Методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации на примере задачи управления производством электроэнергии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Беликов, Виктор

• Беликов, Виктор
• кандидат технических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат технических наук Беликов, Виктор

Введение

1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 8 УРАВНЕНИЯ

1.1. Общие понятия

1.2. Линейные стохастические уравнения

1.3. Стохастические дифференциальные уравнения Ито

1.4. Стохастические дифференциальные уравнения 25 Стратоновича

1.5. Стохастическое разложение Тейлора

A. Детерминистические разложения Тейлора

B. Разложение Ито-Тейлора

C. Разложение Стратоновича-Тейлора

D. Приближения кратных интегралов Стратоновича

E. Генерирование кратных интегралов Стратоновича

F. Связи между кратными интегралами Ито и 38 Стратоновича

2. СТАХОСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В 41 ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ

2.1. Методы аппроксимации и интерполяции

A. Аппроксимация Эйлера

B. Интерполяция в дискретном времени

2.2. Кусочная аппроксимация и сильная сходимость

A. Критерий «абсолютной ошибки»

B. Доверительные интервалы для абсолютной ошибки

C. Порядок сильной сходимости

2.3. Аппроксимация моментов и слабая сходимость

A. Средняя ошибка

B. Систематическая и статистическая ошибки

C. Порядок слабой сходимости 50 2.4. Численная устойчивость

A. Численная устойчивость в детерминистическом случае

B. Жесткие стохастические дифференциальные уравнения

C. Численная асимптотическая устойчивость

3. СИЛЬНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ СХЕМЫ

3.1. Сильная схема Тейлора

A. Схема Эйлера

B. Схема Милыитейна

C. Сильная схема Тейлора порядка 1.

D. Сильная схема Тейлора порядка 2.

3.2. Явные сильные схемы

A. Явные сильные схемы порядка 1.

B. Сильная явная схема порядка 1.

C. Сильные явные схемы порядка 2.

D. Двухшаговая сильная схема порядка 1.

E. Двухшаговая сильная схема порядка 1.

3.3. Неявные сильные схемы

A. Неявная схема Эйлера

B. Неявная схема Милыитейна

C. Неявные сильные схемы Тейлора порядков 1.5 и 2.

D. Неявные сильные схемы Рунге-Кутта

E. Неявные сильные двухшаговые схемы

4. СЛАБЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ СХЕМЫ 78 4.1. Слабые схемы Тейлора

A. Слабая схема Эйлера

B. Слабая схемы Эйлера порядка 2.

C. Слабая схема Тейлора порядка 3.

D. Слабые схемы Тейлора порядка 4.

4.2. Явные слабые схемы

A. Явные слабые схемы порядка 2.

B. Явная слабая схема порядка 3.

4.3. Неявные слабые численные схемы

A. Неявные схемы Тейлора

B. Слабые неявные схемы порядка 2.

C. Метод типа «предиктор-корректор»

D. Методы типа «предиктор-корректор» порядка 2.0 88 5. ПРИМЕНЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ 91 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

5.1. Модель поведения одного потребителя

A. Идентификация параметров модели

B. Исследование свойств метода идентификации

C. Численный пример

5.2. Модель поведения нескольких потребителей

A. Идентификация параметров модели

B. Численное моделирование

C. Численный пример 116 Заключение 118 Литература 119 Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации на примере задачи управления производством электроэнергии»

Детерминированные математические модели могут быть использованы при решении многих прикладных задач. Однако они не отображают всего многообразия реальных физических явлений. Действительно, у многих технических систем разброс выходных сигналов под действием различных шумов и помех достаточно мал. Это дает возможность изучения таких объектов детерминированными методами. Однако анализ объекта в чисто детерминированной постановке не является достаточным, поскольку во всякой реальной динамической системе существуют случайные флуктуации различного характера, малые по сравнению с неслучайными факторами, но оказывающие определенное отрицательное воздействие на работу системы; случайный разброс начальных положений и скоростей, возникающий из-за неточности измерений, ошибок изготовления и др. и приводящий к статистическим переходным режимам даже в детерминистических системах. Описание таких явлений классическими методами затруднительно и приводит к следующим проблемам: переходы из окрестности одного устойчивого состояния в окрестность другого под действием случайных «толчков»; существование распределения случайных параметров, при которых стационарная система оказывается нестационарной по отношению к моментам фазового вектора; непрерывность дискретного спектра автоколебаний; возникновение элементов хаоса при одновременном воздействии случайного и гармонического сигналов; появление систематической составляющей в выходном сигнале при наличии статистической связи параметрических и аддитивных шумов; уменьшение запаса устойчивости или возникновение неустойчивых режимов под влиянием параметрических шумов; невозможность избежания основного резонанса при широкополосном спектре параметрических возмущений, так что изучение резонансов более высокого порядка в известной степени теряет смысл; существенные различия поведение движение систем с шумами и без них на больших интервалах времени, несмотря на совпадение в среднеквадратическом смысле.

Вот почему исследования вероятностных процессов в нелинейных динамических системах относятся к числу важнейших теоретических и практических задач. Необходимость решения таких задач является актуальной при изучении различных явлений: расчет полета летательных аппаратов под действием атмосферной турбулентности; анализ движения транспортных средств по неровной дороге; оценка перемещений высотных сооружений при ветровых и сейсмических воздействиях; исследование качки судов при нерегулярном морском волнении; анализ технологических процессов производства; изучение отклонений элементов орбиты спутника от расчетных, возникающих из-за неточности изготовления ракеты-носителя и ошибок в работе систем управления; анализ изменения нагрузок энергосистем, зависящих от потребления энергоресурсов; флуктуация шумов усилителя в системах регулирования и следящих системах; непредсказуемый спроса в экономических системах и т.д.

Существует значительное число точных и приближенных методов решения задач статистической динамики. К ним относятся, в первую очередь, известные алгоритмы построения решений стохастических дифференциальных уравнений, вычисления плотности вероятности, расчета характеристических функций, управляемых интегродифференциальными уравнениями Пугачева. Различные вопросы анализа статистических систем управления, автоматического регулирования, радиотехники, радиоэлектроники и т.д. рассматривали Андреев Н.И. [4], Богуславский И.А. [15], Дашевский M.JI. [29], Казаков И.Е. [34 - 36], Кляцкин В.И. [37], Красовский А.А. [42, 43], Малахов А.Н. [49, 50], Параев Ю.И. [56], Первозванский А.А. [57], Свешников А.А. [74], Синицын И.Н. [75], Солодовников В.В. [77], Тихонов В.И. [81, 82], и др., а в области нелинейной механики - Диментберг М.Ф. [30,31], КоломиецВ.Г. [38] и др.

Неотъемлемой частью рассмотренных выше вопросов являются стохастические дифференциальные уравнения. Поскольку явные решения известны для небольшого числа уравнений, изучение численных методов их решения играет важную роль. Следует отметить, что существуют два различные подходы для нахождения численных решений. Если необходимо аппроксимировать ветви процесса решения, используются методы преобразования в среднеквадратическом смысле, а численные схемы называются схемами численной аппроксимации. С другой стороны если некоторые моменты или в общем случае математическое ожидание функционала решения являются целью исследования, используются методы слабой аппроксимации.

В данной работе рассмотрены основные вопросы теории стохастических дифференциальных уравнений, показаны различные численные методы решения, а также приведены примеры использовании стохастических дифференциальных уравнений для решения практических задач.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Беликов, Виктор

Основные результаты вычислений приведены в таблице 5.3. Кроме того, как и детерминистическом случае N ^KILE '

N-l

Оценка максимального правдоподобия для сг2 является смещенной, для получения несмещенной оценки необходимо выполнить преобразование вида А '

В зависимости от целей исследователя идентифицированная модель может быть использована в различных целях: прогнозирование развития процесса или его управление. В моделях роста популяций, учитывая тот факт, что это эпидемиологические модели, нас интересует в большей степени прогноз. Используя результаты, приведенные в таблицах 5.1 и 5.2, можно вычислить доверительный интервал 100(1-ог)% прогнозного значения

Г0ехр

Крог 2а/2(7фпрог

Г0ехр ju —

СГ

2 \

Крог + 2а/2СГфпрог в представлении Ито, и в интерпретации Стратоновича. Несмотря на то, что доверительные интервалы имеют разные алгебраические ожидания, точность прогноза совпадает в обоих случаях.

Заключение

Итак, целью представленной работы была разработка методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений и в применении этих методов для повышения эффективности управления конкретными системами^! |Ч - iI7J

Для достижения цели исследования были решены следующие задачи:

1) проанализирована теория стохастических дифференциальных уравнений и методы численной аппроксимации их решений;

2) проанализированы сильные численные схемы решения стохастических дифференциальных уравнений;

3) разработаны методы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений;

4) показано применение разработанных методов на примерах определения и прогнозирования поведения потребителей электроэнергии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Беликов, Виктор, 2003 год

1. Аверина Т.А., Артемьев С.С. Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1986. Т. 288. №4. С. 777-780.

2. Адомиан Дж. Стохастические системы. М.: Мир, 1987. 376 с.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

4. Андреев Н.И. Теория статистически оптимальных систем управления. М.: Наука, 1980.415 с.

5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.З. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.568 с.

6. Артемьев В.М. Статистический анализ нелинейных систем с использованием теории марковских случайных процессов. Минск: МВИЗРУ ПВО, 1969. 144 с.

7. Артемьев С.Е., Демидов Г.В. Определение плотности распределения решения дифференциального уравнения с помощью сплайнов II Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1984. Т. 15. №4. С. 3-10.

8. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990. 336 с.

9. Астапов Ю.М., Медведев B.C. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1982. 304с.

10. Ю.Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. 447 с.

11. И.Бабицкий В.И., Крупенин B.JI. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука, 1985. 320 с.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. Т. 2. 296 с.

13. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. 4С0 с.

14. Боголюбоз К.Н., Митрспольский Ю.А. Асимптотические методы з теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1958.408 с.

15. Богуславский И.А. Статистический анализ многомерных систем при использовании полиномов Зрмита многих переменных II Автоматика и телемеханика. 1969. №7. С. 36-51.

16. Еорцайкин С.М., Светушхов Н.Н. О фундаментальном решении уравнения Осккера-Планка-Холмсгороза с особенностями з коэффициентах II МАИ. М., 1986. 10 с. (Деп. з ВИНИТИ, Jfa2744-586).

17. Булычез Ю.Г., Псгснышез С.А. Метод численного интегрирования многомерного уравнения Ооккера-Планка на основе усеченных алгоритмов быстрого преобразования Оурье // Радиотехника к электроника. 1989. Т. 34. Лзб. С. 1241-1249.

18. Балеев К.Г., Хрисаноз СМ. Интегральные уравнения для совместных плотностей распределения // Дифференциальные уравнения и применения / Труды Третьей конференции. Руссе, Болгария. Ч. 1. 1987. С. 67-70.

19. Ван-Хампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 19S0. 376 с.

20. Вентцель А.Д., Орейдлин М.И. Флуктуации з динамических системах под действием малых случайных возмущений. М: Наука, 1979. 424 с.

21. Виндрих X. Применение методов статистической линеаризации и усреднения для систем с предельными циклами / / ИМ. 1988. Т. 24. ;Гз1. С. 122-126.

22. Власов А.А. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966. 356 с.

23. Воронина Н.З., Маланин В.В., Рекка Р.А. Ссцилл?;ру:-ощие функции и некоторые их приложения. Свердловск: Изд-зо Уральского ун-та, 1990. 112 с.

24. Гардинер К.В. Стохастические задачи в естественных науках. М.: Мир,1986. 526 с.

25. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. К.: Наукова думка, 1968. 354 с.

26. Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи: Учебное пособие. М.: Сов.радио, 1980. 544 с.

27. Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах. М.: Мир, 1965.276 с.

28. Гусев А.С., Светлицкий В.А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1984. 240 с.

29. Дашевский M.JL, Липцер Р.Ш. Приближенный анализ нестационарных динамических систем // АиТ. 1967. №8. С. 32-43.

30. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980. 368 с.

31. Диментберг М.Ф. Точное решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для некоторых динамических систем // ПММ. 1983. Т. 47. №4. С. 555-558.

32. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971.328 с.

33. Заяц О.И. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в задачах статистической динамики систем релейного типа (обзор) / ЛПИ. Л.,1987. 38 с. (Деп. в ВИНИТИ, Д04938-В87).

34. Казаков И.Е. Приближенный вероятностный анализ точности работы существенно нелинейных систем // АиТ. 1956. Т. 17. №5. С. 387-409.

35. Казаков И.Е., Доступов В.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1962. 332 с.

36. Казаков И.Е. Статистические методы проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1969. 262 с.

37. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно неоднородных средах. М.: Наука, 1980. 336 с.

38. Коломиец В.Г., Цикайло Т.-Н.М. Метод усреднения в стохастических существенно нелинейных системах НО некоторых существенно нелинейных задачах случайных колебаний. Киев, 1984. С. 15-33 (Препринт/ Ин-т матем. АН УССР: №24).

39. Кореневский О.Г. Устойчивость решений детерминированных и стохастических дифференциально-разностных уравнений (алгебраические критерии). К.: Наукова думка, 1992. 208 с.

40. Корзняков А.А., Маланин В.В. Об одном итерационном методе решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова // Проблемы механики управляемого движения. Иерархические динамические системы. Пермь, 1978. С. 103-108.

41. Косачев И.М., Ерошенков М.Г. Аналитическое моделирование стохастических систем. Минск: Навука i тэхника, 1993. 264 с.

42. Красовский А.А. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова методом рядов // ДАН СССР. 1972. Т. 205. №3. С. 550-552.

43. Красовский А.А. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для динамических систем с аналитическими характеристиками // Известия АН СССР. ТК. 1972. №6. С. 200-211.

44. Кушнер Г.Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969. 200 с.

45. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. M.-JL: Физматгиз, 1963. 360 с.

46. Лукшин А.В., Смирнов С.Н. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. №11. С. 108-121.

47. Маланин В.В., Полосков И.Е. О возможности использования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для решения задач надежности / /

48. Динамика и алгоритмы управления роботов-манипуляторов. Иркутск, 1982. С. 57-61.

49. Маланин В.В., Шарова JI.B., Шанченко Н.И., Шульгин A.M. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова методом Пуанкаре II ДАН УзССР. 1985. №1. С. 8-10.

50. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1967. 660 с.

51. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразования. М.: Сов. радио, 1978. 376 с.

52. Малышев В.В., Пакшин П.В. Прикладная теория стохастической устойчивости и оптимального стационарного управления (Обзор) // Изв. АН СССР. ТК. 1990. Ч. 1. №1. С. 42-66; Ч. 2. №2. С. 97-120.

53. Мальчиков С.В. Приближенный метод определения законов распределения фазовых координат нелинейных автоматических систем II АиТ. 1970. №5. С. 43-50.

54. Мальчиков С.В. Определение, закона распределения выходных переменных многомерной нелинейной системы // АиТ. 1973. №11. С. 16-21.54.0стрем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.322 с.

55. Павлов К.А. К анализу нелинейных систем со случайными входными воздействиями // Исследования по динамике полета. М.: Машиностроение, 1969. Вып. 2. С. 225-238.

56. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов. радио, 1976. 184 с.

57. Первозванский А.А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М.: Физматгиз, 1962. 352 с.

58. Погонышев С.А. Численный метод исследования статистической динамики стохастических систем // Изв. АН СССР. ТК. 1992. №2. С. 130-135.

59. Полосков И.Е. О возможности использования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для решения задач надежности // Методология системных исследований / Тезисы докладов I Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов. М.: ВНИИСИ, 1981. С. 100.

60. Полосков И.Е. О связи моментов и кумулянтов многомерных распределений / Пермский ун-т. Пермь, 1986. 5 с. (Деп. в ВИНИТИ, №8871-В86).

61. Понтрягин JL, Андронов А., Витт А. О статистическом рассмотрении динамических систем //ЖЭТФ. 1933. Т. 3. С. 165-180.

62. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука,1973. 496 с.

63. Пугачев B.C. Случайные функции, определяемые дифференциальными уравнениями //Труды ВВА им. Н.Е.Жуковского. 1944. Вып. 18. С. 3-36.

64. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962. 884 с.

65. Пугачев B.C., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Машиностроение, 1974. 400 с.

66. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985. 560 с.

67. Пухов Г.Е. Преобразования Тейлора и их применение в электротехнике и электронике. К.: Наукова думка, 1978. 260 с.

68. Пухов Г.Е., Войтенков И.Н. Основы стохастических дифференциальных преобразований//Электронное моделирование. 1988. Т. 10. №6. С. 3-11.

69. Расулов M.JI. Применение метода контурного интеграла. М.: Наука, 1975. 256 с.

70. Рубаник В.П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Изд-во «Университетское», 1985. 143 с.

71. Ружников Г.М., Суржик В.В. Исследование, статистической динамики летательных аппаратов // Методы возмущений в механике. Новосибирск: Наука, 1982. С. 112-125.

72. Саульев В.К., Черников А.А. Решение уравнения Фоккера-ГХпанка-Колмогорова методом конечных разностей // АиТ. 1990. №3. С. 98-102.

73. Свешников А.А. Прикладные методы случайных функций. М.: Наука, 1968.464 с.

74. Синицын В.И. Новый приближенный метод нахождения одномерного распределения векторного процесса, определяемого стохастическим дифференциальным уравнением // ДАН СССР. 1989. Т. 309. №3. С. 541544.

75. Скрябин Н.Г. Моделирование уравнения Фоккера-Планка случайным блужданием с переменным шагом // Доклад на V конференции по теоретической кибернетике, Новосибирск. Якутск: Якутский филиал СО АН СССР, 1980. 34 с. (Препринт).

76. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960. 470 с.

77. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. В.С.Королюка. К.: Наукова думка, 1978. 584с.

78. Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Б.Г.Доступова. М.: Машиностроение, 1970. 408 с.

79. Сухомлин Н.Б., Илюхин С.А. Случайные процессы, эквивалентные гауссовым. I / Лен-ский ин-т авиац. приборостр. Л., 1987.13 с. (Деп. в ВИНИТИ, №3458-В87).

80. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.

81. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. 296 с.

82. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов. радио, 1968. 256 с.

83. Черкасов И.Д. О преобразовании диффузионного процесса в винеровский // ТВ и ее прим. 1957. Т. 2. №3. С. 384-388.

84. Черкасов И.Д. Преобразование диффузионных процессов: Учебное пособие. Саратов: Изд-во СГУ, 1981. 132 с.

85. Черкасов И.Д. Преобразования диффузионных процессов и их применения. Саратов: Изд-во СГУ, 1988. Кн. 1,2.

86. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления. М.: Машиностроение, 1968. 244 с.

87. Brauer F., Castillo-Chavez С. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. NY: Springer-Verlag, 2000, p.416

88. Doedel E., Tuckermen L.S. (ed). Numerical Methods for Bifurcation Problems and Large-Scale Dynamic Systems. NY: Springer-Verlag, 2000, p.471

89. Elliott R.J., Корр P.E. Mathematics of Financial Markets. Berlin: Springer-Verlag, 2001, p.292

90. Franke J., Hardle W., Stahl G. (ed). Measuring Risk in Complex Stochastic Systems. Berlin: Springer-Verlag, 2000, p.257

91. Hairer E., Wanner G. Solving Differential Equations II // Stiff and Differential-Algebraic Problems. NY: Springer-Verlag, 2002, p.614

92. Hoppensteadt F.C. Analysis and Simulation of Chaotic Systems. NY: Springer-Verlag, 2000, p.313

93. Kaiser R., Maravall A. Measuring Business Cycles in Economics Time Series. Berlin: Springer-Verlag, 2001, p. 190

94. Kellerhals B.P. Financial Pricing Models in Continuous Time and Kalman Filtering. Berlin: Springer-Verlag, 2001, p.247

95. Kloeden P. E., Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 1999, p.636

96. Kloeden P.E., Platen E., Schurz H. Numerical Solution of SDE Through Computer Experiments. Berlin: Springer-Verlag, 1997, p.292

97. Kohlmann M., Tang Sh. (ed). Mathematical Finance. Boston: Bikhaser Verlag, Basel, 2001,p.374.

98. Kulkarni V.G. Modeling Analysis, Design, and Control Stochastic Systems. Berlin: Springer, 1999., p. 374

99. Kushner H., Dupuis P. Numerical Methods for Stochastic Control Problems in Continuous Time. NY: Sprinter-Verlag, 2002, p. 475

100. Lange K. Numerical Analysis For Statisticians. Berlin: Springer-Verlag, 1998, p.356

101. Levin S.A., Hallam T. G., Gross L.J. (ed). Applied Mathematical Ecology. Berlin: Springer-Verlag, 1989, p.491

102. Mei Z. Numerical Bifurcation Analysis for Reaction-Diffusion Equations. NY: Springer-Verlag, 2000, p.414

103. Musiela M., Rutkowski M. Martingale Methods in Financial Modelling. Berlin: Springer-Verlag, 1997, p.518

104. Oksendal В. Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 2000, p.326

105. Robert Buff, Uncertain Volatity Models-Theory and Application, Springer-Verlag 2002, p.242

106. Rogers L.C.G., Talay D. Numerical Methods in Finance. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999, p. 326

107. Stephen M., Schaefer M. (ed). The Foundations of Continuous Time Finance // An Elgar Reference Collection. London: Cheltenham, 2000, p.614.

108. Struwe M. Variational Methods. NY: Springer-Verlag, 2000, p.274

109. Tomasz Bielecki, Marek Rutkowski, Credit Risk: Modeling, Valuation and Hedging, Springer-Verlag 2002, p.500

110. Varian H. R. Computational Economics and Finance. Berlin: Springer, 1996, p.468

111. Verhulst F. Nonlinear Differential Equations and Dynamics Systems. NY: Springer-Verlag, 1996, p.303

112. Yong J., Xun Yu Zhou. Stochastic Control. NY: Springer-Verlag, 1999, p.438

113. В. Беликов, M. Гживачевски, А. Урбаиьский, Д. Филатова. Методы оценки параметров в задачах экономики и финансовой математики. М.: МФТИ, 2004, 108 стр.

114. В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Методика численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации параметров. М.: МФТИ, 2004, 106 стр.

115. В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Вопросы идентификации моделей управления с агрегированным выходом. М.: МФТИ, 2004, 112 стр.