Итерационные алгоритмы анализа стохастической устойчивости колебательных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Губкин, Андрей Анатольевич

• Губкин, Андрей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Губкин, Андрей Анатольевич

Введение

1 Предельные циклы на участке удвоения периода. Анализ стохастической чувствительности при переходе к хаосу

1.1. Анализ детерминированной системы Пиковского. Структура участка перехода к хаосу.

1.1.1. Положение равновесия.

1.1.2. Участок перехода к хаосу. Построение предельных циклов

1.1.3. Орбитальная устойчивость предельных циклов системы Пиковского.

1.2. Стохастическая чувствительность предельных циклов системы Пиковского.

1.2.1. Стохастические циклы.

1.2.2. Функция стохастической чувствительности.

1.2.3. Метод установления для вычисления ФСЧ и его модификация

1.2.4. Чувствительность циклов системы Пиковского

1.2.5. Стохастические суперциклы.

1.2.6. Экспоненциальный рост стохастической чувствительности суперциклов при переходе к хаосу.

2 Стохастическая устойчивость линейного уравнения с периодическими коэффициентами

2.1. Необходимые и достаточные условия стохастической устойчивости в среднем квадратичном для линейных систем

2.1.1. Метод функций Ляпунова.

2.1.2. Метод моментов

2.1.3. Спектральный критерий экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных систем с периодическими коэффициентами

2.1.4. Линейное уравнение с периодическими коэффициентами

2.2. Вычисление спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости для линейного уравнения.

2.2.1. Случай уравнения с постоянными коэффициентами

2.2.2. Уравнение с периодическими коэффициентами. Итерационный процесс.

2.2.3. Вычисление значений оператора стохастической устойчивости

2.2.4. Формулировка теоремы сходимости итерационного процесса

2.2.5. Необходимые сведения из функционального анализа

2.2.6. Доказательство теоремы сходимости.

2.2.7. Повышение точности вычисления спектрального радиуса

2.3. Анализ устойчивости стохастически возмущенного уравнения Матье.

2.3.1. Области устойчивости в плоскости параметров 7 и о;

2.3.2. Области неустойчивости в плоскости параметров еиш

3 Орбитальная стохастическая устойчивость предельных циклов

3.1. Экспоненциальная орбитальная устойчивость в среднем квадратичном предельных циклов.

3.1.1. Определение устойчивости. Орбитальные функции Ляпунова

3.1.2. Системы первого приближения. Р-устойчивость

3.1.3. Спектральный критерий устойчивости.

3.1.4. Оценки спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости.

3.2. Вычисление спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости для предельных циклов.

3.2.1. Итерационный процесс.

3.2.2. Ускорение вычисления значений оператора стохастической устойчивости.

3.2.3. Теорема сходимости.

3.3. Стохастическая система Ресслера. Система первого приближения

3.4. Спектральный радиус оператора стохастической устойчивости и его оценки для системы Ресслера.

3.5. Критическая интенсивность шумов в системе Ресслера . 93 Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Итерационные алгоритмы анализа стохастической устойчивости колебательных систем»

Предыстория и актуальность темы. Диссертационная работа посвящена разработке эффективных методов численного анализа устойчивости колебательных систем к случайным возмущениям. Объектом исследования являются предельные циклы нелинейных стохастических систем на участке перехода к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода, а также линейные стохастические уравнения с периодическими коэффициентами.

Наличие внешних шумов, а также внутренних параметрических случайных возмущений может значительно изменить характер поведения динамической системы. Первые исследования стохастических систем проводились уже в конце 19-го века: в 1899-м году в работе [70] Аррениусом С.А. получены результаты в задаче выхода траектории системы под воздействием шума из некоторой области устойчивости. В 1933-м году была опубликована работа Понтрягина J1.C., Андронова A.A., Витта A.A. [50], содержащая постановки основных задач стохастической динамики, которые привлекают внимание исследователей и в настоящее время.

Для формального описания динамических систем, находящихся под действием случайных возмущений, широко используется аппарат стохастических дифференциальных уравнений. Основной моделью в современной теории стохастической устойчивости является система Ито [2, 3, 12, 28, 29, 35, 58]. Для моделирования случайных возмущений используется винеров-ский процесс [11,116], являющимся математической моделью броуновского движения, открытого еще в 1827-м году.

Начиная с работы Каца И.Я и Красовского H.H. [30] для исследования устойчивости стохастических систем стал применяться метод функций Ляпунова. Дальнейшее развитие эта методика получила в работах Хасьмин-ского Р.З., Гихмана И.И, Кушнера X. [16, 35, 58, 59].

Большая часть исследований стохастических систем посвящена анализу поведения случайных траекторий в окрестности положения равновесия (Хасьминский Р.З., Кушнер Г.Дж., Левит М.В., Невельсон М.Б., Царьков

Е.Ф., Haussman U.J., Klcinman D.L., Wonham W.M. и др.)- Изучение воздействия случайных возмущений на поведение систем в окрестностях предельных циклов представляет собой существенно более сложную задачу. Предельный цикл является математической моделью автоколебаний, наблюдаемых в различных системах: электронных генераторах, химических реакциях, сообществах живых организмов. Исследование воздействия шума на предельный цикл было начато Понтрягиным JI.C., Андроновым A.A., Виттом A.A. [50] и продолжено в большом количестве работ, посвященных флуктуациям в механических и радиофизических системах: Страто-нович Р.Л. [56], Ibrahim R.A. [91], Soong Т.Т., Grigoriu М. [112], Baras F. [71], Mangel M. [98], Day M. [76, 79] и других.

Аналитическое исследование стохастических циклов систем размерности три и выше представляет собой большую сложность. В связи с этим были разработаны методы для численного анализа стохастических систем. Основные результаты, полученные в этом направлении, представлены в работах [34, 44, 94, 95] и других. Под действием шумов фазовые траектории системы покидают предельный цикл и формируют вокруг него пучок случайных траекторий — стохастический цикл. Большой интерес представляет изучение геометрических характеристик этого пучка. Его доверительные области в плоскостях, ортогональных предельному циклу, представляют собой эллипсы разных размеров и ориентаций по отношению к циклу Размер эллипса является характеристикой чувствительности соответствующей точки цикла к случайным возмущениям. Таким образом, различные участки предельных циклов обладают различной чувствительностью. Неоднородность пучка случайных траекторий рассматривалась в работах Deissler R.J, Farmer J.D. [80], Ali F., Menzinger M. [66, 67]. В работе [93] Kurrer С. и Schulten К. проводили анализ пучка, приближенно решая уравнение в частных производных Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) [11, 15, 37], дающее полное описание плотности вероятности пучка. Аналитическое решение уравнения ФПК представляется возможным только в одномерном случае. Для многомерных систем (размерности 2, 3 и более) уравнение либо решается численно (что, в свою очередь, также является сложной задачей в связи с малыми коэффициентами при старших производных), либо для его решений строятся аппроксимации [27, 56, 112].

Для важного случая шумов малой интенсивности в работе Веитце-ля А.Д. и Фрейдлина М.И. [12] для аппроксимации решения уравнения ФПК используется функция Ляпунова специального вида — квазипотенциал, представляющая собой экспоненциальную асимптотику стационарной плотности распределения пучка. Квазипотенциал был разработан в связи с решением задачи о выходе случайной траектории из окрестности устойчивого аттрактора. Для анализа стохастической чувствительности предельных циклов квазипотенциал использовался в следующих работах: Naeh Т. [101], Dykman M.I. [81], Graham R., Tel Т. [85, 86, 87, 88], Smelyan-skiy V.N. [Ill], Maier R.S. [97], Милынтейн Г.Н., Ряшко Л.Б. [45], Day M.V. [77, 78, 79].

Метод квазипотенциала для анализа предельных циклов получил дальнейшее развитие в работах Башкирцевой И.А. и Ряшко Л.Б. [6, 7, 72, 75]. С помощью аппроксимации квазипотенциала авторы построили матричную функцию стохастической чувствительности (ФСЧ), определенную в точках невозмущенного цикла и описывающую ковариацию отклонения стохастической траектории от точек детерминированной орбиты. Для вычисления ФСЧ разработаны численные методы, и с их помощью в работах Ряшко Л.Б., Башкирцевой И.А., Исаковой М.Г., Стихина П.В. [7, 8, 73, 74] проанализирована чувствительность предельных циклов ряда известных моделей нелинейной динамики: двумерных систем Ван-дер-Поля и Брюс-селятора, а также трехмерных систем Лоренца, Чуа и Ресслера.

Применение метода стохастических функций Ляпунова позволило перенести основные конструкции теории детерминированной устойчивости на стохастические уравнения. В 1977-м году в работе [43] Милынтейном Г.Н. был получен критерий экспоненциальной орбитальной устойчивости периодических движений автономных детерминированных систем, опирающийся на метод орбитальных функций Ляпунова. В 1992-м году Мильштейн Г.Н. и Ряшко Л.Б. получили аналогичные результаты для экспоненциальной орбитальной устойчивости в среднем квадратичном периодических движений стохастических систем.

В 1996-м году Ряшко Л.Б. в работе [53] для исследования орбитальной устойчивости периодических решений нелинейных стохастических систем использовал системы первого приближения — линейные стохастические системы с периодическими коэффициентами. Для этих систем введено понятие Р-устойчивости, а для Р-устойчивости получено необходимое и достаточное условие, позволяющее свести вопрос об устойчивости периодического решения исходной стохастической системы к задаче нахождения спектрального радиуса некоторого положительного оператора. Таким образом был получен спектральный критерий экспоненциальной орбитальной устойчивости в среднем квадратичном предельных циклов.

Важную самостоятельную задачу представляет собой исследование экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных стохастических систем. Для этих систем анализ устойчивости был сведен Хась-минским Р.З. [58] к задаче разрешимости некоторого детерминированного матричного дифференциального уравнения. В работе Царькова Е.Ф. [62] представлен аналогичный результат для случая системы с периодическими коэффициентами.

Широко известным общим методом анализа устойчивости в среднем квадратичном линейных систем является метод моментов [58]. Этот метод позволяет свести задачу исследования стохастической устойчивости к задаче асимптотической устойчивости детерминированной системы дифференциальных уравнений достаточно большой размерности. На практике эта задача может представлять значительные вычислительные трудности. Поэтому для некоторых частных случаев систем с постоянными коэффициентами рядом авторов разработаны более простые конструктивные критерии устойчивости: Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. [47], Левит М.В., Якубович В.А.-[36], Willems J.C. [117].

В 1999-м году в работе Ряшко Л.Б. [109] спектральный подход был применен для решения задачи экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами. Получен спектральный критерий, сводящий задачу исследования устойчивости в среднем квадратичном тривиального решения линейной системы к задаче нахождения спектрального радиуса некоторого положительного оператора.

Предельные циклы нелинейных систем в диссертации исследуются на участках перехода к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода. Исследования на этих участках связаны со значительными трудностями. Во-первых, вблизи точек бифуркаций существенно замедляется сходимость численных методов. Во-вторых, построение многократных циклов обычным методом сечений [51] неэффективно в силу их большой геометрической сложности. Витки циклов находятся близко друг к другу, из-за чего может оказаться сложной задачей отличить, например, 8-цикл от 16-цикла или 16-цикл от 32-цикла.

В связи с указанными проблемами становится актуальной задача построения численных методов, которые используют специфику строения участка перехода к хаосу для эффективного нахождения предельных циклов, а также позволяют ускорить существующие численные методы анализа чувствительности и повысить их точность. Численные методы с такими характеристиками дадут возможность не только анализировать единичные многократные циклы, но и исследовать целые интервалы структурной устойчивости, что позволит выявить ряд интересных закономерностей в поведении стохастических систем при переходе к хаосу. Разработке таких численных методов построения циклов и анализа чувствительности посвящена первая глава диссертации.

Спектральный подход, разработанный Ряшко Л.Б., сводит анализ устойчивости в среднем квадратичном стохастических систем к нахождению значения спектрального радиуса некоторого положительного оператора — оператора стохастической устойчивости. В работах [53, 109] доказан ряд теорем, дающих для спектрального радиуса оценки сверху и снизу, из которых следуют простые как необходимые, так и достаточные условия устойчивости. На практике оказалось, что полученные оценки часто определяют достаточно широкий интервал, в котором лежит спектральный радиус оператора стохастической устойчивости, что не позволяет воспользоваться ни необходимыми, ии достаточными условиями сходимости. Более того, информативность оценок быстро снижается при приближении к точкам бифуркаций удвоения периода. В связи с этим становится очевидной актуальность построения методов для вычисления с необходимой точностью значения спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости, которые позволяли бы сразу отвечать на вопрос об устойчивости системы. Разработке таких численных методов для линейных уравнений с периодическими коэффициентами посвящена вторая глава, а для предельных циклов нелинейных систем — третья глава диссертации.

В качестве базовых моделей для демонстрации результатов первой и третьей глав выбраны две известные трехмерные системы нелинейных дифференциальных уравнений — система Ресслера и система Пиковского.

Система Ресслера

- м), где ¡л — параметр, была введена в работе [105] как модельный пример системы с одним нелинейным членом, которая генерирует периодические и хаотические фазовые портреты, сравнимые по сложности с портретами изi) вестной системы Лоренца, имеющей два нелинейных члена.

Система Пиковского где /х — параметр, была предложена в [102] как простая система, которая полностью воспроизводит полученные экспериментально периодические и хаотические режимы в реакции Белоусова-Жаботинского.

Химическая реакция Белоусова-Жаботинского является ключевым примером в современной теории динамического хаоса. Эта реакция проявляет богатое разнообразие поведения. При различных условиях она демонстрирует как периодические, так и хаотические режимы. Исследования реакции БЖ проводились в большом количестве работ, например: [64, 61, 68, 69, 82,

Предельные циклы соответствуют установившимся колебаниям фиксированной частоты и амплитуды (автоколебаниям). Они возникают в системах порядка 2 и выше. Системы трех уравнений проявляют гораздо большее разнообразие фазовых портретов по сравнению с системами второго порядка. В этих системах начинают наблюдаться различные сценарии перехода к хаосу [10, 37, 64]. Рассматриваемые в данной диссертационной работе трехмерные системы Ресслера и Пиковского демонстрируют сценарий перехода к хаосу путем бифуркаций удвоения периода.

Результаты второй главы диссертации демонстрируются на примере стохастически возмущенного уравнения Матье[2],[65, Глава VIII, §3]:

К системам линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами приводят многие задачи физики и техники (динамическая устойчивость упругих систем, параметрический резонанс в мощных линиях передач и ускорителях элементарных частиц, ряд задач небесной механики и др.). Основные результаты, связанные с системами линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, приведены в работах: [33, 38, 39, 40, 41, 42, 63, 65, 103, 104].

Краткое содержание диссертации

Первая глава посвящена разработке численных методов построения

83, 84, 108, ИЗ, 114, 115]. у + [а + bq(t)] у = 0.

3) предельных циклов на участке бифуркаций удвоения периода, а также последующего анализа чувствительности этих циклов к внешним случайным возмущениям.

В разделе 1.1 проводится анализ детерминированной системы Пи-ковского (2), исследуется структура одного из участков перехода к хаосу удвоением периода и предлагается метод построения предельных циклов на этом участке.

В параграфе 1.1.1 найдено бифуркационное значение параметра дг, при котором единственное положение равновесия системы Пиковского теряет устойчивость, и рождается устойчивый предельный цикл большого радиуса. Обнаружен участок перехода к хаосу удвоением периода.

В п. 1.1.2.1 исследуется- геометрическая структура предельных циклов. Приводится алгоритм определения кратности цикла. Отмечается существенная неоднородность циклов в системе Пиковского, которая накладывает повышенные требования на разрабатываемые численные методы.

В п. 1.1.2.2 решается задача построения предельного цикла в случае, когда заранее известна его кратность. Привлечение к построению цикла информации о его кратности позволит избежать ряда грубых вычислительных ошибок, вероятных при использовании обычного метода сечений. Методика априорного определения кратности предельного цикла на основе анализа точек бифуркаций удвоеиия периода приводится в п. 1.1.2.3. Априорное определение кратности цикла выполняется в два этапа. Первый этап — нахождение приближенных значений точек бифуркаций на рассматриваемом участке перехода к хаосу. Этот подготовительный этап проводится один раз для всего участка. Построение нескольких начальных точек бифуркаций основано на асимптотической линейности мультипликатора цикла вблизи точки бифуркации. Здесь с помощью экстраполяции удается избежать трудоемкого построения предельных циклов в малой окрестности точки бифуркации. Для нахождения последующих точек бифуркаций используется тот факт, что значения разностных отношений точек бифуркаций начинают стабилизироваться. Приводятся приближенные формулы для точек бифуркаций и точки перехода к хаосу.

Точки бифуркаций задают на участке перехода к хаосу набор интервалов структурной устойчивости 1к, к ^ 1- На втором этапе для произвольного значения параметра ц — ¡1* с участка перехода к хаосу определяется номер к* интервала структурной устойчивости, содержащего это значение. При этом кратность цикла равна 2к*. Таким способом получаем возможность построения циклов на участке перехода к хаосу с помощью метода из п. 1.1.2.2, Формальное описание алгоритма построения предельного цикла приведено в п. 1.1.2.4. Эффективность метода демонстрируется на примере построения цикла системы Пиковского кратности 128.

В параграфе 1.1.3 исследуется асимптотическая орбитальная устойчивость предельных циклов в системе Пиковского. Вводится понятие детерминированного суперцикла — самого устойчивого цикла среди циклов той же кратности.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Губкин, Андрей Анатольевич

Заключение

В диссертации представлены результаты исследований устойчивости и чувствительности линейных и нелинейных систем стохастических дифференциальных уравнений. Ниже приводятся основные результаты, выносимые на защиту.

1) Разработан метод отыскания интервалов структурной устойчивости на участке удвоения периода предельных циклов и перехода к хаосу. Найдены интервалы структурной устойчивости в системах Пиковско-го и Ресслера. Предложена методика построения предельных циклов высокой кратности.

2) Построен численный алгоритм оценки стохастической чувствительности предельных циклов. Исследована чувствительность циклов стохастической системы Пиковского на участке удвоения периода. Показано, что в системах Пиковского и Ресслера чувствительность циклов при переходе к хаосу растет с одинаковой скоростью, несмотря на различную жесткость систем.

3) Построен итерационный процесс, позволяющий для нелинейных стохастических систем находить критическую интенсивность шумов, разрушающих экспоненциальную устойчивость автоколебаний. Доказана сходимость процесса. Обнаружен эффект самоподобия графиков критической интенсивности шумов на интервалах структурной устойчивости многократных циклов. Показано, что в системах Пиковского и Ресслера критическая интенсивность шумов при переходе к хаосу снижается с одинаковой скоростью.

4) Продемонстрировано, что в зонах циклов большой кратности наиболее устойчивые детерминированные циклы являются одновременно и наиболее устойчивыми в среднем квадратичном, и наименее чувствительными к внешним стохастическим возмущениям, чего не наблюдается у циклов малой кратности.

5) Построен итерационный процесс для анализа экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном тривиального решения линейного уравнения с периодическими коэффициентами. Доказана его сходимость. Найдены области устойчивости для стохастически возмущенного уравнения Матье.

6) Разработан программный комплекс, в котором реализованы описанные выше численные алгоритмы. г

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Губкин, Андрей Анатольевич, 2008 год

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.

2. Афанасьев А.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М: Высшая школа, 1989.

3. Бахвалов E.G. Численные методы, T.l. М.: Наука, 1973, С. 450.

4. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала в анализе чувствительности автоколебаний к стохастическим возмущениям // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1998, Т.6. №5, С. 19-27.

5. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б., Стихин П.В. Стохастическая чувствительность циклов системы Ресслера при переходе к хаосу // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2003, Т.Н. №6, С. 32.

6. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979.

7. Васин В.В., Ряшко Л.Б. Элементы нелинейной динамики: от порядка к хаосу. Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2003.

8. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.

9. Вентцелъ А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

10. Вентцелъ АД., Фрейдлин М.И. Малые случайные возмущений динамических систем. Успехи мат. наук. 1970, Т.25, №1.

11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

12. Гихмаи И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968.

13. Гихман И.И. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений. Сб. Предельные теоремы и статистические выводы, изд. "ФАН" Узб. ССР, Ташкент, 1966, С. 14-45.

14. Губкин A.A. Анализ стохастической устойчивости в зоне удвоения периода при переходе к хаосу // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 37-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2006, С. 216.

15. Губкин A.A. Стохастическая устойчивость периодических систем // Dynamical system modelling and stability investigation, Kyiv, 2005, p.41

16. Губкин A.A. Методы анализа стохастической чувствительности многократных циклов // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 38-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2007, С. 145.

17. Губкин A.A., Ряшко JI.Б. Построение предельных циклов в зоне бифуркаций удвоения периода с помощью ¿-мультипликаторов // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 35-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2004, С. 124.

18. Губкин A.A., Ряшко Л.Б. Стохастические циклы в модели Пиковского при переходе к хаосу // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 34-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2003, С. 106.

19. Губкин A.A., Ряшко Л.Б. Устойчивость стохастического уравнения Матье // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 36-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 2005, С. 126.

20. Губкин A.A., Ряшко Л.Б. Анализ среднеквадратичной устойчивости предельных циклов нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика, №10, Москва, 2007, С. 79-91.

21. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

22. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980.

23. Ито К. О стохастических дифференциальных уравнениях. // Математика I. 1957, №1, С. 78.

24. Ито К. Об одной формуле, касающейся стохастических дифференциалов. // Математика 3. 1959, №5, С. 131.

25. Кац И.Я., Красовский H.H. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикладная математика и механика, 1960, Т.24, Вып.5, С. 809-823.

26. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физ-матгиз, 1962.

27. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. М.: Наука, 1985.

28. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз, 1959.34 35 [36374142 4344 45

29. Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. СПб: Наука, 1999.

30. Кушнер Г. Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969.

31. Левит М.В., Якубович В. А. Алгебраический критерий стохастической устойчивости линейных систем с параметрическим воздействием типа белый шум // Прикладная математика и механика, 1972, Т.36. Вып.1. С. 142-148.

32. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

33. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892.

34. Ляпунов А. М. Собрание сочинений, Т.2. 1956.

35. Малкин И. Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1949.

36. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956.

37. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения, изд. 2. М.: Наука, 1966.

38. Милъштейи Г.Н. Устойчивость и стабилизация периодических движений автономных систем // Прикладная математика и механика, 1977, Т.41. Вып.4. С. 744-749.

39. Милъштейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та. 1988.

40. Милъштейн Г.Н., Ряшко Л. Б. Первое приближение квазипотеициа-ла в задачах об устойчивости систем со случайными невырожденными возмущениями // Прикладная математика и механика, 1995, Т.59. Вып.1. С. 51.

41. Милъштейн Т.Н., Ряшко Л.Б. Устойчивость и стабилизация орбит автономных систем при случайных возмущениях // Прикладная математика и механика, 1992. Т.56. Вып.6. С. 951-958.

42. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Об устойчивости линейной системы при случайных возмущениях ее параметров // Прикладная математика и механика, 1966, Т.ЗО, Вып.2.

43. Невельсон М.Б. Об устойчивости в целом траектории марковских процессов диффузионного типа // Дифференциальные уравнения, 1966, Т.2, Вып.8, С. 1052-1060.

44. Неймарк Ю.И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

45. Понтрлгин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ, 1933, Т.З, Вып.З, С. 165.

46. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. Наука, 1974.

47. Рытое С.М. Введение в стохастическую радиофизику. М.: Наука, 1976.

48. Ряшко Л. Б. Об устойчивости стохастически возмущенных орбитальных движений // Прикладная математика и механика, 1996, Т.60, Вып.4, С. 582-594.

49. Ряшко Л. Б. Стабилизация линейных стохастических систем с возмущениями, зависящими от состояния и управления // Прикладная математика и механика, 1979. Т.43. Вып.4. С. 612-620.

50. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. ИЛ, 1952.

51. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.

52. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980, С. 207.

53. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969.

54. Хасьминский Р.З. Об устойчивости траекторий марковских процессов // Прикладная математика и механика, 1962, Т.26, Вып.6, С. 1025— 1032.

55. Хибник А.И. Периодические решения системы п дифференциальных уравнений // Материалы по математическому обеспечению ЭВМ, Пу-щино, 1979.

56. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М.: Мир, 1991.

57. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989.

58. Четаев Н.Г. Устойчивость движения, изд. 2, М.: Гостехиздат, 1955.

59. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.

60. Якубович В.А., Старжипский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

61. Ali F., Menzinger М. Stirring effects and phase-dependent inhomogeneity in chemical oscillations: the Belousov-Zhabotinskiy reaction in a CSTR. // J. Phys. Chem. A. 1997, Vol.101, P. 2304.

62. Ali F., Menzinger M. On the local stability of limit cycles. // Chaos. 1999, Vol.9, P. 348.

63. Aliev R.R., Rovinsky A.B. Spiral waves in the homogeneous and inhomo-geneous Belousov-Zhabotinsky reaction // The Journal of Physical Chemistry, Vol.96, No.2, 1992, P. 792.

64. Aliev R.R., Yamaguchi TKuramoto Y. On the phase dynamics in the BZ reaction // The Journal of Physical Chemistry A, Vol.101, No.42, 1997, P. 7691.

65. Arrhenius S.A. Ueber die Reaktiongeschwindigkeit bei der inversion von Rohrzucker durch Saeuern. // Z. Phys. Chemie. 1899, Vol.4, P. 226.

66. Baras F. Stochastic Analysis of Limit Cycle Behavior. Phys Rev Lett. 1996, Vol.12, N7, P. 1398.

67. Bashkirtseva I.A., Isakova M.G., Ryashko L.B. Quasipotential in stochastic stability analysis of the nonlinear oscillator orbits // Neural, Parallel and Scientific Computations, 1999, Vol.7, No.3. P. 299-310.

68. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Sensitivity analysis of stochastically forced Lorenz model cycles under period-doubling bifurcations // Dynamic systems and applications, 2002, Vol.11, No.2, P. 293-309.

69. Bashkirtseva I. A., Ryashko L. B. Sensitivity analysis of the stochastically and periodically forced Brusselator. // Physica A. 2000, Vol.278, P. 126.

70. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Stochastic sensitivity of 3D-cycles // Mathematics and computers in simulation Dynamic systems and applications, 2004, Vol.66, P. 55-67.

71. Day M. Cycling and skewing of exit measures for planar systems // Stoch. Stoch. Rep. 1994, Vol.48, P. 227.

72. Day M. Exit cycling for van der Pol oscillator and quasipotential calculations // J. Dynam. Differential Equations. 1996, Vol.8, P. 573-601.

73. Day M. Mathematical approaches to the problem of noise-induced exit. Stochastic Analysis, Control, Optimization and Applications. Boston: Birkhauser, 1999.

74. Day M. Regularity of boundary quasi-potentials for planar systems // Applied Mathematics and Optimization, 1994, Vol.30, P. 79.

75. Deissler R.J., Farmer J.D. Deterministic noise amplifiers. // Physica D. 1992, Vol.55, P. 155.

76. Dykman M.I. et al. Activated escape of periodically driven systems. Chaos. 2001, N11, P. 587.

77. Epstein I.R., Kustin K., de Kepper P., Orban M. Oscillating chemical reactions. Sci. Am. 1983, 248, No.3.

78. Field R.J., Noyes R.M. Oscillations in chemical systems. IV. Limit cycle behavior in a model of a real chemical reaction // The Journal of Chemical Physics, 1974, Vol.60, No.5.

79. Field R.J., Koros E., Noyes R.M. J. Am. Chem. Soc. 1972, No.94, P. 864.

80. Graham R., Tel T. Existence of a potential for dissipative dynamical systems // Phys. Rev. Letters. 1984, Vol.52. N9, P. 12.

81. Graham R., Tel T. Nonequilibrium potential for coexisting attractors // Physical Review, 1986, Vol:33, P. 1322-1337.

82. Graham R., Tel T. Steady state ensemble for the complex Ginzburg-Landau equation with weak noise // Physical Review A., 1990, Vol.42, P. 4661-4677.

83. Graham R., Tel T. Weak-noise limit of Fokker-Planck models and nondif-ferentiable potentials for dissipative dynamical systems // Phys. Rev. A. 1985, Vol.31, P. 1109.

84. Gubkin A.A., Ryashko L.B. Stochastic cycles for a model of the Belousov-Zhabotinsky reaction under transition to chaos // Neural, parallel and scientific computations, Dynamic publishers, 2005, Vol.13, P. 131-146.

85. In-Ding Hsu Existense of periodic solutions for the Belousov-Zaikin-Zhabotinskiy Reaction be a theorem of Hopf // Journal of differential equations, 1976, Vol.20, P. 399-403.

86. Ibrahim R. A. Parametric Random Vibration. John Wiley and Sons. New York. 1985.

87. Imkeller P., Milstein G.N. Moment Lyapunov exponent for conservative systems with small periodic and random perturbations // Stochastic Dynamics, 2002, Vol.2, P. 25-48.

88. Kurrer C., Schulten K. Effect of noise and perturbations on limit cycle systems. // Physica D. 1991, Vol.50, P. 311.

89. Kloeden P.E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equaions. Berlin: Springer-Verlag. 1992.

90. Kloeden P.E., Platen E., Schurz H. Numerical solution of SDE through computer experiments. Berlin: Springer-Verlag. 1994.

91. Ludwig D. Persistence of dynamical systems under random perturbations. 11 SIAM Rev. 1975, Vol.17, P. 605.

92. Maier R.S., Stein D.L. Oscillatory behavior of the rate of escape through an unstable limit cycle. // Phys. Rev. Lett. 1996, N24, P. 4860.

93. Mangel M. Small fluctuations in systems with multiple limit cycles. // SIAM. J. Appl.MATH. 1980, Vol.38, N1, P. 120.

94. Matkowsky B.J., Schuss Z. On the problem of exit. // Bull AMS. 1976, Vol.82, P. 321.

95. Matkowsky B.J., Schuss Z. The exit problem for randomly perturbed dynamical systems. // SIAM J.Appl. Math. 1977, Vol.33, P. 365.

96. Naeh T., Klosek M.M., Matkowsky B.J., Schuss Z. A direct approach to the exit problem // SIAM Journal Appl. Math, 1990, Vol.50, No.2, P. 595.

97. Pikovsky A.S. A dynamical model for periodic and chaotic oscillations in the Belousov-Zhabotinsky reaction // Physics letters, 1981, Vol.85A, No.l, P. 13-16.

98. Poincare H. Sur le problème des trois corps et les equations de la dynamique // Acta Math., 1890, Vol. 13, P. 5-270.

99. Poincare H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. I—III. Paris, 1892-1899.

100. Ressler O.E. An equation for continuous chaos // Physics letters, 1976,1. Vol.75A, No.5.

101. Ressler O.E. Chaos in Zhabotinskii reaction // Nature, 1978, Vol.271, P. 89-90.

102. Haiwu Rong, Guang Meng, et al Invariant measures and Lyapunov exponents for stochastic Mathieu system // Nonlinear Dynamics, 2002, Vol.30, P. 313-321.

103. Roux J.C., Rossi A., Baehelart S., Vidal C. Experimental observations of complex behaviour during a chemical reaction // Physica 2D, 1981, P. 395.

104. Ryashko L.B. Stability and stabilization of SDEs with periodic coefficients // Dynamic systems and applications, 1999, Vol.8, No.l, P. 21-33.

105. Ryashko L.B., Schurz H. Mean square stability analysis of some stochastic systems // Dynamic systems and applications, 1997, Vol.6, No.2, P. 165190.

106. Smelyanskiy V.N., Dykman M.I., Maier R.S. Topological features of large fluctuations to the interior of a limit cycles // Phisical Review E., 1997. Vol.55. No.3, P. 2369.

107. Soong T.T., Grigoriu M. Random vibration of mechanical and structural systems. RTR Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.

108. Tomita K., Tsuda I. Chaos in Belousov-Zhabotinsky reaction in a flow system // Physics letters, 1979, Vol.71 A, No.5,6, P. 489-492.

109. Turner J.S., Roux J.C., McCormick W.D., Swinney H.L. Alternating periodic and chaotic regimes is a chemical reaction — experiment and theory // Physics letters, 1981, Vol.85A, No.l, P. 9-12.

110. Tyson J.J. The Belousov-Zhabotinskii reaction. Lecture notes in biomath-ematics. Springer, Berlin, 1976.

111. Wiener N. Differential space // J. Math.Phys. 1923, Vol.2, P. 131-174.

112. Willems J. C. Mean square stability criteria for linear white noise stochastic systems // Prob. Contr. Inf. Theory 1972, Vol.2, P. 199-217.