys. J. R. Astr Soc - 1967,- V.13.- P.529-539.

44. Caputo M., Mainardi F. A new dissipation model based on memory mechanism// Pure Appl Geoph.- 1971.- V.91.- P.134-147.

45. Cole K.S., Cole R.H. Dispersion and absorption in dielectrics// J. Chem Phys.- 1941,- V.9(4).- P.341-351.

46. Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D., H. C. Morris. Solitons and Nonlinear Wave Equations - London: Academic Press, 1982.

47. Fourier J. The Analytical Theory of Heat.- N.Y.: Dover publ., 1955,- 466 P-

48. Gaudrealt M., Bagley R.L. Improved solution techniques for the eigenstruc-ture of fractional order systems// Proc of Damping'89.- 1989. - V.l. -DAC-1 - DAC-19.

49. Gaul L., Klein P., Kempfle S. Impulse response function of an oscillator with fractional derivative in damping description

Mech. Res. Comm.- 1989. - V.16(5).- V. 297-305.

50. Gaul L., Schanz M. Dynamics of viscoelastic solids treated by boundary element approaches in time domain// Eur. J. Mech., A/Solids.- 1989-V.13(4-suppl). - P.43-59.

51. Gel'fand I.M., Shilov G.E. Generalized Functions. Vol 1: Properties and Operations - Academic Press, 1964.

52. Gross B. Mathematical Structure of the Theories of Viscoelasticity.- Paris:, 1953.

53. Grünvald A.K. Uber "bergenzte" Derivationen und deren Anwendung// Z. angew. Math, und Phys, 1867. Bd 12. P. 441-480.

54. Hadamard J. Essai sur l'etude des fonctions données par leur développment de Taylor// J. math/ pures at. appl. ser. 4. 1892. T. 8. P. 101- 186.

55. Havriliak S., Negami S. Analysis of a-dispersion in some polymer systems by the complex variables method //J Polymer Sci.(c).- 1966. - V.14.-P.99-117.

56. Havriliak S and Negami S. On the equivalence of dielectric and mechanical dispersions in some polymers; e.g. poly (n-octyl methacrylate), // Polymer.- 1969. - V.10(10) - P.859-872.

57. Holmgren Hj. Om differential kalkylen med indices af hvad natur som heist// Kongl. Svenska Vetenskaps-Akad. Hendl. Stockholm. 1865-1866. Bd 5, N 11. S. 1-83.

58. Kiryakova V. Generalized fractional calculus and applications// Pitman Research Notes in Mathematics. Harlow: Longman Scientific &Technical-1994.- V.301.

59. Koeller R.C. Applications of fractional calculus to the theory of viscoelas-ticity// Trans ASME. J Appl Mech.- 1984.- V.51(2).- P.299-307.

60. Koeller R.C. Polynomial operators, Stieltjes convolution, and fractional calculus in hereditary mechanics// Acta Mech - 1986.- V.58(3-4).- P.251-264.

61. Koh C.G., Kelly J.M. Application of fractional derivatives to seismic response analysis of base-isolated models // Earthq Eng Struct Dyn. -1990. - V.19(2). - P.229-241.

62. Lacroix S.F. Traité du calcul diiférentibl et de calcul intégral. 3 ed. Paris: Courcier, 1820.

63. Laplace P.S. Théorie analytique des probabilities.- Paris:Courcier, 1812.

64. Leibniz G. W. Leibniz en de l'Hospital (Letter from Hannover, Germany, September 30, 1695)// Oeuvres Mathématiques de Leibniz. Correspondance de Leibniz avec Hugens, van Zulichem et le Marquis de L'Hospital. Paris: Libr. de A. Franck, éd., 1853.- P.I.- Vol.2 - P.297-302.

65. Leibniz an Wallis (Letter, May 28, 1697)// Leibnizens Mathematishe Schriften. Hildesheim: Olms. Verl., 1962.- Bd4 - P.23-29.

66. Liouville J. Mémorie sur queques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions// J. l'Ecole Roy. Polytéchn.- 1832.- T. 13, sect. 21 - P. 1-69.

67. Liouville J. Mémorie sur le calcul des différentielles a indices quelconques// Ibid.-P. 71-162.

68. Liouville J. Mémorie sur l'intégration de l'équation: (mx2+nx-\-,p)d2y/dx2 + (qx + r)dy/dx + sy = 0 à l'aide des différentielles à indices quelconques// Ibid.- P. 163-186.

69. Liouville J. Mémorie sur le théoréme des fonctions complémentaries// J. fur reine und angew. Math.- 1834,- Bd. 11- S. 1-19

70. Liouville J. Mémorie sur une formule d'analise// Ibid.- 1834.- Bd 12, N 4-S. 273-287

71. Liouville J. Mémorie sur l'usage que l'on peut faire de la formule de Fourier, dans le calcul des différentielles à indices quelconques// Ibid. 1835.- Bd 13-N 1-3,- S 219-232.

72. Liouville J. Mémorie sur le changement de la variable indépendante dans le calcul de différentielles à indices quelconques// J. l'Ecole Roy. Polytéchn.-1835.- T. 15, sect. 24.- P. 17-54.

73. Liouville J. Mémorie sur l'intéggration des équations différentielles à indices fractionnaires// Ibid.- 1837,- T. 15.- N 55.- P. 58-84.

74. Love E.R. Fractional integration and almost periodic functions// Proc. London Math Soc. Ser. 2,- 1938.- Vol.44.- N 5.- P. 363-397.

75. Marchaud A. Sur les dérivées et sur les différences des fonctions de variables réelles// J. math, pures et appl - 1927 - V.6.- N 4.- P. 337-425.

76. McBride A.C. Fractional Calculus and Integral Transforms of Generalized Functions// Research Notes in Mathematics.- San Francisco, London: Pitman, 1979.- V.31.

77. Miller K.S., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations.- New York, Chichester: Wiley, 1993.

78. Montel P. Sur les polynomes d'approximation// Bull. Soc. math. France.-1918.- V.46 - P. 151-196.

79. Morgenthaler D.R. Practical design and analysis of systems with fractional derivative materials and active control// Proc of Damping'91,- 13-15 Feb 1991, San Diego, California.- V.l, - BCA-1 - BCA-28.

80. Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus// Mathematics in Science and Engineering.- New York: Academic Press, 1974.- V.lll.

81. Podlubny I. Numerical solution of ordinary fractional differential equations by the fractional difference method // Absts of the 2d Int Conf on Difference Equations and Applications.- August 7-11, 1995. - Veszprem, Hungary. -P.89.

82. Riemann B. Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation// Gesammelte Mathematische Werkre. Leipzig: Teubner, 1867.- P. 331-344.

83. Ross B. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus// Lecture Notes in Mathematics.- Berlin: Springer-Verlag, 1975,- V.457 - P.l-36.

84. Ross B. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus// Lecture Notes in Mathematics - Springer-Verlag, 1975 -V.457.- P.l-36.

85. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Effect of viscosity on the vibrational processes in a combined suspension system// Mechanics of Solids.- 1995.-V.30 - P.157-166.

86. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Analysis of nonlinear free vibrations of suspension bridges// Journal of Sound and Vibration - 1995,- V.186 - P.369-393.

87. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Applications of fractional calculus to the analysis of damped vibrations of viscoelastic oscillators// Absts of the 130th Meeting of the Acoust Soc of America, J Acoust Soc Am.- 1995.- V.98 (5, part 2).- P.2890.

88. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Application of fractional derivatives to the analysis of damped vibrations of viscoelastic single mass systems// Acta Mech.- 1997.- V.120 (1-4).- P.109-125.

89. Rossikhin, Yu.A., Shitikova, M.V. Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids// Applied Mechanics Reviews.- 1997,- V.50(l).- P.15-67.

90. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Application of fractional calculus for analysis of nonlinear damped vibrations of suspension bridges// Journal of Engineering Mechanics - 1998.- V.124 - P.1029-1036.

91. Rossikhin Yu.A., Kolesnikov M.A., Shitikova M.V. Modelling of the colliding proress between a viscoelastic bar and a rigid barrier// Proc. 4th Int. Conf. on Numerical Methods and Applications, August 19-23, 1998, Sofia, Bulgaria, p.121-122.

92. Sado D. Energy transfer in two-degree-of-freedom vibrating systems - a survey// Mechanika Teoretyczna i Stosowana.- 1993,- V.31.- P.151-173.

93. Sado D. Damping effect in forced vibrations of an autoparametric two-degrees-of-freedom system// Machine Dynamics Problems.- 1995.- V.10.-P.91-104.

94. Sado D. Analysis of vibration of two-degree of freedom system with inertial coupling// Machine Dynamics Problems - 1984 - V.I.- P.67-77.

95. Schanz M. Application of a viscoelastic boundary element formulation in time domain// Abs of the 3d Int Congr on Industrial and Applied Mathematics. - 3-7 July 1995, Hamburg - P.429.

96. Smit W., de Vries H. Rheological models containing fractional derivatives// Rheol Acta.- 1970,- V.9.- P.525-534.

97. Suarez L.E., Shokooh A. On the response of systems with damping materials modeled using fractional calculus// Applied Mechanics in the Americas - 1995 - V.2, LA Godoy, SR Idelsohn, PA Laura and DT Mook (eds), Santa Fe: AAM and AMCA, P.147-152.

98. Tsai C.S. Temperature eifect of viscoelastic dampers during earthquakes// J. Struct. Eng.-1994. - V.120(2) -P.394-409.

99. Drozdov A.D. Mechanics of Viscoelastic Bodies. Chichester: Wiley, 1998. 472 p.

100. Mainardi F. Brownian motion revisited/ Lectures of the Advanced School on "Scaling Laws and Fractality in Continuum Mechanics", Udine, Italy, Sept. 23-27, 1996.

101. Drozdov A.D. Fractional differential models of finite elasticity// Acta Mech.- 1997,- V.124 (1-4).- P.155-180.