Моделирование гидродинамических и теплофизических процессов в гранулированных материалах с фазовыми переходами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Фецов Сергей Сергеевич

• Фецов Сергей Сергеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Фецов Сергей Сергеевич

Введение

Глава 1. Краткий обзор подходов к моделированию процессов

в гранулированных материалах с фазовыми переходами

1.1 Методы моделирования процессов теплопередачи при наличии фазовых переходов

1.2 Модели тепловых аккумуляторов на основе гранулированных материалов с фазовыми переходами

1.3 О моделировании гидродинамических процессов в гранулированных средах

Глава 2. Математическая модель гидродинамических и теплофизических процессов в гранулированных материалах с фазовыми переходами

2.1 Основные уравнения математической модели

2.2 Краевые и начальные условия

Глава 3. Численный метод расчёта течений газа через

гранулированный материал с фазовым переходом

3.1 Модель течения газа через гранулированный материал с изотермическим фазовым переходом

3.2 Конечно-разностные схемы

3.3 Алгоритм численного нахождения искомых функций

3.4 Обсуждение и оценка сходимости численного метода

3.4.1 Оценка сходимости при одномерных течениях газа

3.4.2 Оценка сходимости при двумерных течениях газа

3.5 Валидация

Глава 4. Особенности газодинамических и теплофизических процессов в гранулированных накопителях тепловой энергии с фазовыми переходами

Стр.

4.1 Влияние приближения постоянной плотности на расчёт процессов течений газа через слой гранулированного материала

с фазовым переходом

4.1.1 Постановка проблемы

4.1.2 Влияние приближения постоянной плотности при постоянном перепаде давления газа на открытых границах

4.1.3 Влияние приближения постоянной плотности при постоянном расходе газа на входе в объект

4.1.4 Выводы

4.2 Влияние формы боковых стенок на эффективность тепловых аккумуляторов на основе гранулированных плавящихся материалов

4.2.1 Описание вычислительного эксперимента

4.2.2 Зарядка теплового аккумулятора

4.2.3 Разрядка теплового аккумулятора

4.2.4 Выводы

4.3 Влияние учёта боковых теплопотерь при моделировании процессов в гранулированных плавящихся материалах

4.3.1 Описание вычислительного эксперимента

4.3.2 Течение газа в аккумуляторе на основе гранулированного плавящегося материала при наличии боковых теплопотерь

4.3.3 Сравнение одномерных решений с усреднением теплопотерь и двумерных осесимметричных расчётов

4.3.4 Выводы

Глава 5. Общий решатель системы уравнений гидродинамики и теплообмена в гранулированных материалах с фазовыми переходами для пакета OpenFOAM

5.1 Сглаживание коэффициентов для математического описания неизотермических фазовых переходов

5.2 Численный метод

5.2.1 Получение конечно-объёмных разностных схем

5.2.2 Разрешение уравнений неразрывности и импульса теплоносителя. Алгоритм SIMPLE

Стр.

5.2.3 Сходимость и производительность

5.3 Валидация

5.3.1 Общая постановка задачи

5.3.2 Течение воздуха через засыпку относительно мелких

гранул материала с фазовым переходом

5.3.3 Течение воздуха через засыпку относительно крупных капсул материала с фазовым переходом

5.3.4 Течение воды через засыпку относительно крупных

капсул материала с фазовым переходом

5.3.5 Замечания и выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование гидродинамических и теплофизических процессов в гранулированных материалах с фазовыми переходами»

Введение

В течение последних 30 лет в мире развиваются технологии создания накопителей тепловой энергии на основе гранулированных, кожухо-трубчатых и иных теплоаккумулирующих материалов (ТАМ). Задача таких аккумуляторов

- забрать тепло у протекающего через них теплоносителя, сохранить эту энергию и в нужный момент вернуть её обратно. Накопители тепловой энергии, основанные на гранулированных материалах, выгодно отличаются от других типов теплоаккумуляторов тем, что гранулированная или пористая структура позволяет получить наибольшую поверхность теплообмена между ТАМ и теплоносителем, что важно во многих приложениях. Для увеличения плотности запасаемой энергии в таких аккумуляторах используют материалы с фазовыми переходами (МФП, англ. phase change material, PCM) типа плавление - кристаллизация [1; 2]. Чтобы избежать потери формы и растекания при плавлении таких материалов, их либо помещают в герметичные ёмкости

- капсулы, трубки; либо создают специальные композитные материалы, в которых неплавящаяся матрица удерживает МФП при плавлении. Кроме МФП типа плавление - кристаллизация также активно разрабатываются материалы, в которых фазовый переход протекает без изменения твёрдого состояния (solidsolid PCM). Аккумуляторы на основе гранулированных МФП уже применяются в энергетике для стабилизации работы ветряных, солнечных электростанций [3; 4] и оптимизации работы энергосистем, сталкивающихся с неравномерной нагрузкой энергопотребления [5; 6]. Сфера применимости таких устройств расширяется и охватывает системы кондиционирования [7], персонального охлаждения [8], индивидуальной защиты [9].

Для оптимального конструирования и проектирования устройств на основе гранулированных МФП необходимо предварительное моделирование происходящих в них процессов. При достаточно малых размерах гранул МФП аккумуляторы, основанные на таких материалах, с точки зрения механики могут быть представлены как пористые среды. За последние 20 лет исследователями был создан целый ряд численных моделей и программных комплексов для расчёта течений жидкостей и газов через гранулированные МФП. При этом во многих случаях предлагаются оригинальные подходы к описанию фазового перехода, некоторые из котороых применимы также и для новейших

композитных МФП, характеризующихся сложными диаграммами энтальпии-температуры при фазовых превращениях. Вместе с тем анализ существующих численных моделей теплоаккумуляторов на основе гранулированных и пористых МФП позволяет сделать вывод об их ограниченности из-за присущих им особенностей. В частности, для большинства известных моделей можно отметить следующие особенности:

— Модели основаны на приближении постоянной плотности теплоносителя даже в случаях, когда теплоноситель - газ или другая сжимаемая жидкость.

— Модели описывают только одномерные потоки, расширение их для возможности рассмотрения многомерных течений в объектах сложной геометрии либо невозможно, либо крайне затруднительно.

Обозначенные упрощения позволяют относительно быстро рассчитать нужные оценки, применимые для многих практических случаев, но вместе с этим область применения этих оценок остаётся до конца не определённой. Детально вопрос о влиянии такого рода упрощений на адекватность решения задачи в литературе не обсуждался.

Существующие вычислительные пакеты, как COMSOL Multiphysics, Ansys Fluent, OpenFOAM, позволяют строить гидродинамические модели для широкого класса задач, включая модели многофазных течений. Однако встроенные в них средства моделирования фазовых переходов имеют ограничения, связанные с коммерческим характером программного продукта или с невозможностью описания гранулированных МФП со сложными диаграммами энтальпии-температуры при фазовых превращениях.

Таким образом, можно отметить отсутствие единого вычислительного инструментария для моделирования гранулированных или пористых теплоак-кумулирующих сред с фазовыми переходами в конденсированном компоненте, получения оценок и определения их точности, который учитывал бы особенности МФП и теплоносителя в конкретных процессах и мог бы применяться для расчёта тепловых аккумуляторов в широком диапазоне параметров.

Цель настоящей работы заключается в следующем:

1. Разработка математической модели, численных методов и комплексов программ для расчёта гидродинамических и теплофизических процессов в гранулированных и пористых средах с фазовыми переходами в

конденсированном компоненте в широком диапазоне значений параметров задачи.

2. Численное исследование процессов в накопителях тепловой энергии на основе гранулированных материалов с фазовыми переходами с выявлением основных закономерностей и особенностей таких процессов.

Для достижения поставленной цели в настоящей работе были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка математической модели, описывающей гидродинамические и теплофизические процессы в гранулированных МФП при различных типах теплоносителя и свойствах теплоаккумулирующего материала.

2. Разработка численных методов и комплексов программ для исследования течений жидких и газовых теплоносителей в накопителях энергии произвольной конфигурации на основе гранулированных МФП.

3. Верификация разработанных алгоритмов путём сравнения результатов расчётов с известными экспериментальными данными.

4. Анализ влияния параметров процесса - конфигурации объекта, интенсивности боковых теплопотерь, сжимаемости теплоносителя - на процессы в накопителях энергии, основанных на гранулированных МФП, с применением разработанных моделей, методов и комплексов программ.

Научная новизна:

1. Предложена математическая модель, описывающая гидродинамические и теплофизические процессы в пористых и гранулированных средах при наличии фазовых переходов в конденсированном компоненте.

2. Предложен конечно-разностный численный метод и разработан программный комплекс для моделирования одномерных, двумерных плоскопараллельных и двумерных осесимметричных течений газа через гранулированные МФП с изотермическим фазовым переходом. Основными идеями численного метода являются комбинирование явных и неявных разностных схем и вычисление доли жидкой фазы непосредственно из уравнения энергии МФП, при этом границы зон фазовых переходов определяются в процессе сквозного счёта.

3. Предложен конечно-объёмный численный метод и разработаны решатель и библиотеки пакета ОрепРОАМ для моделирования течений

жидких и газовых теплоносителей через накопители энергии различной геометрической конфигурации, основанные на гранулированных МФП с изотермическими и неизотермическими фазовыми переходами. Главными идеями численной модели являются расчёт гидродинамики на основе алгоритма SIMPLE и использование модифицированного метода сглаженных коэффициентов для моделирования фазового перехода, что также позволяет определять зоны фазовых переходов в процессе сквозного счёта.

4. Показано, что модель, основанная на приближении взаимодействующих взаимопроникающих континуумов, способна адекватно описывать процессы в тепловых аккумуляторах на основе гранулированных МФП даже при относительно большом размере частиц, то есть, когда отношение характерного размера аккумулятора к характерному диаметру гранул составляет лишь 7-8.

5. Проанализировано влияние приближения постоянной плотности газа при моделировании его течений через гранулированные МФП. Показано, что приближение постоянной плотности газа может значительно изменять решение задачи и не гарантирует верхней или нижней оценки для реальных характеристик процесса.

6. Исследовано влияние геометрии боковых стенок аккумулятора на основе гранулированных МФП на эффективность его зарядки и разрядки. Показано, что выбор предпочтительной геометрии зависит от выбранного критерия эффективности, однако в большинстве случаев наиболее эффективными оказываются объекты с постоянным поперечным сечением.

7. Проанализирована способность широко используемого одномерного упрощения описывать процессы в осесимметричных тепловых аккумуляторах на основе гранулированных МФП при наличии боковых теплопотерь. Показано, что способность модели, основанной на таком упрощении, к прогнозированию усреднённых характеристик процессов зарядки и разрядки тепловых аккумуляторов снижается не только с увеличением коэффициента теплоотдачи боковых стенок, но и с уменьшением теплопроводности МФП. Обнаружено также, что использование одномерного упрощения при больших боковых теплопотерях

не обеспечивает гарантированной нижней или верхней оценки для рассчитанных характеристик процесса.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы определяется тем, что её результаты дают новые сведения о процессах, протекающих в тепловых аккумуляторах на основе гранулированных материалов с фазовыми переходами, а также об особенностях моделирования таких процессов. Предложенные математические модели и разработанные численные методы вместе с комплексами программ могут применяться для решения широкого круга прикладных задач в области энергетики, экологии, строительства, пожарной безопасности. Результаты исследований могут быть полезными при проектировании тепловых аккумуляторов с гранулированными МФП. Разработанные численные модели и полученные в работе результаты позволили показать возможность создания на основе гранулированных МФП нового типа респираторов [10], предохраняющих дыхательные органы от термических ожогов при пожарах в помещениях. Предложенный конечно-разностный численный метод расчёта течений газа через гранулированные среды с фазовыми переходами лёг в основу численной модели процесса извлечения металлов из металлосодер-жащих пористых сред методом фильтрационного горения [11].

Методология и методы исследования. В настоящей работе используются методы механики сплошных многофазных сред и вычислительной гидродинамики. Математическая модель процессов в гранулированном материале с фазовым переходом базируется на классических подходах механики сплошных гетерогенных сред. При этом фазовый переход описывается известным в литературе методом явного разделения полной энтальпии МФП на две части, одна из которых соответствует только изменению его температуры и зависит от его удельной теплоёмкости, а другая - фазовому переходу и определяется долей жидкой фазы в МФП. Разработанный численный метод расчёта течений газа через гранулированный материал с изотермическим фазовым переходом базируется на идее комбинирования явных и неявных конечно-разностных схем и реализован в виде оригинальных программ на языке С++. При этом доля жидкой фазы определяется как ступенчатая функция температуры МФП и не сглаживается, а вычисляется непосредственно из уравнения энергии во время фазового перехода при постоянной температуре. Конечно-объёмный численный метод для моделирования процессов в теплоаккумуляторе на основе гранулированного МФП, в котором фазовый переход протекает в произвольном

температурном диапазоне, с различными типами теплоносителя основывается на алгоритме SIMPLE при расчёте гидродинамики и модификации метода сглаженных коэффициентов при описании фазового перехода.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель, описывающая течения теплоносителя через гранулированный теплоаккумулиующий материал с фазовым переходом.

2. Численный метод, основанный на конечно-разностной дискретизации основных уравнений модели, и программный комплекс для расчёта одномерных и двумерных течений газа через гранулированный материал с изотермическим фазовым переходом.

3. Численный метод, основанный на конечно-объёмной дискретизации основных уравнений модели, и решатель пакета Open FOAM для моделирования процессов в тепловых аккумуляторах, основанных на гранулированных МФП, при различных типах теплоносителя и свойствах теплоаккумулирующего материала.

4. Результаты анализа сходимости на последовательности сгущающихся сеток и экспериментальной валидации разработанных численных моделей.

5. Результаты численного исследования влияния приближения постоянной плотности газа при моделировании его течений через гранулированный МФП.

6. Результаты численного исследования влияния геометрии боковых стенок на процессы зарядки и разрядки теплового аккумулятора на основе гранулированного МФП.

7. Результаты численного исследования применимости упрощённого учёта боковых теплопотерь в одномерном приближении при моделировании осесимметричных течений газа в теплоаккумуляторах на основе гранулированных МФП.

Достоверность полученных результатов базируется на

1. использовании классических методов механики сплошных многокомпонентных сред при построении математической модели,

2. опоре на известные в литературе подходы при описании фазовых переходов плавление - кристаллизация,

и

3. использовании классических подходов вычислительной гидродинамики и теплообмена при построении численных методов,

4. оценке сходимости получаемых приближённых решений на последовательностях сгущающихся сеток и валидации моделей на основе известных в литературе экспериментальных данных,

5. опубликовании результатов исследований в ведущих зарубежных и российских журналах и их обсуждении на международных и всероссийских конференциях.

Апробация работы. Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

— XIX, XX, XXI International Conference on the Methods of Aerophysical Research ICMAR (Новосибирск, 2018, 2020, 2022).

— XVI Минский международный форум по тепломассообмену (Минск, 2022).

— XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Уфа, 2019).

— Всероссийская конференция с международным участием «Математические проблемы механики сплошных сред», посвященная 100-летию академика Л. В. Овсянникова (Новосибирск, 2019).

— Седьмая Российская национальная конференция по теплообмену (Москва, 2018).

— Всероссийская конференция с международным участием «Современные проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», посвященная 60-летию Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2017).

— Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», посвященная памяти академика Л. И. Седова в связи со стодесятилетием со дня его рождения (Москва, 2017).

Представленные в диссертации результаты были получены при частичной поддержке РФФИ (проект № 16-01-00103-а), РНФ (проект № 22-29-01129), программы ДВО РАН «Дальний Восток» (проект № 18-5-064). За проведённые исследования автор был награждён медалью Российской академии наук с премией для студентов высших учебных заведений, а также дипломом за лучший доклад молодого учёного на XII Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 20 печатных работах [12 31], из них 11 статей в рецензируемых научных изданиях из перечня ВАК и изданиях, индексируемых международными базами Web of Science и Scopus (в том числе 4 публикации в материалах конференций) [12 22], 9 публикаций в материалах всероссийских, международных конференций. Получено 1 свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ [32].

Личный вклад автора. Все включённые в диссертацию результаты автор получил лично либо при участии научного руководителя в постановке задач и обсуждении результатов. Из работ в соавторстве в диссертацию автор включил только результаты, которые получил он лично. Все положения, выносимые на защиту, получены автором лично.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 129 страниц, включая 32 рисунка и 4 таблицы. Список литературы содержит 113 наименований.

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, формулируются цель и задачи исследования, излагаются научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, описаны методология и методы исследования, представлены положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена краткому обзору подходов к математическому описанию процессов плавления/кристаллизации, существующих моделей тепловых аккумуляторов на основе гранулированных МФП, методов моделирования гидродинамических процессов в пористых и гранулированных средах.

Вторая глава посвящена построению математической модели течений теплоносителя через теплоаккумулирующий объект, состоящий из гранулированного МФП. Выписываются основные уравнения модели, даётся общая формулировка подхода к моделированию фазового перехода, приводятся граничные условия.

Третья глава посвящена разработке конечно-разностного численного метода для моделирования течения совершенного газа через гранулированный МФП, в котором фазовый переход протекает при постоянной температуре. В параграфе 3.1 приводится конкретизированный для рассматриваемого случая вид уравнений модели и одновременно проводится их обезразмеривание. В па-

р аграф ах 3.2 и 3.3 описаны разностные схемы и алгоритм численного решения системы уравнения, описывающей течение газа через гранулированный МФП. Параграфы 3.4 и 3.5 посвящены анализу сходимости численного метода и ва-лидации модели.

Четвёртая глава посвящена исследованию ряда особенностей процессов в гранулированных МФП при течении через них газового теплоносителя. Изучены влияние приближения постоянной плотности на результаты моделирования процессов в гранулированных МФП (параграф 4.1), влияние формы боковых стенок на эффективность процессов зарядки и разрядки тепловых аккумуляторах на основе гранулированных МФП (параграф 4.2), влияние усреднённого учёта боковых теплопотерь на результаты моделирования процессов в гранулированных МФП при наличии теплообмена через стенки аккумулятора (параграф 4.3).

Пятая глава посвящена конечно-объёмному численному методу и оригинальному решателю пакета ОрепРОАМ для моделирования процессов в гранулированных МФП с различными типами теплоносителя. В параграфе 5.1 описывается «модифицированный» подход к сглаживанию коэффицентов, который позволяет описывать неизотермические фазовые переходы, в том числе в материалах, для которых характерна несимметричная зависимость кажущейся теплоёмкости от температуры. В параграфе 5.2 кратко описывается численный метод решения уравнений модели: приводится общая методика получения разностных схем, описывается алгоритм решения и другие особенности метода, положенные в основу нового решателя. В параграфе 5.3 описываются результаты валидации разработанной численной модели с использованием известных в литературе экспериментальных данных.

Благодарности

Автор благодарит своего научного руководителя Н. А. Луценко, внёсшего большой вклад в научное и профессиональное становление автора, помощь в подготовке диссертации и ряде жизненных ситуаций, а также академика В. А. Левина, который поддержал тематику диссертации на первых этапах исследований. Автор сердечно благодарит преподавателей ДВФУ А. А. Бочарову, Г. П. Озерову, Е. В. Амосову, а также своих родителей Фецову Оксану Владимировну и Фецова Сергея Сергеевича за вклад в профессиональное и личностное становление автора.

Глава 1. Краткий обзор подходов к моделированию процессов в гранулированных материалах с фазовыми переходами

1.1 Методы моделирования процессов теплопередачи при наличии

фазовых переходов

Моделирование фазовых переходов из твёрдого состояния в жидкое и наоборот проблема, возникающая при изучении природных и оптимизации технологических процессов. Исторически решение этой проблемы началось с так называемой задачи о промерзании грунта [33]. Влажный грунт занимает полуограниченную область х € где ось х направлена вниз, при начальной температуре Т*, которая выше температуры замерзания водыТ^. В начальный момент времени на поверхности х = 0 устанавливается температураТо < В результате образуется промёрзший слой ^ переменной толщины, нижняя граница которого (х = £) подвижна и имеет темиературу В предположении, что переход из одного агрегатного состояния в другое происходит мгновенно, верхней границей талой зоны также является поверхность х = £,. Таким образом, весь фазовый переход, на который требуется теплота ф^? протекает на поверхности х = £,, которая поэтому является границей раздела фаз. В обеих областях грунта выполняются следующие уравнения теплопроводности:

где г = 1 соответствует области, занятой промёрзшим грунтом, г = 2 - талым, а на границе раздела фаз £ = £,(£) выполняются следующие условия:

Уравнения (1.1) с условиями (1.2), дополненные условиями на поверхности грунта и на бесконечности, составляют собой классическую краевую задачу, называемую задачей Стефана. Первый известный подход к аналитическому решению этой задачи предложили Ляме и Клапейрон [33], которые 1831 году решили упрощённый вариант этой задачи, положив Т2 = Т* и сведя задачу

дТ

(рс),—- = А,АТг, х € Пг, г = 1,2,

(1.1)

Г дТЛ д1

т = 0, а «г = -я*-ё, х=

(1.2)

к поиску температурного поля лишь в одной подобласти с подвижной границей. Решение же исходной задачи с нахождением температур в обеих фазах предложил в 1889 году Иозев Стефан.

Интерес к моделированию фазовых переходов начал интенсивно расти со второй половины XX века благодаря развитию металлургии, строительной теплотехники, энергетики и других прикладных дисциплин. Возможности вычислительной техники позволили решать более сложные многомерные задачи теплообмена с изменением агрегатного состояния. Однако классическая модель Стефана сильно урезает возможности применения численных методов, поскольку допускает применение только методов с точным отслеживанием внутренней свободной границы. Применение же более удобных и эффективных методов сквозного счёта возможно только для так называемой обобщённой формулировки задачи Стефана, которая заменяет задачу для двух уравнений с нелинейным условием сопряжения на внутренней границе задачей для одного нелинейного уравнения. Полагая равными в обеих фазах плотность и теплоёмкость среды, обобщённое уравнение можно записать в наиболее простом случае следующим образом [34, с. 356-357]:

дТ

Р Са-^ = ^У(Л grad Т), (1.3)

са = с + 6 (Т - ТрЬ) Qph,

где 6 (Т) - дельта-функция Дирака, понимаемая в смысле обобщённых функций. Обобщённой формулировке эквивалентна энтальиийная формулировка задачи Стефана [35]:

дЬ

р — = div (Л grad Т), (1.4)

Су Ь

Ь = Ь (Т) = сТ + О (Т - Три)

где О (Т) - функция Хевисайда. Задачи о фазовых переходах с участием твёрдой фазы, в которых уравнения энергии имеют вид (1.3) или (1.4), позволяют применять для их решения методы сквозного счёта, которые не требуют точного отслеживания границы раздела фаз. А. А. Самарский предложил экономичные разностные схемы, основанные на методе сглаживания коэффициентов [34, с. 357 359]. Суть последнего заключается в том, что при численном решении уравнений вида ( ) или ( ) функции 6 (Т) и О (Т) заменяются

«сглаженными» аналогами непрерывными функциями температуры на интервале Т Е [—А/2,А/2]. Таким образом, этот подход заменяет исходную задачу решением квазилинейного уравнения теплопроводности. При этом вопрос о сходимости решения сглаженной задачи к решению исходной обобщённой задачи обсуждался в [36].

Развитие методов сквозного счёта для решения задач теплообмена с фазовыми переходами при участии твёрдой фазы стимулировалось также и новыми постановками проблем, в которых изначально не формируется плоского фронта фазового перехода, который априорно предполагается в классической задаче Стефана. Можно выделить три основные сферы, приводящие к задачам этого типа:

1. При кристаллизации жидких смесей условие плоского фронта фазового перехода нарушается из-за концентрационного переохлаждения [37], которое приводит к росту отдельных выступов твёрдой фазы.

2. Во многих МФП, основанных на парафинах, солях и других компонентах, чёткая граница раздела фаз не может образоваться, поскольку фазовый переход в таких материалах протекает не при постоянной температуре.

3. При кристаллизации и плавлении чистого вещества, когда Tph = const, условие задачи Стефана также выполняется далеко не всегда [38], так как часто переток тепла от одной области к другой требует значительно меньшего времени, чем переход вещества из одного состояния в другое.

Общим для всех случаев является то, что вместо чёткой границы раздела фаз, образуется протяжённая область, называемая двухфазной зоной, в которой вещество находится в переходном состоянии. Таким образом, в отличие от классической задачи Стефана, расчётную геометрическую область здесь можно разделить не на две, а на три подобласти: с полностью твёрдым состоянием, полностью жидким состоянием и двухфазную зону. Наиболее распространённый подход при решении задач такого типа состоит во введении новой, в общем случае неизвестной, функции - доли жидкой фазы /. Тогда уравнение энергии МФП, если теплопередача происходит только за счёт теплопроводности, можно записать в виде, совпадающем с (1.4) с той разницей, что энтальпия материала представляется в виде суммы двух частей:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фецов Сергей Сергеевич, 2023 год

- Фц^

(3.20)

6М Ф =

Ьсш Ф

52м Ф

= 0.5

Фе - Фц Фм - Фв

Ф =

Ф

°1М Ф Ф

°2М Ф

= 0.5

^п«м) (3Фм - 4Фд + Ф аа) sigп(uддм) (3Фм - 4ФВ + Фвв)

(3.21)

(3.22)

п

шмФ = шхф (Фее - 4Фе + 6ФМ - + Фww) + /0 ооХ

{¿.26)

+ Ш2Ф (Фмм - 4Фм + 6Фм - + Ф^).

В ( ) sigп - функция знака, А, В и АА, В В - индексы узлов, отстоящих М А х 2А х

направлению соответствующей проекции скорости фильтрации газа. Эта аппроксимация соответствует трёхточечной противопоточной разности второго порядка [100]:

Км = 0.5

Км = 0.5

3Фм - 4Фw + Фww, если иПм > 0 -3Фм + 4Фе - Фее, если и\м < 0

3Фм - 4Ф 3 + , если ит > 0 -3Фм + 4ФМ - Фмм, если ип2м < 0

Система конечно-разностных уравнений для расчёта одномерных течений газа через слой гранулированного МФП с фазовым переходом получается из

и = 0

значений всех искомых функций в узлах М, ^ и ^ ^^^ ^тех узлов М. В этом случае первые компоненты векторных операторов (3.21 и 3.22) и первые

х

х2

для расчёта зарядки и разрядки тепловых аккумуляторов на основе гранулированного МФП в двумерном плоскопараллелыюм приближении получается из ( — ) с операторами ( — ) при С = 0, в осесимметричном приближении - при С = 1- Во всех трёх случаях система уравнений ( — ) с операторами (3.20 3.23) аппроксимирует исходную систему (3.3 3.8) с первым т А х

разложением искомых функций в ряд Тейлора отдельно для каждого из трёх случаев. Для схем чётного порядка аппроксимации характерно преобладание дисперсионной ошибки [100]. Для её уменьшения в уравнения (3.17 и 3.18) введены демпфирующие члены, опеределяемые оператором ш ( ), где коэффициенты Ш1ф и ш2ф зависят от соответствующих искомых функций. Эти члены имеют четвёртый порядок и не влияют на формальную точность метода.

Краевые условия для сеточных функций получаются из (3.9 и 3.10) с использованием аппроксимации производных конечными разностями. Для сокращения записей рассмотрим здесь только пример, ко:да открытые границы объекта являются только горизонтальными, а непроницаемые границы только вертикальными; для других случаев аппроксимация краевых условий может быть получена по аналогии с описанным ниже. На горизонтальных и вертикальных границах при расчёте значений Тс и Тд нормальная производная аппроксимируется трёхточечной односторонней разностью второго порядка:

(—^ =±3Фм - 4Фа + Фаа ( 24)

\дхг)м = 2Ах , ]

= 1 = 2

± А

А А Е Е Е М х

принимает наименьшее значение; нижний знак и WW - если в узле М кох

верхний знак, N NN соответственно подставляются, если в узле М координа-х2 3 3 3

Ф

Для вычисления обеих компонент скорости фильтрации газа на открытых границах и вертикальной её компоненты на закрытых границах добавляются искусственные условия путём приравнивания нулю производных этих функций, записанных в виде (3.24). Эти условия не уменьшают формальную точность метода, но необходимы, так как в общем случае значения указанных компонент скорости газа на указанных границах заранее неизвестны.

При вычислении операторов (3.22 и 3.23) в приграничных точках узлы с индексами ЕЕ WW, NN 33 оказываются за пределами расчётной сетки. По-

Тд и и. В фиктивных узлах, расположенных за открытыми границами объекта, значения температуры газа и компонент скорости фильтрации газа вычисляются из приравнивания нулю их производных в этих узлах, записанных в виде (3.24), а давление определяется из условия равенства нулю его аппроксимированной второй производной на границе:

рм - 2рм + Рв = 0.

В добавляемых фиктивных точках, расположенных за непроницаемыми границами, давление, температура газа и компоненты скорости фильтрации определяются из условия отражения [100].

При наличии осевой или плоской симметрии на оси или на плоскости симметрии полагается и1 = 0, остальные функции вычисляются из приравнивания нулю их производных, записанных в виде (3.24); значения функций в фиктивных узлах за осью или плоскостью симметрии вычисляются так же, как в случае непроницаемых вертикальных границ.

3.3 Алгоритм численного нахождения искомых функций

Опишем алгоритм нахождения искомых величин на каждом временном слое при расчёте одномерных и двумерных течений газового теплоносителя через гранулированный МФП. При известных значениях всех искомых функций во всех узлах расчётной сетки на слое п выполняются следующие шаги.

Шаг 1. Вычисление Тс и / во внутренних узлах сетки. Если температура МФП ТпМ1 не равна то из уравнения ( ) определяется ТпМ\ а /М1 приравнивается к у. Если между только что вычисленным значением ТпМ1 и предыдущим значением Т'пм содержится точка фазового перехода Три, то начинается фазовый переход, и нужно учесть энергию, которая реально была затрачена на совершение фазового перехода. Это можно сделать следующим образом:

ГМ1 = !М + (тпс1 - Три) , (3.25)

где /М равно 0 при плавлении, 1 - при затвердевании. После этого температура МФП приравнивается Три- Если же изначально температура конденсированной среды Тпм равн а Три, то вместо ( ) применяется уравнение ( ), из которого вычисляется ¡'М\ а Т'^М1 приравнивается к Тф. Если найденное значение ¡'М1

10 должна быть затрачена на изменение температуры МФП:

тпм1 = тпм + (/с1 - /„), (3.26)

где fex равно 1 либо 0 в зависимости от того, какой процесс завершился в рассматриваемой точке: плавление или кристаллизация. Функция f в узле М

e x

Шаг 2. Из уравнений (3.16 и 3.17) рассчитываются и U+1 во внутренних узлах соответственно. Далее рассчитываются значения функций Тс, Тд, u в граничных и фиктивных узлах на слое п + 1.

Шаг 3. Решается уравнение ( ). Так как значения Тд^1 и U+1 для всех

М

п + 1

СЛАУ решается методом прогонки. Далее из (3.19) рассчитывается плотность газа. Наконец, в граничных и фиктивных узлах сетки расчитываются значения давления, где оно не известно, и плотности газа.

Если не достигнут заданный момент времени, то алгоритм повторяется. Таким образом, задавая начальные условия и последовательно продвигаясь по временным слоям, можем определить все искомые функции в требуемый момент времени.

Если на входе в объект известен объёмный либо массовый расход газа, то вычислительная часть описанного алгоритма не изменяется. В этом случае между шагами 2 и 3 добавляется блок для определения давления, соответствующего задаваемому расходу.

Система конечно-разностных уравнений (3.14 3.19) применима для моделирования нестационарных течений газа через слой гранулированного МФП. Так как предложенный метод не требует наличия чётких границ раздела фаз, то он позволяет описывать процессы при произвольной скорости фазового перехода. Достоинством этого метода является отсутствие необходимости вычисления

Тс при моделировании фазовых переходов, что сокращает время счёта.

На основе описанного численного метода разработан комплекс программ на языке С , которые позволяют расчитывать одномерные течения газа через гранулированный МФП, а также двумерные плоскопараллельные и осесиммет-ричные течения газа при различной геометрии стенок аккумулятора.

3.4 Обсуждение и оценка сходимости численного метода

Доказать аналитически сходимость решения системы конечно-разностных уравнений (3.14 3.19) к точному решению системы (3.3 3.8) не представляется возможным. Отметим, что так как система (3.14 3.19) является нелинейной, то доказательство устойчивости не гарантировало бы сходимость. Численный

пропорционально 1/Дх, так что фактически т изменяется пропорционально Ах. Этот факт был использован в проведённых в настоящей и следующей главах вычислениях.

Перед изложением результатов анализа сходимости на примере конкретных задач введём характерные интегральные параметры задачи, для которых будем проводить анализ. При исследовании зарядки аккумулятора будем вычислять следующие интегральные параметры:

Е=X (Тс+^е- ^;

2) среднюю по выходной поверхности температуру газа на выходе Тамд. При исследовании разрядки аккумулятора будем рассчитывать:

1-

Е=X (Тд° -Тс";

Та

Выбор указанных интегральных параметров для анализа сходимости численного метода обусловлен следующими обстоятельствами. Параметр Е3 используется при вычислении относительной накопленной энергии и коэффициента суммарной эффективности накопления [101], по которым оценивают эффективность и время зарядки аккумулятора. Параметр Ег используется при вычислении коэффициента эффективности извлечения [101], по которому оце-

Та

вычислять общий коэффициент утилизации, который также используется при оценке тепловых аккумуляторов [102].

Заметим, что введённые параметры являются функциями времени. Чтобы проанализировать изменения этих параметров с изменением расчётной сетки, вычислим их максимальные абсолютные и относительные отклонения следующим образом:

Д^Ф = max

ф(Дх) _ ф(2Дх)

, = max

ф(Дж) _ ф(2Дх)

ф(Дх)

(3.27)

где Ф - исследуемая вели чина: Е37 Ег или Таюд, Ф(Лж) - значен ие Ф при шаге сетки, равном Ах.

3.4.1 Оценка сходимости при одномерных течениях газа

Для демонстрации оценки сходимости и точности предлагаемого численного метода при моделировании одномерных течений газа через слой гранулированного МФП рассмотрим следующую модельную задачу. Пусть пористый объект имеет высоту Н и имеет прямые непроницаемые и нетеплопроводные боковые стенки, параллельные оси х2; границы, через которые газ втекает и вытекает из объекта, ортогональны поверхностям боковых стенок. В таком объекте изменения величин вдоль оси х\, а также компонента скорости и1 пренебрежимо малы, и процесс можно считать одномерным. На входе и выходе известно давление газа, то есть задано условие (3.11). Пусть параметры системы (3.3 3.8) и условий (3.9 3.11) принимают следующие значения:

а = 0.4, Bi = 0, Eu = 8.33 • 104, ро = 1.5 Pei = 8.4 • 107, Pe2 = 2.7 • 105, Re = 4.75, Sh = 1.4 • 10-3, Sti = 1.5 • 10-2, St2 = 41.7, Ste = 4.5, Тдо = 1.33, Tph = 1.17 Ts = 0.37, П1 = 5 • 104, П2 = 2.8 • 104, x = 0.5,

которые соответствуют следующим значеням размерных параметров:

As = 1.46 • 10-6кг м-1с-1К-(15, сс = 2.25 • 103 Дж кг-1К-1, сдр = 103Дж кг-1К-1, cs1 = 1.46 • 10-6кг м-1с-1К-(15, Н = 5 м, к1 = 10-8м2, к2 = 5.65 • 103м-1, р* = 105Па, Qph = 1.5 • 105Джкг-1, Т* = 300 К, t* = 3.6 • 103с, и* = 1м с-1, а = 104Вт м-3К-1, Лс = 0.2 Вт м-1К-1, Лс = 2.2 • 10-2Вт м-1К-1, рс = 1.5 • 103 кг м-3, р* = 1.2 кг м-3.

В начальный момент времени Тс = Тд = р = 1, и2 = / = 0.

В таблице представлены отклонения параметров Е, и Тауд, полученные по формулам 3.27 из решения описанной выше задачи при разных шагах сетки. Приведённые в таблице параметры Ь и Ь0 пояснены ниже.

Таблица 1 Результаты вычислений на последовательности сгущаю-

щихся сеток в одномерном случае

А х ае, ЬЕ, А Т а Ь Та

1/80 1.1434 10-3 9.0026 10-2 1.2896 10-2 1.0507 10- 2

1/160 4.4286 10-4 3.0978 10-2 5.1844 10-3 4.1956 10- 3

1/320 1.5912 10-4 1.0719 10-2 2.1288 10-3 1.7082 10- 3

1/640 6.9277 10-5 3.9982 10-3 1.1961 10-3 9.6959 10- 4

1/1280 2.4425 10-5 1.5880 10-3 5.8007 10-4 4.6608 10- 4

1/2560 9.6859 10-6 7.0559 10-4 2.9346 10-4 2.3585 10- 4

1.36 1.07

Ьо 0.47 1.25

Из таблицы видно, что относительное отклонение Е3, рассчитанное при шаге Ах = 1/160, становится меньше 4%, а отклонение средней температуры при этом шаге составляет менее 0.5%. В размерных переменных это соответствует погрешности в 1-2 кДж для Е, и около 1 К для Тамд. При этом относительное отклонение времени завершения процесса составляет около0.35%. Заметим, что приведённые в таблицах максимальные относительные отклонения являются верхней оценкой погрешности, а средние относительные отклонения параметров меньше максимальных в несколько раз. Из этого можно сделать вывод, А х = 1/160

ляет получать достаточно точные результаты. Численные эксперименты также показали, что приемлемые результаты получаются при А х = 1/80, а для неко-

1/40 1/20

потери точности.

Далее на основе таблицы 1 оценим скорость сходимости метода по аналогии с [103]. Так как наличие сходимости в рассматримаемом случае уже установлено, то приведённые в таблице 1 абсолютные отклонения должны приближённо удовлетворять соотношению

Ь (Ах) = ЬоАхъ,

(3.28)

где b0 и & не зависят от Дх. Подставляя в ( ) вместо значений 6(Дж) абсолютные отклонения параметров из таблицы , а вместо значений Дх - соответствующие этим отклонениям шаги сетки, методом наименьших квадратов можем найти значения &0 и последнее из которых и будем рассматривать как оценку для скорости сходимости исследуемого параметра. Результат описанной процедуры приведён в конце таблицы . Получившиеся значения параметра b показывают, что порядок сходимости разработанного численного метода бли-1

Таким образом, общий порядок сходимости предложенного численного метода при расчёте одномерных течений газа близок к первому.

3.4.2 Оценка сходимости при двумерных течениях газа

Далее продемонстрируем сходимость развиваемого в настоящей работе численного метода на решении нескольких модельных задач о течении газа в осесимметричных объектах сужающейся и расширяющейся конфигураций. Рассмотрим течения газа через тепловые аккумляторы, конфигурация которых получается вращением сечений, изображённых на рисунке 3.2, вокруг оси х1 = 0. Такие объекты будем называть плавно сужающимися (рис. а) и плавно расширяющимися (рис. 3.2Ь).

Будем рассматривать уравнения (3.3 3.8) при условиях (3.9, 3.10 и 3.13), то есть при заданном на входе в объект массовом расходе газа, а также при следующих значениях безразмерных параметров:

а = 0.4, Bi = 0 Eu = 8.33 • 104, Pe1 = 2.4 • 107, Pe2 = 4.4 • 105, Qmo = 3, Re = 4.75, Sh = 2.2 • 10-3, St1 = 1.3 • 10-2, St2 = 33.3, Ste = 4.5, Tvh = 1.1,

Ts = 0.37, П1 = 8 • 104, П2 = 0, X = 0.5,

Эти данные соответствует следующим значениями размерных параметров:

As = 1.46 • 10-6кгм-1с-1К-(15, сс = 2 • 103 Дж кг-1К-1, сдр = 103 Дж кг-1К-1, Н = 8 м, к1 = 10-8м2, р* = 105Па, Qph = 5 • 104Дж кг-1, Т* = 300 К, t* = 3.6 • 103 с, и* = 1м с-1, а = 5 • 103 Вт м-^Лс = м-^-1, Лс = 2.2 • м-^рс = 1.5 • 103 кг м-3, р* = 1.2 кг м-3.

0.8

Х2

0.3

0

0.7

0

0.5

Х\

0.2

0

0

0.5

Х\

Рисунок 3.2

Схемы осевых сечений тепловых аккумуляторов для анализа

сходимости.

Для выбранных значений параметров и геометрий объектов решим задачу о зарядке теплового аккумулятора, когда через входную поверхность в объект поступает газ с температурой

Тд0 = 1.33

при начальных условиях

тс = Тд = р = 1, / = щ = щ = 0,г = 0,

а также задачу о разрядке, когда через входную поверхность в объект поступает газ с температурой

Тд0 = 1

при начальных условиях

Тс = Тд = 1.33,/ = р = 1,щ = щ = 0,г = 0.

В таблице 2 представлены отклонения введённых параметров, полученные из решения описанной выше задачи зарядки при разных шагах сетки. Эти же данные, но для задачи разрядки теплового аккумулятора приведены в таблицах 3.

1

1

Таблица 2 Результаты вычислений на последовательности сгущающихся сеток для зарядки осесимметричного аккумулятора энергии

А х Сужающийся объект Расширяющийся объект

А Еа ЬЕа АТауд ЬТауд А Еа 8Еа АТауд ЬТауд

1/20 1/40 1/80 1/160 1/320 Таблиц. ЩИХСЯ ( А х 0.0356 0.2621 0.0389 0.0342 0.0154 0.1100 0.0172 0.0149 0.0066 0.0698 0.0078 0.0067 0.0030 0.0403 0.0033 0.0029 0.0018 0.0246 0.0016 0.0015 а, 3 Результаты вычислений ;еток для разрядки осесимметр^ Сужающийся объект 0.0672 0.2531 0.0284 0.0228 0.0268 0.1268 0.0075 0.0068 0.0130 0.0572 0.0040 0.0033 0.0062 0.0274 0.0019 0.0016 0.0039 0.0133 0.0006 0.0007 на последовательности сгущаю 1чного аккумулятора энергии Расширяющийся объект

А Ег 8 Ег АТауд 8ТаУ д А Ег 8ЕГ АТауд 8Тауд

1/20 1/40 1/80 1/160 1/320 0.0238 0.0975 0.0351 0.0303 0.0118 0.0554 0.0185 0.0160 0.0058 0.0511 0.0044 0.0084 0.0026 0.0429 0.0019 0.0039 0.0015 0.0245 0.0009 0.0008 0.0557 0.1921 0.0178 0.0169 0.0214 0.0611 0.0059 0.0052 0.0099 0.0294 0.0028 0.0023 0.0049 0.0149 0.0014 0.0013 0.0028 0.0066 0.0006 0.0006

Из таблиц видно, что относительные отклонения между энергиями, рассчитанными при шагах 1/160, становятся меньше 5%, а отклонения средних температур при этом шаге составляет менее 0.4%. В размерных переменных это соответствует погрешности в 1-2 кДж для Е8, Ег и около 1 К для Тауд. При этом относительное отклонение времени завершения процесса составляет 5%

отклонения являются верхней оценкой погрешности, а средние относительные отклонения параметров меньше максимальных в несколько раз. Из этого можно сделать вывод, что шаг сетки Ах = 1/160 при моделировании осесимметричных процессов позволяет получать достаточно точные результаты. Однако приемлемые результаты получаются уже при Ах = 1/80, а в некоторых задачах - и при Ах = 1/40.

Далее на основе таблиц 2 и 3 получим оценку скорости сходимости метода с использованием процедуры, проделанной при рассмотрении одномерных задач. Приведённые в таблицах 2 и 3 абсолютные отклонения должны также

приближенно удовлетворять соотношению (3.28). Подставляя в (3.28) вместо значений 6(Дж) абсолютные отклонения параметров из таблиц и , а вместо значений Дх - соответствующие шаги, методом наименьших квадратов найдём значения параметров 60 и Ь. Результат представлен в таблице .

Таблица 4 Результаты вычислений на последовательности сгущающихся сеток в осесимметричном случае

Сужающийся объект Зарядка Разрядка Расширяющийся объект Зарядка Разрядка

ДЕ3 ДТащ ДЕГ ДТащ ДЕ3 ДТаи д ДЕГ ДТаи д

Ьо 0.9049 1.2287 0.4940 2.3680 Ь 1.1034 1.1561 1.3854 1.3854 1.3127 1.0281 1.2264 0.5900 1.0340 1.2604 1.0755 1.2080

Получившиеся значения параметра Ь показывают, что порядок сходимо-

1

анализе конечно-разностной схемы для одномерных задач.

Оценка сходимости на последовательности сгущающихся сеток была также проведена для двумерных плоскопаралельных течений газа, выводы оказались аналогичными, поэтому они опущены здесь для краткости, ознакомиться с ними можно в работе [13].

3.5 Валидация

Для валидации предложенной численной модели было проведено сравнение полученных с её помощью численных расчётов с данными эксперимента [101]. Экспериментальная установка представляла собой трубу с внутренним 20 20 заполнен специальным коммерческим гранулированным МФП со средним диаметром гранул 1.64 мм. Структура использованного материала представляет собой комбинацию губчатого неорганического и органического плавящегося вещества и поэтому допускает плавление без нарушения целостности: без изменения формы, размера гранул, растекания. Воздух подавался в объект с заданными объёмным расходом и температурой. Эксперименту [101] соответствуют следующие значения безразмерных параметров:

8 • 106, / = 0

а = 0.486, Ы = 0, Ей = 1.46 • 107, Ре1 = '

" 6 • 106, / = 1

Рв2 = 2.6 • 103, Qуo = 0.79, Ие = 1, 8Ь = 0.84,

81е =

811 = 12.4- 10-3,

5 • 10-3, / 6.4 • 10-3, $

/ = 0

=0

=1

, 812 = 13,

(3.29)

9.6 10

3

/ = 1

Трк

1.05, плавление 1.07,

Т3 = 0.37, П1 = 2.27 • 103, П2 = 955.6,х = 0.5.

Температура газа на входе Тд0 изменяется как функция времени в соответствии с рисунком 3.3 [101].

1.14 1.12 1.1 1.08 1.06

Тд0 1.04

1.02 1

0.98 0.96 0.94

0

3

4

5

Рисунок 3.3 — Изменение Тд0 как функции £ в эксперименте [101].

Эксперименту [101] соответствуют следующие начальные условия для уравнений (3.3 3.8):

Тд = ТС =р=1,/ = 0, и = 0.

Приведённые безразмерные данные соответствуют следующим значениям размерных параметров:

= 1.46 • 10-6кб т-1й-1К

-0.5

С=

2.25 • 103, $ = 0 1.74 • 103, / = 1

1 -1

-1

сдр = 103,Джкг-1КН = 0.2 м, к1 = 7.8 • 10-9м2, к2 = 4778 м,

1

2

= 54379 Дж кг-1, Т* = 30^ К, ¿* = 3.6 • 103с, и* = 0.24 м с

-1

а = 2 • 104 Вт м-3К, Лг = 0.2 Вт м-1К-1, Л„ = 0.022 Вт м-1К-1

рс, = 1512.8 Вт м-3К-1, р* = 1.2 Вт м-3К

В ходе эксперимента измерялась температура в разных точках на оси симметрии объекта, на основе чего строились графики, представленные в работе [101]. Для сравнения с экспериментом [101] в настоящей работе система (3.3 3.8) была решена описанным выше численным методом при условиях (3.9, 3.10 и 3.12) и значениях параметров (3.29).

Результат сравнения расчётных и экспериментальных данных представлен на рисунке 3.4, где изображены зависимости температуры от времени в разных точках на оси симметрии пористого объекта. Графики экспериментальных зависимостей из [101] получены с помощью свободной программы Мультискан для оцифровки графиков.

-1

а

б

1.14 1.12 1.1 1.08 1.06 Тс 1.04 1.02 1

0.98 0.96 0.94

/Ф

■ * I'

: , 1 +

0

0.2 0.4 0.6 0.8

г

1 1.2

1.14 1.12 1.1 1.08 1.06 1.04 1.02 1

1 -

2-----

3----6

3

3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5

г

1 - х2 = 0.375, эксперимент, 4 ~ х2 = 0.375, расчёт,

2 х2 = 0.625, эксперимент, 5 х2 = 0.625, расчёт,

3 х2 = 0.875, эксперимент, 6 х2 = 0.875, расчёт

Рисунок 3.4 Изменение со временем температуры МФП в пористом объекте, измеренное в [101] и полученное с помощью предложенной модели.

Из рисунков можно увидеть, что наибольшее отклонение рассчитанной температуры от измеренной достигается при плавлении МФП. Это можно объяснить тем, что при расчётах было положено, что фазовый переход происходит при постоянной температуре, в то время как в действительности использованный материал плавится в диапазоне температур. Из рисунков также можно

увидеть, что кривые вычисленной и измеренной температур очень близки при затвердевании, для которого характерно практически постоянное значение температуры. Такая зависимость температуры фазового перехода от его направления связана со свойствами используемого МФП. При вычислениях это было учтено путем приравнивания температуры Тр^ к разным значениям в зависимости от направления фазового перехода согласно (3.29).

Из обоих рисунков также можно увидеть, что максимумы измеренных температур, которые достигаются после плавления и нагрева слоя и соответствуют стационарному режиму течения, ниже полученных при вычислениях. Это вызвано влиянием тепловых потерь через боковые непроницаемые стенки объекта, которые не учитывались при расчёте одномерного течения, но играют заметную роль в рассматриваемых случаях.

Обратим внимание, что экспериментальные объекты имели достаточно малые размеры. Несмотря на это приближение сплошной многофазной среды позволило получить достаточно точные результаты. Результаты вали-дации и экспериментального анализа сходимости позволяют утверждать, что предложенная численная модель адекватно описывает течения газа в гранулированных МФП с фазовыми переходами, если размеры частиц много меньше размеров содержащих их объектов.

Глава 4. Особенности газодинамических и теплофизических процессов в гранулированных накопителях тепловой энергии с

фазовыми переходами

4.1 Влияние приближения постоянной плотности на расчёт процессов течений газа через слой гранулированного материала с

фазовым переходом

Во многих известных работах, например в [5; 7; 55; 62], при моделировании гранулированных плавящихся материалов с газовым теплоносителем пренебрегается сжимаемостью газа, при этом часто игнорируют температурную зависимость его плотности, то есть последняя полагается постоянной. Скорость газа при этом также полагают постоянной. Достоинством таких моделей является то, что они сводятся к численному решению одного или двух уравнений, для которых можно показать единственность решения, получить общие свойства системы, проанализировать и доказать устойчивость численных алгоритмов решения. Сами алгоритмы при этом часто требуют меньших вычислительных ресурсов. Недостаток этого подхода состоит в сужении области применения таких моделей. Хотя в указанных работах для используемых значений определяющих параметров получено хорошее совпадение результатов расчётов с экспериментальными данными, нет гарантии, что влияние приближения постоянной плотности газа не может количественно изменять решение при других значениях параметров задачи. Таким образом, вопрос о возможном отклонении решения задачи, вызванном приближением постоянной плотности газа, открыт.

4.1.1 Постановка проблемы

В настоящем параграфе исследуется влияние приближения постоянной плотности газа при моделировании его течений через слой гранулированного материала с фазовым переходом. Для этого сравниваются решения двух систем уравнений, описывающих нестационарные течения газа через слой гранулиро-

ванного материала с фазовым переходом, в одной из которых плотность газа определяется из уравнения совершенного состояния, а в другой постоянна. Первую из указанных систем уравнений получим из (3.3 3.8) при следующих допущениях, не нарушающих общности результатов исследования:

1. Горизонтальная скорость фильтрации равна нулю, щ = 0.

2. Боковые стенки полагаются теплоизолированными, Bi = 0.

3. Динамическая вязкость газа постоянна, = const.

4. Теплопроводность в газе пренебрежимо мала, Pe2 ^ то.

Допущения 1 и 2 позволяют рассматривать пористый объект как гранулированный слой, в котором характеристики процесса изменяются только вдоль одной координаты, а по другим направлениям постоянны. Таким образом, течение газа в таком слое можно считать одномерным. Координату, вдоль которой изменяются характеристики процесса, для краткости обозначим ж, скорость фильтрации газа в положительном направлении оси х - как и. Для удобства приведём систему (3.3 3.8) с учётом принятых допущений:

п )Sh f—т + 1 —Л St it т ) +1 - a—2т (1 _ a,s^ — + — _ j = № - T) + —^,

8T 8T p9[ aSh + и^) =St2 (Tc _ Tg),

- х

)

(4.1)

(4.2)

1 + (1 _ a)x

a2

(—и —и\ —p Пц

aSh-t +идх) = _EU —Ж _ R^ _ П2р9|и|и'

(4.3)

aSh —pg + — (р9щ)

—

— х

= 0, P= P9T9 , f = {

0, Tc < Tph

(0..1), Tc = Tph

1, Tc > Tj)h.

(4.4)

В уравнении ( ) в силу допущения 3 вместо параметра Ие для удобства используется число Рейнольдса Иец:

Иец = р *и*л/к/р.

При исследовании влияния приближения постоянной плотности газа будем рассматривать процессы при заданном перепаде давления на открытых границах объекта, а также при заданном объёмном расходе теплоносителя на

входе, поэтому в качестве краевых условий для системы (4.1 4.4) будем рассматривать условия (3.10 3.12). При этом в силу сделанного допущения об одномерности процесса эти условия тоже можно упростить. Пусть поверхностью входа Sinp является плоскость х = 0, а поверхностью выхода Sout -плоскость х = 1. Тогда условия ( и ) можно соответственно переписать следующим образом:

ВТ

Т I = т с

±9\х=0 = ±9°,

дх

дТ = 0, °1г

х=0 дх

= 0,

х=1

р\х=0 = Ро, р\Х=1 = 1. (4.6)

Расход газа через плоские поверхности ил и при условии одномерности течения вырождается в произведение некоторой заданной на поверхности скорости на площадь соответствующей поверхности. Тогда, положив для удобства и* равным этой заданной скорости, условие ( ) можно переписать следующим образом:

х=о = 1 Р\Х=1 = 1. (4-7)

Итак, при исследовании одномерных течений газа через слой гранулированного МФП краевыми условиями для системы (4.1 4.4) являются соотношения (4.5 4.7). Численный метод решения уравнений (4.1 4.4) без принципиальных изменений получается из (3.14 3.19).

Вторую систему, описывающую течение газа через слой гранулированного материала с фазовым переходом в приближении постоянной плотности теплоносителя, можно получить из (4.1 4.4) при определённых допущениях. Положив Рд = сопб^ из первого выражения ( ) получаем, что ди/дх = 0. В случае заданного постоянного перепада давления газа на границах слоя, то есть в случае условий ( ), можем проинтегрировать уравнение ( ) по х от 0 до 1 и получить обыкновенное дифференциальное уравнение для определения зависимости и от Полученное уравнение имеет вид уравнения Риккати, его решение при постоянных и положительных Еи, Ег, Кец, П1? П2 стремится со временем к некоторому постоянному значению и0. Анализ показывает, что оценки для времени выхода функции и на это значение на 3-4 порядка меньше характерных времён процесса: времён полного нагрева слоя и полного плавления материала в слое. Учитывая этот факт, можно упростить рассматриваемую задачу и

положить и = ио на протяжении всего времени процесса, при этом и0 также будет определяться из уравнения (4.3).

В случае заданной постоянной скорости газа на входе в слой, то есть при условиях ( ), получим, что не только ди/дх = 0, то и ди/дЪ = 0. Тогда уравнение (4.3) преобразуется в классическое уравнение Дарси-Форхгеймера, из которого определяется давление газа.

Таким образом, система уравнений для численного моделирования течения теплоносителя с постоянной плотностью через слой гранулированного МФП с фазовым переходом может быть сведена к следующим уравнениям:

п )3Ь (дГс + 1 д/Л Т 1 — ад2Тс

(1—а)8^ _ + ц^е д ) = —3(Т—т) + -рет м (4'8)

ВТ ВТ

aSh^diL + =st2 (Тс-Т9), f={

^ Тс < Трк

(0..1), Тс = ТрН (4.9)

1, Тс > Трк.

Граничными условиями для уравнений (4.8 и 4.9) являются условия (4.5). Уравнения (4.8 и 4.9) с краевыми условиями (4.5) решаются численно методом конечных разностей с использованием схем, получающихся из (3.14 3.16) с учётом сделанных в настоящем параграфе допущений. Алгоритм отыскания Тс

Численные решения систем (4.1 4.4) и (4.8 и 4.9) были сравнены при значениях параметров, соответствующим работам [63; 101]. Обнаружено, что в этих случаях решения обеих систем очень близки. Таким образом, приближение постоянной плотности оправдано для значений параметров, использованных в [63; 101]. На рисунке 4.1 изображены зависимости температуры МФП от времени, полученные в результате решения систем (4.1 4.4) и (4.8 и 4.9) при следующих значениях параметров:

a = 0.486, Eu = 1.5 • 104, Peí = 8.1 • 105,

Иец = 1.3, Sh = 2.2 • 10-4, Stí = 5 • 10-3, St2 = 14, Ste = 12.3, (4.10) Tph = 1.05, П1 = 2 • 103, П2 = 4.22 • 103, x = 0.5

и при следующих значениях параметров:

а = 0.4, Ей = 8.3 • 104,ро = 5, Рех = 1.7 • 108,

Иец = 6, = 2.8 • 10-3, = 3 • 10-2, = 83, = 4.5, (4.11)

Трн = 1.17, Пх = 105, П2 = 4.5 • 104,х = 0.5.

а б

г г

а значения (4.10), б значения (4.11)

1-х = 0.25, уравнения ( — ), 4 ~ х = 0.25, уравнения ( и ),

2-х = 0.5, уравнения ( — ), 5 х = 0.5, уравнения ( и ),

3-х = 0.75, уравнения ( — ), 6 х = 0.75, уравнения ( и ) Рх1сунок 4.1 Примеры зависимостей температуры МФП от времени, полученные при решении систем (4.1 4.4) и (4.8 и 4.9)

Как можно увидеть из рисунка, разница между решениями, полученными при учёте сжимаемости газа и при постоянной плотности, может быть как относительно малой (рис. 4.1а), так и достаточно большой (рис. 4.1Ь). При этом разница возрастает при отдалении от поверхности, через которую теплоноситель поступает в объект, и значительно влияет как на время полного нагрева слоя, так XI на время полного расплавления МФП в слое. В то же время характер зависимостей температуры от времени, изображенных на рисунке 4.1, не изменяется.

4.1.2 Влияние приближения постоянной плотности при постоянном перепаде давления газа на открытых границах

Для исследования влияния приближения постоянной плотности газа на его течения через слой гранулированного МФП при заданном перепаде давления на открытых границах введём следующие безразмерные параметры:

кид = ^, 31ед = <Тк_ИТ*

р*и* ц

и проанализируем решения системы (4.1 4.4) с краевыми условиями (4.5 и 4.6) и системы (4.8 и 4.9) с краевыми условиями (4.5) в следующих диапазонах значений безразмерных параметров:

Bi е [ 102,5 • 102], Еид е [1.7 • 104,5 • 105] , Fr е [10-2,5 • 10-2], I^ex е [3.4 • 107,1.7 • 108], Иец е [2,13], Sh е [4.5 • 10-3,2.3 • 10-2] , Sti е [6 • 10-3, 2.9 • 10-2], St2 е [16,83], Steд е [ 1.5,7.5], П е [104,3.1 • 105]

П2 е [5 • 103,1.8 • 105

фиксируя остальные параметры при значениях:

а = 0.4, Трь = 1.17 X = 0.5.

Эти данные соответствуют следующим значениям и диапазонам значений размерных параметров:

сс = 2.25 • 103Джк г-1 К-1, сдр = 103Дж кг-1 К-1, Н е [2,10] м, кх е [10-9,5 • 10-8] м2, к2 е [2.5 • 103,1.8 • 104] м-1, р* = 105 Па, Qph = 1.5 • 105 Дж кг-1, Т* = 300 К, t* = 3600 с, и* = 1м с-1, а = 104Вт м-3 К-1, Лс = 0.2 Вт м-1 К-1, рс = 1.5 • 103кгм-3, р* = 1.2кгм-3.

Чтобы проанализировать разницу между решениями систем (4.1 4.4) и (4.8 и 4.9), рассмотрим два параметра. Первый относительное отклонение времени полного нагрева слоя:

с , ist 1 - ist2

ot st = ---,

s 2

где и £^2 _ времена, при которых решения систем ( — ) и ( и ) соответственно достигают стационарного режима, то есть когда Тс и Тд во всём слое становятся равными Тд0. Второй параметр - относительное отклонение времени полного плавления МФП:

с, %т1Х ^то/2

Г ,

1-т12

где ¿То/Х и Ьт12 - времена, при которых фуикция /, полученная из решения систем (4.1 4.4) и (4.8 и 4.9) соответственно, во всём слое принимает значение 1.

На рисунках 4.2 и 4.3 демонстрируются зависимости относительных отклонений времени полного нагрева и времени полного плавления от параметров Еид и отношения параметров Пх/Иец при разных значениях параметра 81ед.

Рисунки 4.2 и 4.3 показывают, что существуют области значений параметров задачи как с маленькими, так и с достаточно большими значениями отклонений, поэтому плотность газа при определённых значениях параметров не может быть положена постоянной. Из рисунков можно увидеть, что отклонения, как правило, уменьшаются при увеличении Кец/Пх, что соответствует уменьшению толщины слоя или увеличению его проницаемости. Отклонения также возрастают при увеличении Еид, что соответствует увеличению перепада давления газа на открытых границах объекта. Этот рост замедляется и

Еид

Рисунки 4.2 и 4.3 также показывают, что указанные отклонения могут менять знак, т. е. скорость протекания процесса при использовании приближения постоянной плотности газа может быть как больше, так и меньше таковой в случае, когда плотность определяется из уравнения состояния совершенного газа. Таким образом, приближение постоянной плотности газа не может дать гарантированную оценку сверху или снизу для реального времени процесса. Такие вариации обусловлены разницей в получаемых значениях массового расхода газа, который при постоянной плотности газа может быть как больше, так и меньше такового при учёте изменения плотности. Максимальное абсолютное значение для обоих отклонений времени полного нагрева слоя и времени полного плавления МФП согласно результатам вычислительных экспериментов около 30%. Такое достаточно большое значение отклонения на практике может приводить к значительным неточностям при моделировании накопителей тепловой энергии на основе гранулированных материалов с фазовым переходом.

а

б

0.2 Ы & 0.1

0.1 о 0.1

5

0.1

-0.1

-0.2 5

•105, Еил ^1 .10—3, Щ/Ие, -105' ЕиА ^1 •Ю—3, Щ/Ие

•105, Еид

10—3, Пх/Ие,

5

м-

а - Ц1ед = 1.5, б - Ц1ед = 4.5, в - Ц1ед = 7.5

Рисунок 4.2 Зависимости относительных отклонений времени полного нагрева слоя МФП от параметров Еид и Ие^/П при заданном перепаде давления

газа на открытых границах объекта

а

б

0.3 ,,0.2 0.1

■105, Еид 1

^т1

0.1 о 0.1

5

10-3, Пх/Ие

■105, Еид 1

■105, Еид 1

10-3, Пх/Ие

10-3, Пх/Ие^

а - 81ед = 1.5, б - 81ед = 4.5, в - 81ед = 7.5

Рисунок 4.3 Зависимости относительных отклонений времени плавления МФП от параметров Еид и Пх/Иец при заданном перепаде давления газа на

открытых границах объекта

Таким образом, при заданном перепаде давления газа на открытых границах объекта отклонения полного времени нагрева слоя и полного времени плавления МФП растут с увеличением перепада давления на открытых границах объекта или толщины слоя и при уменьшении его проницаемости и уменьшаются при увеличении температуры газа на входе в объект. При этом при учёте изменения плотности по уравнению состояния совершенного газа модельное время протекания процесса может быть как больше, так и меньше такового при приближении постоянной плотности. Максимальное значение

5

отклонения может достигать десятков процентов, что может приводить к существенным неточностям в получаемом решении.

4.1.3 Влияние приближения постоянной плотности при постоянном

расходе газа на входе в объект

Для исследования влияния приближения постоянной плотности газа на его течения через слой гранулированного МФП с фазовым переходом при заданном расходе газа на входе в объект проанализируем решения системы (4.1 4.4) с краевыми условиями (4.5 и 4.7) и системы (4.8 и 4.9) с краевыми условиями (4.5) в следующих диапазонах значений безразмерных параметров:

Fr е [2 • 10-3,0.12] , Peí е [6.75 • 106,4 • 108], Иец е [0.4,32],

Sh е [2.2 • 10-4,1.4 • 10-2], Stí е [2 • 10-3 , 1.5 • 10-2], St2 е [7,4.2 • 102] , SteA е [1.5,22.5], П1 е [104,3.1 • 105], П2 е [5 • 103,1.8 • 105] ,

фиксируя остальные параметры при следующих значениях:

а = 0.4, Eu = 8.33 • 104, Tph = 1.17 X = 0.5.

Эти данные соответствуют следующим значениям и диапазонам значений размерных параметров:

сс = 2.25 • 103Дж кг-1 К-1, cgp = 103Дж кг-1 К-1, Н е [2,10] м, h е [10-9,5 • 10- 8] м2, к2 е [2.5 • 103,1.8 • 104] м-1, р* = 105 Па, Qph =е [5 • 104,1.5 • 105] Джкг-1, T* = 300 К, t* = 3600 с, и* е [0.2,2.4] м с-1, а = 104Втм-3 К-1, Лс = 0.2 Втм-1 К-1, рс = 1.5 • 103кгм-3, р* = 1.2 кгм-3.

Для удобства определим относительные отклонения времени полного нагрева слоя и времени полного плавления МФП следующим образом:

с,'_ ¿St2 - tst 1 £ ' _ tml2 - tт11

Мst = Г , ótml = Г ,

S 1 т 1

S 1 S 2 т 1 т 2

Рисунок 4.4 демонстрирует зависимости относительных отклонений времени полного нагрева слоя и времени полного плавления МФП от параметра

81вд и отношения параметров Пх/Кец при заданной скорости фильтрации газа на входе в объект. Из рисунка видно, что вид зависимостей отклонений времён нагрева слоя и плавления материала от параметра Пх/Кец может быть близким к периодическому. Следует заметить, что увеличение параметра Щ/Ие^ соответствует увеличению скорости фильтрации газа на входе в объект или проницаемости слоя либо уменьшению длины объекта. Отклонения, как правило, уменьшаются при увеличении числа 81ед, что соответствует уменьшению удельной теплоты плавления МФП либо увеличению разницы между температурой газа на входе в объект и температурой объекта в начальный момент времени. Максимальное значение относительных отклонений как времени полного нагрева, так и времени полного плавления МФП, изображенных на рисунке 4.4, достигает 15%. Такое значение отклонения также может приводить к значительным неточностям при моделировании.

а

б

Ы

0.2 0.15 зЬ 0.1 0.05

■105,81ед

24

0.2 0.15

¿С 0.1