Математическое моделирование колебательных процессов под воздействием пространственно-временного шума тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Юрьева, Екатерина Викторовна

• Юрьева, Екатерина Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юрьева, Екатерина Викторовна

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Модели, описываемые дифференциальными уравненими гиперболического типа с пространственно-временным шумом.

1.2 Модели, описываемые дифференциальными уравнениями гиперболического типа с шумом, сконцентрированным на гиперплоскости

1.3 Моделирование решений уравнений в частных производных первого порядка с многомерным симметричным интегралом

2 Разработка аналитического аппарата, необходимого для решения поставленных задач

2.1 Необходимые сведения.

2.1.1 Стохастические интегралы Ито и Стратоновича.

2.1.2 Симметричный интеграл как обобщенный интеграл Стратоновича

2.2 О решении некоторых классов дифференциальных уравнений с симметричным интегралом.

2.2.1 Гиперболические уравнения с многомерным пространственно-временным шумом.

2.2.2 Гиперболические уравнения с шумом, сконцентрированным на гиперплоскости

2.2.3 Системы уравнений с многомерными симметричными интегралами.

2.2.4 Метод характеристик для решения уравнений в частных производных первого порядка с симметричным интегралом

2.2.5 Дифференциальные уравнения с расширенным симметричным интегралом

3 Численно-аналитическое решение и моделирование исследуемых процессов

3.1 Моделирование траекторий винеровского процесса.

3.2 Численно-аналитическое решение задачи о моделировании динамического поведения макромолекулы полимера под воздействием пространственно-временного шума.

3.3 Численно-аналитическое решение гиперболического уравнения с шумом, сконцентрированным на гиперплоскости.

3.4 Сравнительный анализ сходимости известных методов решения СДУ и отличительные особенности предложенного метода

4 Характеристика разработанного программного комплекса для моделирования решений поставленных задач

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование колебательных процессов под воздействием пространственно-временного шума»

Актуальность темы

В настоящее время актуальной задачей математического моделирования является разработка новых численно-аналитических методов решения стохастических дифференциальных уравнений. В данной работе исследуются модели колебательных процессов, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка гиперболического типа и испытывающих случайное воздействие в виде пространственно-временного шума. Кроме того, исследуется теоретическая задача о связи решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с шумом в виде многомерного случайного процесса с непрерывными траекториями с решениями системы дифференциальных уравнений с симметричными интегралами.

В работе, во-первых, рассматривается задача моделирования динамического поведения гибких длинных объектов, в частности, неразветвленных молекул полимеров (например, макромолекул полиэтилена или ДНК). Они находятся в растворе и имеют в нем слабую концентрацию, поэтому взаимодействия между длинными молекулами практически нет, они полностью окружены молекулами растворителя меньшего размера. В рамках данной модели молекула полимера представляется как последовательность бусинок, соединенных пружинками.

Второй класс моделей, рассматриваемых в работе, описывается дифференциальными уравнениями гиперболического типа, в которых случайное воздействие представляет собой пространственно-временной шум, сконцентрированный на гиперплоскости. Такие уравнения могут быть получены при моделировании следующего явления. Дождь капает на поверхность озера, порождая звуковые волны, которые распространяются над водой. Этот шум складывается из большого количества падений маленьких капелек дождя. После проведения соответствующего масштабирования шум, распространяющийся в трехмерной среде, можно считать пространственно однородным у поверхности озера. Следовательно, шум действует на 2-мерной границе 3-мерной области.

Третья задача в работе посвящена исследованию связи решений дифференциальных уравнений в частных производных с симметричными интегралами и решений систем дифференциальных уравнений с симметричными интегралами.

В настоящее время стохастическое исчисление дает мощный метод анализа для широкого класса случайных процессов, являющихся решениями стохастических дифференциальных уравнений. Тем не менее, явные формулы для решения СДУ до сих пор удавалось получить лишь в некоторых случаях, в большинстве своем линейных, и для небольшого класса подынтегральных функций. Поэтому важной задачей теории случайных процессов является максимально возможное обобщение стохастического интеграла и формулы Ито.

П. Леви в 1939 г. ввел понятие локального времени процесса броуновского движения и получил глубокие результаты о его свойствах в работе [34]. Наличие локального времени у процесса броуновского движения позволило обобщить формулу Ито на случай негладких функций, функций, которые дифференцируемы лишь почти всюду (см. [7]). Первый результат в этом направлении получил X. Танака (см. [35]), а затем последовали работы А.Т. Ванга [78], Н. Було и М. Йора [53], А.Н. Бородина [6, 7], А.Н. Ширяева [61]. Одно из последних обобщений формулы Ито представлено в работе Насырова Ф.С. [40].

Широкий обзор теории стохастических дифференциальных уравнений и их приложений в физике, химии, биологии и других областях знаний представлен в работах [30, 51, 59, 62, 67]. В работах [42, 43, 44] были исследованы детерминированные аналоги стохастических дифференциальных уравнений с симметричным интегралом, найден метод их решения путем сведения к решению конечных цепочек обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе Захаровой О.В. [27] найден метод решения определенного класса систем стохастических дифференциальных уравнений с симметричными интегралами путем сведения решения последних к решению систем уравнений в полных дифференциалах.

Динамическое поведение полимерной цепи впервые было рассмотрено В.А. Каргиным и Г.Л. Слонимским в 1948 г. в работе [29], а затем Раузом в 1953 г. [47]. Тем не менее, в литературе модель динамики цепочек получила название модели Рауза. Она широко используется в статистической физике макромолекул, в механике сплошных сред, в механике полимеров для изучения свойств полимерных веществ и улучшения их параметров (см. работы Гросберга А.Ю., Хохлова А.Р. [24], Groesen Е., Molenaar J. [64] и других авторов). Первые исследования конфигураций полимеров проводились с использованием моделей случайных блужданий. На протяжении последних 70 лет изучение статистических свойств длинных гибких полимерных цепочек и моделей случайных блужданий развивалось параллельно (Гулд X., Тобочник Я. [25], Биндер К., Хеерман Д.В. [5] и др.).

Существует несколько подходов к изучению дифференциальных уравнений, возмущаемых шумом, сконцентрированным на многообразиях. Одномерные случаи, когда шум на границе является точечным, исследованы в работах [52, 58, 69]. В [26] получен аналог формулы Даламбера для решения задачи Коши колебания бесконечной струны под действием случайной внешней силы. В пространствах с большей размерностью параболические уравнения с шумом изучались Dawson и Salehi [57], в гиперболическом случае для волновых уравнений - Mueller [72], Dalang. Frangos [55]. Эти исследования получили развитие в работах Dalang [54], Millet, Sanz-Sole [70, 71], Peszat [74] и Peszat, Zabczyk [75]. В упомянутых работах показано, что для существования и единственности решений такого рода задач должны быть наложены ограничения на шум в правой части, а именно - на его ковариацию, приводятся различные оценки решений. Однако явные решения были построены лишь для простейших частных случаев. Кроме того, эти решения представляли собой стохастические интегралы сложной структуры.

Одним из ключевых моментов в работе Даланга и Левекью [56] является характеризация тех ковариаций, для которых уравнения с линейной правой частью относительно искомой функции имеют действительно-значные решения в пространствах с? > 2. В пространствах размерности 2 и 3 при условии существования решения для линейного уравнения доказывается существование и единственность решения нелинейного уравнения при тех же условиях на ковариацию, что были потребованы в линейном случае.

Вследствие того, что шум в рассматриваемых уравнениях понимается в обобщенном смысле, важно придать строгий смысл этим уравнениям. В работе [56] это делается с помощью теории мартингальных мер Уолша [77] и соответствующих обобщений стохастического интеграла Уолша [54]. Показано, что в пространстве (1=1 существует действительнозначное решение для всех ковариаций при любых Г. В пространствах более высокой размерности в общем случае решение существует только в пространстве медленно растущих функционалов Шварца [11].

Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных исследовались в работах Н.В. Крылова, Б.Л. Розовского [31, 48], Ба Рга1,о [59], Ко1е1епег Р. [67] и других, где были представлены условия разрешимости задач, содержащих такие уравнения, а также аналитические свойства их решений. Однако моделирование этих решений оставалось трудноразрешимой задачей.

В настоящее время известно множество эффективных численных алгоритмов решения задач классической математической физики (см. [13, 28, 33]).

Но при учете случайных воздействий в системе появляются стохастические дифференциальные уравнения, к решению которых стандартные алгоритмы не подходят. Даже зная точное решение стохастического дифференциального уравнения далеко не всегда возможно его численное моделирование без привлечения сложных по структуре стохастических конструкций.

Проблема численного интегрирования стохастичеких дифференциальных уравнений получила интенсивное развитие в 80-х годах XX века. Задачам моделирования решений стохастических дифференциальных уравнений посвящены работы Т.А. Авериной, С.С. Артемьева, М.А. Якунина [1, 3], Д.Ф. Кузнецова [32], Г.Н. Милыптейна [37], Г.А. Михайлова, A.B. Войтише-ка [38], Е. Allen [51], P.E. Kloeden, Е. Platen [66] и других ученых.

Как известно из [32], при численном интегрировании стохастических дифференциальных уравнений часто возникает проблема аппроксимации систем повторных стохастических интегралов Ито, разрешение которой является сложной задачей как с теоретической, так и с вычислительной точки зрения.

Существует два основных критерия сходимости численных методов для стохастических дифференциальных уравнений: сильный или среднеквадра-тический критерий и слабый критерий, в котором аппроксимируется не само решение стохастического дифференциального уравнения, а математическое ожидание от некоторой гладкой функции от решения стохастического дифференциального уравнения в фиксированный момент времени, то есть аппроксимируется распределение решения стохастического дифференциального уравнения.

Оба упомянутых критерия являются самостоятельными, то есть в общем случае нельзя утверждать, что из выполнения сильного критерия следует выполнение слабого критерия и наоборот (см. [32]).

С помощью сильных численных методов можно строить отдельные выборочные траектории решения стохастического дифференциального уравнения. Именно эти численные методы требуют совместной среднеквадратической аппроксимации совокупностей повторных стохастических интегралов Ито, что, как уже отмечалось, является сложной проблемой.

Сильные численные методы применяются при построении математических моделей на основе стохастических дифференциальных уравнений, численном решении задачи фильтрации сигнала на фоне случайной помехи, задачи стохастического оптимального управления и др.

Основным применением слабых численных методов является их применение к численному решению задач математической физики и задачи о стохастической устойчивости.

Несмотря на наличие значительного количества работ, посвященных численному интегрированию стохастических дифференциальных уравнений, многие вопросы численного моделирования решений стохастических дифференциальных уравнений (в частности, о сходимости и устойчивости решений) остаются открытыми. Поэтому построение новых численно-аналитических методов решения дифференциальных уравнений в частных производных со случайным внешним воздействием, возникающих при моделировании многих задач физики, химии, биологии и технических наук, является весьма актуальной задачей.

Цель работы

Целью данной работы является моделирование колебательных процессов, которые описываются стохастическими дифференциальными уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа, а также разработка численно-аналитических методов решения указанных стохастических уравнений и их детерминированных аналогов с симметричными интегралами. Поставленная цель достигается в результате решения следующих задач:

1. Модификация существующих математических моделей физических процессов, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа, которая заключается в том, что внешние воздействия в предложенных моделях представляют собой многомерные пространственно-временные шумы, имеющие конкретный вид.

2. Разработка аналитического аппарата для решения дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа с пространственно-временными шумами различных типов, для решения систем дифференциальных уравнений с многомерными симметричными интегралами, обобщение метода характеристик для решения классических дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка на случай дифференциальных уравнений с многомерными симметричными интегралами.

3. Построение численно-аналитических методов решения и моделирования динамического поведения длинных гибких объектов под действием пространственно-временного шума и колебательных процессов, вызванных пространственно-временным шумом, сконцентрированным на гиперплоскости.

4. Реализация разработанных численно-аналитических алгоритмов решения и моделирования указанных процессов в виде готового программного комплекса с визуализацией результатов вычислений.

Методы исследования

Аналитические исследования проводились с использованием методов теории случайных процессов, математической физики, теории обобщенных функций, теории функций действительной переменной, функционального анализа и вычислительной математики. Для реализации построенных численно-аналитических алгоритмов использовалась среда программирования Delphi.

На защиту выносятся

1. Способ численно-аналитического решения колебательных процессов, в которых внешнее воздействие представляет собой многомерный пространственно-временной шум и которые описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. В частности, этот способ применим к исследованию модели изменения конфигурации длинных неразветвленных молекул полимеров (или молекул ДНК) в разбавленных растворах.

2. Новый аналитический метод решения колебательных процессов, в которых внешнее воздействие представляет собой шум, сконцентрированный на гиперплоскости, и которые описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. С помощью данного метода смоделирован процесс возмущения поверхности случайной силой, действующей перпендикулярно к этой поверхности вдоль прямой.

3. Аналитический метод решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с многомерным симметричным интегралом, являющийся аналогом метода характеристик для решения классических дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Способ решения систем дифференциальных уравнений с многомерными симметричными интегралами.

Научная новизна

1. Модифицирована модель динамического поведения длинных гибких объектов на примере модели движения макромолекул полимеров в разбавленных растворах, главное отличие которой от аналогичных известных моделей заключается в том, что случайное воздействие на объект представлено в виде многомерного пространственно-временного шума конкретного вида.

2. Создан метод решения дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа с внешним воздействием в виде многомерного шума, содержащего формальные производные симметричных интегралов. Показано, что нахождение потраекторных решений задачи Коши и первой краевой задачи для такого класса уравнений сводится к нахождению решений задач того же типа, но без детерминированных аналогов стохастических интегралов в правой части, которые решаются уже классическими, а не стохастическими, численно-аналитическими методами.

3. Разработан новый способ численно-аналитического решения для математических моделей, содержащих дифференциальные уравнения в частных производных гиперболического типа с внешним воздействием в виде пространственно-временного шума, сконцентрированного на гиперплоскости. Показано, что нахождение потраекторных решений задачи Коши и первой краевой задачи в классе обобщенных функций сводится к нахождению решений задач того же типа, но без детерминированных аналогов стохастических интегралов в правой части, которые решаются уже классическими, а не стохастическими, численно-аналитическими методами.

4. Построен аналог метода характеристик из классической теории дифференциальных уравнений для решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных с многомерными симметричными интегралами. Создан метод решения систем уравнений с многомерными симметричными интегралами по произвольным непрерывным функциям, которые являются обобщениями стохастических интегралов Стратоновича по многомерному ви-неровскому процессу.

Опубликованность результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14]-[23], в том числе 3 публикации в изданиях, рекомендованных ВАК, и 7 публикаций в других изданиях.

Апробации работы

Основные результаты диссертации были представлены и обсуждались на научных семинарах и конференциях, соответствующих профилю диссертации. В частности были сделаны доклады:

1) на XXVII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (г. Москва, 2005 г.);

2) на XII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (г. Москва, 2006 г.);

3) на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (г. Ростов-на-Дону, 2006 г.);

4) на XIV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (г. Москва, 2007 г.);

5) на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (г. Ростов-на-Дону, 2008 г.);

6) на XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (г. Москва, 2009 г.);

7) на Международном молодежном научном форуме "ЛОМОНОСОВ-2011" (г. Москва, 2011 г.);

8) на семинаре по теории вероятностей и случайным процессам кафедры математики УГАТУ, руководитель - профессор Насыров Ф.С. (г. Уфа, 20062011 гг.);

9) на семинаре в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, руководитель — профессор Жибер A.B. (г. Уфа, 2011 г.);

10) на семинаре в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, руководитель — член-корреспондент РАН Михайлов Г.А. (г. Новосибирск, 2011 г.).

Структура, объем и краткое содержание диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы, 18 рисунков, заключения, библиографического списка литературы, включающего 80 работ отечественных и зарубежных авторов, 1 приложения. Общий объем работы составляет 161 страницу.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Юрьева, Екатерина Викторовна

Заключение

В данной работе получены следующие результаты:

1. Разработан метод численно-аналитического потраекторного решения гиперболических уравнений с многомерным пространственно-временным шумом, с помощью которого получено решение первой краевой задачи для модели динамического поведения гибкой длинной неразветвленной молекулы полимера в разбавленном растворе (молекулы ДНК): стохастическое дифференциальное уравнение в модели сведено к уравнению без стохастических интегралов, его решение найдено с помощью стандартных численных схем и реализовано в разработанном программном комплексе с визуализацией результатов вычислений.

2. Разработан новый метод численно-аналитического решения и моделирования колебательных процессов, в которых внешнее воздействие представляет собой шум, сконцентрированный на гиперплоскости, и которые описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Показано, что нахождение потраекторных решений задачи Коши и первой краевой задачи в классе обобщенных функций сводится к нахождению решений задач того же типа, но без детерминированных аналогов стохастических интегралов в правой части, которые решаются уже классическими, а не стохастическими, численно-аналитическими методами. Построена модель численно-аналитического решения первой краевой задачи. Численное решение реализовано в разработанном программном комплексе с визуализацией результатов вычислений.

3. Предложен новый аналитический метод решения дифференциальных уравнений в частных производных с многомерным симметричным интегралом, являющийся аналогом метода характеристик для решения классических дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Показано, что решение уравнения в частных производных с многомерными симметричными интегралами представляет собой функцию от первых интегралов соответствующей системы дифференциальных уравнений с многомерными симметричными интегралами. Создан метод решения систем уравнений с многомерными симметричными интегралами. Показано, что решение таких систем сводится к решению конечных цепочек систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юрьева, Екатерина Викторовна, 2011 год

1. Аверина Т. А. Некоторые вопросы построения и использования численных методов для решения систем стохастических дифференциальных уравнений / Т. А. Аверина, С.С. Артемьев. — Новосибирск: Изд. Вычислительного центра СО АН СССР, 1987. — 33 с.

2. Анулова C.B. Стохастическое исчисление / C.B. Анулова, А. Ю. Веретенников, Н. В. Крылов, Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. ВИНИТИ, 1989. - Т.49. - 260 с.

3. Артемьев С. С. Математическое и статистическое моделирование в финансах / С. С. Артемьев, М.А. Якунин. — Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2008. 174 с.

4. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Н. Бибиков. — М.: Высшая школа, 1991. — 303 с.

5. Биндер К. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике / К. Биндер, Д.В. Хеерман; пер. с англ. В.Н. Задкова. — М.: Наука, 1995. 144 с.

6. Бородин А. Н. Асимптотическое поведение локальных времен возвратных случайных блужданий с бесконечной дисперсией / А. Н. Бородин // Теория вероятностей и ее применение. — 1984. — Т.29, вып.2(266). — С. 312-326.

7. Бородин А. Н. Броуновское локальное время / А. Н. Бородин // Успехи математических наук. — 1989. — Т.44, вып.2(266). — С. 7-48.

8. Булинский A.B. Теория случайных процессов / A.B. Булинский, А. Н. Ширяев. — М.: Физматлит, 2005. — 408 с.

9. Ватанабэ С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы / С. Ватанабэ, Н. Икэда; под ред. А.Н. Ширяева. — М: Наука, 1986. 448 с.

10. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов / А. Д. Вентцель. — М.: Наука, 1975. 320 с.

11. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. — Изд. 2-е, испр. и дополн. Серия: «Современные физико-технические проблемы». — М.: Наука, 1979. — 320 с.

12. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. — Изд. 4-е, испр. и дополн. — М.: Наука, 1981. — 512 с.

13. Ворожцов Е. В. Разностные методы решения задач механики сплошных сред: учеб. пособие / Е. В. Ворожцов. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. 86 с.

14. Гапечкина Е.В. Об обобщении одного результата Крылова Н.В., Розовского Б.Л. / Е.В. Гапечкина // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова 9-15 сентября 2008 г. Ростов-на-Дону, 2008. - С. 211-212.

15. Гапечкина Е.В. Об обобщении одного результата Н.В. Крылова / Е. В. Гапечкина // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2009. — Т.16, Ш. С. 257.

16. Гапечкина Е.В. Об одном варианте формулы Ито / Е.В. Гапечкина // Сборник трудов участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Ростов-на-Дону. — Ростов-на-дону: издательство РГУ, 2006. С 224-226.

17. Гапечкина Е.В. Обобщенная формула Ито и стохастические интегралы по локальному времени / Е. В. Гапечкина // Материалы докладов XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых

18. Ломоносов"/ Отв. ред. И.А. Алешковский, П.Н. Костылев. Электронный ресурс. — М.: Издательский центр Факультета журналистики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM); 12 см.

19. Гапечкина Е. В. О классической формуле Ито для обобщенных итовских интегралов / Е. В. Гапечкина, Ф. С. Насыров // Вестник УГАТУ. — Уфа: РИК УГАТУ, 2006. Т.8, №2(18).— С. 126-130.

20. Гросберг А.Ю. Статистическая физика макромолекул: Учебное руководство / А.Ю. Гросберг, А.Р. Хохлов. — М.: Наука, 1989. — 344 с.

21. Гулд X. Компьютерное моделирование в физике (том 2) / X. Гулд, Я. То-бочник. М.: Мир, 1990. - 400 с.

22. Захарова О. В. Аналог формулы Даламбера для решения задачи Коши колебания бесконечной струны под действием случайной внешней силы / О. В. Захарова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. - Т.16, в.2. - С. 261-262.

23. Захарова О.В. О решении одного класса систем стохастических дифференциальных уравнений / О. В. Захарова // «Известия ВУЗов. Математика». Казань, 2009. - №6. - С. 3-9.

24. Калиткин H.H. Численные методы / H.H. Калиткин; под ред. A.A. Самарского. — М.: Наука, 1978. — 320 с.

25. Каргин В.А. О деформации аморфно-жидких полимеров / В.А. Каргин, Г.Л. Слонимский // Доклады АНСССР. 1948. - T.LIXII, №2. - С. 239242.

26. Кляцкин В. Й. Стохастические уравнения глазами физика: основные положения, точные результаты и асимптотические приближения / В. И. Кляцкин. — М.: Физматлит, 2001. — 528 с.

27. Крылов Н. В. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и диффузионные процессы / Н. В. Крылов, Б. JI. Розовский. М.: Мир, 2002. - 152 с.

28. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения / Д. Ф. Кузнецов. — СПб: Изд-во Политехи. ун-та, 2009. 800 с.

29. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики / O.A. Ладыженская. — М.: Наука, 1973. — 408 с.

30. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение / П. Леви. — М.: Наука, 1972. 375 с.

31. Маккин Г. Стохастические интегралы / Г. Маккин. — М.: Мир, 1972. — 184 с.

32. Микусинский Я. Элементарная теория обобщенных функций / Я. Мику-синский, Р. Сикорский. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1959. — Т.1. 79 с.

33. Милынтейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений / Г.Н. Мильштейн — Свердловск: Изд-во Уральского ун-та, 1988. 225 с.

34. Михайлов Г.А. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло: учеб. пособие / Г.А. Михайлов, A.B. Войтишек. — М.: Академия, 2006. 367 с.

35. Насыров Ф. С. Об отражении непрерывных функций и случайных процессов, обладающих локальными временами / Ф. С. Насыров // Теория вероятностей и ее применение. — 1995. — Т.40, №4.— С. 665-669.

36. Насыров Ф.С. Обобщенная формула Ито и потраекторные итовские интегралы / Ф. С. Насыров // Вестник УГАТУ. 2005. - №6(1). - С. 33-40.

37. Насыров Ф.С. Симметричные интегралы и их применение в финансовой математике / Ф. С. Насыров // Труды МИРАН. 2002. - Т.237. - С.265-278.

38. Насыров Ф.С. Симметричные интегралы и потраекторные аналоги стохастических дифференциальных уравнений /Ф.С. Насыров // Вестник УГАТУ, 2003. Т.4, №2. - С. 55-66.

39. Насыров Ф.С. Симметричные интегралы и стохастический анализ / Ф. С. Насыров // Теория вероятностей и ее применение. — 2006. — Т.51, №3 — С. 496-517.

40. Насыров Ф.С. Локальные времена, симметричные интегралы и стохастический анализ / Ф.С. Насыров. — М.: Физматлит, 2011. — 212 с.

41. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон — М.: Наука, 1974. 480 с.

42. Положий Г. Н. Уравнения математической физики / Г. Н. Положий. — М.: Высшая школа, 1964. — 560 с.

43. Рауз X. Механика жидкости для инженеров-гидротехников / X. Рауз. — М.-Л.: Энергия, 1958. 368 с.

44. Розовский Б. Л. Эволюционные стохастические системы / Б. Л. Розовский. М.: Наука, 1983. — 208 с.

45. Чжун К. Введение в стохастическое интегрирование / К. Чжун, Р. Уи-льямс. М.: Мир, 2002. - 152 с.

46. Ширяев А. Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. — М.: Наука, 1989. — 640 с.-и -а

47. Allen E. Modeling with Ito Stochastic Differential Equations / Allen. -Springer, 2007. 230 p.

48. Alôs E. Stochastic partial differential equations with Dirichlet white-noise boundary conditions / Alôs E., Bonnacorsi S. // Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 2002. - Vol.38(2). - P. 125-154.

49. Bouleau N. Sur la variation quadratique des temps locaux de certaines semi-martingales / N. Bouleau, M. Yor // C.r. Acad. sci. Paris. Serie I. — 1981. —V.292, №9. P. 491-494.

50. Dalang R. C. Extending the martingale measure stochastic integral with applications to spatially homogeneous SPDE's / R. C. Dalang // Electronic Journal of Probability. 1999. - Vol. 4, №6.

51. Dalang R. C. The stochastic wave equation in two spatial dimensions / R. C. Dalang, N. E. Frangos // Ann. Prob. 1998. - Vol.26(l). — P. 187-212.

52. Dalang R. C. Second-order hyperbolic SPDE's driven by homogeneous gaussian noise on a hyperplane / R. C. Dalang, O. Lévêque // Transactions of the AMS. 2006. - Vol.358, №5. - P. 2123-2159.

53. Dawson D. A. Spatially homogeneous randow evolutions / D. A. Dawson, H. Salihi // J. Mult. Anal. 1980. - Vol.10. - P. 141-180.

54. Da Prato G. Evolution equations with white-noise boundary conditions / G. Da Prato, J. Zabczyck // Stoch. and Stoch. Reports. — 1993. — Vol.42. P. 167-182.

55. Da Prato G. Stochastic partial differential equations and applications / G. Da Prato, L. Tiibaro. M a,reel Dekker, Inc. ; New York. - 2002. ~ ~60| Doi M. The Theory of Polymer Dynamics / M. Doi, S.F. Edwards. — Clarendon Press, Oxford, UK, 1986.

56. Follmer H. Quadratic covariation and an extension of Ito's formula / H. Follmer, P. Protter, A. Shiryayev // Bernoulli. 1995. - Vol.1. - P. 149169.

57. Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications / A. Friedman. — New York: Academic Press, 1975. — T.l. — 244 p.

58. Geman D. Occupation densities / D. Geman, J. Horowitz // Ann. Probab. — 1980. Vol.8. - P. 1-67.

59. Groesen E. Continuum modeling in the physical sciences / E. van Groesen, J. Molenaar. SIAM. - 2007. - 238 p.

60. Jacobs K. Stochastic processes for physicists. Understanding noisy systems / K. Jacobs. — Cambridge University Press. — 2010. — 204 p.

61. Kloeden P.E. Numerical solution of stochastic differential equations / P.E. Kloeden, E.Platen. Berlin.: Springer-Verlag, 1992. - 632 p.

62. Kotelenez P. Stochastic Ordinary and Stochastic Partial Differential Equations / P. Kotelenez. — Cleveland: Springer Science+Business Media, 2008. 460 p.

63. Larson R.G. Constitutive Equations for Polymer Melts and Solutions / R.G. Larson. — Boston: Butterworths, 1988.

64. Mao X. Wave equation with stochastic boundary values / X. Mao, L. Markus // J. Math. Anal, and Appl. 1993. - Vol.177. - P. 315-341.

65. Millet A. A stochastic wave equation in two space dimension: smoothness of theJaw/ A,. Millet*. M.SanzrSole//.Ann. Prob. --1999.--- -Vol.27-(-2-),—1. P. 803-844.

66. Millet A. Approximation and support theorem for a wave equation in two space dimensions / A. Millet, M. Sanz-Solé // Bernoulli. — 2000. — Vol.6(5). P. 887-915.

67. Mueller C. Long time existence for the wave equation with a noise term / C. Mueller // Ann. Prob. 1997. - Vol.25(l). - P. 133-151.

68. Neveu J. Processus aléatoires gaussiens / J. Neveu // Presses de l'Université de Montréal, 1968.

69. Peszat S. The Cauchy problem for a nonlinear stochastic wave equation in any dimension / S. Peszat // J. Evol. Eq. 2002. - Vol.2. - P. 383-394.

70. Peszat S. Nonlinear stochastic wave and heat equations / S. Peszat, J. Zabczyck // Prob. Th. and Rel. Fields. 2000. - Vol.116. - P. 421443.

71. Rouse H. Basic Mechanics of Fluids / H. Rouse, J. W. Howe. — New York: Wiley, 1953.

72. Walsh J.B. An introduction to stochastic partial differential equations / J.B. Walsh // Ecole d'été deprobabilités de Saint-Flour XIV, Lecture Notes in Math. — Springer Verlag, 1984.

73. Wang A. T. Generalized Ito's formula and additive funstionals of Brownian motion / A. T. Wang // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. — 1977. — B.41, h.2. S. 153-159.

74. Wilcox C. H. The Cauchy problem for the wave equation with distribution data: an elementary approach / C. H. Wilcox // The American Mathematical-Society-Monthly=-=-1-99-1-. ^ Vol. 98.--=R.401=410 - -

75. Yang W. Applied numerical methods using Matlab / W. Yang, W. Cao, T. Chung, J. Morris. — Canada: John Wiley & Sons, Inc, 2005. — 518 p.1. TJ