Краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих матричную производную Римана-Лиувилля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Еремин, Александр Сергеевич

• Еремин, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Еремин, Александр Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Краевая задача для уравнения с матричным интегро-дифференциальным оператором

1.1. Определение и некоторые свойства оператора матричного интегро-дифференцирования.

1.1.1. Вспомогательные сведения.

1.1.2. Матричное уравнение Абеля первого рода. ф 1.1.3. Условия разрешимости матричного уравнения Абеля.

1.2. Краевая задача для уравнения с матричным интегро-дифференциальным оператором.

1.3. Эквивалентность краевой задачи нескольким краевым задачам меньшей размерности.

1.3.1. Краевые задачи для скалярного уравнения: существование решения и его непрерывная зависимость от начальных условий

1.3.2. Краевые задачи для скалярного уравнения: единственность решения.

1.4. Существование и единственность решения краевой задачи для уравнения с матричным дифференциальным оператором.

Выводы.

ГЛАВА 2. Свойства смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной

2.1. Основные функциональные классы и свойства оператора смешанного дробного интегро-дифференцирования в этих классах

2.1.1. Пространство функций ACn'm(Q) и его свойства.

2.1.2. Пространство функций и его свойства.

2.1.3. Смешанный дробный интеграл и смешанная дробная производная Римана-Лиувилля.

2.1.4. Классы функций /aa^c+(Li), 1^с+(Съ5),

2.2. Двумерное интегральное уравнение Абеля.

2.2.1. Единственность решения интегрального уравнение Абеля

2.2.2. Необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости уравнения Абеля.

2.2.3. Смешанный дробный интеграл и смешанная дробная производная как взаимно обратные операции.

2.3. Краевые задачи для линейного уравнения со смешанной дробной производной

2.3.1. Задач типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.

2.3.2. Задачи для дифференциального уравнения «второго порядка» со смешанной дробной производной.

Выводы.

ГЛАВА 3. Задача типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной

3.1. Теоремы об однозначной разрешимости задачи типа Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной

3.1.1. Задача типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.

3.1.2. Равносильность задачи типа Гурса и интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

3.1.3. Существование и единственность решения задачи типа Гурса

3.2. Аналог задачи типа Гурса для однородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.

3.3. Аналог задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.

3.4. Матричный оператор смешанного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих матричную производную Римана-Лиувилля»

Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений с. матричной дробной производной Римана-Лиувилля.

Область математического анализа, называемая дробным исчислением и посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, тесно связана с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др. Дробное исчисление функций одной и многих переменных в настоящее время интенсивно развивается, свидетельством чему является большой поток специально посвященных ему публикаций.

В различных отраслях науки и ее инженерных приложениях все более часто возникают дифференциальные уравнения дробного порядка. В этой связи можно отметить монографии I. Podlubny [122], К. В. Oldham, J. Spanier [118], К. S. Miller, В. Ross [115], A. M. Нахушева [59,62], В. А. Нахушевой [57], работы I. M. Sokolov [128], А. А. Килбаса [107].

Исторически первыми приложения уравнениям с дробными интегралами и производными привели Абель [85,86] (задача о таутохроне) и Лиувилль [110], который дал приложения к задачам геометрии, физики и механики. Среди них задача Лапласа о влиянии бесконечного прямолинейного проводника на магнит; задача Ампера о взаимодействии двух таких проводников; задачи, связанные с притяжением тел; задача о распределении тепла в шаре; задача Гаусса о приближенных квадратурах и др.

Собственно история дифференциальных уравнений дробного порядка берет свое начало с работ М. Fujiwara [97], O'Shaughnessy [120], Е. L. Post [123], Е. Hille [100]. В работе Е. Pitcher [121] были доказаны теоремы о существовании и единственности решения задачи типа Коши для уравнения Щ+У = f(x,y), что заложило серьезную основу для теории дифференциальных уравнений дробного порядка. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах [87-90] и монографии С. Г. Самко, А. А. Килбаса, О. И. Мариче-ва [73].

В настоящее время активно исследуются задачи для дробных дифференциальных уравнений. Известен ряд методов их решения (хороший обзор содержится, например, в работах А. А. Килбаса [108,109)). Так, для решения задачи типа Коши для неоднородного уравнения

W+y) (*) = Аy(x) + f(x), где Re а > 0, может быть применен метод последовательных приближений [73]. В монографии I. Podlubny [122] методом интегральных преобразований решен ряд задач для дробных дифференциальных уравнений. В серии работ А. А. Килбаса, С. А. Марзана [41-43,52,53] исследуется задача типа Коши для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка и систем таких уравнений в весовых пространствах непрерывных функций.

Однако для прикладных задач обыкновенных дифференциальных уравнений недостаточно. Уже в простейших физических задачах возникают производные по двум независимым переменным - по координате и времени. Поэтому актуальным направлением дробного исчисления являются задачи для дифференциальных уравнений в частных дробных производных. Они рассматриваются в работах А. А. Килбаса [106], Р. Р. Нигматулина [116], W. Wyss [131], А. Н. Кочубея [48, 49], А. В. Псху [68], С. X. Геккиевой [18], Т. С. Алероева [1-4], работах [19,22,80,101] и др.

В подавляющем большинстве работ, в которых изучаются задачи для дифференциальных уравнений в частных дробных производных, уравнения представляют собой классические уравнения математической физики, в которых одна из частных производных заменена на частную дробную производную. Рассмотрим некоторые из них.

В работах [48,49] в полуплоскости рассматривалась краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных, содержащая регуля-ризованную дробную производную.

В работах [65,66] доказана однозначная разрешимость в классе Са>р(0) краевой задачи для уравнения i^V) (х, у) + А (D™c+u) (х, у) = f(x, у), где 0 < си ^ 1, 0 < р ^ 1, с краевыми условиями lim I^l'iu = tp(y), lim J^ti = причем рассмотрен как случай Л > 0, так и случай Л < 0. Решения получены в терминах функции типа Райта.

В работах [67,68] рассмотрены первая, вторая и смешанная краевые задачи в прямоугольной области Q для уравнения где 0 < а ^ 1 (так называемого уравнения диффузии дробного порядка). Решения получены в терминах функции типа Райта.

В монографии А. М. Нахушева [62] в прямоугольной области для уравнения диффузии дробного порядка (1)с0<а^2 решена первая краевая задача с однородными граничными условиями. Решение получено в терминах функции типа Миттаг-Лефлера.

Задача типа Коши для уравнения (1) (/(ж, у) = 0) в полуплоскости х > 0 была рассмотрена в работе [18], решение получено в терминах функции типа Райта.

Из работ, в которых исследуются уравнения с оператором смешанного дробного интегро-дифференцирования, можно отметить работу S. Vasilache [130], в которой получено решение двумерного интегрального уравнения Абеля где 0<ск^1,0</3^1. Однако используемый в [130] метод преобразования Лапласа не позволил получить необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости.

Дальнейшее развитие теории дробного исчисления привело к исследованию систем дифференциальных уравнений в дробных производных. Исследованию систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка посвящены работы В. К. Вебера [15,16], М. И. Иманалиева [37]. В работе

1) laat+U) (*,!/)=/(*, У),

V. Daftardar-Gejji [95] доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для системы дифференциальных уравнений D£+(y-y(a)) = Ay, где матрица А обладает произвольным комплексным спектром.

Развитие идей и методов в теории дробного исчисления привело к появлению различных обобщений операторов дробного интегро-диффереицироБа-ния (операторы типа Эрдейи-Кобера, Джбрашяна, дробные интегралы и производные Вейля и Чженя, операторы со степенно-логарифмическим ядром, операторы М. Сайго и др.) [73]. Операторы обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса рассматривались, например, в работах Е. R. Love [111], М. Saigo [124,125], А. А. Килба-са [7,8,45], О. А. Репина [70]. В работах А. А. Андреева [6,9,35] операторы дробного интегро-дифференцирования обобщаются на случай матричного ин-тегро-дифференцирования с помощью аппарата функции матриц [17].

В серии работ А. А. Андреева [6,9,10] с помощью введенного оператора матричного интегро-дифференцирования решены задачи для определенного класса систем интегро-дифференциальных уравнений. Результаты работ пересекаются с работами М. Lowengrub, J. Walton [112], И. JI. Васильева [14]. Матричное интегро-дифференцирование позволяет исследовать задачи для более широких классов систем интегро-дифференциальных уравнений. Однако применимость матричного интеграла и матричной производной при решении систем дифференциальных уравнений в дробных производных изучена очень мало.

Актуальность темы Дифференциальные уравнения дробного порядка являются основой для построения математических моделей, описывающих различные процессы, в том числе в средах с фрактальной структурой. Дифференциальные уравнения дробного порядка исследовали многие авторы, в том числе Е. Питчер (Е. Pitcher), В. Сьюелл (W. Sewell) [121], Дж. Бар-ретт (J. Н. Barrett) [90], М. Аль-Бассам (М. A. Al-Bassam) [89], А. А. Кил-бас [38-40,44,45,73,92,106-109], X. Трухилло (J.J. Trujillo), Б. Бонилла (В. Bonilla) и др. В последние годы дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены работы А. Н. Кочубея [48,49], I. Podlubny [122], А. А. Килбаса [39,40,44,45], А. М. Нахушева [58-62], А. В. Псху [65-68].

Высокий интерес к исследованию дифференциальных уравнений дробного порядка обусловлен их широким применением в задачах физики, механики, химии, биологии, теории управления и других прикладных наук. Дифференциальные уравнения дробного порядка позволяют дать эффективные модели различных аномальных явлений, возникающих в естествознании. Например, в связи с аномальной диффузией можно упомянуть работы [21,46,57, 62,63,69,71,72,78,84,91,93,96,99,107,113,114,116,117,119,126,127,129,131,132].

Построение теории однозначной разрешимости в различных функциональных пространствах и исследование вопросов корректности постановок задач для дифференциальных уравнений дробного порядка требуется как для внутренней завершенности теории дробного интегро-дифференцирова-ния, так и для многочисленных приложений.

Основной целью работы является исследование краевых задач для систем дифференциальных уравнений, содержащих оператор матричного дробного дифференцирования по одной или по двум переменным, обобщающих известные задачи для классических уравнений математической физики. Выполнение цели работы потребовало исследования свойств некоторых функциональных классов, свойств операторов матричного и смешанного матричного дробного интегро-дифференцирования, решения различных обобщений уравнения Абеля, решения скалярных дифференциальных уравнений в частных дробных производных.

Методы исследования В работе используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, дробного интегро-дифференцирования, теории рядов Фурье, аппарат функций от матриц.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Получены необходимые и достаточные условия существовании и единственности решения двумерного уравнения Абеля, матричного уравнения Абеля, двумерного матричного уравнения Абеля;

2. Доказаны теоремы о существования и единственности решения краевых задач для дифференциального уравнения в частных производных с матричным дифференциальным оператором, для дифференциального уравнения с двумерным матричным интегро-дифференциальным оператором;

3. Доказана равносильность аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной и интегрального уравнения Вольтерра второго рода;

4. Доказана теорема о существовании и единственности решения аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в весовом пространстве непрерывных функций;

5. Получено решение задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в терминах функции типа Райта;

Положения, выносимые на защиту:

1. Теоремы о необходимом и достаточном условях существования и единственности решения двумерного уравнения Абеля, матричного уравнения Абеля, двумерного матричного уравнения Абеля;

2. Теоремы о существовании и единственности решения краевых задач для дифференциального уравнения в частных производных с матричным дифференциальным оператором, для дифференциального уравнения с двумерным матричным интегро-дифференциальным оператором;

3. Теоремы о равносильности аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной и интегрального уравнения Вольтерра второго рода;

4. Теорема о существовании и единственности решения аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в весовом пространстве непрерывных функций;

5. Решение задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной;

Практическая и теоретическая ценность Результаты работы носят теоретический характер и являются важным вкладом во внутреннюю завершенность соответствующего раздела дифференциальных уравнений с частными производными; они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для дифференциальных уравнений в дробных производных, а также для решения прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Апробация работы Результаты исследований докладывались и обсуждались на: межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2002, 2003 гг.) всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2004, 2005 гг.) международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки» (Самара, 2004 г.) всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их проло-жения» (Самара, 2005 г.) международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2003 г.) международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2004 г.) всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003, 2004 г.г.) международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященной столетию академика С. М. Никольского (Москва, 2005 г.) научном семинаре «Дифференциальные уравнения» кафедры математической физики Самарского государственного университета (руководитель д.ф.-м.н., проф. Филатов, 2004 г.) научном семинаре «Прикладная математика и механика» Самарского государственного технического университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Радчен-ко В. П., 2003-2005 г.г.) научном семинаре кафедры «Дифференциальные уравнения» Казанского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Жегалов В. И., 2005 г.)

- научном семинаре кафедры «Дифференциальные уравнения» Саратовского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Хромов А. П., 2005 г.)

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 14 научных работах. Среди них 2 статьи в научных журналах, 7 статей в сборниках научных трудов и 4 тезиса докладов на международных конференциях. Общий объем опубликованных материалов составляет 51 страниц. 8 работ опубликованы без соавторов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В каждой главе своя нумерация параграфов, определений, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации 137 страниц, из которых 12 страниц занимает список литературы, состоящий из 132 наименований.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Еремин, Александр Сергеевич

Выводы

В данной главе доказаны теоремы существования и единственности решения задачи типа Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в весовом пространстве непрерывных функций. В терминах функции типа Райта получено решение задачи типа Гурса для однородного и неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной. Вводится оператор матричного смешанного интегро-дифференцирования. Теоремы существования и единственности обобщаются на случай дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследованы краевые задачи для дифференциальных уравнений со смешанной дробной, матричной и со смешанной матричиой производной Римана-Лиувилля. Основные результаты:

1. Получены необходимые и достаточные условия существовании и единственности решения двумерного уравнения Абеля, матричного уравнения Абеля, двумерного матричного уравнения Абеля.

2. Исследованы краевые задачи для дифференциального уравнения в частных производных с матричным дифференциальным оператором, для дифференциального уравнения с двумерным матричным интегро-дифферен-циальным оператором. Получены условия корректности задач. Доказано существование единственных решений. Получены решения в терминах функции типа Миттаг-Лефлера.

3. Получены условия равносильности аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной и интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

4. Доказано существование и единственность решения аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в весовом пространстве непрерывных функций.

5. Получено решение задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в терминах функции типа Райта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Еремин, Александр Сергеевич, 2005 год

1. Алероев Т. С. Об одной краевой задаче для дифференциального оператора дробного порядка // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34, № 1. С. 123.

2. Алероев Т. С. К проблеме о нулях функции миттаг-лефлера и спектре одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36, № 9. — С. 1278-1279.

3. Алероев Т. С. О полноте системы собственных функций одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36, 6. - С. 829-830.

4. Алероев Т. С. О собственных значениях одной краевой задачи для дифференциального оператора дробного порядка // Дифференциальные уравнения. — 2000. Т. 36, № 10. - С. 1422-1423.

5. Андреев А. А. Нелокальные краевые задачи для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа // Краевые задачи для уравнений математической физики. — 1990. — С. 3-7.

6. Андреев А. А. Об одном обобщении операторов дробного интегродиф-ференцирования и его приложениях // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Матер. Всесоюзной конф. — Владивосток: 1990. — С. 91.

7. Андреев А. А., Килбас А. А. О решениях неоднородного гипергеометрического уравнения и вычислении интегралов // Докл. АН БССР. — 1983. Т. 27, № 6. - С. 493-496.

8. Андреев А. А., Килбас А. А. О некоторых ассоциированных гипергеометрических функциях // Изв. высш. учеб. заведений. Мат. — 1984. — Т. 12. С. 3-12.

9. Андреев А. А., Огородников Е. Н. Матричные интегродифференциаль-ные операторы и их применение // Вестник СамГТУ. Вып. 7. — 1999. — С. 27-37.

10. Андреев А. А., Огородников Е. Н. Применение матричных интегродиф-ференциальных операторов в постановке и решении нелокальных краевых задач для систем уравнений гиперболического типа // Вестник СамГТУ. Вып. 9. 2001. - С. 45-53.

11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендендные функции. — М.: Наука, 1973. Т. 3. - 296 с.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендендные функции. — М.: Наука, 1973. Т. 1. - 296 с.

13. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976. — 296 с.

14. Васильев И. JI. О единственности решения системы уравнений абеля с постоянными коэффициентами // Доклады АН БССР. — 1981. — Т. 25, № 2. С. 105-107.

15. Вебер В. К. Структура общего решения системы у^ — ау, 0 < а ^ 1 // Тр. Кирг. ун-та. Сер. мат. наук. Вып. 11. — 1976. — С. 26-32.

16. Вебер В. К. К общей теории линейных систем с дробными производными // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим. Вып. 18. — 1985. — С. 301-305.

17. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967.

18. Геккиева С. X. Задача коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. — 2000. — Т. 5, № 1. — С. 16-19.

19. Глушак А. В. О задаче типа коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной // Вестник ВГУ, Сер. физика, математика. — 2001. — Т. 2. — С. 74-77.

20. Годунов С. К. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1979.

21. Гук И. П. Формализм лагранжа для частиц, движущихся в пространстве фрактальной размерности // Журнал технической физики. — 1998.-Т. 68, №4.-С. 7-11.

22. Джарбашян М. М., Нерсесян А. Б. Дробные производные и задача коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН Армян. ССР, Сер. Мат. — 1968. — Т. 3. — С. 3-29.

23. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования функций в комплексной области. — М.: Наука, 1966.

24. Еремин А. С. Аналог задачи с обратным временем для дробного уравнения теплопроводности // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. — Т. И. - С. 546-547.

25. Еремин А. С. Краевые задачи для уравнения в частных производных, содержащих дробную производную // Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. — 2004. — С. 67-68.

26. Еремин А. С. Три задачи для одного уравнения в частных дробных произодных // Труды Всероссийской научной конференции Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. — 2004. — С. 94-99.

27. Еремин А. С. Композиция смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной римана-лиувилля одного порядка // Вестник СамГТУ. Сер.: физ.-мат. науки. Вып. 34- — 2005. — С. 16-24.

28. Ерем,пи. А. С., Андреев А. А. Краевая задача для уравнения с матричной дробной производной // Материалы Меоюдународного Российско-Узбекского симпозиума Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. — 2003. — С. 20-21.

29. Еремин А. С., Андреев А. А. Краевые задачи для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2003. — Т. 10. — С. 377-378.

30. Еремин А. С., Андреев А. А. Краевая задача для уравнения с матричным интегродифференциальным оператором // Вестник СамГТУ. Сер.: физ.-мат. науки. Вып. 26. — 2004. — С. 5-11.

31. Иманалиев М. И., Вебер В. К. Об одном обобщении функции типа мит-таг-лефлера и его применении // Исследования по интегро-дифферен-циальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим. Вып. 13. — 1980. — С. 49-59.

32. Килбас А. А. Степенно-логарифмические интегралы в пространствах гельдеровских функций // Изв. АН БССР. Сер.: физ.-мат. науки.— 1975.-Т. 1.-С. 37-43.

33. Килбас А. А., Бонилла В., Трухилло X. Дробные интегралы и производные, дифференциальные уравнения дробного порядка в весовых пространствах непрерывных функций // Доклады нац. акад. наук Беларуси. 2000. - Т. 44, № 6. - С. 18-22.

34. Килбас А. А., Бонилла Б., Трухилло X. Нелинейные дифференциальные уравнения дробного порядка в пространстве интегрируемых функций // Доклады Российской академии наук. — 2000.— Т. 374, 4.— С. 445-449.

35. Килбас А. А., Марзан С. А. Нелинейные дифференциальные уравнения дробного порядка в весовых пространствах нерперывных функций j j Доклады Национальной академии наук Беларуси. — 2003. — Т. 47, Я81. — С. 29-35.

36. Килбас А. А., Марзан С. А. Задача типа коши для дифференциального уравнения дробного порядка в весовом пространстве непрерывных функций // Доклады Национальной академии наук Беларуси. — 2004. — Т. 48, № 5. С. 20-24.

37. Килбас А. А., Марзан С. А. Нелинейное дифференциальное уравнение с дробной производной капуто в пространстве непрерывно дифференцируемых функций // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 1.-С. 82-86.

38. Килбас А. А., Репин О. А. Аналог задачи бицадзе-самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39, № 5. - С. 638-644.

39. Килбас А. А., Репин О. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с частной производной римана-лиувилля и операторами обобщенного дробного интегрирования в краевом условии // Труды Института Математики БАН. — 2004. — Т. 12, № 2. — С. 75-81.

40. Кобелев Я. JI. Феноменологические модели описания больших систем с фрактальными структурами: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / УГУ. — Екатеринбург, 2001. — 22 с.

41. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968. — 469 с.

42. Кочубей А. Н. Задача коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения.— 1989.— Т. 25, № 8.— С. 1359-1369.

43. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. — 1990. Т. 26, № 4. - С. 660-770.

44. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1978. — 280 с.

45. Лаппо-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ГТТИ, 1957. 456 с.

46. Марзан С. А. Системы нелинейных дифференциальных уравнений дробного порядка в весовых пространствах непрерывных функций // Вестник БГУ. Сер. 1. Физика, математика, информатика. — 2004. — № 1.-С. 63-68.

47. Марзан С. А. Дифференциальные уравнения с дробными производными Римана-Лиувилля и Капуто: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / Белорусский государственный университет. — 2005.

48. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1976. — 392 с.

49. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. — М.: ГТТИ, 1934. — Т. 1. — 330 с.

50. Нахушева В. А. Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения, смешанная задача для обобщенного волнового уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 1996. - Т. 2. - С. 26-28.

51. Нахушева В. А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. — Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2002.

52. Нахушев А. М. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. — Нальчик-Майкоп: Логос, 1995. — 59 с.

53. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. — М.: Высш. шк., 1995.

54. Нахушев А. М. Видоизмененная задача коши для оператора дробного дифференцирования с фиксированнными началом и концом // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36, № 7. — С. 903-908.

55. Нахушев А. М. Структурные и качественные свойства оператора, обратного оператору дробного интегро-дифференцирования с фиксированным началом и концом // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36, № 8. С. 1093-1100.

56. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение.— Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

57. Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // ТМФ. 1992. - Т. 90, № 3. - С. 354-368.

58. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1961. — 272 с.

59. Псху А. В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. — 2000. — Т. 5, № 1. — С. 45-53.

60. Псху А. В. Решение краевой задачи для уравнения с частными производными дробного порядка // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39, № 8. С. 1092-1099.

61. Псху А. В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции грина // Дифференциальные уравнения. — 2003. Т. 39, № 10. - С. 1430-1433.

62. Псху А. В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39, № 9.-С. 1286-1289.

63. Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел.— М.: Наука, 1997. 383 с.

64. Репин О. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. — Самара: Изд-во Саратовского ун-та (Самарский филиал), 1992. — 162 с.

65. Ресхиашвили С. Ш. Формализм лагранжа с дробной производной в задачах механики // Письма в ЖТФ. — 2004. — Т. 30, № 2. — С. 33-37.

66. Рутман Р. С. О физических интерпретациях фрактального интегрирования и дифференцирования // ТМФ.— 1995.— Vol. 105, по. 3.— Pp. 393-406.

67. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

68. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: ОГИЗ, 1947. — Т. 5.— 584 с.

69. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: ОГИЗ, 1974. — Т. 2.— 656 с.

70. Трикоми Ф. О. Интегральные уравнения. — М.: ИИЛ, 1960. — Т. 1. — 300 с.

71. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных.— М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1957. — 444 с.

72. Учайкин В. В. К теории аномальной диффузии частиц с конечной скоростью свободного движения // ТМФ.— 1998.— Т. 115, № 1.— С. 154-161.

73. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматгиз, 1962. — Т. 2.

74. Хромов А. П. Об одном применении оператора дробного дифференцирования // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. — С. 55-61. — Вып. 7, часть 1.

75. Чернятин В. А. Математические вопросы обоснования метода Фурье.— М.: МГУ, 1986.

76. Чернятин В. А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. — М.: МГУ, 1991.— 111 с.

77. Чернятин В. А. Методы решения краевых задач математической физики. М.: МГУ, 1996.

78. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. - Т. 108, № 5(11). - С. 1875-1883.

79. Abel N. Н. Auflosung einer mechanischen aufgabe // J. fur reine und angew. Math. 1826. - Vol. 1. - Pp. 153-157.

80. Abel N. H. Solution de quelques problemes a l'aide d'integrales defines // Gesammelte mathematische werke. Leipzig: Teubner. — 1881. — Vol. 11. — Pp. 11-27.

81. Al-Abedeen A. Z. Existence theorem on differential equations of generalized order // Rafidain J. Sci. Mosul. Univ. Iraq.— 1979.— Vol. 12, no. 1.— Pp. 95-104.

82. Al-Abedeen A. Z., Arora H. L. A global existence and uniqueness theorem for ordinary differential equations of generalized order // Canad. Math. Bull. 1978. - Vol. 21, no. 3. - Pp. 267-271.

83. Al-Bassam M. A. Some existence theorems on differential equations of generalized order // Ibid. 1965. - Vol. 218. - Pp. 70-78.

84. Barret. J. H. Differential equations of non-integer order // Canad. J. Math. 1954. - Vol. 6. - Pp. 529-541.

85. Bochaud J., Georges A. Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications // Phys. Rep. — 1990. — Vol. 195, no. 4-5. Pp. 127-293.

86. Bonilla B. P., Kilbas A. A., Trujillo J. J. Calculo Fraccionario у Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias. — Madrid: Uned, 2003.

87. Compte A., Metzler R. The generalized cattaneo equation for the description of anomalous transport processes //J. Phys. A: Math. Gen.— 1997.- Vol. 30.- Pp. 7277-7289.

88. Constantine A. G., Muirhead R. J. Partial differential equations for hypergeometric functions of two argument matrix // J. Multivariate Anal. 1972. - Vol. 3. - Pp. 332-338.

89. Daftardar-Gejji V., Babakhani A. Analysis of a system of fractional differential equations // J. Math. Anal. Appl— 293.— Vol. 2004.— Pp. 511-522.

90. El-Shahed M., Salem A. On the generalised navier-stokes equations // Applied Mathematics and Computation. — 2004. — Vol. 156. — Pp. 278-293.

91. Fujiwara M. On the integration and differentiation of an arbitrary order // Tohoku Math. J. 1933. - Vol. 37. - Pp. 110-121.

92. Gorenflo R., Vessela S. Abel integral equations: analysis and applications. — Berlin: Springer-Verlag, 1991.

93. Gupta A. K., Kabe D. G. A note on the characteristic functions of spherical matrix distributions // Appl. Math. Lett.— 1998.— Vol. 11, no. 3.— Pp. 17-19.

94. Hille E., Tamarkin J. D. On the theory of linear equation // Ann. Math.— 1930. Vol. 31. - Pp. 479-528.

95. Hsien Т., Lin S., Shrivastava H. M. Some relationships between certain families of ordinary and fractional differential equations // Computers and Mathematics with Applications. — 2003. — Vol. 46. — Pp. 1483-1492.

96. Jamez A. Т. Special functions of matrix and single argument in statistics // Theory and Applications of Special Functions / Ed. by R. A. Askey.— Academic Press, 1975. Pp. 497-520.

97. Jodar L., Company R. Hermitte matrix polynomials and second order matrix differential equations //J. Approx. Theory Appl. — 1996. — Vol. 12, no. 2. Pp. 20-30.

98. Jodar L., Company R., Ponsoda. Orthogonal matrix polynomials and systems of second order differential equations // Diff. Equations Dynamic Syst. 1995. - Vol. 3, no. 3. - Pp. 269-288.

99. Jodar L., Cortes J. C. Some properties of gamma and beta matrix function // Appl Math. Lett. — 1998. Vol. 11, no. 1. - Pp. 89-93.

100. Kilbas A. A. Some aspects of differential equations of fractional order // Rev. R. Acad. Cienc. Exact. Fis. Nat. 2004. — Vol. 98, no. 1. - Pp. 27-38.

101. Kilbas A. A., Trujillo J. J. Differential equations of fractional order: methods, results and problems i // Appl. Anal.— 2001.— Vol. 78.— Pp. 153-192.

102. Kilbas A. A., Trujillo J. J. Differential equations of fractional order: methods, results and problems ii // Appl. Anal.— 2002.— Vol. 81.— Pp. 435-494.

103. Liouville J. Memorie sur quelques questions de geometrie et de mecanique, et sur un nouveau genre de calcul pour resoudre ces questions // J. I'Ecole Roy. Polytechn. — 1832. Vol. 13. — Pp. 1-69.

104. Love E. R. Some integral equations involving hypergeometric functions // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1967. - Vol. 15, no. 3. - Pp. 169-198.

105. Lowengrub M., Walton J. Systems of generalized abel equations // SAIAM J. Math. Anal. — 1979. — Vol. 10, no. 4.- Pp. 749-807.

106. Metzler R., Klafter J. The randomwalk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Reports. — 2000. — Vol. 339. — Pp. 1-77.

107. Metzler R., Nonncnmacher T. F. Fractional diffusion: exact representations of spectral functions //J. Phys. A: Math. Gen.— 1997.— Vol. 30.— Pp. 1089-1093.

108. Miller K. S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations.— New York: John Wiley & Sons. Inc., 1993.

109. Nigmatullin R. R. To the theoretical explanation of the "universal"response // Phys. Stat. Sol. (b).— 1984.- Vol. 123.— Pp. 739-745.

110. Nigmatullin R. R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with the fractal geometry // Phys. Stat. Sol. (b).— 1986.— Vol. 133. Pp. 425-430.

111. Oldham К. В., Spanier J. The Fractional Calculus. — New York-London: Academic Press, 1974.

112. Oldham K., Spanier J. The replacenent of fick's law by a formulation involving semidifferentiation //J. Electroanal. Chem. — 1970. — Vol. 26. — Pp. 331-341.

113. O'Shaughnessy L. Problem no. 433 // Amer. Math. Month.— 1918. — Vol. 25. Pp. 172-173.

114. Pitcher E., Sewell W. E. Existence theorems for solutions of differential equations of non-integer order // Ibid.— 1938.— Vol. 44, no. 2.— Pp. 100-107.

115. Podlubny I. Fractional differential equations // Mathematics in Sciences and Engineering. — 1999. — Vol. 198.

116. Post E. L. Discussion of the solution of (d/dx)l!2y = у fx (problem no. 433) 11 Amer. Math. Month. — 1919. Vol. 26. — Pp. 37-39.

117. Saigo M. A remark on integral operators involving the gauss hypergeometric function // Math. Rep. Kyushu Univ.— 1978.— Vol. 11, no. 2.— Pp. 135-143.

118. Saigo M. A certain boundary value problem for the euler-darboux equation // Math. Japon. — 1979. Vol. 24, no. 4. — Pp. 377-385.

119. Schneider W. R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equation // J. Math. Phys. 1989. - Vol. 30, no. 1. - Pp. 134-144.

120. Shrivastava H. M., Saxena R. K. Operators of fractional integration and their application I j Applied Mathematics and Computation. — 2001. — Vol. 118. Pp. 1-52.

121. Sokolov I. M., Klafter J., Blumen A. Fractional kinetics // Physics Today. — 2002. November. - Pp. 48-54.

122. Uchaikin V. V. Montroll-weiss problem, fractional equations, and stable distributions // International Journal of THeoretical Physics.— 2000.— Vol. 39, no. 8. Pp. 2087-2105.

123. Vasilache S. Asupra unei ecuatii integrale de tip abel cu doua variabile // Comun. Acad. R.P. Romane. — 1953. — Vol. 3, no. 3-4. — Pp. 109-113.

124. Wyss W. The fractional diffusion equation // J. Math. Phys.— 1986.— Vol. 27, no. 11. Pp. 2782-2785.

125. Zaslavsky G. M. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport j j Physics Reports. 2002. - Vol. 371. - Pp. 461-580.