Математические задачи управления физическими процессами при термической обработке деталей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Ильин, Михаил Евгеньевич

• Ильин, Михаил Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ильин, Михаил Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МАТШАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ

НАГРЕВОМ КРУПНОГАБАРИТНЫХ ДЕТАЛЕЙ.

§ I. Постановка задач управления нагревом п.1. Физическое содержание процесса управления п.2. Математическое описание температурного поля при нагреве и постановки задач управления п.З. Вопросы корректности задач управления

§ 2. Оптимальное управление процессом нагрева при стационарном граничном режиме (температуре).

§ 3. О временном управлении нагревом. Формулировка общих свойств алгоритма решения обратных задач управления.

§ 4. Решение задачи управления в случае линейного пространственно-одномерного оператора п.1. Общая постановка задачи. Вспомогательные оценки. 34 п.2. Построение экстремали сглаживающего функционала.

Конечно-разностная схема п.З. Алгоритм решения задачи минимизации времени КРН.

Результаты численного моделирования

§ 5. Решение задачи временного управления в случае квазилинейного пространственно-двумерного оператора прямого соответствия п.1. Конечномерная аппроксимация задачи нагрева. Реализация разностной схемы для оператора прямого соответствия п.2. Алгоритм минимизации сглаживающего функционала без использования производных п.З. Результаты численного моделирования процесса управления. Основные выводы

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДИФФУЗИИ В ПОРОШКОВЫХ срвдах.

§ I. Содержание и математическая модель процесса диффузии

§ 2. Задача восстановления кинетического коэффициента 83 п.1. Исходная математическая постановка задачи идентификации кинетического коэффициента п.2. Некоторые вопросы корректности постановки обратной задачи восстановления кинетического коэффициента. п.З. О единственности определения кинетического коэффициента

§ 3. Регуляризирующий алгоритм решения задачи идентификации краевого режима п.1. Основная структура алгоритма п.2. Вопросы разностной аппроксимации п.З. Численный эксперимент по восстановлению кинетического коэффициента. Выводы

§ 4. Задача подбора коэффициента диффузии для металлокерамических материалов п.1. Идеализированные модели массопереноса в порошковой среде. п.2. Выбор коэффициента диффузии в одно- и двумерных моделях переноса

ДОПОЛНЕНИЕ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические задачи управления физическими процессами при термической обработке деталей»

I. Метод математического моделирования (ММ) физических процессов в настоящее время является одним из наиболее эффективных инструментов познания природы, а его использование в моделировании технологических процессов (ТП) позволяет решать многие прикладные задачи оптимизации и управления ими

1-ю] .

Математическому моделированию ТП посвящено большое число работ, появившихся в последнее время. Так, например, в работах [П-19] рассмотрены некоторые аспекты ММ на ЭВМ процесса индукционной закалки, и решен ряд сопутствующих принципиальных вопросов. Вопросы цементации [ь-б] , оптимального нагрева металла [7,20-24] в основном, рассматривались с точки зрения теории управления системами с распределенными параметрами [2о] . Обзор работ, выполненных до 1979 г. и посвященных оптимизации и управлению ТП, приведен в . Традиционно этот математический аппарат базируется на математической теории оптимальных процессов ¡^2б] . В частности, важную роль в приближенном решении задач управления сыграл метод моментов для систем с распределенными параметрами .

Большинство работ по ММ было выполнено с помощью ЭВМ, позволяющей воспроизвести реальный процесс в рамках построенной абстрактной математической модели, согласованной с экспериментом, и с использованием фундаментальных теоретических разработок в области современной математики. К числу последних относятся, в частности, а) теория регуляризации ¡27-Зо] , позволяющая ставить и решать многие задачи интерпретации данных физического эксперимента и управления ТП; б) теория разностных схем, обеспечивающая прямое численное моделирование процессов, чаще всего описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных ¡^2, 3,31-35^ .

В данной работе упомянутые фундаментальные достижения послужили основой ММ физических процессов конкретного технологического цикла, постановки задач управления отдельными этапами цикла и разработки методики решения задач интерпретации, оптимизации и управления ими. Настоящая работа выполнена в рамках сотрудничества кафедры математики физического факультета МГУ с управлением главного металлурга производственного объединения АВТО-ЗИЛ.

Рассматриваемые задачи связаны с технологическим циклом химико-термической обработки (ХТО) деталей в печах, целью которого является получение необходимых механических свойств поверхности металлических деталей. Поперечное сечение нагревательной печи, а также рабочей зоны (садки), в которой помещается обрабатываемый материал, нагревательных элементов, вентиляторов схематично показано на рис. I. Основными этапами этого цикла являются следующие физические процессы: а) нагрев металла до заданной температуры; б) создание одинаковых условий для диффузии на различных участках поверхности металла; в) диффузия углерода через поверхность.

Соответственно, материал работы распределен между тремя

разделами (две главы и дополнение), каждый из которых содержит результаты исследования по одному из этапов.

Проведенный анализ не претендует на полноту физико-математического описания соответствующих явлений. ММ проведено в рамках моделей, позволяющих завершить работу в намеченные сроки,

Рис. I

Поперечный разрез нагревательной печи

- нагревательные элементы

- рабочая зона, садка

- вентиляторы

- печное пространство, зона вынужденной конвекции но с выделением основных моментов, характеризующих процесс, вопросов, представляющих интерес для производства, и основных проблем, возникающих при решении такого рода задач, относящих

Как следует из упомянутых выше работ, метод ММ применительно к задачам управления предполагает решение следующих вопросов. а. Формулировка математической модели процесса. С ней часто связано решение некоторых обратных задач интерпретации данных физического эксперимента на предмет получения физических параметров, характеризующих модель, не всегда известных, поскольку речь идет о новых материалах или недостаточно изученных закономерностях. При постановке таких задач принципиальное значение имеет решение проблемы единственности оператора обратного соответствия. б. Корректная математическая постановка задачи целевого управления, и соответственно, разработка регуляризирующих по Тихонову алгоритмов ее решения. в. Проведение на ЭВМ численного эксперимента, решающего задачу управления на основе многократного (в автоматическом режиме) воспроизведения в "числах" реального процесса при различных управляющих параметрах, и следовательно, разработка прикладных программ. г. Построение номограмм, позволяющих компактно характеризовать результаты численного эксперимента^ вынесение практических рекомендаций.

В приведенной работе, поскольку она связана с конкретными задачами, возникающими на производстве, мы встретились со всеми этими вопросами. ся к классу обратных

2. В главе I диссертации рассмотрены вопросы управления нагревом заготовок в машиностроении внешним температурным полем. Целью управления является достижение конечного состояния задача Б). Эти задачи, называемые в дальнейшем задачами квазиравномерного нагрева (КРН), изучаются в общей постановке, а математический эксперимент проводится в рамках одно- и двумерных моделей.

Априорно возможны различные управления режимом нагрева. В том числе, (а) внешним однородным постоянным температурным полем некоторого уровня; (б) пространственно неоднородным температурным полем (постоянным во времени); (в) переменным во времени температурным полем. Общая математическая постановка фор-кфглируется нами как вариационная. Требуется найти отличающегося от заданного уровня и не оолее чек на фиксированную величину 5* , за фиксированный интервал (задача А) или за минимально возможное время ~Та гГ не более чем либо задача А); (задача Б).

Здесь ссев ссев

7(у) = г.-'ссбзоо} определенное в решение следующей задачи

6 - граничный оператор (В=Е либо 5 ~ граница е,

В результате изучения свойств решений А и Б установлены, в частности, для первой краевой задачи

Теорема 1.2. В классе постоянных функций управления, при условии что £/0(ос) ^ , единственным решением задачи Б в произвольной области 0 является ^0=1[+С) . При - одно из решений задачи А.

Теорема 1.3. В классе кусочно-непрерывных функций ^ ^О при прочих условиях теоремы 1.2 оптимальное время КРН достигается на элементе -1/+& .

Приведенное утверждение свидетельствует о том, что управление (б) не может дать какой-либо выигрыш по сравнению с (а) и тем самым не представляет интереса для практики при естественном предположении, что Бсуэ ие(эс) £ ¿Л*8Г ос <5 £9.

Построены и реализованы условно-регуляризирующие по Тихонову £19~] операторы поиска управления типа (в) для задачи Б. Соответствующий математический эксперимент доказывает существование режима, который позволяет сократить время нагрева, по сравнению с временем нагрева в среде с температурой 2Г+& » примерно в два раза. При этом перегрев поверхности для всех оптимальных режимов является кратковременным и локализованным на начальной стадии нагрева. Элементом указанного алгоритма является решение задачи А, при априорном предположении о существовании не более одного допустимого управления, переводящего систему с распределенными параметрами из состояния г

Vo&) в V(ocf i0): ||U(0c,O-lj)|c^ sup за фиксированный интервал времени E0,io]. ^ Gi0

Проведенный анализ может служить обоснованием выбора способа управления нагревом в зависимости от требований к термическому состоянию поверхности и имеющихся технических возможностей средств управления.

3» В главе П рассматривается процесс науглероживания деталей. Принята нелинейная модель диффузии, описываемая краевой задачей:

Ci = СШ-О^ i&l)<LQr4o<x<°°}*M, с1±.0 = со(х) (Сс j 0<х<ооу С/ =Cons~i> cbc^o, ъсл1х,0*рбд-Сс-$)1Хад, ре/в.

Поскольку кинетический коэффициент ^ неизвестен, а его измерение в динамическом режиме может представлять затруднение, изучается возможность физического эксперимента, позволяющего определить функцию по косвенным наблюдениям над полем концентраций при минимальной, по возможности, информации о последнем Выделение минимальной информации о поле требует исследования единственности решения обратных задач интерпретации ¿4I-46jf .

В качестве входной информации принимаются либо концентрация углерода на границе как функция времени: (задача А), либо распределение концентрации по глубине в некоторый фиксированный момент времени: fee) задача Б). Рассматриваются вопросы единственности решений операторного уравнения - f ^ /3 , где А - нелинейный оператор, неявно определенный при заданных и Же) условиями краевой задачи для функции С(Ьс,^) . При априорном предположении о существовании решения установлена следующая

Теорема Пусть Ъ(с)Xb0 ><?, Ъ(с)$С *[7?/ C0fr), C¿], и удовлетворяет условию -С0(о) • Тогда существует не более одной функции для которой справедливо

Отметим, что соответствующее утверждение оказывается в силу подобия справедливым и для задач определения коэффициента теплообмена на границе, свидетельствует о достаточности выбранной информации для однозначного восстановления |3(с) по функции и слуткит обоснованием соответствующего эксперимента. Поскольку задача определения относится к числу некорректно поставленных (неустойчива по входным данным), то для ее решения реализован регуляризирующий оператор Тихонова (РО). Соответственно, задача поиска

5(0 формулируется в виде: где параметр o¿ выбирается по критерию невязки:

Проведенные численные расчеты позволили решить задачу планирования измерений указанных выше характеристик поля концентраций по точности измерений и пространственно-временному распределению точек измерений. В частности, установлено, что удовлетворительное восстановление кинетического коэффициента может быть получено при погрешности входных данных порядка 1—5%. При этом точность восстановления по граничной концентрации выше.

Важным для процесса цементации является апробирование гипотез относительно физических факторов, влияющих на интенсивность процесса диффузии, и в частности, на величину коэффициента диффузии в порошковых материалах. Эта задача также рассмотрена в главе П. Разработка и численная реализация методики решения параболических краевых задач с использованием разностных схем в итерационном режиме позволила изучить с помощью математического эксперимента на ЭВМ следующие вопросы. I. Согласуются ли, по крайней мере качественно, с экспериментом некоторые существующие модели зависимости диффузии от конценткакая модель является в этом смысле оптимальной? П. Может ли быть объяснено известное из опыта ¿49^ возрастание скорости диффузии в порошковых материалах сплошным заполнением "сквозных" пор сорбентом, и как зависит этот эффект от расположения пор?

Первая из этих задач решалась прямым моделированием на ЭВМ. Установлено, что для расчета коэффициента диффузии методика моделирования хаотической структуры периодической моделью с включениями достаточно простой конфигурации правильно отражает общее возрастание поля концентрации по сравнению со сплошным материалом.

Вторая задача решалась аналогично в рамках двумерной плоской модели диффузии. При естественных допущениях влияние пор описывается эффектом "боковой" диффузии в некоторую ячейку из сплошного материала (массопоток параллелен поверхности детали). При этом поверхностной плоскости пор сопоставляется линейный размер ячейки по горизонтали. рации, в которых учитывается пористость материала и

Проведенный эксперимент подтверждает, что эффектом "боковой" диффузии может быть объяснено возрастание уровня поля концентраций на заданном временном интервале, по сравнению с тем, который наблюдается в сплошном материале. Непосредственным результатом прямого численного эксперимента является "табличное" представление поля концентраций в зависимости от параметров ячейки. Для наглядного описания эффекта и извлечения количественных оценок были разработаны номограммы полей концентраций, представляющих зависимость глубины цементованного на заданном уровне (.4%С) поверхностного слоя от линейного размера ячейки (плотности пор). Эти номограммы могут быть полезными для количественных оценок наблюдаемого эффекта. В частности, установлено, что оптимальным подбором линейных размеров ячейки удовлетворительно объясняется общее увеличение массы диффундирующего элемента. Однако, остается открытым вопрос о влиянии пористости на углеродный потенциал среды Су^ , который определяет уровень концентрации на границе.

В дополнении рассмотрена математическая модель управления температурным полем с помощью системы вентиляторов. Целью управления является создание по возможности максимального теплового поля в рабочей области печи (садке, рис. I). Мы выделяем эту задачу из комплекса, в котором функцией вентиляторов является и перемешивание газовой смеси, предназначенной для однородного науглероживания изделий.

Процесс рассматривается в рамках двумерной модели, описывающей потенциальное течение несжимаемой жидкости. Стационарное поле скоростей ¡Г.индущруется потоком, который создается на границе ^ области (рис.1). Соответственно, потенциал скоростей У , а следовательно, и скорость V определяются краевой задачей

Процесс теплопроводности с учетом вынужденной конвенции описывается в печи (область ) нелинейным уравнением и в рабочей области - <7 ^ с/гу^Си^дгас/ыг) ~ О.

Нагревательные элементы моделируются участками границы: Ц^-Мо* На остальных участках внешней границы (^а) поддерживается нулевая температура: ^¿/с .На поверхности садки выполняются соотношения

Щ1% = иг |5-, «к Ы Ш Ъ) Ш /? - •

Управляющими параметрами служат положения нагревателей и вентиляторов, т.е. величины Ыо,^о и множества , на которых они заданы.

Выбор модели обусловлен с одной стороны тем, что а с другой стороны, продолжительность цементации (до 12 час) значительно превосходит времена установления скоростного и тепловых полей.

Для вычисления скоростного и теплового полей нами использован ввиду нелинейности краевой задачи для функции специальный итерационный процесс. На первом этапе по заданному управлению } рассчитывалось поле скоростей. Затем производился итерационный расчет температурного поля на основании метода последовательной верхней релаксации ¿50 ^ . Для получения устойчивой схемы расчета температурного поля конвективные компоненты аппроксимировались разностями против потока [з] .

Задача, управления формулируется в виде: гГо^Л : тС10С I ^г^с)

Ввиду значительных временных затрат при расчете задачи прямого соответствия, управление искалось методом подбора на некотором ограниченном множестве значений параметров, т.е. в классе корректности по Тихонову.

На основе проведения математического эксперимента сделаны следующие выводы о взаимном расположении нагревателей, вентиляторов и садки с изделиями. а) Оптимальный эффект достигается при расположении вентиляторов непосредственно между нагревателями и садкой; б) При таком выборе температура в области садки повышается на 20° - 30°С.

Полученные результаты имеют естественное физическое объяснение: необходимо интенсифицировать теплообмен в тех областях, где он затруднен.

Численный эксперимент качественно согласуется с экспериментальными наблюдениями, отраженными в

51,527 , что свидетельствует о правомерности предложенной модели описания процесса конвективного нагрева в вентилируемой секции печи.

Результаты диссертационной работы апробированы в докладах на Научно-технической конференции молодых специалистов и творческой молодежи Московского автомобильного завода им. И.А. ЛИХАЧЕВА (Москва, 1983 г.), на Всесоюзной школе-семинаре по некорректным задачам и их приложениям (Самарканд, 1983 г.), на научных семинарах кафедры математики физического факультета МГУ, Института прикладной математики им.М.В.КЕЛДЫША'АН СССР, кафедры высшей математики Рязанского радиотехнического инсти

Проведенная апробация и литературный поиск позволяют сделать выводы о том, что: I) выполненная работа является актуальной, поскольку наряду с математической проблематикой (развитие и обоснование методов решения некорректных задач) затрагивает вопросы использования научных результатов в производстве; П) ряд математических результатов (математическое изучение задачи, оптимизации времени КРН, теорема единственности для обратных задач, связанных с науглероживанием, а также решение конкретных прикладных задач методом ММ) являются новыми; Ш) вынесение конкретных рекомендаций, касающихся технологии производства, определяет практическую ценность полученных результатов. Они могут быть предметом внедрения на предприятиях металлургической и машиностроительной промышленности.

Б заключении автор считает приятным долгом выразить благодарность научному руководителю профессору В.Б.Гласко за постоянное внимание и помощь в работе; академику А.Н. Тихонову за интерес к работе и полезные обсуждения ее результатов; сотруднику управления главного металлурга производственного объединения АВТО-ЗИЛ В.А. Ковригину за целевую постановку задач диссертационной работы и экспериментальный материал; инженеру кафедры математики физического факультета МГУ Н.И.Кулик и сотрудникам ИПМ им. М.В.КЕПДаША АН СССР А.В.Захарову и Ю.А.Пове-щенко за полезные консультации по отдельным вопросам. тута и опубликованы в работах

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Ильин, Михаил Евгеньевич

4. Выводы относительно восстановления Сб^О^ по ^С*) совпадают с замечаниями предыдущего пункта. Необходимо сгущение сетки в окрестности т. гс-о в Точность восстановления возрастает с увеличением интервала Со, (¿У, Однако это требует достаточно точного измерения очень малых величин.

5. Применение в сглаживающем функционале стабилизаторов и не влияет заметным образом на качество восстановления

§ 4. Задача подбора коэффициента диффузии для металлокерамических материалов п.1. Идеализированные модели массопереноса в порошковой среде

В данном разделе остановимся на методах подбора модели порошковой структуры с целью согласования с имеющимися в литературе /49/ экспериментальными данными.С этой целью необходимо установить зависимость эффективного коэффициента диффузии!) от структуры исследуемой системы, коэффициентов диффузии отдельных компонент!)^ и их объемной (весовой) концентрации. Очевидно, ввиду сложности описания реальной пористой структуры теоретическое исследование процесса должно проводиться на такой идеализированной модели, которая отражает основные свойства реальной среды и учитывает все существенные факторы, определяющие процесс массопереноса. Такую модель будем считать (а) адекватной реальной порошковой структуре. Помимо адекватности физическая модель должна, очевидно, удовлетворять следующим требованиям: (б) возможность получать физически правильные результаты в предельных случаях; (в) отсутствие внутренних противоречий в теоретической схеме.

Металлокерамическая прессовка представляет типичный случай хаотической структуры. Определенным образом перераспределяя компоненты в пространстве, можно от хаотической системы перейти к упорядоченным. Если при этой операции система сохранит основные черты хаотической, например, изотропность или анизотропность, механическую устойчивость, геометрическое равноправие или неравноправие компонент и т.д., то при анализе процесса диффузии через хаотическую структуру, последнюю можно заменить адекватной ей упорядоченной средой ¡98*] .

В любой системе с дальним порядком можно выделить элементарную ячейку - элемент объема, повторяя который определенным образом можно получить весь объем исходной структуры. Очевидно, операция фиксации элементарной ячейки определена неоднозначно. Если необходимо упростить задачу расчета процесса диффузии в гетерогенной среде, то целесообразно провести математическое описание исследуемого процесса только в выделенном участке объема. Такой участок (элементарная ячейка) сохраняет все геометрические и физические особенности изучаемой структуры. Заметим, что продольная, поперечная и осевая симметрия, если она существует, самой элементарной ячейки позволяет проводить описание исследуемого процесса в 1/2, 1/4, 1/8, I/I6 ее части.

Рассмотрим идеализированные физические модели (двумерные), которые будем обозначать римскими цифрами 1-У. На рис. 31 показаны сечения элементарных ячеек, соответствующие выбранным моделям. Участки, заполненные сплошным металлом ( ^ ), заштрихованы. Вторая фаза - некоторая среда, коэффициент диффузии соединений углерода или самого углерода в которой значительно превышает величину . Стрелками показано направление переноса массы через поверхность ячейки. Модели I и 1У состоят из чередующихся плоскопараллельных слоев металла и фазы 2. В моделях П и У металл локализован внутри цилиндров. В модели Ш среда состоит из металлической фазы и отдельных включений фа -зы 2.

Если рассматривать фазу 2 как "пору", то модели 1,П,У не удовлетворяют условиям адекватности: несоблюдено условие пространственной устойчивости. Однако помимо газообразной атмосферы существенно большим коэффициентом диффузии обладают некоторые слои и области в самом металле. Если трактовать фазу 2 как подобные участки с повышенным коэффициентом диффузии, то все модели оказываются корректными и адекватными.

В наших моделях геометрические размеры ячейки, величина Ьп- , а также размеры слоя с повышенной скоростью диффузии являются параметрами модели и должны подбираться из условия максимального согласования с экспериментом.

I II III

Рис.31

Идеализированные упорядоченные модели порошковых структур

Гт Г*т j-r r-rf 1~Г t t'T-Г H г г т Ггтт О.Ь 1.0 1.5 2.0 г.Ь 3.0 3.5

ЭРГПЯ. 4RC. )

Рис. 32

ГЛГБКНЯ, ММ. ( Т=5 4RC. )

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35 л v .s )=mrx u (x). п. 2. Выбор коэффициента диффузии в одно-и двумерных моделях переноса

I. Задача решается подбором из числа известных осреднен-ных и идеализированных представлений реальной порошковой структуры (рис. 31, 1-Ш). Для этой цели воспользуемся внешним сходством дифференциальных уравнений, описывающих процессы теплопроводности и диффузии [Д , и применим к расчету эффективного коэффициента диффузии методику из работы ¿98^ .

Для решения задачи в этой постановке достаточно рассмотреть пространственно-одномерную модель диффузии, считая, что углерод диффундирует в одномерный слой конечной толщины 2 /. через две ограничивающие его параллельные плоскости. Вследствие симметрии условий относительно срединной плоскости и , задача формулируется следующим образом: аь = ОХО-С*)*, о<ос</:, о^Т, С/^СоЫ, 0<х<1, в*.1Хп = о, (2.18) гдеЖе) - эффективный коэффициент диффузии, составленный как комбинация величин и Ътр . В качестве брался коэффициент диффузии СМ^—.> воздух равный [94J i n.

1>г = • 1Н»(Т°К/Ж15) ' е-мУс, ^А"*

Для отдельных моделей эффективная величина рассчитывалась по формулам Модель I ^

Модель П

Модель Ш ъЛз**« и--^—Л

V?

Здесь т - параметр неоднородности заполнения элементарной ячейки. Очевидно, в такой постановке эффективный коэффициент диффузии не зависит от геометрических размеров самой элементарной ячейки. Величины т и ~Х>£ - параметры модели, подбор которых обусловлен совпадением численного эксперимента с реальным распределением углерода в пористом материале.

В выбранных температурном и временном диапазонах им =0,4 оценки величин "Ъэрл и приводят к следующим соотношениям т.е. в модели П массоперенос определяется только параметрами фазы а не включениями (фаза I).

Краевая задача (2.18) с функцией ъ , соответствующей одной из моделей 1-Ш, решалась конечно-разностным методом. Использовалась разностная схема полностью идентичная рассмотренной в предыдущем параграфе.

Результаты численного моделирования при следующих значениях параметров рО-) = 10"^ см/с, ¿ = 2 см, т

- 5 час.

Со(ф= 0.08560, С.^ = 1($С, т = 0.4 приведены на рис. 32,33. При этом кривые, обозначенные 11—У—11 соответствуют модели I, 11--11 - модели П, 11— + —" - модели Ш. Сплошной линией без маркеров обозначено решение уравнения диффузии для сплошного материала: . Графики изменения концентрации углерода в зависимости от времени : ^ = Т* на глубине показаны на рис. 32. На следующем рисунке изображено распределение углерода для моделей 1-Ш в конечный момент времени. Температурный режим соответствует графику, отмеченному значками "о " на рис. 32. [ 900,II00°Cj . Анализ численного эксперимента показывает, что модель П не соответствует реальной пористой среде. Наблюдается почти мгновенное возрастание постоянной по всему сечению концентрации углерода. Для моделей I и Ш наблюдается значительное увеличение концентрации по сравнению с массивным материалом. Следовательно, в рамках одномерной модели переноса можно надеяться подбором параметров ^ и Dy , а также С^ , добиться ; более полного совпадения с экспериментом.

2. Уточним математическую модель диффузии, отказавшись от усреднения 2) путем замены двухфазной среды на однородную с эффективным коэффициентом диффузии. Поскольку справедливо г (оценка, приведена выше), то естественно принять гипотезу, согласно которой в "порах" (на рис. 31 1У-У незаштрихованные участки) "мгновенно" устанавливается постоянная концентрация, отвечающая углеродному потенциалу атмосферы С^ . Науглероживание же сплошного металла происходит обычным образом, но мас-сопоток действует не только с поверхности. Очевидно, линейный размер ячейки структуры по горизонтали при заданном характерном размере детали соответствует плотности открытых пор. Заметим, что модель ячейки 1У при подобна модели Фишера £4&j, широко используемой в настоящее время.

Поставленный нами для этих моделей численный эксперимент позволяет (а) проверить состоятельность принятой гипотезы; (б) дать количественную оценку эффекта науглероживания в зависимости от плотности пор.

В двухмерной постановке модель процесса цементации описывается краевой задачей е^ = о/с и ( Ъх • %гас1 с) /эс, О 6 ®т, с ¡{=о = со Ц х £ 6>, где £ - внешняя граница ячейки. Для численной реализации этой задачи использовалась консервативная, нелинейная неявная схема "сквозного счета". Переход к двухмерной задаче потребовал применения метода суммарной аппроксимации £35^ .

Поскольку на практике интерес представляют поверхностные слои с концентрацией углерода выше 4%С, то были построены номограммы: рис. 34 для модели 1У и рис. 35 - У, позволяющие оценить время достижения этой предельной концентрации в зависимости от размеров элементарных ячеек (поверхностной плотности открытых пор). Числа у ломанных определяют толщину поверхностного слоя в миллиметрах с концентрацией выше ,4%С. Из графиков видно, что эффект ускорения скорости диффузии примерно одинаков. Варьирование параметра О. позволяет сократить время цементации почти в десять раз. Последнее говорит о том, что в конкретном случае может быть получено удовлетворительное согласие с экспериментом.

3. Из проделанных экспериментов следует, что а. Выбором подходящей модели элементарной ячейки и компонент в нее входящих можно объяснить значительное возрастание скорости диффузии. б. Использование двумерных моделей без усреднения позволяет варьированием параметров ячейки получить больший диапазон изменения концентрации чем в одномерном случае. в. Предложенные двумерные модели элементарных ячеек 1У и У приводят к практически одинаковым результатам.

ДОПОЛНЕНИЕ

I. В настоящем разделе остановимся на некоторых вопросах выбора условий, при которых достигается максимальное увеличение температуры в рабочей зоне печи. Предполагается, что это может быть реализовано, например, направленной циркуляцией печной атмосферы с помощью системы вентиляторов [51] . Сформулируем основные предположения, которыми воспользуемся при построении математической модели. а. Будем рассматривать печь бесконечной длины, т.е. изучаются распределения скоростей и температуры в двумерном сечении, создаваемые источниками на границе. б. Поскольку времена установления скоростного и температурных полей много меньше полной продолжительности процесса, то ограничимся расчетом стационарных полей. в. Геометрические размеры печи (6x6x30м) и скорость вынужденной циркуляции, используемой в технологическом процессе 5м/с), дают оценку числа Рейнольдса Ке ^ 10^. С другой стороны, скорость вынужденной конвекции мала по сравнению со скоростью звука при аналогичных условиях. Поэтому вместо уравнения Навье-Стокса для течения вязкого газа рассмотрим случай, когда интересующее нас поле скоростей описывается уравнением потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости ¡99^] . г. Будем пренебрегать свободной конвекцией, т.е. исключим влияние теплового поля на поле скоростей.

С учетом сказанного, краевая задача для функций У (потенциала скоростей) и (температуры) записывается в виДе: д!Р = 0 эсеб?х (3.1) с/иг(к^иЛ ^гас1и1) чГ ^гас/и1 > эсеб^ (3.2) гас/и^) =0 , ос б (3.3) К^/^К^/^, (3.5)

V ~ участки границы рабочей зоны , области, иммитирующий вентилятор (^1) и внешней поверхности печи

2 ) (см.рис.1). При неизменной конфигурации области и функционал

ЛЯ±)=таэс. ¿/¿(ас) , ЭСб<%> , (3.6) определяет критерий качества управления в зависимости от ориентации 9 и положения области .

Заметим, что даже при условии независимости величин Со^С $ I б =1,2) от искомых функций 1Л ( =1,2) оператор прямого соответствий, определенный соотношениями (3.1) - (3.5) игЫ) является нелинейным.

Таким образом задача управления формулируется в виде: найти 1Г0 и положение множества , при которых

Поскольку множество ограничено и замкнуто, т.е. является компактным множеством, то задача (3.7) корректна по Тихонову.

2. Решение задачи 3.7) предполагает многократное вычисление функционала (З.б), которое может быть проведено в нашем случае только численными методами. Для этой цели строилась разностная аппроксимация дифференциального оператора Л

После введения в области О^О^иОъ неравномерных сеток для функций ^(Ьс), и Применения цнтегро-интерполяционного метода к краевой задаче (3.1) - (3.5) получим нелинейную систему разностных уравнений относительно функций *

Решение разностного аналога (3.1) - (3.5) начиналось с вычисления при некотором фиксированном положении множества 63 и выбранной ориентации 1/0 функции (У!^ > система уравнений для которой является линейной и замкнутой, т.е. не зависит от функции Ыс^ . Применение метода последовательной верхней релаксации позволяет построить функцию {й^ за один проход итерационного цикла. Заметим, что в исходной дифференциальной задаче Неймана функция определена с точностью до произвольного постоянного слагаемого [I] . Равенство о или его сеточный аналог фиксирует эту постоянную и не оказывает влияния на все последующие вычисления, в которых используются только производные потенциала скоростей.

По известному полю [у^ вычислялись значения компонент скоростей

Если сеточные узлы для потенциала скоростей и температуры совпадают, то компоненты поля скоростей отнесены к серединам граней балансных ячеек.

На втором этапе вычислялось поле температур, для которого система разностных уравнений уже нелинейна. Линеаризованная система разностных уравнений для функции { Ыс^ , коэффициенты которой "заморожены", решалась методом последовательной верхней релаксации. Особенностью схемы расчета поля температур является наличие конвективного члена ц в уравнении (3.2). Число

Фурье, т.е. коэффициент, стоящий перед дифференциальным оператоА ром второго порядка в (3.2), порядка 10 . Это приводит к тому, что аппроксимация конвективной компоненты в (3.2) схемой с центральными разностями и далее не гарантирует выполнения условий монотонности разностного оператора при больших значениях I, вследствие произвольности знака величины , что приводит к "АВОСТу" при счете на ЭВМ.

Для построения устойчивой схемы использовались первые разности против потока, т.е. конвективная компонента по оси ЗС^ аппроксимировалась выражением и^!^ - > где

Аналогичное представление справедливо и для выражения Легко проверить, что эта схема является консервативной, монотонной и обладает свойством транспортивности, т.е. величина и за счет конвекции переносится только в направлении потока £з] .

3. Рассмотрим результаты численного эксперимента. Значения функций фЖс) Кс(Мс),£ взяты из ¿85,94] и соответствуют аналогичным величинам для воздуха и стали марки Ст.40, Ы0 =Ю00°С,

5 м/с. Сетка , ¿¿¿^ЧЗ«^ строилась со сгущениями в приграничных областях. При минимизации иножество было однозначно соотнесено с сеткой . Поскольку число узлов ограничено, то и число положений множества конечно. Поэтому простым методом перебора находится максимум функционала (3.6) с учетом, что вектор 1/0 допускает только две ориентации: 1/0-=ь .В результате удалось определить положение вентилятора и нормальную составляющую потенциала скоростей на С" при которых функционал достигает максимума. Установлено, что за счет вынужденной конвекции атмосферы печи стационарная температура рабочей зоны может повышена на 30°С (рис.36). Прямой физический эксперимент показывает увеличение температуры на 50°С [Ы~1 .

На основании проделанной работы можно сформулировать следующие выводы: а) разработанная модель дает удовлетворительное согласие с физическим экспериментом по моделированию тепло- и массоперено-са в печах, используемых в машиностроении ¿100, 101] ; б) показана возможность оптимизации работы печей при помощи вынужденной циркуляции печной атмосферы; в) для исследования влияния вынужденной конвекции на неравномерность температурного поля рабочей зоны необходимо использовать более мелкую сетку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в диссертационной работе рассмотрены основные физические процессы, имеющие место при химико-термической обработке деталей в машиностроении. Сформулированы различные, как правило, легко реализуемые экспериментально постановки задач управления температурным полем и идентификации граничного режима при науглероживании из газовой среды. Показана единственность решения ряда рассмотренных задач, что имеет важное научное и прикладное значение. При этом использован метод доказательства пригодный и для нелинейных задач в общей постановке. Предложены основанные на принципе регуляризации алгоритмы численного решения задач. Осуществлена программная реализация разработанных алгоритмов. Программа, восстановления кинетического коэффициента передана для эксплуатации в вычислительную лабораторию физического факультета МГУ. На основе проведенных расчетов вынесены рекомендации по ускоренному нагреву образцов, а также по планированию физического эксперимента в задачах восстановления граничного режима. Рассмотрены некоторые модели, описывающие процесс массопереноса в металлокерамических материалах. Показана перспективность моделирования хаотической структуры упорядоченной. Построена и программно реализована математическая модель тепло- и массопереноса в печи, которая в отличии от ¿102^ позволяет рассчитывать поля скоростей. Проведен анализ эффективности действия вентиляторов на температурное поле рабочей зоны.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ильин, Михаил Евгеньевич, 1983 год

1. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики: Учеб. пособ. - 5-е изд. - М.: Наука, 1977. - 735с, ил.

2. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. Мир, 1975, -392с., ил.

3. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: 1980. - 616с., ил.

4. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. т.1. М.: Мир, 1977. - 216с., ил.

5. Андреев Ю.Н., Потапова G.G. 0 математической постановке задач выбора режима газовой цементации. В кн.: "Печи и сушила машиностроительной промышленности". Сб. Трудов ВНИИПИ Тепло-проект. М.: 1972, вып.19, с.32-38.

6. Андреев Ю.Н., Методика расчета двухзонных режимов цементации, обеспечивающих наилучшее приближение к распределению с "площадкой". В кн.: "Печи и сушила машиностроительной промышленности". Сб. Трудов ВНИИПИ Теплопроект. М.: 1972,вып.23, с.51-59.

7. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. М.: Металлургия, 1972. - 440с.,ил.

8. Парсункин Б.Н., Панферов В.И., Леонтьев А.И., Обрезков В.А. Автоматизированное управление тепловой нагрузкой методических нагревательных печей. Сталь, М., 1982, № 7, с.88-89.

9. Маковский В.А. Динамика металлургических объектов с распределенными параметрами. М.: Металлургия, 1971. - 384с, ил.

10. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей производства.-М.: Энергия, 1975. 375с., ил.

11. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. К вопросу о методах определения температуры поверхности тела. Ж. вычисл.матем. и матем. физ., 1968, т.8, №4, с.910-914.

12. Гласко В.Б., Захаров М.В., Колп А.Я. 0 применении метода регуляризации к решению одной обратной задачи нелинейной теории теплопроводности. Ж. вычисл.матем. и матем. физ., 1975. т.15, № б. с. 1607-1611.

13. Шепеляковский К.З., Шкляров И.Н., Кальнер В.Д. Области применения одновременного и непрерывно-последовательного нагрева при поверхностной закалке. Электротермия, 1968, №73, с.51-53.

14. Гласко В.Б., Кулик Н.И., Шкляров И.Н. Об одном методе расчета температурных полей с использованием косвенной информации об источниках. Вестн.МГУ. сер. Вычисл.матем. и киберн., 1978, т. 19, № I, с.36-43.

15. Гласко В.Б., Кулик Н.И., Тихонов А.Н., Шкляров Н.Н. Об одной обратной задаче теплопроводности. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1979, т.19, № 3, с.768-774.

16. Тихонов А.Н., Кулик Н.И., Шкляров И.Н., Гласко В.Б. О результатах математического моделирования одного процесса теплопроводности. Инж.-физ. журнал, 1980, т.39, № I,с. 5-10.

17. Гласко В.Б., Захаров М.В., Колп А.Я. 0 восстановлении теплового потока к поверхности тела для нелинейного процесса теплопроводности на основании метода регуляризации. Инж. - физ. журнал, 1975, т. 29, № I, с.60-62.

18. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Кулик Н.И., Об одном регуляри-зирующем алгоритме решения некоторых обратных задач теплопроводности. — Вест.МГУ, сер.3 Физика. Астрономия, 1981,т. 22, № 4, с.25-29.

19. Гласко В.Б., Криксин Ю.А., Кулик Н.И., Трубецков М.К. Регуляризующие операторы А.Н. Тихонова в некоторых некорректных задачах для дифференциальных уравнений. Диффе-рен. уравнения, 1981, т.17, № 10, с. 1842-1850.

20. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. - 568 е., ил.

21. Cannon J.R., DuChateau P. Inverse ргоЪ1еш for unknownsourse in.heat equation. J. of.Math. Anal, and Appl., 1980, Vol. 75, No. 2, p. 465-4-85.

22. Kawohl B, On a nonlinear heat control problem with boundaryconditions changing in time. Z. Angew. Math. Mech., 1981, • * •1. No. 5, p. 248-24-9»

23. Meric R.A. Finite element and conjugate gradient methods for a nonlinear optimal heat transfer control problem. -Int. J. Num. Meth. in Engineering, 1979, Vol. 14, No. 12, p. 1851-1863.

24. Petrovacki D. The minimum time problem for a klass of nonlinear distributed parametr system. Int. J. Control, 1980, Vol. 32, No. 1, p. 51-62.

25. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами (обзор). Автоматика и телемеханика., 1979, №11, с. 16-55.

26. Понтягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. -4-е изд.- М.: Наука, 1983. 392., ил.

27. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. Докл.АН СССР, 1963, т.153, № I, с.49-52.

28. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач: учеб.пособ.-2-е изд., перераб., и доп. М.: Наука, 1979, - 288с., ил.

29. Лисковец O.A. Теория и методы некорректных задач. В кн.: "Итоги науки и техники", сер. Математический анализ, т.20.-Науч.ред. Р.В. Гамкрелидзе. М.: ВИНИТИ, 1982, с.116-178.

30. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. -Новосибирск: Наука, 1983. 207с.

31. Марчук Г.М. Методы вычислительной математики: Учеб.пособ.-М.: Наука, 1977. 456с., ил.

32. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем.-М.:Наука, 1973. 416с.

33. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений: Учеб. пособ. М.:Наука, 1978. - 592с., ил.

34. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 452с., ил.

35. Самарский A.A. Теория разностных схем: учеб.пособ. 2-е изд., перераб. и доп. - М.:Наука, 1983. - 616с., ил.

36. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач; Учеб. пособ. М.: Наука, 1982. - 400с.

37. Алифанов О.М. Регуляризационные схемы решения обратных задач теплопроводности. Инж.-физ. журнал, 1973, т. 24,2, с.324-333.

38. Алифанов О.М. Граничные обратные задачи теплопроводности. -Инж.-физ. журнал, 1975, т.29, № I, с.13-25.

39. Гольдман Н.Л. Об одном классе обратных задач для многомерных квазилинейных параболических уравнений. Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, № 7, с.1245-1254.

40. Романовский М.Р. Исследование регуляризации в задаче определения условий внешнего теплообмена. Инж.-физ.журнал, 1983, т.24, № 5, с.801-809.

41. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса). Математические заметки, 1973, т.14, вып.5, с. 755-767.

42. Музылев Н.В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач теплопроводности. Ж. вычисл.матем. и матем. физ., 1980, т.20, № 2, с. 388-400.

43. Музылев Н.В. 0 единственности одновременного определения коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости.- Ж.вычисл. матем. и матем. физ., 1983, т.23, № I, с.102-108.

44. Вокштейн Б.С. Диффузия в металлах: Учеб.пособ. М.: Металлургия, 1978. - 248с., ил.

45. Любов Б.Я. Диффузионные процессы в неоднородных: твердых телах. - М.: Наука, 1981. - 296с., ил.

46. Шьюмон П. Диффузия в твердых телах. М.: Металлургия,1966. - 195с., ил.

47. Химико-термическая обработка металлокерамических материалов. Под ред. О.В. Романа. Минск: Наука и техника, 1977. -270с., ил.

48. Ильин В.П. Численные методы решения зада.ч электрооптики.-Новосибирск, Наука, 1974. 202с., ил.

49. Лисиенко В.Г., Зайцев В.П., Фетисов Б.А., Белобородов Г.С., Хухарев Н.И. Интенсификация нагрева металла в печах со сводовым отоплением. Изв. Вузов, сер. черная металлургия, 1982, № 8, с. 116-119.

50. Гласко В.Б., Захаров А.В., Ильин М.Е., Повещенко Ю.А. Обоптимизации равномерного нагрева металлических деталей при химико-термической обработке. М.:1983. - 14с. (Препринт/ ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР: № 45 за 1983 г.).

51. Гласко В.Б., Ильин М.Е., Кондорская Е.Е. 0 единственности в некоторых обратных задачах теплопроводности и диффузии. -М., 1983. 13с. - Рукопись представлена МГУ. Деп. в ВИНИТИ I июня 1983, № 2935-83.

52. Гласко В.Б., Ильин М.Е., Трубецков М.К. 0 возможности оптимизации равномерного подогрева крупногабаритных деталей в технологических процессах. М.,1983. - 12с.,ил. - Рукопись представлена МГУ. Деп. в ВИНИТИ I июня 1983, № 1984-83.

53. Гласно В.Б., Булычев Е.В., Ильин М.Е., Кулик Н.И., Осипенко М.А. Отчет по теме "Изучение оптимальных режимов процессов термической обра.ботки" за 1982 г.

54. Попов O.A., Куланов А.Н., Бойков В.А. Прогрессивные процессы термической обработки деталей. Автомобильная промышленность. 1983, № 8, с.24-25.

55. Третьяков A.B., Гарбер З.А., Шичков А.Н., Грачев A.B. Совершенствование теплового процесса листовой прокатки.

56. М.: Металлургия, 1973. 301с., ил.

57. Manselli P., Miller К, Calculation of the surface temperature and heat flux one side of the wall from measurement of• ■ • » •the opposite side. Ann. Math. Pure ed Appl., 1980, No.123, • • « ' *p. 161-183.

58. Olmstead W.E. Boundary controllability of the temperature on a long rod. Int. J. Contr., 1980, Vol. 31, No. 3,p. 593-600.

59. Sikora R., Palka R. Reverse problems of diffusion equation. -Arch. Electrotechn.(W-Berlin), 1980, Vol. 62, No. 3,p. 177-180.

60. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. - 448с.

61. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736с.

62. Дгово Г., Лионе Ж. Л. Неравенства в механике и физике.-М.: Мир, 1980. - 384с., ил.

63. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике: Учеб. пособ. 2-е изд., Перераб. и доп. - М.: Наука,1971.-512с., ил.

64. Демьянов В.Ф., Васильев П.Е. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981, - 384с., ил.

65. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1982. - 144с., ил.

66. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика, М.: Мир, 1969. - 448с., ил.

67. Benilan P., Diaz J.I. Comparison of solutions of nonlinear evolution problems with different nonlinear terms. Isr. J. Math., 1982, vol. 42, no. 2, p. 241-257.

68. Redheffer R., Walter W. Comparison theorem® for parabolic;functional inequalities. Рас. J. Math., Vol. 85, 1979, No. 2, p. 447-470.

69. Танана В.П. Об оптимальности по порядку регуляризации линейных операторных уравнений при условии неединственности решения. Докл. АН СССР, 1983, т.269, № I, с.37-38.

70. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206с., ил.

71. Худак Ю.И. О регуляризующих алгоритмах. Ж. вычисл.матем. и матем. физ., 1975, т. 15, № I. с. 13-18.

72. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. О регуляризации некорректных задач с приближенно заданным оператором.

73. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1974, т. 14, № 4, с.1022- 1037.

74. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории Функций и функционального анализа: Учебник для университетов. 5-е изд.- М.: Наука., 1981. 544с., ил.

75. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализав математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. - 256с.,ил.

76. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. - 487 с., ил.

77. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968. - 720с., ил.

78. Смирнов В.И. Курс высшей математики. T.I: Учеб. для университетов. 22-е изд. - М.: Наука. 1981, - 480с., ил.

79. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычисления II: Учеб. пособ.- Физматгиз, i960. 620с., ил.

80. Повещенко Ю.А.', Попов Ю.П. Текон. пакет программ для решения тепловых задач. М., 1978. - 24с., ил. (препринт/ ИПМ АН СССР, № 65 за 1978 г.).

81. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1978. 534с., ил.

82. Калиткин H.H. Численные методы: Учеб. пособ. М.: Наука, 1978. - 512с., ил.

83. Ваграфтик Н.Б. Теплофизические свойства веществ. Справочник. М. - Л.: Госэнергоиздат, 1956. - 368с., ил,

84. Минкевич А.Н. Химико-термическая обработка металлов и спла-bob. M.: Машиностроение, 1965. - 491 е., ил.

85. Козловский И.С. Химико-термическая обработка шестерен. -М.: Машиностроение, 1970. 232с., ил.

86. Грег С., Синг К. Адсорбция, удельная поверхность, пористость. М.: Мир, 1970. - 407с., ил.

87. Зайт В. Диффузия в металлах. Процессы обмена мест. М.: Изд. иностр. лит., 1958. - 381с., ил.

88. Гегузин Я.Е. Физика спекания. М.: Наука, 1967. 360с., ил.

89. Мунц В.А., Баскаков А.П. Кинетические закономерности науглероживания стали. Металловедение и термическая обработка металлов, 1980, № 5, с. 48-50.

90. Мунц В.А., Баскаков А.П. Массообмен при науглероживании и обезуглероживании стали. Металловедение и термическая обработка металлов, 1983, № 2, с.21-24.

91. Справочник металлиста в 5 томах, т.2, под ред. д.т.н.

92. А.Г. Рахштадта, к.т.н. В.А. Брострема. 3-е изд., перераб. - М.: Машиностроение, 1976. - 780с., ил.

93. Таблицы физических величин. Справочник. Под ред. И.К.Кикоина. М.: Атомиздат, 1976. - 1006с., ил.

94. Беляев И.М., Рядко A.A. Методы нестационарной теплопроводности; учеб. пособ. М.: Высшая школа, 1978. - 328с., ил.

95. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. Справочное пособие. М.: Наука, 1979.- 224с.,ил.

96. Мюнтц Г. Интегральные уравнения, т.1. Линейные уравнения Вольтерра. М. - Л.: ГТТИ, 1934. - 330с.

97. Дульнев Г.М., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Справочная книга. Л.: Энергия, 1974. - 264с., ил.

98. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Гостехиздат, 1954. - 795с.,ил.

99. Барк С.Е., Крейнин Е.В. О разработке термических печей точного нагрева с циркуляцией греющей среды с помощью внешнего побудителя. В кн.: "Печи машиностроительной промышленности". Сб. трудов ВНИИПИ Теплопроект. М.: 1975, вып. 39,с. 98-103.

100. Настоящая работа была выполнена в рамках научного сотрудничества МГУ—311Я в период с 15.II.80 по 15.II.83. Объектом исследования является термическая обработка деталей в газовых печах. Результатом проделанной работы является:

101. Исследование режимов управления внутренним температурным полем металлических заготовок.

102. Алгоритм восстановления граничного режима при цементации из газовой средн.

103. Анализ возможных моделей маееопереноса в двухфазных средах ( металлокерамических прессовках).

104. Результаты данной диссертационной работы будут предметом внедрения при разработке новых технологических процессов п оборудования на заводах ПО ЗИЛ.

105. Оценка экономического э оекта может быть получена после завершения этапа проектирования.1..о.главного металлурга

106. Начальник отдела порошковой металлургии1С.Н.Сергеев1. З.А.Ковригий