Модели оптимизации и их аппроксимация для эллиптических и параболических систем управления нелинейного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Файрузов, Махмут Эрнстович

• Файрузов, Махмут Эрнстович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Файрузов, Махмут Эрнстович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I

Модели оптимизации и их конечномерные сеточные аналоги для систем нелинейного типа, описываемых квазилинейными эллиптическими уравнениями с управлениями в правых частях уравнения состояния и граничных условиях третьего рода.

1. Постановка задач и их корректность.

2. Конечномерные разностные аналоги моделей оптимизации. Корректность аппроксимаций.

3. Априорная оценка погрешности метода по состоянию в норме сеточного пространства

4. Оценки погрешности сеточного функционала, скорости сходимости аппроксимаций по функционалу, сходимость по управлению. Регуляризация аппроксимаций.

ГЛАВА II

Модели оптимизации и их конечномерные сеточные аналоги для систем нелинейного типа, описываемых квазилинейными эллиптическими уравнениями с нелинейными граничными условиями третьего рода с управлениями в коэффициентах уравнения состояния и граничных условиях.

1. Постановка задач и их корректность.

2. Конечномерные разностные аналоги моделей оптимизации. Корректность аппроксимаций.

3. Априорная оценка погрешности метода по состоянию в норме сеточного пространства й^(со)

4. Оценки погрешности сеточного функционала, скорости сходимости аппроксимаций по функционалу, сходимость по 87 управлению. Регуляризация аппроксимаций.

ГЛАВА III

Модели оптимизации и их конечномерные дифференциально-разностные аналоги для систем нелинейного типа, описываемых квазилинейными параболическими уравнениями с управлениями в коэффициентах уравнения состояния.

1. Постановка задач и их корректность.

2. Конечномерные дифференциально-разностные аналоги моделей оптимизации. Оценка погрешности по состоянию

3. Оценка погрешности аппроксимаций функционала.

4. Сходимость аппроксимаций по функционалу. Регуляризация аппроксимаций.

5. Модели оптимизации для квазилинейных параболических уравнений с другими критериями качества и их дифференциально-разностная аппроксимация и регуляризация.

ГЛАВА IV

Алгоритмы численного решения сеточных аппроксимаций задач оптимального управления.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели оптимизации и их аппроксимация для эллиптических и параболических систем управления нелинейного типа»

Актуальность темы исследования. В настоящее время математическое моделирование становится неотъемлемой частью сколь-нибудь крупных научно-технических проектов и разработок. Широкое и повсеместное внедрение методов математического моделирования, вычислительного эксперимента в большой степени определяет научно-технический прогресс сегодня. Вычислительный эксперимент предназначен для исследования, прогнозирования и оптимизации сложных многопараметрических процессов. Он частично или полностью заменяет натурное экспериментирование, которое в ряде случаев затруднено или даже невозможно, позволяет в несколько раз уменьшить сроки и стоимость разработок. Сущность вычислительного эксперимента кратно выражает триада «модель-алгоритм-программа» [157]. Математическая модель выделяет наиболее существенные связи исследуемого объекта, дает возможность получить точные количественные характеристики. Универсальность математических моделей позволяет легко переходить к исследованию новых явлений и процессов. Для изучения математических моделей используются численные методы - мощный аппарат вычислительной математики. Современные вычислительные алгоритмы позволяют на базе ЭВМ получить приближенное решение очень сложных задач с требуемой точностью за приемлемое время. Анализ расчетов, уточнение модели по результатам ее калибровки с данными натурных экспериментов являются необходимыми составными частями вычислительного эксперимента. Результатом вычислительного эксперимента выступают точные, детальные практические рекомендации.

В последние десятилетия весьма актуальными стали вопросы наилучшего (в том или ином смысле) управления различными процессами физики, техники, экономики и др. на базе математического моделирования процессов.

Неформальная постановка задач оптимального управления такова. Имеется некоторая система (объект управления, управляемая система), поведение которой характеризуется двумя видами параметров - состояния и управления.

Требуется выбрать параметры управления таким образом, чтобы поведение системы было в некотором смысле наилучшим. Формальные математические постановки задач оптимального управления чаще всего формируются с использованием интегро-дифференциального исчисления, записываются с помощью дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциальных уравнений и являются существенным обобщением задач вариационного исчисления.

Из обширной литературы, посвященной различным аспектам современной теории оптимального управления, ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, связанных с оптимизацией самых разнообразных процессов в различных отраслях науки и техники, упомянем [2, 5-11, 15, 17-19, 21, 23, 26, 32, 34, 36-38, 40-42, 46, 48, 68, 71, 72, 76, 79, 80, 84, 86, 87, 89, 90, 121, 124-127, 129, 130, 133, 135-137, 139, 142, 170, 171, 176-181, 183, 184].

Математические модели оптимизации процессов в подавляющем большинстве не поддаются аналитическому исследованию и требуют применения численных методов и современных ЭВМ (аналитическое решение задач оптимального управления даже на основе известных методов исследования задач оптимального управления, вошедших в золотой фонд теории оптимального управления, возможно лишь в крайне простых случаях, которые слишком далеки от запросов современной практики).

В настоящее время задачи оптимизации для систем обыкновенных дифференциальных уравнений сравнительно хорошо изучены, а методы их решения достаточно хорошо известны. Что касается задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, то опыт численного решения таких задач еще невелик. Математические модели оптимизации для систем с распределенными параметрами (описываемых уравнениями математической физики (УМФ)) - это наиболее сложный класс задач в оптимизации, особенно для систем управления нелинейного типа, что является главной причиной, почему в настоящее время все большее внимание уделяется в научной литературе развитию численных методов оптимального управления и использованию вычислительной техники.

Под «системами управления нелинейного типа» мы понимаем такие, в которых отображение g—>u(g) из множества допустимых управлений U в пространство состояний W является нелинейным. Характер конкретных постановок задач оптимального управления для распределенных систем существенно зависит от того, куда входят управления: в свободные члены уравнений состояния или в коэффициенты уравнений, а также линейными или нелинейными УМФ описываются состояния систем управления. В настоящее время наиболее полно исследован случай линейных моделей оптимального управления, когда функция состояния линейно зависит от управления, т.е. когда управления достаточно простым образом входят в линейные уравнения состояния и линейные предельные условия (в правые части линейных уравнений и/или слагаемыми в линейные краевые условия) и наиболее мало изучены задачи оптимального управления для систем нелинейного типа (особенно, когда нелинейность систем управления вызвана вхождением управлений в коэффициенты уравнений для состояний, в том числе в коэффициенты при старших производных), хотя развитие теории и методов их решения вызвано потребностями математического моделирования нелинейных оптимальных процессов, большой прикладной важностью таких задач при оптимизации процессов теплофизики, диффузии, фильтрации, теории упругости и др., а также при решении обратных задач для УМФ, рассматриваемых в вариационной постановке. Задачи управления в системах линейного типа (в частности, задачи управления тепло- и массообмен-ными и диффузионными процессами) достаточно полно изучены в работах

A.Г. Бутковского [17-19], А.И. Егорова [42], Ж.-Л. Лионса [86, 88, 89],

B.И.Плотникова [138, 139], их учеников и многих других. Интенсификация многих технологических процессов, где доминирующими являются процессы передачи тепла, диффузии, фильтрации и т.д., приводят к необходимости учета нелинейных эффектов при моделировании процессов и построении моделей оптимизации для систем управления нелинейного типа. Следует также отметить, что математическое моделирование с использованием ЭВМ в большинстве случаях является практически единственным средством исследования сложных процессов в системах управления нелинейного типа. При исследовании таких задач (особенно задач с управлениями в старших коэффициентах, являющихся «сильно нелинейными» оптимизационными задачами и весьма существенно отличающимися от задач, где управления осуществляются путем внешних воздействий на систему) возникает ряд трудностей, связанных с их нелинейностью, некорректностью, невыпуклостью, а также с малой гладкостью состояний.

Проблема численного решения задач оптимального управления приводит к необходимости их аппроксимаций задачами более простой природы. Правильно построенная аппроксимация позволяет получить содержательные результаты качественного и численного характера о изучаемом процессе.

Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах Б.М. Будака, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, Р.Ф. Габбасова, А. Дончева, А.И. Егорова, Ю.М. Ермольева, Ю.Г. Евтушенко, В.Г. Карманова, Ф.М. Кирилловой, В.Б. Колмановского, А.И. А.И. Короткого, П.С. Краснощеного, А.В. Кряжимского, М.А. Куржанского, Е.С. Левитина, Ж.-JI. Лионса, П.Ж. Лорана, В.И. Максимова, Н.Н. Моисеева, Ю.С. Осипова, В.И. Плотникова, А.Н. Тихонова, В.М. Тихомирова, Р.П. Федоренко, В.В. Федорова, Ф.Л. Черноусько и многих других. Первые результаты по общим условиям сходимости, в том числе для конечно-разностных аппроксимаций экстремальных задач были получены в работах Б.М. Будака, Б.М. Беркович, Е.Н. Соловьевой [13-14] и Ю.М. Ермольева, В.П. Гуленко, Т.Н. Царенко [43-46]. В них были получены общие условия сходимости по функционалу, а для сходимости по аргументу использовался метод регуляризации А.Н. Тихонова [169]. В дальнейшем эта методика развилась во многих работах [3,16, 22,24,25,31,37,51,57,58,62,63,130,191].

Вопросам устойчивости, аппроксимаций в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами посвящено большое число работ, среди которых, прежде всего, следует отметить работы К.Р. Айда-Заде,

Ф.П. Васильева, А. Дончева, Ю.Г. Евтушенко, А.И. Егорова, Ю.М. Ермольева,

A.З. Ишмухаметова, В.Б. Колмановского, А.И. Короткого, А.В. Кряжимского, О.А. Кузенкова, А.А. Кулешова, М.А. Куржанского, Ж.-Л. Лионса,

B.Г. Литвинова, Ф.В. Лубышева, Н.Д. Морозкина, П. Нейтаанмяки, М.М. Потапова, В.И. Плотникова, А.В. Разгулина, М.Р. Рахимова, М.И. Сумина, В.И. Сумина, Р.К. Тагиева, Я. Хаслингера, Ф.Л. Черноусько, Т.Ю. Шамиевой, А.Д. Юрия и многих других. Исследования этих вопросов для задач оптимального управления эллиптическими системами проводилось, например, в работах [70, 74, 91-102, 108, 110-119], для параболических систем в работах [27, 39, 47, 49, 64, 65, 67, 73, 78, 91, 103-107, 109, 112, 114, 120], а для гиперболических систем в [1, 28-30, 50, 52-54, 56, 59-61, 69, 75, 142, 144, 167, 168], для систем Гурса-Дарбу в [1, 35, 139, 140], для уравнения Шредингера в [145, 151, 152, 182]. Конечномерные аппроксимации с помощью разложений в ряды рассматривались в работах [4, 64, 55, 73, 131, 132, 154]. Обзор работ, посвященных различным аспектам современной теории оптимального управления и ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, основам общей теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач, вопросам аппроксимации задач оптимального управления и результатов в данной области представлен в работах Ф.П. Васильева [24], А.З. Ишмухаметова [62,63], Ф.В. Лубышева [112], М.М. Потапова [142].

Центральными здесь являются вопросы «конструирования аппроксимаций», сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу, управлению, регуляризации аппроксимаций. Анализ литературы по данной проблеме показывает, что для систем с распределенными параметрами, даже в линейном случае, вопросы аппроксимации исследованы еще недостаточно. Построение и исследование аппроксимаций проводились в основном для систем управления с постоянными коэффициентами и систем линейного типа, когда функция состояния систем достаточно просто, линейно, зависит от управления (функции управления появлялись либо в неоднородном члене линейных УМФ, либо в начальных или линейных граничных условиях для линейных УМФ). Поэтому особенно актуальными являются вопросы построения и исследования конечномерных аппроксимаций систем управления нелинейного типа (в том числе с управлениями в переменных коэффициентах уравнений состояний, учитывающих также и анизотропность среды). При этом, так как функции состояний систем управления могут не обладать наперед заданной гладкостью (что, вообще говоря, характерно для задач оптимального управления), то это важно учитывать при построении и исследовании аппроксимаций, т.е. представляется естественным и актуальным строить и исследовать аппроксимации по состоянию и функционалу на решениях (состояниях) той естественной, незавышенной степени гладкости, которая гарантируется теоремами о разрешимости как задач для состояния, так и задач управления. Кроме того, актуальным является вопрос о построении таких аппроксимаций, результаты о сходимости которых не зависели бы от способа решения аппроксимирующих конечномерных сеточных задач оптимального управления.

Целью работы являются: построение и исследование математических вопросов корректности моделей, а также построение и исследование конечномерных разностных аппроксимаций моделей оптимального управления системами нелинейного типа с распределенными параметрами (в которых отображение g -» u(g) из множества допустимых управлений U в пространство состояний W является нелинейным, в частности в системах с управлениями в переменных коэффициентах, в том числе учитывающих и анизотропность среды), описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического и параболического типов с обобщенными решениями; разработка эффективных алгоритмов численной реализации построенных конечномерных аппроксимаций, использование разработанных аппроксимаций и численных алгоритмов их реализации для решения конкретных прикладных задач оптимизации для систем нелинейного типа.

Общая методика исследований базируется на математической теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории численных методов, теории дифференциальных уравнений в частных производных и функциональном анализе.

Научная новизна работы отражена в основных результатах диссертации, которые являются новыми.

1. Предложены математические модели оптимального управления системами нелинейного типа с распределенными параметрами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического и параболического типов с обобщенными решениями, с переменными коэффициентами, учитывающими анизотропность сред, с линейными и нелинейными граничными условиями, с управлениями в свободных членах уравнений и граничных условий, а также в коэффициентах уравнений и коэффициентах нелинейных граничных условий (в том числе когда управления содержатся и в старших коэффициентах уравнений, учитывающих свойство анизотропности среды); исследованы математические вопросы корректности построенных моделей оптимизации; построенные модели могут рассматриваться также и как вариационные постановки ряда обратных задач для УМФ.

2. Разработаны конечномерные разностные и дифференциально-разностные аппроксимации построенных моделей оптимизации с обобщенными решениями для уравнений состояний; установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу и сходимость аппроксимаций по управлению; оценки точности и сходимость по управлению получены без дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояний процессов управления (при той естественной, незавышенной степени гладкости состояния, которая гарантируется теоремами о обобщенной разрешимости как задач для состояния, так и задач управления).

3. Проведена регуляризация преложенных аппроксимаций, позволяющая, на основе полученных результатов стоить минимизирующие последовательности для функционалов цели задач оптимального управления сильно сходящиеся в пространствах управлений исходных постановок к множествам точек минимумов функционалов; все полученные результаты о сходимости конечномерных аппроксимаций не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач оптимального управления.

4. Разработаны эффективные алгоритмы численного решения построенных конечномерных аппроксимаций, основанные на сочетании метода штрафных функционалов и методов проекции градиента, проекции сопряженных градиентов, условного градиента в конечномерных аналогах пространств Ь2 и W\.

5. Проведены численные расчеты ряда конкретных задач на основе предложенных моделей оптимизации систем нелинейного типа, разработанных методов аппроксимации и алгоритмов их реализации.

Практическая ценность. Предложенные в работе математические модели оптимального управления системами нелинейного типа и разработанные методы конечномерных разностных аппроксимаций математических постановок задач учитывают ту особенность, что решения задач для состояний обладают, вообще говоря, малой гладкостью, что характерно для реальных физических процессов, как правило, протекающих в гетерогенных средах, когда разные области решения обладают разными физическими характеристиками (при недостаточно гладких входных данных, в том числе управлений — например, недостаточно гладких характеристиках сред, при наличии недостаточно гладких источников (стоков) и др.). Сужение же, например, множества допустимых управлений (как это иногда делается) может быть крайне нежелательным, т.к. это существенно изменяет постановку задачи, снижая практическую ценность математической постановки оптимизационной модели. Разработанный и обоснованный в работе метод конечномерных сеточных и дифференциально-разностных аппроксимаций систем управления нелинейного типа носит конструктивный характер, обладает универсальностью, гибкостью и модульностью -качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ. Полученные результаты о сходимости аппроксимаций не зависят от выбора метода решения конечномерных аппроксимирующих задач, что обеспечивает автономность выбора численных методов реализации аппроксимаций на практике.

Построенные модели оптимального управления системами нелинейного типа и разработанные методы конечномерных аппроксимаций задач оптимального управления могут найти широкое применение при оптимизации и численном исследовании таких систем управления, где доминирующими являются процессы переноса тепла, диффузии, фильтрации, электричества и др., в которых необходимо учитывать неоднородность, анизотропность и активность сред, способных взаимодействовать с переносимыми субстанциями - веществом или энергией, как по линейному, так и по нелинейному закону.

Рассмотренные нелинейности задач для состояний в математических моделях оптимального управления могут быть обусловлены интересными для практики случаями: наличием стоков субстанции (например, диффузия вещества в активных средах с поглощением вещества по нелинейному закону, в которых диффундирующее вещество вступает в химические реакции со средой, сопровождающиеся нелинейным стоком субстанции), процессами климатизации через границу или диффузии сквозь ограничивающую область мембрану, биохимическими процессами, при анализе линий передач с утечкой в электротехнике и др. Учет анизотропии среды в математических моделях оптимизации систем оказывает существенное влияние на распределение субстанции в среде (тепловой энергии, концентрации, электричества и др.). Пренебрежение анизотропией среды в ряде случаев просто недопустимо (например, для сред с волокнистым строением).

Большую прикладную важность имеют модели оптимального управления для систем нелинейного типа, в которых нелинейности обусловлены вхождением управлений в коэффициенты (в том числе в коэффициенты при старших производных в уравнениях состояний). Полученные в работе результаты могут найти широкое приложение к проблемам механики сплошных сред - в процессе проектирования и разработки новой техники, технологических процессов, включающих поиск оптимальных конструкций путем выбора функций управления, описывающих распределение упругих характеристик материала; при тепловом проектировании различных сложных технических систем, связанных с оптимальным тепловым нагружением их конструкций из материалов с искусственно созданными неоднородностями (в том числе учитывающими и свойство анизотропии) для обеспечения нужного оптимального эффекта работы соответствующей сложной конструкции (например, поле температур должно быть в некотором смысле близким к заданному); при оптимальном управлении нелинейными стоками энергии (вещества) в активных средах с поглощением энергии (вещества) по нелинейному закону; при решении ряда некорректных, в том числе коэффициентных обратных задач теплопроводности, диффузии, фильтрации, геофизики, теории упругости, рассматриваемых в вариационной постановке (например, для теплофизических исследований неоднородных анизотропных материалов сложных технических систем, где помимо решения прямых задач большой интерес представляет решение обратных задач идентификации, связанных с определением (восстановлением) коэффициентов уравнений состояний систем по дополнительной информации (доступной измерению), о решении краевых и начально-краевых задач для данных УМФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы, содержащего 191 наименование, и приложения. Объем работы, исключая приложение составляет 166 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Файрузов, Махмут Эрнстович, 2004 год

1. Абди керимов Т., Евсеен ко Т.П. О приближенном решении задач оптимального управления методом прямых// В сб.: Математические методы оптимального управл. системами с распределенными параметрами. Фрунзе: Изд-во Илим. 1973. С.86-91.

2. Аваков Е.Р. Условия регуляризации аппроксимации аппроксимирующего семейства экстремальных задач// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и ки-берн. 1982. №1. С.29-35.

3. Авдонин С.А., Иванов С.А., Ишмухаметов А.З. Квадратичная задача оптимального управления колебаниями струны// ДАН СССР. 1991. Т.316. №4. С.781-785.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука. 1979.430с.

5. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1988. 286с.

6. Айда-Заде К.Р. Исследование и численное решение конечно-разностных аппроксимаций задач управления распределенными системами// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1989. Т.29. №3. С.346-354.

7. Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. М.: Мир. 1977.142с.

8. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука. 1980. 256с. Ю.Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука. 1986. 302с. Н.Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. М.: Химия. 1975. 576с.

9. Браудер Ф.Е. Материалы к совместному советско-американскому симпозиуму по уравнениям с частными производными. Новосибирск. 1963.

10. Будак Б.М., Беркович Б.М., Соловьева Е.Н. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управления// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1969. Т.9. №3. С.522-547.

11. Будак Б.М., Беркович Б.М., Соловьева Е.Н. Об аппроксимации экстремальных задач I, II // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1971. Т.2. №3. С.580-506, №4. С.870-884.

12. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Приближенные методы решения задач оптимального управления (тексты лекций), вып.1,2. М.: МГУ.1968. 303с.;1969. 299с.

13. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ. 1975. 171с.

14. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука. 1965.474с.

15. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука. 1975. 586с.

16. Бутковский А.Г., Пустыльников А.М. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука. 1980.384с.

17. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука. 1972.415с.

18. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: МГУ. 1974. 376с.

19. Васильев Ф.П. О сходимости одного разностного метода решения задачи быстродействия// Банах. Центр. 1978. Т.З. С.93-101.

20. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1981. 400с.

21. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс. 2002. 824с.

22. Васильев Ф.П., Иванов Р.П. О приближенном решении задач быстродействия в банаховых пространствах при наличии ограничений на фазовые координаты//Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1971. T.l 1. №2. С.328-347.

23. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный методмоментов в задачах оптимального управления. М.: МГУ. 1989. 143с.

24. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М., Солодкая М.С. Обобщенный метод моментов в задаче управления параболической системой// Методы и алгоритмы в численном анализе. М.: Изд-во МГУ. 1984.

25. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Уварова О Л. Применение обобщенного метода моментов к задаче оптимального управления гиперболической системой с линейными ограничениями// Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1986. №2.

26. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебания струны// Вестник Московск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1993. №3. С.8-15.

27. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Разгулин А.В. О методе Фурье для решения одной задачи оптимального управления колебаниями струны// Вестник Московск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1993. №2. С.3-8.

28. Васин В.В. Устойчивая дискретизация экстремальных задач и ее приложения в математическом программировании// Мат. заметки. 1982. Т.31. №2. С.269-280.

29. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1971. 507с.

30. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1978. 333с.

31. Гамзаев Х.М., Таиров М.А. Расчет оптимального управления процессом вытеснения нефти водой// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1982. Т.22. №8. С.994-999.

32. Гуленко В.П., Ермольев Ю.М. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления с уравнениями Дарбу// В сб.: Теория оптимальных решений. Киев: Изд-во ИК АН УССР. 1968. Вып.2.

33. Демиденко Н.Д., Ушатинская Н.П. Моделирование, распределенный контроль и управление процессами ректификации. Новосибирск: Наука. 1978. 286с.

34. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир. 1987.164с.

35. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука. 1980. 384с.

36. Евсеенко Т.П. Приближенное решение задачи оптимального управления процессом теплопроводности// Математические методы оптимизации систем с распределенными параметрами. Фрунзе. Изд-во Илим. 1975.

37. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука. 1982.432с.

38. Евтушенко Ю.Г., Засухина Е.С., Зубов В.И. О численном подходе к оптимизации решения задачи Бюргерса с помощью граничных условий// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т.37. №12. С. 1449-1458.

39. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука. 1978.

40. Ермольев Ю.М. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления// Тез. сообщ. межд. конгр. математиков. М.: 1966. С.709-721.

41. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П. О численных методах решения задач оптимального управления// Кибернетика. 1966. №1. С. 120-121.

42. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления// Кибернетика. 1967. №3. С. 1-20.

43. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П., Царенко Т.И. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления. Киев: Наукова думка. 1978. 164с.

44. Иванович Л.Д. Разностная аппроксимация и регуляризация задачи об оптимальном нагреве стержня// Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1982. №3. С.10-15.

45. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974.480с.

46. Искендеров А.Д., Тагиев Р.К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения// Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. №8. С. 1324-1334.

47. Ишмухаметов А.З. Оптимальное управление поперечными колебаниями стержня// Вестник МГУ. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1981. №4. С.46-50.

48. Ишмухаметов А.З. Об условиях аппроксимации и регуляризации в экстремальных задачах// Прикладная матем. и матем. обеспечение ЭВМ. М.: МГУ. 1981. С.25-27.

49. Ишмухаметов А.З. Разностная аппроксимация задачи оптимального управления поперечными колебаниями стержня// Вычисл. методы и программир. М.: МГУ. 1983. Вып.39. С.155-165.

50. Ишмухаметов А.З. Задача быстродействия для гиперболических систем// Численный анализ. М.: Изд-во МГУ. 1983.

51. Ишмухаметов А.З. Задача оптимального управления начальным состоянием системы, описываемой гиперболическим уравнением// Оптимизация и управление. М.: Изд-во МГУ. 1983. С.5-14.

52. Ишмухаметов А.З. Обобщенный метод моментов в задаче с управлением, зависящим только от пространственных переменных// Стандартные программы и численное решение задач волновой физики. М. 1986. С.43-51.

53. Ишмухаметов А.З. Вопросы аппроксимации и регуляризации задач оптимального управления гиперболическими системами// В сб.: Вычисл. методы и системы обработки данных на ЭВМ. М.: МГУ. 1988. С.4-18.

54. Ишмухаметов А.З. Моделирование процессов управления линейными системами: устойчивость и аппроксимация// Итоги науки и техники. ВИНИТИ: Вычисл. науки. 1991. Т.7. С.3-88.

55. Ишмухаметов А.З. Условия аппроксимации и устойчивости задач минимизации// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т.ЗЗ. №7. С.1012-1029.

56. Ишмухаметов А.З. Условия аппроксимации и устойчивости в задачах оптимального управления гиперболическими системами// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1994. Т.34. №1. С. 12-28.

57. Ишмухаметов А.З. Управляемость гиперболических систем при сингулярных возмущениях// Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. №2. С.241-250.

58. Ишмухаметов А.З. Условия и оценки сходимости решения задач управления для гиперболических систем при сингулярных возмущениях// Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. №6. С.774-783.

59. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления. М.: Изд-во ВЦ РАН. 2000. 151с.

60. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Изд-во ВЦ РАН. 2001. 120с.

61. Ишмухаметов А.З., Першеев Д.В., Потапов М.М. Аппроксимация проблемы моментов в параболической задаче оптимального управления// Числ. мет. решения краевых и начальных задач для дифференц. уравн. МГУ. 1986. С.117-122.

62. Ишмухаметов А.З., Юлина А.В. Аппроксимация квадратичной задачи оптимального управления параболической системой// Вестн. МЭИ. 1998. №6. С.73-84.

63. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. Казань: Казанский университет. 1976. 156с.

64. Керимов А.К. Об аппроксимации по Галеркину задач оптимального управления для систем с распределенными параметрами параболического типа// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1979. Т. 19. №4. С.851-865.

65. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. М.: Мир. 1975.158с.

66. Короткий А.И. Коэффициентная устойчивость решений гиперболических систем и корректность задач оптимального управления// Некот. мет. позицион. и программ, управл. Свердловск. 1987. С.22-33.

67. Короткий А.И. Зависимость решений эллиптических уравнений от коэффициентов и приложение к корректности задач оптимального управления// Качественные вопросы теории диффернц. уравн. и управл. систем. Свердловск. 1988. С.20-33.

68. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука. 1973.448с.

69. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука. 1977.

70. Кузенков О.А., Плотников В.И. Сходимость конечномерных приближений в задаче оптимального управления сильно параболической системой// Конст-руир. алгоритм, и решний задач матем. физ. М.: Изд-во МГУ. 1989. С. 1-18.

71. Кулешов А.А. Разностная аппроксимация и регуляризация одной задачи оптимального управления процессом, описываемым эллиптическим уравнением// ДАН СССР. 1983. Т.269. №4. С.809-813.

72. Куржанский М.А. О конечномерной аппроксимации задачи наблюдения и управления для гиперболической системы// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1992. №3. С.28-33.

73. Куржанский М.А., Потапов М.М., Разгулин А.В. Проекционная схема метода прямых в задачах зонного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1994. №3. С.29-35.

74. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1988. 304с.

75. Лабузов С.Г., Потапов М.М. Оценка скорости сходимости метода прямых в задаче об оптимальном нагреве// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1985. №3. С.35-42.

76. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1969. 67с.

77. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980.285с.

78. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. 736с.

79. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1973.575с.

80. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973.407с.

81. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир.1970.334с.

82. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972.587с.

83. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир. 1972.414с.

84. Лионс Ж.-Л. О неравенствах в частных производных// УМН. 1973. Т.28. вып.4. С. 15-46.

85. Лионе Ж.-Л. Об оптимальном управлении распределенными системами// УМН. 1973. Т.28. №4. С. 15-46.

86. Лионс Ж.-Л. Некоторые вопросы оптимального управления распределенными системами//УМН. 1985. Т.40. С.55-68.

87. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука. 1987. 365с.

88. Лубышев Ф.В. О дифференциально-разностных аппроксимациях многомерных задач оптимального управления с распределенными в пространстве параметрами// Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. №4. С.920-928.

89. Лубышев Ф.В. О сходимости разностных аппроксимаций и регуляризации задач оптимального управления для эллиптических уравнений со смешанными граничными условиями// Численные методы в прикладной математике. Уфа: БФАН СССР. 1985. С.21-35.

90. Лубышев Ф.В. О сходимости разностных аппроксимаций и регуляризация задач оптимального управления для эллиптических уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1985. Т.25. №7. С.983-1000.

91. Lubyshev F.V. Difference approximation and regularization in optimal control problems for elliptic equations// Teubner Texte zur Mathematic. Leipzig. 1986. Band 82. PP.106-108.

92. Лубышев Ф.В., Торопчин В .Д., Кобяков А.И. Оптимальное управление пусковыми режимами химического реактора с кипящим слоем// Численные методы решения уравнений математической физики. Уфа: БФАН СССР. 1986. С.101-114.

93. Лубышев Ф.В. О точности разностных аппроксимаций и регуляризации задач оптимального управления на решениях эллиптических уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1987. Т.27. №4. С.490-500.

94. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация некоторых задач оптимального управления// Численные методы в прикладной математике. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1988. С.64-72.

95. Лубышев Ф.В. О некоторых задачах оптимального управления электрическими полями в многоэлектродных электрохимических системах// Известия вузов. Электромеханика. 1989. №7. С. 115-119.

96. Лубышев Ф.В., Батталов P.M. Об одной задаче оптимального управления// Численные методы решения краевых задач. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1989. С.75-89.

97. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для несамосопряженного эллиптического уравнения с переменными коэффициентами// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1991. Т.31. №1. С. 17-30.

98. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления коэффициентами параболических уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т.ЗЗ. №8. С.1166-1183.

99. Lubyshev F.V. Approximation and regularization of problems of the optimal control of the coefficients of parabolic equations// Comput. Maths Math. Phys.Vol.33. N08. 1993. PP. 1027-1042.

100. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления коэффициентами параболических уравнений// Тез. докл. Международной конференции «Дифферен-циальные уравнения и их приложения». Саранск. 1994. С.79.

101. Лубышев Ф.В. Разностные аппроксимации и регуляризация задач оптимального управления для параболических уравнений с управлениями в коэффициентах// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1995. Т.35. №9. С. 13131333.

102. Lubyshev F.V. Difference approximations and regularization of problems of optimal control for parabolic equations with controls in the coefficients// Comput. Maths Math. Phys. Vol.35. No9.1995. PP.1053-1069.

103. Лубышев Ф.В. О некоторых задачах оптимального управления// Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа: Институт матем. с ВЦ УНЦ РАН. 1996. С.79-90.

104. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для параболических уравнений с управлениями в коэффициентах// Доклады РАН. 1996. Т.349. №5. С.598-602.

105. Лубышев Ф.В. Разностные аппроксимации задач оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных. Уфа. БГУ. 1999. 243с.

106. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. О сходимости разностных аппроксимаций и регуляризации задач оптимального управления для квазилинейных граничных задач//Вестник БашГУ. 1999. №1. С.8-12.

107. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений с нелинейными граничными условиями третьего рода// Математическое моделирование. РАН. 2000. Т. 12. №3. С.33-34.

108. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Аппроксимация и регуляризации задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2001. Т.41. №8. С. 1148-1164.

109. Лубышев Ф.В., Гареев О.Р. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами, описываемыми односторонними граничными задачами для эллиптических уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2001. Т.41. №11. С.1675-1696.

110. Лубышев Ф.В., Гареев О.Р., Файрузов М.Э. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами, описываемыми односторонними граничными задачами// Труды Средневолжского математическогообщества. Т.3-4. №1. 2002. С.79-81.

111. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Дифференциально-разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления коэффициентами квазилинейных параболических уравнений// Труды Средневолжского математического общества. Т.3-4. №1. 2002. С. 125-132.

112. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.:Наука. 1975.478с.

113. Ляшко А.Д. Метод прямых для квазилинейных эллиптических уравнений//Дифференц. уравнения. 1972. Т.8. №5. С.91-901.

114. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург. Ин-т матем. и механ. РАН УО. 2000. 305с.

115. Маркин Е.А., Стрекаловский А.С. О существовании, единственности и устойчивости решения для одного класса управляемых динамических систем, описывающих химические процессы// Вестник МГУ. Сер. вычисл. матем. и ки-берн. 1977. №4. С.3-11.

116. Марчук Г.И. Окружающая среда и проблема оптимизации размещения предприятий//ДАН СССР. 1976. Т.227. №5. С.1056-1059.

117. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука. 1992.336с.

118. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Наука. 1993.224с.

119. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1976. 391с.

120. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука. 1971.424с.

121. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1988. 359с.

122. Морозкин Н.Д. О сходимости конечномерных приближений в задаче оптимального одномерного нагрева с учетом фазовых ограничений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1996. Т.36. №10. С.12-22.

123. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений. Уфа: БашГУ. 1997.114с.

124. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука. 1987.240с.

125. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ. 1999.237с.

126. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Свердловск. 1991. 104с.

127. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации сложных химико-технологических систем. М.: Химия. 1970.

128. Островский Г.М., Волин Ю.М. Моделирование сложных химико-технологических систем. М.: Химия. 1975.312с.

129. Плотников В.И., Сумин В.И. О сходимости конечномерных приближений в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1968. Т.8. №1.

130. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемыми системами Гурса-Дарбу// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1972. Т. 12. №1. С.61-77.

131. Потапов М.М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами Гурса-Дарбу// Вестник МГУ. Сер. вычисл. матем. и киберн. 1978. №2. С. 17-26.

132. Потапов М.М. Об аппроксимации задач оптимального управления с гладкими допустимыми управлениями при наличии ограничений// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1983. №4. С.3-8.

133. Потапов М.М. Аппроксимация экстремальных задач в математической физике (гиперболические уравнения). М.: Изд-во МГУ. 1985. 63с.

134. Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для гиперболического уравнения с краевыми условиями второго итретьего рода// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1996. №2. С.35-41.

135. Потапов М.М., Разгулин А.В. Об одной нелинейной гиперболической задаче оптимального управления// Журнал вычисл. матем. и матем. физики.1987. Т.27. №5. С.793-794.

136. Потапов М.М., Разгулин А.В., Шамеева Т.Ю. Аппроксимация и регуляризация задачи оптимального управления для уравнения типа Шредингера// Вестник МГУ. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1987. №1. С.7-13.

137. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования. М.: Мир. 1977. 112с.

138. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука. 1973.256с.

139. Разгулин А.В. Задача оптимального управления процессом стационарного теплового самовоздействия// Деп. в ВИНИТИ. 1987. №9110-В87.

140. Разгулин А.В. Об оптимальном управления процессом нестационарного теплового самовоздействия//Деп. в ВИНИТИ. 1988. №678-В88. 29с.

141. Разгулин А.В. Исследование некоторых оптимизационных задач адаптивной оптики в нелинейных средах. Дисс. канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ. 1988.

142. Разгулин А.В. Аппроксимация задачи управления для нелинейного уравнения типа Шредингера// Вестник МГУ. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн.1988. №2. С.28-33.

143. Разгулин А.В., Шамеева Т.Ю. Аппроксимация и регуляризация задачи оптимального управления для нелинейного уравнения типа Шредингера// Прикладные методы нелинейного анализа и управления. М.: Изд-во МГУ. 1987. С.87-94.

144. Райтум У.Ё. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений: Математические вопросы. Рига: Зинатне. 1989. 277с.

145. Рахимов М.Р. О некоторых методах решения задачи линейно-квадратичного программирования для систем с распределенными параметрами// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1986. Т.26. №12. С.1797-1812.

146. Рей У. Методы управления технологическими процессами. М.: Мир. 1983. 386с.

147. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука. 1984. 263с.

148. Самарский А.А. Математическое программирование и вычислительный эксперимент// Вестник АН СССР. 1979. №5. С.38-49.

149. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989. 614с.

150. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука. 1976. 350с.

151. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука. 1989. 430с.

152. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров ВЛ. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа. 1987.296с.

153. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978. 589с.

154. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир. 1973. 244с.

155. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука. 1977. 480с.

156. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных// Учен. зап. Ленингр. пед. ин-та. 1958. Т. 197. С.54-112.

157. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука. 1975. 280с.

158. Тагиев Р.К. Корректность и регуляризация одного класса задач оптимального управления коэффициентами линейного гиперболического уравнения// Числен, методы и матем. обеспечение ЭВМ. Баку. 1984. С.98-105.

159. Тагиев Р.К. Дискретизация и регуляризация задачи оптимального управления для гиперболического уравнения// Дикретная математика и матем. обеспечение ЭВМ. Баку. Азербайдж. ун-т. 1987. С.66-75.

160. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1986.287с.

161. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука. 1982. 432с.

162. Уткин В.И., Орлов Ю.В. Теория бесконечномерных систем управления на скользящих режимах. М.: Наука. 1980. 136с.

163. Файрузов М.Э. О одном численном методе определения коэффициентов квазилинейного уравнения параболического типа: Тезисы докладов республиканской научной конференции студентов и аспирантов по физике и математике.-Уфа. 2003. С.27-28.

164. Файрузов М.Э. О задаче определения коэффициентов квазилинейного параболического уравнения// Сборник трудов региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Т.1. Математика. Уфа. 2003. С. 141-151.

165. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука. 1978. 488с.

166. Хаслингер Я., Нейтаанмяки П. Конечно-элементная аппроксимация для оптимального проектирования форм: теория и приложения. М.: Мир. 1992. 368с.

167. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. М.: Мир.1983.479с.

168. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука. 1973. 238с.

169. Черноусько ФЛ., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления// В сб. ВИНИТИ: Математический анализ. М. 1977. Т.14. С.101-167.

170. Чубаров Е.П. Управление системами с подвижными источниками воздействия. М.: Энергоатомиздат. 1985.288с.

171. Шамеева Т.Ю. Обобщенный метод моментов в задаче управления для уравнения типа Шредингера// Числ. методы. МГУ. 1986. С.50-53.

172. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир. 1979.400с.

173. Юнусов М. О решении одной оптимальной задачи Стефана// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1975. Т.15. №2. С.345-357.

174. Bidaut M.F. Thesis.Universite' Paris VI. 1973

175. Bidaut M.F. Existence theorems for usual and approximate solutions of optimal control problems// J. Optimization Theory Appl. 15,4 (1975). P.393-411.

176. Debinska-Nagorska A., Just A., Stempien Z. A non-linear parabolic control problem with non-homogeneus boundary condition-convergence of Galerkin approximation//Math. Meth. Appl. Sci. 1997. V.20. №16.

177. Goebel M. On existence of optimal control// Math. Nachr. 1979. Vol.93. P.67-73.

178. Malanowski K. Convergence of approximations vs. regularity of solutions for convex control-constrained optimal control problems// Appl. Math. Optim. 1981. V.8. P.69-95.

179. Lasiecka I. Galerkin approximation of abstract parabolic boundary value problems with routh boundary data Lp - theory//Math. Comput. 1986.47. PP.55-75.

180. Zolezzi T. Acharacterization of well-posed optimal control system// SIAM J. Control Optim. 1981. V.19. №5. P.604-616.