Методы и алгоритмы исследования оптимизационных моделей распределения источников тепла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Осипов, Олег Васильевич

• Осипов, Олег Васильевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Осипов, Олег Васильевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Методы и алгоритмы исследования оптимизационной модели распределения плотности источников тепла в однородной неподвижной среде

1.1. Построение и преобразование оптимизационной модели. Конечномерная аппроксимация и её регулярность по функционалу

1.2. Оптимизационная модель в одномерном случае. Алгоритм нахождения обменной матрицы с помощью функции Грина и

численными методами

1.3. Двумерная модель. Алгоритм построения конечно-разностной схемы для решения прямой задачи теплопроводности

1.4. Алгоритм построения конечно-разностной схемы для решения прямой задачи теплопроводности в трёхмерном случае

1.5. Численное исследование оптимизационной модели. Результаты вычислительных экспериментов

Глава 2. Методы и алгоритмы исследования оптимизационной модели распределения плотности источников тепла в неоднородной неподвижной среде

2.1. Оптимизационная модель, её конечномерная аппроксимация и регулярность по функционалу

2.2. Одномерная модель. Алгоритм численного решения прямой задачи теплопроводности на отрезке

2.3. Двумерная модель

2.4. Трёхмерная модель

2.5. Результаты вычислительных экспериментов

Глава 3. Методы и алгоритмы исследования оптимизационной модели распределения плотности источников тепла в одно-

родной движущейся среде

3.1. Формулировка и преобразование краевой задачи установившегося теплообмена

3.2. Построение оптимизационной модели распределения плотности источников тепла в движущейся среде

3.3. Конечномерная аппроксимация оптимизационной модели

3.4. Регулярность конечномерной аппроксимации по функционалу

3.5. Алгоритм построения конечно-разностной схемы для вычисления поля скоростей

3.6. Алгоритм нахождения элементов обменной матрицы а^

3.7. Численное исследование оптимизационной модели. Результаты вычислительных экспериментов

к, Глава 4. Описание программно-инструментального комплекса

HeatCore

4.1. Технические характеристики HeatCore

4.2. Используемые обозначения

4.3. Основы работы в HeatCore

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы исследования оптимизационных моделей распределения источников тепла»

Введение

Одним из видов объектов, широко распространённых в различных областях человеческой деятельности, являются системы источников тепла в области пространства, находящейся в состоянии стационарного теплового баланса с окружающей средой. При математическом моделировании таких систем [38, 41, 49, 54, 72, 85, 87, 88, 92, 93] часто возникает связанная с ресурсосберегающими технологиями инженерная задача об оптимальном распределении источников тепловых полей. Эта задача всегда была актуальной при проектировании в строительстве, металлургии и других областях техники и технологий. Она имеет ряд постановок, которые различаются критериями оптимизации. По сути, здесь имеется целый ряд задач, различных как по постановке, так и по методам решения. Эти задачи стоят в ряду более общих по прикладному содержанию задач оптимального выбора источников физических полей [36, 58, 78, 80, 81, 82, 83, 100, 101, 102].

В типичной постановке задача об оптимальном выборе источников тепловых нолей состоит в таком выборе распределения источников, при котором создаваемое ими температурное поле наименьшим образом отличается от заданного. В качестве критерия оптимизации здесь обычно выступает квадратичный функционал [3, 4, 5, 53, 56, 70, 98]. С математической точки зрения эта задача относится к задачам оптимального управления [1, 7, 9, 11, 15, 16, 20, 29, 32, 39, 40, 43, 44, 67, 69, 94] для эллиптических краевых задач. Существование решений и общие свойства подобных задач для квадратичных целевых функционалов, а также приближённые методы их решения изучались рядом авторов (см. [55, 68, 76, 84, 89, 90, 95] и приведённую там библиографию). Эту задачу можно отнести также к обратным задачам теплопроводности (ОЗТ), методы приближённого решения которых рассмотрены в [33, 46, 48, 50, 61, 73, 86, 104, 106, 108, 110, 114]. Однако и здесь речь идет, в основном, о квадратичном целевом функционале.

На практике при оптимальной организации обогрева помещений, теплиц и т.д. естественно стремиться получить не заданное температурное поле, а обеспечить некоторый температурный коридор при минимальных энергетических затратах. В настоящей работе и рассматривается задача отыскания такого распределения плотности источников тепла, которое обеспечивает заданный температурный режим при минимальной суммарной мощности этих источников. Такая задача возникает при оптимальной организации обогрева жилых и производственных помещений [2, 13, 14, 18, 22, 23, 47], при необходимости поддержания заданного температурного режима в однородных и неоднородных твёрдых телах [30, 35, 65, 79, 113] и т.д. При численном решении этой задачи возникает ряд трудностей, и до последнего времени в полном объёме она практически не рассматривалась. Целевой функционал здесь является линейным и в силу отсутствия у него свойства коэрцитивности возникают значительные трудности в установлении существования точного решения. Вообще говоря, точного решения этой задачи может не существовать. В настоящей работе постановка задачи уточняется и вводится так называемое квазирешение, которое с прикладной точки зрения вполне приемлемо. В диссертации предлагается способ конечномерной аппроксимации задачи, на основании которого разрабатываются основные алгоритмы, и создается методика приближённого нахождения квазирешения. Эти аппроксимации образуют последовательность задач линейного программирования и, как показано в диссертации, эта последовательность обладает особым свойством регулярности по функционалу. Это свойство обеспечивает принципиальную возможность приближённого нахождения квазирешения. Однако для основных алгоритмов отсутствуют теоретические оценки необходимого количества операций. Поэтому эффективность этих алгоритмов далеко не очевидна и требует подтверждения в ходе вычислительных экспериментов. В ходе исследования разработан программно-инструментальный комплекс Неа^оге, с помощью которого выполнены вычислительные эксперименты, свидетель-

ствующие о достаточной эффективности основных алгоритмов и всей методики в целом. Большое внимание уделено разработке эффективных алгоритмов для решения 3-мерных задач, поскольку для их решения требуется большое количество машинного времени.

Целью диссертационной работы является исследование новых оптимизационных моделей распределения источников тепла и разработка методов и алгоритмов оптимизации распределения источников тепла по критерию минимальности их суммарной мощности.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Для оптимизационных моделей распределения источников тепла предложить и обосновать аппроксимацию задач оптимального распределения плотности источников тепла (ОРПИТ) в виде задач линейного программирования.

2. Разработать методы и алгоритмы приближённого решения задач ОРПИТ для следующих сред: однородная неподвижная среда, неоднородная неподвижная среда, однородная движущаяся среда.

3. Создать программно-инструментальный комплекс для проведения численных экспериментов и проверить с его помощью эффективность разработанной методики нахождения ОРПИТ.

Объектом исследования является стандартная модель стационарного теплообмена, на основе которой строится оптимизационная модель и решается задача оптимального распределения плотности источников тепла.

Предметом исследования является оптимизационная модель, для которой разрабатываются методы и алгоритмы оптимизации распределения источников тепла.

Методы исследования. В работе используются методы теории эллиптических краевых задач, функционального анализа, линейного программирования и конечно-разностные методы приближённого решения

краевых задач. Для решения возникающих систем линейных уравнений применялись итерационные методы, адаптированные для работы с разрежёнными матрицами больших размерностей. Созданный на языке С# программно-инструментальный комплекс использует библиотеки OpenGL и Microsoft XNA для визуализации результатов численных экспериментов.

Достоверность результатов проведённого исследования. В работе проведено теоретическое исследование задачи оптимального распределения плотности источников тепла, на основании которого разработаны алгоритмы численного решения этой задачи и создан комплекс программ, реализующих эти алгоритмы. Численное экспериментирование подтвердило корректность и эффективность разработанных алгоритмов.

Научная новизна.

1. Для оптимизационных моделей распределения источников тепла введено понятие квазирешения задач ОРПИТ в новой формулировке, построены последовательности конечномерных аппроксимаций таких задач и установлена их регулярность по функционалу.

2. Разработаны новые методы и алгоритмы нахождения квазирешения задач ОРПИТ, основанные на сведении исходной задачи к задаче линейного программирования.

3. С помощью созданного в диссертационном исследовании программного комплекса экспериментально установлена достаточно быстрая стабилизация минимальных значений целевых функций задач ОРПИТ в широком диапазоне основных параметров оптимизационных моделей.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Исследование оптимизационных моделей распределения источников тепла. Построение последовательности конечномерных аппроксимаций для задачи ОРПИТ и установление их регулярности по функционалу.

2. Методы и алгоритмы численного решения задачи нахождения л ОРПИТ путём построения конечномерных аппроксимаций в виде последовательности задач линейного программирования.

3. Программно-инструментальный комплекс для численного решения задачи нахождения ОРПИТ в одномерном, двумерном и трёхмерном случаях с возможностью графической визуализации результатов вычислений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней поставлена новая задача нахождения оптимального распределения плотности источников тепла и разработан метод её решения. В перспективе, предложенные алгоритмы можно использовать при разработке расширений для САЕ-систем. На практике программный комплекс может быть использован для синтеза оптимальных систем обогрева жилых и производственных помещений (теплиц и т.д.).

Область исследования. Содержание диссертации соответствует пас-

ч»

1

порту специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по следующим областям исследований:

п.2. Развитие качественных и приближённых аналитических методов исследования математических моделей.

п.З. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

н.4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научных конференциях: XXIV Международная научная конференция — «Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-24)» (Национальный ' ^ технический ун-т Украины «КПИ», г. Киев, 2011 г.); Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных урав-

нениях и теории чисел» (ИПК НИУ «БелГУ», г. Белгород, 2011 г.); Между-^ народная молодёжная конференция «Прикладная математика, управление и информатика» (ИПК НИУ «БелГУ», г. Белгород, 2012 г.); XXV Международная научная конференция — «Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-25)» (Национальный технический ун-т «ХПИ», г. Харьков, 2012 г.); Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (ИПК НИУ «БелГУ», г. Белгород, 2013 г.); VIII Международная научно-практическая конференция «Инновационное развитие: физико-математические и технические науки» (г. Москва, август 2014); а также на семинарах Орловского государственного университета, Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова, НИУ «БелГУ».

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 9 публикациях, 3 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК. В результате работы над диссертацией создан ряд программ для ЭВМ, три из которых получили государствен ну ю регистращ i ю.

Работа использует модель стационарного теплообмена [71, 109], основанную на ряде предположений, определяющих условия, при которых решается наша задача. Существует три механизма распространения тепла: теплопередача посредством межмолекулярных взаимодействий (теплопроводность), конвекция и излучение. Труднее всего моделируется свободная конвекция, возникающая в гравитационном поле. В работе рассматриваются только стационарные тепловые процессы, в которых свободной конвекцией, как правило, можно пренебречь. Теплообмен электромагнитным излучением играет существенную роль при температурах, превышающих 500 °С, и мы его также не учитываем. Теплопроводность описывается законом Фурье q = —>íVT, связывающим вектор плотности потока тепла q с градиентом температуры Т. Здесь я — коэффициент теплопроводности, являющийся характеристикой ,ti} вещества, заполняющего некоторую область. Из закона Фурье следует (см., например, [57, с. 7]), что температурное поле Т(х) в области, заполненной

неподвижной средой, удовлетворяет стационарному уравнению теплопроводности V • (хУТ) — /(х) = 0, где /(х) — плотность мощности источников тепла, находящихся в области. Аналогичное уравнение справедливо при наличии вынужденной конвекции среды (см. ниже параграф 3.1).

Теплообмен с окружающей средой описывается законом Ныотона-Рихмана С} = ^{х){Т{х) — Хо)Д5 [45, с. 26], который выражает величину теплового потока ф через элемент границы (стенки) области площадью Д& около точки х с разностью между температурой стенки Т{х) и температурой окружающей среды То- Величину ¡¿(х) называют коэффициентом теплоотдачи в окружающую среду. Закон Ныотона-Рихмана совместно с законом Фурье и предположением, что температура стенки совпадает с температурой

внутренней среды у этой стенки, приводят к следующему краевому усло-дТ

вию —Ь сх{х)(Т — То) — 0 для температурного поля Т(х), справедливому на границе области. Здесь х ~ коэффициент температуропроводности, X = х/(рс), р — плотность среды, с — её удельная теплоемкость. Величину а(х) мы в дальнейшем называем коэффициентом теплопередачи через границу [103]. В случае, когда среда внутри области жидкая или газообразная, тепловое взаимодействие с твердой стенкой является довольно сложным. В частности, предположение о том, что температура стенки совпадает с температурой внутренней среды у этой стенки нельзя считать справедливым. Тем не менее, краевое условие можно считать выполненным при соответствующем выборе коэффициента теплопередачи а (ж). Все трудности в описании теплоотдачи в окружающую среду можно перенести на определение коэффициента теплопередачи а(х) (см., например, [96, с. 40]). В дальнейшем мы считаем, что температурное поле Т{х) внутренней среды удовлетворяет стационарному уравнению теплопроводности и краевому условию третьего рода, приведенному выше. Для однородной среды в основном уравнении теплопроводности удобно использовать только коэффициент температуропроводности X, поскольку при этом плотность мощности источников можно считать изме-

ряющейся в особой системе единиц, в которой рс = 1. Теперь можно перейти к формулировке оптимизационной задачи.

В главах 1 и 2 рассматриваются оптимизационные модели распределения плотности источников тепла в неподвижной среде [24, 25, 26]. В ограниченной связной области D С Rm требуется определить функцию f(x) ^ О, доставляющую минимум линейному функционалу:

J{f} = J Ж) dVm min, (1)

d

при следующих условиях

V • (xVu) + / = О,

' ди

(2)

= 0,

dd

М(х) ^ и(х) + То ^ т(х), (3)

где и(х) = Т{х) — То — разница между температурой внутри D и температурой То окружающей среды, а — функция теплопередачи через границу 3D во внешнюю среду, >с{х) > 0 — теплопроводность среды, т(х), М{х) — задаваемые в области D минимальный и максимальный профили температур, которые считаются непрерывными функциями. Плотность источников тепла f(x) считается принадлежащей пространству L<2{D) квадратично интегрируемых функций. В первой главе рассматривается модель с постоянной теплопроводностью среды (я(х) = const), а во второй главе этот коэффициент считается заданной функцией от х.

Обозначим через 7 нижнюю границу значений функционала «/{/}, когда f(x) пробегает множество неотрицательных функций из L/2(D), удовлетворяющих условиям (2), (3).

Определение 1. Квазирешением оптимизационной задачи (1)-(3) при данном допуске е > 0 назовем такую функцию fo(x) ^ 0 из ¿2(D), удо-^ влетворяющую ограничениям (2), (3), для которой выполняется неравенство

Приемлемость квазирешения определяется малостью е. Ниже излагается метод численного нахождения квазирешения при заданном е > 0. Предположим, что существуют такие положительные числа с*о и Jo, Для которых выполнены неравенства к{х) ^ ао (х £ D), ß(x) ^ öo (х е OD), где ß(x) = а(х)/х{х). Тогда оператор Lu = —V • (>cS7u) с краевым условием (du/dn + ßu) \dD= 0 будет самосопряжённым, положительно определённым в Z/2 а значит, он имеет ограниченный обратный оператор G = [60]. С его помощью можно переформулировать задачу (1)-(3) как задачу на минимум функционала (1) при следующих условиях на плотность источников:

/(f) е L2(D); М(х) - То ^ (Gf)(x) > т(х) - Т0. (4)

Построим конечномерную аппроксимацию задачи (1), (4) в виде задачи линейного программирования. Разобьём область D на п частей < D = (J Dj V. Определим подпространство Sn(D) С S(D) кусочно-постоянных функций вида f(x) = fj, х Е Dj (j — 1, 2,..., n). Введём в Sn(D) базис, состоящий из функций ej(x) = 1, х Е Dj,

п

и Gj(x) = 0, х £ Dj. Тогда f(x) = Введём обозначе-

5=1

ния dij = (Gej,Ci), (m(x) - Т0, е*(ж)) = (М(х) - Т0, е*(ж)) = h, где (•, •) — скалярное произведение в L2(D). Подставляя выражение

для /(ж) в (1) и умножая скалярно в L,2(D) неравенства в (4) на е^-(ж), получаем задачу линейного программирования

п

Jn{f} = ^(mesDj)fj ->• min,

(5)

а» < ^ bi' /г^О (г = 1,2,... ,n).

3=1

Для выяснения связи между задачами (1)-(3) и (5) последнюю обозначим через Zo(n). Рассмотрим последовательность задач Zo(n), отвечающую такой последовательности разбиений области D, что п —» оо. Назовем эту последовательность конечномерной аппроксимацией задачи (1)-(3). Обозначим

через (Jn)min — минимальное значение целевой функции задачи Zo(n).

Определение 2. Конечномерную аппроксимацию последовательности задач Zo(n) назовем регулярной по функционалу, если справедливо неравенство

lim (Jn)min ^ 7,

п—>оо

где 7 — число, фигурирующее в определении 1.

В главах 1 и 3 показано, что при т^Зи условиях

1) т(х) - Т0 ^ ¿о > 0; 2) lim max(diamA) = 0 (6)

n—too j

конечномерная аппроксимация является регулярной ио функционалу.

При наличии регулярности по функционалу и условии 2) решение

71

f(%)=Ylfjej{%) конечномерной задачи Z${n) при достаточно большом п з=1

можно считать приближённым квазирешением. Действительно, система ограничений в (5) означает, что неравенства (4) удовлетворяются в среднем но Dj. При этом значение (Jn)mm при достаточно больших п не превосходит 7 + е.

Самым трудным с вычислительной точки зрения является нахождение элементов матрицы aij = (Gej,ei), которую мы в дальнейшем называем обменной матрицей. Оператор G — интегральный оператор, ядро которого является функцией Грина краевой задачи (2). Построение обменной матрицы для одномерной модели (т = 1) не вызывает затруднений, т.к. функция Грина может быть получена в явном виде, и поэтому элементы а^ можно вычислять аналитически. При т > 1 элементы обменной матрицы а^ находятся только численно с использованием консервативных конечно-разностных схем [75] на прямоугольных сетках. Построение а^ в этом случае эквивалентно решению п прямых задач теплопроводности. При этом численно находится функция Uj = Gej, которая является решением краевой задачи (2) с / = ej, а затем численным интегрированием определяются элементы ац. Построенную задачу (5) можно решить симилекс-методом, или одним из методов внутренних точек. В одномерном случае реализованы оба алгоритма

построения йц — численный и аналитический. Эти алгоритмы при моделировании дают одинаковый результат, что позволяет сделать предположение о применимости численного способа для нахождения обменной матрицы и в многомерном случае.

Замечание 1. Для оценки результатов приближённого решения задачи (1)-(3) весьма полезным является следующее неравенство (см. главу 1, замечание 1)

Для численного решения рассматриваемых задач создан программно-инструментальный комплекс НеаЮоге, написанный на языках С#/С++. Для построения конечно-разностной схемы область П, имеющая форму параллелепипеда в Ят, разбивается на ячейки Dj, которые считаются одинаковыми объектами: отрезками при т = 1, прямоугольниками при т = 2 и параллелепипедами при т = 3. В дальнейшем считается, что ячейки возникают в результате разрезания области В точками (га = 1), двумя семействами параллельных сторонам I) прямых (т = 2) или тремя аналогичными семействами плоскостей (га = 3). На рис. 1.5 приведена блок-схема алгоритма решения га-мерной задачи с использованием численного метода нахождения обменной матрицы.

В главах 1,2 проведён ряд численных экспериментов с различными параметрами среды, профилями температур и другими входными данными для областей различных форм и размерностей. Наблюдалась сравнительно быстрая устойчивая стабилизация минимальных значений целевых функций (Лг)лип с ростом числа разбиений тг при дискретизации области, которая отражена на графиках (рис. 2а, 1.10, 2.5). Устойчивость стабилизации подтверждается тем, что, к примеру, при п > 1000 в проведённых экспериментах значение {Зп)тт стабилизируется с погрешностью до 2% от 7. Произведено сравнение случайного и оптимального распределений источников (рис. 1.6,

(7)

2.2, 2.4). Выигрыш в мощности источников зависит, конечно, от параметров среды и формы области, но в проведённых численных экспериментах эта экономия составляет более 14% для однородной среды (рис. 1.6) и около 30% для неоднородной (рис. 2.4). Установлено, что чем более неоднородной является среда, тем больший выигрыш возможно получить, используя предложенный алгоритм. В одномерном случае удаётся получить точные решения и продемонстрировать, что задача имеет несколько оптимальных решений (рис. 1.7). Оптимальное распределение источников тепла имеет характерные особенности: источники располагаются преимущественно вдоль границ области И с внешней средой (рис. 1.9). Причём их интенсивность выше вдоль границ с большим значением коэффициента теплопередачи а.

Замечание 2. Если при т = 1 или т = 2 необходимо учитывать боковой теплообмен, уравнение стационарной теплопроводности приобретает вид: V • (х^и) — Ьи + / = 0 [10, с. 151], где Ъ{х) — коэффициент бокового теплообмена стержня (га = 1) или мембраны (т = 2) с внешней средой. Оператор Ьи = — V • {нЧи) + Ьи положительно определён и имеет ограниченный обратный оператор [60], поэтому разработанные алгоритмы можно применять для решения задачи, учитывающей боковой теплообмен. В работе считается, что боковая поверхность теплоизолирована (Ь = 0).

В главе 3 рассматривается модель движущейся однородной среды [27]. Полный учет конвекции приводит к очень сложной задаче, поэтому ниже поле скоростей среды и(х) в области предполагается фиксированным. Тем самым учитывается лишь искусственно создаваемая конвекция. Свободная конвекция в рассматриваемом стационарном процессе по-прежнему считается несущественной. Разобьём границу области И на три части дИ = Г+ и Го и Г_, где Г+ — часть границы, которая является входом среды в область £), Г_ — часть границы, являющейся выходом (стоком) среды, а Го — часть

непроницаемой для среды границы. Справедливы следующие соотношения:

v) |Го= О, (Я, V) |г_> 0, (та, и) |г+< О,

где п — единичный вектор внешней нормали к границе 3D. Последнее из этих трех условий означает, что в область D поступает вещество из внешней среды с температурой Го. В дальнейшем мы предполагаем, что в нашем процессе присутствует поток тепла через непроницаемую для среды границу, равный а(х) ■ и(х) (х Е Го), где а(х) > О — коэффициент теплопередачи через Го-Рассмотрим задачу на минимум функционала J{f} (1) при следующих условиях на плотность источников

ХАи — V • (уи) + / = 0, xeD, (8)

/

(х(п, Vu) + оси) |Го= О,

< (n,Vu) |г_=0, (9)

(х(п, Vu) - (та, v)u) |г = О,

k +

М{х) - Т0 ^ и(х) > т(х) - То, при х 6 D; /(£) > 0, при х G D, (10)

где х ~ коэффициент температуропроводности среды, который считается константой, v{x) — поле скоростей среды, которое предполагается известным, подчиненным условию divz7 = 0 и потенциальным. Температурный режим (10) задается в некоторой подобласти D С D, которая в дальнейшем называется областью контроля температуры. В случае неподвижной среды считалось, что D = D. Вообще говоря, при постановке задачи (1)-(3) тоже можно требовать выполнение неравенств (3) лишь в области D С D, однако при D ф D теряется возможность оценки (7). Для задачи (1), (8)—(10) имеет смысл понятие квазирешения, приближённое нахождение которого можно произвести, построив конечномерную аппроксимацию. Последнее требует преобразования краевой задачи (8)—(10), которое аналогично калибровочному преобразованию в электродинамике и использует потенциал (р(х) поля скоростей и{х).

Отметим, что потенциал <р{х) является решением следующей краевой задачи

где положительные функции 51 (ж*), ,в2(х) считаются известными и удовлетворяющими условию

J J (12)

<9Г_ ЗГ+

которое означает, что приток среды в область Б равняется величине стока. Эта краевая задача Неймана имеет множество решений, отличающихся постоянным слагаемым. Для выделения единственного решения [60, стр. 126] будем считать выполненным еще одно условие

/

в

ф{х)<1Ут = 0.

(13)

Преобразуем краевую задачу (8)—(10), вводя новую неизвестную функцию ги(х) следующим образом и = теПодставляя это выражение в (8) и учитывая, что и(х) = Уср(х), А(р(х) = 0, получим следующую краевую задачу

- + (ГУИ2/(4Х))и; = х е £>; +

<гт

= 0> (14)

дв

где

<т(х)

<*(?)/х, X е Г0; 1

——х € Г_; 2%

1

—52(ж), х € Г+.

I 2Х

Оператор Ьги = — хАг^-Ь (|У<£>|2/(4х))^, действующий в пространстве ¿2(1)) на достаточно гладкие функции подчиненные краевым условиям (14),

является самосопряжённым и положительно определённым, а поэтому имеет ограниченный обратный оператор ги = Ср, определенный на Ь2(^)- Поэтому

мы можем переформулировать оптимизационную задачу (1), (8)—(10) следующим образом

j{g} = J e^/i2x)g(x)dV min,

d

в2{х) > Gg(x) > 9i(x), при x G D; g(x) £ L2(D),g(x) ^ 0, при x e D,

где

g(x) = f{x)e~^2^-,ei(f) = (m(x) - T0)e~v^/{2x\

62(x) = (M(x) - Toje"^/^.

Теперь можно построить конечномерную аппроксимацию этой задачи, рассматривая разбиение области D на части и вводя кусочно-постоянные

п

функции д(х) — gjßj(x). Разбиение области D мы считаем и разбиениях

ем области D С D, т.е. при некотором натуральном р справедливо равенство р

D— (J Di. Как и выше, введём обозначения

г=1

а

ij = (Gej, ei), üi = (6i,ef), = (02>е»)-

Заменяя класс функций Ь2(Б) подпространством ¿>„(1)), умножая ска-лярно ограничения на базисные функции еДж), получаем конечномерную аппроксимацию г0(п) задачи

п

Jn(g) = сздэ min'

„ ^ (15)

щ ^ aij9j ^ bi, # >0 (г = 1,2,... ,р).

j=i

Здесь Cj- = f e^/^dV.

dj

В главе 3 показано, что конечномерная аппроксимация Zq(ti) при выполнении условий (6) является регулярной по функционалу. А это означает, что при достаточно большом п решение этой задачи линейного программирования доставляет приближённое квазирешение задачи для движущейся среды.

Таким образом, построение задачи (15) позволяет найти приближённое квазирешение. Численное построение этой задачи начинается с решения краевой задачи для определения потенциала <р(х). Самым трудным при построении задачи (15) является нахождение обменной матрицы ац = (С?е7-,ег), поскольку оператор С явно не задан. Определение этой матрицы равносильно нахождению функций г^- = Се^-, которые являются решениями уравнений —хДги-Ь (|У(,с|2/(4х))г^ = е^ при краевых условиях (14). Эти краевые задачи также решаются численно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Осипов, Олег Васильевич, 2014 год

Литература

1. Агошков В.И. Методы оптимального управления и сопряжённых уравнений в задачах математической физики. — М.: ИВМ РАН, 2003. 256 с.

2. Алёшина Е.С. Динамические свойства теплиц как объектов управления // Математические модели, средства вычислительной и преобразовательной техники в электрификации и автоматизации сельскохозяйственного производства: Тр. ВСХИЗО. - М., 1990. - С.103-109.

3. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. — М.: Машиностроение, 1988. - 280 с.

4. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. — М.: Наука, 1988. — 286 с.

5. Алифанов О.М., Михайлов В.В. Решение обратной задачи теплопроводности итерационными методами. — ИФЖ, 1978, т.35, №6, — С. 1123-1129.

6. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 е.: ил.

7. Андреев Н.И. Теория статистически оптимальных систем управления.

- М.: Наука, 1980. - 416 с.

8. Андреев C.B., Галактионов В.А., Денисов Е.Ю., Кирилов Н.Е. Синтез фотореалистичных трёхмерных изображений в современных системах презентаций // Программные продукты и системы, №3, 2007,

- С. 37-40.

9. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами.

- М.: Наука, 1976. - 424 с.

10. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1969. - 288 с.

11. Бакушинский A.B., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1989. — 198 с.

12. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой размерности: Учеб. пособие. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. . 13. Беликов Ю.М. Автоматизация управления микроклиматом в тепличных комбинатах // Техника в сельском хозяйстве. — 1984. — №1. — С. 26-29.

14. Беликов Ю.М., Стеценко H.A. Регулирование температуры воздуха в теплицах с учётом естественной освещённости // Механизация и электрификация социалистического сельского хозяйства. 1979. — №12.

- С. 7-8.

15. Беллман Р. Динамическое программирование / Пер с англ. — М.: Изд-во иностр. лит., 1960. — 230 с.

16. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. М.: Наука, 1966.

- 458 с.

17. Белозеров А.Ф. Оптические методы визуализации газовых потоков. Казань, Изд.КГТУ, 2007, 747 с.

18. Беляев Г.Б., Кузищин В.Ф., Смирнов Н.И. Технические средства автоматизации в теплоэнергетике. М.: Энергоиздат, 1982. — 320 с.

19. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. М., 1966 г., 736 стр. с илл.

20. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами.

- М.: Наука, 1973. - 446 с.

21. Бондарев А.Е., Бондарев E.H. Функции визуализации в вычислительной аэрогазодинамике // Общероссийский научно-технический журнал «Полет», Москва, «Машиностроение», №10, 2000, — С. 53-60.

22. Бондаренко С.П., Бондарь В.А. Дополнительный электрообогрев в блочных теплицах // Механизация и электрификация сельского хозяйства. 1985. - № 4, - С. 50-52.

23. Бондарь В.А. Исследование температурных полей и устранение краевого температурного эффекта с помощью дополнительного электрообогрева

в зимних блочных теплицах: Автореф. дис. канд. техн. наук. Киев, 1982.

- 18 с.

24. Брусенцев А.Г., Брусенцева B.C. Задача об оптимальном выборе источников тепла // Сб. трудов XXIII международной конференции «Математические методы в технике и технологиях». — 2010. — Т.2. — С. 43-46.

25. Брусенцев А.Г., Осипов О.В. Приближённое решение задачи об оптимальном выборе источников тепла // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2012. - №5 (124). Выпуск 26. — С. 60-69.

26. Брусенцев А.Г., Осипов О.В. Численное исследование задачи об оптимальном выборе источников тепла // Сборник трудов XXIV международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-24), Саратов. - 2011. - Т.2. - С. 33-34.

27. Брусенцев А.Г., Осипов О.В. Оптимальный выбор источников тепла при наличии конвекции // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика.

- 2013. - №26 (169). Выпуск 33. - С. 64-82.

28. Брусенцев А.Г., Петрашёв В.И., Рязанов Ю.Д. Исследование операций и теория игр: учеб. пособие. — Белгород: Изд-во БГТУ, 2012. — 258 с.

29. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.

30. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Управление нагревом металла // М.: Металлургия, 1972. 439 с.

31. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М., Физматгиз, 1963 г., 708 стр. с илл.

32. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1980. — 520 с.

33. Гинкул С.И., Соколов А.К. О решении обратной задачи теплопроводности дискретным удовлетворением краевых условий // Математическое моделирование и оптимизация процессов тепломассообмена в установках пром. теплоэнерг. Иваново, 1983 — С. 51-54.

34. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400 с.

35. Голубь H.H. Оптимальное управление процессом нагрева массивных тел с внутренними источниками тепла // Автоматика и телемеханика, 1967, №12. - С. 76-87.

36. Грудзинский М.М., Прижижецкий С.И., Грановский B.JI. Энергоэффективные системы отопления // АВОК. 1999. — №6.

37. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и приложения.

- М.: Прогресс, 1966. — 600 с.

38. Дульнев Г.Н., Парфёнов В.Г., Сигалов A.B. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена: Учеб. пособие для теплофизич. и теплоэнерге-тич. спец. вузов. М.: Высш. шк., 1990. — 207 с. : ил. — (ЭВМ в техническом вузе).

39. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. — 464 с.

40. Егоров А.И., Рафатов P.P. Математические методы оптимизации процессов теплопроводности и диффузии. Фрунзе: Изд-во «Илим», 1990,

- 377 с.

41. Елизарова, Т.Г. Применение многопроцессорных транспьютерных систем для решения задач математической физики / Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин // Математическое моделирование. — 1992. — Т. 4, №11.

- С. 75-100.

42. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П., Царенко Т.П. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления // Киев, Наукова Думка, 1978. 164 с.

43. Ефремов, Александр Александрович. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02, Челябинск, 1996.

44. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978. — 208 с.

45. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. — М.: Наука, 1964.

- 488 с.

46. Коздоба JI.A. Круковский П.Г. Методы решения обратных задач тепло-переноса. — Киев: Наукова думка, 1985, 359 с.

47. Кокорин О.Я. Энергосберегающие технологии функционирования систем отопления, вентиляции, кондиционирования воздуха. М.: 1999. 205 с.

48. Колесникова Н.Ю. Оптимальный метод решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Наука ЮУрГУ: материалы 60-й юбилейной научной конференции. Челябинск : Изд-во ЮУрГУ. 2008. Т. 2.

- С. 138-140.

49. Коломейцева М.Б. Применение численных методов при решении задач оптимального управления объектами нагрева // Изв. вузов. Энергетика, 1985, т. - С. 76-81.

50. Косарев А. А., Миловская JI. С., Черпаков П. В. Моделирование обратных задач теплопроводности с подвижными границами фазовых переходов // Инженерно-физический журнал, 1984, №6. — С. 1004-1008.

51. Краснов M. OpenGL графика в проектах Delphi.

52. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко A.B. Математическое программирование. — М.: Высш. шк., 1980. — 371 с.

53. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. 1969. 66 с.

54. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

55. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир. — 1972. — 412 с.

56. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики.

- М.: Наука, 1975. 480 с.

57. Лыков A.B. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967, 599 с.

58. Малый С.А. Экономичный нагрев металла // М.: Металлургия, 1967. 191 с.

59. Миснар А. Теплопроводность твёрдых тел, жидкостей, газов и их композиций. — М.: Мир, 1968, 464 с.

60. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970.

61. Мишин В.П., Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена — области применения при проектировании и испытаниях технических объектов.

62. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Фёдоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. — М: Высш. шк., 1986. — 314 с.

63. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — Издательство «Платон», 1997.

64. Нестеров И.А. Интерактивная визуализация векторных полей на распределенных вычислительных системах // Математическое моделирование, 2008, Т.20, №6, - С. 3-14.

65. Оськин А.Ф., Павлов Н А. К вопросу оптимизации режима нагрева заготовок прямоугольной формы // Изв. ЛЭТИ, 1973. выи. 114. — С. 46-52.

66. Писсанецки С. Технология разрежённых матриц. — М.: Мир, 1988.

67. Плеханова, Марина Васильевна. Оптимальное управление распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Челябинск, 2006 г.

68. Плотников В.И. Об одной задаче оптимального управления стационарными системами с распределенными параметрами // ДАН СССР, т. 170, т. (1966).

69. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе и др. // М.: Наука, 1969. 464 с.

70. Райтум У.Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений: математические вопросы. Латвийский гос. ордена Трудового Красного Знамени ун-т им. П. Стучки. — Рига: Зигатне, 1989. — 274 с.

71. Рихтмайер Р. Звук и теплопроводность // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. — Новосибирск: Паука, 1966.

- С. 183-185.

72. Русяк И.Г., Вологдин C.B., Королев СЛ., Машкин С.Д. Математическое моделирование некоторых задач теплоснабжения и энергосбережения // Вестник ИжГТУ. - 2003. Вып.1. - С. 13-22.

73. Самаров Ш. Ш. Решение обратной задачи теплопроводности в ограниченной среде // Материалы Междун. научной конференции. — Худжанд.

- 2003. - С. 137-138.

74. Самарский A.A. Теория разностных схем. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977. — 656 с.

75. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики // Фундаментальные основы математического моделирования. Москва: Наука, 1997. — С.5-97.

76. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — М.: Наука, 1968.

77. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1966. — 444 с.

78. Солдатов В.В. Энергосберегающее управление обогревом теплиц // Математические модели, средства вычислительной техники в электрификации и автоматизации сельскохозяйственного производства: Тр. ВСХИ-30. М.: Изд-во ВСХИЗО, 1990. - С. 88-103.

79. Спокойный Ю.Е., Мироненко Ю.П. Исследование влияния конструктивных характеристик на тепловой режим плоскости микроэлектронной аппаратуры с естественным охлаждением // Вопросы радиоэлектроники. Сер. ТРТО, 1972, вып. 2, - С.43-50.

80. Стоян Ю.Г., Путятин В.П. Об оптимизации температурного поля в задаче размещения дискретных источников энергии. — Пробл. машиностроения, 1977, вып. 4, - С. 67-70.

81. Стоян Ю.Г., Путятин В.П. Размещение источников физических полей.

— Киев: Наук, думка, 1981. — 184 с.

82. Стоян Ю.Г., Путятин В.П., Максименко И.А. Оптимальное периодическое размещение тепловых источников в ограниченных областях. — Пробл. машиностроения, 1978, вып. 7, — С. 60-64.

83. Стоян Ю.Г., Хажмурадов М.А., Коновко A.B. О рациональном размещении тепловых источников произвольной геометрической формы в случае задачи Дирихле. — Харьков, 1976. — 60 с. / Препринт / Ин-т пробл. машиностроения АН УССР.

84. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. перев. с англ. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1975, 280 стр.

85. Табунщиков Ю.А., Бродач М.М. Математическое моделирование и оптимизация тепловой эффективности зданий. — М.: АВОК-ПРЕСС, 2002.

- 194 с.

86. Танана В.П., Худышкина Е.В. Решение обратной задачи для уравнения теплопроводности методом установления // Известия Челябинского научного центра. 2005. Вып. 2(28). — С. 1-3.

87. Тарунин E.J1. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции // Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та, 1990.

88. Тененев В.А., Русяк ИГ. Численное решение задач гидродинамики и теплообмена в областях сложной формы. Ижевск: ИжГТУ, 1996. — 60 с.

89. Тихонов А.Н. Обратные задачи теплопроводности. — ИФЖ, 1975, т. 29, №1, - С. 7-12.

90. Тихонов А.Н., Арсеньев В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач, — изд. «Наука», — М., 1974 г. — 224 с.

91. Тихонов А.Н., Васильева A.B., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: Учеб.: Для вузов. - 4-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 256 с.

92. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990.

93. Успенский A.B., Фёдоров В.В. Планирование экспериментов в некоторых обратных задачах математической физики. — Кибернетика, 1974, №4, — С. 123-128.

94. Файрузов Махмут Эрнстович. Модели оптимизации и их аппроксимация для эллиптических и параболических систем управления нелинейного типа: Дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18: Уфа, 2004, 190 с.

95. Федоренко Р.П. Приближённое решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978. — 497 с.

96. Фокин К.Ф. Строительная теплотехника ограждающих частей зданий. Изд. 4-е, иерераб. и доп. М., Стройиздат, 1973, 287 с.

97. Фридман В.М. О сходимости методов типа наискорейшего спуска // Успехи математических наук. — 1962. — 17. — №3. — С. 201-208.

98. Цой П.В., Самаров Ш.Ш. Прямая и обратная задачи теплопроводности для трехмерной полуограниченной среды // Тезисы докл. XVII научно-отч. конф. преподавателей ТПИ. — Душанбе. — 1989. — С. 24.

99. Чиркин B.C. Теплофизические свойства материалов: Справочное руководство. М.: Физматгиз, 1959. — 356 с.

100. Чувашева С.И. Об одной задаче оптимального размещения источников физических полей. — В кн.: Прикладные методы математики и кибернетики. Сборник научных трудов. — Киев: ИК АН УССР, 1983, - С. 36-43.

101. Чувашева С.И. Решение задачи оптимального размещения источников физических полей градиентными методами. — Житомир, 1984. — II с. Рукопись представлена Житомирским филиалом КПИ. Деи. в УкрНИ-ИНТИ 17 апр. 1984, № 688 Ук-84 Деп.

102. Чувашева, Светлана Ивановна. Численные методы решения одного класса оптимизационных задач размещения источников физических полей // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Харьков, 1984 г.

103. Шашков А.Г. и др. Методы определения теплопроводности и температуропроводности / Под ред. А.В.Лыкова. — М.: Энергия, 1973. 336 с.

104. An Analytical Solution for Two-Dimensional Inverse Heat Conduction Problems Using Laplace Transform. International / M. Monde, H. Arima, W. Liu, Y. Mitutake, J.A. Hammad // J. of Heat and Mass Transfer. - 2003. - V. 46. - P. 2135-2148.

105. Anikanov A.A., Potiy O.A. Texture Advection for 3D Flow Visualization // The 13th International Conference on Computer Graphics: GraphiCon'2003, Moscow, 2003, p. 100-105.

106. Cialkowski, M. Sequential and Global Method of Solving an Inverse Problem of Heat Conduction Equation / M. Cialkowski, K. Grysa // J. of Theoretical and applied Mechanics. — 2010. — V. 48. — P. 111-134.

107. Hilbert S.E., Markatos N.C., Voller V.R. Computer simulation of moving-interface, convective, phase-change process. — Int. Journal Heat and Mass Transfer, - 1988, vol.31, No.9, pp. 1785-1795.

108. Isakov V. Inverse Problems for partial differential equations. Springer, New York, 1998.

109. J. Clerk Maxwell. Theory of heat. — London: Longmans, Green and Co., 1871.

110. Jonas, P. Approximate Inverse for a One-Dimensional Inverse Heat Conduction Problem / P. Jonas, A.K. Louis // Inverse Problems. — 2000. - V. 16. - C. 175-185.

111. M. Iakobovski, I. Nesterov, P. Krinov. Large distributed datasets visualization software, progress and opportunities // Computer Graphics & Geometry, 2007, Vol. 9, N 2, pp. 1-19.

112. Mueller T.J. Flow Visualization by Direct Injection // Fluid Mechanics Measurements, Edited by Goldstein R.J, Hemisphere Pub. Co., 1983, pp.307-375.

113. Pilkington C., Wadsworth B. Thermal design consideration for power devices. Electron. Eng., Gr.Brit., 1977, 49, No 596, p.91, 93-95, 97.

114. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. — New York: Marcel Dekker, 2000.

115. Tricoche X., Garth C. Topological Methods for Visualizing Vortical Flows // Mathematical Foundations of Scientific Visualization, Computer Graphics, and Massive Data Exploration, Ed. by Möller T., Hamann B., Russell R., Springer-Verlag, 2009, pp.89-108.