Идентификация управления и параметров нелинейной системы по настраиваемой модели с функциональными ограничениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Мелузов, Всеволод Юрьевич

• Мелузов, Всеволод Юрьевич
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Мелузов, Всеволод Юрьевич

Введение.

1. Необходимые условия идентификации нелинейных стохастических систем.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Идентифицируемость нелинейных стохастических систем.

1.3. Необходимые условия идентификации нелинейных стохастических систем.

1.4. Необходимые условия идентификации параметров системы и управления обратной связи.

1.5. Идентифицируемость нелинейных стохастических систем с ограничениями типа равенств.

1.6. Необходимые условия идентификации нелинейных стохастических систем с ограничениями.

1.7. Необходимые условия идентификации параметров системы и управления обратной связи.

2. Идентификация нелинейных стохастических систем в классе простых управлений.

2.1. Постановка задачи идентификации стохастических систем в классе простых управлений.

2.2. Идентифицируемость е - идентифицированного управления и параметров систем.

2.3. Необходимые условия £ - идентифицируемого управления и параметров системы.

2.4. Необходимые условия сильной б - идентифицируемости управления стохастических систем.

2.5. Необходимые условия е - идентифицируемого управления с обратной связью.

3. Численные методы идентификации стохастических систем.

3.1. Численный метод идентификации нелинейной стохастической системы без ограничений.

3.2. Сходимость численного метода идентификации.

3.3. Алгоритм идентификации стохастической системы без ограничений.

3.4. Численный метод идентификации стохастической системы с ограничениями типа равенств.

3.5. Сходимость градиентного метода идентификации с ограничениями типа равенств.

3.6. Алгоритм идентификации стохастической системы с ограничениями типа равенств.

4. Оценивание параметров, управления и состояния нелинейных стохастических систем с функциональными ограничениями.

4.1. Общая постановка задачи оценивания параметров, управления и состояния системы.

4.2. Постановка задачи оценивания параметров закона управления и вектора состояний экраноплана.

4.3. Определение апостериорных семиинвариантов экраноплана.

4.4. Построение градиентной процедуры оценки параметров закона управления экраноплана.

4.5. Определение сопряженной системы семиинвариантов процесса функционирования экраноплана.

4.6. Идентификация параметров закона управления экраноплана и оценка компонент вектора состояния.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация управления и параметров нелинейной системы по настраиваемой модели с функциональными ограничениями»

Актуальность темы. Функционирование реальных систем характеризуется действием неконтролируемых факторов и наличием неопределенности в наших знаниях о свойствах управляемой системы и среды. Это требует дальнейшего совершенствования математических моделей, развития теории и техники идентификации систем в условиях неопределенности по статистическим критериям. Обусловлено это тем, что во взаимодействии любой системы и среды всегда содержатся неконтролируемые составляющие, индивидуальные проявления которых нельзя ни измерить, ни предсказать заранее, так как нельзя полностью охватить все взаимосвязи явлений и избавиться от случайных возмущений и ошибок измерений.

Примером тому является, например, возрастание роли идентификации моделей процессов и систем летательных аппаратов для обеспечения сопровождения исследований на этапе летных испытаний. Наличие этого обстоятельства обусловлено тем, что для таких сложных объектов, точное измерение всех фазовых характеристик, физических параметров и управляющих воздействий в процессе летных испытаний не всегда представляется возможным. Поэтому эффективность исследований летательных аппаратов, испытывающих в процессе летных испытаний всевозможные случайные возмущения, обусловленные порывами ветра, турбулентностью атмосферы, отклонениями аэродинамических характеристик; помехи в радиоэлектронике и электромеханике измерительных систем управления; низкочастотные и высокочастотные радиотехнические помехи системы «взлета-посадки» и другие помехи, во многом определяется способностью математических моделей отражать реальные свойства объектов испытаний. Одним из путей повышения эффективности летных испытаний является использование более точных и достоверных математических моделей объектов испытаний, полученных на основе применения современных методов идентификации. Использование точных и достоверных моделей позволяет повысить объективность исследований в процессе летных испытаний. Решать ряд задач без проведения дорогостоящих и опасных полетов, связанных, например, с отказами двигателя или элементов систем управления. Значительно уменьшить число испытаний, заменив их частично моделированием на стендах и тренажерах.

Задачи идентификации возникают так же при создании различных адаптивных систем управления и технологических процессов, в которых на основе идентификации объекта вырабатываются оптимальные управляющие воздействия и др.

Идентификация стохастических систем это целое научное направление, формирование которого в значительной мере было стимулировано основополагающими работами Аоки М., Гропа Д., Дейча A.M., Льюнга JL, Медича Дж., Мелса Дж., Райбмана Р.С., Сейджа Э., Цыпкина ЯЗ. Эйкхоффа П. [3,14,15,37,50,54,65,67] и других. Не останавливаясь подробно на развитии исследований в этом направлении, следует отметить, что идентификация динамических объектов в общем случае состоит в определении их структуры, оценке конструктивных и энергетических параметров системы, управляющих (входных) воздействий и характеристик вектора состояний объекта по наблюдаемым данным -входным воздействиям и выходным величинам.

В современной теории идентификация динамических систем выбор структуры объектов испытаний определяется, как правило, структурой настраиваемой модели, которая описывается уравнениями, описывающими основные закономерности объекта, либо соотношениями, содержащими измеряемые входные и выходные величины, характеризующие состояния динамического объекта. Степень сложности и полноты применяемых моделей определяется конкретными задачами исследований, а также той априорной информацией, которая нам известна об объекте. К этой априорной информации относится: порядок дифференциальных уравнений, описывающих процессы управления, случайных возмущений и состояния системы, точки приложения помех, длительность временных характеристик объекта и многое другое.

Таким образом, при идентификации объекта испытаний в определенном смысле возникает задача синтеза наилучшей настраиваемой модели на основе имеющейся априорной информации об объекте, которую схематически можно представить, в частности, в виде, изображенном на рис.1.

Рис. 1

В каждый момент времени t еТ к входам объекта испытаний и настраиваемой модели поступает управляющее (входное) воздействие u(t).

На объект действует неконтролируемое, ненаблюдаемое случайное возмущение £(/). Выходная величина объекта X(t) зависит как от воздействия u{t), £(/), так и от неизвестных конструктивных и энергетических параметров а . Вектор Z(t) с компонентами линейных комбинаций компонент вектора состояний объекта X{t) измеряются с аддитивной помехой r(t) линейным измерителем. Помеха r(t) предполагается обычно независимой от компонент вектора X{t) и представляет собой гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и матрицей интенсивности Gr(t).

Выходная величина настраиваемой модели X(t) зависит от u{t) е U, настраиваемых параметров aeW и аддитивной помехи n(t), представляющей собой гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и матрицей интенсивности Gn(t). Разность измеренных выходных характеристик объекта Z(t) и характеристик настраиваемой модели Z(t) образуют невязку г = Z{t)~ Z(t), по которой определяется, так называемая, функция потерь F{s). Наиболее часто используется квадратичная функция потерь.

Близость настраиваемой модели к динамическому объекту характеризуется средними потерями минимизация которых достигается изменением входных воздействий u(t) и параметров а настраиваемой модели при помощи алгоритмов идентификации.

Вопросам оценивания и идентификации динамических систем посвящено значительное число работ, которые отличаются, прежде всего, используемым математическим аппаратом. Наибольшее распространение среди рассматриваемых методов оценки и идентификации динамических систем в последнее время получили методы фильтрации. Методы фильтрации позволяют идентифицировать не только функции управления u{t) и параметры системы а, но и определить оптимальную апостериорную оценку вектора состояний X{t) в каждый момент времени t еТ. Для получения оптимальной оценки X(t) в качестве критерия оптимальности наибольшее распространение получил критерий минимума среднего квадрата ошибки

I(e) = M{F(e)},

1)

I(£) = M{s2},

2) представляющий собой частный вид байесовского критерия, в соответствии с которым оптимальной оценкой X(t) является условное математическое ожидание X(t) по наблюдению z{f) на всем отрезке времени t0<T<t, т.е. X{t) = M[X{t) | z (г), t0<T<t]= Jjc p(t, x | z)dx

В теории статистически оптимальных методов оценки состояний стохастических систем выделяется два основных подхода для определения апостериорной плотности вероятности pit,х\ 1).

Первый подход основан на применении формулы Байеса, записываемой в виде интегрального выражения через неизвестную так называемую весовую функцию, для определения которой составляется интегральное уравнение Винера. Он связан с решением интегрального уравнения Винера-Хопфа относительно весовой функции оптимального фильтра или решением оптимального фильтра, параметры которого находятся из решения дифференциального уравнения типа Рикатти. Этот подход был развит в работах Колмогорова А.Н. [27,28], Винера Н. [9], Калмана Р. и Бьюси Р. [70, 71]. Достаточно подробно изложен в монографиях [68,62,49] в рамках корреляционной теории статистически оптимальных систем. На основе этого подхода решены самые разнообразные задачи, представленные в работах [3,4, 37,1-3,55].

Второй подход к оценкам состояния стохастических систем основан на определении апостериорной плотности вероятности состояния системы из решения интегро-дифференциального уравнения в частных производных. Начало теории нелинейной фильтрации было положено Котельниковом В.А. [31]. Существенным вкладом в развитие теории нелинейной фильтрации явились работы Стратоновича P.JI., которые позволили получить основополагающие результаты нелинейной фильтрации на основе развитой им теории условных Марковских процессов [56,57]. Задаче нелинейной фильтрации посвящены также работы [35, 72]. Следует отметить, что поскольку принятые в теории Калмана-Бьюси случайные возмущения принадлежат классу гауссовских марковских процессов, то результаты Калмана-Бьюси могут быть получены, как частные, применением теории условных Марковских процессов. Оптимизация наблюдаемых стохастических систем на основе теории Марковских процессов позволила также подойти к постановке и решению широкого класса нелинейных задач идентификации динамических систем на основе принципа максимума [18,19,22-24], динамического программирования [40,64,30] и функций Ляпунова и обобщенной работы [18,22, 63].

Следует отметить, что в приведенных выше результатах по идентификации динамических стохастических систем достаточно полно решены проблемы идентификации линейных систем. Нелинейные стохастические системы исследованы в меньшей степени. Здесь в основном рассмотрены в отдельности задачи идентификации параметров систем, определение по наблюдениям программного управления и параметров закона управления по схеме обратной связи и задачи оценки компонент вектора состояний на основе нелинейной фильтрации.

Не исследованы достаточно полно задачи идентификации нелинейных стохастических систем более сложной структуры, учитывающих совместное оптимальное оценивание компонент вектора состояний системы и идентификацию параметров и управления системы с учетом ограничений, которые описывают различные требования, предъявляемые к системе. Обеспечение этих требований сужает множество состояний системы и допустимые области определения параметров системы и управления, обеспечивающих состояния системы, которые удовлетворяют заданным требованиям, и требуют привлечения нового математического аппарата для исследования задач идентификации.

Это обуславливает актуальность решения задач идентификации нелинейных стохастических систем с помощью идей и методов, используемых в общей теории экстремальных задач, математическом программировании и вариационном исчислении с тем, чтобы применить численные методы математического программирования и теории оптимальных процессов, для идентификации нелинейных стохастических систем с учетом ограничений, обусловленными требованиями к системе.

Цель работы - повышение эффективности идентификации нелинейных стохастических систем путем использования более точных настраиваемых моделей, учитывающих внешние возмущения, действующие на систему, помехи при измерении компонент вектора состояний и различные требования, которым должна удовлетворять идентифицируемая система. Развитие методов идентификации нелинейных стохастических систем, позволяющих на основе единой методологии исследовать системы, описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями с ограничениями типа равенств на параметры системы, управление и компоненты вектора состояний.

Объектом исследований являются непрерывные и разрывные стохастические системы, которые описывают поведение летательных аппаратов и их систем, и обеспечивают заданные требования к их функционированию.

Задачи исследования:

1. Сформулировать задачи идентификации нелинейных стохастических систем по настраиваемым моделям в классе диффузионных стохастических дифференциальных уравнений с ограничениями типа равенств на параметры системы, функции управления и компоненты вектора состояний.

2. Исследовать условия идентифицируемости параметров и функций управления нелинейных стохастических систем в классе настраиваемых моделей.

3. Определить необходимые условия идентификации параметров и функций управления систем в классе настраиваемых моделей.

4. Разработать численные методы идентификации параметров и функций управления систем, сходящихся к оценкам, удовлетворяющих необходимым условиям идентификации.

5. Разработать методы совместного оптимального оценивания компонент вектора состояний системы и идентификации параметров и функций управления, обеспечивающих заданные требования, предъявляемые к системе.

Методы исследований. Теоретические исследования базируются на использовании современных методов общей теории экстремальных задач, теории оптимального управления, математического программирования, стохастических дифференциальных уравнений, теории диффузионных Марковских процессов, методов вычислений, численных методов оптимизации и др. Программная реализация численных методов идентификации осуществлена на базе современных информационных и компьютерных технологий в среде Matlab и Simulink.

Научная новизна:

1. Сформулированы задачи идентификации нелинейных стохастических систем по настраиваемым моделям в классе диффузионных стохастических дифференциальных уравнений с ограничениями типа равенств на параметры системы, функции управления и компоненты вектора состояний.

2. Определены условия идентифицируемости параметров и функций управления нелинейных стохастических систем с ограничениями в классе настраиваемых моделей.

3. Сформулированы критерии необходимых условий идентификации параметров и функций управления систем с ограничениями типа равенств на параметры системы, функции управления и компоненты вектора состояний.

4. Определены критерии необходимых условий идентификации параметров и функций управления в классе «простых» - ступенчатых управлений системы с ограничениями.

5. Разработаны численные методы идентификации нелинейных стохастических систем с ограничениями типа равенств со сходимостью алгоритмов к необходимым условиям идентификации.

6. Предложены методы совместного оптимального оценивания компонент вектора состояний системы и идентификации параметров и функций управления, обеспечивающих заданные требования к системе, на основе апостериорных семиинвариантов. Практическая ценность работы определяется тем, что решения задач идентификации стохастических систем представлены на единой методологической основе, которая позволяет решать большинство конкретных практических задач. Основное внимание в работе уделяется исследованию необходимых условий идентификации, позволяющих не только определить эти условия, но и построить на их основе численные алгоритмы идентификации, при изложении которых наибольшее внимание уделяется их прикладным аспектам. При этом качественные, принципиальные особенности идентификации систем формулируются в виде завершенных результатов, которыми непосредственно можно пользоваться на практике.

Рассмотренные в диссертации задачи сформулированы исходя из решения важной научно-технической проблемы автоматизации стендовых и летных испытаний летательных аппаратов и их систем.

Решение перечисленных выше задач осуществлялось в рамках выполнения совместных НИР, проводимых КГТУ им. А.Н. Туполева с ОАО ОКБ «Сокол» (г. Казань). Часть исследований выполнялась в составе госбюджетной НИР «Фундаментальные и прикладные вопросы информационных технологий моделирования и управления», а также НИР: «Модели, методы и программное обеспечение оптимального проектирования и оценивания сложных детерминированных и стохастических систем», «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий оптимизации проектных управленческих решений и разработки автоматизированных рабочих систем», выполненных по плану приоритетных фундаментальных и прикладных исследований Академии наук Республики Татарстан.

Численные методы идентификации нелинейных стохастических систем по настраиваемым моделям в классе диффузионных стохастических дифференциальных уравнений с ограничениями типа равенств на параметры системы, функции управления и компоненты вектора состояний, могут быть использованы так же при идентификации различных технологических процессов, измерительных систем и др.

Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы, в том числе их программная реализация были использованы в системных исследованиях в ОАО ОКБ «Сокол» при разработке моделей идентификации параметров закона управления и оценке состояний летающих мишеней.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на VI Королевских чтениях "Всероссийская молодежная научная конференция" (г. Самара, 2001), Институт Проблем Информатики АН РТ. Республиканская научно-практическая конференция «Интеллектуальные системы и информационные технологии». Казань, 2001, IV Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2002), VIII Четаевской международной конференции. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (г. Казань 2002), Международной молодежной научной конференции "XXXII Гагаринские чтения" (г. Москва, 2006), IX Международной научно-практической конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики", (Москва 2006).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 печатных работах, в том числе в 2 научных статьях. Материалы диссертации вошли в 5 отчетов по НИР, отчет НИОКР, в которых автор принимал участие как исполнитель и ответственный исполнитель. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Работа содержит 123 страницы основного текста, 3 рисунка, 1 таблицу; список литературы включает 72 наименования.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Мелузов, Всеволод Юрьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе были получены следующие результаты:

1. Определены условия идентифицируемости и необходимые условия идентификации параметров и управления нелинейных динамических систем, описываемых диффузионными стохастическими дифференциальными уравнениями;

2. Определены условия идентифицируемости и необходимые условия идентификации параметров и управления нелинейных динамических систем, описываемых диффузионными стохастическими дифференциальными уравнениями с функциональными ограничениями, описывающих различные требования, предъявляемых к идентифицируемой системе;

3. Определены необходимые условия идентификации параметров и управления нелинейных стохастических систем, в классе простых (кусочно-непрерывных) управлений;

4. разработаны численные методы идентификации параметров и управления нелинейных стохастических систем и доказана их сходимость к необходимым условиям идентификации;

5. Разработан алгоритм и численный метод совместной оценки параметров управления и состояния стохастических систем на основе семиинвариантов Марковского процесса, описываемого нелинейными стохастическими уравнениями;

6. Решена задача идентификации параметров закона управления и оценки высоты полета легкого экраноплана.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Мелузов, Всеволод Юрьевич, 2007 год

1. Андреев Н.И. Корреляционная теория оптимальных систем. М.: Наука, 1966.-454 с.

2. Андреев Н.И. Теория статистически оптимальных систем управления. -М.: Наука, 1980.

3. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. М.: Наука, 1971.

4. Брайсон А.Е., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. -М.: Мир, 1972.-544 с.

5. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана Бьюси / Пер. с нем. - М.: Наука, 1982.

6. Боднер В.А., Роднищев Н.Е., Юриков Е.П. Метод проекции градиента в задачах оптимизации стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1978. № 9. С. 45-51.

7. Боднер В.А., Роднищев Н.Е., Юриков Е.П. Оптимизация терминальных стохастических систем. М.: Машиностроение, 1987. 210 с.

8. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975,320с.

9. Винер, Норберт. Кибернетика или управление и связь в животном и машине/ Н. Винер; Пер. с англ. И.В. Соловьева и Г.Н. Поварова; Под ред. Г.Н. Поварова. 2-е изд. - М.: "Сов. радио", 1968

10. Ворчик Б. Г. Асимптотические оценки максимального правдоподобия параметров замкнутой стохастической системы,- Автоматика и телемеханика, 1976, № 12, с. 32-48.

11. И. Гихман И.Х., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. -М,: Наука, 1977,-568с.

12. Гихман И.Х., Скороход А.В. Управляемые случайные процессы. -Киев,: Наукова думка, 1977, 252с.

13. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Издательство МГУ, 1970, - 118с.

14. Гроп Д. Методы идентификации систем М.: Мир, 1979. - 302 с.

15. Дейч A.M., Методы идентификации динамических объектов. М.: «Энергия», 1979. 240 с.

16. Дисперсионная идентификация / Под. ред. Н.С. Райбмана М.: Наука, 1981.

17. Дубовицкий А.Е., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // АН СССР. Журнал высшей математики и математической физики, 1965, т.5, № 3. с.335-454.

18. Евланов Л.Г., Константинов В.М. Системы со случайными параметрами. -М.: Наука, 1976, 568с.

19. Евланов Л.Г., Контроль динамических систем. М.: «Наука», 1972. -423с.

20. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М. Наука, 1978, - 464с.

21. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, -480с.

22. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: Наука, 1975.

23. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. -М.: Наука, 1977.

24. Казаков И.Е., Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. -М.: Наука, 1983.

25. Кашъян Р. Л., Рао А. Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М; Наука, 1983.

26. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968,476с.

27. Колмогоров А.Н. Интегрирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР, сер. мат. т.5, № 1, 1941.

28. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: «Наука», 1986.-534 с.

29. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.: 5-е изд. М.: «Наука», 1981. 543 с.

30. Колосов Г.Е. Синтез оптимальных автоматических систем при случайных возмущениях. -М.: Наука, 1984.

31. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Госэнергоиздат, 1956.

32. Кушнер Г.Д. Вероятностные методы аппроксимации в стохастических задачах управления и теории эллиптических уравнений. М.: Наука, 1985,-224с.

33. Левитин Е.С., Поляк Б.Т. Методы минимизации при наличии ограничений.// АН СССР . Журнал высшей математики и математической физики,1966, т.6, № 5. с.787-823.

34. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик, управление / Пер. с англ. М.: Наука, 1966.

35. Липицер Р.Ш., Ширяев А.П. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

36. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.-431 с.

37. Медич Дж. Статистически оптимальные оценки и управление. . М.: Энергия, 1973.-440 с.

38. Майданчик Б. И., Раев А. Г., Строганов Ю. А. О восстановлении функций на ограниченной выборке.- Заводская лаборатория, 1978, № 5, с. 589-593.

39. Мидделтон Д. Введение в статистическую теорию связи / Пер. с англ. -М.: Сов. радио, 1961.

40. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов. радио, 1976.

41. Перелъман И. И. Методы Состоятельного оценивания параметров линейных динамических объектов и проблематичность их реализации на конечных выборках.— Автоматика и телемеханика, 1981, № 3, с. 4955.

42. Перелъман И. И. Обобщение модели Калмана в задачах идентификации.- Автоматика и телемеханика. 1970, № 9, с. 108-115.

43. Перельман И. И. Оперативная идентификация объектов управления. М.; Энерго издат, 1982.

44. Перельман И. И. Спектральный анализ апостериорных динамических моделей,—Автоматика и телемеханика, 1972, № 11, с. 46—57.

45. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для втузов/ B.C. Пугачев. М.: Наука, 1979. - 496 с.

46. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее приложение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960.

47. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985.

48. Пугачев B.C. Теория стохастических систем: Учебное пособие/ B.C. Пугачев И.Н. Синицын. М.: Логос, 2004. - 1000 с.

49. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах . М.: Наука, 1975, 319с.

50. Райбман Н.С., Что такое идентификация. М.: Наука, 1970.

51. Роднищев Н.Е. необходимые условия оптимальности управления нелинейных стохастических систем с ограничениями.// Изв.РАН, Теория и системы управления. 2001, № 6, с.38-49.

52. Роднищев Н.Е. Оптимизация управления нелинейных стохастических систем с ограничениями // Автоматика и телемеханика. № 2, 2001, с.87-101.

53. Рао С. Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968. Шеффе Г.

54. Сейдж Э., Мелса Дж. Идентификация систем управления М.: Наука, 1974.-340 с.

55. Солодов А.В. Методы теории систем в задаче непрерывной фильтрации. -М.: Наука, 1976.

56. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы в теории флюктуаций в радиотехнике. -М.: Сов. радио, 1961.

57. Стратонович Р.Л. Условные Марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд. МГУ, 1966.

58. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. -М.: Сов. радио, 1975.

59. Тихонов В.И., Миронов А.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.

60. Флеминг У., Рашел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. -М.:Мир, 1978, 317с.

61. Фридман Л. Уравнения с частными производными параболическоготипа. М.: Мир, 1978, - 428с.

62. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М. Советское радио, 1968, 256с

63. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1968.

64. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.В. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978, - 352с.

65. Цыпкин Я.З. Основа информационной теории идентификации М.: «Наука», 1984. -320 с.

66. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления М.: Мир, 1975.-685 с

67. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем М.: Мир, 1975.

68. Ямада, Ватанабе (Yamada Т. And Watanabe S.) On the uniqweness of solutions of stochastic differential equations.- J.Math.Kyoto Univ.,1971, p.155-167.

69. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. // New York: John Wiley. 1949. № 7.

70. Kalman R.E., Busy R.S. New results in linear filtering and prediction theory.// J. Basis Engineering. (ASME Transactions) v.83, D, 1961. № 1. pp. 95- 108.

71. Kalman R.E. New methods in Wiener filtering theory.// Proceedings on the First Symposium on Engineering. Applications of Random Function Theory and Probability. John Wiley. New York, 1963, pp. 270 308.

72. Kushner H.J. On Dynamical ignitions of conditional probability density functions with Applications to optimal stochastic control systems. // J/ Math. Anal, and Appl. 1964. v.8. № 2. pp. 332 344.