Минимаксные методы оценивания и оптимизации процессов в неопределенно-стохастических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Панков, Алексей Ростиславович

• Панков, Алексей Ростиславович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Панков, Алексей Ростиславович

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение

2. Минимаксное оценивание в неопределенно-стохастических регрессионных моделях

2.1 Постановка задачи

2.2 Минимаксные оценки на классах распределений Щ1 и ^

2.3 Минимаксные линейные оценки на классах распределений ЩЬ и ^

2.4 Минимаксная идентификация неопределенно-стохастической регрессии при ограничениях на параметры

2.5 Асимптотические свойства минимаксных оценок

2.6 Адаптивные минимаксные оценки для модели с авторегрессионными шумами

3. Условно-минимаксное оценивание и управление в динамических системах

3.1 Постановка задачи

3.2 Минимаксное оценивание случайных векторов

Зл *гг и о V 1 о и

.3 Условно-минимаксныи нелинейный фильтр для разностной стохастической динамической системы

3.4 Условно-минимаксный нелинейный фильтр для непрерывно-дитскретной системы

3.5 Минимаксная фильтрация в линейных и квазилинейных системах

3.6 Структурные функции условно-минимаксного нелинейного фильтра

3.7 Робастная фильтрация процесса в линейной разностной стохастической системе

3.8 Минимаксное управление в линейных негауссовских системах

3.9 Алгоритмы управления по наблюдениям с выбросами

4. Минимаксное оценивание процессов в линейных неопределенно- стохастических системах

4.1 Модели неопределенно-стохастических систем

4.2 Проблемы оценивания процессов в неопределенно-стохастических системах Щ

4.3 Минимаксное оценивание в разностных неопределенно-стохастических системах

2

4.4 Минимаксная фильтрация процессов в разностных стохастических системах

4.5 Минимаксное оценивание в неопределённол-стохастических дифференциальных системах

5. Минимаксное оценивание случайных элементов в гильбертовых пространствах

5.1 Постановка задачи и основные распределения

5.2 Решение задачи минимаксного оценивания

5.3 Аппроксимации минимаксных оценок

5.4 Оценивание в бесконечномерных регрессионных моделях

5.5 Оценивание процессов в линейных негауссовских стохастических дифференциальных системах

5.6 Условно-минимаксная фильтрация гильбертовых стохастических последовательностей

5.7 Минимаксное оценивание и управление в линейных разностных системах

6. Численные методы и алгоритмы минимаксного оценивание и управления

6.1 Минимаксное оценивание закона движения JIA в условиях априорной неопределенности

6.2 Алгоритмы синтеза условно-минимаксных и оптимальных фильтров для нелинейных стохастических систем

6.3 Апробация алгоритмов условно-минимаксной фильтрации и управления. Ш

6.4 Алгоритмы фильтрации и сглаживания процессов с неопределенными входными воздействиями

6.5 Непараметрическая минимаксная обработка фрагмента искаженного изображения

7. Заключение

Литература

Приложение. Основные обозначение и сокращения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Минимаксные методы оценивания и оптимизации процессов в неопределенно-стохастических системах»

1. Введение

В настоящее время математические методы обработки информации в целях оптимизации процессов в сложных системах доказали свою эффективность при решении разнообразных прикладных задач управления техническими, эко-номи-ческими и другими реальными системами. Развитее математической теории управления идет в направлении все большего усложнения применяемых моделей и методов для достижения адекватного описания реальных процессов и повышения надежности получаемых стратегий обработай информации и формирования процессов управления. Если на начальной стадии развития теории управления превалировали классические детерминированные модели, описываемые алгебраическими соотношениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных, интегральными соотношениями и другими аналогичными моделями [4, 57, 107, 116, 195 ], то дальнейшие теоретические исследования и результаты практического использования полученных методов и алгоритмов показали, что для адекватного описания реальных процессов необходимо использовать модели, органической частью которых являются неопределенные параметры и сигналы, значения и поведение которых заранее нельзя достоверно предсказать. Последнее привело к созданию стохастической теории управления и развитию сопутствующих вероятностно-статистических методов и алгоритмов обработки информации. Естественно, основные усилия были направлены на получение оптимальных по некоторым специальным критериям методов идентификации, фильтрации и управления. Указанные критерии явно учитывают вероятностно-статистический характер решаемой задачи, а реализация оптимальных алгоритмов обработки информации предполагает наличие необходимого (достаточно большого) объема априорной информации о вероятностных характеристиках случайных параметров и возмущений как в модели исследуемой системы, так и в модели, описывающей систему сбора и регистрации информации, необходимой для организации управления. Методы оптимального оценивания в статических (регрессионных) конечномерных моделях описаны в [1, 12, 16, 28, 32, 69, 103, 108 ], результаты

М

по оптимальной идентификации моделей временных рядов изложены в [5, 63, 109, 111, 183]. Для моделей динамических систем, описываемых линейными разностными и дифференциальными стохастическими уравнениями, при условии линейности модели наблюдения наиболее эффективным алгоритмом оценивания является фильтр Калмана [ 30, 55, 76, 86,107,113 ], а для нелинейных моделей - фильтр Кушнера-Стратоновича или Закаи [ 62, 86, 96, 121, 138, 153, 184]. Указанные базовые алгоритмы и их обобщения и разновидности позволяют синтезировать оптимальные стратегии управления, реализуемые в условиях неполной информации о фазовом векторе управляемой системы, причем для линейных динамических систем, квадратичного критерия качества управления и в предположении гауссовости распределения шумов в модели динамики системы и ошибок наблюдений, соответствующие стратегии управления могут быть найдены аналитически [ 30, 40, 57, 76, 107, 108 ]. В настоящее время существенные усилия прилагаются к распространению указанных оптимальных методов оценивания и управления на системы с бесконечномерным фазовым вектором, которые позволяют описать динамику процессов в абстрактных (гильбертовых и банаховых) пространствах [ 88 - 90, 105, 117 -119, 128, 129, 135, 169, 171, 181, 195 ]. В основном, правда, исследования сосредотачиваются на линейных статических и динамических системах наблюдения - управления, а нелинейная теория находится в существенно менее развитом состоянии. Наряду с задачами оценивания и управления также исследуются проблемы оптимального выбора плана эксперимента с целью повышения точности оценок параметров, сигналов и снижения затрат на управление [4,32, 65,196 ].

Если для линейных конечномерных систем проблема оптимального оценивания и управления имеет решение, пригодное для практической реализации, то для нелинейных систем уравнения оптимальной фильтрации являются весьма сложными и в настоящее время не поддаются реализации на ЭВМ в полном объеме. Заметим, что и для линейных динамических моделей, содержащих неизвестные параметры или имеющих случайную структуру, оптимальные алгоритмы оценивания относятся к специальному классу задач нелинейной фильтрации [13, 14, 24, 31, 39, 57, 70, 77, 114, 163], а соответствующие алгоритмы опти-

5

малыюго управления по квадратическому критерию с конечным горизонтом труднореализуемы вследствие наличия дуального эффекта [13, 14, 57, 95]. Основная сложность в задаче оптимального нелинейного оценивания и управления состоит в том, что в общем случае для соответствующей оценки состояния системы отсутствует конечномерная система достаточных статистик для апостериорного распределения состояния системы. Таким образом, даже для конечномерной нелинейной системы управления уравнения фильтрации являются бесконечномерными [ 62, 78, 127, 138, 140, 141, 146 ]. Для некоторого очень ограниченного класса моделей существуют конечномерные оптимальные нелинейные фильтры [ 127, 137, 179, 193 ], однако в общем случае задача нелинейной фильтрации является бесконечномерной [146 ]. Для практической реализации алгоритмов фильтрации и управления в нелинейном случае предложен ряд приближенных конечномерных алгоритмов (субоптимальных методов фильтрации и управления), таких как линеаризованный и расширенный фильтры Калмана, фильтры второго порядка, гауссовские фильтры [ 17, 39, 54, 55, 64, 65, 96, 136, 139, 174, 183, 184, 192, 193 ]. Все они в той или иной степени используют процедуры линеаризации, конечномерной параметризации и нормальной аппроксимации [ 38, 86, 97 ], что приводит в конечном итоге к неадекватности применяемых моделей и расходимости процесса фильтрации, вызванных наличием неучтенных возмущений и ошибочной спецификацией законов распределения оценок и управляющих сигналов. Например, эвристические обобщения на нелинейный случай теории оптимальной линейной фильтрации Калмана приводят к алгоритмам, дающим в общем случае существенно смещенную оценку фазового вектора системы [166], о величине которой нельзя судить по параметрам самого алгоритма фильтрации. Кроме того, указанные методы оценивания не обладают какими-либо глобальными или локальными оптимальными свойствами, что, естественно, приводит к снижения эффективности процессов управления, базирующихся на использовании субоптимальных методов оценивания.

В свете сказанного, весьма актуальной является задача построения конечномерных алгоритмов нелинейной фильтрации с улучшенными свойствами ( например, локально оптимальных), не являющихся эвристическими обобще-

ниями фильтра Калмана или результатом упрощения уравнений типа Кушнера-Стратоновича или Закаи. Один из возможных подходов был предложен В.С.Пугачевым, который привел в дальнейшем к созданию целого класса алгоритмов условно-оптимальной нелинейной фильтрации и управления [79, 80, 84, 86, 87, 94, 96, 175], занимающих промежуточное положение между субоптимальными и оптимальными методами фильтрации сигналов в нелинейных стохастических системах управления.

Основной проблемой в реализации оптимальных методов оценивания и управления, помимо их сложности, является отсутствие полной априорной информации о параметрах моделей и вероятностных характеристиках возмущений. Зачастую нет четкой информации о том, можно ли считать параметр модели случайным или следует трактовать его как неопределенный детерминированный. Но даже в случае, когда есть основания считать, что параметры модели являются случайными, у нас обычно нет достоверной информации о точных значениях их вероятностных характеристик ( законов распределения, моментных характеристик, ковариаций с другими параметрами и т.д.). Более того, есть основания считать, что во многих задачах, для которых найдены оптимальные решения, условия реализации последних практически никогда не выполняются. Например, шумы наблюдений практически всегда содержат аномальные значения (выбросы), что не позволяет обоснованно использовать предположение об их га-уссовости [ 34, 110, 111 ]. Кроме того, оптимальные методы оценивания и управления являются весьма чувствительными даже к незначительным отклонениям от принятых допущений, в условиях которых и были получены указанные методы [ 9,16,69,110,111].

Приведенные выше факты явились причиной повышенного интереса к исследованию задач оценивания и оптимизации процессов в системах с априорной неопределенностью. В настоящее время сформировались два основных подхода к разработке методов исследования систем указанного типа: минимаксный и адаптивный.

Суть минимаксного подхода состоит в том, что для обобщенных параметров модели формируется некоторое множество неопределенности их значений и

Г

характеристик, после чего задача оценивания и управления решается оптимальным образом в предположении, что реализован «наихудший» элемент указанного множества. При определенных условиях такое решение существует, а алгоритм его реализации обладает гарантирующими свойствами [ 9, 52, 59 - 61, 110, 125 ]. Таким образом, задачи оценивания и управления при данном подходе решаются с помощью методов теории игр. Впервые в задачах классической математической статистики указанную идею в достаточно развитой форме реализовал А.Вальд [15]. В силу плодотворности игрового (т.е.минимаксного) подхода, в дальнейшем были получены глубокие и разнообразные результаты по минимаксной параметрической и непараметрической статистике [ 12, 32, 37, 68, 70, 185 ], весьма полный обзор последних результатов в этой области приведен в [126]. Для указанного круга задач обычно параметры модели считаются неопределенными неслучайными и принадлежащими некоторым ограниченным областям конечномерного пространства, а модели - стохастическими с неизменными во времени вероятностными характеристиками, которые полностью или частично известны. Минимаксному оцениванию бесконечномерных параметров при известных характеристиках стохастической модели наблюдения посвящено существенно меньше работ, которые в основном связаны с проблемой решения некорректных задач со случайными ошибками в данных [37, 56, 91, 104, 105,122]. При идентификации и оптимизации линейных регрессионных моделей использовались различные подходы к минимаксному оцениванию, связанные с разными способами описания возмущений. Так, в работах [52, 59 - 61, 66, 71] использовалась детерминированная модель возмущений с некоторым фиксированным множеством неопределенности, описывающим допустимые значения самих возмущений, а не их характеристик. В работах [ 9, 10,61, 66, 98,99, 182 ] неопределенные параметры модели считались неслучайными и неограниченными, а возмущения - стохастическими с частично известными характеристиками. Для этого случая наиболее общие результаты получены для задачи линейного несмещенного минимаксного оценивания значения линейного функционала на конечномерном евклидовом пространстве параметров. Проблема минимаксного оценивания случайных параметров в конечномерных статических моделях с ап-

8

риорной неопределенностью изучалась в работах [36, 100, 150, 158, 186, 188], а в бесконечномерных моделях - в [73, 74, 91, 105, 151, 154, 172 ]. В основном рассматривались линейные модели и линейные стратегии оценивания. Некоторые результаты для нелинейных моделей получены в [92]. Минимаксное оценивание конечномерных параметров в бесконечномерных моделях наблюдения для случая детерминированных шумов, принадлежащих априорным множествам неопределенности, изучалось в работах [25, 26, 82, 154]. Минимаксным методам планирования эксперимента посвящены работы [65, 82]. Особое внимание при исследовании методов идентификации статистически неопределенных моделей было уделено робастным методам оценивания [16, 34, 69, 110, 111, 114, 150 ], которые даже для линейной модели наблюдения реализуются в виде нелинейных алгоритмов, а минимаксные свойства оценок проявляются в асимптотике.

Для решения проблем управления особый интерес представляют методы оптимизации и оценивания процессов в динамических системах, описываемых разностными и дифференциальными уравнениями в конечномерных и бесконечномерных пространствах в условиях неполной априорной информации о характеристиках модели динамики системы и процесса наблюдения. Методы оценивания и управления в динамических системах с детерминированными возмущениями изучались в работах [ 8, 47, 51, 72, 108, 112, 173 ], и проводимые исследования были нацелены на получение аналогов оценок фильтра Калмана и соответствующих стратегий управления по неполным данным. Для специальных критериев эффективности процедур оценивания и управления была развита Ню -теория [81, 124, 125, 178 ], которая является минимаксной по самой постановке задачи. Проблемы минимаксной идентификации параметров моделей временных радов изучались в [ 63, 70,111,158,163 ]. Наибольшее внимание уделялось проблемам фильтрации и управления для линейных стохастических разностных и дифференциальных систем при неполной информации о вероятностных характеристиках шумов в моделях динамики и системы наблюдения [ 2, 3,19 - 22, 41 - 46, 48, 49, 53, 160, 161, 167, 177, 186, 187]. Изучение нелинейных статистически-неопределенных моделей находится на начальной стадии, и строгие результаты здесь фрагментарны [3, 50, 120, 193, 194], хотя и разработано достаточно

9

много эвристических методов нелинейного минимаксного оценивания, которые обладают теми же недостатками, что и субоптимальные методы нелинейной фильтрации и управления, о которых упоминалось выше [150 ].

Заметим, что основные усилия при разработке минимаксных методов для статических и динамических моделей направлены на построение оценок, обладающих минимаксными свойствами при конечных объемах наблюдений, поэтому асимптотические свойства минимаксных оценок изучены недостаточно. В основном исследования в данном направлении применительно к динамическим моделям сводились к изучению эволюции информационных множеств для апостериорной постановки задачи минимаксной фильтрации [3, 43, 44, 82]. Отметим также результаты по планированию динамического эксперимента в целях повышения точности минимаксных оценок [65] и работу по сопоставлению минимаксно-детерминированных и минимаксно-стохастических методов анализа и оптимизации [155].

Минимаксный подход позволяет зачастую получить решение задачи оптимального стохастического управления по нетрадиционным критериям. Например, игровой подход использовался для решения задачи управления с чувствительным к риску критерием ( risk-sensitive control) [147, 148], а обобщенный минимаксный подход - для стохастической оптимизации [64] и оценивания [36] по вероятностному критерию для статистически определенных и в [65] - для неопределенных систем.

Существенной проблемой при реализации алгоритмов минимаксного оценивания и управления является вычисление параметров минимаксного оператора. В конечномерном случае для статической модели задача сводится к проблеме нахождения условного экстремума неслучайной негладкой функции многих переменных, а в динамическом - к решению негладкой вариационной задачи. Некоторые подходы для построения численных алгоритмов, основанных на теории двойственности выпуклых задач оптимизации, описаны в [ 10, 98, 182 ] применительно к проблеме минимаксного оценивания линейного функционала от параметров статистически - неопределенной линейной регрессии. Для динамических моделей, описываемых обыкновенными линейными стохастическими

дифференциальными уравнениями и уравнениями с последействием, предложен способ замены уравнений алгоритма минимаксного оценивания уравнениями фильтра Калмана со специально подобранными параметрами, причем потеря точности от такой замены оказывается известной [47, 48, 160, 161] . В определенных случаях эффективными оказываются численные методы, основанные на использовании линейного программирования [ 9, 61 ] и нелинейных итерационных алгоритмов [32, 68 ]. В целом, однако, следует заметать, что проблема построения численных методов для задач минимаксной оптимизации в общем случае еще далека от окончательного разрешения.

Второй подход к решению задач оценивания и управления в условиях априорной неопределенности, называемый обычно адаптивным [63, 95, 111, 152], основан на восстановлении неизвестных вероятностных характеристик стохастических параметров модели, необходимых для построения оптимальных оценок и соответствующего управления. При определенных условиях оказывается, что такая оценка асимптотически эквивалентна ( в некотором вероятностном смысле) оптимальной оценке, однако требует для своего построения существенно меньший объем априорной информации, что достигается за счет более полного и гибкого использования измерительной информации. Как правило, адаптивные алгоритмы фильтрации, идентификации и управления оказываются нелинейными, что существенно затрудняет анализ их неасимптотических свойств. Поэтому поведение адаптивных оценок для выборок конечного объема в практически важных случаях исследуется методами компьютерного статистического моделирования. Кроме того, желание построить теоретически обоснованный алгоритм адаптации требует обычно наложения довольно жестких условий на используемые модели ( стационарность, устойчивость, независимость и одинаковая распределенность шумов, симметрия законов распределения и др.), что несколько ограничивает область обоснованного применения данного подхода на практике. С другой стороны, если для конкретной используемой модели удается строго обосновать процедуру адаптации, то получаемые оценки и стратегии управления могут быть существенно более эффективными, чем минимаксные ( т.е. использующие только априорную информацию). Литература по адаптив-

ному оцениванию весьма обширна, поэтому мы отметим только наиболее содержательные работы, в которых приведены теоретически обоснованные и практически апробированные методы адаптивной фильтрации, идентификации и управления, а также содержатся дальнейшие ссылки [7, 29, 35, 57, 70, 95, 108, 109,121,130,133,134,152,153,162,191 ].

Представляется интересным как с теоретической, так и с прикладной точек зрения попытаться объединить два рассмотренных подхода с целью, с одной стороны, упрощения алгоритмов адаптации, а с другой стороны, повышения точности оценок и эффективности законов управления (по сравнению с чисто минимаксными стратегиями). Это возможно, например, если адаптационный процесс направлен не на восстановление недостающих характеристик модели, а на сужение априорных множеств неопределенности при неизменной общей структуре алгоритма минимаксной обработки информации. В настоящее время эта. проблема (т.е. адаптация минимаксных алгормитмов ) практически не исследована.

Анализ содержания работ по минимаксному оцениванию и управлению в статических и динамических моделях позволяет сделать вывод о теоретической актуальности и практической важности указанного подхода, а также сформулировать важные проблемы, решение которых позволит существенно расширить область обоснованного применения минимаксных методов и повысить их практическую значимость:

1) построение теории минимаксного оценивания для обобщенных линейных моделей [132], неопределенные параметры которых могут быть произвольных типов: детерминированные ограниченные и неограниченные, стохастические с полностью или частично неизвестными распределениями ( далее такие модели называются неопределенно-стохастическими );

2) разработка методов минимаксного оценивания для сингулярных неопределенно-стохастических моделей наблюдения, случайные возмущения которых могут быть вырожденными ( обоснование важности данного круга задач в рамках оптимального оценивания см. в [1,93,132, 133,159 ]);

12

исследование асимптотических свойств ( сходимость, предельные распределения) минимаксных оценок параметров неопределенно-стохастических систем;

4) построение адаптивных алгоритмов минимаксного оценивания;

5) использование минимаксных методов для разработки конечномерных алгоритмов оценивания и управления в нелинейных статических и динамических моделях, и, в частности, разработка минимаксных методов оценивания и управления в линейных динамических системах с негауссовскими возмущениями;

6) построение рекуррентных оценок и алгоритмов управления в реальном времени, устойчивых к наличию аномальных ошибок в каналах наблюдения;

7)создание методов рекуррентного оценивания процессов в неопределенно-стохастических динамических системах, дающих возможность учитывать текущую измерительную информаццию о значениях неопределенных параметров и входных процессов в модели динамики системы;

8) разработка и исследование методов оценивания случайных элементов со значениями в бесконечномерных пространствах в условиях неполной информации о вероятностных характеристиках оцениваемого и наблюдаемого элементов;

9) построение минимаксных алгоритмов оценивания процессов и их оптимизации для неопределенно-стохастических динамических систем с бесконечномерным пространством состояний;

10) расширение спектра минимаксных критериев для построения оценок произвольных линейных преобразований вектора неопределенно-стохастических параметров (а не только несмещенных оценок линейных функционалов);

11) поиск операторов минимаксного оценивания не только в классе линейных по наблюдениям, но также и в классе всех измеримых ограниченных преобразований ( для конечномерных моделей) и пределов последовательностей

таких преобразований ( для бесконечномерных моделей);

13

12) разработка численных методов и алгоритмов минимаксного оценивания и управления, пригодных для практического использования в многомерных задачах.

В данной работе приведены некоторые результаты исследований по минимаксному оцениванию и управлению в неопределенно-стохастических моделях в направлениях 1)-12), приведенных выше.

В главе 2 рассмотрена проблема минимаксного оценивания параметров многомерной линейной неопределенно-стохастической регрессионной модели с сингулярными шумами. Получены достаточные условия идентифицируемости по минимаксному критерию параметров модели, построены оценки для различных уровней информированности об оцениваемых переменных и характеристиках возмущений. Для несингулярной неопределенно-стохастической модели исследованы асимптотические свойства минимаксных оценок, приведены условия, при которых минимаксная оценка является состоятельной и асимптотически нормальной. Построены адаптивные минимаксные оценки для случая, когда шумы в модели наблюдения описываются многомерным уравнением авторегрессии с неизвестными параметрами и ограниченной сверху, но неизвестной ковариационной матрицей возмущающего шума.

Глава 3 посвящена разработке и исследованию метода условно-минимаксной нелинейной фильтрации для процессов в конечномерных разностных и дифференциально-разностных нелинейных системах управления, являющегося обобщением и развитием метода условно-оптимальной фильтрации В.С.Пугачева. Описана структура условно-минимаксного нелинейного фильтра (УМНФ), процедура его аналитического синтеза посредством локальной непараметрической оптимизации по минимаксному критерию, приведены условия на модель динамики и систему наблюдения, достаточные для существования УМНФ, исследованы свойства УМНФ-оценки. Показано, что в линейном случае при надлежащем способе выбора структурных функций УМНФ является глобально оптимальным по минимаксному критерию рекуррентным фильтром. Рассмотрена задача оптимального в минимаксном смысле управления разностной неопределенно-стохастической линейной системой с негауссовскими сингуляр-

14

ными шумами по квадрашческому критерию общего вида, доказан аналог теоремы разделения. Построена условно-минимаксная нелинейная стратегия управления для линейной системы с аномальными ошибками в каналах наблюдения. Для последней задачи также построена оптимальная стратегия и ее субоптимальные аппроксимации. Изучен вопрос о применимости принципа достоверной эквивалентности для задач минимаксного управления, показано, что даже для линейной системы управления этот принцип не справедлив ( в отличие от классической задачи оптимального линейно-квадратического управления), если априорная информация о ковариационных матрицах шумов в динамике и наблюдениях состоит в принадлежности указанных матриц произвольным выпуклым компактам в пространстве неотрицательно определенных самосопряженных матриц.

В главе 4 рассмотрена задача минимаксной рекуррентной фильтрации процессов в динамических системах, описываемых линейными разностными и стохастическими дифференциальными уравнениями, а также проблема сглаживания процессов на фиксированном интервале времени. Особенность постановки задачи состоит в том, что неопределенные возмущения в модели динамики системы являю-^тся частично наблюдаемыми, а априорная информация об их возможных значениях отсутствует. Построены алгоритмы рекуррентной фильтрации, обобщающие алгоритмы Калмана (для дискретных моделей) и Калмана-Бьюси ( для непрерывных моделей). Рассмотрен также случай оценивания процессов при стохастических частично наблюдаемых входных воздействиях с неполной априорной информацией об их вероятностных характеристиках. Показано, что соответствующие алгоритмы превращаются в алгоритмы минимаксной фильтрации при стремлении объема априорной информации к нулю. Построенные алгоритмы минимаксной фильтрации были использованы для решения задачи сглаживания процессов на конечном интервале посредством фильтрации измерений в прямом и обратном времени, что обобщает известный стохастически-оптимальный двухфильтровый алгоритм сглаживания Мэйна - Фрезера на случай неопределенно-стохастических динамических систем.

В главе 5 изучается проблема минимаксного оценивания случайных элементов в сепарабельных гильбертовых пространствах. Построен минимаксный оператор оценивания на классе допустимых операторов, описываемых сходящимися последовательностями измеримых ограниченных преобразований наблюдаемого случайного элемента. Рассмотрена проблема построения конечномерных аппроксимаций минимаксной оценки, доказана сходимость последних к оптимальному решению. Приведены условия, при выполнении которых оператор минимаксного оценивания может быть получен явно. Указанные общие результаты были использованы для построения условно-минимаксного бесконечномерного нелинейного фильтра для гильбертовых случайных последовательностей в нелинейных бесконечномерных неопределенно-стохастических многошаговых системах и минимаксной стратегии управления в линейной бесконечномерной разностной системе управления. Рассмотрены также некоторые частные задачи: минимаксное и условно-минимаксное оценивание в бесконечномерных регрессионных моделях, метод статистической линеаризации для нелинейных систем в гильбертовых пространствах, минимаксное сглаживание траектории неопределенно-стохастической динамической системы по интегральному критерию, минимаксная фильтрация случайного процесса в стохастической дифференциальной системе с вырожденными шумами в канале наблюдения.

Глава 6 имеет прикладной характер и содержит результаты численной апробации описанных в главах 2-5 минимаксных алгоритмов идентификации, фильтрации и управления. В частности, рассмотрена проблема минимаксного оценивания закона движения ЛА по измерениям сложного траекторного комплекса радиотехнических измерительных средств в условиях априорной неопределенности. Предложены алгоритмы численного синтеза условно-минимаксных и оптимальных нелинейных фильтров для разностных и дифференциальных систем. Приведены результаты тестирования условно-минимаксных алгоритмов фильтрации и их сравнение с оптимальными и субоптимальными методами на задачах идентификации , оценивания и управления при наличии выбросов в канале наблюдения. Решена задача фильтрации и сглаживания параметров движения ЛА по результатам комплексных наблюдений. Рассмотрены результаты

16

применения минимаксных методов оценивания случайных элементов для непараметрической минимаксной обработки искаженного изображения.

В главе 7 подведены некоторые основные итоги и сформулированы перспективные направления дальнейших исследований в области минимаксных методов оценивания и оптимизации процессов в неопределенно-стохастических системах.

Основные результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором работы, апробированы на многочисленных научных симпозиумах, конференциях и семинарах и опубликованы в работах [201] - [230].

2. Минимаксное оценивание в неопределенно-стохастических

регрессионных моделях

В данной главе сформулирована и решена задача построения минимаксной оценки параметров многомерной линейной регрессионной модели в условиях неполной априорной информации о вероятностных характеристиках параметров и возмущений модели. Оцениваемыми параметрами модели могут быть как чисто неопределенные (детерминированные) векторы, так и случайные векторы с частично известными характеристиками. Исследованы асимптотические свойства минимаксных оценок, а также рассмотрена проблема их адаптации с целью повышения гарантированной точности оценивания.

2.1 Постановка задачи

Рассматривается многомерная неопределенно-стохастическая линейная регрессионная модель процесса наблюдения:

+ С2.1.0

где ив - неопределенный вектор (НВ) параметров модели;^е ^ - случайный вектор (СВ) параметров модели;«^ ¡рУ- СВ ошибок наблюдений (возмущений модели); - неопределенно-стохастический вектор (НСВ) результатов наблюдений; Н •' Кт н (¡^ ¡¡¡^ _ ИЗВестные линейные операторы.

Далее НСВ параметров модели (2.1.1) будем обозначать ^ =

Относительно случайных параметров модели ^ и шумов ^ будем предполагать следующее:

ЕЦ} & ^ и = £ {} е - известные векторы;

V* = £ £ »1 и у^ = стг[о;иГ/е иХ/ - неизвестные

ковариационные операторы.

ихп

Здесь и далее - пространство неотрицательно определенных самосопряженных операторов из К*1 в себя. Условие V е К» будем кратко записывать V'> 0 , а соотношение У* > У^ будет означать, что

Д Уг = У*-Уг>'0.

Предполагается, что Ч, 6 ^ и £ У^ ? где с

lio) £ , причем 3 C^-llj и Ved такие, что é С

и Ow ^ Q для V C^&U^ и V Qj£ ^о) . В остальном

множества ^ и Ко - произвольны. Таким образом, ограничения на ^ и можно представить в виде

> \r<l±Q для VVbZeV% (2.1.2)

где операторы С и Q принадлежат ÍR> и ^ , соответственно, и предполагаются известными.

В силу того, что С и Q могут быть вырожденными по условию, модель (2.1.1) является сингулярной и относится к классу обобщенных линейных моделей [132].

Истинные законы распределения СВ ^ и О - неизвестны, однако для простоты изложения будем считать, что Cov<[ £ (- ^ •

Существование максимальных элементов С и <9 - доввольно жесткое ограничение на ^ и К^ , однако в этом случае мы можем не накладывать каких-либо дополнительных ограничений на Щ и (типа выпуклости, замкнутости и др.)

Ниже через будем обозначать семейство (класс) всех вероятностных распределений Rt СВ У , удовлетворяющих условиям: Kyi^, = соб Г ^ » 1 ^ R - известный вектор;

г ь (2. 3")

Нами будет также рассмотрено ослабление ограничений (2.1.3) следующего вида: г с^Н)

где yS^ € ¡R» > ЬГсх> ~ К ^ " произвольные множества

операторов соответствующих размеров, ограничения на которые будут сформулированы в разделе 2.3.

Семейство всех распределений Fji СВ ^ , удовлетворяющих первому условию в (2.1.3) и условию (2.1.З7) будем далее обозначать S у.

Таким образом, далее предполагается, что СВ ^ стохастических параметров модели имеет распределение F^ такое, что к у. ь ^ или р^ €

Для описания НВ Ы в (2.1.1) будем использовать две следующие модели: Ш) вектор и является произвольным неограниченным детерминированным вектором: Ч - неизвестно, Уи = сятт^^^ - О .

112) вектор К является случайным вектором с неизвестным средним =

1 шхун ,

и неизвестной ковариацией € } ¡(V«. \\< .

Пусть ^ и % - классы всех распределений Гц вектора М , удовлетворяющих, соответственно, Ш) иШ). Очевидно, что^ч с?м, т.е. ограничения Ш) являются более слабыми.

Рассмотрим теперь итоговый НСВ К параметров модели

(2.1.1) с распределением . Введем следующие обозначения:

<Н> [ Г«* Г« > Г^^ }

Таким образом, мы имеем два множества неопределенности^ и Ц для НСВ параметров модели (2.1.1), которые далее будем называть классами (допустимых) распределений. Очевидно, что^ с Т^, т.е. класс ^ шире класса Аналогично, будем далее обозначать

г^т/ [ ^^ , РрЕ^

^еГ* [ Г*«?? , .

В этом случае также выполнено с^, однако заметим, что в общем случае и

в силу того, что на множества!^ иЦ^ накладываются далее ограничения

(выпуклость, компактность), которые необязательны для и из чего следует,

что ^ ^ Е ^ .

Рассмотрим теперь модель для оценивания НСВ X :

ос=Ац + В>з, (ы-ч)

гдехе- оцениваемый вектор; АЯ"4 и В; - известные

операторы.

Нашей задачей будет построение наилучшей в некотором смысле оценки для ¿с 4 (2.1.4) по наблюдениям (2.1.1).

Пусть Л - класс всех допустимых операторов оценивания (например, класс всех измеримых отображений ), а

х , те Л

- некоторая оценка для X по ^, где ¥ - оператор оценивания из класса Л . Точность оценки X будем характеризовать величиной среднеквадратического критерия ( с.к.-погрешностью):

где V оператор усреднения по распределению Fj , а 2е известная весовая матрица, - распределение НСВ ^ ,

Определение2.1.1 Оценка£=jr(^),?e/7 называется (Т^-оптимальной, если

y(t,Fs)* 5(tt,Fs) да V згеП.

Очевидно, ™ . обЩем случае Г буде, явно завись „ f? и, сле„<_но, для построения X необходима полная информация о распределении ( мы здесь исключаем из рассмотрения вырожденные случаи, когда существует равномерно по f~<? наилучшая оценках ). В рассматриваемом нами случае относительно ty известно лишь, что , Ит-^, и построение -оптимальной оценки X невозможно. Поэтому для решения поставленной задачи оценивания мы будем использовать следующий критерий оптимальности :

I(X?3J)= SU£ ЕЛ = su£ }(JT,FS) , Tfefl ,

где = > ' = ^ ^ •

Определение 2.1.2 Оценка XPiii^j, ЖьП называется (^Г(П) -минимаксной на классе Те ,если

I(T,TS) , Ч^П, (ИТ)

где ifoij) определено в (2.1.6).

Предположим, чтоХ=Л1^, Жt/7 существует, тогда

jr'örjwc« $и.р J(X, £) (2J.S)

Те П Fgt fi,

Те 11 ¡у e %

А

Г л

Величина! в (2.1.9) определяет гарантированную точность оценки X на классе Щ в силу того, что для выпсйнено J(V ,¡"5) - I . В данном случае X имеет

смысл верхней цены «игры двух лиц» с множеством стратегий П® Щ и платежной функцией ^ ^), ^ Л , Ц [12].

Для того, чтобы задача построения Ж была разрешимой, необходимо, чтобы класс операторов оценивания П обеспечивал выполнение условия идентифицируемости НСВ X по наблюдаемому НСВ ^ .

Определение 2.1.3 НСВХ П.-идентифицируем по ^ на классе 'Ц , если

ЗжеП ■ Хт^)«* . (2.М0)

Условие (2.1.10) означает, что найдется хотя бы один допустимый оператор оценивания такой, что значение минимаксного критерия оптимальности (2.1.6) будет конечным. Это означает, в частности, что для V ; ^ еЩ

выполнено условие и ^ ] < оо . Если же при заданных критерии и

классе допустимых распределений (2.1.10) не выполнено, то НСВ X не идентифицируем по и операторами оценивания из П .

а р

Обозначим через об пространство линейных отображений 1К К .

Определение 2.1.4 Оценка называется аффинной оценкой для X по если Те , где

щаЦек* ** , где } .

__ д

Если в (2.1.10)ЗГ , то мы будем говорить, что X - линейно идентифицируем по у .

Далее будут рассмотрены условия идентифицируемости X в модели наблюдения (2.1.1), (2.1.4) и построены минимаксные оценки для £ по ^ при различных предположениях об (у , П. и

2.2 Минимаксные оценки на классах распределении и % .

В данном разделе рассматриваются минимаксные оценки для X по ^ на классах распределении % и с использованием, соответственно, операторов аффинного оценивания о£Ди измеримого оценивания П . Далее мы будем обозначать Н - псевдоообратную по Муру-Пенроузу матрицу [1], ^ - оператор, сопряженный к ^ .

Теорема 2.1 Пусть^ их описываются (2.1.1), (2.1.4), Г^ , где с&£ [ к (и>] , и пусть выпонено условие

1/г

2АН4Н = 2А , (2.2.1)

тогда

^ X линейно идентифицируем по ^ ;

А „ -р!

2) 0 ДА) -минимаксная оценка х= Л6^ на классе распределений ^ имеет вид __

_ (2 2. 2-)

где У^УСТ+а , ^ = ;

3) для V & % выполнено:

^»АНЧХ-да + ВС^^^ >Л

4)для J(í,trs)¿ г - М2К] . Доказательство. Построим сначала -минимаксную оценку в предположении, что 2=1 и 1^=0.

1) Пусть выполнено (2.2.1), т.е. А ( Н+ Н ~ I)с 0 . Рассмотрим оценку X = А Н1"^ . Очевидно ^

А= = АН+Н« + + ^ •

а£>£-Х = А ~ (Дк+В|) " А(Н+Н-1)ц + (АН^^В -

» (ДН^-В)^ ,

так как

А(н+Н-1)и=0 для Уие«Г в силу (2.2.1).

ВЩахИ^ = ] в силу ¿ю .

Итак, ^ ) < 90 для Ь ~ А К и, следовательно, НСВ X линейно

идентифицируем по ^ .

2) Пусть теперь X - произвольная допустимая оценка для Л по ^ , т.е. - ) С^^е , • Покажем,что = А .

= где ,а

= е ) = I = £ (у), где 3Десь и далее р % + ^ •

Рассмотрим ошибку а X = х- х- оценки & - € (}}-) : А + , где ■

где в(« Ь (А'-€Н)*(А-е&). Отсюда В(Е)»0 и = *(е ) . Если

Ъ(1)+0 ,то№^1№1и Пусть ««АУ, А>о,

тогда {д*&(ё)и> и"В(г)и =:

ие (к"1

А>о А>о

Нотогда Sи.р Ff Su.p У*В^)и = <У09<УГКуда ^(е,^1) ,

что противоречит предположению о допустимости оценки .Итак,

. Таким образом, все допустимые операторы оценивания являются решениями уравнения

еН=А. (2.ХМ)

Таким образом, общий вид допустимого оператора I *

i = AH++br(L-HH+), (2..2S)

где V - произвольная матрица из *^ .

Из (2.2.4)следует, что Е * Е{&£} + Ei^-0 ,

таккак (А~1И)и -0 ПриУ«е^,а tltf - ~ Щ] =

- = 0 по условию 0 .

Из (2.2.5) следует, что класс допустимых линейных оценок 2с для X по ^ содержит только оценки вида

АН+у + } (гл.б)

Для построения X предположим, что где ^ = • Найдем оценку X из условия

Dc- агзппи. £{||jc-zCWti (1X1)

да)

где +W-(I-HK45f .

лх= x-x(W) -Дй+Bj -АН+р-Ш-НН+^АСЫ^и + Ъ^-АНу ~

-W^HH+jf, we С учетом (2.2.1)

где ^-АН*}- ?

^ А

Таким образом, задача построения 1 свелась к отысканию

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Панков, Алексей Ростиславович

7. Заключение

В диссертации разработаны методы идентификации, фильтрации и оптимизации процессов в неопределенно - стохастических системах управления. Особенность последних состоит в том, что относительно параметров моделей систем и процессов, протекающих в них, нет надежной априорной информации о необходимых вероятностных характеристиках. Указанный факт не позволяет применять в данном случае оптимальные методы оценивания и управления стохастическими системами. Для преодоления априорной неопределенности был использован минимаксный подход в сочетании с элементами адаптации. Непосредственное использование классических методов минимаксного статистического оценивания в контексте данной работы вызывает трудности в связи с тем, что параметры исследуемых моделей являются разнородными по своей природе (неопределенными, случайными, ограниченными и неограниченными и т.д.). Кроме того, сингулярность моделей предполагает возможность «превращения» параметров разных типов друг в друга (случайных - в неопределенные, ограниченных - в неограниченные). Развитая в работе техника позволила построить универсальные минимаксные оценки для неопределенно - стохастических линейных регрессионных моделей наиболее общего вида. Частично подхода, развитые дом конечномерных статических моделей, удалось перенести та модели в бесконечномерных пространствах, которые единообразно описывают как статические, так и динамические системы. Проведенные исследования показали, что успех в получении аналитических выражений для операторов минимаксного оценивания зависит не только от модели и класса априорной статистической неопределенности, но и от выбора критерия оптимальности. Так, например, аналитическое решение задачи минимаксной идентификации векторной неопределенно - стохастической регрессии с ограниченными неслучайными параметрами получено для нестандартного критерия качества оценивания: спектральной нормы матрицы моментов второго порядка ошибки оценивания. В диссертации также показано, что использование адаптивного подхода вместе с минимаксным позволяет существенно уменьшить объем необходимой априорной информации без потери точности оценивания за счет более эффективного использования имеющихся эмпирических данных.

Вторым важнейшим источником неопределенности является нелинейность исследуемых систем: даже в случае наличия полной информации о распределениях входных сигналов, распределения вероятностей выходных процессов остаются практически полностью неизвестными из-за чрезвычайно значительной сложности их вычисления в многомерном случае. В силу этого весьма естественной представляется попытка преодолеть указанную «структурную» неопределенность посредством использования минимаксного подхода. Указанная идея в диссертации была практически реализована в виде теории условно - минимаксной нелинейной фильтрации и управления. Соответствующие вычислительные алгоритмы достаточно просто реализуются на практике, причем они обладают рядом несомненных достоинств: гибкость, универсальность, нерасходимость процессов фильтрации, возможность прроведения основного объема расчетов в априорном режиме. Особо подчеркнем реальную возможность организации обработки информащш и формирования управления в реальном масштабе времени для многомерных нелинейных систем без использования линеаржаций, аппроксимаций и т.д. Важнейшей чертой разработанных методов условно - минимаксного оценивания и управления является их локальная оптимальность, что выгодно отличает указанные методы от субоптимальных методов.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) теория минимаксной параметрической идентификации многомерных линейных неопределенно - стохастических сингулярных регрессионных моделей;

2) методы адаптации минимаксных оценок параметров многомерных регулярных линейных регрессионных моделей общего вида.;

3) теория условно - минимаксной нелинейной фильтрации процессов в нелинейных разностных и дифференциально - разностных стохастических системах управления;

4) методы линейного минимаксного и нелинейного условно- минимаксного оценивания и управления в разностных линейных стохастических системах с негауссовскими возмущениями:

5) теория оптимальной фильтрации и сглаживания случайных процессов в линейных динамических системах с частично наблюдаемыми неопределенно - стохастическими входными воздействиями;

6) решение проблемы минимаксного оценивания случайных элементов со значениями в сепарабельных гильбертовых пространствах в условиях априорной статистической неопределенности/

7) совокупность вычислительных алгоритмов идентификации, фильтрации, сглаживания и оптимизации процессов для неопределенно - стохастических систем управления.

Проведенные теоретические исследования и практическая апробация полученных результатов позволяют сделать вывод о плодотворности использованных подходов, а также сформулировать некоторых перспективы дальнейших исследований по развитию теории минимаксной оптимизации сложных технических систем:

- распространение в полном объеме результатов, изложенных в главе 2, на бесконечномерные гильбертовы регрессионные модели;

- построение теории условно - минимаксной нелинейной фильтрации и управления на динамические системы, описываемые стохастическими уравнениями с мерой;

- разработка теории минимаксного оценивания для систем, описываемых уравнениями с неограниченными операторами ( эволюционные модели, системы с распределенными параметрами и др.);

- перенесение методов минимаксного оценивания на банаховы пространства;

- разработка теории и, особенно, прикладных методов восстановления искаженных изображений как в целом, так и их отдельных фрагментов (например, границ);

- создание теории минимаксного планирования эксперимента при исследовании процессов и полей в условиях априорной неопределенности;

- разработка комплекса алгоритмов робастной фильтрации процессов и полей по защумленным данным в условиях наличия аномальных и неинформативных наблюдений;

- исследование и разработка эффективных численных методов решения задач оптимизации, возникающих в связи с поиском параметров оптимального в минимаксном смысле оператора оценивания и/или стратегии управления;

- дальнейшее расширение спектра критериев минимаксного оценивания, приводящих к практически реализуемым методам оценивания и оптимизации (желательно, регулируемого уровня сложности);

- поиск экстремальных распределений (или алгоритмов их численного определения) на отличных от рассмотренных в работе классах распределений;

- создание эффективных численных методов для практического построения оценок неопределенно - стохастических бесконечномерных случайных и неопределенных элементов;

- разработка теории минимаксно - адаптивного оценивания и управления для конечномерных динамических и статических бесконечномерных моделей.

Решение вышеперечисленных проблем представляется вполне реальным в обозримом будущем, а его практическая реализация существенно продвинула бы как теорию минимаксной оптимизации неопределенно - стохастических систем, так и расширила область обоснованного применения статистических методов для принятия решений и формирования процессов управления в условиях априорной неопределенности, наличие которой является типичным как в технических, так и в биологических, социальных, экономических и других сложных системах.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Панков, Алексей Ростиславович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

2. Александров В.М. Минимаксный подход к решению задачи обработки информации// Изв. АН СССР, Техн. киберн., 1966, № 5, с. 124-136.

3. Ананьев Б.И. Гарантированное оценивание статистически неопределенных систем и задачи коррекции движения // Диссертация д.ф.-м.н., УРО АНСССР, Свердловск, 1990.

4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.

5. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.

6. Балакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

7. Барабанов А.Е. и др. Адаптивная фильтрация при неизвестной интенсивности возмущений и шумов измерений// АиТ, 1992, № И, с. 93.

8. Басин М.В., Орлов Ю.В. Гарантированное оценивание линейных динамических систем по дискретно-непрерывным наблюдениям// АиТ, 1992, № 3.

9. Бахшиян Б.Ц., Назиров Р.Р., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М. :Наука, 1980.

10. Бахшиян Б.Ц., Соловьев В.Н. Применение теоремы двойственности к задаче оптимального гарантирующего оценивания //Космич. исслед.,1990, т.90, № 2.

11. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер.М.: Наука, 1977

12. Боровков А. А. Математическая статистика (дополнительные главы).М.: Наука, 1984.

13. Босов A.B. Фильтрация, идентификация и управление в системах случайной структуры // Диссертация к.ф.-м.н., МАИ, 1997.

14. Босов A.B., Панков А.Р. Алгоритмы управления для дискретных систем случайной структуры // АиТ, 1997, № 10, с.113-125,

15. Вальд А. Статистические решающие функции.-В кн. Позиционные игры. М.:Наука, 1967.

16. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным.М.: Наука, 1979.

17. Виноградов В.Н., Голубев Г.А. Приближенное решение задачи нелинейной рекуррентной фильтрации процессов с дискретным временем по расширенному фильтруемому и наблюдаемому процессам // Изв. АН СССР, Техн. киберн., 1989, № 2.

18. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры.М.: Наука, 1978.

19. Голубев Г.А . Минимаксная линейная фильтрация динамических процессов с дискретным временем // АиТ, 1984, № 2, с. 72-81.

20. Голубев Г.А. Синтез минимаксных линейных фильтров по локальному и интегральному критериям // АиТ, 1988, № 4, с. 53-62

21. Голубев Г.А. , Муравлев В.Ф., Писарев О.В. Линейная рекуррентная фильтрация динамических процессов с дискретным временем при частичной информации о возмущающих процессах// АиТ, 1989, № 12, с. 49-59.

22. Голубев Г.А. , Муравлев В.Ф., Писарев О.В. Синтез минимаксных линейных фильтров минимальной размерности для динамических процессов с дискретным временем // АиТ, 1991,№ 4.

23. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений.М.: Изд-во МГУ, 1983.

24. Гришин Ю.П., Казаринов Ю.М. Динамические системы, устойчивые к отказам.М.: Радио и связь, 1985.

25. Гусев М.И. О структуре оптимальных минимаксных оценок в задачах гарантированного оценивания //ДАН СССР, 1992, т.322, № 5, с.832-835.

26. Гусев М.И. Оптимальность линейных алгоритмов в задачах гарантированного оценивания// Изв. АН СССР, Техн. киберн., 1994, №> 3, с.87-95.

27. ДанфордН., Шварц Дж. Линейные операторы. М.: ИЛ, 1962.

28. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии.М.:Финансы и статистика, 1981.

29. Демин Н.С., Жадан Л.И. Некоторые адаптивные варианты фильтра Калмана-Бьюси для дискретных систем // Адаптация и обучение в системах управления и принятия решений. Новосибирск: Наука, 1982.

30. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. М.: Наука, 1984.

31. Егорова Н.Ю., Фарбер В.Е. Задача нелинейной фильтрации в условиях наличия аномальных измерений // Изв. РАН, Теория и системы управления, 1995, № 2.

32. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента. М. .Наука, 1987.

33. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование.М.: Наука, 1982.

34. Ершов A.A. Стабильные методы оценки параметров (обзор) // АиТ, 1979,№ 8, с.66-100.

35. Ершов A.A., Липцер Р.Ш. Робастный фильтр Калмана в дискретном времени // АиТ, 1978, №> 3, с. 60-69.

36. Зверев А.И., Кибзун А.И., Малышев В.В. Обобщенный минимаксный подход в задаче оценивания// Изв. АН СССР, Техн. киберн., 1986, № 4.

37. Ибрагимов И. А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания.М.:Наука, 1977.

38. Казаков И.Е. О гауссовской аппроксимации при оптимизации управления в стохастической нелинейной системе // Изв. РАН, Технич. киберн., 1992, № 6.

39. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука, 1980.

40. Казаринов Ю.Ф., Фомин В.Н. Линейно-квадратическая задача стохастического управления // АиТ, 1990, № 8 (чЛ), 1992, № 5 (ч.2).

41. Кан Ю.С., Кибзун А.И. Стабилизация динамической системы, находящейся под действием неопределенных и случайных воздействий//АиТ, 1990, № 12, с. 75-84.

42. Кац И.Я. Минимаксно-стохастические задачи оценивания в многошаговых системах // Оценивание в условиях неопределенности. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с.43-59.

43. Кац И.Я. Асимптотические свойства информационных множеств в задаче минимаксно-стохастической фильтрации // Эволюционные системы в задачах оценивания. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987, с.31-37.

44. Кац И.Я., Тимофеева Г. А. Модифицированный метод невязки в статистически неопределенной задаче оценивания // АиТ, 1994, № 2, с. 100-109.

45. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксное оценивание в многошаговых системах //ДАН СССР, 1975, т.221, № 3, с. 535-538.

46. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях//АиТ, 1978, № 11, с. 7-9.

47. Кириченко Н.Ф., Наконечный А.Г., Навродский В.А. Минимаксные рекуррентные оценки параметров динамических систем // ДАН УССР, 1978, № 11, с.1021-1026.

48. Колмановский В.Б., Матасов А.И. Об оценке точности приближенного метода решения минимаксных задач фильтрации в системах с запаздыванием // Докл. РАН, 1994, т.339, № 1, с. 37-39.

49. Колмановский В.Б., Матасов А.И. Об одном приближенном методе решения минимаксных задач фильтрации в системах с последействием // АиТ, 1996, № 6, с. 125147.

50. Коростелев А.П. Минимаксная фильтрация траектории динамической системы, зависящей от непараметрического сигнала // АиТ, 1989, № 9, с. 89-96.

51. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

52. Куржанский А.Б Задача ццентификации: теория гарантирующих оценок (обзор) // АиТ, 1991, № 4, с. 3-26.

53. Куркин О.М., Коробочкин Ю.Б., Шаталов С.А. Минимаксная обработка информации. М.: Энергоатомюдат, 1990.

54. Кушнер Г. Дж. Вероятностные методы аппроксимации в стохастических задачах управления и теории эллиптических уравнений. М.: Наука, 1985.

55. Лебедев А.А., Бобронников В.Т., Красильщиков М.Н., Малышев В.В. Статистическая динамика и оптимизация управления ЛА //М.: Машиностроение, 1985.

56. Левчук О.В., Федотов А.М. Построение минимаксных решений линейных некорректных задач со случайными ошибками в данных // ЖВМ и МФ. 1988, т.28, № 6, с. 825-834.

57. Леондес К.Т. Фильтрация и управление в динамических системах.М.: Мир, 1980.

58. Лившиц Н.А., Фарбер В.Е., Шапиро Е.И. Решение задачи нелинейной фильтрации при наличии аномальных и неинформативных результатов измерений// Радиотехн. и электрон., 1984, № 7, с. 1362-1367.

59. Лидов М.Л. К задачам гарантирующего оценивания // Космич. исслед., 1991, т.29, №6.

60. Лидов М.Л. Алгоритм оценивания параметров движения в задаче с немоделируемыми ускорениями //ДАН СССР, 1988, т.ЗОО, № 1.

61. Лидов М.Л., Бахшиян Б.Ц., Матасов А.И. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания (обзор) // Космич. исслед., 1991, т.29, № 5.

62. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

63. Льюнг Л. Идентификация систем. М. :11аука, 1991.

64. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами.М.: Машиностроение 1987.

65. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдений и управления летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1989.

66. Матасов А.И. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантированного оценивания // Космич. исслед., 1988, т.26, № 5 (ч. 1), № 6 (ч.2).

67. Матасов А.И. Об априорной точности метода наименьших квадратов в задачах гарантированного оценивания // Космич. исслед., 1990, т.29, № 1 (ч. 1), № 2 (ч.2).

68. Мелас М.Б. О выборе плата эксперимента и метода оценивания при наличии априорных сведений о параметрах.- В кн. Математичесие методы планирования эксперимента. Новосибирск: Наука, 1981, с. 155-173.

69. Мудров В.И., Кушко В. Л. Методы обработки измерений.М. .Радио и связь, 1983.

70. Назин А.В. Информационный подход к задачам оптимизации и адаптивного управления дискретными стохастическими системами // Диссертация д.ф.-м.н., ИЛУ РАН, 1995.

71. Наконечный А.Г. Минимаксные оценки параметров // Вычислительная и прикладная математика, вып. 39. Киев: Изд-во КГУ, 1979, с. 17-24.

72. Наконечный А.Г. Минимаксная оценка состояний линейных стохастических систем // Теор. вероятн. и примен., 1978, № 2.

73. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариационных уравнений в гильбертовых пространствах. Киев: Изд-во КГУ, 1989,83с.

74. Наконечный А.Г., Жиров А.Л. Минимаксное оценивание решений линейных операторных уравнений при нестационарных наблюдениях // Вестник КГУ, 1990, № 9.

75. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1972.

76. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.

77. Пакшин П.В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. М.: Физматлит, 1994.

78. Пантелеев А.В., Семенов В.В. Синтез оптимальных систем управления при неполной информации.М.: Изд-во МАИ, 1992.

79. Пантелеев А.В. Построение нелинейных управляемых фильтров минимальной размерности //Новые методы высокоточного оценивания и управления, МАИ, 1986.

80. Пантелеев А.В. Синтез субоптимальных нелинейных управляемых фильтров минимальной размерности//Изв. вузов, сер.Приборостроение, 1986, № 11.

81. Позняк А.С. Робастное управление нестационарными бесконечномерными системами// АиТ, 1997, № 10, с. 134-153.

82. Покотило В.Г. Оптимальные измерители и асимптотические свойства минимаксных оценок // Диссертация д.ф.-м.н., ИК АН Украины,1992.

83. Пугачев B.C. Рекуррентное оценивание переменных и параметров в стохастических системах, описываемых разностными уравнениями // ДАН СССР, 1978, т. 243, № 5.

84. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979.

85. Пугачев B.C. Стохастические дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с базисом //ДАН, 1995, т.342, № 5, с.592-595.

86. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы.М.: Наука, 1990.

87. Пугачев B.C., Синицын И.Н, Шин В.И. Проблемы анализа и условно-оптимальной нелинейной фильтрации в реальном масштабе времени процессов в нелинейных системах// АиТ, 1987, № 12, с.З - 24.

88. Пытьев Ю.П. Математические методы интерпретации эксперимента. М.: Высшая школа, 1989.

89. Пытьев Ю.П. Псевдообратный оператор. Свойства и применение // Мат. сборн., 1982, т. 118, № 1, с. 19-49.

90. Пытьев Ю.П. Методы редукции измерений в гильбертовых пространствах // Мат. сборн., 1985, т. 126, № 4, с. 543-565.

91. Пытьев Ю.П. К теории измерительно-вычислительных систем минимаксного типа // Мат. моделирование, 1991, т.З, № 10, с. 65-79.

92. Пытьев Ю.П. К теории нелинейных измерительно-вычислительных систем // Мат. моделирование, 1992, т.4, № 2, с. 76-94.

93. Рао С. Линейные статистические методы и их применение.М. :Наука, 1968.

94. Руденко Е.А. Оптимальная структура нелинейных фильтров конечного порядка. Препринт М.: Изд-воМАИ, 1989.

95. Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления .М.: Наука, 1980.

96. Семенов В.В. и др. Методы описания, анализа и синтеза нелинейных систем управления.М.: Изд-во МАИ, 1993.

97. Синицын И.Н. Методы статистической линеаризации (обзор) //АиТ, 1974, № 5, с.74-94.

98. Соловьев В.Н. Двойственные алгоритмы оптимального гарантирующего оценивания и усеченный метод наименьших квадратов//Космич. исслед.. 1994, т.32, № 1, с.3-11.

99. Соловьев В.Н. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантирующего оценивания при наличии случайных ошибок измерений// Космич. исслед., 1995, т.ЗЗ, № 2, с.122-124.

100. Соловьев В.Н. Минимаксно-байесовское оценивание на классах распределений с ограниченными вторыми моментами // Успехи мат. наук, 1995, № 1, с. 171-172.

101. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике.М.: Наука, 1976.

102. Тихонов А.Н., Арсении В.Я. Методы решения некорректных задач.М. : Наука, 1979.

103. Тихонов А.Н., Уфимцев М.В. Статистическая обработка результатов экспериментов //Изд-во МГУ, 1988.

104. Успенский А.Б. Обратные задачи математической физики - анализ и планирование экспериментов.- В кн. Математичесие методы планирования эксперимента. Новосибирск: Наука, 1981, с. 199-242.

105. Фарбер В.Е. Сравнительный анализ форм записи квазиопгамальных алгоритмов фильтрации при наличии аномальных и неинформативных результатов измерений// Изв. АН СССР, Техн. киберн., 1992, № 35 с.71-77.

106. Фетисов В.Н. Аппроксимация случайного процесса процессом авторегрессии в задачах стохастического управления // АиТ, 1983, № 4, с. 94-98.

107. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами.М.: Наука, 1978.

108. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация.М.: Наука, 1984.

109. Хеннан Э. Многомерные временные ряды.М. '.Наука,1979.

110. Хубер П. Робастность в статистике.М.: Мир, 1984.

111. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации.М.: Наука, 1984.

112. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов.М.: Наука, 1988.

113. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1986.

114. Шапиро Е.И. Стабильное решение задачи нелинейной фильтрации при негауссовских ошибках измерений// Изв. АН СССР, Теш. киберн., 1984, № 4, с. 127133.

115. Ширяев А.Н. Вероятаость.М.: Наука, 1980.

116. Ahmed N.U. Optimization and identification of systems governed by evolution equations on Banach spaces.- London: Longman Scientific and Technical, 1989.

117. Ahmed N.U., Xiang X. Optimal control of infinite-dimensional uncertain systems // ЮТА, 1994, v.80, n.2, pp. 261-272.

118. Aihara S.I. Regularized maximum likelihood estimate for an infinite-dimensional parameter in stochastic parabolic systems // SIAM J. Contr. Optimiz, 1992, v.30, n.4, pp. 745-764.

119. Aihara S.I. Maximum likelihood estimate for discontinuous parameter in stochastic hyperbolic system // Acta Applicandae Mathematicae, 1994, v.35, pp. 131-151.

120. Anan'ev B.I., Kurzhanskii A.B. The nonlinear filtering problem for a multistage system with statistical uncertainty // Proceed. 2-d IF AC Symp. on Stochast.. Contr.- Oxford: Pergamon Press, 1987.

121. Anderson B.D.O., Moor J.B. Optimal filtering. -New Jersey.: Prentice Hall, 1989.

122. Bagchi A., Borkar V. Parameter identification in infinite dimensional linear systems // Stochastics, 1984, v.12, pp. 472-486.

123. Bar-Shalom Y., Birmiwal K. Variable dimension filter for maneuvering target tracking// IEEE Trans., v. AES-18,1982, pp.621-629.

124. Barton R. J., Poor H.V. An RKHS approach to robust estimation and signal detection // IEEE Trans. Inform. Theoiy, 1990, v. IT-36, pp. 485-501.

125. Basar Т., Bernhard P. Нда -optimal control and related minimax design problems. A game theoretic approach.- Boston: Birkhauser, 1991.

126. Belitser E. Minimax estimation in regression and random censorship models // PhD Thesis, Universiteit Utrecht, 1997.

127. Benes V.E. Exact finite-dimensional filters in discrete time // Stochastics, 1981, v. 5, pp. 65-92.

128. Bensoussan A. Stochastic control by functional analysis methods- Amsterdam: North-Holland, 1982.

129. Bensoussan A., DaPrato G., Delfour M.C., Mitter S.K. Representation and control of infinite dimensional systems- Boston: Birkhauser, 1992.

130. Bogler P.L. Tracking a maneuvering target using input estimation // IEEE Trans., v.AES-23, 1987, pp.298-310.

131. Butov A.A. Optimal linear filtering with degenerate observation noise // Autom. Rem. Contr., 1980, v.41, pp. 1506-1511.

132. Catlin D. Estimation of random states in general linear models // IEEE Trans. Autom. Contr., 1991, v. AC-36, n.2, pp. 248-252.

133. Chan Y.T. et a!. A Kaiman filter based tracking scheme with input estimation // IEEE Trans., v. AES-15, 1979, pp.237-244.

134. Cowan C.F.N., Grant P.M. Adaptive filters.- New Jersey.: Prentice Hall, 1985.

135. Curtain R.F., Pritchard A.J. Infinite dimensional linear system theory. - N.-Y.: Springer Verlag, 1978.

136. Dai Pra P. A general approximation method for discrete-time nonlinear filtering problems // Bolletino UMI, 1988, v. 7-3-B, pp. 831-858.

137. Daum F.E. Exact finite-dimensional nonlinear filters //IEEE Trans. Autom. Contr., 1986, v. AC-31, n.7.

138. Davis M.H.A., Marcus S.I. An introduction to nonlinear filtering // Stoch. Systems: the mathematics of nonlinear filtering and identification.- Dordrecht: D.Reidel, 1981, pp. 15651572.

139. Di Mazi G.B., Runggaldier W.J. Piesewise linear stochastic control with partial observations // Appl. Stochast. Anal./ M.H.A. Davis, R.J.Elliott (eds.), 1991, p. 215-235.

140. Elliott R.J. A general recursive discrete time filter // J. Appl. Prob., 1993, v.30, pp.575588.

141. Elliott R.J., Moore J.B. Discrete-time partially observed control I I Proceed. 12-Th. IF AC World Congress, Sydney, 1993, v. 1.

142. Elliott R. J., Lakhdar A. Estimation for discrete Markov random fields, observed in gaussian noise // IEEE Trans. Inform. Theory, 1994, v. ГГ-40, n.5, pp.1600-1603.

143. Germani A.L., Piccioni M, Galerkin approximation for optimal linear filtering of infinite dimensional linear systems // SIAM J. Contr. Optimiz., 1988, v.29, n.6, pp. 1287-1305.

144. Goodvin G., Sin K. Adaptive filtering, prediction and control.- New Jersey.: Prentice Hall, 1984.

145. Haggan V„, Ozaki T. Modeling non-linear random vibrations using an amplitude dependent autoregressive time series model // Biometrica, 1981, v.68, n.l.

146. Hazewinkel M., Marcus S.I., Sussman H.J. Nonexistence of finite-dimensional filters for conditional statistics of the cubic sensor problem // Syst. Contr. Letters, 1983, v. 3, pp. 331-340

147. James M.R., Baras J.S., Elliott RJ. Risk-sensitive control and dynamic games for partially observed discrete-time systems // IEEE Trans. Autom. Contr., 1994, v. AC-39, n.4, pp. 780792.

148. James M.R., Baras J.S., Elliott RJ. Optimal feedback risk-sensitive control and differential games for continuous-time nonlinear systems // Proceed. 32-ND IEEE CDC, 1993.

149. James W., Stein C. Estimation with quadratic loss // Proceed. 4-Th. Berkley Symp. UCP,

150. Kassam S.A., Poor H.V. Robust techniques for signal processing: a survey // Proceed. IEEE, 1985, v. 73, pp. 433-481.

151. Korostelev A.P. Minimax reconstruction of two-dimensional images // Theor. Prob. Appl., 1991, v.36, pp. 153-159.

152. Kreiss J.-P. On adaptive estimation in stationary ARMA processes// Ann. Statist., 1987, v.15, n.l, pp. 112-133.

153. Kumar P.R., Varaiya P. Stochastic systems: estimation, identification and adaptive control-New Jersey : Prentice Hall, 1986.

154. Kurzhanskii A.B., Hapalov A.Yu. On the state estimation problem for distributed systems //Lect. Notes Contr.& Inform Sci., 1986, v.83, pp.102-113.

155. Kurzhanskii A.B., Tanaka M. On a unified framework for deterministic and stochastic treatment of identification problems.-Laxenburg: ILASA, 1989, WP-89-013.

156. Lim S.S., Farooq M. Maneuvering target tracking using jump processes // Proceed. 30-Th. IEEE CDC, Brighton, UK, 1991, v.2, pp. 2049-2054.

157. Limebeer D.J.N., et al. A game theoretic approach to Над control for time vaiying systems // SIAM J. Contr. Optimiz., 1992, v. 30, pp. 262-283.

158. Ljung L. Issues in system identification // Linkoping University, Report Lith-ISY-1-1125, 1991.

159. Miller B.M., Rubinovich E.Ya. Regularization of a generalized Kalman filter // Math. Сотр. Simul., 1995, v.33, pp.87-108.

160. Matasov A.I. The Kalman-Bucy filter accuracy in the guaranteed parameter estimation problem with uncertain statistics// IEEE Trans Autom.Contr., 1994, v. AC-39, n.3, pp. 635-640.

161. Matasov A.I. Guaranteed sensitivity of the Kalman filter to uncertainty in noise intensities // Proceed. 3-d Europ. Contr. Confer., 1995, v.3, pp.2144-2148.

162. McAulay R.J., Denlinger E.J. A decision-directed adaptive tracker // IEEE Trans., v. AES-9, 1973, pp.229-236.

163. Martin C., Mintz M. Robust filtering and prediction for linear systems with uncertain dynamics: a game-theoretic approach // IEEE Trans. Autom. Contr., 1983, v. AC-28, n.4, pp. 888-896.

164. Masrelies C., Martin R. Robust Bayesian estimation for the linear model and robustifying the Kalman filter // IEEE Trans. Autom. Contr., 1977, v. AC-27, n.6, pp. 361-371.

165. Mayne D.Q. A solution of the smoothing problem for linear dynamic systems // Automatica, 1966, v.4, n.l, pp.73-92.

166. Moorman M. J., Bullock Т.Е. Mathematical analysis of bias in the extended Kalman filter //Proceed. 30-Th. IEEE CDC, Brighton, UK, 1991, pp. 2733-2737.

167. Morris J.M. The Kalman filter: a robust estimator for some classes of linear quadratic problems // IEEE Trans. Inform. Theory, 1976, v. ГГ-22, n.3, pp.526-534.

168. Nagpal K.M., Khargonekar P.P. Filtering and smoothing in IIсо setting // IEEE Trans. Autom. Contr., 1991, v. AC-36, pp. 152-166.

169. Nashed Z.(ed.) Generalized inverses and its applications.- N.-Y.: Academic Press, 1976.

170. Pardoux E., T'alay D. Discretization and simulation of stochastic differential equations //Acta. Appl. Mathem., 1985, v.23, n.3, pp.23-47.

171. Pritchard A.J., Salamon D. The linear quadratic control problem for infinite dimensional systems with unbounded input and output operators // SIAM J. Contr. Optimiz., 1987, v.25, n.l, pp. 121-144.

172. Pyt'ev Yu.P. Measurement computer systems of superhigh resolution // Pattern Recogn. Image Anal., 1991, v. 1, n.l, pp.54-76.

173. Rao A.R., Huang Y.-F. Recent developments in optimal bounding ellipsoidal parameter estimation//Math.Comp. Simul., 1990, v.32, pp. 515-526.

174. Rao T.S., Yar M. Linear and nonlinear filters for linear but not Gaussian processes //Intern. J. Contr., 1984, v. 39, n. 1.

175. Raol S.R., Sinha N.K. Conditionally optimal state estimation for systems, governed by differential equations // Canadian Electr. Engin. J., 1987, v. 12, n. 2.

176. Risken E. The Fokker-Plank equation.-Berlin: Springer Verlag, 1984.

177. Rubinovich E.Ya. Minimax generalized linear quadratic stochastic control problem with incomplete information // Proceed. 3-d Int. IFAC Workshop SSPCS-97, 1997.

178. Savkin A., Petersen I.R. Minimax optimal control of uncertain systems with structured uncertainty//Int. J. Robust. Nonlinear Contr., 1995, v.5, n.2, pp. 119-137.

179. Sawitzski G. Finite dimensional filter systems in discrete time // Stochastics, 1981, v. 5, pp. 107-114.

180. Sclove S.L. Improved estimators for coefficients in linear regression // JASA, 1968, v. 63, n. 332.

181. Shaikhet L.E., Shafir M.L. Linear filtering of solutions of stochastic integral equations in non-gaussian case // Probl. Contr. Inform. Theoiy, 1989, v. 18, n.6, pp. 421-434.

182. Soloviov V.N. Minimax estimation and the least squares method // Stochastics and stoch. reports, 1993, v. 42, pp. 209-223.

183. Spall J.C. (ed.) Bayesian analysis of time series and dynamic models, N.-Y.: Marcel Dekker, 1988.

184. Takeuchi Y., Akhashi H. Nonlinear filtering formulas for discrete-time observations // SLAM J. Contr. Optimiz., 1981, v.19, pp. 244-261.

185. Toutenburg H. Prior information in linear models. Chichester: J.Wiley & Sons, 1984.

186. Vande Linde V.D. Robust properties of solutions to linear-quadratic estimation and control problems//IEEE Trans. Autom. Contr., 1977, v. AC-22, n.l, pp. 138-139.

187. Verdu S., Poor H.V. Minimax linear observers and regulators for stochastic systems with uncertain second-order statistics /ЛЕЕЕ Trans.Autom.Contr., 1984, v. AC-29, n.6, pp.499-510.

188. Verdu S., Poor H.V. On minimax robustness: a general approach and applications// IEEE Trans. Inform. Theoiy, 1984, v. IT-30, pp. 328-340.

189. Wall J.E., Willsky A.S., Sandell NR. On the fixed interval smoothing problem // Stochastics, 1981, v.5, n.l, pp.1-42.

190. Wegman E., Write I. Splines in statistics // JASA, 1983, v.78, pp.351-366.

191. Widrow В., Stearns S.D. Adaptive signal processing.- New -Jersey.: Prentice Hall, 1985.

192. Yang J., Kushner H. A Monte-Carlo method for sensitivity analysis and parametric optimization of nonlinear stochastic systems // SIAM J. Contr. Optimiz., 1991, v.29, n.5, pp. 1216-1249.

193. Yaz E. Linear state estimators for non-linear stochastic systems with noisy non-linear observations // Int. J. Contr., 1988, v. 48, n. 6, pp. 2465-2476.

194. Yaz E. Minimax control of discrete nonlinear stochastic systems with noise uncertainty // Proceed. 30-Th. IEEE CDC, Brighton, UK, 1991, pp. 1815-1816.

195. Yaz I., Вакке V., Yaz E. Receding window observer and dynamic feedback control of discrete infinite-dimensional systems // Proceed. 30-Th. IEEE CDC, Brighton, UK, 1991, pp. 3031-3032.

196. Miller B.M., Runggaldier W.J. Optimization of observations: a stochastic control approach it SIAM J. Contr. Optimiz., 1997, v.35, n.3, pp. 1030-1052.

197. Брандин B.H., Васильев A.A., Худяков С.Г. Основы экспериментальной космической баллистики. М.: Машиностроение, 1978.

198. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений.М.: Сов. радио, 1978.

199. Кашьяп Р.Л., Pao А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука, 1983.

200. Паратасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры.М.: Мир, 1983.

201. Панков А.Р. Оптимизация алгоритмов оценивания параметров стохастических систем в условиях неопределенности // АиТ, 1985, № 7.

202. Панков А.Р. Параметрическая идентификация регулярной компоненты векторного нестационарного случайного процесса // Тр. 2-й Всесоюзню конф. по перспект. методам анализа и планир. экспер., Севастополь, 1985.

203. Панков А.Р. Методы идентификации регрессионных моделей в условиях неопределенности // В кн. Задачи стохаст. управл. М.: Изд-во МАИ, 1986.

204. Pankov A.R., Skuiidin А.М. Data processing ander a'priory statistical uncertainty //Proceed. 2-d IF AC Symp. on Stochast. Contr.- Oxford: Pergamon Press, 1987.

205. Панков A.P., Борисов A.B. Фильтрация для систем с неизвестным управлением // В кн. Непараметр, метода в киберн. и информ. - Томск: ТГУ, 1990.

206. Панков А.Р. Рекуррентное оценивание траекторий динамических систем с помощью регрессионных нелинейных фильтров // В кн. Статист, методы в теории управл. JIA. -М.: Изд-во МАИ, 1990, с.45-53.

207. Панков А.Р. Синтез условно-минимаксных фильтров дом нелинейных стохастических систем методом моделирования // Тр. 3-й Всесоюзн. школы-семин. Динамика , управление полетом и исслед. операций, Клин, 1990.

208. Борисов A.B., Панков А.Р., Сотский Н.М. Фильтрация и сглаживание в неопределенно-стохастических системах с частично наблюдаемыми входными воздействиями // АиТ, 1991, № 3.

209. Панков А.Р., Борисов A.B., Сотский Н.М. Методы и алгоритмы оптимального оценивания состояний неопределенно-стохастических систем. Препринт.-М.:Изд~во МАИ, 1991.

210. Панков А.Р. Условно-минимаксная фильтрация процессов в нелинейных стохастических системах // В кн. Управление нелинейными системами, вып. 4.-М.: Изд-во ВНИИСИ АНСССР, 1991, с.40-49.

211. Панков А.Р., Борисов A.B. Оптимальная фильтрация в неопределенно-стохасгаческих системах с частично наблюдаемыми входными воздействиями // Автоматика, 1991, К» 6.

212. Pankov A.R., Borisov A.V. Optimal signal processing for uncertain - stochastic systems // Proceed. 30-th IEEE CDC, Brighton, UK, v.3,1991.

213. Pankov A.R., Borisov A.V. Process estimation in uncertain-stochastic systems // Adv. Model. Anal., C, v.32, n.l, 1992, pp. 1-12.

214. Борисов A.B., Панков A.P., Сотский H.M. Минимаксное оценивание в линейных дифференциальных неопределенно-стохастических системах // АиТ, 1992, № 4, с.57-63.

215. Панков А.Р. Рекуррентная условно-минимаксная фильтрация процессов в разностных нелинейных стохастических системах// Изв. АН СССР, сер.Технич. киберн., 1992, Jfe 3, с.63-70.

216. Панков А.Р., Босов A.B. Робастное рекуррентное оценивание процессов в стохастических системах // АиТ, 1992, № 9, с. 102-109.

217. Pankov A.R. Conditionalfy-minimax nonlinear filter for differential system with discrete observations // Adv. Model. Anal., B, v.28, n.l, 1993.

218. Панков A.P. Стратегии управления в линейной стохастической системе с негауссовскими возмущениями // АиТ, 1994, № 6, с. 74-83.

219. Pankov A.R., Bosov A.V. Conditionally-minimax algorithm of nonlinear system state estimation //IEEETrans. Autom. Contr., 1994, v. AC-39, n.8, pp. 1617-1620.

220. Pankov A.R., Borisov A.V. Optimal filtering in stochastic discrete-time systems with unknown inputs // IEEE Trans. Autom.Contr., 1994, v. AC-39, n.12, pp.2461-2464.

221. Pankov A.R., Borisov A.V. A solution of the filtering and smoothing problems for uncertain-stochastic dynamic systems // Int. J. Contr., 1994, v. 60, n.3, pp. 413-423.

222. Панков A.P., Борисов A.B. Минимаксные процедуры статистического оценивания в гильбертовых пространствах // Докл. РАН, 1995, т.345, № 6, с. 727-729.

223. Borisov А.V., Pankov A.R. Minimax statistical estimation procedures in infinite dimensional spaces // Proceed. IF AC Conf. System Structure aid Contr., Nantes, France, 1995, pp. 49-54.

224. Панков A.P., Босов A.B. Конечномерные алгоритмы оценивания состояний нелинейных стохастических систем // Вестник МАИ, 1995, т.2, вып. 2, с. 44-51.

225. Borisov А.V., Pankov A.R. Conditionally-mimmax filtering for infinite-dimensional nonlinear stochastic systems // Proceed. 3-d Europ.Control Conf., Roma, Italy, 1995, v.3, pp.2154-2158.

226. Borisov A.V., Pankov A.R. Conditionally-minimax filtering and control in infinite dimensional stochastic systems // Proceed. 34-Th IEEE CDC, New Orleans, USA, 1995, v.l, pp. 87-92.

227. Босов A.B., Панков A.P. Алгоритмы управления в системах с перключающимися каналами наблюдения // Изв. РАН, сер. Теория и сист. управл., 1996, № 2, с. 98-103.

228. Борисов А.В., Панков А.Р. Проблемы минимаксного оценивания случайных элементов в гильбертовых пространствах // АиТ, 1996, № 6, с. 61-76.

229. Босов А.В., Панков А.Р., Овсянко Д.Е. Алгоритмы нелинейной фильтрации процессов в линейных системах случайной структуры // Космич. исслед., 1996, т.34, №6, с. 641-650.

230. Pankov A.R., Bosov A.V. Recursive estimation in nonlinear discrete-continuous stochastic systems//Proceed. 3-d IFAC Intern. Workshop SSPCS-97, 1997, pp. 150-152.