Методы и алгоритмы структурно-параметрического синтеза стохастических моделей сложных объектов управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Филатова, Дарья Вячеславовна

• Филатова, Дарья Вячеславовна
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Филатова, Дарья Вячеславовна

Введение

Глава 1. Современные проблемы структурно-параметрического синтеза стохастических моделей сложных объектов управления

1.1. Проблемы формализации объектов

1.2. Обоснование выбора математической модели

1.3. Некорректно поставленные задачи

1.4. Численные методы анализа стохастических систем

Глава 2. Численные методы решения жестких систем стохастических дифференциальных уравнений

2.1. Принципы построения численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений

2.1.1. Разложение Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича

2.1.2. Численная аппроксимация кратных интегралов разложения Тейлора-Стратоновича и Тейлора-Ито

2.2. Анализ явных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений

2.2.1. Явные численные методы решения

2.2.2. Сравнение явных сильных численных схем по критерию абсолютной ошибки

2.3. Разработка явного сильного метода X - преобразования для решения жестких систем

Глава 3. Методы идентификации моделей систем управления, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями

3.1. Постановка задачи

3.2. Метод максимального правдоподобия

3.3. Методы Монте-Карло

3.3.1. Метод максимального правдоподобия на основе Монте-Карло

3.3.2. Методы идентификации, основанные на критериях согласия

3.3.3. Косвенный метод оценивания, основанный на использовании вспомогательной модели

Глава 4. Алгоритмы методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений

4.1. Проверка эффективности метода максимального правдоподобия

4.2. Алгоритм метода максимального правдоподобия на основе повторений Монте-Карло

4.3. Алгоритм метода идентификации, основанного на критерия согласия

4.4. Алгоритм косвенного метода оценивания параметров

Глава 5. Задачи принятия управленческих решений в экономических и биологических системах

5.1. Определение ценового риска инвестирования в акции

5.2. Оценка процентных ставок по краткосрочным обязательствам

5.3. Прогнозирование эпидемиологической ситуации 132 Заключение 140 Приложения 142 Библиографический список использованной литературы 159 Список обозначений и сокращений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы структурно-параметрического синтеза стохастических моделей сложных объектов управления»

Проблемы управления сложными объектами управления занимают в настоящее время значительное место в теории и практике управления [19, 26, 27, 35, 70, 71, 76, 79]. При разработке систем управления особо ответственным является этап идентификации параметров и структуры математической модели сложного объекта управления, от реализации которого в значительной степени зависит качество спроектированной системы управления, а также ее дальнейшее использование. Сложный объект управления (к числу которых можно отнести многие технологические и экономические процессы, биологические, экологические и медицинские системы) характеризуется стохастичностью, нестационарностью, многомерностью и многосвязностью [35, 36]. Поэтому даже в условиях нормального функционирования характеристики такого объекта изменяются под влиянием внешних воздействиями. Принципиальная невозможность учета всех воздействий и другие реальные факторы предопределяют необходимость постоянного уточнения законов функционирования и управления объектом. Уточнение закона функционирования объекта позволяет уменьшить степень априорной неопределенности и выбрать закон управления, обеспечивающий выполнение заданной цели.

Целью идентификации является определение такой структуры и параметров модели, которые бы давали с одной стороны «наибольшее» соответствие (удовлетворен критерий качества идентификации) между рассматриваемым физическим процессом и полученной математической моделью, а с другой - удовлетворение целей исследования [62]. Отсюда возникает с одной стороны проблема выбора класса моделей - детерминистического или стохастического, дискретного или непрерывного, а с другой стороны - подбор «наилучшего» метода идентификации параметров модели, т.е. задача структурно-параметрического синтеза моделей объектов управления в условиях неопределенности. Решению этой проблемы посвящено большое количество работ, как в отечественной, так и в зарубежной литературе (Тихонов А.Н. [100 отечественной, так и в зарубежной литературе (Тихонов А.Н. [100 - 103], Фе-доренко Р.П. [106], Дикусар В.В. [32], Вапник В. Н. [19], Ивахненко А. Г. [35 -38], Льюинг Л. [62], Гуреро К. [160], Эйкхофф.П. [98, 131], Эфрон Б. [132], Пракаса Рао Б.Л.С. [187] и др.).

В большинстве работ авторами рассматривается построение детерминистических моделей - зависимостей средних значений выходных переменных от входных переменных [19, 36, 62, 131, 132]. Действительно, детерминистические модели, используемые для описания многих физических явлений, приводят к хорошим результатам только, если входной сигнал не содержит шума или влияние шума незначительно [40, 53, 65]. Однако для большинства реальных физических систем влияние шума является существенным, и выбор такого класса моделей приводит к разнообразным проблемам: нестабильность состояния относительно моментов фазового вектора, уменьшение области устойчивости и т.п. [75, 86 - 88]. Кроме того, если состояние детерминированных систем определяется как минимальное количество информации об истории системы, необходимое для предсказания поведения системы в будущем, то для стохастических систем невозможно предсказать это поведение. Поэтому состояние стохастической системы определяется как минимальное количество информации, которое требуется для предсказания функции распределения в будущем. Очевидно, что описание таких систем при помощи хорошо известных детерминированных подходов не всегда плодотворно и не отображает действительной картины функционирования объекта [89, 98, 120, 121]. Не приспособлены также к решению задачи оптимального управления этим классом объектов разработанные методы для детерминированных систем. Таким образом, чтобы максимально приблизить формализованное представление к действительным условиям функционирования сложного объекта управления, повысить качество проектируемой системы и уменьшить степень априорной неопределенности, для описания модели объекта необходимо выбрать стохастический подход, а сам объект управления отнести к классу стохастических.

В последние годы математическое моделирование стохастических систем как в непрерывном, так и в дискретном времени получило особое внимание. Большой вклад в развитие методов идентификации такого класса систем внесли Басава И.Б. [137], Леви П. [55], Острем К. [77], Оксендаль Б. [185] и др. [51, 68, 82 - 85]. Для описания поведения таких систем было предложено использование стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Несмотря на то, что появилось достаточное количество методов оценивания параметров стохастических моделей, задача идентификации параметров СДУ остается трудноразрешимой и актуальной не только из-за своей некорректности по Адамару [31, 64, 80, 92, 100, ], но и из-за отсутствия аналитических решений СДУ [50, 171, 172, 185].

В связи с вышеизложенным разработка методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза стохастических моделей объектов управления на основе ретроспективной обработки информации является актуальной научной задачей, решение которой позволит повысить эффективность принятия управленческих решений.

В качестве объекта исследования в работе выбран стохастический объект, отличительная особенность которого заключается в неоднозначным отклике на одни и те же входные воздействия. Кроме того, при детерминированном входном воздействии выходная переменная такого объекта не является детерминированной, а для выходной переменной этого класса объектов рассеивание тем больше, чем сильнее влияние шумов, что всегда связано с неопределенностью поведения объекта.

Современный уровень вычислительной техники позволяет сделать следующий шаг в повышении эффективности решения задачи идентификации рассматриваемого класса систем. Поэтому общая методика исследований базируется на результатах теории стохастических дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, теории решения некорректных задач, теории численных решений, системного анализа и имитационного моделирования. В работе используется пакет прикладных программ MATLAB 6.5.

Цель работы состоит в разработке методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза стохастической модели сложного объекта управления на основе ретроспективной информации и применении этих методов и алгоритмов для повышения эффективности управления конкретными системами. Для достижения цели исследования в диссертации решены следующие задачи:

1) определены особенности стохастических моделей, представленных в виде стохастических дифференциальных уравнений:

- определено понятие жесткости стохастических дифференциальных уравнений;

- проанализированы сильные численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений при корректной и некорректной задачах (свойство жесткости);

- проводя аналогию с системами обыкновенных дифференциальных уравнений, предложен новый явный метод решения жестких систем как обыкновенных, так и стохастических дифференциальных уравнений -метод X преобразования;

- проведены вычислительные эксперименты по исследованию свойств методов X преобразования;

2) разработаны методы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений:

- метод максимального правдоподобия для линейного стохастического дифференциального уравнения;

- методы, основанные на повторениях Монте-Карло: метод максимального правдоподобия; методы, использующие критерии согласия; косвенный метод, использующий вспомогательную модель;

3) получены аналитические выражения оценок методом максимального правдоподобия для линейного стохастического дифференциального уравнения;

4) для предложенных методов идентификации разработаны алгоритмы и проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие их эффективность;

5) для линейного стохастического дифференциального уравнения доказана теорема о несмещенности оценок параметров, получаемых косвенным методом идентификации;

6) предложенные методы и алгоритмы нашли практическое применение в решении задач принятия управленческих решений в экономических (оценка ценового риска инвестирования в акции, оценка процентных ставок по краткосрочным обязательствам) и биологических системах (прогнозирование эпидемиологической ситуации), имеющих важное народнохозяйственное значение.

Основной текст диссертации состоит из пяти глав. В первой главе анализируются основные проблемы формализации сложных объектов управления: выбор модели, разработка численного алгоритма, программная реализация этой модели, корректность постановки задачи, а также формулируется постановка задачи исследования. Во второй главе показаны основные принципы построения численных методов решения СДУ: адаптация схем, существующих для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), с учетом свойств стохастических интегралов, или разработка специальных методов решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), а также причины возникновения такого явления как жесткость. Проанализированы свойства сильных явных схем при решении СДУ. Разработаны методы численного интегрирования решения жестких систем ОДУ и СДУ. Третья глава работы посвящена разработке методов идентификации параметров СДУ, основанных на принципе максимального правдоподобия: точный метод ( метод максимального правдоподобия) и численные методы на основе схемы Монте-Карло (метод максимального правдоподобия, методы с использованием статистических критериев согласия и косвенный метод с использованием вспомогательной модели). В четвертой главе разрабатываются алгоритмы методов идентификации параметров СДУ. Реализация этих методов (кроме метода максимального правдоподобия для линейного СДУ) требовала оптимизации критерия качества идентификации при одновременном выполнении группы ограничений. Среди существующих подходов оптимизации в работе был выбран и адаптирован к условиям решаемой задачи - относительно простой с точки зрения программной реализации и потребления вычислительных ресурсов - квазиоптимальный метод - метод случайного поиска. Эффективность разработанных алгоритмов доказана при помощи статистического моделирования. В пятой главе разработанные методы и алгоритмы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений применяются в задачах поддержки принятия управленческих решений: определение ценового риска инвестирования в акции, оценки процентных ставок краткосрочных облигаций, а также прогнозирования эпидемиологической ситуации.

Настоящая работа представляет собой результаты, полученные автором при выполнении ряда научно-исследовательских работ в Академии Свентокши-ской им. Яна Кохановского в Кельцах (Кельце, Польша) в рамках тем:

- 095/S/03 Моделирование процессов обучения;

- 01/W/03 Параметрическая идентификация математических моделей в социальных науках;

- 2012/12/Р Математическое моделирование оптимального управления портфелем в непрерывном времени.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Филатова, Дарья Вячеславовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Повышение эффективности управления динамическими системами, характеризующимися неоднозначными откликами на одни и те же входные воздействия, может быть достигнуто при помощи выбора соответствующего класса математических моделей. В качестве таких моделей в работе были использованы стохастические дифференциальные уравнения в интерпретации Ито с сильным решением. Поскольку качество проектируемой системы управления во многом зависит от результатов идентификации параметров модели, необходимо было определить методы и алгоритмы структурно-параметрического синтеза. В работе были проанализированы основные проблемы (отсутствие аналитического решения для большинства СДУ, некорректность постановки задачи идентификации) и предложены возможные пути их решения (создание устойчивых алгоритмом численного интегрирования решения СДУ и использование статистического моделирования методом Монте-Карло). Решение задач принятия управленческих решений доказало эффективность разработанных методов и алгоритмов идентификации.

В качестве дальнейших путей исследования можно предложить разработку методов оптимального управления (с точки зрения принятия управленческих решений), методов структурной идентификации и идентификации систем стохастических дифференциальных уравнений.

На защиту выносится следующие положения:

1. Результаты анализа сильных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений.

2. Метод решения жесткой системы стохастических дифференциальных уравнений: метод ^-преобразования.

3. Метод идентификации параметров линейных стохастических дифференциальных уравнений: метод максимального правдоподобия, для которого показаны аналитические выражения оценок параметров.

4. Группа методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений, использующих статистическое моделирование Монте-Карло:

- метод максимального правдоподобия, основанный на оценивании керн функции;

- метод, основанный на критерии Колмогорова-Смирнова;

- метод, основанный на критерии^;

- косвенный метод, использующий вспомогательную модель.

5. Теорема о несмещенности оценок параметров косвенного метода идентификации.

6. Алгоритмы методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений, процедуры оптимизации которых используют зондирование области возможного нахождения параметров последовательностями ЛПт.

7. Алгоритм построения области возможного нахождения параметров.

8. Пакет прикладных программ, обеспечивающих реализацию численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Филатова, Дарья Вячеславовна, 2004 год

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ. - 1998. - 1022 с.

2. Алгазин С Д. Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математической физики. М.: Научный Мир. - 2002. - 156с.

3. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. М.: Наука. - 1987. - 248с.

4. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука. - 1977. - 344с.

5. Арутюнов А.В. Условия экстремума: анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал. - 1997.- 254с.

6. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.А. Необходимые условия в оптимальном управлении. М.: Наука. - 1990. - 320с.

7. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука. -1980.-383 с.

8. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика. - 1979. -349 с.

9. Батищев Д.А. Поисковые методы оптимального проектирования. М.: Советское радио. - 1975. - 216 с.

10. Беликов В., Гживачевский М., Урбанъский А., Филатова Д. Вопросы идентификации моделей управления с агрегированным выходом. М.: МФТИ. - 2004. - 129 с.

11. Беликов В., Гживачевский М., Урбанъский А., Филатова Д. Методика численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации параметров. М.:МФТИ. - 2004. - 122 с.

12. Беликов В., Гживачевский М., Урбанъский А., Филатова Д. Методы оценки параметров в задачах экономики и финансовой математики. М.:МФТИ,-2004.- 106 с.

13. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. -М.: Радио и Связь. 1987.-400 с.

14. Бирюков С.И. Оптимизация, элементы теории, численные методы. М.: МЗ-Пресс. - 2003. - 248 с.

15. Благодатскых В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа. - 2001.-240 с.

16. Бланк И. А. Управление активами. Киев: Ника-Центр-Эльга. - 2000. -717с.

17. Бобылев Н.А., Климов B.C. Методы нелинейного анализа в задачах негладкой оптимизации. М.: Наука. - 1992. - 208с.

18. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. -М.: Наука.- 1966.-308с.

19. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. -М.: Наука,- 1979.-448 с.

20. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. -1981.-400с.

21. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука. - 1980. -520с.

22. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа,2002. 848с.

23. Волгин JI.H. Проблема оптимальности в теоретической кибернетике. М.: Советское радио. - 1968. - 152с.

24. Вуйтович М., Гживачевский М., Дикусар В.В. и др. Методы интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Вычислительный Центр РАН. - 2002. - 169 с.

25. Гживачевский М, Филатова Д. Оптимизация модели зажигания, описанной нелинейными жесткими уравнениями // Труды II международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» 29-31 января2003, Москва, Россия. С. 1349 - 1360

26. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука. - 1978.

27. Григорьев В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука. -1984.-263 с.

28. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. -368 с.

29. Дикусар В.В, Кошька М., Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. М.: МФТИ. 2001. - 157 с.

30. Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А. Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. М.: МФТИ. - 2001. - 141 с.

31. Дикусар В.В., Милютин А.А. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука. - 1989. - 144с.

32. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. М.: Наука, 1989, 270с.

33. Житомирский М.С., Шелест В.Д. Начала вычислительной математики. -Санкт-Петербург: Изд. СПбГТУ. 1999. - 200с.

34. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. Киев: Техника. - 1975. - 312 с.

35. Ивахненко А.Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем. Киев: Наук. Думка. - 1982. - 296 с.

36. Ивахненко А.Г. Системы эвристической самоорганизации в технической кибернетики. Киев.: Техника. - 1971. - 372 с.

37. Ивахненко А.Г., Мюллер Й.А. Самоорганизация прогнозирующих моделей. Киев: Техника. - 1985. - 225 с.

38. Измаилов А.Ф., Соколов М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит. - 2003. - с 304.

39. Интршигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрис-пресс. - 2002. - 576с.

40. Катковник В.А. Линейные оценки и стохастические задачи оптимизации. -М.: Наука.- 1976.-488с.

41. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. -М.: Мир.- 1977.-652с.

42. Кендалл М. Дж., Стъюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука. - 1976. - 736 с.

43. Кендалл М. Дж., Стъюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, - 1973.-890 с.

44. Кокс Д., Снелл Э. Прикладная статистика. Принципы и примеры. М.: Мир.-1984.-200 с.

45. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир. - 1978. - 560 с.

46. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука. -1986.- 129с.

47. Косачев Ю.В. Экономико-математические модели эффективности финансово-промышленных структур. М.: Логос. - 2004. -247 с.

48. Крейн В.М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. -М.: Наука. 1983. -248с.

49. Кузьмин В.П., Ярошевский В.А. Оценка предельных отклонений фазовых координат динамической системы при случайных возмущениях. М.: Наука. - Физматлит. - 1995. - 172 с.52