Исследование управляемости колебательных систем для различных моделей вязких сред с дробной производной тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Алероев Мухамед Темирханович

• Алероев Мухамед Темирханович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Алероев Мухамед Темирханович

ВВЕДЕНИЕ

Глава

Основная задача управляемости для осциллятора с дробной производной, и применение дробного исчисления для исследования деформационно- прочностных характеристик полимербетона

1.1 Основные понятия теории дробного

исчисления

1.2 Основная задача управляемости для осциллятора с дробной производной

1.3 Идентификация параметров дробной модели (постановка и решение обратных задач

1.4 Вычислительный эксперимент, для параметров модели исходя из нескольких заданных характерных

точек

1.5 Метод идентификации порядка дробной производной для модели Бегли-Торвика

1.6 Основные осцилляционные свойства модели основанной на уравнении Бегли - Торвика

1.7 Постановка и решение прямой задачи и задачи управляемости

50

Глава

Решение классической задачи управляемости, для уравнения дробной

диффузии

2.1. Формальное решение первой краевой задачи для уравнения дробной

диффузии

2

2.2. Приближенное решение первой краевой задачи, уравнения дробной

диффузии

2.3 Постановка и решение задачи управляемости для уравнения дробной диффузии

Глава

Обоснование метода разделения переменных

3.1. Понятие метода разделения переменных для уравнения дробной диффузии

3.2. Матричная аппроксимация обратных операторов краевой задачи дифференциальных уравнений дробного порядка

3.3. О матрицах М. Г. Крейна

3.4. О положительной определенности матрицы тп-1(р)

3.5. Спектральный анализ интегральных операторов, сопутствующих для дробных дифференциальных уравнений

3.6. О положительно определённости матрицы тп-1(р), и основные свойства

3.7. О положительно определённости операторов вида

3.8. Распределение собственных значений и нулей функции типа Миттаг-

Леффлера в угловых областях

Заключение

Литература

Приложения

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Новые реальные механические системы, материалы, полимеры изменяют технологию многих отраслей промышленности. Особенно сложны задачи релаксации в однородных полимерах. В основе линейной теории вязкоупругости лежит принцип Вольтерра, согласно которому переход от упругой к вязкоупругой среде осуществляется путем замены модулей упругости или податливостей соответствующими интегральными операторами. Этот принцип осуществляется заменой упругих констант на соответствующие операторы ползучести. Однако, он имеет ряд существенных ограничений, в частности -необходимость наличия аналитического решения соответствующей упругой задачи, неприменимость к стареющим телам, требование неизменяемости во времени объема, занимаемого телом и его границы. Ввиду сложностей получения точных решений, разработано большое число приближенных, в основном численных, методов. Такие методы описаны в работах A.A. Ильюшина, Б.Н. Четверушкина [69]-[70], М.В. Якобовский [72], A.A. Каминского [71], V. Janovsky, S. Ataoglu, C. Chazal, N. Lahellec, H.N. Wang, L.S. Shankar, S. Rajthilak, U. Saravanan, S Ananthapadmanabhan, L. Moresi, F. Dufour, H.-B. Muhlhaus, S.A. Kaloerov, A.A. Koshkin, S. Klinkel, C. Sansour, W. Wagner, B. Nedjar, P. Saxena, M. Hossain, P. Steinmann. Работы E.H. Lee, T. G. Rogers, A.R. Zak O.C. Zienkiewicz, M. Watson, G.A. Holzapfel, T.C. Gasser, J. C. Simo в области численного решения задач вязкоупругости с представлениями функций релаксации в виде рядов Прони послужили основой алгоритмов, широко используемых в программном обеспечении прикладного конечно-элементного анализа.

Отметим, что в настоящее время ведется интенсивные исследования в

области сопряжения искусственного интеллекта с глубокими познаниями в

4

сфере математического моделирования с использованием экспертных знаний. Лидером в этой области является Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша, где научный коллектив под руководством академика Б.Н. Четверушкина [69]-[70] развивает методы «гибридного интеллекта» - термин, появившийся в результате развития этой парадигмы.

Нужно отметить, что в работах Ю.Н. Работнова [11] были исследованы свойства вязкоупругих материалов, в частности, показано, что в волокнистых полимерах напряжение представляется в виде свертки дробно-степенной функции и деформации или производной и деформации. Он не только предложил вязкоупругую модель с оператором дробного порядка для описания процессов ползучести и релаксации в твердых телах, но и показал эквивалентность этой модели интегральному соотношению между деформацией и напряжением с ядром в виде некоторой функции. Несмотря на то, что модели, основанные на дробных дифференциальных уравнениях, зачастую более точно описывают динамические процессы в сравнении с классическими моделями, задачи граничного и оптимального управления для дифференциальных уравнений в дробных производных по-прежнему представляются недостаточно изученными. Среди наиболее известных работ по этой тематике в первую очередь следует отметить исследования А.Г. Бутковского [1]-[5], А.В. Пантелеева [73] и их научных школ, посвященные дробному интегро-дифференциальному исчислению и его приложениям в теории управления.

Так же многие проблемы физики, реологии, диффузии и теории переноса могут быть решены с помощью дробных производных. Значительные результаты в процессах тепло-массопереноса были сделаны Б.Н. Четверушкиным, и его научной школой.

Под дробным исчислением понимают область математического анализа, в которой применяются производные и интегралы любого порядка: как целого, так и дробного. Соотношения, содержащие дробные интегральные или

5

дифференциальные операторы, называют дробными интегральными или дифференциальными соотношениями (уравнениями), а также дифференциальными уравнениями с операторами дробного интегродифференцирования.

Степень разработанности проблемы.

В течение последних десятилетий дробное исчисление использовалось для моделирования многих физических и химических процессов. Следует отметить, что математическое моделирование с использованием дифференциальных уравнений дробного порядка более полно и адекватно описывает механические свойства многих материалов. Учитываются многие факторы реологических моделей, такие как режим нагружения и его предыстория, что позволяет анализировать и прогнозировать поведения этих материалов при различных нагрузках. Полученные результаты применимы в методах математического моделирования и параметрической идентификации неизвестного порядка производной Римана-Лиувилля по имеющимся экспериментальным данным, а также представлен подход к решению задач оптимального управления процессами установления колебательных систем посредством краевых управлений. Так же нужно отметить, что дифференциальное уравнение диффузии дробного порядка описывает эволюцию любой физической системы с потерями, причем показатель "альфа" дробной производной указывает на долю состоянии системы сохраняющихся за все время эволюции. В частности, дифференциальное уравнение дробной диффузии являеться базовым уравнением математической модели случайного блуждания точечной частицы по самоподобному фрактальному множеству, вложенному в пространство ПЯп. Таким образом, уравнение дробной диффузии представляет собой аналитическую форму записи траектории блуждающей частицы, и это несмотря на то, что наиболее корректная форма уравнений дробного порядка, описывающих аномальную диффузию, до сих пор является предметом дискуссии.

Разработка новых методов оптимального управления колебательными и диффузионными процессами на основе дробного исчисления находится на ранней стадии своего развития. Даже формулировка задачи оптимального управления колебательным процессом с помощью дробного исчисления наталкивается на тесно связанную с этой задачей проблему параметрической идентификации дробной модели, а методы идентификации дробной модели почти не разработаны.

Поэтому в диссертационной работе указана глубокая связь между задачей управления параметрами моделей и позиционного регулирования. И это в первую очередь связано с тем, что в большинстве механических систем управляющее воздействие является ограниченным по своим возможностям.

Цель диссертационной работы. Исследование управляемости колебательных систем для различных моделей вязких сред с дробной производной, в последствии повлекшее осуществления следящих задач. Разработка математических методов оптимального управления колебательных и диффузионных процессов, описываемых дробными дифференциальными уравнениями, а также тесно связанными с ними обратными задачами (задачами идентификации параметров моделей дробного порядка). Разработка программного обеспечения для исследования и решения задач граничного управления дробными дифференциальными уравнениями параболического и гиперболического типа. Была доказана положительно определённость операторов, используемых при обосновании метода Фурье в результате параллельных вычислений несимметрической матрицы, порожденной дифференциальным оператором.

Объект и предмет исследования:

1. Задачи управления колебательными и диффузионными процессами, описываемых с помощью дробного исчисления.

2. Методы математического моделирования для исследования деформационно-прочностных характеристик полимербетона и методика идентификации параметров данных моделей.

Ценность научной работы. Основные научные результаты диссертационной работы теоретически значимы и могут быть применены для решения задач управляемости, для дробных дифференциальных уравнений параболического и гиперболического типа.

Разработаны методы математического моделирования и параметрической идентификации неизвестного порядка дробной производной по имеющимся экспериментальным данным.

Методология и методы исследования. Основная тема диссертационной работы возникла в результате исследования направленного синтеза материалов типа полимербетона с требуемыми деформационно-прочностными характеристиками. Вообще говоря, реальные технологические процессы являются нелинейными динамическими системами, и они функционируют в условиях неопределённости и нестационарности. Как объект управления, они отличаются сложностью. Оптимизация эффективности таких моделей обычно достигается улучшением качества позиционной системы. Имеющиеся методики синтеза и анализа позиционных систем управления разработаны только к простым стационарным объектам управления. Динамические свойства объектов предполагаются заранее известными. Основная задача анализа и синтеза позиционного управления состоит, в том, чтобы по заданному дифференциальному уравнению определить параметры и выяснить, как их можно изменить в соответствии с предъявляемыми объекту управлению требованиями.

Для решения этих задач обычно используются следующие методы: метод моментов; методы финитного управления; метод множителей Лагранжа, метод Фурье и т д. На сегодня известен ряд публикаций, в которых обсуждается

задача оптимального управления динамическими системами дробного порядка или дробная задача оптимального управления (ДЗОУ). Следует отметить, что попытки сформулировать и доказать аналог принципа максимума Понтрягина для систем дробного порядка в настоящее время не увенчались успехом. Более того, имеются основания считать, что прямого аналога данного принципа построить не удастся и потому, что для систем дробного порядка автономность гамильтониана не гарантирует подчинения системы законам сохранения. И поэтому такие методы, как метод множителей Лагранжа, метод финитного управления, не срабатывает при изучении задач оптимального управления динамическими системами дробного порядка. В данной работе, в частности, используется методика А.Г. Бутковского [12]-[14] (основанная на методе Фурье) для решения задач управления и управляемости в распределенных системах, в которых искомое управление явно выписывается через преобразование Фурье. Когда речь идет о дифференциальных уравнениях с дробными производными практически нет подобных исследовании. При таком подходе задачи идентификации параметров и позиционного регулирования -части одной и той же методики, которые неразрывно между собой связаны и требуют разработки целого комплекса программ, разработанных в диссертации.

Личный вклад автора. Вклад автора заключается в выполнении основного объема исследований. Основные результаты, выносимые на защиту, получены автором лично. Во всех работах, выполненных в соавторстве, автор непосредственно участвовал в реализации их решений, а постановка задач осуществлялась научным руководителем, М.В. Яшиной, на кафедре "Высшая математика» МАДИ. Экспериментальные результаты, вошедшие в работу, получены совместно с соавторами работ, опубликованных по теме диссертации.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертационной работе научные результаты имеют значительную

теоретическую ценность и могут быть использованы при постановке и решении некоторых задач оптимизации граничным управлением процесса колебании.

Оценка (степень) достоверности результатов, проведенных исследовании. Достоверность полученных в работе результатов и адекватность математических моделей обеспечивается строгими математическими доказательствами, вычислительными экспериментами и сравнением с данными экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование управляемости колебательных систем для различных моделей вязких сред с дробной производной»

Апробация работы.

Основные положения и результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

- Международная (51-Всероссийская) молодежная конференция «Современные проблемы математики и ее приложений - 2020» (Екатеринбург, ИММ УрО РАН);

- XXX Международная конференция «Динамические системы: устойчивость, управление, дифференциальные игры - 2022» (Екатеринбург, ИММ УрО РАН);

- Научный семинар «Фундаментальные и прикладные проблемы развития автомобильно-дорожного комплекса России» (под руководством вице-президента РАН, академика Козлова В.В.) - 2023 (Москва, МАДИ);

- 81 Международная научно-методическая и научно-исследовательская конференция - 2023 (Москва, МАДИ);

- Международная научной конференции «Транспортные потоки на сетях -2023» (Сочи, Научно-технологический университет «Сириус»);

- XXX Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов - 2023» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова);

- International conference «Intelligent technologies and electronic devices in vehicle and road transport complex (TIRVED- 2023) » (Moscow, MADI);

- 82 Международная научно-методическая и научно-исследовательская конференция - 2023 (Москва, МАДИ);

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в зарубежных изданиях, индексируемых Scopus и WoS

1. On one class of persymmetric matrices generated by boundary value problems for differential equations of fractional order // Aleroev M., Aleroev T., Kirane M., Tang Y. Applied Mathematics and Computation, vol. 268, pp.151-163 (2015).

2. The completeness of the systems of eigenvalues and associated functions of boundary value problems for fractional differential equations // T.Aleroev, Y.Tang, M.Aleroev -AIMS Mathematics, vol. 98, pp.2378-2392 (2021).

3. Aleroev M., Aleroev T. On Positive Definite Kernels of Integral Operators Corresponding to the Boundary Value Problems for Fractional Differential Equations // Entropy, vol. 24(4), pp.515 (2022).

4. M. Aleroev, T. Aleroev. Proof of the completeness of the system of eigenfunctions for one boundary-value problem for the fractional differential equation // AIMS Mathematics, vol. 4(3), pp.714 - 720 (2019).

5. Marina V. Yashina, Mukhamed T. Aleroev. Methods for Optimizing the Deformation-Strength Characteristics of Polymer Concrete // Intelligent Technologies and Electronic Devices in Vehicle and Road Transport Complex (TIRVED - 2023).

Публикации в периодических изданиях, рекомендованных в ВАК РФ

1. Marina V. Yashina, Mukhamed T. Aleroev. On problem of properties optimizing for viscoelastic materials using the Begly-Torvik equation // T-Comm: Telecommunications and transport, vol. 8, pp.63-65 (2023).

2. Алероев М.Т. О простоте собственных чисел одного класса несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка. Вестник Академии наук Чеченской Республики. 2018. № 6 (43). С. 5-8.

3. Алероев М.Т. Об одном свойстве персимметрических матриц // Вестник Академии наук Чеченской Республики. - 2018. - № 1 (38). - С. 5-8.

4. Алероев М.Т., Алероева Х.Т. Об одном классе осилляционных матриц // Тезисы:

5. Алероев М.Т., Алероева Х.Т. Об одном классе осцилляционных матриц. - Тезисы

восемнадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Пущино, 24 - 29 января 2011 г.

Свидетельство о государственной регистрации

1. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2023685331от 27 ноября 2023 г. Российская Федерация. Прогнозирование и расчет потоков (в частности, транспортных) с помощью дробной диффузии // Алероев М.Т., Яшина М. В.; ФГБОУ МАДИ - 2023.

ГЛАВА 1. Основная задача управляемости для осциллятора с дробной производной, и применение дробного исчисления для исследования деформационно-прочностных характеристик полимербетона

Прежде чем перейти к задачам управляемости, нам понадобятся некоторые утверждения, на которые мы будем ссылаться очень часто в дальнейшем, поэтому эти утверждения, мы выделим в отдельный параграф.

1.1 Основные понятия теории дробного исчисления

Вопрос о смысле производной порядка 1/2 вероятно впервые возник в 1695 г. в переписке между Лопиталем Г. и Лейбницем Г. В исследованиях Лиувилля Ж. при решении задач о таутохроне и других классических задач возникали интегральные соотношения, представляющие собой интегралы и производные дробного порядка. История возникновения и развития дробного исчисления, насчитывающая уже более трех столетий, подробно описана в монографии Самко С. Г., Килбаса А. А., Маричева О. И. «Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения», являющейся монументом среди многих изданных книг.

Теория дробного исчисления, а также историческое развитие этой теории подробно изложены в [15]-[17].

Существует много разных определений дробных интегралов и дробных производных [18]. Приведем те из них, которые в основном и применяются в теории вязкоупругости и моделировании фрактальных структур.

В 1974 году Б. Росс сформулировал пять критериев, которым должны удовлетворять все определения дробных интегралов и дробных производных [86]. Приведем эти критерии:

1. Если f(z) - аналитическая функция комплексного переменного г, то производная является аналитической функцией переменных V и г.

2. Если порядок производной V = п - целое положительное число, то операция Б^(х) совпадает с операцией обыкновенного п - кратного дифференцирования. Если V = - п — целое отрицательное число, то операция Б^(х) совпадает с операцией обыкновенного п - кратного интегрирования.

3. Операция нулевого порядка оставляет функцию неизменной т.е.

Б^Г(х) = /(л).

4. Дробный оператор является линейным

Б* [а/(х) + bg(х)] = аБ^Кх) + ЬО%д(х).

5. Закон композиции, т.е. закон степеней должен выполняется для интегрирования любого порядка

о-ио-"/(х) = о-и-"Г(х)

Одним из определений, удовлетворяющих всем критериям, является определение Римана-Лиувилля.

Определение Римана — Лиувилля: Пусть функция /(х) определена на полуоткрытом интервале (а,Ь], и а > 0. Тогда дробный интеграл порядка а от функции/(х), в точке х Е (а, Ь], определяется следующей формулой

х

0-а/(х) =^!(х- ту-^Шт,

а

где Г(а) - гамма-функция Эйлера.

Зависимость от точки отсчёта, а часто не существенна и представляет собой свободу в выборе константы интегрирования. Также, в случае функции

одной переменной, будем опускать нижний индекс у операторов дробного дифференцирования и интегрирования: й-а/(х) = й~а/(х).

Пусть 0 < т— 1 <а <т, т Е N. Тогда дробная производная порядка а, от функции Дх) в точке х определяется следующей формулой

Dаf(x) =

х

ат

йх

т

1 Г f(т)dт. Г(т — а) } (х — г)

\а+1-т

Например, производная порядка а = 1 вычисляется по формуле

1 й ^(х) = Тх

1 С f(т)dт

-Г 1

Г (X - Т)1

Заметим, что, в отличие от обыкновенных производных, дробная производная от постоянной не является тождественным нулем

у-а

Dаl = ~Х—а > 0, х >0.

Г(1-а)

Справедливо также соотношение

Dаxа-1 = 0,а>0,х>0.

Формула для дробного дифференцирования степенной функции аналогична формуле для обычной производной целого порядка

Dаxk = Г(к+1} хк-а, а > 0, х >0.

Г(к-а+1)

Эта формула справедлива для всех а, целых и дробных. Например, "половинная" производная

1 2^х D2x = —=г

Vл

все так же понижает степень, являясь своеобразной интерполяцией между функцией и ее первой производной.

а

Важную роль при решении многих дифференциальных уравнений с дробными производными играет функция Миттаг-Леффлера [15]-[16]

гк

Еа(г) = Ък=оП1+кау

Функция Миттаг-Леффлера является обобщением ряда для экспоненты путем замены п! = Г(п + 1) на Г(ап + 1). Под действием оператора дробного дифференцирования она, как и экспонента при обычном дифференцировании, остается инвариантной:

ЭаЕа(2а) = Еа(га).

Заметим также, что при а =1, получается обычная операция интегрирования. При а > 0 интегродифференцирование не зависит от выбора нижнего предела интегрирования, а [19]-[21].

Таким образом, обычные свойства, справедливые для обеих классических операций (дифференцирования и интегрирования) удовлетворяются и для операции интегродифференцирования. Так, например, свойство линейности выполняется для любого вещественного а, в то время как формула дифференцирования сложной функции не имеет простого аналога в дробном исчислении.

Другим важным определением, так же удовлетворяющим критериям Росса, является определение дробной производной, введенное Капуто [21].

Применяя символы, аналогичные тем, которые были использованы для определения дробной производной по Риману-Лиувиллю, определение дробной производной в смысле Капуто можно сформулировать следующим образом:

Определение Капуто: пусть функция/(х) определена на полуоткрытом интервале (а, Ь], и пусть 0 < т— 1 <а < т, т = 1, 2,..., тогда дробная производная порядка а от функции /(х), в точке хЕ(а,Ь], определяется следующей формулой

Dаf(x) =

а+1- т

Это понятие дробной производной было введено в 1967 году в работе [22]. Как пишет автор, эта работа является расширенным изложением его ранней работы [23] и, что в данной работе он дает строгое доказательство свойств ранее введенной дифференциальной операции.

При помощи полученных формул далее в работе изучается затухание плоских волн; приводится решение уравнения диссипативной эластодинамики; изучается диссипация для крутильных колебаний оболочек. В конце работы приводится анализ некоторых экспериментальных данных.

Из приведенного определения следует, что функция Дх) имеет дробную производную порядка а> 0 в смысле Капуто, если она имеет обыкновенную производную порядка [а] + 1 (если а не целое). Отсюда следует, что дробная производная в смысле Капуто определена для более узкого класса функций, чем дробная производные в смысле Римана-Лиувилля. Однако известно, что если определяющие соотношения вязкоупругости записать на языке дробных производных Капуто, то начальные условия запишутся в виде производных целого порядка от искомых функций, а такие производные, как известно, имеют обычный физический смысл. В общих словах, производная Капуто более удобна в использовании, но применима не для всех функций.

Предварительные данные

Рассмотрим следующую задачу Коши

и''^) + cDаu(x) + Ли&) = 0;

(1)

x Е [0; 1]; а Е [0; 2]

и(0) = 0,

и'(0) = с.

(2)

Лемма 1. Решение задачи (1) -(2) имеет вид

71 I \ ^т^п-т^.2п+1-та

и(х) = Х + 1(-1')П1Ч12п + 2-та) ' (3)

п=1 т=0

Доказательство.

1. Пусть а Е (0; 1). Тогда уравнение (1.1) имеет вид:

ё2 с ё. Гх и^)(И

I

и(х) + --17-+ Ли(х) = 0

с1х2 Г(1 — а) <!х ]0 (х — £)

Интегрируя по частям, получим:

X X

(I с Г и(г)(И [

Ши(х)+Т(Г—*)1 (х-*)* +1 = С'

0 0

Повторное интегрирование даст:

хх хх

С Г Г и(цм [[ ~

и(х) — и(0) + ^^-^ J йх J --— + J dx J = Сх + С.

0 0 0 0 Далее используя условия и(0) = 0, получим:

XX XX

с г г и(г)бх г г ^

и(х) + ттт;-г I йх I ---—+ I йх I ХиСпйЬ = Сое.

Г(1 — а)] } (х — 1)а } }

0 0 0 0

Поменяем порядок интегрирования в двойных интегралах:

У У У У

и(у) + Г(1 - а) I I (х * + I I Мх = Су. Далее вычисляя внутренние интегралы, получим

У

С dx 1 г , (у — ^1-а

Г --- = --\(у — I)1-а — Ит(г — I)1-а} = --

] ^ — ^ 1 — а ^ у г^Г у J 1 — а

У

Г Лdx = Л(у — 1);

поэтому имеем:

У У

и(У) + Г(2 -а) Г(У — ^1-аи(№ + Г Л(У — = Су. (4)

0 0

Полагая у = 1 , и используя второе краевое условие (и(1) = 0) получаем

С —г Г (1 — ^1-аи(№ + Г Л(1 — ^и^йг. (5)

Г(1 — а)

00 Из (4) и (5) следует, что

У У

Г(2 — а)

и(У) + Г(2 -а) Г(У — *)1-аи№ + Г Л(У —

= у

00 11 ■ .XI _/V

и

Г(2 — а)

0

Г(1 — о1-аи(1)йг + Г Л(1 — г)и(1)йг

Внесем константу ^^ под знак интеграла:

У У

и(У) + Г Г(2-а) (У — *)1-аи№ + Г Л(У — 1)и(1)й1 = 00 11

= У Г Г(2-а) (1 — ^1-аи(№ + У Г Л(1 — 1)и(1)й1. 00

Далее в интегралах с одинаковыми пределами интегрирования вынесем за скобки общий множитель:

0

У

и(У) + Г {г(2 - а) (У — *)1-а + Л(У — *)} и(^ =

0

1

= У Г {г(2 - а) (1 — *)1-а + Л(1 — *)\ и(№

0

Заменим переменную у на переменную x .

X

и+ Г {г(2~а) ^ — *)1-а + — *)\ и(г)йг = 0

1

= xГ {г(2 - О) (1 — г)1-а + Л(1 — *)}и(№. 0

Обозначим через

Р = Г{Т(^(1 — 1)1-а + Л(1 — 1)\и(т 0

Тогда получаем интегральное уравнение

X

и^) + Г {р^ се)^ — ^1-а + — = p■x,xЕ (0; 1).

0

Решение которого имеет вид

п ( п \ ^.т^п-т

п

п \ _.V2п+1-та

Г(2п + 2 — та)

и(к) = x + ^(—1)п ^ „-гx

п=1 т=0

Из последнего соотношения имеем Теорема 1. Рассмотрим задачу:

и''^) + cDаu(x) + Ли&) = 0; (6)

1

00

и(0) = и(1) = 0.

(7)

2. Очевидно, что при а = 0 йаи(х) = и(х),

а уравнение (6) переходит в уравнение и"(х) + {с + Л}и(х) = 0; Общее решение которого (при с + Л > 0) имеет вид

и(х) = С1 sin(xVc + Я) + С2 cos(x-c + Л).

Краевые условия дадут:

и(0) = С2 = 0;

и(1) = С1 sin^c + Л = 0.

Поэтому,

Имеем:

- с + Л = пп, пЕ1

Лп = {пп}2 — с,

а соответственные собственные функции:

или, подставляя

ип(х) = sin(xVc + Л)

ип(х) = sin(пnx).

Из леммы при а = 0 имеем

тт,п-т^2п+1

и(х) = * + 1(—1)П1 П2П + 2-)

П = 1

т=0

" х2п+1 "

= Х + 1(—1)ПШ+1).10ст*П-П =

(2п + 1)\£-1 ^

п=1 т=0

= X +

!(-1)п

X

2п+1

п=1

(2п+1)\

{ с + Л}п =

^сГЛ

2 п+1

^х

(-1)П(2п+1)\{ С + Я}п+0,5

п=1 1

(2п+1)\ sin (х^сТЛ)

А собственные числа являются корнями уравнения:

п

1(-1)п+11

(п)

Ут)

тт,п-т

стЛ

п=1

т=0

(2п + 1)\

= 1;

1 +

!(-1)

{с + Л}

п

п=1

п-—■—— = 0-

(2п + 1)\ 0;

п=1

{ с + Л}п+05 (2п + 1)\

= 0;

sm(V с + Л) = 0; Лп = {лп}2 — с; п Е 1.

2.1. Точно так же при а = 1 имеем

йаи(х) = и'(х)

и изучаемое уравнения переходит в следующее соотношение:

и''(х) + с-и'(х) + Ли(х) = 0. Общее решение которого имеет вид:

сх

и(х) = е

С1 sm ( х

N

Л — ) + С2 cos ( х

N

2

С учетом краевых условий имеем:

со

00

>

и(0) = С2 = 0;

и(1) = С1 sm

N

Следовательно,

2

Л — — = 0. 4

2

Лп = {пп}2 +—,

а соответствующие собственные функции имеют вид:

сх

ип(х) = е-~• sin ( х

Ч

2

Я— 4

Или что тоже самое

сх

ип(х) = е ^т(ппх). Далее из леммы 1 в случаи, когда а = 1 имеем:

п (П}стАп-т -1 _ 1^+1 _

1 А,( 1) /^Г(2п + 2 — т)

Подставим в него:

2

Лп = {пп}2 + —

п ( ^ \ 1П-т^2п+1-т

п I П\\Г-ГГ-Г,Л2 +£_} стХ-т

х + I Г(2п + 2 — т)

п=1 т=0

сх

= е-~ ^т(ппх).

1.2 Основная задача управляемости для осциллятора с дробной производной

Основная задача управляемости для классического осциллятора ставиться следующим образом: найти управляющее воздействие f(t), переводящее за время Ь = Т состояние (8) - (9) в состояние (10).

тХ( t) + <X'(T)=f(t)l (8)

Х(0) =Х'(0) = 0, (9)

Х(Т) = Уо,Х'(Т) = У1. (10)

Теперь рассмотрим задачу управляемости, для осциллятора с дробной производной, описываемой уравнениями (1.1) и условиями (1.2) -(1.5)

и" + сйаи + <и(х) = ^(х), (1.1)

и(0) = и0, (1.2)

и'(0) = щ, (1.3)

и(Т) = У0, (1.4)

и'(Т)=У1. (1.5)

Требуется найти управляющее воздействия (функцию) х), переводящее систему (1.1) -(1.3) в систему (1.4) -(1.5).

Известно [24], что задача (1.1) -(1.3) (при <=0) эквивалентно следующему интегральному уравнению (1.6)

и(х) = (х - 0а-1и(№ + и'(0)х + и(0) + ¡0х {¡0; шж) а^х (1.6)

Далее нам понадобиться следящая теорема [25].

Теорема Джарбащана М.М. Интегральное уравнение вида

и(х) = /(х)+-±-£(х — 1)1/Р-1и(1)(И, (1.7)

имеет решение (1.8)

и(х) = /(х) + Л{*(х — 1)1/р-1Ер(Х(х — Ь)1/р; 1/р)/(1)(И, (1.8) здесь 1/р = 2 — а, 1/р — 1 = 1 — а.

Запишем в терминах а, тогда решение уравнения (1.7) будет иметь вид и(х) = /(х) +Л1*(х — 1)(2-а^-1Е^_(Х(х — 1)2-а; 2 — о)/(1)(И.

2-а

Очевидно, что уравнение (1.6) будет иметь вид

и(х) = /(х) + ^ (Х — 1)(2-^-1и(№, (1.9)

где /(х) = и(0)+и'(0)х + /1, А = Тогда решение уравнения (9) будет иметь вид

и(х) = /(х) + (—с) ¡0х(х — 0(2-а)-1Е^(—с(х — 1)2-а; 2 — а) {и(0) +

2-а

и'(0)г + /1}(И. (1.10)

Вычислим следующий интеграл

(—с) С(х — 1)(2-а)-1Е^(—с(х — 1)2-а; 2 —а) {и(0) + и'(0)1 + /1}сИ, (1.11)

2-а

для этого обозначим

= — си(0) С(Х — 1)(2-а)-1Е^(—с(х — 1)2-а; 2 —а) дХ,

2-а

]2 = — си'(0) С(Х — 1)(2-а)-1Е^(—с(х — 1)2-а; 2 —а) г&г,

2-а

]3 = — с1*(х — 1)(2-а)-1Е^(—с(х — £)2-а; 2 — а)/1(г)(И.

Применим формулу для интегрирования специальных функции

¡Х(х - иГ-1иь-1 Еа>ь(Лиа)Еа>Мх - и)а)(и =

хь+ш-1(ЛЕа,ь+ш(Лха)-цЕа,ь+ш(цха))

(1.12)

Получим

Л = - си(0)х2-аЕ2-а,3-а(-Сх2-а), ¡2 = -Си'(0)х3-аЕ2-аЛ-а(-Сх2-а), ]3 = -с^(х - Ь)(2-а)-1Е^(-с(х - 1)2-а; 2 - а)^(г)(И.

2-а

Обозначим ] 1 = и(0)<1, ]2 = и'(0)<2.

Решение уравнения (1.9) будет иметь вид

и(х) = и(0) + и'(0)х +/1 + и(0)<1 + и'(0)<2 + ]3 (1.13)

Решение (1.10) позволяет полностью решить представленную проблему управляемости, в частности, когда управляющая сила имеет вид

1) /(^) = а0 + а1 С, здесь а0,а1 неизвестные коэффициенты, которые

предстоит найти. Тогда

к = - с ¡Х(х - ^(2-а^-1Е^_(-с(х - ¿)2-а; 2-а){а0^ + а^ (1,

так как

/1 = ¡X {¡; ^ (0^} ^ = а0х- + а1х-

Вычислим

]ъ = - са0\ (х- г)(2-а)-1Е^_(-с(х - 1)2-а; 2-а) 12(1

2 ¿0 2-а

а х

-с-11 (х- 1)(2-а)-1Е^_(-с(х - 1)2-а; 2-а) 1Ъ(Л

6 10 2-а

- Са0(х4 аЕ2-а,5-а(-

Сх2-а)) - са1(х5-аЕ2-а,в-а(-Сх2-а)) = аъЫх) +

а^(х).

Тогда решение (1.10) будет иметь вид

и(х) = и(0) + и'(0)х + /-]_ + и(0)р1 + и'(0)р2 + а0ф1(х) + а1ф2(х)

(114)

Задача заключается в том, чтобы подобрать, так управляющее воздействие / что бы и(Т) = у0 и'(Т) = у1 и положив Т = 1 имеет место

а0 (1 + Ф1(1)) + аг(± + Ф2(1)) = У0 - и(0) - и'(0) - и'(0)<2(1) - и(0)<1(1) а0(1 + ф1'(1)) + а1(1 + ф'2(1)) = У1- и'(0) - и(0)<р'1(1) - и'(0)<р'2(1)

(1.15)

Здесь

Ф1(х) = -Сх4-аЕ2-а,5-а(-Сх2-а),

ф2(1) = -С-х5-аЕ2-а,6-а(-Сх2-а)

2- а

Обозначим

61=У0- и(0) - и'(0) - и'(0)<2(1) - и(0)<1(1), &2 = У1- и'(0) - и(0)р'(1) - и'(0)р2(1).

Для того, чтобы система (1.15) имела единственное решение, необходимо, что бы главный определитель системы (1.16) был отличен от нуля, то есть

11 1 + ф1(1) 1 + ф2(1)

1+Ф1(1) 1 + Ф2(1)

* 0.

(1.16)

Откуда имеем, что а0 = ^ , а1 =

где

л 1 =

Л =

- + М1) 1

^2 ^ + ^2(1)

1 + ^1(1) 1+^2(1) *2

Теорема 1.1. Пусть с<0.5 задача (1.1) - (1.5) разрешима, и ее решение имеет вид /0(х) = а0 + а1х, где а0 = ^,а1 = -2.

2) /0(х) = а зтЬх=а^к=0

(-1)п(йх) (2п+1)\

тогда

Р0(х) = а^;:=0(—1)Ь2п+1х2п+зу^ — сх2-аЕ2П-б12-а(—сх2-а)},

У(х) = Сх{ 1 — сх2-аЕА-а2-а(—сх2-а)} + Р0(х), Обозначим Ф(х)= х{1 — сх2~аЕА-а 2-а(—сх2~а)} и применив условия

(1.4)-(1.5) имеем

\и(Т) = СФ(Т) + ^(Т) = /0 \и(Т) = СФ (Т) + Е0'(Т) = /1,

(1.17)

положив Т = 1, полчим

^(1) = ^Ф(1) + ^0(1) = /0 [и (1) = СФ'(1)+^'(1)=^

или

от

У(1) = СФ( 1) + а1(—1)ПЬ2П+1У^у—сЕ2п+в,2-а(—с)] = /0

1

п=0 от

Г(1) = СФ'( 1) + а I ((—1)пЬ2п+1 { +3 — сЕ2П+б12-а(—с)})= /1

п=0

Го~СФ(1)

откуда а =-0—1-т (1.18),

1^?=о(-1)ПЬ2п+1{(2^1+-у-сЕ2п+6>2-а(-с)} У '

_Уо-^Ф(1)_ует (( ^)п^2п+1Г 1

2-=о(-1)пЬ2п+1{(^-сЕ2п+б,2-а(-с)}^П=0 (( ) {(2п+3)!

С^2п+6,2- а(-С)})|С =У1 -^Ф'(1), У0 - СФ( 1) ((-1)пЬ2п+1 - сЕ2п+в,2-а(-с)}) = (У1-

вФ'

'(1)) Х?=0(-1)пЬ2п+1{^-сЕ2п+б,2-а(-с)}. (1.19)

Уравнение (1.19) имеет бесконечно множество решений (что согласуется с тем, что 5 т х = 0 имеет бесконечно решений), определённая часть которых, может быть, комплексными.

Выбираем вещественное решение, принадлежащее промежутку (0; и), таким образом мы получаем значения параметра Ь, чтобы получить соответствующее значение параметра а, нужно полученное значение Ь подставить в формулу (118).

Отметим ниже, в этой главе разработан комплекс программ, для решения уравнений вида (1.19).

1.3 Идентификация параметров дробной модели (постановка и решение обратных задач

Вообще то говоря в математическом моделировании под идентификацией подразумевается нахождение параметров модели и ее структуры, обеспечивающей адекватное соответствие выходных данных объекта и модели при одинаковых входных воздействиях. Подход к построению модели на основе идентификации называют также экспериментальным подходом, в отличие от аналитического, когда модель определяется на основе основных законов механики, химии и т.д. В зависимости от объема исходной

информации об исследуемом объекте подходы и методы идентификации можно рассматривать в широком смысле, когда неизвестна структура объекта (непараметрическая или структурная идентификация); или в узком смысле, когда стоит задача оценки параметров модели известной структуры (параметрическая идентификация).

Под идентификацией в дальнейшем будем подразумевать определение параметров моделей, предполагая, что уравнения этих моделей заранее известны. В данной главе разрабатывается метод идентификации дробной модели на примере моделирования деформационно - прочностных характеристик полимербетона. Известно, что при моделировании деформационно-прочностных характеристик полимербетона, его можно представлять как совокупность твердых гранул наполнителя, находящихся в вязкоупругой среде. Тогда [26]-[28], поперечные движения гранулы наполнителя под действием нагрузок (приложении внешней силы) можно описать уравнением (это уравнение называется, уравнением Бегли-Торвика [26]) фрактального (дробного) осциллятора:

т • и''(х) + у 0£хи(х) + к • и(х) = £(х), (1.20)

где и(х)- смещение гранулы, х £ [0; / ], т - масса гранулы наполнителя, у- модуль вязкости смолы, k - модуль жесткости смолы; а - параметр вязкоупругости среды, внешняя сила,

Отметим [26]-[28], что при а = 1, уравнение (1.20) переходит в известное уравнение

т • и"(х) + у и'(х) + к • и = £(х), (121)

которое описывает движение (в асфальтобетоне) гранулы массой т под действием нагрузки £(х)от движущегося транспорта, которое широко используется в автомобильно-дорожном строительстве.

Следует отметить [28]-[31], что колейность автомобильных дорог, может образоваться при любом типе дорожного покрытия.

При а=0.7 уравнение

т • и''(х) + у 00^и(х) + к • и = ^(х),

являеться [28] хорошей конститутивной моделью, для эластомерных подшипников (эластомерные подшипники в настоящее время используются в качестве изолирующих подшипников для зашиты здании мостов и т д от землетрясения).

Заметим, что для рассмотрения процесса, протекающего в механической системе во времени, необходимо добавить и временную составляющую, переходя, тем самым к уравнению вида:

д2и д2и

дг2 дх2

+ с • И^и + /(х)

Вообще то говоря, уравнения в частных производных такого вида (гиперболического типа) описывает широкий класс механических процессов и явлений в основе которых лежат колебания. В частности, как сказано выше можно моделировать поперечные колебания гранул в полимербетоне, что может быть использована при оптимизации параметров отверждения толстостенных конструкции из композиционных материалов

1.4 Вычислительный эксперимент, для параметров модели исходя из нескольких заданных характерных точек.

Выше было показан, что задача идентификации параметров и позиционного регулирования неразрывно между собой связаны. И мы сталкиваемся с

необходимостью решить задачу идентификации параметров дробной модели. Что бы оттенить основные идеи предлагаемой методики идентификации рассмотрим модель Скота - Блэра. Отметим, что для моделирования деформационно прочностных характеристик материалов пользуются уравнением (модель Скота - Блэра)

а( t) = E1D^s(t),

где сг(г) - напряжение, s(t) - деформация, Ei и 0 <в <1- параметры материала.

Зде°ь

дробная производная Капуто, порядка Д, который подлежит определению. В многочисленных публикациях последних десяти лет проблема идентификации параметров дробных моделей в основном решается на теоретическом уровне, например, методами спектрального анализа [31]. Как отмечается в [32]- [34], параметры модели определяются исходя из нескольких характерных точек, полученных в эксперименте, путем подстановки значений деформации в аналитические решения соответствующей задачи.

Нами впервые было предложено для параметрической идентификации использовать теорему существования и единственности, что позволило привести формулы для вычисления параметров модели. Как было отмечено ранее, в ходе изучения напряженно-деформированного состояния полимерных пленок [35] образцы растягивались с постоянной скоростью, одновременно проводились замеры напряжения, т. е. можно записать

s(t) = kt. (1.22)

Как было сказано выше в качестве простейшей математической модели была взята модель Скота-Блэра (1.19)

а( t) = E1D^s(t), (1.23)

где a(t) - напряжение, а s(t) - деформация, Ei и 0 <в <1 - параметры материала. Конечно, в природе деформация е(t) - функция далеко не линейная.

32

Но если удастся установить параметр в для случая линейного нагружения, то, по теореме существования и единственности решения задачи Коши для уравнения дробного порядка можно утверждать, что этот параметр является инвариантным и не зависит от вида функции ( ).

Здесь оператор - оператор дробного дифференцирования в определении Капуто. Если растяжение материала задается линейно. Принимая во внимание известную формулу

г1-р

получаем

Обозначив

А =_

Г(2 - Р)'

к?Е1

можно записать

а(1)=А[е(1)]1-Р.

(1.24)

Материал

Параметры соотношений а( £) = е10^е(1)

в

ТХД 0,61 285

Ф/Ф 0,40 176

ЭОДХ 0,46 138

диан 0,79 143

ДОДФС 0,45 176

Таб. 1.1 - Параметры соотношений для образцов полиэфиров

(для полимербетона)

А также для сравнения был проведен эксперимент для идентификации сложного модуля сдвига вязкоупругих материалов. Для исследования были использованы пленочные образцы полученных вязкоупругих материалов (в частности полиэфиров полимербетона). Механические испытания проведены на машине ИР 5057 (рис. 1) для растяжения с постоянной скоростью деформирования (0,05 м/мин) при комнатной температуре.

Рис. 1 - Испытательная машина ИР 5057.

Рис. 2 - Общий вид машины ИР - 5057.

На Рисунке 3 и в таблице 1.1 представлено сопоставление экспериментальных данных и модельных кривых для различных материалов. Во всех случаях математическое моделирование с использованием производной дробного порядка демонстрирует наилучшее соответствие.

ООО экспериментальные данные

модель с производной дробного порядка

□ ИП модель Максвелла ■ф-ф-С- модель Кельвина

Рис. 3 - Зависимость напряжение-деформация при растяжении образцов тетрахлордиана (ТХД), экспериментальные данные и результаты

математического моделирования.

Нужно отметит, что, параметр (3 был найден следующим образом: так как

) = )] , то введя выражения Ле1 = е 1 -ев , Ле2 = е2 -ев , Ла1 = я1 -яв , Ла2 = а2 -ав , получим

Л^ = ЛЛе;

1-(

Ля2 = ЛЛе2

1-(

или

Да, = А (гГ-еУ)

<

Да2 = А (¿-»-г^)

Так как

г»

(1-4^

V»

Дг,' ^»-е,-» Ц1-»)( ^ Де

2 5

последняя система может быть переписана в виде

е + е

V»

Да,=А(1-»)( -^-л. Де,' Да2 =А(,-»)

е+е

V»

Де

Тогда

1п

е1+еБ \е2+еБ У

» =__V"2 Б у Ел

» = г к л л , Е1 Да1Де2

1п

V

Да2Де

Г(2-Р)йа1 к^Ае1— .

1.5 Метод идентификации порядка дробной производной для модели Бегли-Торвика

В данной работе эта же методика применяется для определения порядка дробной производной в задаче для уравнения Бегли-Торвика

и''(х) + сБаи(х) + Ли(х) = /(х); х £ [0; /]; (1.25)

и(0) = 0, и'(0) = 1; (1.26)

где Баи(х) - оператор дробного дифференцирования порядка а £ [0; 2].

Отметим, что оператор Ва может быть оператором дробного дифференцирования по Капуто, по Риману - Лиувиллю или по Вейлю.

В данном разделе рассматривается процесс проведения вычислительного эксперимента, направленного на идентификацию параметров модели Бегли-Торвика для описания поведения вязкоупругих материалов, таких как полиэфирный полимербетон. Исследуемая модель основывается на уравнении фрактального осциллятора, описывающего движение гранулы с массой т под воздействием внешней силы и характеристик среды, таких как вязкость и жесткость смолы.

Входные данные и постановка задачи

В качестве входных данных использовались результаты механических испытаний пленочных образцов вязкоупругих материалов, полученных на установке ИР 5057. Испытания проводились на растяжение с постоянной скоростью деформирования 0,05 м/мин при комнатной температуре. Полученные данные применялись для идентификации порядка дробной производной а в модели Бегли-Торвика.

Модель описывается следующей системой уравнений:

т • и''(х) + у 0£хи(х) + к • и(х) = ^(х), (1.27)

где и(х)- смещение гранулы, х £ [0; / ], т - масса гранулы наполнителя, у- модуль вязкости смолы, k - модуль жесткости смолы; а - параметр вязкоупругости среды, внешняя сила.

Важно, чтобы выходные данные были структурированы и удобны для дальнейшего анализа, включая визуализацию и расчет метрик отклонения.

Данные могут быть представлены в виде массивов чисел с плавающей точкой или структур в MATLAB/Octave. Для обмена данными между программами используются стандартные форматы файлов, такие как CSV, MAT или HDF5, обеспечивающие быстрый доступ к данным и их эффективную загрузку в память.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алероев Мухамед Темирханович, 2024 год

Литература

1. Г. Бутковский, С. С. Постнов, Е. А. Постнова, «Дробное интегро-дифференциальное исчисление и его приложения в теории управления. Дробные динамические системы: моделирование и аппаратная реализация», Автомат, и телемех., 2013, 5, 3 - 34.

2. А. Г. Бутковский, С. С. Постнов, Е. А. Постнова, «Дробное интегро-дифференциальное исчисление и его приложения в теории управления. Математические основы и проблема интерпретации», Автомат, и телемех., 2013, 4, 3 - 42.

3. А. Г. Бутковский, "Приложение некоторых результатов теории чисел к проблеме финитного управления и управляемости в распределенных системах", Докл. АН СССР, 227:2 (1976), 309-311.

4. А. Г. Бутковский, Ю. В. Даринский, Л. М. Пустыльников, "Подвижное управление системами с распределенными параметрами", Автомат, и телемех., 1976, 2, 15-25.

5. А. Г. Бутковский, Л. М. Пустыльников, "Подвижное оптимальное управление", Докл. АН СССР, 233:3 (1977), 311-313.

6. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев, "Оптимизация граничного управления смещением или упругой силой на одном конце струны за произвольное

достаточно большое время", Автомат. и телемех., 2008, № 3, 7-16.

7. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев, "Граничное управление колебаниями струны, минимизирующее интеграл от степени р>1 модуля управления или его производной", Автомат. и телемех., 2007, № 2, 113-119.

8. А. В. Фурсиков, Л. С. Шатина, "Об одной оценке, связанной со стабилизацией нормального параболического уравнения с помощью стартового управления", Фундамент, и прикл. матем., 19:4 (2014), 197-230.

9. А. В. Фурсиков, "Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса и Эйлера",Матем. сб., 115(157):2(6) (1981), 281-306.

10. А. В. Фурсиков, "Свойства решений некоторых задач управления, связанных с системой Навье-Стокса", Докл. АН СССР, 262:1 (1982), 44-48.

11. Ю. Н. Работнов, "О вариационном уравнении установившейся ползучести оболочек", Докл. АН СССР, 168:2 (1966), 300-303.

12. Бутковский, С. С. Постнов, Е. А. Постнова, "Дробное интегро-дифференциальное исчисление и его приложения в теории управления. II. Дробные динамические системы: моделирование и аппаратная реализация", Автомат. и телемех., 2013, № 5, 3-34.

13. А. Г. Бутковский, С. С. Постнов, Е. А. Постнова, "Дробное интегро-дифференциальное исчисление и его приложения в теории управления. I. Математические основы и проблема интерпретации", Автомат. и телемех., 2013, № 4, 3-42.

14. А. Г. Бутковский, "Некоторые задачи управления для систем

с распределенными параметрами", Автомат. и телемех., 2011, № 6, 103-107.

15. Gorenflo R., Mainardi F. Essentials of Fractional Calculus. Preprint submitted to MaPhySto Center, 28 January, 2000, 31 pp.

16. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional Calculus: Integral and Differential Equations of fractional Orders. В книге A.Carpinteri and F.Mainardi (Editora): Fractals and Fractional Calculus in Continium Mechanics, Springer Verlag, Wien and New York, 1997, p. 223 - 276.

17. GorenfIo R., Mainardi F. Fractional oscilations and Mittag-Leffler Functions. Preprint, Pr-a-96-14.ps; http://www.math.fu-berlin.de/publ/index.html, 1996.

18. Самко С. Г., Килбас A. A., Маричев О. И, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, изд - во "Наука и техника", 1987, 688 стр.

19. Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus. N.Y.;London: Acad. Press, 1974, 223 р.

20. Parlett B.N. Global convergence of the basice QR-algorithm on Hessenberge matrices. - Math. Сотр., 1968, 22, p. 803-817.

21. Phillips J.C. Stretched exponential relaxation in molecular and electronic glasses // Rep.Progr. Phys. — 1996. — V. 59. — P.1133-1207.

134

22. Caputo M. Linear Models of Dissipation whose Q is almost Frequency In-denpendent. Geophys. J.R.astr.soc. v.13,1967, р. 529-539.

23. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent. Annali Geofis, 1966, v/19, р. 383-393.

24. Т. С. Алероев, "Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов", Дифференц. уравнения, 20:1 (1984), 171-172.

25. М.М. Джарбащан, Интегральные функции преобразования и представления в комплексной области.

26. Bagley R., Torvik P., "Fractional Calculus- A Different Approach to the Analysis of Viscoelastically Damped Structures. », (1983),Aiaa Journal - AIAA J 21: 741-748.

27. Chan Ghee Koh., James M. Kelly., Application of fractional derivatives to seismic analysis of base-isolated models, February 1990 https://doi.org/10.1002/eqe.4290190207Citations: 189.

28. А.М. Кириллов. Моделирование процессов энергообмена в системе дорожное покрытие - транспортное средство. 2015.

29. М. В. Яшина, П. И. Поспелов, И.А Кутейников., Влияние распределения транспортного потока на колейность дорожных покрытий. Труды XIV Всероссийская Мультиконференция по проблемам управления МКПУ-2021.Материалы XIV мультиконференции в 4 томах. Том 4. Ростов-на-Дону -Таганрог, 2021, стр. 107-110.

30. Абышов Р.Г., Буслаев А.П., Куприянов Ю.Д., Яшина М.В., Распределенная система мониторинга содержания автомобильных дорог // Вестник МАДИ, 1(24), 2011, 79-85.

31. Буслаев А.П., Замотайлов О.В., Поспелов П.И., Яшина М.В., О восстановлении слоев дорожной одежды по данным подповерхностной радиолокации (ч.1) // Вестник МАДИ(ГТУ), 2009. 89 - 96.

32. M. Aleroev., T. Aleroev., M. Kirane., Y-F. Tang., On one class of persymmetric matrices generated by boundary value problems for differential equations of fractional order. Applied Mathematics and Computation, vol. 268, pp.151-163 (2015).

33. Бэнсон Д. А., Уравнение прироста дробного порядка: разработка и применение, кандидатская диссертация, Университет Невады в Рино, 1998.

34. Горенфло Р., Ф. Мэйнарди., Дробное исчисление и устойчивые распределения вероятностей. Arch. Mechn., 50(3), 377-388, 1998.

35. Кехарсаева Э.Р., Полиарилаты на основе дихлорангидрида I, 1-дихлор-2,2-ди(п-карбоксифенил) этилена. Дисс. канд. хим. наук. -МХТИ им. Д.И. Менделеева. Москва, 1984 г. 160 с.

36. Э.Р. Кехарсаева, В.Г. Пирожков., Моделирование изменения деформационно-прочностных характеристик асфальтобетона при нагружении с помощью дробного исчисления // Сб. трудов "Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред", М., ИПРИМ РАН, - 2016 - с.104-109.

37. Kirianova L. (2020). "Modeling of Strength Characteristics of Polymer Concrete Via the Wave Equation with a Fractional Derivative."Mathematics, 8(10).

38. Т. С. Алероев., "О полноте системы собственных функций одного дифференциального оператора дробного порядка", Дифференц. уравнения, 36:6 (2000).

39. Алероев Т. С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка// Сиб. электрон. матем. изв. 2013. №10. 41-55 c.

40. M.V. Khasambiev., T.S. Aleroev., Краевая задача для одномерного дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии // Вестник МГСУ 2014. №2 6. c. 71—76.

41. А. А. Шкаликов, "Возмущения самосопряженных и нормальных операторов с дискретным спектром", УМН, 71:5(431) (2016).

42. А.М. Нахушев, Дробное исчисление и его применение. Москва, Физматлит, 2003, 271 c.

43. Celauro C., Fecarotti C., Pirrotta A., Collop A., Experimental validation of a fractional model for creep/recovery testing of asphalt mixtures // Constr. Build. Mater. 2012. V.36. P. 458-466.

44. Lagos-Varas M., Movilla-Quesada D., Arenas J.P., Raposeiras A.C., Castro-Fresno D., Calzada-Perez M.A., Vega-Zamanillo A., Maturana J. Study of the mechanical behavior of asphalt mixtures using fractional rheology to model their viscoelasticity // Const. Build. Mat. 2019. V. 200. P. 124-134.

45. Hilton H.H., Clarifications of certain ambiguities and failings of Poisson's ratios in linear viscoelasticity // J. Elasticity. 2011. V. 104. P. 303-318.

46. Yin Y., Yang Z., Shi M., Circular arc rules of complex plane plot for model

parameters determination of viscoelastic material // Mech. Time-Depend. Mater. 2021 .https://doi.org/10.1007/s 11043 -020-09465-x.

47. Wang Y, Harris J.M., Seismic attenuation models: multiple and fractional generalizations // SEG Technical Program Expanded Abstracts. 2020. P. 2754-2758.

48. Aleroev T., Aleroeva H., (2019). Problems of Sturm-Liouville type

for differential equations with fractional derivatives. In Anatoly Kochubei,

Yuri Luchko (Eds.), Fractional Differential Equations (pp. 21-46). Berlin,

Boston: De Gruyter. https://doi.org/10.1515/9783110571660-002 Book DOI:

https://doi.org/10.1515/9783110571660 Online ISBN: 9783110571660, 2019 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston.

49. Kirianova L., Modeling of Strength Characteristics of Polymer Concrete Via the Wave Equation with a Fractional Derivative, Mathematics. (2020). 8(10).

50. Elsayed A. M., Analytical and Approximate Solution for Solving the Vibration. String Equation with a Fractional Derivative, Mathematics. (2020).

51. Elsayed A. M. https://mipt.ru/upload/medialibrary/52a/asmaa-phd.pdf

52. Bangti Lin., Fractional Differential Equations - An Approach via Fractional Derivatives.: Applied Mathematical Sciences. Springer, 2021.

53. Gantmacher F.R., Krein M.G., Oscillatory Matrices and Kernels, and Small Oscillations of Mechanical Systems, AMS Chelsea Publishing, 2002 Revised version, 310 pp.

54. Ф. Рисс., Б. Секифальвин-Надь., Лекции по функциональному анализу, М.: Мир, 1979. - 592 с.

55. Ostrovskii I. V., Peresyolkova I. N., Nonasymptotic results on distribution of zeros of the function Ep (z; p)// Anal. Math. — 1997. — 23. — С. 283-296.

56. В.В. Воеводин., Ю.Л. Кузнецов., «Матрицы и вычисления»; Изд-во: М.: Наука, 1984 г.

57. И.Ц. Гохберг., М.Г Крейн., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1965. - 448 с.

58. Gantmacher F.R., Krein M.G., Oscillatory Matrices and Kernels, and Small Oscillations of Mechanical Systems, AMS Chelsea Publishing, 2002 Revised version, 310 pp.

59. Kato T., Perturbation Theory for Linear Operators, 2 Reprint edition, Springer, 2013.0ctober 4, 620 pp.

60. Aleroev T.S., Aleroeva H.T., Nie N.-M Y-F. Tang Y.-F., Boundary value problems for differential equations of fractional order, Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 49 (2010) 19-82.

61. Gasca M., Pena J.M., Total positivity, QR-fractorization and Neville elimination. SIAM Journal on Matrix Anal. Appl. 14 (1993), 1132-1140.

62. С.Г. Михлин., Курс математической физики. М.: Наука, 1968.

63. Ф.Дж.Трикоми., Интегральные уравнения, Инпеанной литературы, Год: 1960.

64. В.И. Мацаев., Ю.А. Палант., О степенях ограниченного диссипативного оператора// Укр. мат. журн. 1962. №3. Том 14. С. 329-337.

65. Т. С. Алероев., "О полноте системы собственных функций одного дифференциального оператора дробного порядка", Дифференц. уравнения, 36:6 (2000), 829-830.

66. Э.Р. Кехарсаева., Т.С. Алероев., Модель деформационно-прочностных характеристик хлорсодержащих полиэфиров на основе производных дробного порядка // Пластические массы. 2001. № 3 С. 35-36.

67. Т. С. Алероев., Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук, 1994. Т.1 №1. c. 6-7.

68. А. М. Седлецкий., "Неасимптотические свойства корней функции типа Миттаг-Леффлера", Матем. заметки, 75:3 (2004), 405-420.

69. А. А. Злотник, Б. Н. Четверушкин, "О свойствах и погрешности параболического и гиперболического 2-го порядка возмущений симметричной гиперболической системы 1-го порядка", Матем. сб., 214:4 (2023),3-37 сс.

70. Б. Н. Четверушкин, О. Г. Ольховская, В. А. Гасилов, "Трехслойная схема для решения уравнения диффузии излучения", Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 512 (2023),89-95 с.

71. М. В. Еремин, А. А. Каминский, О. А. Аникеенок, "Косвенное взаимодействие 4^электронов с лигандами через заполненные 5р-оболочки", Физика твердого тела, 27:2 (1985), 455-458 с.

72. Е. Н. Головченко, Е. Ю. Дорофеева, В. А. Гасилов, М. В. Якобовский, Вычислительный эксперимент по оценке качества алгоритмов параллельной декомпозиции больших сеток, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша,

2013, 007, 32 с.

73. А. В. Пантелеев, Т. А. Летова, Е. А. Помазуева, Параметрический синтез оптимального в среднем дробного ПИД-регулятора в задаче управления полётом, УБС, 56 (2015), 176-200 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ A

Программная реализация для нахождения вязкоупругого параметра а для уравнения Бегли-Торвика.

b vcclear all;

clc;

digits(25)

x=0.5

ux=0.3

b=1.8;

k=93;

nn=500;

syms al q n

eq=symsum(symsum((((-1 )A(n+1)*(factorial(n)/(factorial(n-q)*factorial(q)))*bAq*kA(n-q))/gamma(2*n+2-q*al))*xA(2*n+1-q*al),q,0,n),n, 1 ,nn);

S=vpasolve(eq+ux-x==0,al,[0 2])

ПРИЛОЖЕНИЕ B

Программная реализация для однородного дифференциального уравнения с дробной производной.

clear all;clc; al=1.6

nn=1000; % pridel sumy Mitt

m=8Q; %predel sum sobstven fun

n=9; % kol-vo sobstven znacheniy

k=1QQ+1; %kol-vo resh

h=1/(k-1); % shag

xx=Q:h:1;

len=length(xx);

tau=(1)/(k-1);

t=Q:tau:1;

% fi=@(x) sin(2*pi*x);

fi=@(x) (x-1)*x; %%?=fi (-x+1)*x (x-1)*x sin(2*pi*x)

ll=zeros(n,1);

w=zeros(n,k);

u=zeros(k,k,n);

ff2=zeros(n,1);

ff1=zeros(n,1);

for p=nn:-1:1

g(nn-p+1)=1 /gamma(p *al); end

z=roots(g); l=sort(z); ll=l(1:n) % ll=l(3:n+2) syms x q lam

wx(x,lam)=xA(al-1)*symsum(((xA(al)*lam)Aq)/gamma(al+q*al),q,Q, m); zx(x,lam)=(x-1 )A(al- 1)*symsum((((x-1 )A(al)*lam)Aq)/gamma(al+q*al),q,Q, m); % w1=vpa(wx(xx,ll(2)),5) % wm1=vpa(wxm1(xx,ll(1)),5)

for i=1:n for j=1:k

w(i,j)=double(vpa(wx(xx(j),ll(i)),4));

tt(i,j)=exp(ll(i)*t(j));

end

end

rw2=real(w(2,:));iw2=real(w(2,:));rw3=real(w(4,:));iw3=real(w(4,:));rw4=real(w(6 ,: ));iw4=real(w(6,:));

figure

subplot(2,1,1);

plot(xx,w(1,:),'k',xx,rw2,'-b',xx,rw3,'g-*',xx,rw4,'r-o') xlabel('x'),ylabel('w')

legend('w1-λ1','w2-λ2','w3-λ4','w4-λ6')

title('Real'),grid on

subplot(2,1,2);

plot(xx,iw2,'-b',xx,iw3,'g-*',xx,iw4,'r-o') xlabel('x'),ylabel('w') legend('w2-λ2','w3-λ4','w4-λ6') title('Imange'),grid on

f1 =fi(x)*(x-1 )A(al-1 )*symsum((((x-1 )A(al)*lam)Aq)/gamma(al+q*al),q,0, m); f1V=vpa(f1,4);

f2=(x-1 )A(al-1 )*symsum((((x-1 )A(al)*lam)Aq)/gamma(al+q*al),q,0, m)*xA(al1)*symsum(((xA(al)*lam)Aq)/gamma(al+q*al),q,0, m);

f2V=vpa(f2,4);

ww=matlabFunction(f1V);zz=matlabFunction(f2V); for i=1:n

ff1 (i)=double(int(ww(x,ll(i)),0,1 )); ff2(i)=double(int(zz(x,ll(i)),0,1 ));

end ff=ff1./ff2; for i=1:k for j=1:k

u(i,j,1)=ff(1)*tt(1,i)*w(1,j); end end

u1=real(u(:,:,1)) figure

[X,T] = meshgrid(xx,t);

s=mesh(X,T,u1)

% s.FaceColor='interp'

xlabel('x')

ylabel('t')

zlabel('u1')

title('Solve u1')

colorbar

for s=1:n-1

for i=1:k

for j=1:k

u(i,j,s+1)=u(i,j,s)+ff(s+1)*tt(s+1,i)*w(s+1,j) ;

end

end

end

uu=u(:,:,n); % % u=sum(u,3)

%u=u1+ff(2)*w(2,:)'*tt(2,:)+ff(3)*w(3,:)'*tt(3,:)+ff(4)*w(4,:)'*tt(4,:)+ff(5)*w(5,

:)'*tt(5,:)+ff(6)*w(6,:)'*tt(6,:)+ff(7)*w(7,:)'*tt(7,:)+ff(8)*w(8,:)'*tt(8,:)+ff(9

)*w(9,:)'*tt(9,:)+ff(10)*w(10,:)'*tt(10,:)+ff(11)*w(11,:)'*tt(11,:);

U=real(uu);

figure

[X,T] = meshgrid(xx,t); mesh(X,T,U);

%s=surf(X,T,U,'FaceAlpha',0.5)

% s.FaceColor='flat'

xlabel('x')

ylabel('t')

zlabel('U')

title('Solve')

colorbar

ПРИЛОЖЕНИЕ C

Программная реализация для неоднородного дифференциального уравнения с дробной производной.

clear all;clc;

al= 1.6

fi=@(x) (x-1)*x; %%?=fi (-x+1)*x (x-1)*x sin(2*pi*x) F=@(x) xA2;

nn=100; % pridel sumy Mitt m=80; %predel sum sobstven fun n=9; % kol-vo sobstven znacheniy k=100+1; %kol-vo resh h=1/(k-1); % shag xx=0:h:1;

len=length(xx);

tau=(1)/(k-1);

t=0:tau:1;

ll=zeros(n,1);

w=zeros(n,k);

u=zeros(k,k,n);

ff2=zeros(n,1);

ff1=zeros(n,1);

for p=nn:-1:1

g(nn-p+1)=1 /gamma(p *al); end

z=roots(g); l=sort(z); ll=l(1:n) % ll=l(3:n+2) syms x q lam tau

wx(x,lam)=xA(al-1)*symsum(((xA(al)*lam)Aq)/gamma(al+q*al),q,0, m); zx(x,lam)=(x-1 )A(al- 1)*symsum((((x-1 )A(al)*lam)Aq)/gamma(al+q*al),q,0, m); % w1=vpa(wx(xx,ll(2)),5) % wm1=vpa(wxm1(xx,ll(1)),5) for i=1:n for j=1:k

w(i,j)=double(vpa(wx(xx(j),ll(i)),4));

tt(i,j)=exp(ll(i)*t(j));

end

end

rw2=real(w(2,:));iw2=real(w(2,:));rw3=real(w(4,:));iw3=real(w(4,:));rw4=real(w(6 ,:

));iw4=real(w(6,:)); figure

subplot(2,1,1);

plot(xx,w(1,:),'k',xx,rw2,'-b',xx,rw3,'g-*',xx,rw4,'r-o')

xlabel('x'),ylabel('w')

legend('w1-?1','w2-?2','w3-?4','w4-?6')

title('Real'),grid on

subplot(2,1,2);

plot(xx,iw2,'-b',xx,iw3,'g-*',xx,iw4,'r-o') xlabel('x'),ylabel('w') legend('w2-?2','w3-?4','w4-?6') title('Imange'),grid on

f1 =fi(x)*(x-1 )A(al-1 )*symsum((((x-1 )A(al)*lam)Aq)/gamma(al+q*al),q,0, m); f1V=vpa(f1,4);

f2=(x-1 )A(al-1 )*symsum((((x-1 )A(al)*lam)Aq)/gamma(al+q*al),q,0, m)*xA(al1)*symsum(((xA(al)*lam)Aq)/gamma(al+q*al),q,0, m);

f2V=vpa(f2,4);

f3=F(x)*(x-1 )A(al-1 )* symsum((((x-1 )A(al)*lam)Aq)/gamma(al+q*al),q,0, m); f3V=vpa(f3,4);

ww=matlabFunction(f1V);zz=matlabFunction(f2V);wf=matlabFunction(f3V); for i=1:n

ff1 (i)=double(int(ww(x,ll(i)),0,1 )); ff2(i)=double(int(zz(x,ll(i)),0,1 )); ffF1 (i)=double(int(wf(x,ll(i)),0,1 )); fffi(i)=fï1(i)/fï2(i); ffF(i)=fïF 1 (i)/ff2(i);

ef(i)=vpa(int(exp(ll(i)*tau),tau,[0,1]),4); end % ff=ff1./ff2; ff=ffF.*ef+fffi; ff=vpa(ff,5) for i=1:k for j=1:k

u(i,j,1)=ff(1)*tt(1,i)*w(1,j); end end

% u1=real(u(:,:,1)); % figure

% [X,T] = meshgrid(xx,t); % s=mesh(X,T,u1) % % s.FaceColor='interp' % xlabel('x') % ylabel('t') % zlabel('u1') % title('Solve u1') % colorbar for s=1:n-1 for i=1:k for j=1:k

u(i,j ,s+1 )=u(i,j,s)+ff(s+1 )*tt(s+1 ,i)*w(s+ 1,j);

end

end

end

uu=u(:,:,n); % % u=sum(u,3)

%u=u1+ff(2)*w(2,:)'*tt(2,:)+ff(3)*w(3,:)'*tt(3,:)+ff(4)*w(4,:)'*tt(4,:)+ff(5)*w(5,

:)'*tt(5,:)+ff(6)*w(6,:)'*tt(6,:)+ff(7)*w(7,:)'*tt(7,:)+ff(8)*w(8,:)'*tt(8,:)+ff(9

)*w(9,:)'*tt(9,:)+ff(10)*w(10,:)'*tt(10,:)+ff(11)*w(11,:)'*tt(11,:);

U=real(uu);

figure

[X,T] = meshgrid(xx,t); mesh(X,T,U);

%s=surf(X,T,U,'FaceAlpha',0.5)

% s.FaceColor='flat'

xlabel('x')

ylabel('t')

zlabel('U')

title('Solve')

colorbar

ПРИЛОЖЕНИЕ D

Программная реализация для геометрической интерпретации матрицы

Tn-i(p).

function G=yadro(x,t,gm); if x<t

teta=0; else

teta=1; end

% G=((x-x.*t)Agm) -teta*((x-t)Agm);

G=(((x-x.*t).лgm) +((t-x.*t).лgm) - (abs(x-t)).лgm );

% G=(((x-x.*t).лgm) -((x-t))Agm); end

clc; clear;

gamma=0.5; % x=[0:0.001:1]; t=[0:0.001:1]; % t1=0.1; % t2=0.2; % t3=0.3; % t4=0.4; % t5=0.5; % t6=0.6; % t7=0.7; % t8=0.8; % t9=0.9;

x1=0.1; x2=0.2; x3=0.3; x4=0.4; x5=0.5; x6=0.6;

x7 x8 x9

=0.7; =0.8; =0.9;

y 1 =yadro2(t,x 1 ,gamma); y2=yadro2(t,x2,gamma); y3=yadro2(t,x3 ,gamma); y4=yadro2(t,x4,gamma); y5=yadro2(t,x5,gamma); y6=yadro2(t,x6,gamma); y7=yadro2(t,x7,gamma); y8=yadro2(t,x8,gamma); y9=yadro2(t,x9,gamma);

plot(t, y1, ,color',,red') hold on

plot(t, y2, ,color',,green') hold on

plot(t, y3, ,color',,black') hold on

plot(t, y4, ,color',,magenta') hold on

plot(t, y5, ,color',,blue') hold on

plot(t, y6, ,color',,magenta') hold on

plot(t, y7, ,color',,black') hold on

plot(t, y8, 'color','green') hold on

plot(t, y9, 'color','red') hold on grid on

% [x,t]=meshgrid(x,t); % plot3(x,t,yadro1(x,t,gamma))

Р©(ОШ®(ОЖАЯ ФВДШРАЩШШ

жжжжжж

ж ж ж

ж ж ж

ж ж ж ж ж ж

ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

ж

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2023685331

Прогнозирование и расчет различных потоков (в частности транспортных) с помощью дробной диффузии

Правообладатель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ)» (КЦ

Авторы: Алероев Мухамед Тимерханович (Яи), Яшина Марина Викторовна (Яи)

Заявка № 2023685261

Дата поступления 27 ноября 2023 г.

Дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 27 ноября 2023 г.

Руководитель Федеральной службы по интеллектуальной собственности

¿¿.Л/"-

ДОКУМЕНТ ПОДПИСАН ЭЛЕКТРОННОЙ подписью Сертификат 429b6a0fe3&53164baf9бf83b73b4aa7 Владелец Зубов Юрий Сергеевич

Действителен с 10.05.2023 по 02.08.2024

Ю.С. Зубов

жж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

ж ж ж

ж ж ж ж ж ж ж ж ж

ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

¡жжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжж