Прямая оптимизация теплофизических процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, доктор физико-математических наук Толстых, Виктор Константинович

• Толстых, Виктор Константинович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Толстых, Виктор Константинович

Перечень основных условных обозначений и сокращений.

ВВЕДЕНИЕ.

РАЗДЕЛ

ПОСТАНОВКА ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

1.1. Простейшая задача оптимального управления потоком тепла в химическом реакторе.

1.2. Идентификация теплофизических параметров

1.3. Оптимальное управление теплофизическими процессами при непрерывной разливке метала.

РАЗДЕЛ 2 МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

2.1. Классическое вариационное исчисление.

2.2. Принцип максимума Понтрягина.

2.3. Вариационные неравенства.

2.4. Другие непрямые методы.

2.5. Экстремальные методы.

РАЗДЕЛ

РАЗРАБОТКА ПРЯМОГО ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ПОДХОДА ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

3.1. Исследование проблем сходимости экстремальных алгоритмов в моделях тепломассопереноса.

3.2. Производные в бесконечномерном пространстве.

3.3. Необходимые условия оптимальности.

3.4. Достаточные условия оптимальности.

РАЗДЕЛ

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛОВ ТЕПЛОФИЗИКИ

4.1. Регуляризация в алгоритмах минимизации.

4.2. Реализация необходимых условий оптимальности.

4.3. Учет достаточных условий оптимальности.

4.4. Оптимизация теплофизических систем с ограничениями.

РАЗДЕЛ

ГРАДИЕНТ ЦЕЛЕВОГО ФУНКЦИОНАЛА. УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЗАДАЧ ТЕПЛОФИЗИКИ

5.1. Развитие общей идеи определения производной Фреше.

5.2. Управляемость теплофизических систем с точки зрения экстремальных алгоритмов.

5.3. Градиент в задаче оптимального управления химическим реактором

5.4. Градиент в задаче идентификации теплофизических параметров

5.5. Градиент в задаче оптимального управления теплофизическими процессами при непрерывной разливке метала.

РАЗДЕЛ

ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

3.1. Оптимальное управление потоком тепла в простейшем химическом реакторе.

3.2. Идентификация эффективного коэффициента теплопроводности при формировании отливки.

3.3. Оптимальное управление охлаждением непрерывного стального слитка.

ВЫВОДЫ.

Перечень основных условных обозначений и сокращений

ДУО - достаточное условие оптимальности;

МНС - метод наискорейшего спуска;

НУО - необходимое условие оптимальности; n.B.S - почти всвду на S;

СРП - система с распределенными параметрами;;

Ьк ~ число, регулирующее глубину минимизирующих шагов;

В - ширина потока воды по верху русла, м; с - скорость распространения малых возмущений;

С - коэффициент Шези, эффективная теплоемкость, Дж/(кг К); dtda - направление, аддитивная коррекция направления минимизации с учетом изопериметрического условия;

D - оператор дифференцирования по т;

ST, 2? - Евклидовы пространства вектор-столбцов и вектор-строк; f - линейный функционал, множитель Лагранжа;

F - производная Фреше в точке и; g ~ ускорение свободного падения, mVc;

Gu - производная Гато в точке и; h - единичный элемент Гильбертова пространства, ||h|H;

Н9Н* - бесконечномерное Гильбертово и сопряженное с ним пространства, глубина потока вода в русле, м; ~ Гамильтониан; i, j - индексы компонент векторов, узлы конечно-разностных аппроксимаций; t - уклон дна русла;

I - подъинтегральная функция целевого функционала;

IF. - штрафная функция;

J - целевой функционал/функция; штрафной функционал; дифференциал Гато, первая вариация функционала J в точке и по направлению ft; градиент функционала/функции; номер итерации; изопериметрическая постоянная; пространство функций с интегрируемым квадратом; размерности пространств; направление сопряженных градиентов; оператор проецирования на множество Uad; распределенный боковой расход воды в русле, mVc, отток тепла в реакторе, кДж/(м*с); расход воды в русле, я?/с; радиус окрестности точки минимума, координата цилиндрической системы; радиус начала твердой фазы цилиндрического слитка; одномерное Евклидово пространство, гидравлический радиус, радиус слитка, м; пространственно-временное множество определения управления; пространственно-временное множество управляемости СРП; пространственно-временное множество определения целевого функционала; пространственно-временное множество определения штрафного функционала; пространственно-временные множества закрепленных и незакрепленных значений управления; время, с;

Т - сглаживающий функционал, температура, К;

2М7г] - линейный функционал, "векторная" производная по направлению 7г в точке и;

- температура солидуса, ликвидуса, К;

Тс - температура кристаллизатора, заливки металла, К; Та - температура за.ливки металла, К; и - управление-функция в пространстве Н; и - управление-вектор в пространстве В";

- оптимальное управление; и - управление, подозреваемое на строгий локальный минимум;

Ли - величина отклонения управления от оптимального значения; UtU* ~ пространство, сопряженное пространство управлений; 11 ad - допустимое множество (подпространство) управлений; Цл - множество сингулярных точек целевого функционала, U*dJd ; <и - компактное множество корректных в смысле А.Н.Тихонова обратных отображений из пространства состояний СРП в пространство управлений; v - состояние СРП;

V,V* - пространство, сопряженное пространство состояний СРП; Vad - допустимое множество состояний; w - скорость потока воды в русле, м/с, скрытая теплота кристаллизации, Дж/кг; IV - скорость вытяжки (литья) металла, м/с; х, у, z - декартовы координаты; zc - нижняя граница кристаллизатора, м; Z - уровень воды в русле, нижняя граница зоны вторичного охлаждения, м; а - параметр регулирования направлений минимизации; с^ -- параметр регуляризации; р - параметр регулирования шаблонных направлений минимизации;

7 - коэффициент теплоотдачи, кДж/^с К); б - отклонение, вариация, б-функция;

С - весовой коэффициент штрафного функционала;

6 - 6-функция; ге ~ показатель степени штрафной функции;

X - эффективная теплопроводность, Вт/(м К);

1 - доля твердой фазы, характеристики гиперболической системы; р - плотность, кг/м3,

2 - ограниченное пространственно-временное множество функционирования СРП; t - пространственно-временная переменная, с или/и м ; ф - шаблонное приближение управлений; смоченный периметр поперечного сечения русла, м; ш - площадь поперечного сечения потока воды в русле, м2; ft - стабилизируиций функционал;

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямая оптимизация теплофизических процессов»

Изучение и управление процессами переноса тепла, ташульса и массы имеет большое значение для науки и техники и связано с развитием теплофизики, термодинамики, молекулярной физики и химической кинетики. При этом Значительное место отводится теплофизике.

Теплофизические процессы играют определяющую роль во многих промышленных технологиях. Прежде всего, следует отметить химике-технологические процессы, где перенос как кондуктивный, так и конвективный, являются доминирующими при получении той или иной продукции. Значительное место теплопередача занимает и в различных сферах металлургического производства. Правильная организация процессов тепломассопереноса при термической обработке изделий позволяет экономить энергию и получать высококачественную продукцию.

Проблемы современной науки и техники необычайно расширили область практических приложений теории теплофизики и теплотехники, они поставили перед ними ряд новых исключительно сложных и глубоких физических задач. Необходимость их решенйя и практического использования получаемых результатов требует применения разнообразных методов современной науки, в том числе, и новейших достижений теории оптимизации.

Как правило, современные объекты теплофизики распределены в пространстве. При этом математические уравнения, описывающие тепловые процессы, являются уравнениями в частных производных. Такие объекты называют системами с распределенными параметрами (СРП) .

СРП охватывают широкий круг объектов и процессов. Это системы, состояние которых зависит от одной, двух или трех пространственных переменных, стационарные или ю нестационарные, Проблемы математического моделирования таких систем (идентификация), оптимальное управление, автоматизация, создание на их основе экономичных, экологически чистых производств является актуальным. Перечисленные задачи могут решаться в полной мере только при наличии эффективных методов оптимизации СРП. Фразы "поиск оптимального управления" и "оптимизация" здесь являются синонимами.

Управление в СРП может быть не только числом, вектором но и функцией пространственных и временной переменных, что существенно усложняет и постановку, и решение оптимизационных задач теплофизики.

В первом разделе настоящей диссертации рассматриваются три задачи оптимизации теплофизических СРП. Первая задача оптимального управления связана с одномерным, линейным параболическим уравнением, которому ставится в соответствие некоторый простейший химический реактор. Задача управления заключается в удержании номинальной температуры реакции, проходящей с поглощением тепла [37, 117, 135]. На примере данной задачи исследуются и тестируются традиционные и новые экстремальные методы оптимизации.

Вторая задача связана с идентификацией теплофизических параметров [26, 84]. Точность математического моделирования процессов затвердевания, в основном, определяется точностью задания значительного числа параметров, входящих в управления конвекции и тепло-массопереноса. Такие уравнения довольно громоздки, при численном решений требуют значительных ресурсов ЭВМ и не гарантируют желаемой точности. Вычислительные затраты могут быть снижены путём введения эффективных коэффициентов теплопроводности и диффузии. Это позволяет отказаться от расчёта уравнений конвекции и существенно снизить число экспериментально определяемых параметров, Такие коэффициенты не могут быть измерены непосредственно. их достоверные значения могут быть получены только в процессе параметрической идентификаций .

Третья задача посвящена актуальной проблеме металлургии - управлению теплофизическими процессами при непрерывной разливке металла [13, 36, 81, 84, 85, 99, 117, 136]. Здесь СРП - это нелинейное эллиптическое уравнение, описывающее установившиеся тепловые процессы в многофазном состоянии металла. Исследуется проблема оптимального теплоотвода в зоне вторичного охлаждения цилиндрического слитка с целью минимизации термических напряжений в затвердевающей фазе. Высокие термонапряжения ухудшают прочностные характеристики металла,

В настоящее время имеется большое разнообразие подходов и методов в теории оптимального управления [20,27,29,30,34,38,39/51,53,66,70,77,78,89,93] и др. Во втором разделе настоящей работы рассматриваются традиционные наиболее известные подходы - это классическое вариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина, вариационные неравенства, динамическое программирование, проблема моментов. Все они были созданы для оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами.

Бесконечномерность фазового пространства СРП приводит к исчезновению формализма в алгоритмах решения, превращает необходимые условия оптимальности (НУО) в громоздкие выражения, подчас принципиально не реализуемые при практическом построении оптимального управления [51, 65].

Каждый из указанных подходов имеет свой математический аппарат и специфическую точку зрения на решение задач оптимизации. Обильные теоретические исследования в данной области относительно редко имеют численные реализации. В основном рассматриваются линейные СРП, В общем случае отсутствуют достаточные условия оптимальности (ДУО) , предполагается гладкость задач. Все это подтверждает отсутствие эффективного универсального подхода к решению задач оптимизации СРП.

Перечисленные выше традиционные подходы являются непрямыми. Они разбивают решение задачи оптимизации на два этапа: I - отыскание выражения., предетавляющегс-собои ту или иную форму НУО; 2 - поиск оптимального управления из полученного выражения НУО. Для СРП оба эти этапа являются весьма громоздкими и не всегда преодолимыми, не говоря уже о низкой наглядности всей процедуры достижения конечного результата.

Представляется целесообразным для решения задач оптимизации распределенных теплофизических процессов использовать прямой подход, основанный на непосредственной минимизации целевого функционала различными экстремальными методами.

Однако реализация экстремальных алгоритмов в процессах тепломассопереноса сталкивается с принципиальными трудностями, связанными с существенной нелинейностью данных процессов. Конечные изменения искомых теплофизических параметров могут приводить к чрезмерно малым изменениям в градиенте целевого функционала, при помощи которого строятся итерационные приближения к оптимальному решению. Оказывается, традиционные алгоритмы оптимизации далеко не всегда справляются с такими ОСОБЕННОСТЯМИ теплофизических задач.

Существуют два пути решения экстремальных задач теплофизики: 1 - минимизация целевого функционала в бесконечномерном пространстве управлений; 2- аппроксимация Задачи оптимизации конечными разностями или разложение оптимизируемых параметров по базисным функциям и сведение задачи к конечномерной оптимизации. особенности каждого из этих путей рассмотрены в конце второго раздела. Показано, что второй путь весьма громоздок для СРП и, кроме того, порождает множество дополнительна проблем,, по-существу, превращая прямой подход в непрямой.

Современные алгоритмы бесконечномерной минимизации достаточно полно описаны в работах [33, 96]. Однако в них отсутствуют примеры численных решений, в подразделе 2,5 на примере конкретных решений первой задачи оптимального управления химическим реактором демонстри^ руются слабые стороны традиционных бесконечномерных методов первого порядка. Тестируются градиентные методы и метод сопряженных градиентов. Указанные методы не приводят к точному решению за значительное число итераций. Полученные расчеты подтверждают известный факт [33] , что экстремальные методы первого порядка в бесконечномерных пространствах даже при квадратичных функционалах оказываются крайне неэффективными.

ДУО для экстремальных методов имеется только для выпуклых и дважды дифференцируемых функционалов. Проверка выпуклости, вычисление вторых производных целевого функционала может оказаться весьма громоздкой и проблематичной процедурой, особенно для нелинейных задач. В реальных прикладных задачах целевые функционалы могут быть не выпуклыми и не дифференцируемыми.

Анализ современных подходов; и методов оптимизации теплофизических СРП приводит к следующему выводу. "Несмотря на обилие разнообразных публикаций, в теории управления СРП пока не удалось получить удовлетворительного ответа на многие вопросы, которые для конечномерных систем являются элементарными" [51] .

Таким образом, проблемы бесконечномерной оптимизации процессов теплофизики остаются актуальными по сей день. В частности, как подтверждают расчеты последнего

раздела, данные проблемы являются АКТУАЛЬНЫМИ и для рассматриваемых в диссертации трех задач оптимизации теплофизических процессов.

В связи с вышеизложенным, ЦЕЛЬЮ настоящей работы является разработка нового эффективного прямого экстремального подхода для оптимизации теплофизических процессов и решение данным подходом задач оптимизации, сформулированных в первом разделе. Данная цель была достигнута посредством решения трех

ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ: 1 - разработка новых НУО и ДУО; 2 -разработка на их основе новых экстремальных алгоритмов минимизации функционалов теплофизики; 3 - применение полученных алгоритмов к задачам оптимизации теплофи-зических СРП.

Основы нового прямого подхода закладываются в третьем разделе, где сформулированы и доказаны новые НУО и ДУО для функционалов не обязательно выпуклых и гладких [110,116,117,136]. Новые условия оптимальности формулируются в локальной форме для всех или почти всех (случай разрывных управлений) пространственно-временных точек определения функции-управления. Кроме того, НУО и ДУО формулируются относительно поведения только первых производных (градиента) целевого функционала в окрестности экстремума. Последнее обстоятельство особенно важно при приблизительной реализации условий оптимальности различными численными методами.

Новая локальная форма НУО в окрестности минимума позволяет исследовать и контролировать характер сходимости управления к оптимальному значению, чего невозможно сделать при традиционной интегральной форме НУО, и, что особенно актуально, для оптимизации процессов тепломассопереноса.

Раздел 4 посвящен разработке новых численных алгоритмов минимизации [110,112,114,117,135], основанных на новых НУО и ДУО. Такие алгоритмы позволяют при помощи специального параметра-функции а регулировать направление спуска относительно градиента или сопряженных градиентов, обеспечивая при этом равномерную или почти всюду сходимость к оптимальному управлению. Новые алгоритмы с регулируемым направлением спуска могут адаптироваться при помощи параметра а к минимизации различных теплофизических функционалов. Кроме того, новые алгоритмы обладают высокой адаптацией к экспериментальным и вычислительным погрешностям. В работе доказываются регуляризирукяще свойства таких алгоритмов. Рассматриваются два метода адаптации функции а - эвристический метод и метод, основанный на новой форме НУО, Как показывают расчеты, полученные методы оказываются очень эффективными при минимизации квадратичных и близких к квадратичным функционалов в задачах теплофизики, описанных в первом разделе.

Особенностью задач оптимального управления является то, что целевой функционал всегда неявно зависит от управления, поэтому его минимизация сопровождается рядом условий, ограничений. Для задач СРП таковыми условиями, в первую очередь, являются непосредственно уравнения в частных производных, содержащие искомое управление. в разделе 5 предлагается процедура (алгоритм) определения градиента как производной Фреше от неявно заданного целевого функционала. Такая процедура представляет собой одну из модификаций метода множителей Лагранжа в вариационном исчислении. в подразделах 3-6 описываются процедуры определения градиента целевых функционалов для каждой из сформулированных в первом разделе задач оптимизации. Техника учета отдельных ограничений либо на управление, либо на состояние теплофизической СРП рассматривается в подразделе 4.4.

В подразделе 5.2 вводится новое понятие управляемости теплофизическими процессами с точки зрения экстремальных алгоритмов [ill, 113, 117], Показано, что оно может трактоваться как условная корректность по А.Н. Тихонову Задачи оптимизации. При этом проблема управляемости сводится к относительно простой процедуре контроля вида подынтегральной функции целевого функционала и его пространственно-временной области определения. В подразделах 5.3-5.5 при определении градиентов для каждой задачй оптимизации проводйтся и анализ управляемости рассматриваемого теплофизического процесса.

Последний раздел содержит примеры конкретных численных решений задач оптимизации теплофизических процессов, сформулированных в первом разделе. Примеры включают дифференцируемые и не дифференцируемые целевые функционалы, различные ограничения на множество управлений и состояний, т.е. на температуру процессов. Тестовые расчеты подтверждают эффективность полученных алгоритмов, высокую точность и наглядность прямого решения задач оптимизации теплофизических процессов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА результатов работы заключается в разработке нового прямого экстремального подхода для оптимизации теплофизических СРП, а также в решении данным подходом ряда важных физических, теплотехнических, металлургических задач. Новизну работы составляют следующие основные положения:

1. Сформулированы и доказаны новые НУО и ДУО для численного решения Задач оптимизации распределенных теплофизических процессов;

2. На основе полученных НУО и ДУО разработаны новые экстремальные адаптивные алгоритмы для минимизации теплофизических функционалов на открытых множествах. Алгоритмы прекрасно адаптируются к выпуклости квадратичных функционалов а также к различным вычислительным и возможным экспериментальным погрешностям;

3. Разработаны новые методы учета физических и технических ограничений рассматриваемых процессов тепломассопереноса, а именно, ограничений в виде изопе-риметрического условия для функции теплового потока, а также Для оптимизации в классе кусочно-постоянных функций в рамках прямого экстремального подхода;

4. Разработан новый алгоритм анализа управляемости теплофизических систем, основанный на экстремальных алгоритмах;

5. Решена в одномерной постановке задача идентификации эффективных теплофизических параметров, позволяющих при моделировании процессов тепломассопереноса отказаться от расчетов гидродинамических уравнений;

6. Решена задача оптимального управления процессом затвердевания при непрерывной цилиндрической разливке металла с целью минимизации остаточных термических напряжений.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ И ВНЕДРЕНИЕ результатов работы:

Полученные алгоритмы прямой минимизации теплофизических функционалов могут широко использоваться для практического численного решения большого круга задач оптимизации теплофизических и теплотехнических систем.

Разработанным в диссертации прямым экстремальным подходом была решена задача оптимизации теплофизических параметров при математическом моделировании процессов плавления промышленных отходов по заказу ООО "Промышленная компания Плавмет". Акт о внедрении результатов работ имеется в приложении.

Создана новая методика и программное обеспечение для оптимального управления охлаждением стального непрерывного слитка. Рассчитанные оптимальные режимы охлаждения непрерывного слитка по данным Днепровского металлургического комбината внедрены в Днепродзержинском государственном техническом университете. Акт о внедрении результатов работ имеется в приложении.

Результаты работы также внедрены в учебный процесс. Для студентов кафедры "Физической экологии" Донецкого Национального университета автором диссертации разработан и читается курс "Оптимизация в экологии". Для студентов кафедры "Компьютерных технологий" автором диссертации разработан и читается курс "Моделирование систем".

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ:

1. Новые НУО, ДУО и основанные на них алгоритмы минимизации теплофизических функционалов/

2. Новый алгоритм анализа управляемости теплофизических систем, основанный на экстремальных алгоритмах;

3. Алгоритм идентификации эффективных теплофизических параметров;

4. Новая методика оптимального охлаждения металла при его непрерывной разливке;

ВКЛАД В ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, которые выносятся на защиту, ПОЛНОСТЬЮ ПРИНАДЛЕЖИТ АВТОРУ и опубликован им в различных изданиях без соавторов. В работах написанных в соавторстве с Г.А. Атановым (2 работы) и С,Т.Ворониным (5 работ) Научный вклад, внесенный лично соискателем, заключается в разработке и применении оригинальных методов для минимизации функционалов, программировании задач, вьшолкении вычислительного эксперимента. В работах написанных в соавторстве с Ф.В.Недопекиным (8 работ) И Н.А.Володиным (аспирант диссертанта, 12 работ) научный вклад, внесенный лично соискателем, заключается в постановке задач оптимизации с оригинальными численными алгоритмами минимизации и в анализе результатов вычислений.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Материалы диссертации докладывались и обсуждались в следующих аудиториях:

- на научных конференциях Донецкого госуниверситета

- на научном семинаре кафедры математической физики МГУ (рук. семинара проф. Ф.П. Васильев , 1994 г)

- на научном семинаре Днепропетровского института железнодорожного транспорта (рук. семинара проф. А. И. Егоров, 1995 г.)

- на научном семинаре института Проблем управления, г. Москва (рук. семинара проф. А. Г. Бутковский, 1990, 2000 г.) на научном семинаре факультета кибернетики Киевского госуниверситета (рук. семинара проф. А.Г. Наконечный и проф. С. И. Лязико, 1996 г.) на научном семинаре кафедры математических методов системного анализа Киевского политехнического института (рук. семинара проф. B.C. Мельник, 1996 г.)

- на VII Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем", г. Киев, 1996 г.

- сделано два доклада на международном симпозиуме "исследование операций", г. Пассау, Германия, 1995 г.

- доклад на международном симпозиуме "Исследование операций", г. Брауншвейг, Германия, 1996 г.

- доклад на международной конференции "Компьютерное моделирование", г. Днепродзержинск, 1997

- доклад на научном семинаре института Космических исследований (рук. чл.-корр. АН Украины Ю.И. Самойленко, 1997 )

ПУБЛИКАЦИЯ МАТЕРИАЛОВ. Основное содержание диссертации опубликовано в 40 научных работах; первая монография из 6 разделов без соавторов, вторая монография в

80 соавторстве, где 3 раздела написаны лично диссертантом, 22 статьи, из них 7 без соавторов, 16 тезисов конференций и симпозиумов, из них б - международных.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Содержание диссертации изложено на 250 страницах. Работа состоит из введения, шести разделов, выводов, списка литературы (138 наименований) , приложения: (2 акта о внедрении) , содержит 9 таблиц и 37 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Толстых, Виктор Константинович

выводы

Анализ современного состояния теории и методов оптимизации теплофизических процессов, проведенный в настоящей диссертации, указывает на отсутствие эффективного универсального подхода для численного решения данных задач оптимизации. Как показали тестовые расчета!, из-за особенностей процессов тепломассопе-реноса, традиционные экстремальные методы неэффективны. Конечные изменения искомых теплофизических параметров могут приводить к чрезмерно малым изменениям в градиенте целевого функционала, и как следствие, отсутствие сходимости к точному решению. Численные примеры решения конкретных задач оптимизации в области теплофизики и металлургии указывают на актуальность разработки нового подхода в теории оптимизации тепло-физических процессов, чему и посвящена настоящая диссертация.

В результате выполненной работы можно сделать следующие выводы.

1. Разработан новый прямой экстремальный подход для решения задач оптимизации теплофизических систем с распределенными параметрами. Основу подхода составляют новая трактовка необходимых условий и принципиально новые достаточные условия оптимальности в бесконечномерных пространствах. Условия сформулированы и доказаны относительно локальных значений первых производных от целевого функционала в окрестности оптимального решения.

2. На основе полученных необходимых и достаточных условий оптимальности разработаны три новых численных алгоритма минимизации теплофизических функционалов. Новые алгоритмы содержат процедуру адаптации к процессам тепломассопереноса, что позволяет добиваться быстрой равномерной сходимости в пространстве управлений для задач оптимизации с квадратичными и близкими к квадратичным функционалами. Кроме того, процедура адаптации позволяет просто и эффективно учитывать систематические вычислительные и возможные экспериментальные погрешности. Доказаны регуляризирующие свойства разработанных алгоритмов. Последнее обстоятельство гарантирует абсолютную устойчивость алгоритмам оптимизации.

3. Исследована и продемонстрирована высокая эффективность прямой оптимизации теплофизических процессов с ограничениями на управление в виде многомерного (бесконечномерного) параллелепипеда, с изопериметрическим условием, при управлении в классе кусочно-постоянных функций, с ограничением на состояние (температуру) теплофизической системы. Разработаны новые экстремальные метода для реализации второго и третьего из перечисленных ограничений.

4. Введено новое понятие управляемости теплофизи-ческих систем с распределенными параметрами, которое относительно просто реализуется (контролируется) в рамках прямого экстремального подхода, не прибегая к дополнительным, по-существу, дублирующим методам управления, для которых имеются традиционные алгоритмы управляемости.

5. Проведенное большое количество тестовых расчетов в задачах оптимизации для теплофизических процессов без ограничений и с ограничениями, как на управление, так и на состояние процессов, подтверждает достоверность и высокую эффективность разработанного подхода. Новые метода на несколько порядков лучше минимизируют целевые функционалы по сравнению с традиционными методами при тех же вычислительных затратах.

6. Разработанным в диссертации новым прямым экстремальным подходом был решен ряд важных хозяйственных задач:

- по заказу ООО "Промышленная компания Плавмет" идентифицирован эффективный коэффициент теплопроводности для моделирования процессов плавления промышленных отходов на основе алюминия. Акт о внедрении результатов работ имеется в приложении;

- создана новая методика и программное обеспечение для расчета оптимального управления охлаждением непрерывных слитков. Рассчитанные оптимальные режимы охлаждения непрерывного слитка по данным Днепровского металлургического комбината внедрены в Днепродзержинском государственном техническом университете. Акт о внедрении результатов работ приводится в приложении; результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс. Для студентов кафедры "Физической экологии" Донецкого национального университета автором диссертации разработан и читается курс "Оптимизация в экологии". Для студентов кафедры "Компьютерных технологий" автором разработан и читается курс "Моделирование систем".

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Толстых, Виктор Константинович, 2002 год

1. Авдонин С.А., Иванов С.А. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент.- Киев: УМК ВО, 1989.- 244с.

2. Авдотин Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации.- Рига: Зинатне, 1979.- 182с.

3. Алексеев В.М., Тихомиров B.M., Фомин С.В. Оптимальное управление.- М.: Наука, 1979.- 430с.

4. Аххфанов О. М. , Артюхкн Е. А. , Румянцев С. В. Экстремальные методы , решэнжя некорректных задач ж жх ххржложенжя к обратным задачам теплообмена. М. ,1988,-288 с.

5. Авдерсен Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен.- М.: Мир.- Т.1.- 1990.- 384с.

6. Аниконов Ю.Е., Бубнов Б.А. Вопросы управления и обратные задачи // Докл. АН СССР.- 1989.- Т.304.- Jfi2.- С.309-312.

7. Атанов Г.А., Боровик О.Н. Оптимальная стабилизация уровня воды в каналах // РАН, Водные ресурсы.- 1995.- N5.

8. Атанов Г.А., Воронин С.Т. Оптимизация режимов работы гидроэнергетических установок.- Киев-Донецк: Вица школа, 1985.

9. Атанов Г.А., Воронин С.Т., Толстых В.К. 0 задаче идентификации параметров открытых русел // Водные ресурсы.- 1986.-Л4.- С.69-78.

10. Атанов Г.А., Зуйкова З.Г. Вариационная задача газовой динамики с условиями на замыкающей характеристике// Мат. методы механики жидкости и газа.- Днепропетровск: ДГУ, 1982.- С. 125-130.

11. Атанов Г.А., Толстых В.К. Задачи оптимизации нестационарных волновых процессов // Теор. и приклада, механика.- 1993,гз51. Вып.- 24.- С.89-93.

12. Афанасьев А.П. Исследование экстремальных характеристик динамических систем методами вариационного исчисления // Приклада, проблемы управления макросистемами. Тр. 1 Все с. шк.-семин. Алма-Ата.- М.: ВНИИСИ.- 1986.- С.30-36.

13. Афанасьев Н.Н., Шалдырван В.А. Об одной задаче оптимального охлаждения массивного тела // Сб. Мат. физика,- 1968.-С.11-14.

14. Бабе Г.Д., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Идентификация моделей гидравлики.- Новосибирск: Наука, 1980.- 160с.

15. Байдин Г.В., ФеДоренко Р.П. Опыт приближенного решения задач о стационарном течении вязко пластической среды // Препринт ин-та прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР.- 1985.-#146.- 26с.

16. Байдин Г.В., ФеДоренко Р.П. О приближенном решении некоторых негладких вариационных задач механики// Препринт Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР.- 1985.- Ш6.~ 26с.

17. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1989.- 128с.

18. Баландин Г.Ф. Теоретические основы формирования отливки. 4.2.- М.: Машиностроение, 1979.- 214с.

19. Баничук. Н.В. Оптимизация форм упругих тел.- М.: Наука, 1980.- 256с.

20. Бжцадзе А.В. Уравнения катематаческож фжзжкж.-Н. : Наука, 1989.- 233с.

21. Божченко М.С., Рутес B.C. , Фульмахт В.В. Непрерывная ра-злхвка сталж. М. : Металлургия, 1961.- 302с.J

22. Бойчук Л.М., Шкварун Н.М. Комбинированный (детерминированный эволюционный) метод оптимизации при наличии ограничений с использовангием "сжатия" пучка траекторий движения к экстремуму // Автоматика.- 1988,- №6,- С.39-45.

23. Бойчук Л.М., Шкварун Н.М., Попков Н.В. Расчет оптимального управления каскадом водохранилищ (на примере р. Днепр) // Автоматика.- 1986,- JS5.- С.60-65.

24. Боровик О.Н. 0 задаче стабилизации уровня воды в открытых руслах // Изв. АН СОР. МЖГ.- 1988.- N4.

25. Борисов В.Т., Виноградов В.В., Тяжельнжкова И.Л. Оптимизация теплофизических процессов литья // 'Гр. Института проблем литья АН УССР.- Киев, 1977.- С.32-50.

26. Бородин B.C., Володин Н.А., Толстых В.К. Идентификация параметров в моделях формирования отливок // Процессы литья. 1995.- N1 , С.96-101.

27. Брайсон А., Хо-Ю-ШИ. Прикладная теория оптимального управления.- М.: Мир, 1972.- 544с.

28. Бургмайер П. Об управляемости систем с распределенными параметрами, описываемыми системами Гурса-Дарбу т~того порядка // Диф. уравнения.- 1989.- Т.- 25,- №11.- С.1947-1956.

29. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами.- М.: Наука, 1975,- 568с.

30. Васильев О.В., Срочно В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. 4.2. Оптимальное управление. -Новосибирск: Наука, 1990.- 150с.

31. Васильев О.Ф., Гладышев М.Т. О расчете прерывных волн в открытых руслах // Изв. АН СССР. МЖГ.- 1966.- N6, С.184-189.

32. Васильев О.Ф., Темноева Т.А., Шугрин С.М. Численныйметод расчета неустановившихся течений в открытых руслах // Изв. АН СССР. Механика.- 1965.- N2.- С.17-25.

33. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.М.: Наука, 1981400с.

34. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.М.: Наука, 1980.- 520с.

35. Волин Ю.М., Островский Г.М. 0 методе последовательных приближений расчета оптимальных режимов некоторых систем с распределенными: параметрами // Автомат, и телемеханика,- 1965.-Т.26, Ш,- С. 1197-1209.

36. Володин Н.А., Недопекнн Ф.В., Толстых В.К. Минимизация термических напряжений при непрерывной разливке стаж // Тез. 7 конф. Моделир. и Исслед. устойчивости систем.- Киев. -1996.-С.31.

37. Володин Н.А.» Толстых В.К. 0 применении градиентного метода оптимизации к задаче теплового управления реактором // Автоматика.-- 1993.- #1.- 0.40-44.

38. Воронин А.Н. Многокритериальный синтез динамических систем.- К.: Наук, думка» 1992, 160с.

39. Воронин А.Н., Зиятдинов Ю.К., Харченко А.В. Сложные эргатические системы.- Харьков: "Факт", 1997, 230с.

40. Воронин С.Т., Толстых В.К. Вопросы математического моделирования стоков. Ден. в УкрНШНТИ.- 1984.- .№1632.-- 24с.

41. Воронин С.Т., Толстых В.К. Идентификация коэффициента шероховатости канала.- ГосФАП СССР,- 1985.- JS50800008Q2.

42. Воронин С.Т., Толстых В.К. Вариационный метод определения коэффициента шероховатости открытого русла. Тр. Гидрометцентра СССР.- 1986.- Вып.283, С.54-5а.

43. Габасов Р., Кирилова Ф.М. Особые оптимальные управления,- М.: Наука, 1973.- 256с.

44. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравеентв.- М.: Мир, 1979.- 574с.

45. Дементьев Б.А. Кинетика и регулирование ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1973.

46. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремаьльных задач.- Л.: ЛГУ, 1968.- 180с.

47. Демьянов В.Ф., Васильев Л. В. Не дифференцируемая оптимизация.- М.: Наука, 1981.- 384с.

48. Динамика сплошных сред в расчетах гидротехнических сооружений / под ред. В.М. Лятхере и B.C. Яковлева. М.: Энергия, 1976.- 392с.

49. Дгаво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.- 384с.

50. Егоров А.И. Об условиях оптимальности в одной задаче управления процессом теплопередачи // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1972.- Т.12, ЛЗ.

51. Егоров -А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами.- М.: Наука, 1978.- 464с.

52. Журавлев В.А., Китаев Е.М. Теплофизика формирования непрерывного слитка.- М.: Металлургия, 1978.

53. Згур&вский М.З., Новиков А.Н. Системный анализ стохастических распределенных систем.- Киев: КПИ.- 1988.- 240с.

54. Иваненко В.И., Мельник B.C. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. Киев: Наук, думка, 1988.- 288с.

55. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.1. М.: Наука, 1974.- 480с.

56. Исаченко-В. П., Остова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача,- М.: Энергия, 1965.

57. Канторович Л.В.,Акилов Г.П. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1984.- 752с.

58. Карманов В.Г. Математическое программирование,- М.: Наука, 1986,- 286с.

59. Картвелишвили ILA. Неустановившиеся отбытые потоки. Л.: Гидрометиздат, 1968.- 116с.

60. Ковалев С.Н. Определение на ЭВМ гидравлических характеристик естественных водотоков при расчетах неустановившегося движения. В кн.: Гидравлические исследования и расчеты гидромелиоративных сооружений,- М,- 1982,- С.122-137.

61. Колмогоров АЛЬ , Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональго анализа.- К!.: Наука, 1981.- 544с.

62. Костюк В.И. Веспоисковые градиентные самонастраивающиеся системы,- К.: Техн1ка, 1969,- 275с.

63. Костюк В.И., Широков Л.А. Автоматическая параметрическая оптимизация систем регулирования.- М.: Энергоиздат, 1981.-94с.

64. Краснов Б.И. Оптимальное управление режимами непрерывной разливки стали.- М.: Металлургия, 1970.

65. Красовский II. Н. Теория оптимальных управляемых систем // Сб. Механика в СССР за 50 лет.- М.: Наука, 1968.

66. Красовский НЛ1, Летво A.M. Теория аналитического конструирования регуляторов// Автоматика и телемеханика.- 1962. Т.23, №.

67. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики,- М.:1. Наука, 1979.- 448с.

68. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена.- Новосибирск: Наука, 1970.

69. Лапотышкин Н'.М., Лейтес А.В. Трещины в стальных слитках,- М.: Металлургия, 1969.

70. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных.- М.: Мир, 1972.- 414с.

71. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами.- №.: Мир, 1387.- 368с.

72. Ляшенко А.Л., Нвронова Л.П., Тороп Ю.А., Ярхо А.А. О выборе коэффициента шероховатости участков естественного русла для расчетов уровней свободной поверхности.- В кн.: Гидравлика и гидротехника.- 1982.- Т.34, С. 16-19.

73. Михеев М.А. Основы теплопередачи. М.: Госэнергоиздат,1956.

74. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем.- М.: Наука, 1971.- 424с.

75. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариационных уравнений в Гильбертовых пространствах.-К.: КГУ, 1985.

76. Негладкие задачи теории оптимизации и управления /Подред. В.Ф. Демьянова.- Л.: ЛГУ, 1982.- 322с.

77. Недопекин Ф.В. Математическое моделирование гидродинамики и тепломассоперенооа в слитках.- Ижевск: Изд-во Удмуртского ун-та, 1994.- 236с.

78. Недопекин Ф.В., Толстых В.К., Володин И.А., В.В. Белоусов, Гридин С.В. Минимизация термических напряжений в непрерывном слитке с ограничением на объем жидкой лунки // Промышленная теплотехника.- 1997.- J86.

79. Нжштенко Н.И., Евтеева Д. П., Соколов Л. А., Сновида Н.Р. Оптимизация теплофизических процессов литья // Тр. Института проблем литья АН УССР.- Киев.- 1977.- С.79-86.

80. Никитенко Н.И. Сопряженные и обратные задачи тепломас-оопереноса.- Киев: Наук, думка, 1988.- 240с.

81. Огурцов А.П., Недопекин Ф.В., Белоусов В.В. Процессы формирования стельного слитка. Математическое моделирование заполнения и затвердевания.- Днепродзержинск.- 1994. -216с.

82. Огурцов А.П., Недопекин Ф.В., Толстых В.К., Володин Н.А. Прямая оптимизация теплофизических процессов.- Днепродзержинск: ДГТУ, 1997.- 162с г.

83. Оптимизация режимов затвердевания непрерывного слитка / Берзинь В.А., Жевлаков В.Н., Клявинь Я.Я. и др.- Рига: Зинатде, 1977. -224с.

84. Плотников В.И. О сходимости конечномерных приближений (в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы) // Журя, вычисл. матем. и матем. физики.- 1968 Т.- 8.- $1

85. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкреледзе Р.В., Мшценко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.- 392с.

86. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.- 514с.

87. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума.- М.: Наука, 1982.- 210с.

88. Рей У. Методы управления технологическими процессами.-М.: Мир, 1983.- 368с.

89. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений.- М.: Наука, 1978.~ 688с.

90. Самарский А.Л. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977.- 656с.

91. Самойленко Ю.И. Пространственно распределенные приемные и управляющие системы,- Киев: Техника, 1968.- 137с.

92. Самойленко Ю.И., Губарев В.Ф., Кривонос Ю.Г. Управление быстропротекающими процессами в термоядерных установках.- Киев: Наук, думка, 1988.- 379с.

93. Самойлович Ю.А. Оптимизация теплофизических процессов литья // Тр. Института проблем литья АН УССР.- Киев.- 1977.-С.59-65.

94. Се а Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы.- М.: Мир, 1973.- 244с.

95. Серовайский С.Я. Некоторые вопросы идентификации нелинейных систем с распределенными параметрами // Числ. методы решения краев, задач.- Алма-Ата.- 1986.- С.63-68.

96. Сильвестров А.Н., Чинаев П.И. Идентификация и оптимизация автоматических систем.- М.: Энергоатомиздат, 1987.- 198с.

97. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами.- М.: Наука, 1977.- 480с.

98. Соболев В.В., Трефилов П.М. Оптимизация тепловых режи2Н1мов эатвердеванжя расплавов.-Кр-ярск: Изд-во КГУ,1986-152с.

99. Соболев В.В., Трефилов П.Ы. Теплофизика затвердевания металла при непрерывном литье. М. : Металлургия,1988. 160 с.

100. Соболев В.В. , Федченко Д.И. , Трефжлов П.М. Затвердевание непрерывных слитков квадратного сечения. Сталь. 980. №4. с. 292 294.

101. Соколов Л.А., Манохин А.И., Никитенко Н.И. Оптимальные условия затвердевания непрерывного сортового слитка. Сталь, 1969, №12, с. 1092-1094.

102. Соколов Л.Д. Общий вид температурной зависимости сопротивления деформации металлов.- Горький: НТО Мазшром, 1961.

103. Срочко В.А. Вычислительные методы оптимального управления.- Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1982.- 110 с.

104. Теория оптимальных аэродинамических форм / Под ред. А. Ми еле. М. : Мир, 1969.- 507с.

105. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач // ДАН СССР.- Т.151, № 3,- С. 501-504.

106. Тихонов А. Н. , Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1986.- 288 с.

107. Тихонов А.Н. , Гончарский А.В., Степанов В.В. Численные методы решения некорректных задач.- М. : Наука,1990.- 230 с.

108. Толстых В. К. Градиентный метод оптимального управления распределенными системами // Диф. уравнения.1991.- Т. 27, №2.- С. 303-312.

109. Толстых В.К. Идентифицируемость систем с распределенными параметрами // Автоматика ж Телемеханика.1989.- № 10.- С. 49-56.2V1

110. Толстых В. К., Володин Н.А. Опр еде ленке коэффициента теплопроводности в затвердевающих отливках // Инженерно-физических журнал. 2003.- Т.76, N2.

111. Толстяк В. К. О выборе критерия качества идентификации распределенных систем // Автоматика ж Телемеханика.- 1990.- С. 187-189.

112. Толстых В. К. О применении градиентного метода к задачам оптимизации систем с распределенными параметрами // ЖУрн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1986.- Т. 26, №1.- С. 137-140.

113. Толстых В.К. Эффективный метод оптимизации физических процессов // Инженерно физжческжй журнал. 2003.-Т.76, JJ2.

114. Толстых В. К. Прямой подход для оптимизации сложных систем (новые условия оптимальности) // Тез. 7 конф. Моде лир. к Исслед. устойчивости систем. Киев.- 1996.- С. 134.

115. Толстых В. К. Прямой экстремальный подход для оптимизации систем с распределенными параметрами. Донецк: Юго-восток.1997.-178 с.

116. Толстых В.К. , Володин Н.А. , Черноног В.Е. Оптимальное управление потоком тепла в многофазном состоянии металла с целью улучшения характеристик твердой фазы // Теплофизика высоких температур.- 2003, №3.

117. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач ошпшального управления. М.: Наука, 1978.- 488 с.

118. Флеминге М. Процессы затвердевания. М. : Мир, 1977. 423 с.

119. Хинмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М. : Мнр, 1975.- 534 с.

120. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные зада-чж механики ж управления.- М. : Наука, 1973.- 240с.

121. Чертоусов М.Д. Гидравлика.- М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962.-630с.

122. Чоу В.Т. Гидравлика открытых каналов.- М.: Стройиздат, 1969.- 464с.

123. Чугаев P.P. Гидравлика.- М.: Энергия, 1975. --672с.

124. Шмыглевский Ю. Д. Вариационные задачи газовой динамики // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1980.- №5.-С.1205-1220.

125. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения.- Киев: Наук.Думка, 1979.- 200с.

126. Шшшлин А.В. Оптимальные формы тел с присоединенными ударными волнами // Изв. АН СССР. МЖГ.- 1966.- С.9-18.

127. Экланд й., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.- М.: Мир, 1979.- 400с. г

128. Chen W.H., Gavalas G.R., Seinfeld J.H., Wasseman M.L. A new algorithm for automatic history matching // ,J>oc. Petrol. Eng. J.- 1974.- Vol.14, N6.- P.593-608.

129. Chen W.H., Seinfeld J.H. Estimation of the location of the boundary of a petroleum reservoir. // Soc. Petrol. Eng. J.-1974.- Vol.15, N1.- P.19-38.

130. I.to K., Kunisoh K. Augmented Lagrangian--SQP-Method in Hilbert spaces and application to control in the coefficient problems // Prepr. Techn. Univer.- Berlin.- 1994.- N370.- 45p.

131. I to K., Kunisch K. Augmented Lagrangian-SQP-Method for nonlinear optimal control problems of tracking type // Prepr. Techn. IJniver.- Berlin.- 1994.- N398.- 30p.

132. Russel D.L. Controllability and stability theory for linear partial differential equations: recent progress and openжquestions // SIAM Review.- 1978.- Vol.20, p.639-739.

133. TolBtykh V.K. Direct extreme approach in control theory lor distributed systems // Abs. Sump. Operations Research.- Passau-Germariy: Springer.- 1995.- P.114.

134. Tolstykh V.K. Minimizing in Hilbert spaces // Abs. Sump. Operations Research.- Passau-Germany: Springer.- 1995.-P.45.

135. Tolstykh V.K., Volodin. Optimal control by heat flow in continuous casting steel // Operations Research Proc.-Braunschwelg-Cfermany: Springer. 1996. - P. 480-483.

136. Zl-Cai Li ,Ling-Jia Zhan, Hui-Li Wang. Difference methods of flow in branch channel // J. Hydraul. Eng.- Vol.109, N3.- P.424-446.