Теоретический и численный анализ задач идентификации для линейных моделей конвекции - диффузии - реакции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Калинина, Евгения Александровна

• Калинина, Евгения Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Калинина, Евгения Александровна

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Обратная задача идентификации младшего коэффициента стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

1.1 Постановка прямой задачи

1.2 Постановка и разрешимость задачи идентификации.

1.3 Необходимые условия оптимальности.

1.4 Единственность и устойчивость решения задачи идентификации

1.5 Дополнительные свойства решения системы оптимальности

Глава 2. Численный анализ обратной задачи идентификации младшего коэффициента стационарного уравнения конвекции - диффузии

2.1 Численный алгоритм решения задачи идентификации на основе двухслойного градиентного итерационного метода (алгоритм

2.2 Численный алгоритм решения задачи идентификации на основе алгоритма Ньютона (алгоритм 2).

2.3 Сравнительный анализ результатов численных экспериментов, на основе алгоритмов 1 и 2.

Глава 3. Обратная задача идентификации плотности источника одномерного и двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

3.1 Прямая начально - краевая задача для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузииреакции

3.1.1 Постановка прямой задачи

3.1.2 Применение различных конечно-разностных схем для численного решения прямой задачи.

3.1.3 Обсуждение результатов вычислительных экспериментов по решению прямой задачи.

3.2 Обратная задача для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

3.2.1 Постановка обратной одномерной нестационарной задачи. Сведение к краевой задаче для нагруженного уравнения

3.2.2 Определение порядка аппроксимации нагруженного уравнения

3.2.3 Описание численного алгоритма решения обратной задачи

3.2.4 Анализ результатов численных экспериментов решения обратной задачи

3.3 Обратная задача для двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции

3.3.1 Постановка обратной задачи

3.3.2 Сведение к краевой задаче для нагруженного уравнения

3.3.3 Описание численного алгоритма решения обратной задачи

3.3.4 Обсуждение результатов численных экспериментов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретический и численный анализ задач идентификации для линейных моделей конвекции - диффузии - реакции»

Важнейшей задачей прикладной экологии является задача защиты окружающей среды от антропогенных загрязнений [1,2]. Применение метода математического моделирования к исследованию процессов распространения загрязняющих веществ в природных водоемах или в атмосфере приводит к необходимости решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих распространение загрязнений в рассматриваемых областях. Параметры, входящие в уравнение переноса загрязнений и граничные условия, являются важными характеристиками процесса распространения примеси, поэтому решение этих задач играет большую роль в прикладной экологии. Указанные задачи содержат ряд термогидродинамических параметров, а также функций, описывающих плотности источников примесей. Эти параметры и плотности должны быть заданы для однозначного определения искомого решения. Прямая задача связана с необходимостью найти решение внутри заданной области, удовлетворяющее заданному уравнению и заданным начальным и граничным условиям; так для стационарных уравнений задаются граиичные условия, а для нестационарных - еще и начальные условия. Эти задачи проникли в математику в конце XVIII века ( Л. Эйлер, П. Лаплас), однако их теория продолжает развиваться. Интересно отметить, что впервые краевыми задачами стали заниматься при решении задач механики и физики.

В настоящее время достаточно хорошо разработаны методы численного решения прямых задач математической физики. Для численного моделирования таких задач широко используются конечно-разностные методы [3 12] и метод конечных элементов [13,14] . Часто они дают нефизические осцилляции в численном решении. Чтобы их избежать используются специальные схемы повышенной точности (см., например, [15-24]).

Численная апроксимация уравнений математической физики приводит к системе алгебраических уравнений большой размерности. В силу ограничений на устойчивость для явных схем это приводит к большим затратам ресурсов на ЭВМ. Реализация неявных схем прямыми методами требует обращения матриц большой размерности, что также приводит к большим затратам. Альтернативный подход к решению больших систем уравнений состоит в применении итерационных методов [25-33].

Однако на практике часто возникают ситуации, когда некоторые из указанных параметров или плотностей источников неизвестны. В этих случаях приходится наряду с искомым решением рассматриваемой краевой задачи отыскивать и неизвестные плотности источников либо параметры, используя некоторую дополнительную информацию о решении.

Приведенные примеры являются примерами так называемых задач идентификации для моделей распространения загрязнений в природных средах. Указанные задачи заключаются в нахождении неизвестных плотностей источников либо параметров среды, в которой происходит изучаемый процесс, по дополнительной информации о состоянии среды. Их еще называют обратными задачами, поскольку в этих задачах требуется восстановить причину воздействия по заданному следствию.

В теории обратных задач тепло- и массонереноса различают коэффициентные, граничные и эволюционные обратные задачи [34-37]. Обратные задачи часто являются некорректными в классическом смысле задачами. Типичным является нарушение требования непрерывной зависимости решения от вход-пых данных. Введение в класс корректных задач достигается сужением класса допустимых решений. Решение обратных задач непосредственно сводится к многократному решению прямых задач.

Впервые обратную краевую задачу как чисто математическую для гармонической функции поставил в 1929 году Д.Рябушинский. Примерно в те же годы обратными задачами занялись специалисты-аэродинамики, немецкие ученые В.Вейнинг, Р. Берц и В. Манглер. Последний в 1938 году опубликовал фундаментальную работу в этой области. В Советском Союзе различными краевыми задачами занимались в ЦАГИ. Существенный вклад в развитие теории этих задач внес Г.Г. Тумашев в 1942-1946 годах. Он предложил свой метод решения, который позволил расширить исследуемый класс задач. Вместе с М.Т. Нужиным они заложили основы общей математической теории обратных краевых задач [38].

В 80-х годах прошлого столетия, начиная с работ Н.В.Музылева [39,40], в ряде работ отечественных и зарубежных авторов стали интенсивно изучатся обратные задачи для моделей тепловой конвекции (см. [41-48]). В этих работах были изучены теоретические вопросы, а также предложены численные методы решения рассматриваемых обратных задач.

В настоящее время существуют два направления в изучении явлений тепло-и массопереноса. Первое связано с интенсивным развитием методов численного моделирования решения прямых и обратных задач для уточнения математической модели исследуемого физического процесса, составленной на основе законов сохранения. Вторым является дальнейшее совершенствование экспериментальных методов исследования процессов теилопереноса. Решение обратных задач позволяет получить количественную информацию о причинных характеристиках, входящих в математическую модель, а также определяет возможность получения достоверной информации об этих характеристиках при обработке данных физического эксперимента. Следует отметить, что среди задач второго направления следует различать два широких подкласса: один из них содержит задачи прогноза, другой - включает задачи конструирования. Как показывают данные математического моделирования, существует такая система измерений, для которой неизвестные зависимости тенлофизических характеристик материала могут быть найдены с высокой точностью. В связи с этим практический интерес представляет задача предварительной, до проведения реального эксперимента, оптимизации схемы или плана измерений. Так, в работах [49,50] проводится практическое доказательство возможности применения локально-оптимального планирования измерений в процессе подготовки нестационарных теплофизических экспериментов и обсуждаются результаты вычислительных экспериментов восстановления коэффициента теплопроводности многослойного материала в одномерной и двумерной областях, соответственно, выполненных на вложенных сетках для различных схем измерений. В работе [51] предложен эффективный численный алгоритм нахождения старшего коэффициента одномерного параболического уравнения, основанный на применении фильтрации для уменьшения шума в данных.

Наряду с коэффициентными, граничными и эволюционными обратными задачами на практике возникают и задачи восстановления плотностей неизвестных источников загрязнения. Часто эти задачи являются некорректными в классическом смысле. Во многих случаях естественно считать, что неизвестной является зависимость правой части от времени. Для приближенного восстановления неизвестной правой части используются различные подходы, основанные, прежде всего, на методах регуляризации [52]. Этот общий вычислительный алгоритм для решения некорректных задач идентификации использовался, например, в [53] для многомерных параболических уравнений. Традиционный подход в решении проблем идентификации источников состоит в сведении обратной задачи к интегральному уравнению Вольтерра первого рода с использованием функций Грина прямой задачи. В частности, такой метод использовался в [54] для нестационарного уравнения конвекции-диффузии при восстановлении плотности источника в случае, когда точка наблюдения находится вне рассматриваемой области. В некоторых работах (см., например, [55-57[) для задач идентификации используются методы теории обратимости динамических систем, позволяющие восстанавливать неизвестные входные воздействия на систему по заданной информации о выходе. В работе [58] предложен численный алгоритм для приближенного решения обратной задачи, заключающийся в восстановлении временной компоненты плотности источников тепла при известном ее пространственном распределении для простейшего одномерного параболического уравнения теплопроводности. Указанный алгоритм основан на сведении рассматриваемой обратной задачи к вспомогательной граничной задаче для нагруженного параболического уравнения [59]. Данный численный алгоритм сводит решение обратной задачи к решению двух прямых задач для нестационарного уравнения теплопроводности на каждом временном слое. Единственность восстановления временной компоненты следует из работы [60]. Следует отметить также работы [61,62], в которых восстановление плотности источника одномерного параболического уравнения теплопроводности осуществляется с использованием кусочно-линейных функций, коэффициенты которых определяются путем решения задачи минимизации, основанной на использовании переопределенных данных. В [03—05] рассмотрены обратные задачи, связанные с идентификацией граничных условий.

Во многих прикладных задачах возникает проблема идентификации коэффициентов уравнений с частными производными. Коэффициентные обратные задачи для линейных уравнений являются нелинейными. Это обстоятельство существенно осложняет проблему построения вычислительных алгоритмов для приближенного решения коэффициентных задач, делает практически невозможным полное и строгое обоснование их сходимости. Для численного восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений, как и для идентификации неизвестных плотностей источников загрязнений, используются различные подходы, многие из которых основаны на методах регуляризации [52]. Особого внимания заслуживают также методы параметрической идентификации, связанные с представлением искомого коэффициента в параметрическом виде и с нахождением параметров этого представления. Такой подход, в частности, осуществлен в [61,66] для восстановления старшего коэффициента нестационарного одномерного нелинейного параболического уравнения теплопроводности. В [67] представлен численный алгоритм идентификации коэффициента конвекции двумерного эллиптического уравнения, основанный на применении градиентного метода и алгоритма Ньютона. Традиционный подход в решении задач идентификации младшего коэффициента состоит в сведении обратной задачи к интегральному уравнению Вольтерра первого рода с использованием функции Грина прямой задачи. В частности, такой подход был осуществлен в [68] для определения младшего коэффициента одномерного параболического уравнения. Аналогичная задача рассмотрена также в [69], где проведен сравнительный анализ применения для ее численного решения четырех конечно-разностных схем разного порядка точности. В [70,71] предложены численные алгоритмы решения задачи идентификации младшего коэффициента двумерного эллиптического уравнения в ограниченной области через усредненные данные о потоке, основанные на использовании двухслойного градиентного метода и квазиньютоновского алгоритма соответственно. В [72] представлен численный алгоритм решения экстремальной задачи идентификации младшего коэффициента для эллиптического уравнения переноса примеси, основанный на подходе, впервые примененном в работе [73].

Отметим также работы [74-76], в которых рассматривается обратная задача для общего параболического уравнения с неизвестным зависящим от времени старшим коэффициентом. В [74] установлены условия существования и единственности решения данной задачи. Подход, примененный в [75] для решения данной задачи, связан с представлением неизвестного коэффициента в недивергентной форме. Там же также представлены результаты серии вычислительных экспериментов. В [76] развивается монотонный итерационный алгоритм для численного решения в классе конечно-разностных уравнений диффузии-реакции с нелинейным коэффициентом диффузии. В частности, доказано, что использование в качестве начальной итерации верхнего или нижнего решения ведет к монотонной сходимости соответствующей последовательности к единственному решению конечно-разностной схемы. Кроме того, показано, что если шаг сетки стремится к нулю, то решение конечно-разностной задачи сходится к решению исходной дифференциальной задачи.

Отмстим также работы, в которых исследуются задачи идентификации сразу нескольких неизвестных коэффициентов. Среди них упомянем [77 79], где рассматриваются вопросы, связанные с существованием и единственностью восстановления как коэффициента диффузии, так и коэффициента конвекции двумерного параболического уравнения. Там же установлены условия существования и единственности решения обратной задачи, состоящей в одновременном нахождении коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости в случае, когда они являются функциями времени.

Наряду с обратными задачами важную роль в приложениях играют и задачи управления для моделей распространения загрязнений. Эти задачи заключаются в достижении определенных "экологических" целей за счет действия граничных либо распределенных управлений, роль которых играют координаты, мощности и другие параметры источников загрязнений. Интерес к этим задачам появился в 70-80-е годы прошлого столетия, начиная с пионерских работ Г.И. Марчука, В.В. Пененко и других исследователей, посвященных решению задач оптимального размещения предприятий вблизи экологически значимых зон.

Важно отметить, что исследование обратных задач можно свести к исследованию соответствующих экстремальных задач. Это достигается путем введения функционала качества, адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче и последующей его минимизации на решениях исходной задачи. На этом пути возникают обратные экстремальные задачи, для исследования которых можно применять методологию, развитую для исследования задач управления. Это позволяет рассматривать обратные задачи и задачи управления с единых позиций математической теории оптимального управления и применять для из решения один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач условной оптимизации (см. [8092]).

Перейдем к формулировке основных результатов диссертационной работы. Указанная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Калинина, Евгения Александровна

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [93]- [99].

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук профессору Г.В. Алексееву за постановку задачи и ценные обсуждения результатов работы, а также кандидатам физ.-мат. наук Д.А. Терсшко и Р.В. Бризицкому за полезные замечания, направленные на улучшение содержаия работы.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Калинина, Евгения Александровна, 2007 год

1. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.:Наука, 1982. 319 с.

2. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И. Математическое моделирование в задачах защиты окружающей среды. Новосибирск: ИНФОЛИО- ПРЕСС, 1997. 240 с.

3. Крукиер Л.А., Муратова Г.В. Решение стационарного уравнения конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной многосеточным методом// Изв. ВУЗов. Северо-кавказский регион. Мат. модел. Спецвып. 2001. С. 105-109.

4. Крукиер Я.А., Муратова Г.В. Использование метода конечных разностей для решения уравнения мелкой воды. //Мат. модел. 2001. Т. 13. N. 3. С. 57-60.

5. Crank J, Nikolson P. A practical method for numerical evaluation of solution of differential equations of heat-conduction type // Proc. Camb. Phil. Soc. 1947. V.43. P. 50-67.

6. Самарский A.A., Вабищевич П.H. Аддитивные схемы для задач математической физики // М.: Наука, 1999.

7. Вабищевич П.Н., Самарский А.А. Об устойчивости разностных схем для задач конвекции/диффузии // ЖВМ и МФ. 1997. Т. 37. N. 2. С. 182-186.

8. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Магпус П.П. Сильная устойчивость дифференциально-операторных и операторно-разностных схем // ДАН. 1997. Т. 356. N. 4. С. 455-457.

9. Владивосток: Дальнаука. 1999.

10. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

11. Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Theory and algorithms. Berlin: Springer-Verlag. 1986.

12. Usmani R.A., Agarwal R.P. An A-stable extended trapezoidal rule for the numerical integration of ordinary differential equations // Computers Math. Applic. 1985. V. 11. N. 12. P. 1183-1191.

13. Jacques I.B. Extended one-step methods for the numerical solution of ordinary differential equations // Intern. J. Computer Math. 1989. V. 29. P. 247-255.

14. Chawla M.M., Al-Zanaidi M.A., Al-Sahhar M.S. Stabilized fourth order extended methods for the numerical solution of ODEs // Intern. J.Computer Math. 1994. V. 52. P. 99-107.

15. Chawla M.M., Al-Zanaidi M.A., Al-Sahhar M.S. A class of stabilized extended one-step methods for the numerical solution of ODEs // Computers Math. Applic. 1995. V. 29. N. 10. P. 79-84.

16. Chawla M.M., Karaballi A.A., Al-Sahhar M.S. Extended double-stride Instable methods for the numerical solution of ODEs // Computers Math. Applic. 199G. V. 31. N. 2. P. 1-6.

17. Chawla M.M., AL-Zanaidi M.A. An Extended Trapezoidal Formula for the Diffusion Equations // Сотр. and Math. Appl. 1999. V.38. P. 51-59.

18. Chawla M.M., AL-Zanaidi M.A., AL-Aslab M.G. Extended One-Step Time-Integration Schemes for Convection-Diffusion Equations // Сотр. and Math. Appl. 2000. V. 39. P. 71-84.

19. Wang H. , Jiang J. Solution of system of linear algebraic equations by decreasing dimension // Applied Mathematics and Computation. 2000. V. 109. P. 51-57.

20. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы повышенного порядка точности на неравномерных сетках // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N. 2. С. 265-274.

21. Крукиер J1.А. Решение сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений итерационным методом, основанным на косо-симметричной части исходной положительной матрицы // Мат. модел. 2001. Т. 13. N. 3. С. 49-56.

22. Крукиер J1.А., Мартынова Т.С. О влиянии формы записи уравнения конвекции-диффузии на сходимость метода верхней релаксации // Выч.мат. и мат.физ. 1999. Т. 39. N. 11. С. 1821-1827.

23. Крукиер Л.А., Чикина Л.Г. Двуциклический треуголный кососиммет-рический итерационный метод решения сильно несимметричных систем // Изв. ВУЗов. Математика. 2001. Т. 468. N. 5. С. 36-42.

24. Мартынова Т.С., Белоконь Т.В. Нестационарный итерационный метод решения сильно несиметричных систем линейных алгебраических уравнений // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. N. 3. С. 61-68.

25. Krukier L.A., Martynova T.S. Point SOR and SSOR Methods for the Numerical Solution of the Steady Convection-Diffusion Equation with Dominant Convection // IMACS Series in Computational and Applied Mathematics. 1999. V. 5. P. 399 404.

26. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.

27. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС. 1999.

28. Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. Современные методы математического моделирования // Сборник лекций.Самара. 2001. С. 21-40.

29. Самарский А.А., Вабищевич П. Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики. Фундаментальные основы математического моделирования. М.: Наука. 1997. С. 5-97.

30. Alifanov О.М. Inverse Heat Transfer Problems. Springer.Berlin. 1994.

31. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Computational Heat Transfer. Wiley. Chichester. 1995.

32. Тумашев Г.Г., Нужин M.T. Обратные краевые задачи и их приложе-ния//Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1965. 333 с.

33. Музылев Н.В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач тепловой конвекции // ЖВМ и МФ. 1980. Т. 20. N. 2. С. 388-400.

34. Музылев Н.В. О единственности решения обратной задачи линейной тепловой конвекции // Ж. вычисл.мат. и мат.физ. 1985. Т. 25. N. 9. С. 1346-1352.

35. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение. 1988.

36. Пененко В.В., Рапута В.Ф., Быков А.В. Планирование эксперимента в задаче оценивания мощности источников примеси // Физика атмосферы и океана. 1985. Т. 21. N. 9. С. 913-920.

37. Besk J. V., Blackwell В., Clair C.St. Inverse Conduction Ill-posed Problems. Wiley. New York. 1985.

38. Cannon J.R., Zachmann D. Parameter determination in parabolic differential equations from overspecified boundary data // Int. J. Engng.Sci. 1982. V. 20. P. 779-788.

39. Cannon J.R., Duchateau P. An inverse problem for a non-linear diffusion equation // SIAM J. Appl.Math. 1980. V. 39. P. 272-289.

40. Cannon J.R., Duchateau P. Determining unknown coefficients in a nonlinear conduction problem // SIAM J. Appl. Math. 1973. V. 24. P. 298-314.

41. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1988.

42. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука. 1986.

43. Артюхин Е.А., Будник С.А., Охапкин А.С. Численное решение коэффициентных обратных задач теплопроводности и оптимизация температурных измерений // ИФЖ. 1988. Т. 55. N. 2. С. 292-304.

44. Бойко О.А., Зеркалъ С.М., Иткина Н.Б. Применение методов планирования эксперимента при решении обратных коэффициентных задачтеплопереиоса. Препринт N 125. РАН. Сиб.отд-ние. Институт математики. Новосибирск. 2003. 20 с.

45. Al-Khalidy N. On the solution of parabolic and hyperbolic inverse heat conduction problems // Intern.Jour.of Heat and Mass Transfer. 1998. V. 41. P. 3731-3740.

46. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979.

47. Самарский А.А.,Вабищевич П.Н. Дифференциальные методы решения задач идентификации обнаружения источников параболических уравнений // Вестник МГУ. Сер. Матем. и киберн. 1995. Вып. 1. С. 47-5G.

48. Криксин Ю.А, Плющев С.Н., Самарская Е.А., Тишкин В.Ф. Обратная задача восстановления источника для уравнения конвективной диффузии // Матем. модел. 1995. Т. 7. N. И. С. 95-108.

49. Борухов В. Т. Инверсия линейного инварианта динамических систем во времени с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1982. N. 5. С. 29-30.

50. Кряжимский А.В., Максимов В.И.,Осипов Ю.С. О позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. матем. и мех. 1982. Т. 47. N. 6. С. 883-889.

51. Колесников П.М., Борухов В. Т., Борисевич Л.Е. Метод обратных динамических систем для восстановления внутренних источников и граничных условий в теории переноса // ИФЖ. 1988. Т. 55, N. 2. С. 304-311.

52. Borukhov V.T., Vabishchevich P.N. Numerical solution of the inverse problem of reconstructing a distributed right-hand side of a parabolic equation// Computer Physics Communications. 2000. T. 12G. N. 1. C. 32-36.

53. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения //Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. N. 1. С. 86-94.

54. Криксип Ю.А., Плющев С.Н., Самарская Е.А., Тишкин В.Ф. К вопросу о единственности решения обратной задачи конвективной диффузии. Препринт Ин-та математического моделирования РАН N 23. Москва. 1994.

55. Fatullayev A.G. Numerical procedure for the determination of an unknown coefficients in parabolic equations. // Computer Physics Communications. 2002. V. 144. P. 29-33.

56. Fatulayev A.G. Numerical solution of the inverse problem of determining an unknown source term in a heat equation // Mathematics and Computers in Simulatiion. 2002. V. 58. P. 247-253.

57. Shidfar A., Azary H. Nonlinear parabolic problems // Nonlinear analysis, theory, Methods and Applications. 1997. V. 30. N. 8. P. 4823-4832.

58. Essaouini M., Nachaoui A., Hajji S.El. Numerical method for solving a class of nonlinear elliptic inverse problems // J. of Сотр. and Appl.Math. 2004. V. 162. P. 165-181.

59. Nachaoui A. Numerical linear algebra for reconstruction inverse problems // J. of Comput. and Appl.Math. 2004. V. 16. P. 147-164.

60. Fatullayev A.G. Determination of unknown coefficient in nonlinear diffusion equation // Nonlinear Analysis. 2001 V. 44. P. 337-344.

61. Ito K., Kunisch K. Estimation of the convection coefficient in elliptic equations //Inverse Problems. 1997. N. 14. P. 995-1013.

62. Shidfar A., Tavakoli К An inverse heat conduction problem // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2002. V. 26. P. 503-507.

63. Dehghan M. Finding a control parametr in one-dimensional parabolic equations // Applied Mathematics and Conputation. 2003. V. 135. P. 491503.

64. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. Москва: Едиториал УРСС, 2004. 480 с.

65. Lowe В., Rundell W. The determination of a coefficient in an elliptic equation from average flux data // J.of Computational and applied mathematics. 199G. V. 70. P. 173-187.

66. Терешко Д.А. Численное решение задач идентификации параметров примеси для стационарных уравнений массопереноса // Выч/гехн. Спец. вып. 2004. Т. 9. Ч. 4. С. 92 98.

67. Capatina A., Stavre R. Numerical analysis of a control problem in heat conducting Navier-Stokes fluid // Int. J. Eng. Sci. 1996. V. 34. N 13. P. 14G7 1476.

68. Иванчов Н.И. Определение зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сиб. матем. жури. 1998. Т. 39. N. 3. С. 539-550.

69. Shidfar A., Azary Н. An inverse problem for a nonlinear diffusion equation // Nonlinear analysis, theory, Methods and Applications. 1997. V. 28. N. 4. P. 589-593.

70. Wang J., Pao С. V. Finite difference reaction-diffusion equation equations with nonlinear diffusion coefficients // Numer.Math. 2000. V. 85. P. 485-502.

71. Музылев H.B. О единственности одновременного определения коэффициентов теплороводности и объемной теплоемкости // ЖВМ и МФ. 1983. Т. 23. N. 1. С. 102-108.

72. Иванчов Н.И., Пабыривска Н.В. Определение двух, зависящих от времени коэффициентов в параболическом уравнении // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. N. 2. С. 323-329.

73. Иванчов Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости // Сиб. матем. жури. 1994. Т. 39. N. 3. С. 612 621.

74. Capatina A., Stavre R. Algorithms and convergence results for an inverse problem in heat propagation // Intern. Journal of engeneering science, 2000. V. 38. P. 575-587.

75. Алексеев Г. В. Стационарные задачи граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Докл. РАН. 1998. Т. 362. N. 2. С. 174-177.

76. Алексеев Г.В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. N. 5. С. 982-998.

77. Адомавичюс Э.А. О разрешимости некоторых экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции // Дальневост. матем. сб. 1998. Выи. 5. С. 74-85.

78. Алексеев Г.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теило-массопереноса // ДАН. 2000. Т. 375. N. 3. С. 315-319.

79. Alekseev G.V., Adomavichus Е.А. Theoretical analysis of inverse extremal problems of admixture diffusion in viscous fluids // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2001. V. 9. N. 5. P. 435-468.

80. Алексеев Г.В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса //Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. N. 5. С. 971-991.

81. Алексеев Г.В., Адомавичюс Э.А. О разрешимости неоднородных краевых задач для стационарных уравнений массопереноса // Дальневост. мат. журн. 2001. Т. 2. N. 2. С. 138-153.

82. Алексеев Г.В., Адомавичюс Э.А. Исследование обратных экстремальных задач для нелинейных стационарных уравнений переноса вещества //Дальневост. мат.журн. 2002. Т. 3. N. 1. С. 79-92.

83. Алексеев Г.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории массопереноса // Ж. выч. матем. и мат. физ. 2002. Т. 42. N. 3. С. 380-394.

84. Алексеев Г.В., Прокопенко C.B., Соболева O.A., Терешко Д.А. Задачи оптимального управления для некоторых моделей распространения загрязнений // Выч.техн. Спец.вып. 2003. Т.8. Ч. 4. С. 65-71.

85. Адомавичюс Э.А.,Калинина Е.А. Экстремальные задачи идентификации для стационарных уравнений массопереноса // Выч. технол. Спец. вып. 2002. Т. 7, Ч. 1. С. 17-23.

86. Калинина Е. А. О численном решении обратной нестационарной задачи идентификации плотности источника для уравнения конвекции диффузии // Выч.технол. Спец. вып. 2003. Т.8. Ч. 2. С. 84-91.

87. Калинина Е.А. Использование схем повышенной точности для численного исследования обратных задач идентификации плотности источника одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Выч.технол.Спец. выи. 2004. Т.9. Ч. 2. С. 287-296.

88. Калинина Е.А. Численное решение задачи идентификации параметра примеси двумерного эллиптического уравнения // Выч. технол. Спец. вып. 2006. Т.1. С. 549-557.

89. Калинина Е.А. Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции диффузии // Дальнев. матем. журн. 2004. Т.5. N. 1. С. 89-99.

90. Калинина Е.А. Численное исследование обратной экстремальной задачи идентификации младшего коэффициента двумерного эллиптического уравнения // Дальнев. матем. журн. 2005. Т. 6. N. 1-2. С. 57-70.

91. Алексеев Г.В., Калинина Е.А. Идентификация младшего коэффициента для стационарного уравнения конвекции диффузии - реакции // Сиб. журн. индустр. матем. 2007. Т. И. N. 1. с. 3-16.

92. Треногин В. А .Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

93. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 240 с.

94. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.

95. Каханер Д., Моулер К., Нош С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 2001. 576 с.104. http://www.mathworks.com1105. http://www.imamod.ru/ vab/fortran.htm