Применение дробного исчисления для исследования деформационно прочностных характеристик полимербетона тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Елсайед Асмаа Елсайед Махди

• Елсайед Асмаа Елсайед Махди
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Елсайед Асмаа Елсайед Махди

1.1 Введение

1.2 Основные области применения теории дробного исчисления , , ,

1.3 Основные понятия дробного исчисления

1.4 Постановка задачи для системы массового пружинного демпфера с вязким и вязкоупругими демпферами

1.5 Методика параметрической идентификации порядка дробной производной в модели Бегли-Торвика

1.5.1 Случай когда оператор дробного дифференцирования является модельный

1.5.2 Случай когда оператор дробного дифференцирования является оператором Капуто

1.5.3 Случай когда оператор дробного дифференцирования является оператором дробного дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля

1.6 Выводы по главе

2 Решение методом разделения переменных уравнения гиперболического типа с дробными производными как по времени так

и по пространству

2.1 Введение

2.2 Решение уравнения гиперболического типа е дробной производной методом Фурье

2.3 Численные эксперименты

2.4 Численные примеры

2.5 Выводы по главе

3 Аналитическое и приближенное решения волнового уравнения с дробной производной по времени

3.1 Введение

3.2 Основная теория

3.3 Разделение переменных, аналитическая схема

3.4 Метод гомотопических возмущений

3.5 Описание метода гомотопических возмущений

3.6 Анализ ортогональности и сходимости

3.7 Численные эксперименты

3.8 Выводы по главе

4 Численная схема решения уравнения гиперболического типа

с дробной производной по временни и по пространству

4.1 Математическая модель уравнения гиперболического типа основания на дробном исчислении

4.2 Основные теоремы и леммы

4.3 Численное решение основаное на методе конечных разностей , ,

4.4 Анализ устойчивости и сходимости

4.5 Численные эксперименты

4.6 Выводы по главе

5 Математическое моделирование полимербетона основанное на дробным исчислением

5.1 Введение

5.2 Предварительные леммы

5,3 Описание разностной схемы для уравнения гиперболического

типа с дробной производной по пространству и по времени , , ,

5.4 Анализ устойчивости и сходимости разностной схемы

5.5 Численные эксперименты

5.6 Выводы по главе

6 Две линеаризованные схемы для одномерного пространственно-временного уравнения

6.1 Введение

6.2 Две разностные схемы для решения пространственно-временного дробного волнового уравнения для колебательной струны , , , ,

6.3 Построение и анализ схемы

6.3.1 Построение схемы

6.3.2 Анализ схемы

6.4 Построение и анализ схемы

6.4.1 Построение схемы

6.4.2 Анализ схемы

6.5 Численные эксперименты

6.6 Выводы по главе

Заключение

Bibliography

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение дробного исчисления для исследования деформационно прочностных характеристик полимербетона»

Введение

Актуальность работы. В течение последних нескольких десятилетий уравнения с частными производными дробного порядка успешно использовались для моделирования многих процессов. Следует отметить, что математическое моделирование с использованием производных дробного порядка более адекватно описывает механические свойства многих материалов, учитывает режим нагружения и его «предысторию» и позволяет прогнозировать поведение этих материалов при различных нагрузках.

Важно отметить, что решение как прямых, так и обратных задач (задач параметрической идентификации порядка дробной производной) для дробных дифференциальных уравнений - очень важная проблема, В настоящее время, для решения прямых задач наряду с аналитическими методами широко используются и численные методы. Проблемы идентификации параметров дробных моделей в основном решается на теоретическом уровне (например, методом спектрального анализа), В последних работах предложен принципиально новый метод, где параметры модели определяются исходя из нескольких характерных точек, полученных в эксперименте, путем подстановки значений деформации в аналитические решения соответствующих задач.

Обе части этой методики неразрывно связаны - идентификация параметров осуществляется путем решения большого количества прямых задач. Все это подтверждает актуальность данного исследования.

Степень разработанности темы исследования. Группа российских и международных экспертов использовала дробный анализ для математического моделирования вязкоупругих тел и моделирования деформационно-прочностных характеристик полимербетона (Герасимов А.Н., Орлов Ю, Н,,

Слонимский Г.Л., Победря Б.Е., Алероев Т.('.. Шитикова М.В., Россихин К).А. и др.) и (Скотт-Блэр Г.В.. Джемент А,, Капую М.. Шиссель X,, Метцлер Р., Бэгли Р.Л., Торвик П., Нонненмахер Т.Ф., Блюмен А,, Ингман Д,,Суздальницкий Ж,, Набер М, и др) , Однако, надо отметить, что при всем разнообразии подходов исследования моделей, задачам нахождения точных аналитических (а также приближенных) решений и параметрической идентификации моделей с производными дробного порядка уделяется значительно меньше внимания.

Ценность научной работы. Основные научные результаты диссертационной работы теоретически значимы и могут быть применены для разработки методов математического моделирования и параметрической идентификации неизвестного порядка дробной производной по имеющимся экспериментальным данным.

Основные цели и задачи диссертационной работы. Цель диссертационной работы состоит в разработке новых математических моделей и численно-аналитических методов исследования одномерных и многомерных процессов в наследственно-упругих средах, так же аппарата дробного интегро-дифференцирования (как Римана-Лиувилля, так и Капут), методики идентификации параметров моделей дробного порядка и специального программного обеспечения для их реализации.

Объект И предмет исследования. Методы математического моделирования; численные методы моделирования для исследования деформационно-прочностных характеристик полимербетона и методика идентификаций параметров фракционной модели, используемой для моделирования вязкоупругих демпферов. Методы нахождения аналитического и численных решения дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с дробной производной.

Соответствие паспорту научной специальности. Область исследования соответствует паспорту специальности 1,2,2 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по пунктам: 1 -«Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»; 2-«Развитие качественных и приближенных аналитических методов

исследования математических моделей»; 3 - «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; 5 - «Разработка новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных натурного эксперимента».

Методология И методы исследования. Для решения поставленных задач использовались базовые методы математического моделирования и вычислительного эксперимента. Результаты получены с использованием аппарата дробного исчисления, интегральных уравнений, аналитических методов, а также теории конечных разностей,Машинная аналитика с помощью высокоуровневого языка технических расчетов пакет программ (MAT-HEMATIC А Wolfram v. 12.1 и MATLAB), используется для более сложных аналитических и численных расчетов.

Научная новизна, работы состоит в следующем:

1, Разработаны методы математического моделирования для исследования деформационно-прочностных характеристик полимербетона с использованием аппарата дробного исчисления, что позволяет разработать новые алгоритмы параметрической идентификации порядка дробной производной для уравнения Бегли-Торвика,

2, Получено решение первой краевой задачи для уравнения гиперболического типа методом Фурье с учетом трения в среде с фрактальной геометрией,

3, Получены решения волнового уравнения с дробной производной как по времени, так и по пространству. Предложено приближенное решение, основанное на методе преобразования Лапласа (с использованием метода нарушения симметрии). Для получения аналитического решения, разработан метод разделения переменных. Проведен анализ сходимости предложенной схемы,

4, Разработан численный метод решения одномерных (однородных и неоднородных) линейных уравнений гиперболического типа с дробной произ-

водной по пространственной и временной переменной (с использованием метода Кранка-Николеона на взвешенной и смещенной разностной схеме Грюнвальда), Доказаны теоремы о порядках сходимости разработанных методов,

5, Созданы алгоритмы и программное обеспечение, позволяющее эффективно получать решение рассмотренных задач с операторами Римана-Лиувилля и Капую.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе научные результаты имеют значительную теоретическую ценность, и могут быть использованы в моделировании колебательных процессов (с учетом трения) в средах с фрактальной структурой.

Положения, выносимые на защиту:

1, Методы математического моделирования для исследования деформационно-прочностных характеристик полимербетона, (включающий в себя численные методы и алгоритм параметрической идентификации моделей Бегли-Торвика),

2, Аналитические решения гиперболического типа уравнения, полученные методом разделения переменных (метод Фурье),

3, Аналитические и приближенные методы решения волнового уравнения, основанные на методах разделения переменных и методе преобразования Лапласа с гомотопическим возмущений соответственно,

4, Численные методы для уравнения гиперболического типа с дробной производной по времени и по пространственной переменной. Сравнение аналитической схемы, основанной на методе разделения переменных, с численными методами,

5, Алгоритмы и программное обеспечение, позволяющие эффективно получать решения рассмотренных задач с операторами Римана-Лиувилля

и Капуто, изучать свойства описываемых этими моделями деформационных процессов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, Полный объем диссертации составляет 153 страниц с 41 рисунками и 23 таблиц. Список литературы содержит 139 наименований.

Оценка (степень) достоверности результатов проведенных исследований.

Достоверность полученных в работе результатов и адекватность математических моделей обеспечивается строгими математическими доказательствами, вычислительными экспериментами и сравнением с данными экспериментов.

Материалы диссертации и отдельные ее вопросы докладывались автором и обсуждались на следующих научных мероприятиях: семинары кафедры высшей математики и строительной механики III IN "MIX 'V*. XXXII Международная инновационная конференция молодых ученых и студентов по современным проблемам машиноведения (г.Москва, 2020,), XXVII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "LOMONOSOV" (г.Москва, 2020.), 63-й Всероссийской научной конференции "МФТИ" (г.Москва, 2020.), International Е-Conferenee in Mathematical Sciences and Fractional Caleulus (Египет, 2021.), 64-й Всероссийской научной конференции "МФТИ" (г.Москва, 2021.), Symposium on Special Functions, Orthogonal Polvnomials, and their applications (.Египет, 2021.), International Conference on Fractional Caleulus (Индия, 2022.).

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертационного исследования, выносимые на защиту получены лично автором.

Рекомендации и перспективы дальнейшей разработки темы. Состояние любой физической (механической) системы зачастую зависит от процессов, произошедших в прошлом, поэтому модели, описывающие такие процессы должны учитывать наследственные свойства (учет памяти). Методики основанные на моделях с дифференциальными операторами целого порядка не в полной мере, дают адекватную картину изучаемых процессов.

Аппарат дробного исчисления позволяет более адекватно описать системы, обладающие эффектом памяти, поэтому результаты, полученные в диссертационной работе, могут иметь применение в изучении технических систем автоматического управления.

Публикации Полученные научные и практические результаты достаточно полно изложены в 11 работах, из которых 7 работ опубликованы в журналах, включенных в перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, где основные результаты диссертации опубликованы в статьях [86,123,133] из списка литературы, а также в следующих статьях и тезисах конференций.

Публикации в рецензируемых научных изданиях, включенных в перечень рецензируемых научных изданий:

• Елсайед А,, (2020), Методика параметрической идентификации порядка дробной производной в модели Бегли-Торвика, Научно-технический вестник Поволжья,No 4, 66-69е.

• Aleroev Т. S,, Elsaved А, М, and Mahmoud E.I, (2021), "Solving one dimensional time-space fractional vibration string equation. "IOP Conference Series: Materials Science and Engineering 1129(1): 012030. DOI: doi:10.1088/1757-899X/1129/l/012030.

• Aleroev T. S,, Elsaved A. M,, Analytical and numerical methods to solve the fractional model of the vibration equation, In Singh, H,, Srivastava, H.M., and Nieto, J.J, (Eds.). (2022). Handbook of Fractional Calculus for

Engineering and Science (1st ed,). Chapman and Hall/CEC.DOI: doi.org/10.1201/97810032635

• Orlov V, N,, Elsaved A, M, and Mahmoud E.I, (2022). Two Linearized Schemes for One-Dimensional Time and Space Fractional Differential Equations. Mathematics 10(19):3651. DOI: doi.org/10.3390/mathl0193651

Статьи, опубликованные в других научных журналах и изданиях:

• Елсайед Аемаа, Определение порядка дробной производной по отношению к Капую. Оператор в модели Бэгли-Торвика, материалы (XXVII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных" LOMONOSOV"), Состоявшийся 10-27 ноября 2020 года.

• Елсайед Асмаа, Определение порядка дробной производной с использованием операторов Римана-Лиувилля в модели Бегли-Торвик, материалы (63-й научной конференции" МФТИ"), Состоявшийся 23-29 ноября, 2020 года.

• Елсайед Асмаа, Численная схема решения уравнения колебания струны с дробной производной по временной и пространственной, материалы (64-й научной конференции" МФТИ"), Состоявшийся 29 ноября — 3 декабря, 2021 года.

• Elsaved Asmaa, International E-Conference in Mathematical Sciences and Fractional Calculus (ICMSFC Feb 2021), Analytical and numerical methods to solve the fractional model of the vibration equation, участники; Состоявшийся 16-18 февраля 2021 г. / Александрия - Египет.

Зарегистрированные программы для ЭВМ:

• Свидетельство о регистрации электронного ресурса JV2 2022664468. реализующее методы конечных разностей для решения дробного волнового уравнения / Елсайед А.Е.М., 01 августа 2022 г.

.....I......I с^Т^с"^1 -в-

Математическое моделирование для системы массивного пружинного демпфера с вязкоупругими демпферами с использованием дробного исчисления

1.1 Введение

Дробное исчисление - это раздел прикладной математики, который фокусируется на производных и интегралах произвольного порядка (включая комплексные порядки). Он также известен как обобщенное интегральное и дифференциальное исчисление произвольного порядка, Горенфло и Майнарди [1] определили дробное исчисление как раздел математики, связанный с изучением и применением интегралов и производных произвольного порядка.

Дробное исчисление используется уже почти 300 лет. Многие известные математики (чистые и прикладные), такие как Абель, Капуто, Эйлер, Фурье,

Грюнвальд, Адамар, Харди, Хевисайд, Холмгрен, Лаплас, Лейбниц, Летников, Лнувилл, Рнман, Рнсс и Вейль, внесли значительный вклад в теорию дробного исчисления. История дробного исчисления началась примерно в конце 17 века, В общем случае дробные аналоги создаются путем замены дробной производной по времени на классическую производную по времени. Многие классические дифференциальные уравнения в частных производных обладают дробным аналогом, в частности: дробное уравнение диффузии-волны [2,3], дробное уравнение диффузии [4,5], дробное уравнение теплопроводности [6], дробное уравнение Кс1У [6], дробное уравнение Шредингера [8], дробное волновое уравнение [9], дробные уравнения Фоккера-Планка [10], дробное эволюционное уравнение [11], дробное уравнение Гинзбурга-Ландау [12], дробный закон Фика [13], дробное уравнение Гейзенберга [14], дробные уравнения струн колебаний, дробное уравнение Бейгли-Торвика и дробное уравнение КдВ-Бюргерса [15], дробное гидродинамическое уравнение [16], В общем случае дробные аналоги создаются путем замены дробной производной по времени на классическую производную по времени.

1.2 Основные области применения теории дробного исчисления

Изучение нецелочисленных степеней операторов дифференцирования изучается в дробном исчислении, которое является продолжением классического исчисления. Кроме того, благодаря своему главному преимуществу нелокальной характеристики по сравнению с классическим исчислением, дробное исчисление в последнее десятилетие вызывает большой интерес у ученых, физиков, инженеров и математиков. Многие вопросы физики, механики сплошных сред , вязкоупругоети и квантовой механики требуют привлечения дробного исчисления, А также с помощью дробного исчисления были исследованы другие дисциплины прикладной математики и нелинейной динамики [17], [18],

[19], [20].

Для решения дробных дифференциальных уравнений было разработано несколько подходов. Численное решение задачи дробной диффузии во времени было предложено Линем и Сюем [21]. Одномерное дробное дифференциальное уравнение типа Капуто с особенностью на границе было решено с использованием метода безусловно устойчивых конечных элементов (МКЭ) в [22], Подход преобразования Лапласа (ЬТ) для решения дробных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами был рассмотрен Кексуэ и Джигеном [23], Во всех упомянутых выше методах решения дробных дифференциальных уравнений должны быть аналитическими, если дробная производная имеет значение Капуто или Римана-Лиувилля,

За последние три десятилетия все большее число исследователей в совершенстве используют дробное исчисление для описания наследственных свойств и свойств памяти различных процессов и материалов. До сих пор существовали различные дробные операторы, основанные на многих видах ядер, функциональное ядро Миттага-Леффлера [24] и ядро синус-функции [25], Дробное исчисление использовалось для моделирования физических и инженерных процессов, которые, как оказалось, лучше всего описываются дробными дифференциальными уравнениями,

В настоящее время широко признано, что дробное исчисление имеет широкий спектр применений [26-29], Этот математический инструмент полезен в различных областях, включая моделирование движения снаряда [30], исследование осцилляторов [31], вязкоупругоеть [32], В [33] есть несколько применений динамики частиц,

1.3 Основные понятия дробного исчисления

В этом разделе представлены основные определения интегрирования и дифференцирования дробного порядка [19,34], которые используются в работе и имеют решающее значение для понимания теории дифференциальных и интегральных уравнений дробного порядка. Исследуются характеристики рассматриваемых дробных производных и интегралов, а также правила компо-

зиции и многочисленные приложения.

Пусть Ьх = Ьх[а,Ь]- класс интегрируемых по Лебегу функций на интервале [а,Ь], 0 < а < Ь < то, определяемой равенством

II/II = Г/№, / е Ьх.

о а

И пусть а, в - два положительных действительных числа, тогда у нас есть следующие определения для функционального (произвольного) порядка интегрирования.

Определение 1.3.1. Вещественная функция /(х),х > 0;х е Са, а е Я, если, существует действительное число р > а, такое, что /(х) = хр/\(х), где /(х) е С[0, то). Ясно, что Са - векторное пространство, и множество пространств Са упорядочено по включению в соответствии с

Са С С« ^ а > в.

Определение 1.3.2. Вещественная функция /(х),х > 0; х е Ск,к е N, если, /к е Са.

Определение 1.3.3. Пусть /(Ь) е Ьх,в е Я+ .Iе обозначает дробный инте-

в

Iе/ (¿)=<| ™1а (*-(1-в ^ в> 0 , (1.1)

/ (Ь), в = 0

или

II/(1) = ^ гв) /(Ь - и)йи. (1.2)

Определение 1.3.4. обозначает дробный дифференциальный оператор а

па/(х) I Г(п-а) 1о (х-*)--"+1^ 0 < П 1 <а < П ^^

а = п Е N.

* о . . .

<1п! (х)

<1хп

или

dn

, f(x) _ a

*

DaJ(x) _ In-af (x),n _l, 2, 3,... (1.4)

Определение дробной производной типа Римана-Лиувилля сыграло важную роль в развитии теории дробных производных и интегралов и для ее приложений в чистой математике. Однако требования современных технологий требуют определенного пересмотра устоявшегося чисто математического подхода. Прикладные задачи требуют определения дробных производных, позволяющих использовать физически интерпретируемые начальные условия. Здесь мы наблюдаем конфликт между устоявшейся и опубликованной математической теорией и практическими потребностями. Определенное решение этого конфликта было предложено М, Капуто,

Определение 1.3.5. Дробная производная Капуто от В^порядка, а абсолютно непрерывной функции / (х) определяется, следующим образом:

1—v in ?—f n a—n+i dt, 0< n — l < a < n

—a) J0 (x-t)a n+1 ' — —

dnf (x)

Daaf (x) _{ L(n-a)"° (x-t) " , (1,5)

a _ n E N

dxn

или

dn

Daf (x) = In-a f (x), n _l, 2, 3,... (1.6)

Основные преимущества подхода Капуто заключаются, в том,, что начальные условия для дробных дифференциальных уравнений с производными Капуто принимают 'ту же форму, что и для, дифференциальных уравнений целого порядка, т.е. содержат предельные значения для, целочисленный порядок производные производные неизвестных функций на, нижнем терминале x = 0, и если f (x) _ k,k является, постоянным, то Dak = 0 но Dak _ 0.

Ниже перечислены некоторые основные свойства дробного оператора:

Lemma 1.3.6. Если f G C^ ^ > —l,n > — 1,а,в > 0, то: (a) IaIе f (x) _ Ia+e f (x) _ IеIaf (x)

ih) Iaxn _ r(n+l) xa+n

(UJ 1 X _ r(a+n+1)x

(c)Da [Iaf (x)] _ f (x)

(d) Ia [Daf (x)] = f (x) - ЕГ^о1 fk(0) Xk, 0 < m - 1 < a < m G N

Lemma 1.3.7. Пусть 1% определяется на Ьь тогдa I£f (x) ^ I'f (x) in L1 как a ^ n,n = 1, 2,... единообразно,

px

If (x) = f (s)ds (1.7)

J a

Lemma 1.3.8. Связь между операторами Kanymo и производными Римана-Лиувилля дробного порядка может быть написано как

k—a

RLD«tf (t) = Df (t) + £ f l0J;. (1.8)

k=0

n-1 f (k)(0)t Г(к + 1 — a)

Почти все численные методы для, производной Капуто могут быть теоретически распространены на случай Римана-Лиувилля, если u(t) удовлетворяет подходящим гладким условиям, таким образом, если f (0) = 0, тогда RlD?f (t) = CD?f (t).

Lemma 1.3.9. Пусть a,ß E (1, 2} и f (x) абсолютно непрерывная функция на, [a, b}, тогда ß < a ^ ¡вDaa f (x) = Daa-в f (x).

Определение 1.3.10. для, 0 < a < 1 - мы можем определить модельный дробный дифференциаций оператор Dau(x) как:

™ / ч 1 d fx и'(т)dr .л

D"{x) = T(T-ädxl jx—dr= 1+a (L9)

Теорема 1.3.11. Теорема существования и единственности, решения, задачи, Коши для, дифференциального уравнения дробного порядка который называется, теоремой Барретта, формулируется, следующим образом:

Для, любой функиии y(x) E L[a; b} существует единственное решение z(x) E L[a; b} задачи, Коши

Daz(x) = Xz(x) + y(x), x E [a, b}

(1.10)

lim Da-iz(x) = ai,i = 1, 2,... ,m m — 1 < a < m и оно задается, формулой

г(х) = ^^ а^г(х — г(х),\)+ у(1)Ег(х — (1,11)

г=1

где

\к—1хкос—г

^= Е Г{ка — г + 1) ■ <1Л2'

Для, простого случая X = 0 получаем

ха—1 {'х ха-1 2(х) = а + ^^у^)^. (1.13)

Г(а) Уо Г(а)

Теорема 1.3.12. Пространство С-1 с операциями свертки Лапласа о и обычного сложения становится, коммутативным кольцом (С-1, о, +) без делителей нуля. Это кольцо может быть расширено до поля частных М, следуя строкам Минусинского [35] :

М := С-1 х (С-1\{0}) / (1.14)

где отношение эквивалентности, (~), как обычно, определяется, равенством

(/, 9) ~ (/1,91) & (/ о 91) (х) = (д о /1) (х). (1.15)

М

//9 М

I + к = / о д1 + д о /1, (Ы6)

9 91 9 о 91

и

/ /1 / о /1

(1.17) д д1 д о д1

Определение 1.3.13. Алгебраический обратный к оператору дробного интеграла, Римана-Лиувилля Iв называется, элементом, Б» поля М, которое является, обратным, элементу Н» в поле М, то есть,

I Ъ Ъ

Б» = I = ъ^Ъ = ТТ, ^

Ъ» Ъ» о ъ» ъ2»

где I = обозначает элемент идентичности поля М относительно операции, умножения.

Определение 1.3.14. В случае / € Са для значения а > —1 и для, ^ > 1 мы имеем, 3»/ € С0 С С[0, <х>), что оператор > 0, имеет следующее

сверточное представление в пространстве Са,а > — 1 :

(3»/) (х) = (Н» о /) (х),Н»(х) := х»-1/Г(р),/ € Са, (1.19)

где

х

(9 о /)(х)= д(х — 1)/(1)й1,х> 0, (1.20)

Jо

является, сверткой Лапласа. Теорема 1.3.15. Пусть степенной ряд

X

^ аг1,...,гп х1 х — х хгп" ,х =(хъ...,хп) € К^а^...^ € И, (1.21) г1,...,гп=о

сходиться, в точке х0 = (х10,... ,хп0) , причем, хк0 = 0, к = 1,... ,п, ив > 0,аг > 0,1 = 1,... ,п, тогда функция Б»

оо

Б-в ^ ап,...,гп {Б-,а1) х ••• х {Б-Ып) г1,...,г„=0

оо

(1.22)

аг1.....г« Н(в+а1г1+-----+ап )»(x),

Ь,...,гп=0

Ъ » ( х ) С- 1

ством этой теорем,ы, мы отсылаем, к [36]. Мы приводим здесь некоторые рабочие отношения, которые будут использоваться, в дальнейших обсуждениях. Дополнительные рабочие отношения можно найти в [36, 37].

1 х»-1Е»»»(рх»), (1.23)

Б» — р

где Еа,в - обобщенная функция Миттаг-Леффлера, определяемая формулой

°° к

Еа,в(г) := ^ ^ + ^) > 0, |г| < то. (1.24)

к=0

Соотношение (1.23) формально можно получить в виде геометрического ряда:

Т т ъ

Т = Т = 'Ь к ък+1

- р к - р т - рК к=0Р " , ,

к=0 (1 25)

~ рк х(к+1)ц-1 1 ' '

= Е Гм = *"1Е" (Р1П ,

М -кратная свертка, правой части, соотношения, (1.23) дает нам опера,цион ное соотношение:

1 х»т-1Е™ №) ,т е N (1.26)

(Б^ - р)т где

<х , \ г

г=0

Ет,в (г) - является Функция Прабхакара, и (т)г обозначает символ Почхам-мера или сдвинутый факториал, определяемый (т)г = Пгк-=0(т + к). или для простоты мы можем записать символ, Похгаммера в другой форме:

(т)0 = 1, (т)г = т(т +1)... (т + г - 1); т = 0.

Пусть в > 0,аг > 0,г = 1,... ,п. Тогда, мы имеем операционное соотношение Б-в

» хв^-1Е(а1^ап^ (\1 ха^,..., \пха^), (1.28)

Т - ЕП=1

с многомерной функцией, Миттаг-Леффлера.

™ Пп г1*

Е(а1,...,ап),ь £ (к; ¡1,..., 1п) Г + ^п г ; ), (1.29)

к=0 11+...+1п=к 1 (° + ^г=1 аг1г)

11>0,...,1„>0

и мулъти полиномиальные коэффициенты.

к!

(к; 11,..., 1п ):= , ■ . у , ,. (1-30)

11, х • х 1п,

Общие свойства функций Миттаг-Леффлера можно найти в [38].

1.4 Постановка задачи для системы массового пружинного демпфера с вязким и вязкоупру-гими демпферами.

Демпфирование определяется как ограничение колебательного движения; это означает, что он уменьшает, ограничивает и предотвращает колебания колебательной системы. Когда демпфирующая сила является вязкоупругой, она имеет как вязкие, так и упругие характеристики, предотвращающие или демпфирующие колебания системы. Когда в системе достигается чистое вязкое трение на высокой скорости и вязкоупругое трение на низкой скорости, демпфирующая сила называется вяз ко-вязкоупругой. Точно так же, когда в системе достигается чистое вязкоупругое трение на высокой скорости и вязкое трение на низкой скорости, демпфирующая сила называется вязкоупруго-вязкой. Демпфирующая сила выражается в виде дробной производной положения [39-41], При описании моделей колебаний обычно используются операторы дробного дифференцирования. Хорошо известно, что уравнения с дробными производными точно описывают движение колебаний с упругой и вязкоупругой составляющими [42,43]. Затухающие колебания с частичным демпфированием также определяются этими уравнениями, где демпфирование характеризуется как ограничение колебательного или вибрационного движения, оно уменьшается, ограничивает и предотвращает колебания колебательного механизма. Когда демпфирующая сила становится вязкоупругой, она включает вязкие и упругие свойства для подавления или гашения вибрации системы. Аналогичным образом демпфирующая сила известна как вязко-вязкоупругая, когда мо-

дель достигает вязкого трения на низкой скорости и достигает чистого вязко-упругого трения на высокой скорости, в частности, колебания крыла самолета в сверхзвуковом потоке газа, колебания датчиков нанометрового масштаба и т, д, [44], На Рис 1,1 изображена модель свободных колебаний с вязкоупругим демпфированием, которая будет рассмотрена в этой главе,

В последние десятилетия наблюдается большой интерес к дробному исчислению, Результаты, которые были обнаружены, когда некоторые исследователи изучали различные динамические системы с использованием дробных операторов [17-19], вызвали этот интерес. Вывод, сделанный Бэгли и Торви-ком [40,45], которые исследовали структуры вязкоупругости и поведение материалов с использованием дробных производных, является одним из самых интересных среди них. Уравнение Бэгли-Торвика используется этими двумя учеными, и его можно вывести следующим образом.

Вывод уравнения Бэгли — Торвика.

Уравнение Бэгли-Торвика было впервые введено в исследованиях дробного исчисления поведения реальных материалов [19,40,46], С тех пор его значение во многих инженерных и прикладных дисциплинах возросло. Уравнение, которое

1 3

имеет производную порядка ^ или производную порядка в частности, может довольно хорошо моделировать частотно-зависимые демпфирующие материалы, Он также может быть использован для имитации движения реальных физических систем, таких как жесткая пластина, погруженная в ньютоновскую жидкость, и газ в жидкости [47], С другой стороны, уравнение Бэгли-Торвика представляет собой математическую модель вязкоупруго демпфированных структур с дробными производными. Поэтому имеет смысл изучить уравнение Бэгли-Торвика, С момента создания модели было предложено множество аналитических и численных методов, В своей работе Подлубный [19] рассмотрел уравнение Бэгли-Торвика как аналитически, так и количественно, Дитхельм и др. [48] предложили подход "предсказатель-корректор"(алгоритм ПК) для решения уравнения и его обобщения, Рэй и Бета [49] решили проблему, используя метод разложения Адомиана , Стохастический метод был

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Елсайед Асмаа Елсайед Махди, 2023 год

Литература

[1] Gorenflo R.. Mainardi F, (1997), Fractional Calculus: Integral and Differential Equations of Fractional Order, In: Carpinteri, A, and Mainardi, F,, Eds,, Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Springer-Verlag, New York, 223-276.

[2] Jafari H,, Golbabai A., Seifi S,, Savevand K. (2010). "Homotopv analysis method for solving multi-term linear and nonlinear diffusion-wave equations of fractional order,"Computers and Mathematics with Applications 59(3): 1337-1344.

[3] Povstenko Y. (2011). "Non-axisvmmetrie solutions to time-fractional diffusion-wave equation in an infinite cylinder."Fractional Calculus and Applied Analysis 14(3): 418-435.

[4] Luchko Y. (2010). "Some uniqueness and existence results for the initial-boundarv-value problems for the generalized time-fractional diffusion equation."Computers and Mathematics with Applications 59: 1766-1772.

[5] Eidelman S. D,, Kochubei A. N. (2004). "Cauchv problem for fractional diffusion equations,"Journal of Differential Equations 199(2): 211-255

[6] Sandev T,, Tomovski Z, (2010), "The general time fractional wave equation for a vibrating string,"Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 43(5): 055204.

[7] Atanaekovie T. M,, Stankovie B. (2009). "Generalized wave equation in nonlocal elasticity,"Acta Mechanica 208(1): 1-10,

[8] Dong J,, Xu M, (2008), "Space-time fractional Schrodinger equation with time-independent potentials,"Journal of Mathematical Analysis and Applications 344(2): 1005-1017.

[9] Scherer R., Kalla S.L., Bovadjiev L., Al-Saqabi B. (2008). "Numerical treatment of fractional heat equations."Applied Numerical Mathematics 58(8): 1212-1223.

[10] Metzler R,, Nonnenmacher T. F. (2002). "Space- and time-fractional diffusion and wave equations, fractional Fokker Planck equations, and physical motivation."Chemical Physics 284: 67,

[11] Paradisi P., Cesari R,, Mainardi F,, Tampieri F. (2001). "The fractional Fick's law for non-local transport processes."Phvsica A: Statistical Mechanics and its Applications 293(1): 130-142.

[12] Zhou Y,, Jiao F. (2010). "Nonlocal Cauchv problem for fractional evolution equations."Nonlinear Analysis: Real World Applications 11(5): 4465-4475.

[13] Tarasov V. (2008). "Fractional Heisenberg Equation."Physics Letters A 372: 2984-2988.

[14] Tarasov V., Zaslavskv G. (2005). "Fractional Ginzburg-Landau equation for fractal media."Phvsica A: Statistical Mechanics and its Applications 354: 249261.

[15] He J.H. (1998). "Approximate analytical solution for seepage flow with fractional derivatives in porous media."Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 167(1): 57-68.

[16] Wang Q. (2006). "Numerical solutions for fractional KdV-Burgers equation by Adomian decomposition method."Applied Mathematics and Computation 182: 1048-1055.

[17] Kilbas A. A., Srivastava H. M,, Trujillo J.J. (2006). "Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematical

Studies,"Elsevier (North-Holland) Sei, Publishers, Amsterdam, London, 204.

[18] Hilfe E. ( 2000). "Applications of Fractional Calculus in Physics, "World Scientific, River Edge,NJ, USA.

[19] Podlubnv I. (1999) Fractional Differential Equations, vol. 198 of Mathematics in Science and Engineering, Academic Press, San Diego.

[20] Фимин, H. H,, et al. (2019). "Динамика волнового пакета в окрестностях горизонта событий черной дыры,"Математическое моделирование 31(5): 103-120.

[21] Lin Y,, Xu С.(2007). "Finite difference/spectral approximations for the time-fractional diffusion equation,"Journal of Computational Physics 225: 15331552.

[22] Huang Q,, Huang G,,Zhan H. (2008). "Finite element solution for the fractional adveetion-dispersion equation,"Advances in Water Resources 31: 1578-1589.

[23] Kexue L,, Jigen P. (2011). "Laplace transform and fractional differential equations."Applied Mathematics Letters 24(12): 2019-2023.

[24] Hristov J. (2019). "On the Atangan- Baleanu Derivative and Its Relation to the Fading Memory Concept: The Diffusion Equation Formulation."Studies in Systems, Decision and Control.

[25] Xiao-Jun Y,, Gao F,, Tenreiro Machado J.A.,Baleanu D. (2018). "A new fractional derivative involving the normalized sine function without singular kernel. "The European Physical Journal Special Topics 226.

[26] Anatolv K,, Yuri L,(2019), Handbook of Fractional Calculus with Applications: Fractional Differential Equations; De Gruvter: Berlin, Germany.

[27] Vasilv E. T. (2019). Handbook of Fractional Calculus with Applications: Applications in Physics, Part A; De Gruvter: Berlin, Germany.

[28] Baleanu D, M.. Lopes A. M, (2019), Handbook of Fractional Calculus with Applications: Applications in Engineering, Life and Social Sciences, Part A, De Gruyter: Berlin, Germany,

[29] Кириленко, E, И, and Ю, H, Орлов (2021), "Метод спектральных портретов в цифровой путрициологии,"Препринты Института прикладной математики им, MB Келдыша РАН(О): 45-26,

[30] Ebaid А, (2011), "Analysis of projectile motion in view of fractional calculus,"Applied Mathematical Modelling 35(3): 1231-1239,

[31] Devillanova G,, Marano G, C,(2016), "A Free Fractional Viscous Oscillator as a Forced Standard Damped Vibration,"Fractional Calculus and Applied Analysis 19(2): 319-356.

[32] Mainardi F, (2010), Fractional Calculus and Waves in Linear Viseoelastieitv: An Introduction to Mathematical Models,

[33] Tarasov V, (2011), Fractional Dynamics: Application of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media,

[34] Luchko Y,, Gorenflo R,(1999), "An operational method for solving fractional differential equations with the Caputo derivatives,"Acta Mathematica Vietnamica 24,

[35] Mikusinski J, (1959), Operational calculus, London; New York, Pergamon Press,

[36] Hadid S,, Luchko Y,(1996), "An operational method for solving fractional differential equations of an arbitrary real order, "Panamerican Mathematical Journal 6,

[37] Gorenflo R,, Luchko Y, (1997), "Operationl method for solving generalized abel integral equation of second kind, "Integral Transforms and Special Functions 5(1-2): 47-58.

[38] Bateman H,, Erdeelyi A., Magnus W., Oberhettinger F,, Tricomi F.G.(1955). Higher transcendental functions. Vol, 3; Vol, 3, New York, McGraw-Hill,

[39] Das S, (2011), Functional Fractional Calculus,

[40] Torvik P. J,, Baglev E, L, (1984), "On the Appearance of the Fractional Derivative in the Behavior of Eeal Materials,"Journal of Applied Mechanics 51(2): 294-298.

[41] Caputo M. (1969). Elasticita e Dissipazione. Bologna, Zaniehelli,

[42] Ingman D,, Suzdalnitskv J, (2004), "Control of damping oscillations by fractional differential operator with time-dependent order,"Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering - COM ITT METHOD APPL MECH ENG 193: 5585-5595.

[43] Hay S. S,, Sahoo S,, Das S. (2015). "Formulation and solutions of fractional continuously variable order mas" spring damper systems controlled by viseoelastie and viscou" viseoelastie dampers,"Advances in Mechanical Engineering 8(5),

[44] Draganescu Gh.E,, Cofan N,, Eujan D.L, (2005), "Nonlinear vibrations of a nano sized sensor with fractional damping."Journal of Optoelectronics and Advanced Materials , Vol. 7, No. 2, p. 877 - 884.

[45] Baglev E,, Torvik P. (1983). "Fractional Calculus - A Different Approach to the Analysis of Viscoelasticallv Damped Structures, "Aiaa Journal - AIAA J 21: 741-748.

[46] Cao Labora D,, Tenreiro Machado J. A. (2020). "Existence of Bounded Solutions to a Modified Version of the Baglev-Torvik Equation, "Mathematics 8(2).

[47] Eaja M. A. Z., Khan J.A., Qureshi I.M. (2011). "Solution of Fractional Order System of Baglev-Torvik Equation Using Evolutionary Computational Intelligence."Mathematical Problems in Engineering 2011: 675075.

[48] Diethelm K,,Ford N,(2002), "Numerical Solution of the Bagley-Torvik Equation."BIT 42: 490-507.

[49] Eav S. S,, Bera R. K,(2005), "Analytical solution of the Baglev Torvik equation by Adomian decomposition method."Appl. Math. Comput. 168: 398410.

[50] Fitt A., Goodwin A. R. H., Ronaldson K. A., Wakeham W. A. (2009). "A fractional differential equation for a MEMS viscometer used in the oil industry."Journal of Computational and Applied Mathematics 229: 373-381.

[51] Xu Y., Liu Q., Liu J. K., Chen Y. (2019). "A Novel Method for Solving the Bagley-Torvik Equation as Ordinary Differential Equation."Journal of Computational and Nonlinear Dynamics 14.

[52] El-Gamel M.. El-hadv M. A.(2017). "Numerical solution of the Bagley-Torvik equation by Legendre-eolloeation method."SeMA Journal 74: 371-383.

[53] Stanék S. (2013). "Two-point boundary value problems for the generalized Bagley-Torvik fractional differential equation."Open Mathematics 11(3): 574593.54-

[54] Zhong X.C., Liu X.L., Liao S.L. (2017). "On a Generalized Bagley-Torvik Equation with a Fractional Integral Boundary Condition. "International Journal of Applied and Computational Mathematics 3.

[55] Boltzmann L. (1878). "Zur Theorie der elastischen Naehwirkung,"Annalen der Phvsik 241: 430.

[56] Volterra V. (1909). Sulle equazioni integro-differenziali della teoria delPelastieitá, Tipografía Della R. Accademia del Lincei.

[57] Nutting P. G. (1921). "A new general law of deformation."Journal of the Franklin Institute 191(5): 679-685.

[58] Gemant A. (1938), "XLV, On fractional differentials, "The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 25(168): 540-549.

[59] Blair G. W. S., Caffyn J. E.(1949). "VI. An application of the theory of quasi-properties to the treatment of anomalous strain-stress relations. "The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 40(300): 80-94.

[60] Caputo M. (1974). "Vibrations of an infinite viscoelastic layer with a dissipative memory."Journal of the Acoustical Society of America 56: 897904.

[61] Baglev E. L. (1983). "A Theoretical Basis for the Application of Fractional Calculus to Viscoelasticitv."Journal of Eheologv 27: 201.

[62] Baglev E,, Torvik P. (1985). "Fractional calculus in the transient analysis of viseoelastieallv damped structures, "Aiaa Journal - AIAA J 23: 918-925,

[63] Adolfsson K., Enelund M., Olsson P. (2005). "On the Fractional Order Model of Viscoelasticitv."Mechanics of Time-Dependent Materials 9(1): 15-34.

[64] Eiaz M., Zafar A., Asjad M., Shah N. A. (2018). "Influence of non-integer-order derivatives on unsteady unidirectional motions of an Oldrovd-B fluid with generalized boundary conditions. "The European Physical Journal Plus 133(3): 127.

[65] Dai Z., Peng Y., Mansv H.A., Sandler E.H., Eovston T.J. (2015). "A model of lung parenchyma stress relaxation using fractional viscoelasticitv. "Medical Engineering and Physics 37(8): 752-758.

[66] Aleroev T., Kirianova L,(2018), "Presence of Basic Oscillatory Properties in the Baglev-Torvik Model."MATEC Web Conf. 251: 04022.

[67] Koh, C. G. and J. M. Kelly (1990). Application of fractional derivatives to seismic analysis of base- isolated models.

[68] Aleroev T,, Erokhin S, (2019), "Parametric Identification of the Fractional-Derivative Order in the Bagley-Torvik Model,"Mathematical Models and Computer Simulations 11: 219-225,

[69] Christopoulos C,, Filiatrault A,(2006), Principle of Passive Supplemental Damping and Seismic Isolation,

[70] Singh M.. Moreschi L, (2002), "Optimal placement of dampers for passive response control,"Earthquake Engineering and Structural Dynamics 31: 955976.

[71] Palmeri A,, De Luca A,, Muscolino G,, Rieeiardelli F, (2003), "State space formulation for linear viseoelastie dynamic systems with memory,"

[72] Park S, W, (2001), "Analytical modeling of viseoelastie dampers for structural and vibration control, "International Journal of Solids and Structures 38: 80658092.

[73] Singh M.. Chang T. S,(2009), "Seismic Analysis of Structures with Viseoelastie Dampers,"Journal of Engineering Mechanics-asce - J ENG MECH-ASCE 135.

[74] Chang T. S,, Singh M. (2009). "Mechanical Model Parameters for Viseoelastie Dampers. "Journal of Engineering Mechanics-asce - J ENG MECH-ASCE 135,

[75] Gerlach S,, Matzenmiller A,(2005), "Comparison of numerical methods for identification of viseoelastie line spectra from static test data, "International Journal for Numerical Methods in Engineering 63: 428-454,

[76] Pritz T, (1996), "Analysis of Four-Parameter Fractional Derivative Model of Real Solid Materials,"Journal of Sound Vibration 195: 103,

[77] Schmidt A,, Gaul L, (2002), "Finite Element Formulation of Viseoelastie Constitutive Equations Using Fractional Time Derivatives, "Nonlinear Dynamics 29(1): 37-55.

[78] Aprile A., Kelly J, (1997), "Evolutionary mdel of miseoelastie dampers for structural applications,"Journal of Engineering Mechanics-asce 123: 551-560,

[79] Makris N,, Constantinou M, (1991), "Fractional-Derivative Maxwell Model for Viscous Dampers,"Journal of Structural Engineering-asce - J STRUCT ENG-ASCE 117.

[80] Aleroev T,, Aleroeva H,(2019), Problems of Sturm-Liouville type for differential equations with fractional derivatives. Volume 2 Fractional Differential Equations, K, Anatolv and L, Yuri, De Gruvter: 21-46,

[81] Agibalova A, (2010), "On the Completeness of Systems of Root Functions of Differential Operators of Fractional Order with Matrix Coefficients."Mathematical Notes - MATH NOTES-ENGL TR 88: 287-290.

[82] Livsie M. S. (1956). On the Spectral Decomposition of Linear Non-self-adjoint Operators, American Mathematical Society.

[83] Agibalova A. (2011). "On the completeness of system of eigenfunctions and associated functions of differential operators of orders and."Journal of Mathematical Sciences 174: 425-436.

[84] Malamud M. M,, Oridoroga L. L. (2001). "Analog of Birkhoff theorem and completeness results for fractional order differential equations,"Russian Journal of Mathematical Physics 8,

[85] Aleroev T, S, (2005), "On One Class of Operators Associated with Differential Equations of Fractional Order,"Siberian Mathematical Journal 46: 963-968,

[86] Aleroev T. S., Mahmoud E.I., Elsaved A.M. (2021). "Mathematical model of the polymer concrete by fractional calculus with respect to a spatial variable."IOP Conference Series: Materials Science and Engineering 1129(1): 012031.DOI: doi: 10,1088/1757-899X/1129/1/012031,

[87] Kirianova L, (2020), "Modeling of Strength Characteristics of Polymer Concrete Via the Wave Equation with a Fractional Derivative,"Mathematics 8(10).

[88] Hilfer E. (2003). "On fractional relaxation."Fractals 11.

[89] Mainardi F,, Gorenflo R.(2000). "On Mittag-Leffler-tvpe functions in fractional evolution processes."Journal of Computational and Applied Mathematics 118(1): 283-299.

[90] Nigmatullin E. E. (1992). "Fractional integral and its physical interpretation."Theoretical and Mathematical Physics 90(3): 242-251.

[91] Mainardi F. (1995). "Fractional diffusive waves in viseoelastie solids."Nonlinear Waves in Solids: 93-97.

[92] Tang J., Marcus E. A.(2005). "Diffusion-Controlled Electron Transfer Processes and Power-Law Statistics of Fluorescence Intermittenev of Nanoparticles."Physical Eeview Letters 95(10): 107401.

[93] Golding I., Cox E. C.(2006). "Physical Nature of Bacterial Cytoplasm."Physical Eeview Letters 96(9): 098102.

[94] Hilfer E,, Sevbold H. J. (2006). "Computation of the generalized Mittag-Leffler function and its inverse in the complex plane. "Integral Transforms and Special Functions 17(9): 637-652.

[95] Cohen A. M. (2007). Numerical Methods for Laplace Transform Inversion, Springer Publishing Company.

[96] Zhang S., Zhang M., Deng Z., Li W. (2007). "Solution of nonlinear dynamic differential equations based on numerical Laplace transform inversion."Applied Mathematics and Computation 189: 79-86.

[97] Фимин, H. II.. et al. (2019). "Аналитическое исследование динамики массивных частиц в метрике Крускала." Математическое моделирование 31(3): 55-68.

[98] Зенюк, Д. A. and Ю. Н. Орлов (2014). "О применении дробного исчисления Римана-Лиувилля для описания распределений вероятностей. "Препринты 1111\I им. MB Келдыша(18): 1-21.

[99] Tagliani A., Velasquez Y,(2003), "Numerical inversion of the Laplace transform via fractional moments,"Applied Mathematics and Computation 143: 99-107.

[100] Madani M.. Fathizadeh M.. Khan Y., Yildirim A. (2011). "On the coupling of the homotopv perturbation method and Laplace transformation."Mathematical and Computer Modelling 53(9): 1937-1945.

[101] Sheng H,, Li Y,, Chen Y.Q. (2011). "Application of numerical inverse Laplace transform algorithms in fractional calculus." Journal of The Franklin Instituteengineering and Applied Mathematics - J FRANKLIN INST-ENG APPL MATH 348: 315-330.

[102] TALBOT A. (1979). "The Accurate numerical inversion of Laplace transforms."IMA Journal of Applied Mathematics 23(1): 97-120.

[103] Mahajerin E,, Burgess G,(2003), "A Laplace transform-based fundamental collocation method for two-dimensional transient heat flow."Applied Thermal Engineering - APPL THERM ENG 23: 101-111.

[104] Tomovski Z,, Hilfer R,, Srivastava H.M. (2010). "Fractional and operational calculus with generalized fractional derivative operators and Mittag-Leffler type functions."Integral Transforms and Special Functions 21(11): 797-814.

[105] Mathai A., Saxena R,, Haubold H. (2009). The H-funetion: Theory and Applications. Springer-Verlag New York.

[106] He J.H. (2003). "Homotopv perturbation method: a new nonlinear analytical technique."Applied Mathematics and Computation 135(1): 73-79.

[107] He J.H. (2000). "A coupling method of a homotopv technique and a perturbation technique for non-linear problems. "International Journal of NonLinear Mechanics 35(1): 37-43.

[108] He J.H. (2006). "Homotopv perturbation method for solving boundary value problems."Physics Letters A - PHYS LETT A 350: 87-88.

[109] Noor M. A., Mohvud-Din S. T.(2009). "Modified variational iteration method for solving Helmholtz equations,"Computational Mathematics and Modeling 20(1): 40-50.

[110] Huang J, (2019), "Convolution Quadrature Methods for Time-Space Fractional Nonlinear Diffusion-Wave Equations,"East Asian Journal on Applied Mathematics 9: 538-557,

[111] Li C, , Zeng F, (2015), Numerical Methods for Fractional Calculus,

[112] Lubich C, (1986), "Diseretized Fractional Calculus,"SIAM Journal on Mathematical Analysis 17(3): 704-719,

[113] Chen H,, Lii S,, Chen W, (2018), "A unified numerical scheme for the multi-term time fractional diffusion and diffusion-wave equations with variable coefficients,"J, Comput, Appl, Math, 330: 380-397,

[114] Tian W.Y., Zhou H,, Deng W, (2015), "A class of second order difference approximations for solving space fractional diffusion equations,"Math, Comput. 84: 1703-1727.

[115] Di Paola, M.. Pirrotta A., Valenza A. (2011). "Viseo-elastie behavior through fractional calculus: An easier method for best fitting experimental results."Mechanics of Materials 43(12): 799-806.

[116] Fowler D. W. (1999). "Polymers in concrete: a vision for the 21st century."Cement and Concrete Composites 21(5): 449-452.

[117] Kirlikovali E. (1981). "Polymer/concrete composite" A review."Polymer Engineering and Science 21: 507-509.

[118] Ohama Y. (1997). "Recent progress in concrete-polymer composites."Advanced Cement Based Materials 5(2): 31-40.

[119] Tsai C. S,, Lee H. H,(1993), "Applications of Viscoelastic Dampers to High-Rise Buildings,"Journal of Structural Engineering 119(4): 1222-1233,

[120] Huang J,, Zhao Y,, Arshad S,, Li K,, Tang Y, (2019), "Alternating Direction Implicit Schemes for the Two-Dimensional Time Fractional Nonlinear SuperDiffusion Equations,"Journal of Computational Mathematics 37: 297-315,

[121] Guo S., Mei L., Zhang Z., Li C., Li M.. Wang Y. (2020). "A linearized finite differenee/speetral-Galerkin scheme for three-dimensional distributed-order time-space fractional nonlinear reaction-diffusion-wave equation: Numerical simulations of Gordon-type solitons. "Computer Physics Communications 252: 107144.

[122] Zhao Z,, Li C,(2012), "Fractional difference/finite element approximations for the time-space fractional telegraph equation."Applied Mathematics and Computation 219: 2975-2988.

[123] Elsaved A. M.. Orlov V. N. (2020). "Numerical Scheme for Solving Time-Space Vibration String Equation of Fractional Derivative. "Mathematics 8(7). DOI: doi.org/10.3390/math8071069,

[124] Lvu P., Vong S. (2017). "A linearized second-order finite difference scheme for time fractional generalized BBM equation."Applied Mathematics Letters 78.

[125] Sun Z.z., Wu X. (2006). "A fully discrete difference scheme for a diffusion-wave system."Applied Numerical Mathematics 56(2): 193-209.

[126] Chen J., Liu F., Anh V., Shen S., Liu Q. Liao, C. (2012). "The analytical solution and numerical solution of the fractional diffusion-wave equation with damping."Applied Mathematics and Computation 219: 1737-1748.

[127] Li C,, Zeng F. (2015). Numerical Methods for Fractional Calculus (1st ed,). Chapman and Hall/CRC. https://doi.org/10.1201/bl8503

[128] Chakrabortv B.C., Ratna D. (2020). "Polymers for vibration damping applications. "Elsevier.

[129] Singh H, (2016), "A new numerical algorithm for fractional model of Bloch equation in nuclear magnetic resonance,"alexandria engineering journal 55: 2863-2869.

[130] Panda R,, Dash M, (2006), "Dash, M,: Fractional generalized splines and signal processing. Signal Process, 86(9), 2340-2350,"Signal Processing 86: 2340-2350.

[131] Magin R. L. (2004). "Fractional calculus in bioengineering,"Crit Rev Biomed Eng 32(1): 1-104.

[132] Bohannan G. W, (2008). "Analog Fractional Order Controller in Temperature and Motor Control Applications,"Journal of Vibration and Control 14(9-10): 1487-1498.

[133] Aleroev T. S., Elsaved A. M. (2020). "Analytical and Approximate Solution for Solving the Vibration String Equation with a Fractional Derivative."Mathematics 8(7).DOI: doi.org/10.3390/math8071154.

[134] Aleroev T. (2020). "Solving the Boundary Value Problems for Differential Equations with Fractional Derivatives by the Method of Separation of Variables."Mathematics 8(11).

[135] Hilfer R. (2011). "Exact solutions for a class of fractal time random walks."Fractals 03.

[136] Lutz E. (2001). "Fractional Langevin equation."Physical Review E 64(5): 051106.

[137] Nigmatullin R. R. (1992). "Fractional integral and its physical interpretation."Theoretical and Mathematical Physics 90(3): 242-251.

[138] Mandelbrot B. B., Van Ness J. W. (1968). "Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications."SIAM Review 10(4): 422-437.

[139] Lutz E. (2001). "Fractional Langevin equation."Physical Review E 64(5): 051106.