Методика и алгоритмы геометрического моделирования пространственных форм на основе интерполяции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Хоанг Тхай Хо

• Хоанг Тхай Хо
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Хоанг Тхай Хо

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Интерполяционные методы в геометрическом моделировании пространственных объектов визуализации

1.1 Особенности геометрического моделирования пространственных форм в вычислительных системах графического назначения

1.2 Интерполяционные методы на основе использования смешивающих функций

1.3 Интерполяция на основе радиальных базисных функций

Выводы к разделу 1

2 Двухэтапная интерполяция пространственных форм с использованием радиальных базисных функций и В-сплайнов

2.1 Регуляризация расстановки опорных точек неаналитической поверхности с применением радиальных базисных функций

2.2 В-сплайновая интерполяция пространственных форм с точным прохождением поверхности через опорные точки

2.3 Применение смешивающих функций ортогонального базиса

2.4 Геометрическое моделирование протяженных поверхностей

с применением сегментации

Выводы к разделу 2

3 Алгоритмизация и реализация процессов геометрического моделирования и отображения пространственных форм на основе двухэтапной интерполяции

3.1 Численные алгоритмы в процессах моделирования и отображения пространственных форм

3.2 Комплекс программ для геометрического моделирования и визуального контроля пространственных форм

3.3 Экспериментальное исследование изобразительных возможностей

и точностных характеристик смешивающих функций средствами

программного комплекса

Выводы к разделу 3

Заключение

Библиографический список

Приложение А. Листинги основных модулей комплекса программ

А. 1 Листинг модуля моделирования протяженных поверхностей с помощью радиальных базисных функций и смешивающих функций ортогонального

базиса

А.2 Листинг модуля моделирования замкнутых поверхностей с помощью радиальных базисных функций и смешивающих функций ортогонального

базиса

А.З Листинг модуля моделирования протяженных поверхностей с помощью

точной В-сплайновой интерполяции

Приложение Б. Документы о государственной регистрации программ для ЭВМ

Приложение В. Акты о внедрении результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика и алгоритмы геометрического моделирования пространственных форм на основе интерполяции»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Научной областью, к которой относится работа, является математическое моделирование пространственных геометрических объектов (геометрическое моделирование). Областью практического приложения результатов работы является визуализация объектов. Геометрическое моделирование и визуализация пространственных объектов находят широкое применение при создании, реконструкции и представлении объектов в археологии, медицине, системах виртуальной реальности, геоинформатике, системах автоматизированного проектирования и многих других областях [2,4,26,35,72,73,102,113].

Геометрическое моделирование объектов визуализации должно удовлетворять ряду требований: точное прохождение поверхности объекта через заданные точки, сохранение ее топологической тенденции, гладкость стыковки отсеков, возможность повышения качества визуализации известными средствами графической системы компьютера, возможность применения быстрых алгоритмов визуализации и другие.

Одной из важнейших задач геометрического моделирования объектов визуализации является математическое описание их геометрической формы. Выбранный вид математической модели решающим образом влияет на реалистичность результата моделирования и затраты вычислительных ресурсов, необходимых для его визуализации. В связи с этим специалисты по геометрическому моделированию на протяжении нескольких десятков лет развивают теорию формообразования, совершенствуют существующие и отыскивают новые методы описания и моделирования пространственных форм.

Большой вклад в теорию формообразования внесли J.Ferguson, E.Catmull, P.Bezier, S.Coons, H.Akima, Cao En, именами которых названы криволинейные и составные поверхности [56,70,78,79,83,61,62,63]. Существенный вклад в теорию и практику моделирования пространственных форм внесли и отечественные специалисты. Это В.Д. Аджиев, С.И. Вяткин, Б.С. Долговесов, В.Г. Ли, М.В.

Михайлюк, A.A. Пасько, A.B. Толок, E.B. Шикин. Они плодотворно работают в области полигональных, воксельных и сплайновых моделей, пространственных кривых, поверхностей на основе функций возмущения, вещественных функций, функций свертки [1,7,21,22,23,24,27,43,44,57,58]. Вопросам геометрии и технической поддержки отображения трехмерных сцен посвящен ряд диссертационных исследований последних лет: Н.П. Копытов, Ю.И. Денискин,

A.JI. Фукс, A.A. Кононыхин, А.Б. Григорьев, М.Д. Оноприйко, М.А. Сенин [10,11,16,17,29,39,45,]. Однако результаты исследований, проведенных специалистами, во многих случаях не позволяют эффективно выполнить моделирование неаналитических объектов визуализации.

В процессе проектирования пространственные формы часто описываются наборами характерных (опорных) точек, полученных путем замеров, вычислений, обработки ЗО-сканером реальных объектов и другими способами. Опорные точки поверхности обычно неравномерно расставлены в пространстве. Для моделирования поверхности по набору опорных точек, как правило, используются интерполяционные методы. Их результатом должна стать полигональная модель поверхности, необходимая для ее визуализации средствами графической системы компьютера.

Известно множество методов интерполяции, которые исследовали и применяли для моделирования пространственных объектов такие ученые, как J.Carr, R.Beatson, B.Morse, B.McCallum, W.Fright, M.Buhmann, B.Grady, B.Baxter,

B.Barsky, C.Chen, Y.Hon, R.Schaback, V.Scala. Эти методы построены на применении так называемых смешивающих функций (blending function) [74,75,76,77,110]. Они определяют степень влияния опорных точек (узлов интерполяции) на координаты текущей точки поверхности. В этом случае интерполянт представляет собой сумму многих слагаемых, каждое из которых вносит определенный «вклад» в координату текущей точки. Однако использование известных методов позволяет удовлетворить только части требований визуализации. Результат интерполяции характеризуется аномалиями поверхности или усложненными алгоритмами и большими затратами

вычислительных ресурсов. В научной литературе на сегодняшний день не представлен метод, удовлетворяющий всем перечисленным требованиям визуализации, а применяемые в реальных системах алгоритмы интерполяции, как правило, являются объектами «ноу-хау» [42,80]. Поэтому можно утверждать, что создание математического, методического и программного аппарата геометрического моделирования неаналитических объектов, удовлетворяющего требованием компьютерной визуализации, является актуальным.

Целью диссертационного исследования является создание методики и алгоритмов геометрического моделирования и отображения неаналитических пространственных форм, удовлетворяющих требованием компьютерной визуализации.

Основные задачи исследования:

1. Осуществление сравнительного анализа существующих методов геометрического моделирования пространственных объектов на основе интерполяции. Рассмотрение и выделение недостатков в существующих методах, определение путей их устранения.

2. Создание методики интерполяции пространственных форм с использованием радиальных базисных функций и В-сплайнов. Выявление возможностей смешивающих функций ортогонального базиса на этапе полигонизации.

3. Разработка алгоритмов геометрического моделирования пространственных форм на основе двухэтапной интерполяции.

4. Разработка комплекса программ геометрического моделирования пространственных форм на основе разработанных алгоритмов.

5. Разработка рекомендаций по выбору смешивающих функций и их параметров для интерполяционного моделирования пространственных форм.

Научная новизна:

1. Предложена двухэтапная методика геометрического моделирования поверхностей, заданных набором неравномерно расположенных опорных точек, отличительной особенностью которой является наличие двух этапов

моделирования, при этом на первом этапе осуществляется переход от исходных опорных точек к новым опорным точкам, равномерно расставленным в пространстве, а на втором этапе находятся промежуточные точки поверхности, которые становятся вершинами полигональной модели. Методика позволяет применить на этапе визуализации быстрые алгоритмы сеточной интерполяции.

2. Предложены новые разновидности смешивающих функций опорных точек для интерполяционного определения промежуточных точек поверхности, отличающиеся тем, что их влияние на промежуточную точку вычисляется раздельно по координатам-аргументам интерполянта. Новые смешивающие функции характеризуются малой погрешностью интерполяции и позволяют применить для вычислений быстрые конечно-разностные алгоритмы.

3. Разработаны интерполяционные алгоритмы геометрического моделирования поверхностей, заданных набором опорных точек, отличительной особенностью которых является комбинирование интерполяции на основе смешивающих функций радиального и ортогонального базиса, на основе В-сплайнов и на основе полигонов в соответствии с предложенной двухэтапной методикой моделирования. Алгоритмы положены в основу комплекса программ, позволяющего оценить изобразительные возможности методики.

Теоретическая и практическая значимость работы. На основе результатов работы созданы методики и алгоритмы, предложены новые смешивающие функции для геометрического моделирования пространственных объектов, заданных набором неравномерно расставленных опорных точек. Их применение позволяет решить задачу визуализации неаналитических объектов с требуемой степенью реалистичности и меньшими затратами времени.

Для практического применения полученных в работе теоретических результатов разработан комплекс программ. Его применение позволяет обоснованно выбирать параметры алгоритмических средств визуализации, исследовать изобразительные и точностные возможности различных смешивающих функций.

Методы исследования. Результаты диссертационной работы получены с использованием математического моделирования, методов интерполяции поверхностей, аналитической и вычислительной геометрии, векторной алгебры, теории матриц, численных методов, объектно-ориентированного программирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Двухэтапная методика геометрического моделирования поверхностей, заданных набором неравномерно расположенных опорных точек, при этом на первом этапе осуществляется переход от исходных опорных точек к новым опорным точкам, равномерно расставленным в пространстве, а на втором этапе находятся промежуточные точки поверхности, которые становятся вершинами полигональной модели.

2. Новые разновидности смешивающих функций опорных точек для интерполяционного определения промежуточных точек поверхности, влияние этих смешивающих функций на промежуточную точку вычисляется раздельно по координатам-аргументам интерполянта.

3. Численный алгоритм В-сплайновой интерполяции поверхностей, заданных набором опорных точек, в алгоритме осуществляется переход от исходных опорных точек поверхности к новым, и притом таким, которые обеспечивают точное прохождение В-сплайновой поверхности через исходные опорные точки.

4. Численный алгоритм интерполяционного моделирования поверхностей, заданных набором опорных точек, на основе предложенных смешивающих функций, влияние которых вычисляется раздельно по координатам-аргументам интерполянта.

5. Комплекс программ для исследования изобразительных возможностей и выбора параметров смешивающих функций с целью визуализации результатов геометрического моделирования поверхностей, заданных набором опорных точек, в комплексе программ реализованы разработанные численные алгоритмы.

Степень достоверности результатов. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается:

- отсутствием противоречий с известными научными положениями;

- корректностью математических преобразований при получении результатов;

- подтверждением теоретических результатов результатами эксперимента;

- сравнением отдельных полученных результатов с результатами, полученными другими авторами по аналогичной тематике.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы представлены на шести всероссийских и международных конференциях, в том числе на XVI Международной научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике», Пенза, 2016; XIII и XIV Международных научно-технических конференциях «Новые информационные технологии и системы» (НИТиС-2016, НИТиС-2017), Пенза, 2016, 2017; III Научно-практической всероссийской конференции (школе-семинаре) молодых ученых «Прикладная математика и информатика: современные исследования в области естественных и технических наук», Тольятти, 2017; I Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в моделировании и управлении: подходы, методы, решения», Тольятти, 2017; V Международной конференции «Information Technologies in Business and Industry» (ITBI2018), г.Томск, 2018.

Публикации. По итогам исследований опубликовано 12 работ, в том числе 1 статья в издании, зарегистрированном в базе Scopus, 4 статьи в изданиях, входящих в рекомендуемый ВАК РФ перечень рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций. Опубликовано 5 материалов докладов на международных конференциях, 2 статьи в зарубежных рецензируемых журналах. Получено 2 свидетельства о государственной регистрации программ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности «Роспатент».

Реализация и внедрение результатов работы. Предложенные в работе разновидности смешивающих функций ортогонального базиса и построенные с их использованием численные алгоритмы внедрены в разработки ООО «BIT.GAMES», г. Пенза, используются в учебном процессе ФГБОУ ВО «ПТУ» при проведении занятий по дисциплине «Графические технологии в компьютерном дизайне» (направление магистерской подготовки 09.04.03 -Прикладная информатика). Имеются акты о внедрении результатов.

Структура работы. Диссертация содержит 155 страниц основного текста и состоит из введения, трех разделов, заключения, библиографического списка из 119 наименований и 3 приложений на 31 странице. В диссертацию включено 52 рисунка и 4 таблицы.

В первом разделе выполнен анализ состояния выбранной научно-технической области. Сформулированы основные требования к моделям пространственных объектов визуализации.

Во втором разделе предложена двухэтапная организация геометрического моделирования пространственных форм. Описана разработанная методика моделирования. На основе анализа формообразующих и точностных характеристик смешивающих функций даны рекомендации по их применению. Описано решение задачи визуализации поверхности большой протяженности.

В третьем разделе описаны алгоритмы и комплекс программ геометрического моделирования и визуализации пространственных форм на основе двухэтапной интерполяции.

В заключении сформулированы основные выводы, перечислены полученные в работе результаты.

Приложения содержат акты внедрения результатов диссертационной работы, копии свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ и листинг основных модулей комплекса программ.

1 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ

ВИЗУАЛИЗАЦИИ

1.1 Особенности геометрического моделирования пространственных форм в вычислительных системах графического назначения

Под геометрическим моделированием понимается математическое моделирование геометрических объектов. Геометрический объект характеризуется формой, структурой и размерами. Математическая модель геометрического объекта - это формализованное описание структуры, формы и размеров объекта в виде уравнений, таблиц данных, графов, текста, построенных по определенным правилам [26].

В настоящее время с бурным развитием техники и технологий геометрическое моделирование стало мощным инструментом решения многих научных и производственных задач. Например, в археологии еще в 1995 году применены геометрическое моделирование и компьютерная графика для создания ЗО-моделей реликвий. В частности, с целью обучения студентов и исследования учеными или путешественниками созданы модели зданий древнего Рима (рисунок 1.1) [73].

Рисунок 1.1- Модель города в Rome Reborn 1.0 (вид сверху)

В геоинформационных системах при представлении участка местности в ЗО-формате по замерам топографа также используются приемы геометрического моделирования. Участок местности строится с учетом рельефа местности, на который может быть наложено изображение векторной, растровой или матричной карты, как это показано, например, на рисунке 1.2,а [41].

а б

Рисунок 1.2 - Перспективная объектовая ЗО модель, созданная в ГИС «Оператор» (а), и построение геометрической формы модели в САПР (б)

В системах автоматизированного проектирования (САПР) приемы геометрического моделирования применяются для создания формы существующего тела или создании формы будущего объекта по характерным точкам, заданным разработчиком, пример приведен на рисунке 1.2,6 [72].

Геометрическое моделирование применяется в технологии виртуальной реальности, например, для создания иллюзии присутствия в различных тренажерах и симуляторах. На базе технологий геометрического моделирования разработаны многочисленные тренажеры и симуляторы различного назначения -промышленные, транспортные, военные и др. Примеры приведены на рисунке 1.3 [102].

а б

Рисунок 1.3 - Визуализация пространственных объектов в симуляторах вождения

автомобиля (а) и самолета (б)

Для поддержки принятия решений в системах военного назначения используется Зё-моделирование местности и пространственных объектов. Пример визуализации поля боя приведен на рисунке 1.4 [113].

Рисунок 1.4 - Модель поля боя в программе VR-Forces

Математическое моделирование может быть эффективно использовано и уже применяется в медицине. Интерактивные модели и реконструкция органов используются для обучения, проектирования хирургического вмешательства. Например, для максимально точного определения места и формы дефекта пациентам выполняется компьютерная томография в аксиальной и фронтальной плоскостях с построением 3D-модели. Полученные снимки дают наиболее точную пространственную характеристику дефекта - рисунок 1.5 [35].

Рисунок 1.5 - ЗО-модель черепа

Геометрическое моделирование играет большую роль в развитии индустрии развлечений (компьютерные игры и фильмы). На сегодняшний день ни один современный фильм и компьютерная игра не обходятся без трехмерной графики. На рисунке 1.6 приведены примеры трехмерных динамических объектов в фильме «Аватар» и в игре «World of Tanks» [113].

а б

Рисунок 1.6 - Кадр в 3D фильме «Аватар» (а) и 3D модель танка Т54 в игре

«World of Tanks» (б)

Еще одной областью применения геометрического моделирования является научная визуализация, например, при установлении тенденции поведения физической величины по замерам, снимаемым с датчиков, или визуальном представлении молекул химических соединений. На рисунке 1.7 показано изображение, полученное программной системой молекулярной стыковки, и устройство управления, задающее модели 6 степеней свободы [2].

Рисунок 1.7 - Система молекулярной стыковки с тактильным

устройством управления

Кроме названных приложений геометрическое моделирование применяется в системах отображения космических объектов, объектов когнитивной графики, строительстве и других областях. В целом технология геометрического моделирования позволяет решать разнообразные задачи конструирования, реконструкции и последующей визуализации пространственных объектов.

В перечисленных предметных областях пространственные объекты часто описываются множествами характерных (опорных) точек, заданных тройками

своих координат. Эти опорные точки могут быть получены путем замеров, вычислений, обработки ЗО-сканером реальных объектов, указания специалистом-разработчиком. Для описания пространственных объектов с целью их компьютерной визуализации, как правило, применяются поверхностные модели. Они позволяют получить реалистичные изображения объектов и при этом применить быстрые алгоритмы визуализации [13].

Реконструкция поверхности по набору опорных точек основывается на интерполяционных методах. Интерполяция - построение поверхности, проходящей через заданные точки путем нахождения промежуточных точек по набору исходных точек (узлов интерполяции) и обладающей некими дополнительными свойствами. Из математики известен целый ряд методов интерполяции, но если конечной целью создания интерполяционной модели является ее визуализация в режиме реального времени, выбор метода нужно проводить, исходя из особых требований. При этом нужно учесть, что конечным результатом моделирования объекта должно стать его полигональное представление (полигональная сеть). В его состав входят координаты вершин полигонов и векторов нормалей. Векторы нормалей нужны для моделирования освещенности (затенения) пространственных объектов. Полигональная сеть передается в графический процессор компьютера, который аппаратно поддерживает ее обработку.

Если посмотреть на интерполяцию поверхности с точки зрения ее визуализации, то можно видеть, что известные методы имеют значительные недостатки. Чтобы обоснованно выбрать метод интерполяции для последующей визуализации, нужно учесть особенности геометрического моделирования объектов визуализации и сформулировать основные требования к их поверхностным моделям.

Особенность геометрического моделирования в графике заключается в том, что его результаты должны позволять применить стандартные средства визуализации объектов, например, входящие в широко применяемые на практике графические библиотеки. В противном случае созданные модели нельзя будут

применить на практике. Для визуализации объектов моделирования в прикладных программах существует ряд программных библиотек, наиболее известные из которых - OpenGL, Vulkan и DirectX [31]. На их основе строятся программы, облегчающие построение сложных пространственных сцен, -графические движки [20]. Они позволяют улучшать визуальное представление объектов с помощью придания им динамики, наложения характерного узора (текстуры), моделирования освещенности.

Можно сформулировать основные требования к моделям пространственных объектов следующим образом:

- точное прохождение поверхности через опорные точки;

- сохранение топологической тенденции поверхности между опорными точками. Имеется в виду соответствие полученной формы исходной форме или представлениям о ней разработчика;

- возможность описать геометрические формы большой протяженности;

- возможность моделировать замкнутые поверхности, описание которых характеризуется многозначностью;

- возможность получения гладкой поверхности (без разрывов функции-интерполянта и ее первой производной);

- получение корректных нормалей к поверхности, проведенных через ее заданные точки;

- возможность управлять динамикой поверхности;

- по-возможности, быстрые алгоритмы вычисления промежуточных точек поверхности.

Существенным требованием является по возможности малая ресурсоемкость моделей как на этапе их хранения в памяти компьютера, так и на этапе вывода на поле отображения. Это требование связано с тем, что моделирование и визуализация поверхности объектов является важной, но не единственной задачей компьютерной системы. Ее основной задачей является сбор данных, их обработка, выработка решений и т.д., то есть выполнение операций, вытекающих из целевого назначения системы.

Удовлетворить сразу всем указанным выше требованиям не просто, тем более, что непрерывно появляются все более сложные задачи отображения трехмерных сцен, и даже непрерывный рост вычислительных ресурсов графических систем не снимает актуальности указанной задачи. В связи с этим не прекращается работа по совершенствованию теории и технологии геометрического моделирования и визуализации. Во введении названы специалисты, вложившие свой вклад в эту область, и их достижения. Однако, несмотря на высокий научный и практический уровень проработки вопросов геометрического моделирования графических объектов, методы проектирования неаналитических форм остаются актуальными. Использование известных методов интерполяции поверхностей позволяет удовлетворить части перечисленных выше требований, правда, всякий раз своей. Поэтому необходимо объединить каким-нибудь удачным способом большую часть достоинств и минимизировать недостатки известных методов. В связи с этим необходимо провести анализ известных методов интерполяции поверхностей пространственных объектов с точки зрения пригодности их для последующей визуализации объектов.

1.2 Интерполяционные методы на основе использования смешивающих

функций

Для моделирования поверхности пространственных объектов по набору опорных точек существует целый ряд методов интерполяции. Их применимость для моделирования объектов визуализации следует рассматривать с точки зрения требований, приведенных в 1.1.

Полиномиальная (алгебраическая, многочленная) интерполяция. В математических приложениях чаще всего применяют полиномиальную интерполяцию. Это связано, прежде всего, с тем, что полиномы легко вычислять, легко аналитически находить их производные. Но традиционные методы полиномиальной интерполяции плохо подходят для моделирования объектов визуализации. Полиномиальная интерполяция имеет один серьезный недостаток:

чем больше количество опорных точек, тем сильнее интерполяционная поверхность осциллирует около точного значения. Кроме того полиномиальная интерполяция имеет и другие недостатки. Время построения и вычисления интерполяционных полиномов высокой степени может для некоторых приложений оказаться чрезмерным. Полиномы высокой степени могут приводить также к проблемам, связанным с ошибками округлений [14,30].

Более приемлемые результаты дают методы интерполяции на основе смешивающих функций (СФ). Теория смешивающих функций была разработана С. А. Кунсом (1964,1967). Он заметил, что бикубические отсеки поверхности, определенные в терминах четырех смешивающих функций, достаточны для описания поверхности на практике [78]. Суть применения смешивающих функций в том, что координаты текущей точки поверхности находятся путем суммирования (смешивания) «вкладов», которые вносят опорные точки. Величины этих «вкладов» функционально зависят от расстояний между текущей точкой и опорными точками. Общий вид описания поверхности с применением СФ приведен ниже:

n м

к = (1-1)

г=1 7=1

где к - координата текущей точки поверхности, к = х, у, г',

Сиу - числовые коэффициенты;

и,у - аргументы интерполянта, представляющие собой декартовы или параметрические координаты проекции текущей точки на некоторую плоскую или криволинейную поверхность аргументов;

ЯРг(и), Я/<}(у) - смешивающие функции;

у - номера опорных точек, влияющих на текущую точку поверхности;

Их М- количество опорных точек, влияющих на текущую точку.

В различных методах интерполяции используются различные функциональные зависимости от расстояний (различные смешивающие функции). К ним относятся линейные, билинейные, полиномиальные СФ, а также более

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хоанг Тхай Хо, 2018 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аджиев, В.Д. Моделирование форм с использованием вещественных функций / В.Д. Аджиев, A.A. Пасько, В.В. Савченко, А.Й. Сурин // Открытые системы. - 1996. - №5. - С. 14-18.

2. Афанасьев, В.О. Актуальные информационные технологии: визуализация информации, виртуальное окружение, неогеография, осязаемые изображения [Электронный ресурс] / В.О. Афанасьев, E.H. Ерёмченко, A.C. Клименко, C.B. Клименко, H.H. Никитин, Л.Д. Никитина, О.П. Сурина и др. // Научная визуализация. - 2013. - Том 5. - №4. - С. 1-17. - Режим доступа:

http : //sv-j ournal. com/index. php?lang=ru

3. Башков, E.A. Исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике / Е.А. Башков, B.C. Бабков // Электронное моделирование. - 2009. - №2. - С. 107-116.

4. Баяковский, Ю.М. Графор. Графическое расширение фортрана / Ю.М. Баяковский, В.А. Галактионов, Т.Н. Михайлова. - изд. «Наука», 1985. - 287 с.

5. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. - 13-е изд., исправленное. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. ли., 1986. - 544 с.

6. Васильков, Д.М. Геометрическое моделирование и компьютерная графика: вычислительные и алгоритмические основы [Электронный ресурс] / Д.М. Васильков // курс лекции. - Минск: БГУ. - 2011. - 203 с. - Режим доступа: http://www.elib.bsu.by.

7. Вяткин, С.И. Поверхности и патчи свободных форм на основе скалярных и аналитических функций возмущения / С.И. Вяткин, Б.С. Долговесов // Труды 12-й Международной конференции «Графикон-2002». - Нижний Новгород. - 2002. - С. 147-152.

8. Гидаспов, В.Ю. Численные методы. Сборник задач: учеб. пособие для вузов / В.Ю. Гидаспов, И.Э. Иванов, Д.Л. Ревизников и др. // под ред. У.Г. Пирумова. - М.: Дрофа, 2007. - 144 с.

9. Голованов, H.H. Геометрическое моделирование / H.H. Голованов. -М.: Издательство Физико-математической литературы, 2002. - 472 с.

10. Григорьев, А. Б. Методы и алгоритмы компьютерной графики для моделирования природных явлений и объектов в системах виртуальной реальности: афтореф. дис. ... кан. тех. наук: 05.13.16 / Григорьев Андрей Борисович. - СПб., 2000. - 16 с.

11. Денискин, Ю.И. Обобщенные методы геометрического моделирования объектов и управления их формой при параметрическом представлении: афтореф. дис. ... доктор тех. наук: 05.01.01 / Денискин Юрий Иванович. - М., 2000. - 40 с.

12. Длин, A.M. Математическая статистика в механике / A.M. Длин. - М.: Советская наука, 1958. - 469 с.

13. Иванов, В.П. Трехмерная компьютерная графика / В. П. Иванов, A.C. Батраков // Под ред. Г.М. Полищука. - М.: Радио и связь, 1995. - 224 с.

14. Калинкин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калинкин // Под ред. А. А. Самарского. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. -514 с.

15. Колсанов, A.B. RBF-Алгоритм и его модификации для построения поверхностных компьютерных 3d моделей в медицинской практике / A.B. Колсанов, A.C. Воронин, Б.И. Яремин, С.С. Чаплыгин // Известия самарского научного центра российской академии наук. - Изд.: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Самарский научный центр Российской академии наук.-2011.-С. 88-93.

16. Кононыхин, A.A. Моделирование, визуализация и анализ объемных тел на основе радиальных базисных функций: афтореф. дис. ... кан. тех. наук: 05.13.11 / Кононыхин Андрей Александрович. - М., 2007. - 20 с.

17. Копытов, Н.П. Равномерное распределение точек на поверхностях и его применение в исследованиях структурно-неоднородных сред: афтореф. дис. ... кан. тех. наук: 05.13.16/ Копытов Никита Павлович. - Пермь, 2015. - 16 с.

18. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1974. - 832 с.

19. Косников, Ю.Н. Геометрические преобразования в компьютерной графике. Конспект лекций / Ю. Н. Косников. - Пенза: Изд-во ПТУ, 2011. - 49 с.

20. Косников, Ю.Н. Геометрическое моделирование в графических системах реального времени / Ю.Н. Косников. - Пенза: Информац.-издат. центр ПТУ, 2006. -218 с.

21. Ли, В.Г. Геометрический инструментарий синтеза среды виртуальной реальности применительно к тренажерам: дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / Ли Валерий Георгиевич. - Киев, 2000. - 320 с.

22. Ли, В.Г. Инженерная графика. Материалы к тестированию знаний: учебно-методическое пособие / В.Г. Ли, Т.Г. Калашникова, С.А. Дорошенко. -Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. - 70 с.

23. Ли, В.Г. Инженерная графика: учебное пособие для технических специалистов / В.Г. Ли, A.B. Завидский. - ТРТУ, 2006. - 160 с.

24. Ли, В.Г. Инженерная графика: учебное пособие. 2-е издание / В.Г. Ли, С.А. Дорошенко. - перераб. и доп. - Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2016. - 141 с.

25. Малюх, В.Н. Введение в современные САПР: Курс лекций / В.Н. Малюх. -М.: ДМКПресс, 2010. - 192 с.

26. Михайленко, В.Е. Справочник по машинной графике в проектировании // В.Е. Михайленко, В.А. Анпилогова, Л.А. Кириевски и др. // Под ред. В.Е. Михайленко, A.A. Лященко. - Киев: Буд1вельник, 1984. - 184 с.

27. Михайлюк, М.В. Основы компьютерной графики : Учебное пособие / М.В. Михайлюк. - М.: МГТУ, 2002. - 79 с.

28. Никулин, Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики / Е.А. Никулин. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 560 с.

29. Оноприйко, М.Д. Реконструкция поверхностей геометрических моделей, представленных дискретным множеством цифровых данных: афтореф. дис. кан. ... тех. наук: 05.01.01 / Оноприйко Марина Дмитриевна. - H.H., 2003. -24 с.

30. Половко, A.M. Интерполяция. Методы и компьютерные технологии их реализации / A.M. Половко, П.Н. Бутусов. - СПб.: БХВ. Петербург, 2004. - 320 с.

31. Поляков, А.Ю. Методы и алгоритмы компьютерной графики в примерах на Visual С++, 2-е издание / А. Ю. Поляков, В.А. Брусенцев. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 560 с.

32. Райт, P.C. OpenGL. Суперкнига, 3-е издание / P.C. Райт, Б. Липчак: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2016. - 1040 с.

33. Регистрационная карта РИД № АААА-Г17-617103170081-9. Программа геометрического моделирования и визуализации протяженных геометрических форм, с применением радиальных базисных функций [текст]: Регистрационная карта о регистрации программы для ЭВМ / Ю. Н. Косников, Т.Х. Хоанг; ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет». Зарегистрирована в РОСРИД 31.10.2018. -2 с.

34. Регистрационная карта РИД № АААА-Г 18-618012550067-9. Программа визуализации протяженных геометрических форм, заданных скалярным полем [текст]: Регистрационная карта о регистрации программы для ЭВМ / Ю. Н. Косников, Т.Х. Хоанг; ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет». Зарегистрирована в РОСРИД 25.01.2018. - 2 с.

35. Реконструкция дефектов черепа [Электронный ресурс]. - 2013. -Режим доступа:

http://bsmp.tomsk.ru/otdeleniya-bolniczyi/nejroxirurgiya/rekonstrukcziya-defektov-cherepa.html.

36. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики / Д. Роджерс, Дж. Адаме. - Пер. с англ. - М.: Мир, 2001. - 604 с.

37. Свидетельство № 2017613959 Российская Федерация. Программа визуализации протяженных геометрических форм, заданных скалярным полем [Текст]: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ / Ю.Н. Косников (RU), Т.Х. Хоанг (VN); ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет» (RU). - Заявка № 2017610097; заявл. 09.01.2017; опубл. 04.04.2017. - 1 с.

38. Свидетельство № 2018613102 Российская Федерация. Программа моделирования и визуализации протяженных геометрических форм с применением радиальных базисных функций [Текст]: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ / Ю. Н. Косников (RU), Т.Х. Хоанг (VN); ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет» (RU). -Заявка №2018610403; заявл. 09.01.2018; опубл. 02.03.2018. - 1 с.

39. Сенин, М.А. Исследование и разработка методов визуализации деформируемых поверхностей в стерео-проекционных системах: афтореф. дис. ... кан. тех. наук: 05.13.18 / Сенин Михаил Андреевич. - М., 2005. - 16 с.

40. Скворцов, A.B. Триангуляция Делоне и её применение / A.B. Скворцов. - Томск, Изд. Том. ун-та, 2002. - 128 с.

41. Специализированные ГИС «Отображение 3 D-моделей местности в ГИС «Оператор»» [Электронный ресурс]. - 2013. - режим доступа: https://gisinfo.ru/products/gisoperatorl 1 .htm

42. Таранчук, В.Б. Об особенностях интеграции сервисных и специализированных программных средств в компьютерных моделях [Электронный ресурс] / В.Б. Таранчук. - 2008. - Режим доступа: http://elib.bsu.by/handle/123456789/36704

43. Толок, А. В. Функционально-воксельный метод в компьютерном моделировании /A.B. Толок. - М.: Физматлит, 2016.-112с.

44. Толок, A.B. Применение воксельных моделей в процессе автоматизации математического моделирования / A.B. Толок // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 6. - С. 167-180.

45. Фукс, A. JI. Разработка и исследование алгоритмов интерполяции однозначных поверхностей и их использование при построении цифровых моделей рельефа: афтореф. дис. ... кан. тех. наук: 05.13.18 / Фукс Александр Львович. - Томск, 2001. - 20 с.

46. Херн, Д. Компьютерная графика и стандарт OpenGL, 3-е издание: Пер. с англ. / Д. Херн, М.П. Бейкер. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2005. - 1168с.

47. Хоанг, Т.Х. Комплекс программ геометрического моделирования пространственных форм на основе численной реализации интерполяционных алгоритмов / Т.Х. Хоанг // Новые информационные технологии и системы: сб. науч. ст. XIV Междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 70-летию кафедры «Вычислительная техника» и 30-летию кафедры «Системы автоматизированного проектирования» (г. Пенза, 22-24 ноября 2017 г.). - Пенза: Изд-во ПТУ. - 2017. -С. 197-202.

48. Хоанг, Т.Х. Кусочно-аналитическое моделирование протяженных поверхностей с использованием радиальных базисных функций / Т.Х. Хоанг // Прикладная математика и информатика: современные исследования в области естественных и технических наук: материалы III научно-практической всероссийской конференции (школы-семинара) молодых ученых: 24-25 апреля 2017 г. - Тольятти: Издатель Качалин Александр Васильевич. - 2017. - С. 616620.

49. Хоанг, Т.Х. Методика геометрического моделирования пространственных форм с применением интерполяции В-сплайнами / Т.Х. Хоанг // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: сб. статей XVI Междунар. научно-техн. Конф. - Пенза: ПДЗ. - 2016. - С. 70-77.

50. Хоанг, Т.Х. Моделирование и визуализация неаналитических поверхностей / Ю.Н. Косников, Т.Х. Хоанг // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего: Периодическое научное издание. Серия: Технические науки. Информатика, вычислительная техника и управление. - Пенза: Изд. ПГТУ. - 2016. -№06 (выпуск 34). - С. 129-136.

51. Хоанг, Т.Х. Моделирование объектов интерфейса виртуального окружения для эргатических систем / Ю.Н. Косников, Т.Х. Хоанг // Известия вузов. Поволжский регион. Технические науки. - Пенза: Изд. ПГУ. - 2016. - №3 (выпуск 39). - С. 16-28.

52. Хоанг, Т.Х. Программная визуализация поверхностей, заданных скалярным полям / Ю.Н. Косников, Т.Х. Хоанг // Новые информационные технологии и системы: сб. науч. ст. XIII Межд. науч-тех. конф. (г. Пенза, 23-25 ноября 2016 г.). - Пенза: Изд. ПГУ. - 2016. - С. 200-204.

53. Хоанг, Т.Х. Регуляризация расстановки опорных точек протяженной поверхности на основе интерполяции радиальными базисными функциями / Т.Х. Хоанг // Информационные технологии в моделировании и управлении: подходы, методы, решения: Сборник научных статей I Всероссийской научной конференции: 12-14 декабря 2017 г. В двух частях. 4.1. - Тольятти: Издатель Качалин Александр Васильевич. - 2017. - С. 339-346.

54. Хоанг, Т.Х. Смешивающие функции в геометрическом моделировании и визуализации поверхностей свободных форм / Н.В. Александрова, А.П. Зимин, Ю.Н. Косников, Т.Х. Хоанг // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс: Периодическое научное издание. -Пенза: Изд. ПГТУ. - 2015. -№03 (выпуск 25). - С. 59-60.

55. Хоанг, Т.Х. Сплайн-интерполяция траектории движения динамического объекта / Ю.Н. Косников, Т.Х. Хоанг // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. - Пенза: Изд. ПГТУ. - 2016. - №3 (выпуск 31). - С. 195-202.

56. Цао Ен. Поверхность Цао Ена: новый подход к геометрическим моделям произвольных форм / Цао Ен, Д.Вайвил, А.Тротмэн // Программирование. - 1992. -№4. - С. 4-16.

57. Шикин, Е.В. Компьютерная графика. Полигональные модели / Е.В. Шикин, A.B. Боресков. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2000. - 464 с.

58. Шикин, Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей / Е.В. Шикин, Л.И. Плис. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. - 240 с.

59. Эйнджел, Э. Интерактивная компьютерная графика. Вводный курс на базе OpenGL, 2-е издание / Э. Эйнджел. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2001. - 592 с.

60. Agoston, М.К. Computer graphics and geometric modeling: Implementation and algorithms / M.K. Agoston. - Springer-Verlag London, 2005. -907 p.

61. Akima, H. A method of bivariate interpolation and smooth surface fitting for values given at irregularly distributed points / H. Akima // ОТ Report 75-70, U.S. Dept. of Commerce / Office of Telecommunications, Boulder, Colo., - 1975. - 55 p.

62. Akima, H. A new method of interpolation and smooth curve fitting based on local procedures / H. Akima. // J. ACM, v. 17, N 4. - 1970. - P. 589-602.

63. Akima, H. Bivariate interpolation and smooth surface fitting based on local procedures / H. Akima // Comm. ACM, v 17. - 1974. - P. 26-31.

64. Anjyo, K. Scattered data interpolation for computer graphics / K. Anjyo, J. P. Lewis, F. Pighin // SIGGRAPH 2014 Course. - Vancouver, Canada. - 2014. - 69 c.

65. Barsky, B.A. Determining a Set of B-spline Control Vertices to Generate an Interpolating Surface / B.A. Barsky, D.P. Greenberg // Computer Graphics und Image Processing, 1980. - Vol.14. - 203 p.

66. Barsky, B.A. Local Control of Basis and Tension in Beta-Splines/ B. A. Barsky, J. C. Beatty // ACM Transactions on Computer graphics. - 1983. - P. 193-218.

67. Baxter, B.J.C. The Interpolation Theory of Radial Basis Fumctions // B.J.C. Baxter. - University of Cambridge, 1992. - 266 p.

68. Beatson, R. Fast evaluation of polyharmonic splines in three dimensions / R. Beatson, M. Powell, and A. Tan // IMA Journal of Numerical Analysis, 27(3). -2006. - P. 427-450.

69. Beatson, R. Fast evaluation of radial basis functions: methods for four-dimensional polyharmonic splines / R. Beatson, J. Cherrie, D. Ragozin // SIAM Journal on Mathematical Analysis, 32(6). -2001. - P. 1272-1310.

70. Bezier, P.E. The Mathematical Basis of the Unisurf CAD System / P.E. Bezier. - Butterworth, London, 1986. - 218 p.

71. Buhmann, M.D. Radial Basis Functions: Theory and Implementations / M.D. Buhmann. - Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2003. - 259 p.

72. Capture for SolidWorks 3D scanner [Электронный ресурс]. - 2014. -Режим доступа:

www.3d-model.ch/produkt/geomagic-3d-scanner-capture-for-solidworks.

73. Caroline, С. Rome Reborn 1.0 [Электронный ресурс] / С. Caroline. -2007. Режим доступа: http://magazine.ucla.edu/exclusives/rome-reborn/index.html.

74. Carr, J.C. Reconstruction and Representation of 3D Objects with Radial Basis Functions / J.C. Carr, RK. Beatson, J.B. Cherrie, T.J. Mitchell, W.R Fright, B.C. McCallum, T.R. Evans // Proceedings of the 28th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. - 2001. - P. 67-76.

75. Carr, J.C. Smooth Surface Reconstruction from Noisy Range Date / J.C. Carr, R.K. Beaston, W.R. Fright, T.J. McLennan, T.J. Mitchell // 1st international conference on Computer graphics and interactive techniques in Australasia and South East Asia. -2003. - P. 119-126.

76. Carr, J.C. Surface Interpolation with Radial Basis Function for Medical Imaging / J.C. Carr, R.K. Beaston, W.R. Fright // Transactions of Medical Imaging. -1997. - Vol. 16. -№ 1. - P. 96-107.

77. Chen, C.S. Scientific computing with Radial Basis Functions / C.S. Chen, Y.C. Hon, R.A. Schaback. - Draft of Monograph, Univ. of Nevada, Las Vegas, 2003. -266 p.

78. Coons, S.A. Rational bicubic surface patches / S.A. Coons // MIT. Project MAC. Internal Note. - 1968.

79. Coons, S.A. Surfaces for Computer-Aided Design of Space Forms / S.A. Coons. - MIT Project MAC., MAC-TR-41, 1967. - 73 p.

80. Corrigan, A. Computing and Rendering Implicit Surfaces Composed of Radial Basis Functions on the GPU / A. Corrigan, H. Quynh Dinh // International Workshop on Volume Graphics. - 2005. - P. 187-195.

81. David, S. Computer Graphics and Geometric Modeling / S. David. -Springer-Verlag New Yourk, Inc. 1999. - 851 p.

82. David, S. Curves and Surfaces for Computer Graphics / S. David. -Springer Sciences Business Media, Inc., 2006. - 451 p.

83. Ferguson, J.C. Multivariable Curve Interpolation / J.C. Ferguson. - JACM, 1964.-Vol. 2.-221 p.

84. Foley, J.D. Computer Graphics: Principles and Practical in C, 2nd Edition / J.D. Foley, A. Van-Dam, S.K. Feiner, J.F. Hughes. - Addison-Wesley, Reading, MA, 1994. - 670 p.

85. Franke, R. Scattered Date Interpolation: Test of some method / R. Franke // Mathematics of Communication. - Vol. 38. - 1982. - P. 181-200.

86. Gary, D.K. Interpolation Cubic Splines, Springer Sciences Business Media / D.K. Gary. - LLC, 2000. - 237 p.

87. Grady, B.W. Radial basic function interpolation: Numerical and Analytical developments / B.W. Grady // B.S., Westminster College, 1997 M.S., University of Colorado, 2000. - 155 p.

88. Greengard, R. A fast algorithm for particle simulations / R. Greengard, V. Rokhlin // Journal of Computational Physics, 73(2). - 1987. - P. 325-348.

89. Hardy, L.R. Theory and Applications of the Multiquadric Biharmonic Method / L.R. Fardy // Comput. Math. Applic. - Vol.19. - 1990. - P. 163-208.

90. Hoang, T.H. A theory of geometric modeling of objects in space by interpolation methods / T.H. Hoang, Yu.N. Kosnikov // Mekong University Scientific Journal. - Vietnam: Mekong University. - 2017. - №05. - P. 03-08.

91. Hoang, T.H. Applying the B-spline interpolation in designing the movement trajectory of a dynamic object / T.H. Hoang, Yu. N. Kosnikov // Dong Thap University Journal of Science. - Vietnam: Dong thap University. - 2017. - №27. - P. 100-105.

92. Hoang, Т.Н. Morphing of spatial objects in real time with interpolation by functions of radial and orthogonal basis [Электронный ресурс] / Yu.N. Kosnikov, A.V. Kuzmin, Т.Н. Hoang // Journal of Physics: Conference Series. - IOP Publishing. -2018. - Series 1015. - № 032066. - Режим доступа: http://iopscience.iop.Org/article/10.1088/1742-6596/1015/3/032066/meta.

93. Janke, S.J. Mathematical structures for computer graphics, 1st ed. / S.J. Janke. - Department of Mathematics, Colorado College, Colorado Spring, CO, 2014. -283 p.

94. John, P.W. Terrain Analysis Principles and Applications / P.W. John, C.G. John. - Willey & Song, Inc., 2000. - 485 p.

95. Jonas, G. Warping and Morphing of Graphical Objects / G. Jonas, D. Lucia, C. Bruno, V. Luiz. - Morgam Gaufmann Publishers, Inc., San Francisco, California, USA, 1999. - 497 p.

96. Juan, C.H. Intermediate Finite Element Method: Fluid Flow and Heat Transfer Applications / C.H. Juan, W.P. Drrell. - Taylor&Francis. USA, 1999. - 585 p.

97. Keys, R. Cubic convolution interpolation for digital image processing / R. Keys // IEEE, Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. Volume: 29, Issue: 6.-1981.-P. 1153-1160.

98. Kosnikov, Yu.N. Application of Radial Basis Functions in Scientific Vizualization / Scientific Visualization. - 2013. - Vol. 5, № 1. - P. 38-47.

99. Larry, L.S. Spline Functions: Computational Methods / L.S. Larry. -SIAM, 2015.-413 p.

100. Marsh, D. Applied geometry for computer graphics and CAD. - 2nd ed. / D. Marsh. - Springer undergraduate mathematics series, Springer-Verlag London, 2005. -350 p.

101. Micchelli, C.A. Interpolation of scattered data: distance matrices and conditionally positive definite functions / C.A. Micchelli. - Constr. Approx. - 1986. -P. 11-22.

102. Modeling & Simulation [Электронный ресурс]. - 2013. - Режим доступа:

https://www.mitre.org/researclVcore4eclmology-researclVmodeling-simulation.

103. Mongillo, M. Choosing basis functions and shape parameters for radial basis function methods // SIAM Undergraduate Research Online. - 2011. - T. 4. - P. 190-209.

104. Morse, B.S. Interpolation Implicit Surfaces from Scattered Data using Compactly Supported Radial Basis Functions / B.S. Morse, T.S. Yoo, P. Rheingans, D.T. Chen, K.R. Subramanian // Proceedings of the International Conference on Shape Modeling & Applications. - 2001. - P. 89-98.

105. Piegl, L. The NURBS book: Monograph in visual communication / L. Piegl, W. Tiller. - Springer Verlag Berlin Heidelberg, 1995. - 645 p.

106. Popovic, B.D. Analysis of metallic antennas and scatterers / B.D. Popovic, B.M. Kolundzija. - Institution of Electrical Engineers, Australia, 1994. - 193 p.

107. Rogers, D.F. Constrained B-spline Curve und Surface Fitting / D.F. Rogers, N.G. Fog // CADJ, 1989. - Vol. 21. - 641 p.

108. Sambhunath, B. Bezier and Spline in Image Processing and Machine Vision / B. Sambhunath, C.L. Brian. - Springer-Verlag London Limited, 2008. - 245 p.

109. Sarra, S.A. Multiquadric Radial Basis Function Approximation Methods for the Numerical Solution of Partial Differential Equations / S.A. Sarra, E.J. Kansa // Advances in Computational Mechanics, Vol. 2, 2009. - 220 p.

110. Scala V. A practical use of radial basis functions interpolation and approximation / V. Scala // Investigación Operacional Vol. 37. - 2016. - № 2. - P. 137144.

111. Sturgill, D. Variable Shape Parameter Strategies in Radial Basis Function Methods / D. Sturgill // Marshall University, Department of Mathematics, 2009. -104ap.

112. Tobin, A.D. Adaptive Residual «Subsampling methods for Radial Basis Function Interpolation and collocation problem» / A.D. Tobin, R.H. Heryodond. // Computers & Mathematics with Applications. - Vol. 53. - Tarrytown, NY, USA. -2007. - P. 927-939.

113. Tuan, P. Cong nghe mo phong [Электронный ресурс] / P. Tuan. - 2013. -Режим доступа:

http://www.pcworld.com.vn/articles/congnghe/cong-nghe/2013/07/1234018/cong-nglie-mo-phong.

114. Vince, J. Essential Mathematics for Computer Graphics fast / J. Vince. -Springer-Verlag London, 2001. - 231 p.

115. Vince, J. Mathematics for Computer Graphics 2nd ed. / J. Vince. -Springer-Verlag London, 2006. - 251 p.

116. Walter, F. Using radial basic functions for surface interpolation [Электронный ресурс] / F. Walter. - 2016. - Режим доступа: https://www.comsol.com/blogs/using-radial-basis-functions-for-surface-inteфolation.

117. Wendland, H. Piecewise polynomial, positive-definite and compactly supported radial basis functions of minimal degree / H. Wendland // Advances in Computational Mathematics. - 1995. - P. 389-396.

118. Wendland, H. Scattered Data Approximation / H. Wendland. - Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2005. - 348 p.

119. William, H.P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd ed. / H.P. William, A.T. Saul, T.V. William. - Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2007. - 1262 p.

125

ПРИЛОЖЕНИЕ А ЛИСТИНГИ ОСНОВНЫХ МОДУЛЕЙ КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ

А.1 Листинг модуля моделирования протяженных поверхностей с помощью радиальных базисных функций и смешивающих функций ортогонального

базиса

#include <vcl.h> #include <stdio.h> #include <time.h> #include <mem.h> #pragma hdrstop #include "Unit1.h" #include "Unit2.h" #include "Unit3.h" #include "Unit4.h" #include "Unit5.h" char *bb = "BIMEL0G01.BMP";

//---------------------------------Освещения-----------------------

void TForml::SetLight() {

//при вычислении цвета каждого пиксела при помощи формулы освещения // принимаются во внимание обе стороны поверхности glLightModeli(GL_LIGHT_MODEL_TWO_SIDE,1); //====== положение источника света

float fPos[] = {O.Of, O.Of, l.Of, O.Of}; float fdirection[] = {O.Of, O.Of, -l.Of}; glLightfv(GL_LIGHT0, GL_POSITION, fPos); //glLightf(GL_LIGHT0, GL_SPOT_CUTOFF, 30); glLightfv(GL_LIGHT0, GL_SPOT_DIRECTION, fdirection); //====== интенсивность отраженного света Abient

float f = m_LightParam[5]/100.f; float fAmbient[4] = { f, f, f, O.f }; glLightfv(GL_LIGHT0, GL_AMBIENT, fAmbient); //====== интенсивность разброса света Diffuse

f = m_LightParam[6]/100.f ; float fDiffuse[4] = { f, f, f, O.f }; glLightfv(GL_LIGHT0, GL_DIFFUSE, fDiffuse); //====== интенсивность зеркальности света Specular

f = m_LightParam[7]/100.f ;

float fSpecular[4] = { f, f, f, O.f };

glLightfv(GL_LIGHT0, GL_SPECULAR, fSpecular);

//====== свойства отображенной поверхности материала для

// каждой компоненты света f = m_LightParam[0]/100.f; float fAmbMat[4] = { f, f, f, O.f };

glMaterialfv(GL_FRONT_AND_BACK, GL_AMBIENT, fAmbMat);

f = m_LightParam[1]/100.f;

float fDifMat[4] = { f, f, f, l.f };

glMaterialfv(GL_FRONT_AND_BACK, GL_DIFFUSE, fDifMat);

f = m_LightParam[2]/100.f ;

float fSpecMat[4] = { f, f, f, O.f };

glMaterialfv(GL_FRONT_AND_BACK, GL_SPECULAR, fSpecMat); //====== освещенность материала

float fShine = 128 * m_LightParam[3]/100.f; glMaterialf(GL_FRONT_AND_BACK, GL_SHININESS, fShine); //====== свойства световой эмисси материала

f = m_LightParam[4]/100.f ;

float fEmission[4] = { f, f, f, O.f };

glMaterialfv(GL_FRONT_AND_BACK, GL_EMISSION, fEmission);

}

GLvoid TForml::RenderScene(void) {

glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT); // Clear screen and depth buffer

glLoadldentity(); // Reset the current modelview

matrix

LoadGLTextures () ;

glEnable(GL_TEXTURE_2D); // Enable texture mapping ( NEW )

SetLight();

xrot = StrToFloat(Editl->Text); yrot = StrToFloat(Edit2->Text); zrot = StrToFloat(Edit3->Text);

glTranslatef(x_trans, y_trans, z trans); // Move into the screen 5 units

glScaled(zoom,zoom,zoom); glRotatef(xrot,1.0f,0.0f,0.0f) ; glRotatef(yrot,0.0f,1.0f,0.0f) ; glRotatef(zrot,0.0f,0.0f,1.0f) ; dx = Edit9->Text.ToDouble(); dy = EditlO->Text.ToDouble(); dz = Editll->Text.ToDouble(); if(CheckBox8->Checked == true) { glBindTexture(GL_TEXTURE_2D, glColor3f(1.Of, l.Of, l.Of); glBegin(GL_QUADS);

for(int i = 0; i < (Sac_u-1)*n_x; i++) for(int j =0; j < (Sac_v-1)*n_z; j++)

{ //----------set normal vector

double ax = dx*X_N[i][j] - dx*X_N[i+1][j],

ay = dy*Franke[i] [j] - dy*Franke[i] [j + 1], by = dy*Franke[i+1][j] - dy*Franke[i][j], bz = dz*Z_N[i] [j + 1] - dz*Z_N[i] [j], vx = ay*bz, vy = -bz*ax, vz = ax*by,

vert = sqrt(vx*vx+vy*vy+vz*vz); vx/=vert; vy/=vert;

// Rotate on the X axis // Rotate on the Y axis // Rotate on the Z axis

// draw RBF with use texture texture[0]); // Select our texture

vz/=vert;

glNormal3f(vx,vy,vz) ; glTexCoord2f(dx*X_N[i][j],dz*Z_N[i][j]); glVertex3f(dx*X_N[i] [j],dz*Z_N[i] [j],dy*Franke[i] [j]) ; glTexCoord2 f(dx*X_N[i+l] [j],dz*Z_N[i+l] [j]) ;

glVertex3f(dx*X_N[i+l][j],dz*Z_N[i+l][j], dy*Franke[i+1][j]); glTexCoord2f(dx*X_N[i+l] [j + 1],dz*Z_N[i+l] [j + 1] ) ;

glVertex3f(dx*X_N[i+l] [j + 1],dz*Z_N[i+l] [j + 1] , dy*Franke[i + 1] [j + 1]) ; glTexCoord2f(dx*X_N[i] [j + 1],dz*Z_N[i] [j + 1]) ;

glVertex3f(dx*X_N[i] [j + 1],dz*Z_N[i] [j + 1], dy*Franke[i] [j + 1]) ; }

glEnd();}

SwapBuffers(ghDC); } //----------------------------------------------------------------

void_fastcall TForml::ButtonlClick(TObject *Sender)

{

//определение времени вычисления-----

clock_t timel;

timel = clock();

Kt = Editl2->Text.Tolnt();

size = (Edit7->Text.ToDouble())/100;

Eps = Edit8->Text.ToDouble();

M = Form2->Editl->Text.Tolnt();

n_x = Form2->Edit2->Text.Tolnt();

n_z = Form2->Edit3->Text.Tolnt(); Sac_u = Edit4->Text.Tolnt(); Sac_v = Editl8->Text.Tolnt(); x_i = new double [M]; y_i = new double [M]; z_i = new double [M]; x = new double [M+Sac_u]; у = new double [M+Sac_u]; z = new double [M+Sac u];

X_N = new double *[n_x*Sac_u]; Y_N = new double *[n_x*Sac_u]; Z_N = new double *[n_x*Sac_u]; absp = new double *[n_x*Sac_u]; Franke = new double *[n_x*Sac_u]; float vl_x = (float)TrackBarl4->Position/10, vl_z = (float)TrackBarl3->Position/10; //---определение исходных данных для РБФ

for(int i = 0; i <= 50; i ++)

for(int j = 0; j <= 50; j ++) {

double rl_rbf = fabs((double)i/50), r2_rbf = fabs((double)j/50),

r_RBF = sqrt(pow((double)i/100,2)+pow((double)j/100,2)); if(id_fi == 0||id_fi == 14||id_fi == 15||id_fi == 16) r_rbf[i][j] = Phi_GA(r_RBF, Eps, id_fi); eise if(id_fi == 1)

r_rbf[i][j] = Phi_IQ(r_RBF, Eps); eise

if(id fi ==

r_rbf eise if (id r_rbf eise if (id r_rbf eise if (id r_rbf eise if (id r_rbf eise if (id r_rbf eise if (id r_rbf eise if (id r_rbf eise if (id r_rbf eise if (id r_rbf eise if (id r_rbf eise if (id r_rbf if (id r_rbf

r

for(int

i] [j]

fi == i] [j]

fi == i] [j]

fi == i] [j]

fi == i] [j]

fi == i] [j]

fi == i] [j]

fi == i] [j]

fi == i] [j]

fi == i] [j]

fi == i] [j]

fi == i] [j] fi == i] [j]

i =0;

IMQ(r RBF, Eps);

2)

= Phi 3)

= Phi MQ(r RBF, Eps);

4)

= Phi

5)

= Phi

PHS1(r RBF, Kt)

PHS2(r RBF, Kt)

6)

= LN_RB F(r_RB F, R) ;

7)

= PCX_RBF(r_RBF, R)

8)

= PCE RBF(r RBF, R)

9)

= BQ_RBF(r_RBF, R);

10)

= PCE BFOB(r1 rbf, r2 rbf)

11)

= PY_BFOB(rl_rbf, 12)

= PCX_BFOB(rl_rbf, 13)

= AG_BFOB(rl_rbf, 17)

= BFOB 01 (rl rbf,

r2_rbf);

r2_rbf);

r2_rbf); r2 rbf);

< n_x*Sac_u; i++) new double [n z*Sac new double new double

new double _ _

new double [n_x*Sac_v]; }

< M; i++)

x_i[i] = Form2->StringGridl->Cells[i] [0] .

y_i[i] = Form2->StringGridl->Cells[i][1].

z i[i] = Form2->StringGridl->Cells[i][2].

{ X_N[i] Y_N[i] Z_N[i] absp[i] Franke[i]

for(int i = 0; {

[n_z*Sac [n_z*Sac [n_x*Sac [n x*Sac

v] v] v] v] v]

ToDouble() ToDouble() ToDouble()

double dt_xi = (max(x_i, M)-min(x_ dt_zi = (max(z_i, M)-min(z_ for(int xi = 0; xi < n_x; xi++) for(int zi = 0; zi < n_z; zi++) { int templ = 0;

l, i,

M) ) /n_x,

M))/n z;

for(int i = 0; i < M; i++) {

if(x_i[i]>=(xi-vl_x)*dt_xi&&x_i[i]<=(xi+l+vl_x)*dt_xi&&z_i[i]>=(zi-vl_z)*dt_zi&&z_i[i]<=(zi+l+vl_z)*dt_zi) { X[tempi] = x_i[i]; y[tempi] = y_i[i];

z[tempi] = z_i[i];

templ++; } N = tempi; }

FX = new double **[Sac_u]; for(int i = 0; i < Sac_u; i++) { FX[i] = new double *[Sac_v]; for(int j = 0; j< Sac_v; j++) FX[i][j] = new double [N]; }

double *Y,**A,**masl, **mas2, *mas4; masl = new double *[N+3]; mas2 = new double *[N+3]; mas4 = new double [N+3]; lamda = new double [N]; Y = new double [N+3]; A = new double *[N+3]; for(int i = 0; i < N+3; i++) { A[i] = new double [N+3];

masl[i] = new double [N+3]; mas2[i] = new double [N+3]; } max_x = (Edit16->Text.ToDouble())*max(x, N); max_z = (Editl7->Text.ToDouble())*max(z, N); min_x = min(x, N); min_z = min(z, N);

R = (Editl3->Text.ToDouble())*sqrt(pow(max_x-min_x,2)+pow(max_z-min_z, 2 ) ) ;

for(int i = 0; i < N+3; i++)

for(int j =0; j < N+3; j++) {

double r_i = esl + sqrt(pow(x[i] - x[j],2) + pow(z[i] - z[j],2)), rl_i = esl + fabs(x[i] - x[j])/max_x, r2_i = esl + fabs(z[i] - z[j])/max_z;

if(i >=0 && i < N && j >=0 && j < N) {

if(id_fi == 0|Iid_fi == 14|Iid_fi == 15|Iid_fi == 16) A[i][j] = Phi_GA(r_i, Eps, id_fi); else if(id_fi == 1) A [ i] [j] = Phi_IQ(r_i, Eps); else if(id_fi == 2)

A [ i] [j] = Phi_IMQ(r_i, Eps) ; else

if(id_fi == 3)

A[i] [j] = Phi_MQ(r_i, Eps);

else

if(id_fi == 4)

A[i ] [j] = Phi PHS1(r i, Kt) ;

else

if(id_fi == 5)

A[i][j] = Phi_PHS2(r_i, Kt); else if(id_fi == 6) A [ i] [j] = LN_RBF(r_i, R) ; else

if(id_fi == 7) A [ i] [ j] = PCX_RBF(r_i, R) ; else if(id_fi == 8) A [ i] [j] = PCE_RBF(r_i, R) ; else

if(id_fi == 9) A[i][j] = BQ_RBF(r_i, R); else if(id_fi == 10)

A[i][j] = PCE_BFOB(rl_i, r2_i); else if(id_fi == 11)

A [ i] [ j] = PY_BFOB(rl_i, r2_i) ; else if(id_fi == 12)

A [ i] [ j] = PCX_BFOB(rl_i, r2_i) ; else

if(id_fi == 13)

A[i][j] = AG_BFOB(rl_i, r2_i); else

if(id_fi == 17)

A [ i] [ j] = BFOB_01(rl_i, r2_i) ; } else

if(i >= N && i <N+3 && j >= N && j < N+3)

A[i] [j] = 0;

else

if(i == N && j >=0 && j < N)

A[i] [j] = 1;

else

if(i == N+l && j >=0 && j < N)

A[i] [j] = x[j] ;

else

if(i == N+2 && j >=0 && j < N)

A[i] [j] = z [ j ] ;

else

if(i >=0 && i < N && j == N)

A[i][j] = 1;

else

if(i >=0 && i < N && j == N+l)

A [ i ] [j] = x[i] ;

else

if(i >=0 && i < N && j == N+2)

A [ i ] [j] = z[i] ; }

for(int i = 0; i < N+3; i++)

if(i >=0 && i < N) Y [ i ] = у [ i ] ; else

if(i >=N && i < N+3) Y[i] = 0; }

//-----------------Проверка на наличие элементов в матрице

//------------Если элементов нет, функция завершает работу

TForm3* ID3 = new TForm3(this); //-----------------------Задание положения Form3 на экране

ID3->Left=17 9; ID3->Top=l13 ; ID3->Height=l8 0 ; ID3->Width=35 6 ;

//----------------Переформирование входной матрицы в b[n*n]

b = new double[(N+3)*(N+3)]; for(int i=0; i < N+3; i++) for(int j = 0; j< N+3; j++)

{ * (b+i* (N+3)+j)=A[i] [j] ; }

pr= matr_inv_gause(b,N+3);

if(pr==0) //-- Матрица не близка к вырождению

{

for(int i=0; i < N+3; i++) for (int j = 0; j< N+3; j++)

{ mas2[i] [j]= *(b+j *(N+3)+i) ; } } //--------------Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

for(int v = 0; v < N+3; v++) {

ma s 4[ v ] = 0;

for(int w = 0; w < N+3; w++) {

mas4 [v] += mas2 [v] [w] *Y [w] ; } }

if(pr==2) //--- Матрица близка к вырождению

{

ID3->ShowModal(); //------ Вывод на экран сообщение

}

ID3->Free();

//---------------Определение коэффициентов Lambda a0,al,a2

for(int i = 0; i < N; i++) {

lamda[i] = mas4[i]; }

aO = mas4[N]; al = mas4[N+l]; a2 = mas4[N+2];

//----------------масштабирование-------------------------

su = dt_xi/(Sac_u-1); sv = dt_zi/(Sac_v-1); gridx = new double [Sac_u]; gridz = new double [Sac_v]; grid = new double *[Sac_u]; x new = new double *[Sac u];

z_new = new double *[Sac_u];

for(int i = 0; i < Sac_u; i++) {

grid[i] = new double [Sac_v];

x_new[i] = new double [Sac_v];

z_new[i] = new double [Sac_v];

Г

gridx[0] = xi*dt_xi;

for(int i = 1; i < Sac_u; i++) {

gridx[i] = gridx[i-1]+su; }

gridz[0] = zi*dt_zi;

for(int j =1; j < Sac_v; j++) {

gridz[j] = gridz[j-1]+sv; }

for(int i = 0; i < Sac_u; i++)

for(int j =0; j < Sac_v; j++) {

x_new[i][j] = gridx[i]; z_new[i][j] = gridz[j];

}

//-----определение координат промежуточных точек

for(int i = 0; i < Sac_u; i++) {

for(int j =0; j < Sac_v; j++) {

double h = aO + al*x_new[i][j] + a2*z_new[i][j];//a0 + al*gridx[i] + a2*gridz[j];

for(int k = 0; k < N; k++) {

double r_i = esl + sqrt(pow(x[k]-x_new[i][j],2)+pow(z[k]-z_new[i] [ j],2) ) ,

rl_i = esl + fabs(x[k]-x_new[i][j])/max_x, r2_i = esl + fabs(z[k]-z_new[i][j])/max_z; if(id_fi~== 0|Iid_fi == 14|Iid~fi == 15|Iid_fï == 16) h += lamda[k]*Phi_GA(r_i, Eps, id_fi); else if(id_fi == 1)

h += lamda[k]*Phi_IQ(r_i, Eps); else if(id_fi == 2)

h += lamda[k]*Phi_IMQ(r_i, Eps); else

if(id_fi == 3)

h += lamda[k]*Phi_MQ(r_i, Eps); else

if(id_fi == 4)

h += lamda[k]*Phi_PHSl(r_i, Kt); else

if(id_fi == 5)

h += lamda[k]*Phi PHS2(r i, Kt) ;

,r i.

,r i.

R) ;

R) ;

else if(id_fi == 6)

h += lamda[к]*LN_RBF(r_i, R) ; else

if(id_fi == 7) h += lamda[к]*PCX_RBF else if(id_fi == 8) h += lamda[к]*PCE_RBF _ else

if(id_fi == 9)

h += lamda[к]*BQ_RBF(r_i, R) else if(id_fi == 10) h += lamda[к]*PCE_BFOB(rl_i, else if(id_fi == 11) h += lamda[к]*PY_BFOB(rl_i, else if(id_fi == 12) h += lamda[к]*PCX_BFOB(rl_i else

if(id_fi == 13) h += lamda[к]*AG_BFOB(rl_i, else

if(id_fi == 17) h += lamda[к]*BFOB 01 (rl i,

г2 i) ;

r2 i) ;

r2 i) ;

r2 i)

r2 i)

}

grid[i][j] = h; }

< Sac_u-1; i++)

< Sac v-1; j++)

}

for(int i = 0 ; i

for(int j = 0 ; j {

X_N[xi*(Sac_u-1)+i][zi*(Sac_v-1)+j] Y_N[X i *(Sac_u-1)+i] [zi*(Sac_v-1)+j]

Z_N[xi*(Sac_u-1)+i][zi*(Sac_v-1)+j] }

for(int i = 0; i < Sac_u; i++) {

X_N[X i *(Sac_u-1)+i] [n_z *(Sac_v-1) ]

Y_N[X i *(Sac_u-1)+i] [n_z*(Sac_v-1) ]

Z_N[xi*(Sac_u-1)+i] [n_z *(Sac_v-1) ]

}

for(int j =0; j < Sac_v; j++) {