Математическое моделирование термически нагруженных конструкций котельных агрегатов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Левченко, Марина Николаевна

• Левченко, Марина Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Левченко, Марина Николаевна

Содержание.

Введение.

Актуальность темы исследования.

Цель работы и задачи исследования.

Научная новизна.

Практическая значимость.

Апробация работы.

Результаты, представленные к защите.

1. Схемы расщепления для моделирования многомерных задач теплопроводности.

1.1. Локально-одномерные и локально-двумерные схемы для задач теплопроводности.

1.2. Метод суммарной аппроксимации.

1.3 Двухслойные операторно-разностные схемы.

1.4. Принцип максимума для сеточных уравнений и следствия из него.

1.5. Двумерные схемы переменных направлений.

1.6. Факторизованные двумерные схемы.

1.7. Локально-двумерные схемы для многомерного уравнения теплопроводности в декартовых координатах.

1.8. Схемы расщепления для решения смешанной задачи Коши для уравнения теплопроводности в случае обобщенных решений.

2. Методы решения двумерных сеточных уравнений теплопроводности.

2.1.Двухсеточный метод верхней релаксации решения сеточных тепловых задач.

2.2 Модифицированный попеременно-треугольный метод решения разностных краевых задач теплопроводности с функцией источника.

2.3 Некоторые быстрые прямые методы решения двумерных уравнений теплопроводности.

3. Построение и исследование математической модели термически нагруженных конструкций котельных агрегатов.

3.1 Постановка задачи.

3.1.1 Уравнение теплопроводности.

3.1.2 Расчётная сетка и её построение.

3.2 Перенос тепла посредством теплопроводности.

3.2.1 Перенос тепла между двумя ячейками.

3.2.2 Перенос тепла между ячейкой и всеми её соседями.

3.2.3 Нагрев и охлаждение радиатора воздухом.

3.3 Турбулентная диффузия тепла в жидкостях.

3.3.1 Определение коэффициентов турбулентной диффузии.

3.3.2 Перенос тепла при движении жидкости (конвекция).

3.4 Нагрев радиатора тепловым излучением огня.

3.4.1 Облучение отдельной грани.

3.4.2 Первая модель для функции распределения излучения.

3.4.3 Вторая модель для функции распределения излучения.

3.5 Итоговые уравнения для скорости изменения температуры в ячейках.

3.6 Разностные схемы.

3.7 Консервативная интерполяция результатов вычислений.

3.8 Описание комплекса программ.

3.9.Визуализация результатов при помощи программы Теср1о1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование термически нагруженных конструкций котельных агрегатов»

Повышение технико-экономических показателей котельных агрегатов приводит к необходимости математического моделирования термически нагруженных конструкций, имеющих сложную геометрию и состоящих из материалов (металлов) с различными тепловыми свойствами. Оребренные конструкции котельных агрегатов, подвергаются наиболее интенсивному тепловому воздействию и воспринимают тепловую энергию, выделяемую топливом в различных формах - в виде излучения в инфракрасном и видимом диапазонах, за счет кондуктивного и конвективного теплообмена. Тепловая энергия, полученная элементами конструкций преобразуется в тепловую энергию рабочей среды, используемой далее в генераторных установках для выработки электрической энергии и утилизации остаточной тепловой энергии для бытовых нужд. Долговечность и надежность котельных агрегатов в значительной степени определяется распределением температуры в них. В этих условиях численное моделирование является единственным надежным способом теоретического исследования термически нагруженных конструкций.

Для численного решения многомерных задач математической физики широкое распространение получил метод расщепления [28] (или дробных шагов). Начало его развитию в пятидесятых- шестидесятых годах XX века положили работы отечественных и зарубежных исследователей. Для решения многомерных параболических и гиперболических уравнений в произвольных областях весьма плодотворным является метод суммарной аппроксимации, предложенный академиком A.A. Самарским [53,56] и развитый в работах H.H. Яненко, Г.И. Марчука, Д.Г. Гордезиани, A.B. Гулина, В.Б. Андреева, А.Н. Коновалова, А.Д. Ляшко, В.Л.Макарова, И.В. Фрязинова и других [2,23,35,58,83,91]. Построение экономичных аддитивных разностных схем стало возможным в результате замены многомерной дифференциальной задачи последовательностью дифференциальных задач меньшей размерности и перехода от понятия аппроксимации в классическом смысле к более общему понятию суммарной аппроксимации. До работ А.И. Сухинова [67] конструирование аддитивных схем подразумевало, что основным методом решения получающихся систем разностных уравнений является один из вариантов прогонки. Отсюда вытекала необходимость замены многомерной задачи цепочкой одномерных дифференциальных задач, каждая из которых аппроксимировалась системой трехточечных разностных уравнений — локально-одномерной схемой (ЛОС). Однако, указанный переход приводит к тому, что наряду с погрешностью разностной аппроксимации появляется погрешность, обусловленная заменой многомерной дифференциальной задачи цепочкой одномерных задач. Реальная точность у ЛОС оказывается существенно меньшей, чем у схем, аппроксимирующих многомерную дифференциальную задачу в обычном смысле, особенно в случае разрывных коэффициентов. Поэтому актуальным является построение разностных схем, а также методов их решения, которые бы имели реальную точность, близкую к точности схем, аппроксимирующих задачу в обычном смысле и в то же время требовали количества арифметических операций, приходящегося на один узел сетки, не зависящего от общего числа узлов сетки (экономичные схемы), либо слабо зависящего от их количества.

В ряде важных случаев, которые будут перечислены далее, такими свойствами обладают локально-двумерные схемы (ЛДС), предложенные и исследованные А.И. Сухиновым [67], которые получаются при замене многомерной дифференциальной задачи цепочкой двумерных задач, с последующей их аппроксимацией в суммарном смысле. Разработка так называемых быстрых прямых методов решения систем линейных алгебраических уравнений, являющихся разностными аппроксимациями краевых задач для уравнений эллиптического типа, особенно эффективных в случае двумерных задач и регулярных областей, в работах зарубежных исследователей P.Swartztrauber , R. Hockney , D. Young, R. Agarval [91,96], а также A.A. Самарского, A.H. Коновалова, E.C. Николаева, И.Е.Капорина, Ю.А.Кузнецова, А.Б.Кучерова [27,52,56,60], и других, позволяет свести решение многомерных параболических уравнений к решению двумерных задач и перейти, тем самым, к использованию ЛДС. В настоящей работе построены экономичные алгоритмы решения задач теплообмена в элементах термически нагруженных конструкций, имеющих неоднородности, в том числе, разрывы в коэффициентах теплопроводности, что и определяет актуальность темы диссертационного исследования.

Целью работы является построение схем расщепления - ЛДС применительно к оребренным конструкциям котельных агрегатов, алгоритмов их численной реализации с затратами арифметических операций в случае разделяющихся переменных и регулярных сеточных областей o(N In N), а в общем случае с затратами O^N^2 j, обладающих лучшей точностью по сравнению с известными одномерными схемами расщепления в случае неоднородных, в том числе разрывных коэффициентов теплопроводности и построение комплекса программ для численного моделирования процессов теплообмена в оребренно-трубчатых конструкциях.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Построены и исследованы локально-двумерные схемы расщепления, предназначенные для решения начально-краевых задач для трехмерных уравнений параболического типа в. областях со сложной геометрией и обладающие лучшей реальной точностью по сравнению с одномерными схемами расщепления в случае коэффициентов теплопроводности, имеющих разрывы на цилиндрических поверхностях;

2. Построен усовершенствованный вариант модифицированного попеременно-треугольного метода (МПТМ), который позволяет численно реализовать неявные схемы для уравнения теплопроводности с функцией источника и обладает лучшими асимптотическими оценками вычислительных затрат (числа арифметических операций) по сравнению с известными вариантами МПТМ;

3. Разработан комплекс программ, позволяющий проектировщикам (конструкторам) котельных агрегатов выполнять вычислительный эксперимент с реальными трубчато-оребренными конструкциями и их оптимизацию в зависимости от следующих факторов:

-геометрии системы;

-параметров среды теплоносителя;

-параметров процесса теплообмена за счет инфракрасного излучения факела и конвективного теплообмена с топочными газами.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в том, что разработанный набор моделей и комплекс программ, их реализующий, могут быть применены для тепловых расчетов конструкций, имеющих сложную геометрию и содержащих неоднородности (соединение материалов с различными тепловыми свойствами, наличие дефектов в местах соединений, таких как раковины), что позволяет в значительной мере повысить эффективность проектно-конструкторской работы при проектировании оребренных конструкций - систем трубопроводов с уплотнительными элементами, обеспечивающими их герметичность.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VI Международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы и средства.» (г.Новочеркасск, 2006г.); на II Международной научно-технической конференции «Прогрессивные технологии в современном машиностроении» (г.Пенза, 2006г.),на Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (г.Таганрог, 2006г.)

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Левченко, Марина Николаевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе получены следующие основные результаты:

1. Рассмотрены локально-двумерные схемы расщепления, предназначенные для решения начально-краевых задач для трехмерных уравнений параболического типа в областях со сложной геометрией и обладающие лучшей реальной точностью по сравнению с одномерными схемами расщепления в случае коэффициентов теплопроводности, имеющих разрывы на цилиндрических поверхностях;

2. Исследован усовершенствованный вариант модифицированного попеременно-треугольного метода (МПТМ), который позволяет численно реализовать неявные схемы для уравнения теплопроводности с функцией источника и обладает лучшими асимптотическими оценками вычислительных затрат (числа арифметических операций) по сравнению с известными вариантами МПТМ;

3.Построен комплекс программ с развитыми средствами ввода конструктивных данных, проведения тепловых вычислительных экспериментов и визуализации результатов расчетов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Левченко, Марина Николаевна, 2008 год

1. Агабеков JI.E., Иванова Г.С. Программирование на С++. Изд-во МГТУ им Н.Э.Баумана, 1999.

2. Андреев В.Б. Уравнения с частными производными. М.:Фазис,1997.

3. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Численные методы и приложения.- М: Изд-во Московского университета 1989.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы .- М.: Наука, 1975.

5. Белоцерковский О.М.Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1994.

6. Бицадзе A.B., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1977.

7. Будак Б.М., Самарский A.A., Тихонов A.M. Сборник задач по математической физике. М.: ГИТТЛ, 1965.

8. Владимиров В.С.Уравнения математической физики.-МНаука-1971

9. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. -М.: Наука, 1966. Ю.Гордезиани Д.Г. Схемы расщепления для задач с разрывнымикоэффициентами, ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, с. 1436-1443.

10. Герб Саттер Решение сложных задач на С++.-М.: Наука-2000.

11. Годунов С.К. Уравнения математической физики. -М.: Наука -, 1979.

12. Годунов С.К. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

13. Демидович Е.М. Основы алгоритмизации и программирования., Изд-во BHV,2007.

14. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. -М.: Мир, 1969. Вып.1. 423 е., -М.: Мир, 1970. Вып. 2. 352 с. Вып. 3 344 с.

15. Джесс Либерти Программирование на С++. Изд-во Символ- Плюс, 2006.

16. Дьяконов В. Визуальное математическое моделирование. Изд-во Солон-Пресс, 2004.

17. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

18. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. -М.:Наука,1973.20.3оммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных. -М.: Изд-во иностр. лит., 1950.

19. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. — 1981.

20. Коновалов А. Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры, Новосибирск: ВО «Наука», Сибирская издательская фирма, 1993.

21. Коновалов А.Н.Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного уравнения колебаний. ДАН СССР, 1962, т. 147, с. 25-27.

22. Костомаров Д.П. Задачи Коши для гиперболических уравнений. Изд-во Наука, 2003.

23. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. -М.: Гос. изд. ф.-м. литер., 1962.

24. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2004.

25. Кузнецов Ю.А.Итерационные методы и квадратичные функционалы. Изд-во Наука, Новосибирск, 1972.

26. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1 -M.-JL: Гостехиздат, 1951.

27. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1988.

28. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. -М.: Наука, 1971.

29. Лебедев H.H. Специальные функции и их применения. -М.: ФИЗМАТГИЗ, 1968.

30. Ли Цзун Дао. Математические методы в физике. М.: Мир, 1965.

31. Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. -М.: Высшая школа, 1982.

32. Марченко А.Л. Основы программирования на С++ 2.О., Изд-во Бином, Лаборатория знаний, 2007.

33. Марчук Г. И. Методы расщепления. М. Наука, 1989.

34. Масленникова В.Н.Дифференциальные уравнения в частных производных. -М.: Изд-во Рос. ун-та дружбы народов, 1997.

35. Мизохата В.И. Теория уравнений с частными производными. -М.: Мир, 1977.

36. Милюкова О. Ю., Четверушкин Б. Н. Параллельный вариант попеременно-треугольного метода. ЖВМ и МФ, 1998, т. 38, № 2, с. 228 -238.

37. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: ГИТТЛ, 1957.

38. Мышкис А.Д., Элементы теории математических моделей.-М.; Наука-2007.

39. Николаев И. А, Сухинов А. И. Аддитивные схемы для моделирования трехмерных уравнений теплопроводности в цилиндрических и сферических координатах. Дифференциальные уравнения, т. 23, № 12, 1987, с. 122-132.

40. Павловская Т.А., Щупак Ю.А. С++. Структурное программирование. Изд-во «Питер» 2001.

41. Пахомов Б.И. C/C++ и MS Visual С++ 2005., Изд-во BHV,2007.

42. Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Изд-во Едиторал УССР, 2003.

43. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г. Математическая теория оптимальных процессов, 4-издание.- М.: Наука 1983.

44. Петровский И.Г.Лекции об уравнениях с частными производными. -М.:ГИТТЛД953.

45. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т.Т. 1,2. ,1982.Т.Т. 3,4.

46. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982. Т.1, - М.: Мир, 1984, Т.2,

47. Садовничий В.А. Теория операторов. Москва, Высшая школа, 1999, 3-е изд.

48. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука.—1971.

49. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука., 2-ое изд.—1983.

50. Самарский А. А., Вабищевич П.Н. Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск., 1999.

51. Самарский А. А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач диффузии-конвекции.М.: Эдиториал УРСС, 1999.

52. Самарский А. А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. —М.: Наука. — 1999.

53. Самарский А. А., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем.-М., Наука.-1973.

54. Самарский А. А., Гулин A.B. Численные методы математической физики.-М.: Наука.-1999.

55. Самарский A.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск, Наука и техника. 1996, 273с.

56. Самарский А. А., Николаева Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука. — 1978.

57. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005.

58. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. -М.ТИТТЛ, 1966.,изд.4-ое.

59. Спиридонов Г.А. Математические методы теплофизических исследований, Москва 1978г.

60. Страуструп Б. Язык программирования С++., Изд-во BHV, 2006.

61. Сухинов А. И. Васильев В. С. Локально-двумерные схемы для аппроксимации трехмерного уравнения теплопроводности в тороидальных координатах. Известия вузов, Математика 1996, № 3, с. 58 67.

62. Сухинов А.И. Двумерные схемы расщепления. Изд-во Макс Пресс, 2005, с.53-69.

63. Сухинов А. И. Модифицированный попеременно-треугольный метод для задач теплопроводности и фильтрации. Вычислительные системы и алгоритмы. Ростовский государственный университет. Ростов-на-Дону, 1984, с. 52-59.

64. Сухинов А.И., Левченко М.Н. Двухсеточный метод верхней релаксации решения сеточных задач теплового расчета конструкций.// Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Математика.- №9 2007., с. 147-149.

65. Сухинов А.И., Левченко М.Н.// Сборник статей Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» Таганрог ТГПИ 2006. С.23-25.

66. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. Изд-во Едиториал УССР, 2004.

67. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М: Изд-во Московского университета. 6-е изд., 1999.

68. Трофимов A.C., Пахомов P.A. Применение ЭВМ при тепловом расчете котельного агрегата- Краснодар КубГТУ 2001.

69. Труб И.И. Объектно-ориентированное моделирование на С++: Учебный курс Издательство: Питер, 2005.

70. Фадеев Д.К.,Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.-М.: Наука, 1963.

71. Фаронов В.В. Создание приложений с помощью С++. Изд-во Эксмо,2007.

72. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений. Успехи математических наук, т. 18, вып.2,1973, с. 121-181.

73. Франк Ф и Мизес 'Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики.-Л.-М.:ОНТИ, 1937.

74. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. -М.: Мир, 1968.

75. Фрязинов И. В. Экономичные симметризованные решения краевых задач для многомерного уравнения параболического типа. ЖВМ и МФ, 1968, т. 9, с. 1436-1443.

76. Фрязинов И. В. Экономичные схемы повышенного порядка точности для решения многомерных уравнений параболического типа ЖВМ и МФ, 1969, т.9, с. 1316-1326.

77. Фрязинов И. В. Экономичные схемы для многомерного уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами. ЖВМ и МФ, 1973, т. 13,с. 80-91.

78. Фрязинов И. В., БакироваМ. И. Об экономичных разностных схемах решения уравнения теплопроводности в полярных цилиндрических и сферических координатах. ЖВМ и МФ т. 12, № 2, 1972, с. 352 -363.

79. Хомоненко А.Д., Довбуш Г. Ф., Visual С++ на примерах., Изд-во BHV, 2007.

80. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. -М.: Мир, 1986. Т.1. 1987. Т.2

81. Эдварде и Пенни Differential Equations and Boudary Value Problems Computing and Modeling. Изд-во Вильяме, 2006.

82. Яненко H. Н. Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности. — ДАН СССР, т. 125, № 6, 1959, с. 1207 -1210.

83. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики.- Новосибирск: Наука, 1967.

84. Agarval R., Racich J.V. Computation of hypersonic viscous flow past spinning sharp and blunt cones at high angle of attack // AIAA Paper, 1978. N 65. -12 p.

85. Marchuk G. I. Splitting and Alternating Direction Methods. Handbook of Numerical Analysis. Amsterdam: North Holland, 1990. vol. 5. pp. 197-464.

86. Peaceman D. W. Rachford H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. Journal SIAM, 1955, vol. 3, p. 28-41.

87. A. I. Sukhinov. A. A. Sukhinov Economical 3D Hydrodynamics Model for Homoge-neous Water Basins and Its Parallel Realization. Book of Abstacts. The Inter-national Conf. Parallel Computational Fluid Dynamics 2003, May 13-15, 2003 Moscow, pp. 222 227.

88. Swarztrauber P. N. The Methods of Cyclic Reduction, Fourier Analysis, and the FACR Algorithm for the Discrete Solution of Poisson's Equation on the Rectangle. // SIAM Rev. — 1977, Vol. 19. — pp. 490 501.